恒定磁场的基本方程

3
5.2
真空中磁场的基本方程
0 J (r ) R 0 1 B dV J (r ) ( )dV 3 4 v ' R 4 v ' R J (r ) 1 1 根据恒等式 ( ) J (r ) ( ) J (r )
可得，
1 J (r ) 1 ( ) J (r ) ( ) J (r ) R R R
21:10:01
恒定电流是恒定磁场的旋涡源，电流激发旋涡状
的恒定磁场，并决定旋涡源的强度和旋涡方向
磁场旋度与磁场是不同的物理量，它们的取值没
有必然联系。没有电流分布的地方，磁场旋度为零，
但磁场不一定为零
21:08:08
7
5.2
积分形式
真空中磁场的基本方程
微分形式
B 0
B 0 J
三、真空中磁场的基本方程
BdS 0
S
B dl I
l 0
小结：恒定磁场性质
B 0 无源场。磁力线无头无尾且不相交
B 0 J

有旋场。电流是磁场的旋涡源，磁力 线构成闭合回路
8
21:08:49
5.2
真空中磁场的基本方程
四、空间磁场的求解
1、利用安培环路定律求解 当电流呈轴对称分布时，可利用安培环路定律求解 空间磁场分布。 l B dl 0 I 若存在一闭合路径C，使得在其上 B dl 整段或分段 为定值，则可以用安培环路定律求解。
5.2
真空中磁场的基本方程
恒定磁场是由恒定电流产生的，它是在电流周围 形成的一个特殊的矢量场分布。通过对磁感应强度的 散度和旋度进行分析，可以全面地了解空间磁场分布 的特性，进而得出恒定磁场的一般性质。 一、 B 的散度和通量 设恒定电流分布在体积V内，电流密度为 J ( r )，空间任 意点 r 的磁感应强度为
1 v ' J (r ) ( R )dV
2
1 2 1 ( ) (r r ') 4 R B 0 {0 J (r)[4 (r r ')]dV '} 0 J (r ) v' 4
将上式在空间的任意面积S上积分，S的边界为C，并利 用斯托克斯公式可得
0 B 4
0 J (r ) 2 J (r ) B {[ ( )] ( )}dV ' v ' 4 R R 0 J (r ) 2 1 { ( )dV ' J (r ) ( )dV '} v ' v' 4 R R 0 J (r ) 2 1 { d S ' J (r ) ( )dV '} S ' v' 4 R R
例 求电流面密度为 J S ez J S 0 的无限大电流薄板产生的 B 。
解：分析场的分布，取安培环路如图
根据对称性，有 B1 B2 B ，故
0 J S 0 ey x0 2 B e 0 J S 0 x 0 y 2

C
B dl B1l B2l 0 J S 0l
C
21:09:12 9
99
5.2
B 0 J
真空中磁场的基本方程
两边取旋度
2
2、建立方程直接求解
B 0 J
( B) 2 B 0 J
0
B ( B) B
2 B 0 J
直接求解法在理论上可以求出空间磁场分布，但一般 不采用此法(难于求解)，而利用辅助函数求解。 10
B dl B d S J d S I
l S S 0 0
ห้องสมุดไป่ตู้
若电流分布为体电流分布，有 I
21:06:52

C
B dl 0 J dS
S

S
J dS
6
5.2
真空中磁场的基本方程
B （r） = 0 J （r）
恒定磁场的旋度反映了恒定磁场漩涡源（电流） 的分布情况 空间任意点磁场的旋度只与当地的电流密度有关
恒定磁场的散度处处为零，说明恒定磁场是无源场， 不存在磁力线的扩散源和汇集源（自然界中无孤立磁
荷存在）
由磁通连续性定律可知：磁力线是连续的
二、B 的旋度和环流
0 B 4
21:00:58
J (r ) R 0 v' R3 dV 4
1 v' J (r) ( R )dV
S
S面是限定电流分布区域的表面，不会有电流穿过，即 J (r )总是与其法线相垂直，故有
J (r ) S ' R d S ' 0
21:05:29
B
0 4
2 1 J ( r ) ( )dV v ' R
5
5.2
0 B 4
真空中磁场的基本方程
R R R
已知： J (r ) 0
0 B 4
J (r ) V ' ( R )dV '
J (r ) v ' ( R )dV '
4
对上式两边分别取旋度，得
0 B 4
21:02:30
5.2
真空中磁场的基本方程

A dS
J (r ) v ' ( R )dV ' A ( A) 2 A V AdV
0 B 4

v'
1 R 3 0 J (r ) R R R B dV 3
R
1 J (r ) ( )dV 4 v ' R
对上式两边分别取散度，有 0 1 B [ J (r ) ( )]dV 20:23:52 4 v ' R
1
5.2
0 B 4
真空中磁场的基本方程
1 v' [ J (r) ( R )]dV
利用矢量恒等式： ( A B) B A A B 1 1 1 [ J (r ) ( ) ( ) J (r ) J (r ) ( ) R R R
1 已知： ( ) 0 和 J (r ) 0 R
磁场散度定理微分形式 由高斯散度定理，有
B 0
B d S BdV 0
S V
磁通连续性定律（积分形式）
2
20:28:09
5.2
S V
真空中磁场的基本方程
磁通连续性定律（积分形式）
B d S BdV 0