电磁场基本方程

第二章 电磁场基本方程
2.3.3 电磁场的位函数 由表中的麦氏方程组式知▽·B=0。又▽·(▽×A)=0，
因而可引入下述矢量位函数A(简称矢位或磁矢位)：
B Α
即
H A

而由表中的麦氏方程组式(a)知，
E B 0 t



E

A t


0
第二章 电磁场基本方程
➢0 的媒质统称为导电媒质
➢若媒质参数与位置无关，称为均匀媒质； ➢若媒质参数与场强大小无关，称为线性媒质； ➢若媒质参数与场强方向无关，称为各向同性媒质； ➢若媒质参数与场强频率无关，称为非色散媒质； 反之称为色散媒质。
第二章 电磁场基本方程
3 表中各式变形
利用本构关系，可得
E H t
第二章 电磁场基本方程
2.3.2 本构关系和波动方程
1 本构关系 对于简单媒质，其本构关系为
D E( f ) B H(g) J E(h)
对于真空(或空气)
， ，
第二章 电磁场基本方程
2 媒质分类 ➢ 的媒质称为理想介质 ➢ =0 的媒质称为理想导体
第二章 电磁场基本方程
2.1 静态电磁场基本定律和基本场矢量
2.1.1 库仑定律和电场强度
F

r
K
qq r
其中，K是比例常数，r是两
点电荷间的距离，r为从q1指 向 q2 的 单 位 矢 量 。 若 q1 和 q2 同号，该力是斥力，异号时
为吸力。 两点电荷间的作用力
第二章 电磁场基本方程
第二章 电磁场基本方程
2.1.5 两个补充的基本方程 1 基本方程一 静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零:
利用斯托克斯定理得Ñl E dl
E 0
说明： ➢静电场是无旋场即保守场 ➢静电场的保守性质符合能量守恒定律，与重力场 性质相似 ➢物体在重力场中有一定的位能
第二章 电磁场基本方程
dt
第二章 电磁场基本方程
3 定律积分形式
Ñl E

dl


d dt
S
B

dS
说明：
B
S t dS Ñl (v B) dl
➢右边第一项是磁场随时间变化在回路中“感生”的
电动势
➢第二项是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引
起的“动生”电动势。
第二章 电磁场基本方程
H J
D v B
2 电荷守恒定律
➢积分形式
ÑS J

dS


dQ dt
第二章 电磁场基本方程
➢ 微分形式
J v
t
3 微分形式的电流连续性方程
( H ) J
H J v t
H J E t
E v H
E ( E) E ( H ) t
即
E


E t
E E
t
( H ) H

H t
0
第二章 电磁场基本方程

第二章 电磁场基本方程
H为磁场强度，μ是媒质磁导率。在真空中μ＝μ0 ，则
称之为安培环路定律。Ñl H dl I
表明： ➢磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的 电流I ➢计算一些具有对称特征的磁场分布
因为S面是任意取的s (， H所)以dS必S有J dS
H J
第二章 电磁场基本方程
2.1.3 比奥-萨伐定律，磁通量密度
两个载流回路间的作用力
蜒 F
Idl (I 'dl ' r)
l l'
r
r是电流元 I′dl′至Idl的距
离，μ0是真空的磁导率:
Η m
F Ñl Idl B
蜒 B
第二章 电磁场基本方程
2.4 电磁场的边界条件 2.4.1 一般情况
电磁场边界条件
第二章 电磁场基本方程
1 E和H的切向分量边界条件 对此回路应用麦氏旋度方程式，可得
Ñ l
E dl

E l

E
(l)
Etl E2tl


S
B t
dS

0
Ñ l E dl Ht Htl 1
S
D t

dS

J s l
得到E和H的切向分量边界条件为
Et Et H1t H1t Js
第二章 电磁场基本方程
2 D和B的法向分量边界条件 计算穿出体积元ΔS×Δh表面的D，B通量时，考虑ΔS 很小，则穿出侧壁的通量可忽略，从而得
于是有
ÑS D dS D nS D (nS) (Dn Dn )S sS ÑS B dS (Bn B2n )S

(
H
)




J

D t

H J D t
第二章 电磁场基本方程
4 位移电流密度即J d
Jd

D t
应用斯托克斯定理，便得到其积分形式：
说明：
Ñl H

dl

S

J

D t


dS
磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲
面上的全电流。
F q(E v B)
第二章 电磁场基本方程
2.1.4 安培环路定律，磁场强度 对于无限长的载流直导线，若以ρ为半径绕其一周积 分B，可得：
蜒l B dl

l
I
d

I
Ñl B dl பைடு நூலகம்I
在简单媒质中，H由下式定义：
H B Am
第二章 电磁场基本方程
2.2.3 全电流连续性原理
Jt Jc Jv Jd (Jc Jv Jd )
对任意封闭面S有
Ñ S (Jc Jv Jd ) dS V (Jc Jv Jd )dV
即
Ic Iv Id
穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。 2.3 麦克斯韦方程组 2.3.1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式
4
l
I
'dl ' r r

0
4
I 'dl ' r l' r
第二章 电磁场基本方程
矢量B可看作是电流回路 l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的磁场力，表征电流回路l′在其周围建立的磁场特 性，称为磁通量密度或磁感应强度。
N Am

V s m

Wb m

T
磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为
比例常数K与力，电荷及距离所用单位有关。在SI制中，
库仑定律表达为
F

r
qq r
N
式中，q1和q2的单位是库仑(C)，r的单位是米(m)，ε0
是真空的介电常数:


.



F m
第二章 电磁场基本方程
设某点试验电荷q所受到的电场力为F，则该点的电场强
ε是媒质的介电常数 点电荷q有， 电通量为
，在
Dr
真q空中ε=ε0
r
，则对真空中的
ÑS
D dS

q r
r

q
第二章 电磁场基本方程
通量仅取决于点电荷量q，而与所取球面的半径无关。
根据立体角概念可知， ➢当所取封闭面非球面时, 穿过它的电通量将与穿过 一个球面的相同，仍为q ➢如果在封闭面内的电荷不止一个，则利用叠加原理， 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量 1 高斯定理积分形式

蜒l H
dl


s

J

D t


dS
b'
Ñs D dS Qc'
Ñs B dS d'
Ñs J
dS


dQ e'
dt

法拉第定律 全电流定律 高斯定理 磁通连续性定理 电流连续方程
第二章 电磁场基本方程
四个方程的物理意义 ➢时变磁场将激发电场 ➢电流和时变电场都会激发磁场 ➢穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由 电荷电量 ➢穿过任一封闭面的磁通量恒等于零 此外， 麦氏方程组中的四个方程并不都是独立
Dn D2n s ，Bn Bn
第二章 电磁场基本方程
电磁场的边界条件
Et Et
Ht Ht Js
n E E 0
n H H JS
Dn Dn s n D D s
Bn Bn
nB B
F Idl B
运动速度为v的电荷Q表示，
Idl = JAdl
= v Adlv
= Qv
第二章 电磁场基本方程
其中A为细导线截面积，得
F Qv B
对于点电荷q，上式变成
F qv B
通常将上式作为B的定义公式。点电荷q在静电场中所 受的电场力为qE，因此，当点电荷q以速度v在静止电 荷和电流附近时，它所受的总力为
ÑS D dS Q
第二章 电磁场基本方程
2 高斯定理微分形式 若 封 闭 面 所 包 围 的 体 积 内 的 电 荷 是 以 体 密 度 ρv 分 布 的，则所包围的总电量为
Q V vdV
上式对不V 同 D的dVV都V应vd成V立，则两边被积函数必定相等，
于是，
D v
4 定律微分形式
E B t
意义： ➢随时间变化的磁场将激发电场，称该电场为感应电 场，不同于由电荷产生的库仑电场 ➢库仑电场是无旋场即保守场 ➢而感应电场是旋涡场，其旋涡源就是磁通的变化
第二章 电磁场基本方程
2.2.2 位移电流和全电流定律
1 微分形式基本方程
E B t
第二章 电磁场基本方程
本章重点及知识点
➢恒定电流的电场的基本特性 ➢磁感应强度与磁场强度 ➢恒定磁场的基本方程 ➢磁介质中的场方程 ➢自感与互感的计算 ➢磁场能量与能量密度
第二章 电磁场基本方程
本章内容安排
2.1 静态电磁场基本定律和基本场矢量 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 2.3 麦克斯韦方程组 2.4 电磁场的边界条件 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 2.6 唯一性定理
度为
E F V m q
由库仑定律知，在离点电荷q距离为r处的电场强度为
E

r
q r
第二章 电磁场基本方程
2.1.2 高斯定理，电通量密度
除电场强度E外，描述电场的另一个基本量是电通量 密度D，又称为电位移矢量。在简单媒质中，电通量 密度由下式定义:
D ECm
2 基本方程二
静磁场的特性则正好相反，
ÑS B dS 0
说明：
B
➢自然界中并不存在任何单独的磁荷，磁力线总是闭 合的
➢闭合的磁力线穿进封闭面多少条，也必然要穿出同 样多的条数
➢结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零
第二章 电磁场基本方程
2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
2.2.1 法拉第电磁感应定律 1 定律内容 导线回路所交链的磁通量随时间改变时，回路中将感 应一电动势，而且感应电动势正比于磁通的时间变化 率。楞次定律指出了感应电动势的极性，即它在回路 中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻碍磁 通的变化。 2 定律数学表达式 d m
由于▽×▽φ=0，故引入标量位函数φ(简称标位或电
标位):
E A
t
E A
t
因▽×▽×A=▽(▽·A)-▽2A，上式可改写为




A

J


t



A t

A

A t

J





A


t

第二章 电磁场基本方程
麦克斯韦方程组及电流连续性方程
微分形式
E Βa
t
H J Db
t
D vc
B = d
J v e
t
积分形式
蜒l E

dl


S
B t

dS a'
4 波动方程 简单媒质中的有源区域（J ，v 0 )时，
E

E t


J t



v

H

H t

J
称为E和H的非齐次矢量波动方程。其中场强与场源 的关系相当复杂，因此通常都不直接求解这两个方程， 而是引入下述位函数间接地求解E和H。