目录1.1 轮胎侧偏特性介绍 (1)1.2 轮胎纵滑与侧滑下的简化理论模型 (1)1.2.1轮胎坐标系 (1)1.2.2 理论模型推导 (2)1.2.2.1 接地印迹不存在滑移的情况 (4)1.2.2.2 接地印迹存在滑移的情况 (6)1.2.2.3 两种特殊载荷分布函数下的轮胎模型 (9)1.3 轮胎侧偏特性的半经验模型 (12)1.3.1“统一模型”(Unitire Model) (13)1.3.2“魔术模型”（Magic Formula Tire Model） (14)1.4 轮胎的“环模型” (16)1.4.1坐标系、位移和应变 (17)1.4.1.1 坐标系的建立 (17)1.4.1.2 任意点的位移 (18)1.4.1.3 应变－位移关系 (19)1.4.2动力学方程 (22)1.4.2.1 哈密尔顿原理 (22)1.4.2.2 轮辋－轮胎系统的动能 (23)1.4.2.3 非保守力做的功 (24)1.4.2.4保守力做的功 (26)1.4.2.5 环模型的动力学模型 (28)1.4.2.6 复习－复合函数的变分 (29)1.5 基于环模型的“swift模型” (30)简单说明轮胎分析对车辆动力学特性研究中的作用1.1 轮胎侧偏特性介绍（引入为何要介绍复杂的轮胎模型）1、先介绍为何轮胎在车辆动力学特性分析中的重要作用车辆受到的外力，除了空气阻力和重力外，其它的力都通过轮胎作用于车辆，因此轮胎的特性，很大程度上影响着外力对车辆的作用结果，轮胎好比人脚上所穿的鞋，鞋的特性影响着人的行走效果，例如，不能在该穿跑步鞋的时候穿拖鞋。
2、本科阶段所学的知识太过简化，没能反应出真实特性。
1.2 轮胎纵滑与侧滑下的简化理论模型1.2.1轮胎坐标系1、车轮平面，左边的图给出了车轮平面，即垂直于车轮旋转轴的轮胎中分平面；2、X轴，车轮平面与地面的交线，沿车辆前进方向为正向；3、坐标原点O ，X 轴与车轮旋转轴线在地面投影线的交点。
4、Z 轴，过O 点的垂线，向上为正；5、Y 轴，过O 点，垂直于XOZ 的线，方向与X 、Z 轴服从右手螺旋定则。
6、侧偏角α，轮胎运动方向与X 轴的交角；7、车轮外倾角γ，车轮平面与XOZ 平面的交角；1.2.2 理论模型推导轮胎的简化物理模型如图1所示。
假设胎体只能发生y 方向的平移弹性变形，而绕z 轴的转角与沿x 轴的位移均可忽略不计。
yzΩ图1（b ）轮胎接地印迹 为方便推导，将轮胎接地印迹图的坐标变化成如下：图2 新坐标下的轮胎接地印迹图中，V 为地面相对轮胎的速度，其方向与车辆的行驶方向相反。
当车辆往前行驶时，接地印迹上的A 点，将依次经过B 、C ，然后退出接地区。
在制动（或驱动）与侧偏联合工况下，轮胎印迹的变形如图2所示。
在没有侧偏时印迹中心线与OX 轴重合。
当轮胎产生侧偏时，地面相对于轮胎的运动速度v 与轮胎的旋转平面ox 成一个侧偏角α，印迹中心线如ABC 所示。
AB 为附着区，BC 为滑移区。
整个印迹长度为2a 。
胎体在侧向力y P 作用下，产生平移变形：y b byP y C =（1.2.1）其中，by C 为胎体的侧移刚度。
胎面上的一点从A 点开始与地面接触，经时间t 后，滚动到达P 点。
这时，轮胎旋转平面上的对应点，由O 点转动到X 点。
其坐标为：x Rt =Ω （1.2.2）其中，Ω－轮胎旋转角速度；R ——轮胎滚动半径。
为了计算印迹上的力与力矩，必须先计算印迹上各点的各向剪应力()x q x 与()y q x ，而求剪应力则又必须先确定胎面层上的接触印迹内各点的变形。
1）胎面层上接触区的变形0cos cos sin sin x Vt xy Vt tg Vt R t ααααα∆=-⎧⎨∆=⋅==Ω⎩（1.2.3） 式中，0R 为车轮的运动半径。
定义制动滑移率b S 与驱动滑移率d S 为：0000cos cos cos cos cos cos cos b d R t Rt R R x S Vt R t R x Vt x S Vt x αααααααΩ-Ω-∆⎧===⎪Ω⎪⎨-∆⎪==-⎪⎩ 推导得：()()1/1b b b x S x S y xtg S α∆=-⎧⎪⎨∆=-⎪⎩（1.2.4） 为了统一制动与驱动的表达式，这里定义纵向滑移率x S 与侧向滑移率y S 如下（xS与y S 的定义域为-∞+∞:）：()()()()/1cos //11x b b d y b x S S S Vt Rt Rt S S tg S S tg ααα=-=-ΩΩ=-=-=+于是：()()1/1b b x b y x S x S S x y xtg S S x α∆=-=⎧⎪⎨∆=-=⎪⎩（1.2.5）可以看出，x S 与一般文献上定义的滑移率d S 的大小相等，但符号相反。
2）胎面层上接触区的剪应力设胎面材料的x 、y 方向的刚度分别为常数x C 与y C ，则附着区内P 点的相应剪应力为x x x x yy y y q C x C S xq C y C S x =∆=⋅⎧⎪⎨=∆=⋅⎪⎩ （1.2.6） 1.2.2.1 接地印迹不存在滑移的情况注意：所谓接地印迹处没有出现滑移，即表示印迹处的侧向应力<侧向附着力。
如果胎面接地印迹区内无滑移，则式（1.2.6）对整个印迹范围都适用，合成剪应力为：q x ==（1.2.7）其方向可按下式确定：y y y xx xq C S tg q C S θ==可见，在一定的x S 、y S 状态下合成应力q 的大小与x 成正比，其方向与x 无关。
x 、y 方向的切力x P 、y P 可按下式求得：22022022a x xx x x x ay y y y y yF q dx a C S K SF q dx a C S K S ⎧===⎪⎨⎪===⎩⎰⎰ 其中：22x x K a C =，22y y K a C =x K 、y K 分别定义为纵滑刚度和侧滑刚度。
总切向力F的大小为：F==（1.2.8）其方向同样可表示为：y y y y yx x x x xF C S K StgF C S K Sθ===这里定义：无量纲纵向力()/x x zF F Fμ=无量纲侧向力()/y y zF F Fμ=无量纲总切向力()/zF F Fμ=（1.2.9）相对纵滑率()/x x x zK S Fφμ=相对侧滑率()/y y y zK S Fφμ=相对总滑移率φ=其中，zF—轮胎垂直载荷，μ－轮胎与路面之间的摩擦系数所以可得到各切向力的无量纲表达式如下：//x xy yy x y xFFFtg F Fφφφθφφ⎧=⎪=⎪⎪⎨==⎪⎪==⎪⎩（1.2.10）考虑到：cos/xθφφ=，sin/yθφφ=，则x、y向的切向力和总切向力为：//x xy yF FF Fφφφφ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩定义无量纲的相对剪应力()2/zq aq Fμ=，无量纲坐标为/u x a=，则在无滑移条件下，有：2z aq q xF x u μφ=====⋅ （1.2.11） 与：()()()/2cos //2sin /2z x x x z y y z q u F a q q q u F a q q u F a φμθφφφμθφμ⎧=⋅⋅⎪==⋅=⋅⋅⎨⎪==⋅⋅⎩ （1.2.12） 回正力矩可根据印迹上的剪应力x q 与y q 求得：()()()()()22022204/3/3aaz b x x a a x b y x x y y x b y y y x x y b M y y q dx x a q dxF y x S C S dx x a xC S dx F y a S F a F D F D y =-+∆+-=-⋅-⋅⋅+-=-+⋅+⋅=⋅-+⎰⎰⎰⎰ （1.2.13）其中定义：/3x D a =为纵向拖距，4/3y y D a S =⋅为横向拖距。
上式两边除以z P a μ，则得到无量纲回正力矩表达式为：()/b z z z y x x y y M M F a F D F D a μ⎛⎫==⋅-+ ⎪⎝⎭ （1.2.14）其中：/1/3/4/3x x yy y D D a D D a S ⎧==⎪⎨==⋅⎪⎩1.2.2.2 接地印迹存在滑移的情况当接地印迹出现滑移时，根据滑移出现的力学条件可得滑移区内的合成应力表达式()z q x F μ=。
设垂直载荷分布形式的无量纲函数为()u η，则垂直载荷的一般形式为()()()/2z z q u F a u η=⋅ （1.2.15）设起滑点B 的坐标为*x ，对应的无量纲值为**/u x a =，则由变形及刚度特性决定的起滑点B 的总切应力为()*/2z q u F a φμ==⋅⋅ （1.2.16）其应等于由附着条件决定的切应力()()()**/2z z q u F a u η=⋅ （1.2.17） 联立上两式可得()*z q q u μ=进而求得起滑点条件为：()***/2u uu φη⎧=⎪⎨≤⎪⎩ （1.2.18）上式中，由于x 的取值区间为0～2a ，所以u 的取值区间为0～2。
在已知侧偏角α以及车速V时，可求得综合相对滑移率φ=，从而根据上式可以求得起滑点位置*x （或*u ）。
假定滑移区内的切向力方向与附着区内的方向服从相同规律，则接地印迹上的总切向力为()****22/2/2u uu z z uP a qdu a qduF udu F u duμφμη=+=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰其无量纲表达式为：*201/41/2F u m φ=⋅⋅+- （1.2.19） 其中：()*00u m u du η=⎰根据假设的滑移区切向力方向与附着区一致，可得：()()()()()()()()*20*20//41/2///41/2/x x x x y y y y F F u m F F u m φφφφφφφφφφ⎧=⋅=⋅+-⋅⎪⎨=⋅=⋅+-⋅⎪⎩ （1.2.20） 回正力矩z M 可由横向应力与纵向应力对原始印迹中心点的力矩求积得到，其表达式为：()z y x x y b M F D F D y =⋅-+其中，b y 为接地印迹前端点的侧向变形。
无量纲表达式为y x b zz y x z D D y M M F F F a a aa μ⎛⎫==⋅-+ ⎪⎝⎭ （1.2.21）先考虑上式中的第一个分量()()()()()()()()*****20202202*3//2//3/2/ay x y x a y x y y xx ay y z y y xy y z y y uF D x a q dxxq dx x q dx F ax C S dx x F a x dx F aC S x F au u du F aμφφμηφφμηφφ⋅=-=+-⋅=+⋅⋅⋅-⋅=+⋅-⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰两边除以z F a μ⋅，得：()()*31//6/1//2y x y y y F D a u a m F φφφ=+⋅-∆-- （1.2.22）其中，∆为垂直载荷偏距，表达式为：()20az z q xdx a F =-∆⎰()*10u m u u du η=⎰将式（1.2.22）两边除以y P ，并结合式（1.2.20），得：*31*22/61//21/41/2x D u a m a u m φφ+-∆-=-+- （1.2.23） 结论：由于*u 是φ的函数，且1m 与0m 都是*u 的函数，因此在垂直载荷分布函数()u η一定时，/x D a 是综合相对滑移率φ的单变量函数，且随φ而单调下降的。
