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2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析一、选择题1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3. D.4.2.）（π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点A.⎪⎭⎫⎝⎛2,2ππ B.()2,0C.()2,πD.⎪⎭⎫⎝⎛-23,23ππ 3.下列反常积分收敛的是（） A.dx xe x ⎰+∞-0B.dx xe x ⎰+∞-02C.dx x x⎰+∞+021arctanD.dx x x ⎰+∞+0214.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,45.已知积分区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=2πy x |y ,x D ）（，dxdy y x I D ⎰⎰+=221，dxdy y x I D ⎰⎰+=222sin ，(dxdy y x I D)cos 1223⎰⎰+-=，试比较321,,I I I 的大小A.123I I I <<B.321I I I <<C.312I I I <<D.132I I I <<6.已知)()(x g x f 是二阶可导且在a x =处连续，请问)()(x g x f 相切于a 且曲率相等是0)()()(lim2=--→a x x g x f ax 的什么条件？A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件7.设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是A.0B.1C.2D.38.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++B.232221y y y -+C.232221y y y --D.232221y y y ---二、填空题 9.2lim(2)x xx x →∞+=10.曲线sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂12. 设函数ln cos 6y x x π=≤≤（0）的弧长为 13. 已知函数2sin ()xtt f x xdt t=⎰，则10()f x dx =⎰14.已知矩阵110021*******034A -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示A 中(,)i j 元的代数余子式，则1112A A -=三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分）已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f xx ，求的极值并求)()(x f x 'f16.（本题满分10分）求不定积分.dx x x x x ⎰++-+)1()1(6322 17.（本题满分10分）)(x y y =是微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）设平面区域{})x (y y ,x y ,D≤≤≤≤=021x ）（，求D 绕轴旋转一周所得旋转体的体积.18.（本题满分10分） 已知平面区域D 满足()(){}4322y y x|y ,x ≤+，求.dxdy yx yx D⎰⎰++2219.（本题满分10分）x x f S ,N n x n sin e )(-+=∈是的图像与x 轴所谓图形的面积，求n S ，并求.S n n ∞→lim 20.（本题满分11分）已知函数)(y ,x u 满足,yux u y u x u 033222222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂求b ,a 的值，使得在变换by ax y ,x v y ,x u +=)e ()(下，上述等式可化为)(y ,x v 不含一阶偏导数的等式.21.（本题满分11分）已知函数),(y x f 在[]1,0上具有二阶导数，且⎰===11)(,1)1(,0)0(dx x f f f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξf ； （2）存在)1,0(∈η，使得2)(''-<ξf .22.（本题满分11分）已知向量组（Ⅰ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4111α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4012α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=32123a α，（Ⅱ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=3111a β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a 1202β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=33123a β，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将β用321,,ααα线性表示.23.（本题满分11分）已知矩阵相似与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=y B x A 0001001220022122（1）求y x ,，x（2）求可逆矩阵,P 使得B AP P =-12019年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学二）1.C2.C3.D4.D5.A6.C7.A8.C9. 24e 10. 223+π 11. z 12. 3ln 2113.)11(cos 41- 14.4-15.解：当0x >时，()()()()()22ln 2ln 22ln 2=2ln 2xx xx xx f x xeex x x '''===++.当0x <时，()()()e 1e e 1e x x x xf x x x x ''=+=+=+.当=0x 时，()01f =，()22ln 000112ln 0lim lim lim x x x x x x x e x xf x x x ++++→→→--'====-∞， ()00110lim lim 1x x x x xe f e x---→→+-'===. 故()()()22ln 2 0=1e 0x xx x x f x x x ⎧+>⎪'⎨+<⎪⎩. 令()=0f x '，得112,1x e x -==-.（1）当()()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减， 当()()()1,0,x e f x f x -'∈∞>，+单调递增，故()211=ef ee -⎛⎫⎪⎝⎭为极小值.（2）当()()()0,0,x f x f x '∈>-1，单调递增，当()()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减， 故()0=1f 为极大值.（3）当()()(),1,0,x f x f x '∈-∞-<单调递减， 当()()()0,0,x f x f x '∈>-1，单调递增， 故()11=1f e ---+为极小值.16.17.18.()()2333sin 544444443322244444sin 11=sin sin cos 22111cos cos 12cos cos cos 22120r I d rdr d d r d d πθπππππππππθθθθθθθθθθθ==-=--=--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰19.20.解：()(),,ax byu x y v x y e+=2222222222ax byax by ax byax by ax by ax by ax by ax byax by ax by ax byax by u v e ave x xu v e bve y yu v v v e a e a e a ve x x x x u v v v e b e b e b ve y y y y++++++++++++∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂，带入得430340a b +=⎧⎨-=⎩，解得3434a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.21.22.解：()1231232222111101,,,,,10212344+331+3111101011022001111a a a a a a a a αααβββ⎡⎤⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1）当210a -≠，即1a ≠±时，()()123123,,3,,,3r r αααβββ==，此时两个向量组必然等价，且3123=+βααα-.（2）当=1a 时，()123123111101,,,,,011022000000αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时两个向量组等价，()()3123=232+k k k βααα-++-.（3）当=1a -时，()123123111101,,,,,011022000220αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 此时两个向量组不等价.23.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。
西电本校考研真题答案解析介绍：西安电子科技大学（以下简称西电）是中国电子信息行业的摇篮，以培养电子科技人才而闻名。
每年，无数学子为了进入这所学校而进行考研，考试结束后，很多人迫切想要知道考试的答案和解析。
本文将对西电本校考研真题的答案进行解析，帮助考生们更好地了解考试内容。
一、数学题数学一直是考研中的难点，也是很多人担心的科目之一。
以下是2020年西电本校考研数学题的答案解析：1. (题目)解析：这道题是常见的高等数学中的极限题。
首先，我们需要找出函数的极限形式，然后再求解。
通过对输入数据进行变换，我们可以得出极限形式为(极限形式)。
接下来，我们可以使用L'Hospital法则来解。
带入原极限形式并对极限形式进行求导，最后得出极限结果为(极限结果)。
2. (题目)解析：这道题是线性代数中的矩阵和行列式题。
首先，我们可以将题目中的矩阵进行展开，得到一个方程组。
接下来，我们可以使用高斯消元法来求解方程组。
根据高斯消元法的步骤，逐步将方程组化简为简化行阶梯形，然后反向进行回代，最后得出方程组的解为(解)。
二、英语题英语考试是考研中最容易得分的科目之一。
以下是2020年西电本校考研英语题的答案解析：1. (题目)解析：这道题是阅读理解题。
首先，我们需要仔细阅读文章并理解文章主题。
然后，我们可以通过查找关键词来定位问题的答案。
在文章的第(定位词所在段落)段中，我们可以找到与问题相关的信息。
根据文章内容，我们可以得出答案为(答案)。
2. (题目)解析：这道题是完形填空题。
首先，我们需要通读整篇文章，了解文章的大意。
然后，我们可以根据文章上下文和语法规则，以及选项的意思进行填空。
根据选项的意思和句子的逻辑关系，我们可以最终确定正确答案为(答案)。
三、专业课题专业课题是考研中最具挑战性的科目之一。
以下是2020年西电本校考研专业课题的答案解析：1. (题目)解析：这道题涉及到电子工程中的某个知识点。
首先，我们需要对题目中涉及到的概念进行理解和分析。
2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析一、选择题1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3. D.4.2.）（π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点A.⎪⎫⎝⎛2,2ππ B.()2,0C.(π3.A.⎰0C.⎰4.5.已，I 3=A.3I C.2I 6.0的什么条件？A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件7.设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是 A.0 B.1 C.2D.38.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T的规范形为A.232221y y y ++B.232221y y y -+C.232221y y y --D.232221y y y ---二、填空题 9.2lim(2)x xx x →∞+=10.曲线sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为11.设函数()f u 可导，2()y z yf x =，则2z zxy x y∂∂+=∂∂12.13. 14.15.16.17.(y y =（1）求y （2）设平面区域{})x (y y ,x y ,D≤≤≤≤=021x ）（，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.18.（本题满分10分） 已知平面区域D 满足()(){}4322y y x|y ,x ≤+，求.dxdy yx yx D⎰⎰++2219.（本题满分10分）x x f S ,N n x n sin e )(-+=∈是的图像与x 轴所谓图形的面积，求n S ，并求.S n n ∞→lim 20.（本题满分11分）已知函数)(y ,x u 满足,yu x u y u x u 033222222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂求b,a 的值，使得在变换by ax y ,x v y ,x u +=)e ()(下，上述等式可化为)(y ,x v 不含一阶偏导数的等式.21.（本题满分11分）已知函数),(y x f 在[]1,0上具有二阶导数，且⎰===11)(,1)1(,0)0(dx x f f f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξf ； （2）存在)1,0(∈η，使得2)(''-<ξf . 22.（Ⅱ）1ββ用21,,αα23.已知矩阵（1）求x ,（21.C 15.解：当0x >时，()()()()()22ln 2ln 22ln 2=2ln 2xx xx xx f x xeex x x '''===++.当0x <时，()()()e 1e e 1e x x x xf x x x x ''=+=+=+.当=0x 时，()01f =，()22ln 000112ln 0lim lim lim x x x x x x x e x xf x x x++++→→→--'====-∞，()00110lim lim 1x xx x xe f e x ---→→+-'===.故()()()22ln 2 0=1e 0x xx x x f x x x ⎧+>⎪'⎨+<⎪⎩. 令()=0f x '，得112,1x e x -==-.（1）当()()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减， 当()()()1,0,x e f x f x -'∈∞>，+单调递增，故(f （2当x 故(f （3当x 故(f 16.17. 18.19.20.2222u x u y u x u y ∂=∂∂=∂∂∂∂∂带入得430340a b +=⎧⎨-=⎩，解得3434a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.21.22.解：（1）当210a -≠，即1a ≠±时，()()123123,,3,,,3r r αααβββ==，此时两个向量组必然等价，且3123=+βααα-.（2）当=1a 时，()123123111101,,,,,011022000000αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时两个向量组等价，()()3123=232+k k k βααα-++-.（3）当=1a -时，()123123111101,,,,,011022000220αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 此时两个向量组不等价.23.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=2α⎛⎫ ⎪-；2=1λ-，22=1α-⎛⎫ ⎪；3=2λ-，31=2α-⎛⎫⎪.B 1=2λ所以其中。
西安电子科技大学2018考研大纲：602高等数出国留学考研网为大家提供西安电子科技大学2018考研大纲：602高等数学，更多考研资讯请关注我们网站的更新!西安电子科技大学2018考研大纲：602高等数学602高等数学复习提纲一、课程考试内容1、函数与极限数列的极限，函数的极限，极限存在准则，两个重要极限，函数的连续性与间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
2、导数与微分导数概念，函数的四则运算求导法则，反函数的导数，复合函数求导法则，高阶导数，隐函数的导数，参数方程所确定的函数的导数，函数的微分。
3、中值定理与导数应用四大中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值和最值，曲线的凹凸与拐点。
4、不定积分不定积分的概念与性质，换元积分法，分部积分法，几种特殊类型函数的积分。
5、定积分及其应用定积分的概念，定积分的性质和积分中值定理，微积分基本公式，定积分的换元法，定积分的分部积分法，广义积分;定积分的元素法，平面图形的面积和体积，平面曲线的弧长，功、水压力和引力。
6、空间解析几何与向量代数空间直角坐标系，向量及其加减法，向量与数的乘法，数量积和向量积;曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程，二次曲面。
7、多元函数微分法及其应用多元函数的基本概念，偏导数，全微分及其应用，多元复合函数的求导法则，隐函数的求导;微分法在几何上的应用，方向导数与梯度，多元函数的极值及其求法。
8、重积分二重积分的概念与性质，二重积分的计算方法;三重积分的概念及其计算法，重积分的应用。
9、曲线积分与曲面积分对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,格林公式,平面上曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微分求积;对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,高斯公式，通量与散度,斯托克斯公式,环流量与旋度。
10、无穷级数常数项级数的概念和性质,常数项级数的审敛法;幂级数,函数展开成幂级数,傅里叶级数,正弦级数和余弦级数,周期为2l的周期函数的傅里叶级数。
2019年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点是（ ） （A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ-（D ）33(,)22ππ- 3．下列反常积分发散的是 （ ） （A ）x xe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰(C ）20arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x+∞+⎰ 4．已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()x xy C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,45．已知平面区域{(,)|}2D x y x y π=+≤，记1DI =，2DI =⎰⎰，3(1DI dxdy =-⎰⎰ ，则 （ ）（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2()()lim0()x af xg x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．()20lim 2xxx x →+= ．10．曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 的截距为 ．11.设函数()f u 可导，2y z yf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂ . 12．曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 ．13．已知函数21sin ()xt f x xdt t=⎰，则10()f x dx =⎰ ．14．已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xx xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．16．（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰．17．（本题满分10分）设函数()y x是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =的特解．（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 18．（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤，计算二重积分D．19．（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线求曲线sin (0)xy e x x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积，求n S ，并求lim .n n S →∞20．（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式22222230u u ux y y ∂∂∂-+=∂∂∂．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．21．（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，1()1f x dx =⎰，证明：（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-．． 22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．23．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．2019年考研数学二真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点是（ ）（A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ- （D ）33(,)22ππ-【答案】（D ）【详解】sin 2cos y x x x =+，cos sin y x x x '=-，sin y x x ''=-，sin cos y x x x '''=--； 令sin 0y x x ''=-=得120,x x π==，且()0f π'''≠，所以(,2)π-是曲线的拐点； 而对于点(0,0)，由于(0)0f '''=，而(4)(0)0f≠，所以不是曲线的拐点．3．下列反常积分发散的是 （ ）（A ）x xe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰(C ）20arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x+∞+⎰【答案】（D ）【详解】（1）当x →+∞时，2()1x f x x =+是关于1x的一阶无穷小，当然201x dx x +∞+⎰发散； （2）用定义：20201ln(1)|12x dx x x +∞+∞=+=+∞+⎰，当然201x dx x+∞+⎰发散． 4．已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()xx y C C x ee -=++，则,,a b c 依次为（ ）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根，从而确定2,1a b ==；（2）显然，*xy e =是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c =．5．已知平面区域{(,)|}2D x y x y π=+≤，记1DI =，2DI =⎰⎰，3(1DI dxdy =-⎰⎰ ，则 （ ）（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 【答案】（A ）【详解】（1）显然在区域D 22202x y π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，此时由结论当0x >时sin x x >知道≤12I I >；（2）当0x >时，令()1cos sin f x x x =--，则()sin cos f x x x '=-，()sin cos f x x x ''=+； 令()0f x '=得到在(0,)2π唯一驻点4x π=，且04f π⎛⎫''>⎪⎝⎭，也就是()1cos sin f x x x =--在4x π=取得极小值04f π⎛⎫<⎪⎝⎭，在0,2x x π==同时取得在[0,]2π上的最大值(0)()02f f π==，也就有了结论，当(0,)2x π∈时，1cos sin x x -<，也就得到了32I I <；由（1）、（2）可得到321I I I <<．6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2()()lim0()x af xg x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】（A ） 【详解】充分性：（1）当2()()lim0()x af xg x x a →-=-进，由洛必达法则，2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''===-⇒=-- 也就是两条曲线在x a =对应的点处相切； （2）2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''''''===-⇒=--由曲率公式k =x a =对应的点处曲率相等．必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到()()f a g a ''=，但在相切前提下，曲率相等，只能得到()()f a g a ''''=，不能确定()()f a g a ''''=，当然得不到2()()lim0()x af xg x x a →-=-．7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】（A ）【详解】线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量，也就是4()2()213r A r A n -=⇒=<-=， 所以(*)0r A =．8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．()20lim 2xxx x →+= ．【答案】24e解： ()()02(21)22lim2(1ln 2)20lim 2lim 1214x x x x x x xxx x x x ee e →+-+→→+=++-===10．曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 的截距为 ．【答案】322π+ 【详解】32sin ,|11cos t dy t dy dx t dx π===--，所以切线方程为331(1)222y x x ππ=---=-++，在y 的截距为322π+． 11.设函数()f u 可导，2y z yf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂ . 【答案】22z zy x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭【详解】3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂''=-=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22z z y x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭．12．曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 ．【答案】1ln 32【详解】sec ds xdx ===66001sec ln(sec tan )|ln 3.2s xdx x x ππ==+=⎰13．已知函数21sin ()xt f x x dt t=⎰，则10()f x dx =⎰ ．【答案】1(cos11)4-． 【详解】（1）用定积分的分部积分：2111112000102112201021121220100210sin ()()|()()sin 1sin ()sin 21sin 11|sin sin 22211cos |(cos11)44xx x t f x dx xf x xf x dx x dt dx x x dxtt dt dx x x dxt t x dt x x dx x x dx t x '=-=--=--=--=-==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）转换为二重积分：22211111120010000sin sin sin 11()sin (cos11)24x t x t t t f x dx x dt dx xdx dt dt xdx t t dt t t t ⎛⎫==-=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰14．已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ． 【答案】4-【详解】111211121314110021110043221034A A A A A A ----=-++==---．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xx xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．【详解】当0x >时，22ln ()xx x f x xe ==，2()2(ln 1)xf x x x '=+；当0x <时，()1xf x xe =+，()(1)xf x x e '=+；在0x =处，22000()(0)12(ln 1)(0)lim lim lim 1x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞，所以()f x 在0x =处不可导．综合上述：22(ln 1),0()(1),0x xx x x f x x e x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩； 令()0f x '=得到1211,x x e=-=． 当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，当10x e <<时，()0f x '<，当1x e>时，()0f x '>； 故11x =-是函数的极小值点，极小值为1(1)1f e --=-；0x =是函数的极大值点，极大值为(0)1f =；21x e=是函数的极小值点，极小值为21()e f e e -=．16．（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰．【详解】22222223623213(1)2ln 1(1)(1)1(1)11132ln 1ln(1)1x x d x x dx dx x x x x x x x x x x x x x x C x ⎛⎫++++=-++=---+ ⎪-++--++-++⎝⎭=---++++-⎰⎰⎰17．（本题满分10分）设函数()y x是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程0y xy '-=的通解：22x y Ce =，其中C 为任意常数； 再用常数变易法求22x y xy e'-=通解，设22()x y C x e=为其解，代入方程，得2222(),()x x C x e e C x ''==，1()C x C ==，也就是通解为：221)x y C e =+把初始条件(1)y =10C =，从而得到22().x y x xe =（2）旋转体的体积为2222411()()2x x V y x dx xe dx e e πππ===-⎰⎰．18．（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤，计算二重积分D．【详解】显然积分区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤关于y 轴对称，由对称性，显然0D=；233sin 5440441sin sin 2120DDd r dr d ππθππθθθθ====⎰⎰⎰ 19．（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线求曲线sin (0)xy ex x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积，求n S ，并求lim .n n S →∞【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k n π==L 当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k xk k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为0sin n x n S e xdx π-=⎰．当n 为奇数时，(21)22221022022002(1)2222(1)20sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)(1)22121nnn k k xxx n k k k k nnk k k k n n k n k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e e e πππππππππππππππππππππ+++---++==-----==-+-----+--===-=+++-+=+=+=---∑∑⎰⎰⎰∑∑∑同理：(2)22011sin (1)21n xn n e S exdx e eππππ----+==--⎰显然，有21211lim lim 21n n n n e S S e ππ+-→∞→∞+==-．所以11lim 21n n e S e ππ-→∞+=-．20．（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式22222230u u ux y y ∂∂∂-+=∂∂∂．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．【详解】在变换(,)(,)ax byu x y v x y e+=之下(,)ax byax by u v e av x y e x x++∂∂=+∂∂，(,),ax by ax by u v e bv x y e y y ++∂∂=+∂∂ 222222(,)ax by ax byax by u v v e a e a v x y e x x x+++∂∂∂=++∂∂∂， 222222(,)ax by ax byax by u v v e b e b v x y e y y y +++∂∂∂=++∂∂∂； 把上述式子代入关系式22222230u u ux y y∂∂∂-+=∂∂∂，得到222222224(34)(223)(,)0v v v va b a b b v x y x y x y∂∂∂∂-++-+-+=∂∂∂∂ 根据要求，显然当30,4a b ==时，可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式． 21．（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，1()1f x dx =⎰，证明：（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-． 证明 （1）令0()()xx f t dt Φ=⎰，则1(0)0,(1)()1f x dx Φ=Φ==⎰，则由于()f x 在[]0,1连续，则()x Φ在[]0,1上可导，且()()x f x 'Φ=，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1)ξ∈，使得()(1)(0)ξ'Φ=Φ-Φ，也就是1101()()(1)f x dx f f ξ===⎰；对()f x 在()1,1ξ上用罗尔定理 ，则至少存在一点1(,1)(0,1)ξξ∈⊂，使得()0f ξ'=；（2）令2()()F x f x x =+，则显然，()F x 在[]0,1具有二阶导数，且211(0)0,(1)2,()1F F F ξξ===+．对()F x 分别在[][]110,,,1ξξ上用拉格朗日中值定理，至少存在一点11(0,)ηξ∈，使得211111()(0)1()0F F F ξξηξξ-+'==-； 至少存在一点21(,1)ηξ∈，使得1211()(1)()11F F F ξηξξ-'==+-；对()()2F x f x x ''=-在[]12,ηη上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点12(,)(0,1)ηηη∈⊂，使得211212111()()()0F F F ηηξηηηηη-''-''==<--，也就是()2f η''<-．22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．【详解】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==1231232222111101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-+----⎝⎭⎝⎭（1）当1a =时，显然， 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．此时，123311111023(,,;)0112011200000000αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也就是3123(23)(2)k k k βααα=-++-+，其中k 为任意常数；（2）当1a ≠时，继续进行初等行变换如下：12312322111101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-+⎝⎭⎝⎭显然，当1a ≠-且1a ≠时，123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==，同时()123101101101,,02202201111101001a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123(,,)3r βββ=，也就是 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．这时，3β可由123,,ααα线性表示，表示法唯一：3123βααα=-+．23．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A B trA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=．。
2019考研数学二真题及答案(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2019考研数学二真题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是 同阶无穷小量，则k=（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ）A 、,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。
故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）A 、x xe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201xdx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xe dx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛； C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。
西安电子科技大学高数期末试题1. 闭卷考试，考试时间120分钟；2.共六大题，满分100分；3.考试日期：2019.12一、单项选择题（每小题4分，共16分）1. 曲线y =y)-ln(x +sin(xy)在（1,0）处的切线方程是（ ）.(A)y=x -1 (B)x=y -1 (C)y=1-x (D)x=1-y2.y=x 2+x(x<0)上曲率为22的点的坐标是（ ）. (A)（-3,6） （B ）（-1,0） （C ）（-4,12） (D ）（-2,2）3.极限=+++∞→n n n n n n 1222])1)21()11ln[(lim （ （ ）. （A ）⎰212ln xdx （B ）⎰21ln 2xdx （C ）⎰+21)1ln(2dx x （D ）⎰+212)1(ln dx x 4.设C 为任意常数，则微分方程0=+yx dx dy 的通解是（ ）. （A ）222C y x =+ （B ）222C y x =- （C ）C y x 222=- （D ）Cx y x 222=+二、填空题（每小题4分，共24分）1.极限=--→xx e e xx x sin lim sin 0__________. 2.曲线56323-+-=x x x y 的拐点为___________.3.不定积分⎰=---dx x x x 2152___________. 4.以曲线])1,0[(∈+=x x e y x 为曲边绕x 轴旋转一周所得立体的体积V=_________.5.若⎰+-=1032)(1)(dx x f x x x f ，则⎰=10)(dx x f ________. 6.星形线{,33cos sin t x t y ==在第一象限（0≤t ≤2π）的弧长为__________. 三、计算题（每小题7分，共35分） 1.已知⎰==x x e x f ux xf dt t f 0)(),()(且，求极限u x +→0lim .2. 设)(x f 的一个原函数为)1ln(2x x ++，求⎰'dx x f x )(.3. 计算由函数x x x f 8cos )(=，直线π2=x 以及两个坐标轴在第一象限所围图形的面积.4.已知⎰+∞=02sin πdx x x ，求⎰∞+022.sin dx x x5.求微分方程0103=-'-''y y y 满足初值条件10)0(2)0(='=y y 和的特解.四、（8分）设函数)x （ϕ连续，2019)(lim )()(010==→⎰x x dt xt x f x ϕϕ，且，求).()(x f x f '和五、（9分）求微分方程22y xy y x =+'满足初始条件1)1(=y 的特解.六、（8分）设函数)(x f 在[0,1]上具有二阶导数且)(x f ''≤0，⎰-=10||)()(dy y x y f x F ，其中0≤x ≤1，证明（1）⎰''=102)()2();(21)(dx x f x F x f ).31(f。
2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析一、选择题1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3. D.4.2.）（π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点A.⎪⎫⎝⎛2,2ππ B.()2,0C.(π3.A.⎰0C.⎰4.5.已，I 3=A.3I C.2I 6.0的什么条件？A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件7.设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是 A.0 B.1 C.2D.38.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T的规范形为A.232221y y y ++B.232221y y y -+C.232221y y y --D.232221y y y ---二、填空题 9.2lim(2)x xx x →∞+=10.曲线sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为11.设函数()f u 可导，2()y z yf x =，则2z zxy x y∂∂+=∂∂12.13. 14.15.16.17.(y y =（1）求y （2）设平面区域{})x (y y ,x y ,D≤≤≤≤=021x ）（，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.18.（本题满分10分） 已知平面区域D 满足()(){}4322y y x|y ,x ≤+，求.dxdy yx yx D⎰⎰++2219.（本题满分10分）x x f S ,N n x n sin e )(-+=∈是的图像与x 轴所谓图形的面积，求n S ，并求.S n n ∞→lim 20.（本题满分11分）已知函数)(y ,x u 满足,yu x u y u x u 033222222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂求b,a 的值，使得在变换by ax y ,x v y ,x u +=)e ()(下，上述等式可化为)(y ,x v 不含一阶偏导数的等式.21.（本题满分11分）已知函数),(y x f 在[]1,0上具有二阶导数，且⎰===11)(,1)1(,0)0(dx x f f f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξf ； （2）存在)1,0(∈η，使得2)(''-<ξf . 22.（Ⅱ）1ββ用21,,αα23.已知矩阵（1）求x ,（21.C 15.解：当0x >时，()()()()()22ln 2ln 22ln 2=2ln 2xx xx xx f x xeex x x '''===++.当0x <时，()()()e 1e e 1e x x x xf x x x x ''=+=+=+.当=0x 时，()01f =，()22ln 000112ln 0lim lim lim x x x x x x x e x xf x x x++++→→→--'====-∞，()00110lim lim 1x xx x xe f e x ---→→+-'===.故()()()22ln 2 0=1e 0x xx x x f x x x ⎧+>⎪'⎨+<⎪⎩. 令()=0f x '，得112,1x e x -==-.（1）当()()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减， 当()()()1,0,x e f x f x -'∈∞>，+单调递增，故(f （2当x 故(f （3当x 故(f 16.17. 18.19.20.2222u x u y u x u y ∂=∂∂=∂∂∂∂∂带入得430340a b +=⎧⎨-=⎩，解得3434a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.21.22.解：（1）当210a -≠，即1a ≠±时，()()123123,,3,,,3r r αααβββ==，此时两个向量组必然等价，且3123=+βααα-.（2）当=1a 时，()123123111101,,,,,011022000000αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时两个向量组等价，()()3123=232+k k k βααα-++-.（3）当=1a -时，()123123111101,,,,,011022000220αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 此时两个向量组不等价.23.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=2α⎛⎫ ⎪-；2=1λ-，22=1α-⎛⎫ ⎪；3=2λ-，31=2α-⎛⎫⎪.B 1=2λ所以其中。
2019年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点是（ ） （A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ-（D ）33(,)22ππ- 3．下列反常积分发散的是 （ ） （A ）x xe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰(C ）20arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x+∞+⎰ 4．已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()x xy C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,45．已知平面区域{(,)|}2D x y x y π=+≤，记1DI =，2DI =⎰⎰，3(1DI dxdy =-⎰⎰ ，则 （ ）（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2()()lim0()x af xg x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．()20lim 2xxx x →+= ．10．曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 的截距为 ．11.设函数()f u 可导，2y z yf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂ . 12．曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 ．13．已知函数21sin ()xt f x xdt t=⎰，则10()f x dx =⎰ ．14．已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xx xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．16．（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰．17．（本题满分10分）设函数()y x是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =的特解．（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 18．（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤，计算二重积分D．19．（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线求曲线sin (0)xy e x x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积，求n S ，并求lim .n n S →∞20．（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式22222230u u ux y y ∂∂∂-+=∂∂∂．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．21．（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，1()1f x dx =⎰，证明：（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-．． 22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．23．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．2019年考研数学二真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点是（ ）（A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ- （D ）33(,)22ππ-【答案】（D ）【详解】sin 2cos y x x x =+，cos sin y x x x '=-，sin y x x ''=-，sin cos y x x x '''=--； 令sin 0y x x ''=-=得120,x x π==，且()0f π'''≠，所以(,2)π-是曲线的拐点； 而对于点(0,0)，由于(0)0f '''=，而(4)(0)0f≠，所以不是曲线的拐点．3．下列反常积分发散的是 （ ）（A ）x xe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰(C ）20arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x+∞+⎰【答案】（D ）【详解】（1）当x →+∞时，2()1x f x x =+是关于1x的一阶无穷小，当然201x dx x +∞+⎰发散； （2）用定义：20201ln(1)|12x dx x x +∞+∞=+=+∞+⎰，当然201x dx x+∞+⎰发散． 4．已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()xx y C C x ee -=++，则,,a b c 依次为（ ）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根，从而确定2,1a b ==；（2）显然，*xy e =是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c =．5．已知平面区域{(,)|}2D x y x y π=+≤，记1DI =，2DI =⎰⎰，3(1DI dxdy =-⎰⎰ ，则 （ ）（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 【答案】（A ）【详解】（1）显然在区域D 22202x y π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，此时由结论当0x >时sin x x >知道≤12I I >；（2）当0x >时，令()1cos sin f x x x =--，则()sin cos f x x x '=-，()sin cos f x x x ''=+； 令()0f x '=得到在(0,)2π唯一驻点4x π=，且04f π⎛⎫''>⎪⎝⎭，也就是()1cos sin f x x x =--在4x π=取得极小值04f π⎛⎫<⎪⎝⎭，在0,2x x π==同时取得在[0,]2π上的最大值(0)()02f f π==，也就有了结论，当(0,)2x π∈时，1cos sin x x -<，也就得到了32I I <；由（1）、（2）可得到321I I I <<．6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2()()lim0()x af xg x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】（A ） 【详解】充分性：（1）当2()()lim0()x af xg x x a →-=-进，由洛必达法则，2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''===-⇒=-- 也就是两条曲线在x a =对应的点处相切； （2）2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''''''===-⇒=--由曲率公式k =x a =对应的点处曲率相等．必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到()()f a g a ''=，但在相切前提下，曲率相等，只能得到()()f a g a ''''=，不能确定()()f a g a ''''=，当然得不到2()()lim0()x af xg x x a →-=-．7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】（A ）【详解】线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量，也就是4()2()213r A r A n -=⇒=<-=， 所以(*)0r A =．8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．()20lim 2xxx x →+= ．【答案】24e解： ()()02(21)22lim2(1ln 2)20lim 2lim 1214x x x x x x xxx x x x ee e →+-+→→+=++-===10．曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 的截距为 ．【答案】322π+ 【详解】32sin ,|11cos t dy t dy dx t dx π===--，所以切线方程为331(1)222y x x ππ=---=-++，在y 的截距为322π+． 11.设函数()f u 可导，2y z yf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂ . 【答案】22z zy x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭【详解】3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂''=-=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22z z y x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭．12．曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 ．【答案】1ln 32【详解】sec ds xdx ===66001sec ln(sec tan )|ln 3.2s xdx x x ππ==+=⎰13．已知函数21sin ()xt f x x dt t=⎰，则10()f x dx =⎰ ．【答案】1(cos11)4-． 【详解】（1）用定积分的分部积分：2111112000102112201021121220100210sin ()()|()()sin 1sin ()sin 21sin 11|sin sin 22211cos |(cos11)44xx x t f x dx xf x xf x dx x dt dx x x dxtt dt dx x x dxt t x dt x x dx x x dx t x '=-=--=--=--=-==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）转换为二重积分：22211111120010000sin sin sin 11()sin (cos11)24x t x t t t f x dx x dt dx xdx dt dt xdx t t dt t t t ⎛⎫==-=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰14．已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ． 【答案】4-【详解】111211121314110021110043221034A A A A A A ----=-++==---．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xx xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．【详解】当0x >时，22ln ()xx x f x xe ==，2()2(ln 1)xf x x x '=+；当0x <时，()1xf x xe =+，()(1)xf x x e '=+；在0x =处，22000()(0)12(ln 1)(0)lim lim lim 1x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞，所以()f x 在0x =处不可导．综合上述：22(ln 1),0()(1),0x xx x x f x x e x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩； 令()0f x '=得到1211,x x e=-=． 当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，当10x e <<时，()0f x '<，当1x e>时，()0f x '>； 故11x =-是函数的极小值点，极小值为1(1)1f e --=-；0x =是函数的极大值点，极大值为(0)1f =；21x e=是函数的极小值点，极小值为21()e f e e -=．16．（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰．【详解】22222223623213(1)2ln 1(1)(1)1(1)11132ln 1ln(1)1x x d x x dx dx x x x x x x x x x x x x x x C x ⎛⎫++++=-++=---+ ⎪-++--++-++⎝⎭=---++++-⎰⎰⎰17．（本题满分10分）设函数()y x是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程0y xy '-=的通解：22x y Ce =，其中C 为任意常数； 再用常数变易法求22x y xy e'-=通解，设22()x y C x e=为其解，代入方程，得2222(),()x x C x e e C x ''==，1()C x C ==，也就是通解为：221)x y C e =+把初始条件(1)y =10C =，从而得到22().x y x xe =（2）旋转体的体积为2222411()()2x x V y x dx xe dx e e πππ===-⎰⎰．18．（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤，计算二重积分D．【详解】显然积分区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤关于y 轴对称，由对称性，显然0D=；233sin 5440441sin sin 2120DDd r dr d ππθππθθθθ====⎰⎰⎰ 19．（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线求曲线sin (0)xy ex x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积，求n S ，并求lim .n n S →∞【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k n π==L 当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k xk k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为0sin n x n S e xdx π-=⎰．当n 为奇数时，(21)22221022022002(1)2222(1)20sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)(1)22121nnn k k xxx n k k k k nnk k k k n n k n k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e e e πππππππππππππππππππππ+++---++==-----==-+-----+--===-=+++-+=+=+=---∑∑⎰⎰⎰∑∑∑同理：(2)22011sin (1)21n xn n e S exdx e eππππ----+==--⎰显然，有21211lim lim 21n n n n e S S e ππ+-→∞→∞+==-．所以11lim 21n n e S e ππ-→∞+=-．20．（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式22222230u u ux y y ∂∂∂-+=∂∂∂．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．【详解】在变换(,)(,)ax byu x y v x y e+=之下(,)ax byax by u v e av x y e x x++∂∂=+∂∂，(,),ax by ax by u v e bv x y e y y ++∂∂=+∂∂ 222222(,)ax by ax byax by u v v e a e a v x y e x x x+++∂∂∂=++∂∂∂， 222222(,)ax by ax byax by u v v e b e b v x y e y y y +++∂∂∂=++∂∂∂； 把上述式子代入关系式22222230u u ux y y∂∂∂-+=∂∂∂，得到222222224(34)(223)(,)0v v v va b a b b v x y x y x y∂∂∂∂-++-+-+=∂∂∂∂ 根据要求，显然当30,4a b ==时，可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式． 21．（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，1()1f x dx =⎰，证明：（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-． 证明 （1）令0()()xx f t dt Φ=⎰，则1(0)0,(1)()1f x dx Φ=Φ==⎰，则由于()f x 在[]0,1连续，则()x Φ在[]0,1上可导，且()()x f x 'Φ=，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1)ξ∈，使得()(1)(0)ξ'Φ=Φ-Φ，也就是1101()()(1)f x dx f f ξ===⎰；对()f x 在()1,1ξ上用罗尔定理 ，则至少存在一点1(,1)(0,1)ξξ∈⊂，使得()0f ξ'=；（2）令2()()F x f x x =+，则显然，()F x 在[]0,1具有二阶导数，且211(0)0,(1)2,()1F F F ξξ===+．对()F x 分别在[][]110,,,1ξξ上用拉格朗日中值定理，至少存在一点11(0,)ηξ∈，使得211111()(0)1()0F F F ξξηξξ-+'==-； 至少存在一点21(,1)ηξ∈，使得1211()(1)()11F F F ξηξξ-'==+-；对()()2F x f x x ''=-在[]12,ηη上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点12(,)(0,1)ηηη∈⊂，使得211212111()()()0F F F ηηξηηηηη-''-''==<--，也就是()2f η''<-．22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．【详解】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==1231232222111101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-+----⎝⎭⎝⎭（1）当1a =时，显然， 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．此时，123311111023(,,;)0112011200000000αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也就是3123(23)(2)k k k βααα=-++-+，其中k 为任意常数；（2）当1a ≠时，继续进行初等行变换如下：12312322111101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-+⎝⎭⎝⎭显然，当1a ≠-且1a ≠时，123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==，同时()123101101101,,02202201111101001a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123(,,)3r βββ=，也就是 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．这时，3β可由123,,ααα线性表示，表示法唯一：3123βααα=-+．23．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A B trA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=．。
