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![同济大学《高等数学》[上册]的答案解析](https://img.taocdn.com/s1/m/e852866ba5e9856a561260bf.png)
《高等数学》考研同济大学数学系2021考研真题库第一部分 考研真题精选向量代数与空间解析几何填空题（把答案填在题中横线上）点（2，1，0）到平面3x ＋4y ＋5z ＝0的距离d ＝______。
[数一2006研]【答案】【解析】由点到平面的距离公式多元函数微分法及其应用一、选择题1设函数f （x ，y ）在点（0，0）处可微，f （0，0）＝0，，且非零向量d →与n →垂直，则（ ）。
[数一2020研]A ．存在B ．存在C ．存在D ．存在【答案】A 查看答案【解析】∵f （x ，y ）在（0，0）处可微，f （0，0）＝0，∴；即。
∵，∴存在。
∴选A项。
2关于函数给出下列结论①∂f/∂x|（0，0）＝1②∂2f/∂x∂y|（0，0）＝1③④正确的个数为（）。
[数二2020研]A．4B．3C．2D．1【答案】B查看答案【解析】①因，故①正确。
②因，先求f x′（0，y），而当y≠0时，不存在；当y＝0时，；综上可知，f x′（0，y）不存在。
故∂2f/∂x∂y|（0，0）不存在，因此②错误。
③当xy≠0时，，当（x，y）沿着y轴趋近于（0，0）点时，；当（x，y）沿着x轴趋近于（0，0）点时，；综上可知，，故③正确。
④当y＝0时，；当y≠0时，，故，则，故④正确。
综上，正确个数为3。
故应选B。
3函数f （x ，y ，z ）＝x 2y ＋z 2在点（1，2，0）处沿向量u →＝（1，2，2）的方向导数为（ ）。
[数一2017研] A ．12 B ．6 C ．4 D ．2【答案】D 查看答案【解析】计算方向余弦得：cos α＝1/3，cos β＝cos γ＝2/3。
偏导数f x ′＝2xy ，f y ′＝x 2，f z ′＝2z 。
得∂f/∂u ＝f x ′cos α＋f y ′cos β＋f z ′cos γ＝4·（1/3）＋1·（2/3）＋0·（2/3）＝2。
5.2 课后习题详解习题5-1 定积分的概念与性质1．利用定积分定义计算由抛物线y ＝x 2＋1，两直线x ＝a 、x ＝b （b ＞a ）及x 轴所围成的图形的面积．解：因为函数f(x)＝x 2＋1在区间[a ，b]上连续，所以函数可积，为计算方便，不妨把[a ，b]分成n 等份，则分点为每个小区间长度为取ξi 为小区间的右端点x i ，则当n→∞时，上式极限为即为所求图形的面积．2．利用定积分定义计算下列积分：解：因为被积函数在积分区间上连续，所以把积分区间分成n等份，并取ξi为小区间的右端点，得到（1）（2）3．利用定积分的几何意义，证明下列等式：证：（1）根据定积分的几何意义，定积分表示由直线y＝2x、x＝1及x轴围成的图形的面积，该图形是底边长为1、高为2的三角形，因此面积为1，即（2）根据定积分的几何意义，定积分表示的是由曲线以及x轴、y轴围成的在第I象限内的图形面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有（3）因为函数y＝sinx在区间[0，π]上非负，在区间[－π，0]上非正．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴所围成的图形D1的面积减去曲线y＝sinx（x∈[－π，0]）与x轴所围成的图形D2的面积，显然图形D1与D2的面积是相等的，所以有（4）因为函数y＝cosx在区间上非负．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线与x轴和y轴所围成的图形D1的面积加上曲线与x轴和y轴所围成的图形D2的面积，而图形D1的面积和图形D2的面积显然相等，所以有4．利用定积分的几何意义，求下列积分：解：（1）根据定积分的几何意义，表示的是由直线y＝x，x＝t以及x轴所围成的直角三角形面积，该直角三角形的两条直角边的长均为t，因此面积为因此有（2）根据定积分的几何意义，表示的是由直线x＝－2，x＝4以及x轴所围成的梯形的面积，该梯形的两底长分别为梯形的高为4－（－2）＝6，因此面积为21．因此有（3）根据定积分的几何意义，表示的是由折线y＝|x|和直线x＝－1，x＝2以及x轴所围成的图形的面积．该图形由两个等腰直角三角形组成，一个由直线y＝－x，x＝－1和x轴所围成，其直角边长为1，面积为另一个由直线y＝x，x＝2和x轴所围成，其直角边长为2，面积为2．因此（4）根据定积分的几何意义，表示的是由上半圆周以及x轴所围成的半圆的面积，因此有5．设a＜b，问a、b取什么值时，积分取得最大值？解：根据定积分几何意义，表示的是由y＝x－x2，x＝a，x＝b，以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去x轴下方部分面积．因此如果下方部分面积为0，上方部分面积为最大时，的值最大，即当a＝0，b＝1时，积分取得最大值．6．已知试用抛物线法公式求出ln2的近似值（取n＝10，计算时取4位小数）．解：计算y i并列表表5-2-1按抛物线法公式，求得7．设求解：（1）（2）（3）（4）8．水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力．已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p＝9.8h（kN／m2）．若闸门高H＝3m，宽L＝2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P．解：在区间[0，3]上插入n－1个分点，取ξi∈[h i－1，h i]，并记Δh i＝h i－h i－1，得到闸门所受水压力的近似值为根据定积分的定义可知闸门所受的水压力为因为被积函数连续，而连续函数是可积的，因此积分值与积分区间的分法和ξi的取法无关．为方便计算，对区间[0，3]进行n等分，并取ξi为小区间的端点所以。
同济大学考研数学真题同济大学是中国一所知名的综合性理工科大学，在考研数学领域也具有较高的知名度。
通过研究同济大学历年的数学考研真题，我们可以更好地了解该校的数学考试内容、形式和难度。
本文将系统地介绍同济大学考研数学真题。
一、概述同济大学考研数学真题包括两个科目：高等数学和线性代数。
每个科目都有选择题和解答题，以全面评估考生的数学能力。
下面将具体解析这两个科目的考试内容。
二、高等数学高等数学是同济大学考研数学的重要科目，占据较大的比重。
该科目的考试形式包括选择题和解答题，题目内容涵盖了微积分、极限、函数、导数、积分等多个方面。
1. 选择题选择题部分主要考察考生对数学知识的掌握和运用能力。
题目形式包括计算、证明、选择填空等。
其中，计算题主要考察考生的计算能力和应用能力，如求极限、求导数、求积分等；证明题则要求考生运用已有的数学知识进行推理和证明；选择填空题主要考察考生对某个数学概念的理解和掌握程度。
2. 解答题解答题的内容更加复杂和综合，要求考生深入理解和熟练掌握数学知识，并能运用知识解决实际问题。
题目形式包括综合应用题、分析题、证明题等。
解答题的主要目的是考查考生的综合分析能力和问题解决能力。
三、线性代数线性代数是同济大学考研数学另一个重要科目，也是数学系研究生培养中的基础课程之一。
线性代数的考试形式也包括选择题和解答题，主要考察考生对向量、矩阵、行列式、特征值、特征向量等方面的理解和掌握。
1. 选择题线性代数选择题主要考察考生对基本概念和定义的理解。
题目形式包括计算、判断、选择填空等。
计算题主要要求考生进行基本的计算和运算；判断题则要求考生判断给定的命题是否正确；选择填空题主要考察考生对某个概念或定义的理解。
2. 解答题线性代数解答题的难度相对较高，要求考生综合运用线性代数的知识解决较为复杂的问题。
题目形式包括证明题、计算题和应用题等。
证明题要求考生运用线性代数的基本理论进行推导和证明；计算题要求考生进行复杂的计算和运算；应用题则要求考生通过线性代数的方法解决实际问题。
第四章 不定积分4.1 复习笔记一、不定积分的概念与性质1．原函数与不定积分的概念（1）原函数①定义如果在区间I 上，可导函数的导函数为，即对任意一，都有，则函数就称为在区间I 上的一个原函数．②原函数存在定理如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上存在可导函数使对任一都有即连续函数一定有原函数．③注意两点a ．如果有一个原函数，则就有无限多个原函数．b ．若和都是的原函数，则()Fx ()x φ()f x（C 0为某个常数）（2）不定积分在区间I 上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间I上的不定积分，记作，其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量．2．基本积分表3．不定积分的性质（1）性质1设函数的原函数存在，则注：性质1对于有限个函数都是成立的．（2）性质2设函数的原函数存在，k为非零常数，则二、换元积分法1．第一类换元法设具有原函数,可导，则有换元公式()[()]()[()]u x f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰2．第二类换元法设是单调的可导函数，并且又设具有原函数，则有换元公式1()()[[()]()]t x f x dx f t t dtψψψ-='=⎰⎰其中的反函数．三、分部积分法1．分部积分法设函数具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为移项，得对这个等式两边求不定积分，得称为分部积分公式．注：2．运用分部积分法需注意（1）v 要容易求得；（2）要比容易积出；（3）遵循“反对幂指三”原则.①“反对幂指三”定义“反对幂指三”分别指反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数．②“反对幂指三”原则“反对幂指三”原则是指在用分部积分法计算积分时，若出现上面相关函数，把被积表达式按照“反对幂指三”的积分次序，排在前面的看成“u”，排在后面的看成“dv”．【例】3．常见函数的不定积分四、有理函数的积分1．有理函数的积分（1）相关概念①有理函数 两个多项式的商称为有理函数．②有理分式 有理函数又称有理分式．③真分式 当P(x)的次数小于Q(x)的次数时，称这有理函数为真分式．④假分式 当P(x)的次数大于Q(x)的次数时，称这有理函数为假分式．（2）真分式的分解对于真分式，如果分母可分解为两个多项式的乘积且Q 1(x)与Q 2(x)没有公因式，则它可分拆成两个真分式之和。
考研公共课参考书目考研公共课参考书目(一)数学《数学复习全书》李永乐等《数学历年真题解析》李永乐等《数学基础过关660题》李永乐等《线性代数辅导讲义》李永乐等《全真模拟经典400题》李永乐李正元《高等数学》同济大学数学系《线性代数》同济大学数学系《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等《高数18讲》张宇《数学决胜冲刺6+2》李永乐等《数学复习全书》李永乐等《数学历年真题解析》李永乐等《数学基础过关660题》李永乐等《高数18讲》张宇《终极预测最后八套卷》张宇《最后四套卷》张宇《接力题典1800题》汤家凤《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等《高等数学》同济大学数学系《线性代数》同济大学数学系《数学复习全书》李永乐等《数学历年真题解析》李永乐等《数学基础过关660题》李永乐等《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等《高等数学》同济大学数学系《高数18讲》张宇《线性代数》浙江大学《全真模拟经典400题》李永乐李正元《线性代数讲义》李永乐《线性代数》同济大学数学系声明：上面书单仅是供大家参考，建议买最新版本考研公共课参考书目(二)英语张剑黄皮书系列张剑考研英语写作高分攻略何凯文考研英语阅读思路解析何凯文新东方考研单词(红宝书、绿宝书) 新东方刘一男考研词汇5500词刘一男考研英语历年真题超精解丁晓钟考研英语高分写作王江涛考研英语历年真题详解及复习指南新东方陈正康辅导书系列陈正康王江涛写作辅导系列王江涛蒋军虎系列蒋军虎张剑黄皮书系列张剑等新东方单词(红宝书、绿皮书) 新东方高教版的阅读理解150篇高教版张剑曾鸣等考研英语高分写作王江涛考研英语历年真题超精解丁晓钟考研英语高分写作王江涛星火单词系列马德高陈正康辅导书系列陈正康华研巅峰阅读120篇叶常青声明：上面书单仅是供大家参考，建议买最新版本考研公共课参考书目(三)政治《20XX考研政治命题人终极预测4套卷》肖秀荣《20XX考研政治命题人1000题》肖秀荣《20XX考研政治命题人冲刺8套卷》肖秀荣《教育部的研究生考试大纲解析》教育部考试中心《20XX考研政治命题人知识点精讲精练》肖秀荣《考研政治命题人知识点提要》肖秀荣《政治命题人形势与政策》肖秀荣风中劲草辅导书系列风中劲草《政治命题人考点预测》肖秀荣《任汝芬最后四套题》任汝芬声明：上面书单仅是供大家参考，建议买最新版本。
考研数学选书
对于考研数学来说，选择好的教材对于备战考试至关重要。
以下是一些备选教材及其特点，供考生参考。
1.《高等数学》- 同济大学出版社
该教材内容全面、系统，涵盖了高等数学的各个分支，同时有大量的例题、习题及解析。
适合那些需要强化数学基础的考生。
2.《数学分析》- 同济大学出版社
该教材重点讲解数学分析的理论和方法，涵盖了微积分和级数等内容。
其习题难度较高，适合已经有一定数学基础的考生。
3.《线性代数》- 高等教育出版社
该教材内容结构清晰、易于理解，同时有大量的例题和习题。
适合那些需要加强线性代数基础的考生。
4.《概率论与数理统计》- 高等教育出版社
该教材讲解深入，且有大量典型例题和习题。
适合那些需要加强概率论与数理统计基础的考生。
5.《数学建模》- 高等教育出版社
该教材讲解针对性强，涵盖了数学建模的基础知识和方法。
适合那些需要加强数学建模能力的考生。
总体来说，考生应该根据自己的数学基础和备考情况选择适合自己的教材，并且要注意多做题、及时查漏补缺。
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《高等数学》考研2021名校考研真题库同济大学第一部分考研真题精选
第1章函数与极限
一、选择题
1若，则f（x）第二类间断点的个数为（）。
[数二、数三2020研]
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C查看答案
【解析】由f（x）表达式知，间断点有x＝0，±1，2。
因为存在，故x＝0为可去间断点；
因，故x＝1为第2类间断点；
因，故x＝－1为第2类间断点；
因，故x＝2为第2类间断点；
综上，共有3个第二类间断点，故应选C项。
2当x→0时，若x－tanx与x k是同阶无穷小，则k＝（）。
[数一2019研] A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C查看答案
【解析】tanx在x＝0处的泰勒展开式为：tanx＝x＋（1/3）x3＋o（x3），因此当x→0时有x－tanx～－（1/3）x3，即x－tanx与－（1/3）x3是x→0时的等价无穷小，进一步可得x－tanx与x3是同阶无穷小，所以k＝3，故选C。
3已知方程x5－5x＋k＝0有3个不同的实根，则k的取值范围（）。
[数三2019研]
A．（－∞，－4）
B．（4，＋∞）
C．{－4，4}
D．（－4，4）
【答案】D查看答案
【解析】方程x5－5x＋k＝0有3个不同实根等价于曲线y＝x5－5x与直线y＝－k有3个不同的交点，因此研究曲线y＝x5－5x的曲线特点即可。
令f（x）＝x5－5x，则f（x）在R上连续，且f′（x）＝5x4－5，再令f′（x）＝0，得x＝±1，通过分析f′（x）在稳定点x＝±1左右两侧的符号，可知当x∈（－∞，－1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增。
又由于
f（－1）＝4，f（1）＝－4，结合上述函数f（x）的单调特性，可知当－4＜k＜4时，曲线y＝x5－5x与直线y＝－k有3个交点，故选D。
4设函数
若f（x）＋g（x）在R上连续，则（）。
[数二2018研]
A．a＝3，b＝1
B．a＝3，b＝2
C．a＝－3，b＝1
D．a＝－3，b＝2
【答案】D查看答案
【解析】
由于f（x）＋g（x）在R上连续，所以
因此1＋a＝－2⇒a＝－3。
因此1－b＝－1⇒b＝2。
5若函数在x＝0处连续，则（）。
[数一2017研]
A．ab＝1/2
B．ab＝－1/2
C．ab＝0
D．ab＝2
【答案】A查看答案
【解析】由连续的定义知
即
又当x→0时，
代入得1/（2a）＝b，即ab＝1/2。
6设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内连续，其导函数的图形如图1-1所示，则（）。
[数三2016研]
图1-1
A．函数f（x）有2个极值点，曲线y＝f（x）有2个拐点
B．函数f（x）有2个极值点，曲线y＝f（x）有3个拐点
C．函数f（x）有3个极值点，曲线y＝f（x）有1个拐点
D．函数f（x）有3个极值点，曲线y＝f（x）有2个拐点
【答案】B查看答案
【解析】如图1-2所示，f′（x）在a，c，d三点取值为0，有可能为f（x）的极值点，a点：当x＜a时，f′（x）＞0；当x＞a时，f′（x）＜0，所以a点为极大值点，c点：当x＜c时，f′（x）＜0；当x＞c时，f′（x）＞0，所以c点为极小值点，d点：当x＜d时，f′（x）＞0；当x＞d时，f′（x）＞0，所以d点不是极值点，所以，f（x）有2个极值点。
图1-2中，b，e，d有可能为f（x）的拐点，b点：当x＜b时，f′（x）递减，f″（x）＜0；当b＜x＜e时，f′（x）递增，f″（x）＞0，所以b点为拐点，e点：当b＜x＜e时，f′（x）递增，f″（x）＞0；当e＜x＜d时，f′（x）递减，f″（x）＜0，所以e点为拐点，d点：当e＜x＜d时，f′（x）递减，f″（x）＜0；当x＞d时，f′（x）递增，f″（x）＞0，所以d点为拐点，所以，f（x）有3个拐点。
图1-2
二、填空题
1______。
[数一2020研]
【答案】－1查看答案
【解析】
2______。
[数二2019研]
【答案】4e2
【解析】运用重要极限和洛必达法则，计算得
3______。
[数三2019研] 【答案】1/e查看答案
【解析】计算
因此
4，则k＝______。
[数一2018研]
【答案】－2查看答案
【解析】由于
故k＝－2。
三、解答题
1求曲线y＝x1＋x/（1＋x）x（x＞0）的斜渐近线方程。
[数二2020研]
解：因为
从而曲线的斜渐近线方程为y＝x/e＋1/（2e）。
2已知（1＋1/n）n－e与b/n a为n→∞时的等价无穷小，求a，b。
[数三2020研] 解：由题意有
令1/n＝t，则
从而a＋1＝2，－e/（2b）＝1，解之得。
3设
（Ⅰ）证明：数列{a n}单调递减，且a n＝（n－1）a n－2/（n＋2）（n＝2，3，…）；
（Ⅱ）求。
[数一2019研]
证明：（Ⅰ）对∀x∈[0，1]，都有
因此
即a n≥a n＋1，数列{a n}单调递减，计算a n可得
因此a n＝（n－1）a n－2/（n＋2）（n＝2，3，…）。
（Ⅱ）由（Ⅰ）中结果{a n}单调递减且a n＞0，因此有a n/a n－2≤a n/a n－1≤a n/a n＝1，故可得
根据夹逼准则，有
4已知实数a、b满足
求a，b。
[数三2018研]
解：计算如下
由题设知
故[（a＋bt）e t－1]|t＝0＝a－1＝0，可得a＝1。
将a＝1代入
利用洛必达法则得
故b＝1。
5设函数f（x）＝x＋aln（1＋x）＋bxsinx，g（x）＝kx3，若f（x）与g（x）在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。
[数一、数二、数三2015研]
解：先分别计算f′（x），g′（x）的极限，则
假设1＋a≠0，则
这与题目已知条件相矛盾，所以1＋a＝0，得a＝－1。
又
同理可知，1＋2b＝0，计算得b＝－1/2。
因为
且，所以k＝－1/3。
综上，a＝－1，b＝－1/2，k＝－1/3。
