中山大学高等数学一考研真题

一、 计算二重积分 ∬xy Ddxdy , 其中 D 为第一象限内的椭圆区域: x 24+y 2≤1,x ≥0, y ≥0.（7分）解：使用广义极坐标变换，即x =2r cos θ,y =r sin θ（1分），积分区域可表示为0≤θ<π2,0≤r ≤1（1分） D (r,θ)=[2cos θsin θ−2r sin θr cos θ]=2r （1分），我们有 ∬xy D dxdy =∫dθπ/2∫2r cos θ⋅r sin θ⋅|J |10dr （1分）=∫4cos θ⋅sin θdθπ/2∫r 31=∫2sin 2θdθπ/2×r 44|01=−cos 2θ|0π2×14=−(−1−1)×14=12(1分)二、 设 Ω 为曲面 z =1 与上半球面 z =√3−x 2−y 2 所围成的区域，S 为 Ω 的边界，求第一型曲面积分 ∬(x +S1)dS 的值. (7分)解：首先通过方程z =1=√3−x 2−y 2，容易算得两曲面交线为x 2+y 2=2，故积分投影区域为D:x 2+y 2≤2，上表面为上半球面z 上=√3−x 2−y 2，下表面为平面z 下≡1.（1分）同时，可计算出√1+z 上x 2+z 上y2=√3−x 2−y 2√1+z 下x 2+z 下y2=1 （1分）,由对称性，注意到两个表面均关于Oyz 平面对称，且x 关于x 为奇函数，所以有：∬(x +1)SdS =∬1SdS (对称性，1分)=∬3√3−x 2−y 2D +1dxdy （1分）=∫dθ2π0∫[3√3−r 21]⋅r √20dr （极坐标，1分） =2π×[−3√3−r 2+r 22]|0√2三、 计算曲线积分 ∫y dx −(x +z ) dy L +,其中 L +为螺旋线段：L:{x =cos ty =sin t z =t 2,t ∈[0,2π]，方向按参数 t 增加的方向.(7分) 解：本题可以直接进行求解，注意到x ′(t )=−sin t ,y ′(t )=cos t ,z ′(t )=2t,0≤t ≤2π(1分)，可得中山大学 高等数学一（II ）期末考试J =D (x,y )dr=2π×(−3−(−3√3)+1−0)=(6√3−4)π（1分）∫y dx −(x +z ) dy L +=∫sin t ⋅−sin t −(cos t +2π0t 2)⋅cos t dt (2分) =∫−1−2π0t 2⋅cos t dt (1分)=−2π−t 2⋅sin t |02π+∫2t 2π⋅sin t dt (1分)=−2π+0−2t ⋅cos t |02π+∫22πcos t dt (1分)=−2π+0−2×2π+0=−6π(1分)四、 求初值问题 (−x 2+2xy )dx +(x 2+sin y )dy =0, y (0)=π2 的解 (7分)解：因为ð(−x 2+2xy )ðy=2x =ð(x 2+sin y )ðx，因此该方程为全微分方程（2分）使用简单凑微分方法，有 (−x 2+2xy )dx +(x 2+sin y )dy=−x 2dx +(2xy dx +x 2dy )+sin y dy =d(−x 33+x 2y −cos y)因此，可得该全微分方程的通解为：−x 33+x 2y −cos y =C （3分） 代入初值条件，即x =0,y =π2，可得C =0, （1分）故原初值问题的解为：−x 33+x 2y −cos y =0（1分）解：先考虑对应齐次线性方程y ′′+y =0,其特征方程λ2+1=0对应两个特征根λ1,2=±i （1分） 因此对应齐次方程的通解为y ̃=c 1cos x +c 2sin x ,（2分）考虑非齐次方程y ′′−y =cos x ,因为±i 是特征根，其特解y 1∗=x(A cos x +B sin x),（1分）代入该方程后有y 1∗′′+y 1∗=−2A sin x +2B cos x =cos x ,可得A =0,B =12故y 1∗=12x sin x . （2分） 综上，原微分方程通解y =y ̃+y 1∗=c 1cos x +c 2sin x +12x sin x . （1分）六、 判断级数∑(−1)n−1arctan 1n∞n=1的敛散性,并指明其为绝对收敛还是条件收敛. (8分)解：本级数为交错级数，其通项绝对值arctan 1n 关于n 单调递减（因为1n 单调递减，arctan 1n 单调递减）（2分），且lim n→∞arctan 1n =0. （1分）由莱布尼茨（或狄利克雷）判别法可证该级数收敛。

中⼭⼤学历年真题及答案（⾃⼰整理）中⼭⼤学历年真题及答案2015年攻读硕⼠学位研究⽣⼊学考试试题科⽬代码:840科⽬名称:传播实务及研究⽅法考试时间:12⽉28⽇下午⼀，名词解释(任选4题，每题10分，共}o分) 1，系统抽样⼜称其为等距抽样、机械抽样，是⼀种将总体各个单位按照某⼀标志顺序排列，按⼀定间隔距离抽取样本的随机抽样形式。

排列顺序所依据的标志，⼀般选⽤与项⽬⽬的有关的中⽴标志，系统抽样所得的样本在总体中分布均匀，具有较之简单随机抽样更⾼的代表性，使⽤⽅便，适⽤于没有培训和缺乏经验的调查⼈员。

2，态度{2013}3，媒介融合{2011}【⾸先，应当解释何谓媒介整合。

】随着信息时代的到来和传播⼿段的进步，媒介整合（media convergence）与信息传播逐渐成为⼈类传播⾏为的重要发展⽅向。

从发展趋势来看，媒介整合包括两⽅⾯--媒介形态整合和媒介资本整合。

媒介形态整合是指新媒体与传统媒体以及传统媒体彼此之间的整合，还包括媒介形态的变化、互融与创新。

资本整合则是通过资产重组，使优势资源互补共存，使跨媒介、跨地区的媒介产业集团在中国成为现实。

【其次，结合我国媒介发展的实际，指出媒介整合对媒介产业的重要意义。

】媒介整合已经成为中国传媒发展的主流趋势，其意义不仅在于媒介个体竞争⼒的增强和利润最⼤化的实现，更在于能由此带动其他更多媒体的产业化进程，增强整体竞争⼒，以迎接WTO的国际化竞争环境。

【再次，结合⾃⼰的看法，谈谈媒介整合对社会⽣活的深刻影响，如对媒介形态发展的影响、对传媒教育的冲击、对⼈们媒介接触和使⽤习惯的影响等。

】4，⽬标受众在市场营销业和⼴告业⾥，⽬标受众⼜称⽬标顾客、⽬标群体和⽬标客群是⼀个营销活动所作为⽬标的⼈⼝群体。

⽬标受众可以是某⼀个⼈⼝群体，如年龄组、性别、婚姻状况、等等。

常见受众有青少年、⼥性、单⾝、等等。

⽬标受众也可以包括⼏个不同的⼈⼝群体，⽐如所有20到30岁的男性。

中山大学2018年数学分析真题题目一、解答下面各题（每小题9分，共54分） 1. 求极限：lim x→0(1+tan x )2018x。

2. 若已知函数f(x)的二阶导数存在，f ′(x)≠0且存在x =f −1(y)，求(f −1)′′(y)。

3. 求极限：lim n→∞(1n +1n+1+ (1)2n)。

4. 设f (x,y )=xy 2z 3，函数z (x,y )满足 x 2+y 2+z 2=3xyz ，求ðfðx |(1,1,1)。

5. 计算∬(√x +√y)dxdy √x+√y≤1。

6. 计算∮x 2yzdx +(x 2+y 2)dy +(x +y +z)dz C，其中L 为曲面x 2+y 2+z 2=5与曲面z =1+x 2+y 2的交线，从z 轴正向看过去时顺时针方向。

二、（10分）判断级数∑n√n+(−1)n∞的收敛性。

三、（10分）求f (x,y,z )=xyz 在约束条件x 2+y 2+z 2=1与x +y +z =0下的极值。

四、（10分）证明：∑1n 2+1∞n=1<12+π4。

五、（10分）设f (x )在(−∞,+∞)上连续，且lim x→−∞f(x)与lim x→+∞f(x)存在，证明f (x )在(−∞,+∞)上一致连续。

六、（20分）f (x )在(x 0−1,x 0+1)上连续，在(x 0−1,x 0)∪(x 0,x 0+1)上可导，且lim x→x 0f ′(x)=a 。

证明：f ′(x 0)存在，且f ′(x 0)=a 。

七、（10分）求级数∑(1+12+···+1n )x n 的收敛域。

八、（10分）求f (x )=e x +e −x +2cos x 的极值。

九、（10分）判断f (x )=xsinx 14在[0,+∞)上的一致连续性。

十、（10分）讨论∑x n nlnn ∞n=2在[0,1)上的一致收敛性。

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中山大学2014年研究生入学考试试题--数学分析1.（15分）用N -ζ定义证明0arctan lim=+∞→n n n ； 2.（15分）求极限[]0)1ln(cos lim 2202=-+--→x x x e x x x ； 3.（15分）计算积分dx x x ⎰10sin 的近似值，要求误差不超过万分之一； 4.（15分）判断下列反常积分的收敛性⎰+∞+0sin 1x x dx ；5.（15分）求点A （2,8）到抛物线x y 42=的最短距离；6.（15分）计算⎰⎰⎰Ωzdx ，其中Ω是曲面22222y x z y x z +=--=与围成的封闭区域；7.（20分）求级数∑∞=-11n n nx 的和函数；8.（20分）小船从河边点o 处出发向对岸（两岸为平行直线），设船速为a ，航行方向始终与河岸垂直，又设河宽h ，河中任一点水流速度与该点到两岸的距离的乘积成正比（比例系数为k ），求小船的航行路线；证明n n ne )11(lim +=∞→不存在；中山大学2014年研究生入学考试试题--高等数学1.（15分）证明()153+-=x x x f 在有理数域上不可约；2.（15分）计算nn x a a a a x a a a a x a D +++=21； 3.（15分）设A,B 都是n 阶可逆矩阵，证明⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B C A D 0必为可逆矩阵，并求D 的可逆矩阵；4.（15分）将矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=010102001A 表示成有限个初等方阵的乘积； 5.（15分）设A 是m ×3矩阵，且R （A ）=1，如果非其次线性方程组Ax=b的三个解向量321ηηη，，满足，，，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+1-0111-0321132321ηηηηηη求Ax=b 的通解；研究下列向量组的线性相关关系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201,520,321321a a a ； 7.（20分）设A 是3阶矩阵，它的3个特征值为，，，21-1321===λλλ设235A A B -=,求E A B 5;-;8.（20分）设实对称阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ,求正交变换T ，使AT T 1-为对角阵； 9.（20分）设A 是n 阶下三角阵，如果,2211nn a a a ==且至少有一)(00000j i a j i >≠，证明A 不可对角化；。