华东师范大学高等数学(B)历年真题汇编考研真题

华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式：11222221122111112211...1(1)(1) (1)(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)n n nn n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------二.（15分）设5200200000520022A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，求正交矩阵T，使'1T AT T AT -=为对角形矩阵，并写出这个对角形矩阵.三.(15分)设200201A a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是复矩阵.1.求出A 的一切可能的Jordan 标准形；2.给出A 可对角化的一个充要条件.四.(15分)已知3阶实数矩阵()ij A a =满足条件(,1,2,3)ij ij a A i j ==，其中ij A 是ij a 的代数余子式，且331a =-，求： 1.A2.方程组123001x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解.五.（15分）证明：一个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根⇔存在一个有理系数多项式()f x 使得1().f αα=六.（15分）设A 是n 阶反对称阵。

证明：1.当n 为奇数时|A|=0.当n 为偶数时|A|是一实数的完全平方;2.A 的秩为偶数 .七.（15分）设V 是有限维欧氏空间.内积记为(,)αβ.又A 设是V 的一个正交变换。

记{}{}12|,,|V V V V ααααααα=A =∈=-A ∈，求证：1.12,V V 是v 的子空间;2. 12.V V V =⊕八.（15分）设n 阶实数方阵的特征值全是实数且A 的所有1阶主子式之和为0，2阶主子式之和也为0.求证：0n A =九.（15分）设A，B 均是正定矩阵，证明： 1 .方程0A B λ-=的根均大于0； 2 .方程0A B λ-=所有根等于1⇔A=B.华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式:131********...2223333 (336)...n n n n n n n n n n n n n n-------------二.(10分)证明：方程组111122121122221122...0...0(1) 0n n n ns s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的解全是方程1122...0(2)n n b x b x b x +++=的解的充分必要条件是：12(,...,)n b b b β=可由向量组12,...,s ααα线性表示，其中12(,,...,)(1,2,...,).i i i in i s αααα==三（15分）设32()f x x ax bx c =+++是整系数多项式，证明：若ac+bc 为奇数，则f(x)在有理数域上不可约.四（15分）设A 是非奇异实对称矩阵，B 是反对称实方阵。

历年华东师范大学602高等数学(B)考研真题试卷与资料答案一、考试解读：part 1 学院专业考试概况：①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:602高等数学(B)的考试情况；②科目对应专业历年录取统计表：含华东师范大学相关专业的历年录取人数与分数线情况；③历年考研真题特点：含华东师范大学考研专业课602高等数学(B)各部分的命题规律及出题风格。

part 2 历年题型分析及对应解题技巧：根据华东师范大学602高等数学(B)考试科目的考试题型（名词解释题、简答题、论述题、案例分析题等），分析对应各类型题目的具体解题技巧，帮助考生提高针对性，提升答题效率，充分把握关键得分点。

part 3 2018真题分析：最新真题是华东师范大学考研中最为珍贵的参考资料，针对最新一年的华东师大考研真题试卷展开深入剖析，帮助考生有的放矢，把握真题所考察的最新动向与考试侧重点，以便做好更具针对性的复习准备工作。

part 4 2019考试展望：根据上述相关知识点及真题试卷的针对性分析，提高2019考生的备考与应试前瞻性，令考生心中有数，直抵华东师范大学考研的核心要旨。

part 5 华东师范大学考试大纲：①复习教材罗列（官方指定或重点推荐+拓展书目）：不放过任何一个课内、课外知识点。

②官方指定或重点教材的大纲解读：官方没有考试大纲，高分学长学姐为你详细梳理。

③拓展书目说明及复习策略：专业课高分，需要的不仅是参透指定教材的基本功，还应加强课外延展与提升。

part 6 专业课高分备考策略：①考研前期的准备；②复习备考期间的准备与注意事项；③考场注意事项。

part 7 章节考点分布表：罗列华东师范大学602高等数学(B)的专业课试卷中，近年试卷考点分布的具体情况，方便考生知晓华东师大考研专业课试卷的侧重点与知识点分布，有助于考生更具针对性地复习、强化，快准狠地把握高分阵地。

二、华东师范大学历年考研真题与答案：汇编华东师大考研专业课考试科目的1997-2007，2011-2015年考研真题试卷，并配备2011-2015年答案与解析，方便考生检查自身的掌握情况及不足之处，并借此巩固记忆加深理解，培养应试技巧与解题能力。

华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析一．（24分）计算题： （1）011lim();ln(1)x x x→-+（2）32cos sin ;1cos x xdx x⨯+⎰ （3）设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=,所确定的可微隐函数，试求grad Z.二．（14分）二、设 n n ne )11(+=，*N n ∈；1)11(++=n n nE ，*N n ∈；证明： （1）}{n e 是严格递增的;（2）}{n E 是严格递减的; （3）用对数函数x ln 的严格递增性质证明：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，对一切n ∈N *成立. 三．（12分）设f 在[],a b 中任意两点之间都具有介值性，而且f在(),a b 内可导，'|()|f x K ≤（正常数）, (,).x a b ∈证明f 在点a 右连续（同理在点b 左连续）. 四．（14分）设12(1).nn I x dx =-⎰证明:（1）1221n n nI I n -=+,n=2,3…;（2）2,3n I n≥n=1,2,3….五（12分）设S 为一旋转曲面，由平面光滑曲线{(),[,](()0)z y f x x a b f x ==∈≥饶x 轴旋转而成。

试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为'22()1()baA f x fx dx π=+⎰（提示：据空间解几知道S 的方程为222()y z f x +=）六（24分）级数问题：（1）设sin ,0()1,0xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,求()(0)k f。

（2）设1nn n a =∑收敛，lim 0n n na →∞=证明:111()nnn n n n n n a a a +==-=∑∑。

（3）设{()}n f x 为[],a b 上的连续函数序列，且()(),[,]n f x f x x a b ⇒∈证明：若()f x 在[],a b 上无零点。

华东师范大学数学（B）考研复习笔记一、华东师范大学数学（B）考试范围a.高等数学（函数、极限、连续、一元函数微积分、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程）；b.线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量）。

参考教材为《线性代数》科学出版社《高等数学》同济出版社二、数学（B）考试特点及考生应对策略数学（B）考试试题难度一般，重视考生基础，考试难度基本上与国家统考数学（四）差不多，数学题量较大。

考生在复习时，按照同济版本的教材认真复习，把书上的题要弄会弄懂。

牢固掌握书上的基本概念，基本原理，掌握解题的常规方法，要善于总结。

例如，对求极限的题共有哪些方法，考生必须会灵活应用。

在复习时挑一本比较好的练习册，不用做太多的题，但是做一道要讲究质量，不要做太难的题，考试考的都比较基础。

考生在平时的复习时要提高自己的做题速度，前提是保证质量。

由于考试的题量较大，再加上考试时或多或少的会紧张，因此打好平时的基本功是考试获得高分的关键。

考生还要注意一点，华东师范大学数学（B）出题的难度一年比一年有所加大，但是增加难度的幅度不是很大。

考生不要因为做哪一年的真题觉得简单就掉以轻心，就少用时间复习。

要时刻记住，你考得是华东师大，没那么容易就让你拿分，每道题都需要自己动脑其琢磨，认认真真地做。

至于真题，建议考生只要把04、05、06年的真题认真做做，研究研究，其他的真题就不用研究了，没必要。

看看数学（B）出题的难度，题型，以及出题难度的逐年变化。

心里有个底，知道复习的时候应该怎么样复习，复习到什么难度。

对于具体的考试内容，将在数学（B）考研笔记中有所反映，有些知识点考生不用看的，在笔记中有所标记。

考生可以按照考研笔记的顺序复习。

肯定不考的知识有向量代数和空间解析几何，曲面积分，二次型。

在高数种所有关于微积分的物理应用知识都不考，方向导数和梯度也不考。

在本人编写的考研笔记中对有些章节中不考的会有所标记，对于考的知识点会标记出能出哪些题型，出题的难度如何。

华东师范大学教育学系综合英语A2011——2012教育综合2010——2012综合英语B2010——2012教育管理学1997——2006，2008——2012中国语言文学系文学基础2001——2012（注：2008年有两种）作文A1999——2012汉语基础1999——2012教育综合2010——2012语文课程与教学2010——2012教育科学学院课程与教学系教育综合2010——2012语文教学论2010——2011中国文学史1998——2002（1999年有两种）文学与传媒综合2005外语学院综合英语A2011——2012教育综合2010——2012综合英语B2010——2012二外日语1996——2012（2008——2009年有答案）二外法语1996——2012二外德语1998——2011二外俄语1998——2006基础英语1997——2012（2009年有答案）翻译（英语专业）1997——2012（2008——2009年有答案）语言学概论（英）2009——2012二外英语2003——2012（2007有答案）基础日语2001——2012（2007——2009有答案）翻译和写作（日语语言文学专业）1999——2012综合日语1997——2000，2005翻译和文学（法语语言文学专业）2008——2012基础法语2008——2012翻译（俄语语言文学专业）2000，2003——2005，2007——2012综合俄语2000，2002——2005，2007——2012地理学系德语一外2007经济地理学1998——2012自然地理学1997——2012人文地理学1997——2012高等数学B 1996——2012 （2000——2008有参考答案）教育学（含教育概论、教学论、德育原理）1997——2005（2002——2004有答案）地理信息系统概论1999——2012动力气象学2007普通地质学2003——2007遥感2000地貌学2001第四纪地质学2002园林规划与设计2006——2007中国地理2000——2005普通生物学1996——2012（1997——2004，2008年每年有2种）生态学1996——2012生物教学法2001——2002环境科学概论1997——2012数学系数学分析1997——2012 答案：2000——2005 2007——2008高等代数1997——2012物理学系普通物理学A 1997——2012量子力学A 1996——1998，2000——2002 2005——2012半导体物理2003——2004，2007——2012半导体物理与器件2005——2006电磁场与电磁波2003——2005化学系普通化学原理2003——2012物理化学1997——2012分析化学（含仪器分析）1997——2012无机化学1997——2012基础化学2003——2004工业催化基础2007——2012有机化学1996——2012高分子化学2005，2007——2012化学教学论2004——2005化学课程与教学论2004——2005古籍研究所古代汉语与古代文史基础2004——2005，2007 2012作文B2001 2012心理学系心理学专业综合2011——2012河口海岸国家重点实验室有机化学1996——2012分析化学（含仪器分析）1997——2012生态学B1996——2012普通生物学C 1996——2012（1997——2004，2008年每年有2种）海洋生态学2004——2005海洋地球化学2004——2005环境科学概论1997——2012普通地质学2003——2007 2012教育信息技术学系高等数学B 1996——2012 （2000——2008有参考答案）教育技术与C语言程序设计2003——2012教育技术概论1997——2002计算机应用1997——2002微机原理及网络基础1998——2006微机原理与应用1997——2002微机原理与程序设计（含数据结构）2003——2005计算机科学技术系数据结构（含C程序设计）1999——2012电子科学技术系高等数学A 1996——2010电子线路2000——2012半导体物理2003——2012电子线路2（数字部分）2003——2005电子线路1（模拟部分）2003——2005电子技术1998——2002数字逻辑电路2000——2002电磁场与电磁波2003——2005统计系数学分析1997——2012高等代数1997——2012统计学2011——2012人口研究所经济地理学1998——2012社会经济统计学原理2003——2012人口学2003——2012哲学系马克思主义哲学原理1997——2012西方哲学（古希腊至现在）1997——2012马克思主义哲学史（含原著）2003——2005，2009马克思主义哲学原著1997——2002中国哲学（先秦至1949）1997——2012社会学原理1999——2012形式逻辑（含数理逻辑基础）1997——2005自然辩证法与科学史2003——2005伦理学2006——2012环境科学系经济地理学1998——2012普通生物学A 1996——2012（1997——2004，2008年每年有2种）生态学A1996——2012生物教学法2001——2002高等数学B 1996——2012环境科学概论1997——2012教育管理学院教育管理学1997——2012管理学B2003——2012公共管理学2004——2012管理学A（企业管理、旅游管理、情报学等专业）2001——2012大学社会科学教学部政治学原理2000——2012（2000——2004有答案）毛泽东思想邓小平理论和“三个代表”重要思想2007——2012马克思主义基本原理2007——2012当代世界经济与政治2003——2004，2006——2007，2009——2012 思想政治教育原理2008——2012对外汉语学院语言基础2003——2012作文C2001——2012文学基础B2001——2012（注：2008年有两种）汉语基础1999——2012（中国语言文学系）商学院管理学A（企业管理、旅游管理、情报学等专业）2001——2012西方经济学(A)1996——2012（1997——2007有答案）国际经济学1998——2002，2004——2005（1998，1999年有两种）信息技术与应用1999——2001，2003——2012政治学与行政管理系管理学B2003——2012（2004 2007有答案）公共管理学2004——2012政治学原理2000——2012（2000——2004有答案）当代世界经济与政治2003——2004，2006——2007，2009——2012 西方政治思想史2009——2012社会学系德语一外2007社会调查研究方法2001——2012社会学原理1999——2012社会工作实务2010——2012社会工作原理2010——2012计算中心数据结构（含C程序设计）1999——2012学前教育系学前教育专业综合2011——2012特殊教育系特殊教育专业综合2011——2012生命科学学院基础生物化学2007——2012生态学C 1998——2012普通生物学B 1998——2012生物化学1997——2012细胞生物学A1997——2012植物生理学1996——2012植物学1997——2012生理学1996——2012动物学1997——2012生物教育学2001——2005高等数学B 1996——2012微生物学2003——2005分子及细胞生物学2005——2007体育与健康学院体育学基础2001——2012软件学院数据结构（含C程序设计）1999——2012法律系法理学2009——2012宪法学与行政法学2009——2012宪法学2004——2008行政法学2004——2008经济法2007——2012国际关系与地区发展研究院政治学原理2000——2012（2000——2004有答案）当代世界经济与政治1999——2004，2006——2012 国际关系史1998——2002，2005——2012传播学院新闻与传播专业基础2011——2012新闻与传播综合能力2011——2012作文D1999——2012传播学基础2004——2012影视艺术理论2007——2012艺术学院音乐教育学2005——2006中外音乐史2004——2012中外设计史2005——2012命题设计2005——2012专业设计2007美术教育学2005——2006美术史论2005——2006创作（美术学专业）2005历代法帖临摹2004——2005城市与区域经济系经济地理学1998——2012东方房地产学院西方经济学A1996——2012（1997——2007有答案）西方经济学B1996——2012（1997——2007有答案）公共管理学院管理学（行政管理、教育经济与管理、社会保障专业）2003——2012（2007有答案）公共管理学2004——2012（2004有答案）教育管理学1997——2012政治学系政治学原理2000——2012（2000——2004有答案）西方政治思想史2009——2012行政管理系政治学原理2000——2012（2000——2004有答案）政治教育系政治学原理2000——2012（2000——2004有答案）金融与统计学院西方经济学B1996——2012（1997——2007有答案）国际金融1997——2002金融学综合2010——2012统计学2011——2012汉语基础2010——2012汉语国际教育基础2010——2012科学与技术跨学科高等研究院有机化学及药物化学基础2012药理学专业综合2012contact me1：one-nine-seven-eight-four-four-four-five(翻译成数字) contact me2：five-zero-nine-five-one-four-seven-eight-four(翻译成数字)七夕，只因有你，总有一些人牵肠挂肚难以忘记，总有一些日子温暖甜蜜最为珍惜从春夏到秋冬，从陌生到熟悉，虽不能时时联系，却总在特别的日子想起你，七夕快乐，我的朋友。

1.Why did you choose East China Normal University?(你为什么选择报考华东师范大学?)2.Why did you choose XXX?(你为什么选择报考MBA专业?)3.What would you like to be doing 3 years after graduation?(what’s your plan if you are admitted to our school? (毕业5年后，你希望从事什么样的工作?)4.What has been your greatest accomplishment?(你曾取得的最大成就是什么?)5.Describe your greatest strengths and weaknesses. (请描述一下你最大的优点和缺点?)6.What have you learned from the jobs you have held?(你从以往所从事的工作中学到了哪些东西?)7.谈谈你在学期间最大的收获是什么8.“我们的问题都问完了，请问你对我们有没有什么问题要问准备英语面试最好先写一个自我陈述，就像中文的自我介绍一样，尽量写得详细些，包括自己生活、学习的方方面面，然后把它翻译成英文，流利地背下来，老师的很多提问都可以用其中的句子来回答。

一、面试程序不同的单位对面试过程的设计会有所不同，有的单位会非常正式，有的单位则相对比较随意，但一般来说，面试可以分为以下五个阶段：第一阶段：准备阶段。

准备阶段主要是以一般性的社交话题进行交谈，例如主考会问类似“从宿舍到这里远不远”、“今天天气很好，是吗？”这样的问题，目的是使应聘人员能比较自然地进入面试情景之中，以便消除毕业生紧张的心情，建立一种和谐、友善的面试气氛。

毕业生这时就不需要详细地对所问问题进行一一解答，可利用这个机会熟悉面试环境和考官。

第二阶段：引入阶段。

华东师范大学 数分试题及解答一．判断题 1. 设()f x 在0x 的邻域()0U x 内有定义且有界，若()0lim x x f x →不存在，则存在数列{}()0n x U x ⊂，{}()0n y U x ⊂，使得0lim lim n n n n x y x →∞→∞==，而()l i m n n f x →∞和()lim n n f y →∞都存在，但是不相等.解：正确， 任取一包含于()0U x ，收敛于0x 的数列{}n x ，由于(){}n f x 有界，存在子列{}kn x ，使得(){}kn f x 收敛;但是由于()0lim x x f x →不存在，及Heine 归结原理（逆否命题），得到结论. 2. 设()f x 在有限区间(),a b 上可导，且()f x '在(),a b 上有界，则()f x 在(),a b 上有界.解答：正确. 设()f x M '≤，()(),x a b ∀∈，取定()0,x a b ∈，我们有()()()()00f x f x f x f x ≤-+()()00x f x x f x ξ'=-+ ()()0M b a f x ≤-+，x ξ在0x 与x 之间，即得()f x 在(),a b 上有界.3. 设数项级数1n n a ∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑收敛. 解答：错.反例，()11n n n ∞=-∑收敛，而()211nn n ∞=⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭∑发散.4. 设()f x 在[],a b 上有连续的导函数，[](),,a b ππ⊂-，()()0f a f b ==， 若()1cos bnaA f x nxdx π=⎰，()1sin bnaB f x nxdx π=⎰，0,1,2,n =，则对任意[],x a b ∈，()()01cos sin 2n n n A f x A nx B nx ∞==++∑.解答：对. 将f零延拓至整个(),ππ-，记延拓后函数为f，则f按段光滑，且()()11cos cos bn naa f x nxdx f x nxdx A ππππ-===⎰⎰， ()()11sin sin bn nab f x nxdx f x nxdx B ππππ-===⎰⎰， 0,1,2,n =利用Fourier 级数收敛定理，即得结论.5. 设(),f x y 在()00,x y 处连续，且()()0000,,0x y f x y f x y ==， 则(),f x y 在()00,x y 处可微.解答：错. 考虑函数(),f x y xy=，显然(),f x y 在()0,0处连续，()()0,00,00x y f f ==， 但是(),f x y 在()0,0处不可微.二．计算题1. 求201tan 1sin lim sin 2x x xx x→+-+； 解：21tan 1sin limsin 2x x xx x→+-+ 31tan sin lim21tan 1sin x x xx x x→-=+++ 301tan sin lim 4x x xx→-= 201sin 11cos lim 4cos x x xx x x→-=⋅⋅ 2202sin 12lim 4x xx→=111428=⋅=； 2. 求22222sin cos dxa xb xπ+⎰，其中a ，b 为非零常数. 解：22222sin cos dxa xb xπ+⎰220tan 1tan 1a d x b ab a x b π⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ 21arctan tan a x ab b π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12ab π=⋅2abπ=.3. 求级数()210121nn n x n ∞+=-+∑的和函数和收敛区域.解：设()()21121nn nu x x n +-=+，显然有()()12limn n n u x x u x +→∞=，于是当()1,1x ∈-时，()0n n u x ∞=∑收敛；当1x >时，()0n n u x ∞=∑发散.显然()0121nn n ∞=-+∑收敛， 当1x=，或者1x =-时，()0n n u x ∞=∑收敛，故级数的收敛域是[]1,1-；设()()21121n nn x f x n +∞==-+∑，()00f =，()()()222111nnnn n f x x x x ∞∞=='=-=-=+∑∑，从而()arctan f x x =. 4. 设()f x 在(),-∞+∞上有连续的二阶导数，2x y zxf yfy x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 求z x ∂∂，z y ∂∂，2z x y ∂∂∂. 解：由2x y z xf yfy x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 知222z x x x y y f f f xy y y x x ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222z x x y y y f f f y y y x x x ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=-++ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222232232222z x x x x y y y y y y f f f f f x y y y y y xx x x x x ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''''=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222233242x x y y x x y y f f f f y y x x y y xx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5. 求SdS z ⎰⎰，其中S 是球面2222x y z a ++=被平面z h =，()0h a <<截得的球冠部分.解：222za x y =--，()(){}2222,,:x y D x y x y a h ∈=+≤-，221xydS z z dxdy =++()222a dxdy a x y=-+，()()2222221S DdS a dxdy z a x y a x y =⋅-+-+⎰⎰⎰⎰()2221D a d x d y a x y =-+⎰⎰222221a h a d rdr a rπθ-=-⎰⎰()2222012ln 2a h a a r dr π-'⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰()2222012ln 2a h a a r π-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦2l n a a hπ=.三．1. 设{}n a 是一列有界的正实数列，{}12sup ,a a a =，求证：11lim nnn k n k a a →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑. 证明：证法一 对0ε∀>，1N a ∃，使得1N a a ε>-，当1n N ≥时，1111nnn n N k k a a a n a ε=⎛⎫-<≤≤ ⎪⎝⎭∑， 由1lim nn na a →∞=，对于上述0ε>，*2N N ∃∈，当2n N ≥时，有1nn a a ε<+，取{}12max ,NN N =，当n N ≥时，有11n nn k k a a a εε=⎛⎫-<<+ ⎪⎝⎭∑,故有11lim nnn k n k a a →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.证法二 由{}12sup,a a a =知，k a a ≤.对任意k a ，当n k ≥，有()1111n nn n n n k k k a a na n a =⎛⎫≤≤= ⎪⎝⎭∑，从而1111lim lim n nnnn n kk k n n k k a a a a →∞→∞==⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，1,2,k =于是1111lim lim nnnnn n k k n n k k a a a a →∞→∞==⎛⎫⎛⎫≤≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑， 故有11lim n nn k n k a a →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.2. 设()f x 是定义在[],a b 上的函数，满足：对任意[]0,x a b ∈，存在00x δ>，00x ε>，使得在()[]000,,x x xx a b δδ-+有()0x f x ε>.求证：存在0ε>，使得在[],a b 上有()f x ε>.证明：[],x a b ∀∈，取题目所示的区间(),x x x U x x δδ=-+及x ε，()x f x ε>.由于[][],,x x a b a b U ∈⊂. 利用有限覆盖定理，存在{}[]1,nk k x a b =⊂，使得[]1,knxk a b U =⊂，取{}12min ,0nx x x εεεε=>，则[],x a b ∀∈，j x ∃，使得jx x U ∈，()j f x εε>≥.3. 设()f x 是定义在(),-∞+∞上的连续函数，且()0f x dx +∞⎰收敛.若含参量反常积分()()0I y f x y dx +∞=+⎰在(),-∞+∞上一致收敛.求证：对任意的(),x ∈-∞+∞，()0f x =.证明：由题设条件， （1）()0f x dx +∞⎰收敛，0ε∀>，10A ∃>，使得1A A ≥时，有()4Af x dx ε+∞<⎰；（2）()0f x y dx +∞+⎰在(),-∞+∞上一致收敛，对于上述0ε>，存在20A >，使得2A A ≥时，()()4AA yf x y dx f x dx ε+∞+∞++=<⎰⎰，取{}12max,0A A A =>，有()4A f x dx ε+∞<⎰，()4A yf x dx ε+∞+<⎰，()y R ∀∈,于是()()()2A yAA A yf x dx f x dx f x dx ε++∞+∞+=-<⎰⎰⎰从而对[],a b R ∀⊂,()()()bAbaaAf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()()()A a A A b A AAf x dx f x dx ε+-+-≤+<⎰⎰而由ε的任意性，有()0baf x dx =⎰，再由()f x 的连续性，及[],a b 的任意性，即得()0f x =，x R ∀∈.4. 设(){}nf x 是定义在[]1,1-上的连续函数列，且()0n f x ≥，（1）()11lim1nn f x dx -→∞=⎰；（2）对任意0δ>，()n f x 在[][]1,,1δδ--上一致收敛于零.求证：对任意[]1,1-上的连续函数()g x ，成立()()()11lim 0n n f x g x dx g -→∞=⎰. 证明：由题意，知 （1）g 在[]1,1-上连续，从而有界，1M ∃>，使得[]1,1x ∈-，()g x M≤（2）由()11lim1nn f x dx -→∞=⎰，知*1N N∃∈，使得当1n N >时，()112n f x dx -<⎰；（3）()gx 在0x =处连续，而有()0,1ε∀∈，()0,1δ∃∈，使得[],x δδ∈-时，有 ()()06g x g ε-<；（4）对于上述的0δ>，()n f x 在[][]1,,1δδ--上一致收敛于零，而有对上述0ε>，*2N N ∃∈,使得当[][]1,,1x δδ∈--，2n N ≥时，()()81n f x Mεδ<-，取{}12max ,NN N =，当n N >时，()()()()11110n n f x g x dx f x g dx---⎰⎰()()()110n f x g x g dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰()()()()()()()1100n n f x g x g dx f x g x g dx δδδδ---≤+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰()()()()221816nM f x dx M δδεεδδ-<⋅⋅-+-⎰()()111126n n f x dx f x dx δδεε---⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()()222681M εεεδδ⎛⎫<++⋅- ⎪-⎝⎭2264M εεε⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12264εεε⎛⎫<++< ⎪⎝⎭, 从而()()()()()1111lim 00n n n f x g x dx f x g dx --→∞-=⎰⎰，又()()()11lim00n n f x g dx g -→∞=⎰，于是结论得证()()11lim n n f x g x dx -→∞⎰()()()()()()()111111lim0lim 0n n n n n f x g x dx f x g dx f x g dx ---→∞→∞=-+⎰⎰⎰()0g =.5. 设(),f x y 在(){}22,:1D x y x y =+≤上有连续的偏导数，且在(){}22,:1D x y xy ∂=+=上恒为零，求证()()1222,,max 3x y D Df f f x y dxdy x y π∈⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰.证明：(),D f x y dxdy ⎰⎰()1200cos ,sin f r r rd drπθθθ=⎰⎰()()1200cos ,sin cos ,sin f r r f rd drπθθθθθ=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰()12001cos ,sin rdf t t dtrd dr dtπθθθ=⎰⎰⎰12001cos sin rx y f f dtrd drπθθθ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰()()1112222222001cos sin rx y f f dtrd dr πθθθ⎡⎤≤++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰()()112222001,max rx yx y Df f dtrd drπθ∈≤+⎰⎰⎰()()()112220,max 21x yx y Df f r r dr π∈=+-⎰()1222,max 3x y D f f x y π∈⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.。

华东师范大学2004数学分析一、〔30分〕计算题。

1、求2120)2(cos lim x x x x -→ 2、假设)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y .3、求⎰--dx x xe x 2)1(. 4、求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数)(x f .5、L 为过)0,0(O 和)0,2(πA 的曲线)0(sin >=a x a y ,求⎰+++L dy y dx y x .)2()(3xdx a x da dy x a y cos sin ,sin ===6、求曲面积分⎰⎰++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧..二、〔30分〕判断题〔正确的证明，错误的举出反例〕1、假设},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x2、假设)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续.3、假设)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑⎰=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 110)()()1()(1lim . 4、假设∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=12n n a 收敛.5、假设在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微.6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 假设⎰⎰=>∀∀r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 三、〔15分〕函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞→ 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。

第一章函数• 函数的概念邻域；函数及其表示法• 具有某些特性的函数有界函数；单调函数；奇函数与偶函数；周期函数 .• 初等函数反函数；复合函数；初等函数第二章极限和连续• 数列及其极限• 自变量趋于无穷大时的函数极限自变量趋于无穷大时的函数极限；数列极限• 自变量趋于有限值时的函数极限函数极限的定义；左、右极限；函数极限和数列极限的关系。

• 极限的性质收敛数列的性质；函数极限的性质。

• 无穷小量，无穷大量和极限的运算法则无穷小量；无穷大量；无穷小量的四则运算；极限的四则运算法则；极限的复合运算法则。

• 极限存在条件和两个重要极限数列极限存在条件；函数极限存在条件；两个重要极限• 无穷大量和无穷小量的比较• 连续函数函数的连续性；间断点及其分类；连续函数的运算和初等函数的连续性。

• 闭区间上连续函数的性质最大、最小值定理与有界性定理；介值定理与根的存在性定理第三章导数与微分• 导数的定义导数的定义；导函数；导数的几何意义和物理意义；可导性与连续性的关系 .• 求导法则导数的四则运算法则；反函数的导数；复合函数的导数；基本求导法则与导数基本公式• 隐函数的导数；参变量函数的导数；平面曲线的切线和法线及其方程；导数的应用举例• 微分微分的概念；微分的基本公式及运算法则；一阶微分形式的不变性；微分在近似计算中的应用• 高阶导数高阶导数的概念；某些简单函数的n 阶导数第四章微分中值定理与导数的应用• 中值定理罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理• 不定式的极限• 函数的单调性和极值函数单调性的判别法；函数极值的判别法；函数的最大值和最小值及其简单应用• 函数图象的讨论曲线的凸性与拐点；曲线的渐近线；函数作图• 曲率曲率的概念；曲率半径• 方程的近似解（牛顿切线法）第五章不定积分• 不定积分的概念与基本积分公式原函数与不定积分；基本积分表；不定积分的线性性质• 换元积分法第一类换元积分法；第二类换元积分法• 分部积分法• 几类特殊函数的不定积分有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些简单无理函数的不定积分第六章定积分• 定积分的概念定积分的定义；定积分的几何意义• 牛顿- 莱布尼兹公式和定积分的性质牛顿- 莱布尼兹公式；定积分的性质；积分上限函数及其导数• 定积分的换元积分法与分部积分法• 定积分的近似计算矩形法；梯形法；抛物线法• 定积分的应用平面图形的面积；已知平行截面面积求立体体积和旋转体的体积；平面曲线的弧长；旋转曲面面积；定积分在物理学上的某些应用（变力作功，压力，引力，函数的平均值）.• 广义积分无限区间上的广义积分；无界函数的广义积分第七章无穷级数• 数项级数的收敛性及其性质无穷级数的概念；级数收敛的条件；收敛级数的性质• 正项级数正项级数的收敛准则；比较判别法；比值判别法和根式判别法• 任意项级数交错级数及莱布尼茨判别法；任意项级数的绝对收敛和条件收敛；绝对收敛级数的性质• 幂级数函数项级数的收敛域与和函数的概念；幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域；幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法• 幂级数的应用泰勒级数；泰勒中值定理；初等函数的幂级数展开；近似计算.第八章1、空间直角坐标系2、向量及其线性运算3、向量的数量积与向量积4、平面与空间直线5、曲面与空间曲线第九章1、多元函数2、多元函数的偏导数与全微分3、复合函数和隐函数的微分法4、方向导数与梯度多元函数微分学的几何应用5、多元函数的极值第十章1、重积分的概念与性质2、二重积分的计算3、三重积分的计算4、重积分的应用第十一章1、第一型曲线积分第二型曲线积分2、格林公式3、第二型曲线积分与路径无关的条件4、第一型曲面积分5、第二型曲面积分6、斯托克斯公式7 、高斯公式第十二章1、一阶微分方程2、二阶微分方程3、微分方程应用举例。