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结构动力学第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。
根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。
2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。
①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。
②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。
5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。
机械振动系统，师汉民，华中科技大学出版社cos sin i t e t i t ωωω=+Ch1 单自由度线性系统自由振动1.3 无阻尼自由振动()()0mxt kx t += 解()()22002()cos sin cos cos n n n n nnv v x t x t t x t A t ωωωϕωϕωω=+=++=-振幅和相位由初始条件确定。
确定自然频率的方法： 1、 静变形法：kx mg =，n g xω=2、 能量法：无阻尼弹性振动能量守恒，因此取动能Tmax=势能Vmax 。
1.4 有阻尼自由振动22()()()020n n mx t cx t kx t s s ξωω++=⇒++= ，通解wt Ae通常自然频率可以很容易的通过实验测定，但阻尼比ξ的计算或辨识则比较困难，需要利用自由振动衰减曲线计算。
在间隔1个振动周期T 的自由振动减幅振动曲线上，取两个峰值A1和A2，A1/A2=EXP(ξωn T)Ch2 单自由度线性系统的受迫振动 2.1 谐波激励()()()cos cos mxt cx t kx t F t kA t ωω++= →22()2()()cos n n n x t x t x t A t ξωωωω++= ，设通解cos()X t ωϕ-，ϕ表响应对激励的滞后通解X1为：()20020002cos n t n n d dd v x v x xe t ξωξωξωωωω-+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，瞬态响应，逐步衰减。
特解X2为：()()i t H Ae ωϕω-，稳态响应，实际上的激励和响应仅取实部，响应的频率是激励的频率！222222222222cos arctan cos arctan 112112n n n n n n n n AA t t i ωωξξωωωωωωωωωωξξωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭幅频特性221()12n n X H Ai ωωωξωω==-+，相频特性222()arctan1n nωξωϕωωω=-若激励表示为i t Ae ω，响应表示为i t Xe ω，可表述()()()x t H f t ω=，则()()()i t x t H Ae ωϕω-=共振频率212r n ωωξ=-，有阻尼自然频率21d n ωωξ=-，因此，对共振的研究应考虑阻尼比ξ=0.707的特殊点。
结构动力学方程常用数值解法对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：...++=()M x C x Kx F t从数学角度看，这是一个常系数的二阶线性常微分方程组，计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类：－、针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法，中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。
二、直接基于二阶动力学方程发展的方法。
对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类：一是坐标变换法，它是对结构动力方程式，在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Rize变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法。
二是直接积分法，它是对结构动力方程式在求解之前不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，然后将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成。
通常又称为逐步积分法。
模态迭加方法，比较常用，但如下情况通常使用直接积分方法（即求解之前不进行模态分析）一、非比例阻尼，非线性情况。
二、有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间较短，模态迭加计算量太大。
一振型迭加法与Duhamel积分数值解按照有限单元法的一般规则, 经过边界条件的约束处理, 结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为:++= (1)MU CU KU R其中, M是体系的质量矩阵, C 是体系的阻尼矩阵, 而K 则是刚度矩阵. R 为外荷载向量. U、U和U则分别是体系单元节点的位移、速度和加速度向量. 上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力MU和与速度有关的阻尼力CU及与位移有关的弹性力KU在时刻t与荷载的静力平衡。
振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系, 求得各个单自由度体系的动力响应后, 再进行叠加得出结构整体响应. 振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵, 将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程. 逐个地求解这些方程后, 将解叠加即可得到动力方程的解。
1/87结构动力学教师：刘晶波助教：宝鑫清华大学土木工程系2016年秋2/87结构动力学第5章动力反应数值分析方法3/87主要内容：❑数值算法中的基本问题❑分段解析法❑中心差分法❑一般时域逐步积分法的构造❑Newmark —β法❑Wilson —θ法❑时域逐步积分算法的新发展❑结构非线性反应分析4/875.1数值算法中的基本问题5/875.1数值算法中的基本问题前面介绍了二种结构动力反应分析方法：时域分析方法—Duhamel 积分法，频域分析方法—Fourier 变换法。
●这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。
当外荷载为解析函数时，采用这两种方法一般可以得到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得到解析解, 通过数值计算可以得到动力反应的数值解。
●这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性的，当外荷载较大时，结构反应可能进入物理非线性(弹塑性)，或结构位移较大时，结构可能进入几何非线性，这时叠加原理将不再适用。
此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。
6/875.1 数值算法中的基本问题时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均加速度法；（4）线性加速度法；（5）Newmark －β法；（6）Wilson －θ法；（7）Houbolt 法；（8）广义α法；•••••••••时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。
7/875.1 数值算法中的基本问题采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel 积分，Fourier 变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。
时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移和速度为：而这种离散化正符合计算机存贮的特点。
与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足，这相当于放松了对运动变量的约束。
(),(),1,2,i i i i u u t uu t i === 8/875.1 数值算法中的基本问题采用等时间步长离散时，t i =i ∆t ，i =1, 2, 3,…。
体系的运动微分方程仅要求在离散时间点上满足。
∆t ——离散时间步长离散的定义？9/875.1 数值算法中的基本问题一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断：收敛性：当Δt →0时，数值解是否收敛于精确解； 计算精度：截断误差与时间步长Δt 的关系，若误差ε∝O(Δt n )，则称方法具有n 阶精度； 稳定性：随时间步数i 的增大，数值解是否变得无穷大（远离精确解）；计算效率：数值计算中所花费的计算时间的多少。
一个好的方法首先必须是收敛的、有足够的精度(例如2阶精度，满足工程要求)、良好的稳定性、较高的计算效率。
在发展逐步积分法中，也的确发展了一些高精度但很费时的方法，在实际中得不到应用和推广。
10/875.1 数值算法中的基本问题根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为两大类：隐式方法：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark -β法、Wilson -θ法。
显式方法：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法(无阻尼时)。
下面先介绍分段解析算法，然后重点介绍两种常用的时域逐步积分法—中心差分法和Newmark -β法，同时也介绍Wilson -θ法，最后介绍非线性问题分析方法。
11/875.2分段解析法(Piecewise Exact Method)12/875.2分段解析法分段解析算法假设在t i ≤t ≤t i+1时段内分段解析法对外荷载的离散1()()/i i i i i ip p p p t τατα+=+=-∆ptp ip i +1△t iτ插值荷载：p (τ)实际荷载t i t i +1如果荷载p (t )采用计算机采样，即离散数值采样，则以上定义可认为是“精确”的。
13/875.2 分段解析法在t i ≤t ≤t i+1时段内体系的运动方程：初值条件：运动方程的特解:运动方程的通解:ταττττi i p p ku u c um +==++)()()()( 0(),()i i u u uuττττ==== ckp k u i i i p 2)(1)(ατατ-+=)sin cos ()(τωτωττζωD D c B A eu n +=-pt14/875.2 分段解析法将全解代入边界(初始)条件确定系数A 、B ，最后得：其中，τωτωτττζωτζωD D n n e A e A A A u sin cos )(3210--+++=012032121,,,[]i i i i i n n D p A A A u A A u A A k k kζααζωωω=-==-=+- τωζωωτωζωωττζωτζωD n D D n D n n e A A e A A A usin )(cos )()(32231--+--+= ()()()p c u u u τττ=+15/875.2 分段解析法当τ=∆t i 时，得到其中系数A —D '是结构刚度k ，自振频率ωn ，阻尼比ζ和时间步长∆t 的函数。
上式给出了分段解析法根据i 时刻运动及外力计算i +1时刻运动的递推计算公式。
✦如果结构是线性的，并采用等时间步长，则A —D '均为常数，其计算效率非常高，在p (t )为离散采样的定义下是精确解。
✦如果是非线性问题，则A —D '均为变量，计算效率会大为降低。
1111++++'+'+'+'=+++=i i i i i i i i i i p D p C u B u A uDp Cp uB Au u pt16/875.2 分段解析法分段解析法计算公式中的系数⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆-=∆-t t e A D D t ωωζζζωcos sin 12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∆-t e B D D t ωωζωsin 1⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∆-+∆=∆-t t t t e t k C D n D D t n ωωζωζζωζωζζωcos 21sin 1212122 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+∆∆-+∆-=∆-t t t t e t k D D n D D t n ωωζωωζωζζωcos 2sin 122112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆--='∆-t e A D nt ωζωζωsin 12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--∆='∆-t t e B D D t ωζζωζωsin 1cos 2⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆∆+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∆+-+∆-='∆-t tt t e tk C D D n t ωωζζζωζωcos 1sin 111122⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆--∆='∆-t t e t k D D D t ωωζζζωcos sin 11121111i i i i i i i i i i u Au BuCp Dp uA uB uC pD p ++++=+++''=+''++17/875.2 分段解析法分段解析法的误差仅来自对外荷载的假设，而在连续时间轴上严格满足运动微分方程。
一般的时域逐步积分法将进一步放松要求，仅要求在离散的时间点上满足运动方程，即放松了对运动的约束。
18/875.3中心差分法(Central Difference Method)19/875.3中心差分法中心差分方法用有限差分代替位移对时间的求导(即速度和加速度)。
如果采用等步长，∆t i =∆t ，则i 时刻速度和加速度的中心差分近似为：tu u ui i i ∆-=-+211 2112t u u u ui i i i ∆+-=-+ ii i i i i i p ku tu u ctu u u m=+∆-+∆+--+-+2211211)()()()(i i i i t p t ku t u c t u m =++ )()()()(i i i i i i i i t p p t u u t u u t u u ==== 11222222i i ii m c m mc u p k u u t t t tt +-⎫⎫⎫⎛⎛⎛+=---- ⎪ ⎪ ⎪∆∆∆∆∆⎝⎝⎝⎭⎭⎭20/875.3 中心差分法多自由度体系的中心差分法逐步计算公式为：11222222i i ii m c m mc u p k u u t t t t t +-⎫⎫⎫⎛⎛⎛+=---- ⎪ ⎪ ⎪∆∆∆∆∆⎝⎝⎝⎭⎭⎭{}{}{}{}{}{}{}{}()()()()i ii i i i i iu u t u u t u u t p p t ==== {}{}{}(){}{}{}{}()112111212i i i i i i i u u u tuu u u t+-+-=-∆=-+∆ [][]{}{}[][]{}[][]{}212211122112i i i i M C u t t p K M u M C u t t t +-⎫⎛+ ⎪∆∆⎝⎭⎫⎫⎛⎛=---- ⎪ ⎪∆∆∆⎝⎝⎭⎭21/875.3 中心差分法单步法和多步法的概念单步法：采用时域逐步积分法计算某一时刻的运动时，仅需已知前一时刻的运动。
多步法：需要前两个或两个以上时刻的运动。
中心差分法在计算t i+1时刻的运动u i +1时，需要已知t i 和t i -1两个时刻的运动u i 和u i -1，因此，中心差分法属于两步法；而分段解析法仅需要已知t i 时刻的运动，因此为单步法。
11222222i i i i m c m mc u p k u u t t t t t +-⎫⎫⎫⎛⎛⎛+=---- ⎪ ⎪ ⎪∆∆∆∆∆⎝⎝⎝⎭⎭⎭1111++++'+'+'+'=+++=i i i i i i i i i i p D p C u B u A uDp Cp uB Au u 22/875.3 中心差分法时域逐步积分法计算中起步的概念用两步法进行计算时存在起步问题，因为仅根据已知的初始位移和速度，并不能自动进行运算，而必需给出两个相邻时刻的位移值，方可开始逐步计算。
在初始时刻需要建立两个起步时刻(即i ＝0, -1)的位移值，这即是逐步积分的起步问题。
