§8-7 超静定结构各类解法的比较和合理选用

超静定结构的解法
迭代解法主要利用迭代计算的方法，在每次迭代中修正应力和应变的分布，直到趋于稳定。

该方法的基本步骤如下：
1.假设受力的初始状态，即假设一些节点处的节点位移和内力；
2.利用结构的几何约束和材料力学性质，计算一些节点处的内力和位移；
3.判断内力和位移是否满足力学静平衡条件，若满足则计算结束，否则进入下一步；
4.通过一定的修正方法，调整节点内力和位移；
5.重复步骤2至步骤4，直到内力和位移满足力学静平衡条件。

迭代解法的优点是通用性强，适用于各种超静定结构，但收敛速度较慢，计算量较大。

弹性势能法是利用结构的势能原理，将结构的力学行为转化为弹性势能的变化来求解结构的内力和位移。

该方法的基本步骤如下：
1.根据结构的受力情况和约束条件，建立适当的势能表达式；
2.利用力学静平衡方程，将势能表达式表示为内力和位移的函数；
3.求解势能的极值点，即通过对内力和位移偏导等于零，解得内力和位移的方程；
4.建立适当的边界条件，如位移边界条件和约束条件；
5.通过求解得到的方程，计算结构的内力和位移。

弹性势能法的优点是求解过程相对简单，收敛速度较快，但要求结构能够满足一定的连通性和对称性条件。

在解超静定结构的过程中，还可以采用其他方法来辅助计算，如虚功法、位移法、能量法等。

此外，有些超静定结构也可以通过变形补偿或者加固措施等方法使之退化为静定结构，进而采用常规的静力计算方法来求解。

总之，解超静定结构是一个相对复杂的过程，需要利用附加条件和弹性支承约束来求解。

通过迭代解法和弹性势能法等方法可以得到结构的内力和位移，为实际工程中的设计和分析提供重要的参考和依据。

第八章超静定结构解法
超静定结构是指结构中的节点数超过了杆件数，即结构中的自由度超过了平衡条件的数量。

对于超静定结构的解法，需要进行位移计算和支反力计算。

位移计算可以通过以下步骤进行：
1.建立结构的刚度方程。

根据杆件的刚度和支座的自由度约束，可以建立结构的刚度矩阵。

刚度矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是结构的自由度数量。

2.确定约束条件。

根据结构的支座约束，可以确定支座位移为零的约束条件。

3.应用边界条件。

将约束条件应用到刚度方程中，可以得到一个未知位移的方程组。

4.解未知位移。

通过解这个方程组，可以得到结构的未知位移值。

支反力计算可以通过以下步骤进行：
1.利用位移计算中得到的未知位移值，计算杆件的应力。

应力可以通过应变和材料的本构关系得到。

2.根据杆件的几何特征和应力，计算杆件的应力。

应力可以根据杆件的截面积和应力得到。

3.根据杆件的几何特征和应力，计算杆件的内力。

内力可以根据截面受力平衡的条件得到。

4.根据内力和支座约束，计算支座的反力。

反力可以通过力的平衡条件得到。

总的来说，超静定结构的解法需要进行位移计算和支反力计算。

在位移计算中，需要建立结构的刚度方程，并将约束条件以及边界条件应用到方程中，来解未知位移。

在支反力计算中，需要利用位移计算中得到的未知位移值，计算杆件的应力和内力，并根据杆件的几何特征和应力来计算支座的反力。

超静定结构基本计算方法对比分析作者：刘晓江马俊涛来源：《卷宗》2016年第06期摘要：超静定结构是在工程实际中大量采用的结构形式。

本文主要论述超静定结构的两种基本计算方法--力法与位移法在基本思路、典型方程以及应用等方面的对比。

关键词：超静定结构；力法；位移法；对比在实际工程中，大多数结构都是超静定结构。

结构力学计算的内容，通常包括内力计算和位移计算两个方面。

在结构的静力问题中，内力和位移必须满足平衡条件和变形连续条件。

对于静定结构来说，平衡条件是解结构反力和内力的唯一条件，而超静定结构必须同时满足以上两个条件，问题才能获得全部解答。

本文介绍的超静定结构计算的两种基本计算方法都离不开这两条件，只是在满足这两个条件的次序和方式上有所不同。

1 基本思路的对比力法：用力法计算超静定结构，首先撤除多余约束，将超静定结构变为静定结构，同时保留相应的多余力（基本未知量），这就是力法的基本体系；其次，利用静力平衡条件，求出基本结构在荷载和单位多余力作用下的内力；利用变形协调条件，建立力法的基本方程，进而求出基本未知量；最后，用叠加原理求出超静定结构的内力。

位移法：位移法以结点位移作为基本未知量，通过转角位移方程求出各杆杆端弯矩，从而求出结构的内力、反力。

用位移法解答问题时，首先需要明确结构的基本未知量。

选取的基本未知量将原来各部分相互关联的结构，分解成彼此可以独立使用转角位移方程的杆件。

在此基础上，就可以利用杆件的转角位移方程，根据结构的结点或局部平衡条件建立位移法方程。

将求解位移法方程所得的基本未知量回代入各杆件的转角位移方程，即可求得各杆件的杆端弯矩。

力法解题时转化搭桥，采用过渡策略，把超静定问题与静定问题联系起来，加以比较，从中找到由静定问题求解过渡到超静定问题求解的途径。

而位移法把结构拆成杆件，进行杆件分拆，得出杆件的刚度方程，再把杆件综合成结构，进行整体分析，得出基本方程，从而求解，是“先化整为零，再集零成整”，即将一个复杂的问题化解为若干简单问题的分析及组合的问题。

智库时代·228·智库论坛结构按照静力学特性可分为静定结构和超静定结构，静定结构的内力只需要考虑静力平衡条件即可求出，超静定结构的内力除了考虑静力平衡条件还需要考虑变形协调条件才能求出。

超静定结构解法根据所选取基本未知量的不同可分为力法和位移法，根据求解线性方程组的方法可分为直接解法和渐近解法。

现从以上两个分类角度加以比较并对不同解法在结构中的适用性进行归纳。

一、力法、位移法的比较（1）力法、位移法的发展。

力法、位移法是超静定结构内力计算的两种最基本解法。

力法是提出较早、发展最完备的计算方法，是在虚位移原理、莫尔积分的基础上发展起来的。

位移法是在20世纪为了计算复杂刚架而建立起来的，可以说力法是位移法的基础。

（2）力法、位移法的基本思路。

力法是把超静定结构通过去约束暴露多余未知力转变为静定结构，再由静定结构根据实际变形协调条件转变为超静定结构，即“超静定-静定-超静定”。

位移法是通过加约束暴露位移把结构拆成杆件，再由杆件根据静力平衡条件过渡到结构，即“结构-构件-结构”，也即先拆后搭，先离散后整合，先锁后放。

（3）力法、位移法的基本未知量。

力法的基本未知量是多余约束力，基本未知量的个数就是多余约束反力的个数。

位移法的基本未知量是独立结点位移，基本未知量的个数等于结点转角和独立结点线位移数目之和。

结点转角的数目等于刚结点的数目，独立结点线位移的数目等于铰结体系自由度的数目，一般可由观察判定。

（4）力法、位移法的基本体系。

力法的基本体系是原超静定结构中去掉多余约束代以多余未知力而得到的含有多余未知力的静定结构；位移法的基本体系是在原超静定结构中增设可控约束即在结点转角处增加刚臂，在独立结点线位移处附加链杆所形成的超静定结构。

（5）力法、位移法的基本结构。

力法的基本结构是原超静定结构中去掉多余约束和荷载得到的静定结构，即基本体系中不考虑荷载和多余未知力的结构。

位移法的基本结构是在原超静定结构中去掉荷载后增加与位移法基本未知量相应的可控约束而得到的结构，即基本体系中不考虑独立结点位移和荷载的结构。

第8章渐近法及其他算法简述8.1 复习笔记本章介绍了几种属于位移法类型的渐近方法。

这些渐近方法的基础是力矩分配法，在力矩分配法的基础上，衍生出了适用于不同结构类型的子方法，如无剪力分配法、分层计算法、反弯点法。

渐近法舍弃了一部分精度，但以此换来了更高的效率。

一、力矩分配法的基本概念（见表8-1-1）1．转动刚度、分配系数、传递系数表8-1-1 力矩分配法的基本概念2．基本运算环节（单结点转动的力矩分配）（见表8-1-2）表8-1-2 单结点转动的力矩分配图8-1-1图8-1-2二、多结点的力矩分配（见表8-1-3）表8-1-3 多结点的力矩分配图8-1-3三、无剪力分配法（表8-1-4）表8-1-4 无剪力分配法图8-1-4四、近似法（见表8-1-5）表8-1-5 近似法图8-1-5 分层法五、超静定结构各类解法的比较和合理选用（见表8-1-6）表8-1-6 超静定结构各类解法的比较和合理选用8.2 课后习题详解8-1 试用力矩分配法计算图8-2-1所示结构，并作M图。

图8-2-1解：（a）求固端弯矩M AB F＝－F P l/8＝－20kN·m，M BA F＝F P l/8＝20kN·m求分配系数μBA＝EI/（EI＋EI/2）＝1/（1＋1/2）＝0.667，μBC＝（EI/2）/（EI＋EI/2）＝（1/2）/（1＋1/2）＝0.333放松B点进行力矩分配（B点的集中力偶应该与固端弯矩一起分配），分配过程如图8-2-2所示，并作出M图如图8-2-2所示。

图8-2-2（b）考虑去掉悬臂部分CD，去掉后在C点施加大小为10kN·m的顺时针力偶矩。

求固端弯矩（注意，C点的附加力偶传递到B点的作用不能忽略）M BC F′＝－3F P l/16＝－18kN·m（集中力引起）M BC F″＝1/2×10kN·m＝5kN·m（附加力偶引起）M BC F＝M BC F′＋M BC F″＝－13kN·m，M CB F＝10kN·m。