考研数学初期复习：中值定理与导数的应用

第三章 中值定理与导数的应用从第二章第一节的前言中已经知道,导致微分学产生的第三类问题是“求最大值和最小值”. 此类问题在当时的生产实践中具有深刻的应用背景,例如,求炮弹从炮管里射出后运行的水平距离(即射程),其依赖于炮筒对地面的倾斜角(即发射角). 又如,在天文学中,求行星离开太阳的最远和最近距离等. 一直以来,导数作为函数的变化率,在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义,因而在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到广泛的应用.在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.本节主要内容1罗尔定理2拉格朗日中值定理3柯西中值定理讲解提纲：一、罗尔定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在区间端点的函数值相等, 即).()(b f a f = 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得 .0)(='ξf注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.罗尔定理中)()(b f a f =这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导. 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ拉格朗日中值公式反映了可导函数在],[b a 上整体平均变化率与在),(b a 内某点ξ处函数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日终值定理可改写为).10()(0<<∆⋅∆+'=∆θθx x x f y 称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位,有时也称这个定理为微分中值定理. 在某些问题中,当自变量x 取得有限增量x ∆而需要函数增量的准确表达式时,拉格朗日中值定理就突显出其重要价值.推论1 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零, 那末)(x f 在区间I 上是一个常数.三、柯西中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在(a , b )内每一点处,0)(≠'x g . 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得)()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=-- 显然, 若取,)(x x g =则,1)(,)()(='-=-x g a b a g b g 因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定理又称为广义中值定理.例题选讲：罗尔定理的应用例1 对函数()x x f sin ln =在区间[]5,ππ上验证罗尔定理的正确性. 解:21sin ln )65()6(==ππf f ，0)2('=πf . 例2 设()x f 在[]b a ,上连续, ()x f '在[]b a ,连续. 且()()()0,0,0<><b f c f a f ,c 介于a,b 之间. 证明: 存在()b a ,∈ξ, 使()0='ξf 成立.证明:函数在[]b a ,内连续.在[]c a ,内由条件根据介值定理可推得存在一点1ξ，使得 ()01=ξf .同理, []b c ,内存在一点2ξ，使得()02=ξf .在[]21,ξξ内满足罗尔定理存在()b a ,∈ξ, 使()0='ξf 成立.拉格朗日中值定理的应用例3证明 ).11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π证明:令x x x f arccos arcsin )(+=；则11,0)('<<=x x f .所以f(x)为一常数设为f(x)=c,又因为2)1(,2)1(,2)0(πππ=-==f f f , 故).11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π例4 证明当0>x 时,.)1ln(1x x xx <+<+ 证明:设)1ln()(x x f +=，则函数在区间[0，x]上满足拉格朗日中值定理得条件，有 x x f f x f <<-=-ξξ0),0)(()0()(' 因为x x f f 1)(,0)0('==，所以ξ+=+1)1ln(x x ，又因为x <<ξ0 所以 .)1ln(1x x xx <+<+ 柯西中值定理的应用例5 设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使)].0()1([2)(f f f -='ξξ证明:只需令2)(x x g =即可课堂练习1. 试举例说明罗尔定理的条件缺一不可.2. 若)(x f 是[a , b ]上的正值可微函数, 则有点)1,0(∈ξ使()()()()().lna b f f a f b f -'=ξξ罗尔（Rolle ，1652~1719）简介：罗尔是法国数学家。

第三章 中值定理与导数的应用§3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf .例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξξξ)()(f f -='．【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：()0)(0)()(0)()()()(='→='+→='+→-='x xf x f x x f f f f f ξξξξξξ【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且0)1(1G (1)0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξξξ)()(f f -='例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是找到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可。

中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础。

在实际应用中，中值定理与导数的应用非常广泛。

以下是一些具体的应用：
1.判断函数的单调性：通过导数可以判断函数的单调性，如果函数在某个区间内的导数大于0，则
该函数在这个区间内单调递增；如果函数在某个区间内的导数小于0，则该函数在这个区间内单调递减。

2.求函数的极值：导数可以用来求函数的极值。

如果函数在某一点的导数为0，则该点可能是函数
的极值点。

在判断出极值点后，可以通过求导数在该点的左右两侧的符号变化来确定该点是极大值点还是极小值点。

3.判断函数的凹凸性：通过二阶导数可以判断函数的凹凸性。

如果函数在某一点的二阶导数大于0，
则该函数在该点附近是凹函数；如果二阶导数小于0，则该函数在该点附近是凸函数。

4.求函数的拐点：在判断出函数的极值点和凹凸性后，可以进一步求出函数的拐点。

拐点的定义是
函数图像在该点处的切线发生弯曲的地方。

通过求一阶导数在该点的左右两侧的符号变化，可以判断出拐点的位置。

5.判断函数的不等式：通过导数还可以判断函数的不等式。

如果两个函数在某个区间内的导数符号
相反，则这两个函数在该区间内的函数值一定不相等。

6.最优化问题：在工程和经济学中，经常需要解决最优化问题。

使用微积分中的中值定理和导数可
以找到最优解。

例如，在经济学中，可以使用微积分来找到最大化收益或最小化成本的最佳策略。

总的来说，中值定理与导数的应用非常广泛，它们是微积分学的重要基石，可以用于解决各种实际问题。

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第三章 中值定理与导数的应用一、基本要求（1）深刻理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，会利用微分中值定理做一些证明题。

（2）熟练掌握洛必达法则。

（3）掌握函数单调性的判别法。

（4）理解函数极值的概念，并掌握其求法。

（5）理解函数最值得概念，并掌握其求法，能解决较简单的最值应用问题。

（6）理解曲线凹凸性和拐点的概念，会判断曲线的凹凸性，会求拐点。

（7）能描绘函数的图形（包括渐近线）。

（8）知道弧微分概念，并会求弧微分。

（9）了解曲率、曲率半径的概念。

二、重点与难点重点：微分中值定理的应用；洛必达法则；函数最值及其求法。

难点：微分中值定理的应用；泰勒公式。

三、释疑解难问题 罗尔定理中“函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，在开区间(,)a b 可导”这两个条件，是否可以合并成“函数()f x 在闭区间[,]a b 可导”这一条件，这样不是更简便吗答 ()f x “在[,]a b 可导”不仅包含了()f x “在[,]a b 连续，在(,)a b 可导”，而且包含了()f a +'与()f b -'都存在。

这样，条件增强了，必然引起罗尔定理适用范围的缩小。

例如，()f x =满足“在[1,1]-连续，在(1,1)-可导”，(1)(1)0f f -==，于是，存在(1,1)ξ∈-，使得()0f ξξ='===，可以看出，0(1,1)ξ=∈-，但是，()f x =1x =±不可导，不满足“在[1,1]-可导”。

在进行数学研究时，应力求将命题的条件减弱，以扩大其适用范围。

问题 罗尔定理的结论为存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=，那么，ξ是否一定是()f x 的极值点答 罗尔定理中的ξ在(,)a b 可以有多个，其中有的ξ可以是()f x 的极值点，有的ξ可以不是()f x 的极值点。

例如，3()(53)4x f x x =-，在[1,2]-满足罗尔定理的条件。