(A)
一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明
1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。
证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1
当x 0时，F'x ・0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ・0,即
e x 1 x
2
2 .设 x 0，证明 x - x
In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2
因x • 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, •::单减。
2
x
故 f x :: f 0 =0，即卩 x
In 1 x
2
20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x
1
——1
1 + x
当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x
2
由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 • x :: x
2
(B )
一选择 1— 4 CBDD
习题3.1
1°:令 f x R x -
计算与证明
arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故
1 1 arctan arcta n
—
，使 f n
LJ v f 1 1
当n 时，贝厂＞ 0
1
故原式二 lim f = lim 2
= 1
2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ・0,1 ，都有f x -
1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。
证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0，
F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。
下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f
X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：5
1X1, X 2 ，使 得
f =
f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1
x 2 _捲 x 2 _捲
这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。
3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点
1,2，使F 」=0。
求lim n _L ：i
由拉格朗日定理知，存在一点
证明：由题设知F x在1,2 1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点a. 1,2 , 使得「a =0 o
因为F * = f x • x —1 f，则由题设知F'x在1,a ］上连续，在1,a内
可导，且F j = f 1 =0，故F'x在1,a 1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点•，使F ”=0，
4•设f x在la,b 1上连续，在a,b内二阶可导且f a］= f b］=0，且存在点c三［a,b ，使得f c 0，试证至少存在一点匚三［a,b ，使得f i- 0 o
证：f X在a,cl及c,b ］上都满足拉格朗日定理条件，则存在鼻三ac，■■三Cb，使得
f ：J c -f a上
c —a c — a
f： = f b -f c f c
b-c b-c
因为 f c 0，则 f f:：: 0
因f x在a,b内二阶可导，则f x在L ,门上满足拉格朗日定理条件，故至少存在
一点匚「- J ，使f ” 二」::: 0 o
P -CL
习题3.2
选择
1—5 CBABD
计算
1•求lim x"n1 x
1
2x = lim 1
x ：0
1
1
2 .求 lim
TJn(1 +x )
型 =lim
lim
x —0 1 x ln 1 x i 亠 x
—0 ln 1x^2
1
4. 求 lim 1 x 2 匚
-arctgx
解：令 § — arctgx 二 t ，贝U x 二 ctgt
故原式二 lim t lnctgt
t T
=lim ,- f
2、T 弋 A- csc t ) ctgt
=lim Snt lim -cost r —0 t —0
令y 二严t ，则lny
Int In ctgt
解：原式二lim x 」n1 x 輕
T xlnf1 + x I = 7
xln 1 x
1」 ln 1 x x
3 •求lim 上込
x
気cos3x
型广 -2cosx 、3
解：原式 H m 0_3sin3x
解：令 y = 1 x 2 x ，则 In y
In 1 x 2
ln 1 x 2 -型 0
lim
= 0
x )0
1 x 2
•••原式二e 0
=1 型
'•Tim ln y 」lim
—o
J0 ■
1
sint 丄 cost
