第三章 中值定理与导数的应用
一、 基本内容
（一） 中值定理
1.罗尔定理
如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf .
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2.拉格朗日中值定理
如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得
a
b a f b f f --=')()()(ξ 其微分形式为
x f x f x x f ∆⋅'=-∆+)()()(ξ
这里10,<<∆⋅+=θθξx x .
推论 如果函数)(x f 在开区间),(b a 内的导数恒为零，那么)(x f 在),(b a 内是一个常数.
3.柯西中值定理
如果函数)(x f 及)(x g 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)(x g '在),(b a 内的每一点均不为零，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得
)
()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=-- 中值定理是导数应用的理论基础，在应用中值定理证明题时，关键是构造适当的辅助函数.
（二） 洛必达法则
1.法则1
如果函数)(x f 及)(x g 满足条件：
(1)0)(lim =→x f a x , 0)(lim =→x g a
x ；
(2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3))
()(l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 )()(lim )()(lim x g x f x g x f a x a
x ''=→→ 2.法则2
如果函数)(x f 及)(x g 满足条件：
(1)0)(lim =∞→x f x , 0)(lim =∞
→x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) )()(lim
x g x f x ''∞→存在（或为无穷大）； 那么
)()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞
→ 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞
∞型未定式，也有相应的两个法则. 对∞⋅0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞
∞型来求. （三） 泰勒公式
1.带拉格朗日余项的泰勒公式
设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有
+-''+-'+=200000)(2)())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!
)(00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()!
1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项.
（四） 函数的单调性
函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.
(1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；
(2) 如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.
（五） 函数的极值与最值
1.函数在一点取得极值的必要条件
设函数)(x f y =在0x 点取得极值，如果)(x f 在0x 点可导，那么0)(0='x f .使0)(='x f 的点x 称为函数)(x f 的驻点.驻点不一定是极值点.驻点和不可导点是函数的所有可能的极值点.
2.极值点的两个判别定理
判别之一 设函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 的某去心领域),(0δx U
内可导，有
(1) 如果在),(00x x δ-内0)(<'x f ，在),(00δ+x x 内0)(>'x f ，那么)(x f 在0x 取得极小值；
(2) 如果在),(00x x δ-内0)(>'x f ，在),(00δ+x x 内0)(<'x f ，那么)(x f 在0x 取得极大值；
(3) 如果)(x f '在),(0δx U 内符号保持不变，那么)(x f 在0x 没有极值.
判别之二 设函数)(x f y =在0x 点处有二阶导数，且0)(0='x f ，则有
(1) 如果0)(0>''x f ，那么在0x 取得极小值；
(2) 如果0)(0<''x f ，那么在0x 取得极大值.
3.函数的最大值与最小值的求法
(1) 求出)(x f '在),(b a 内的零点和不存在的点n x x x ,,,21 ，计算出)(x f 在这些点处的函数值)(,),(),(21n x f x f x f ；
(2) 计算出)(x f 在],[b a 的两个端点上的值)(),(b f a f
(3) )}(),()(,),(),(m ax {21b f a f x f x f x f n 是)(x f 在],[b a 上的最大值
)}(),()(,),(),(m in{21b f a f x f x f x f n 是)(x f 在],[b a 上的最小值. （六）曲线的凹凸与函数的作图
1.凹凸的定义
设函数)(x f y =在闭区间],[b a 上连续，如果对于],[b a 上任意两点21,x x ，恒有
