第四章.中值定理与导数的应用

《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第2节洛必达法则洛必达法则（L'Hôpital's rule）是一种常用于求解极限的方法，该方法是由法国数学家Guillaume de l'Hôpital在1696年提出的。

洛必达法则适用于形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限。

具体来说，如果对于函数$f(x)$和$g(x)$，当$x \to a$时，$f(x)$和$g(x)$分别趋于0或无穷大，且$f'(x)$和$g'(x)$都存在（其中$f'(x)$和$g'(x)$分别表示$f(x)$和$g(x)$的导数），则有：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$其中，等式右边的极限表示对$\frac{f'(x)}{g'(x)}$求导后再取$x \to a$的极限。

这个法则的推导基于泰勒展开的思想。

我们知道，对于充分光滑（即具有连续的导数）的函数，它在其中一点周围可以用泰勒级数展开。

假设$f(x)$和$g(x)$在$a$的邻域内都可展开，则有：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 +\cdots$$$$g(x) = g(a) + g'(a)(x-a) + \frac{1}{2}g''(a)(x-a)^2 +\cdots$$根据极限的定义，我们希望求解的极限是$x \to a$时的极限，因此可以将$x-a$看作一个无穷小量。

我们忽略展开式中的高阶无穷小量，得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \approx \lim_{x \to a}\frac{f(a) + f'(a)(x-a)}{g(a) + g'(a)(x-a)}$$将$a$代入极限中，我们可以得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(a)}{g(a)}$$上述结果是前提条件$f(a)=g(a)=0$下的结果，而当$f(a) \neq 0$或$g(a) \neq 0$时，我们可以对$\frac{f(x)}{g(x)}$做除法的等价变形，具体来说，我们可以将除法变化为乘法，然后再求极限。

第四章 中值定理，导数的应用基 本 要 求一、理解罗尔（Rolle ）定理、拉格郎日（Lagrange ）定理、柯西（ Cauchy ）定理的条件和结论，掌握这三个定理的简单应用。

二、会用洛必达（L ，Hospital ）法则求不定式的极限。

三、理解函数极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，会用导数判断函数图形的凹向性，会求拐点，会求函数图形的渐近线（包括水平、垂直及斜渐近线）.会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。

四、掌握函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图形。

习题四5、（1）23 （2）21 （3）2 （4）51 （5）0 （6）∞ （7）1 （8）e 1- （9）e （10*）e 3. 6、略. 7、（1）),33)(33,(+∞--∞单调上升； )33,33(-单调下降（2）单调升单调降，),1()1,(+∞---∞ 8、略.9、（1）极大值274)31(=f ，极小值f(1)=0 （2）极大值353)35(ππ+=f ，极小值33)3(-=ππf （3）极大值e e f 224)(=，极小值f(1)=0 （4）极小值f(1)=210、（1）极小值ef e 2)(2-=- （2）极大值f(3)=108,极小值f(5)=011、（1）45)43(max =f ，min f(1)=1 （2）max f(2)=ln5 , min f(0)=0（3）min f(-3)=27,无最大值 （4）max )21(-f =21、21)1(=f min f(0)=0 12、底边长6米、高3米. 13、长18米、宽12米. 14、5批. 15、（1）（-∞，2）、（4，+∞）上凹，（2，4）下凹； 拐点：（2，62）,（4，206） （2）（-∞，1）、（1，+∞）下凹，（-1，1）上凹； 拐点：（-1，ln2）,(1,ln2) （3）（-∞，2）下凹，（2，+∞）上凹； 拐点：)2,2(2e（4）),(4242eek k πππππ+++下凹，),(42432eek k ππππ+-上凹；拐点：)22,(4242e ek k ππππ++± 16、（1）y = 0,x = -1 (2)2π±=x y17、略.18、（1）C （1000）=188.25 )1000(C =0.1928.0)1000(/=C（2）X=400 (3)min C (400)=0.15 19、（1）平均成本253125)(Q Q Q Q C ++= 边际平均成本Q Q Q C 2/125251)(-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）边际成本Q Q C Q 2523)(/+= 边际收入Q Q R -=30)(/ 边际利润)251(27)(/Q Q L -= 20、η（4）=5 当价格P=4时，价格上涨1%，需求量减少5% 21、（1）x = 20,边际产量36， x= 70,边际产量-24. （2）x=20时，产量的弹性为3724，x=70时，产量的弹性为4756-习 题 四1、验证下列函数在指定区间满足罗尔定理的条件，并找出所有满足罗尔定理结论的ξ： （1）x x x f -=3)( ，[-1，1] ；解：由题知)(x f 在]1,1[-上连续，在)1,1(-内可导，且0)1()1(==-f f∴)(x f 在]1,1[-上满足Roll 中值定理条件 ∴33013)(2'±=⇒=-=ξξξf （2）x x x f -=3)( ， [0，3].解：由题知)(x f 在]3,0[上连续，在)3,0(内可导，且0)3()0(==f f ∴)(x f 在]3,0[上满足Roll 中值定理条件∴20)1(323)('=⇒=-⋅-+-=ξξξξξf2、验证下列函数在指定区间满足拉格朗日中值定理的条件，并找出所有满足结论的ξ：（1）21)(x x f -=， [0，3] ；解：∵由题知)(x f 在]3,0[上连续，在)3,0(内可导∴)(x f 在]3,0[上满足Lagrange 中值定理条件 又∵x x f 2)('-= ∴23392)()()('=⇒-=-⇒--=ξξξa b a f b f f（2）f (x) = ln x , [1,2].解：∵由题知)(x f 在]2,1[上连续，在)2.1(内可导∴)(x f 在]2,1[上满足Lagrange 中值定理条件 又∵x x f 1)('=∴2ln 1121ln 2ln 1)()()('=⇒--=⇒--=ξξξa b a f b f f3、应用拉格朗日中值定理，证明下列不等式.（1）xx x x 1ln )1ln(11<-+<+(x>0)； 证明：令t t f ln )(=，它在]1,[+x x 上满足Lagrange 中值定理，∴存在]1,[+∈x x ξ使得ξξ11ln )1(ln )1ln()('=+=-+-+=x x x x x x f 成立∵xx 1111<<+ξ ∴x x x x 11ln 11<+<+ □ （2）221arctan arctan 1aab a b b a b +-<-<+-(a<b). 证明：令t t f arctan )(=，它在],[b a 上满足Lagrange 中值定理，∴存在],[b a ∈ξ使得2'11arctan arctan )(ξξ+=--=a b a b f 成立 ∴a b ab arctan arctan 12-=+-ξ ∵b a <<ξ ∴221arctan arctan 1a ab a b b a b +-<-<+- 又∵xx 1111<<+ξ ∴x x x x 11ln 11<+<+ □ 4、证明 )1,1(,2a r c c o s a r c s i n -∈=+x x x π。