浙江省2009年高中数学课堂教学评比课题之一几类不同增长的函数模型(1) PPT课件 人教课标版

3、2、2、1 函数模型的应用举例一、【学习目标】1、培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式.2、会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题.3、通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系.二、【自学内容和要求及自学过程】 阅读材料，回答问题我们学习过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系，有着广泛的应用.下面我们通过一些实例，来感受它们的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程.材料一：我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f(x)元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g(x)元(15≤x ≤40)，试求f(x)和g(x).结论：f(x)=5x(15≤x ≤40).g(x)=⎩⎨⎧≤<+≤≤4030,902,3015,90x x x材料二：A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月.把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域.结论：y=5x 2+25(100—x)2(10≤x ≤90) 问题：你能说出材料一和材料二分别属于什么样的函数模型吗？ 结论：材料一含有两个函数模型，一次函数模型、分段函数模型； 材料二为二次函数模型. 三、【练习与巩固】例1、一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间关系如图<1>所示. <1>求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；<2>假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间th 的函数解析式，并作出相应的图象.图<1> 图<2>结论：<1>阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.<2>根据图，有s=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+.54,2299)4(65,43,2224)3(75,32.2134)2(90,21,2054)1(80,10,200450t t t t t t t t t t这个函数的图象如图<2>所示.练习一：电信局为了满足客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图)所示(其中MN ∥CD).<1>分别求出方案A 、B 应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；<2>假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A 、B 两种优惠方案？并说明理由.图3-2-2-3结论：<1>先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤,100,10103,1000,20x x x g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤.500,100103,5000,50x x x<2>当f(x)=g(x)时,103x-10=50, ∴x=200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可； 当客户通话时间为0≤x ＜200分钟，g(x)>f(x),故选择方案A ； 当客户通话时间为x>200分钟时，g(x)<f(x),故选方案B.例2、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： y=y 0e rt ,其中t 表示经过的时间，y 0表示t=0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207<1>如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；<2>如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？结论：<1>设1951～1959年的人口增长率分别为r 1,r 2,r 3,…,r 9.由55196(1+r 1)=56300，可得1951年的人口增长率为r 1≈0.020 0.同理,可得r 2≈0.0210，r 3≈0.0229，r 4≈0.0250，r 5≈0.0197，r 6≈0.0223，r 7≈0.0276，r 8≈0.0222，r 9≈0.0184.于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r=(r 1+r 2+…+r 9)÷9≈0.0221.令y 0=55 196，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为y=55 196e 0.0221t ,t ∈N .根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55 196e 0.0221t (t ∈N )的图象由图可看出，所得模型与1950～1959年实际人口数据基本吻合.<2>将y=130000代入y=55 196e 0.0221t ,由计算器可得t ≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.练习二：一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减. <1>求t 年后,这种放射性元素质量ω的表达式;<2>由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)结论：<1>最初的质量为500 g.经过1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91经过2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92；由此推知,t 年后,ω=500×0.9t .<2>解方程500×0.9t =250,则0.9t =0.5,所以t=9.0lg 5.0lg =13lg 22lg --≈6.6(年),即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.【归纳】：用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往要对模型进行修正.四、【作业】五、【小结】六、【教学反思】。

课题几类不同增长的函数模型（1）教学目标：1. 能够找出简单实际问题中的函数关系式，2. 初步体会应用函数模型解决实际问题.3. 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.4．进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.体会函数模型在数学和其他学科中的重要性.5.体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.教学重点难点：1．重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题..2．难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.教法与学法：1．教法选择：在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合2．学法指导：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.教学过程：一、设置情境，激发探索点作铺垫⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型.生分析问题的能力虑问题的思路.实验探索辨析研讨①总价等于单价与数量的积.②面积等于边长的平方.③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象.⑤引导学生回忆学过的函数模型.⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.⑦让学生自己比较并体会.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,④如下表x 1 2 3 4 5 6y=x 1 2 3 4 5 6y=x2 1 4 9 16 25 36y=(1+5%)x 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34它们的图象分别为图3-2-1-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.图3-2-1-1 图3-2-1-2 图3-2-1-3⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=ka x+b(指数型).⑥从表格和图象得出它们都为增函数.⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=log a x+b,我们把它叫做对数型函数.引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程倡导学生合作学习，让学生体验成功的快乐。

《几类不同增长的函数模型》（第一课时）教学设计一、教学目标二、教学重点与难点三、教学方法四、教学设计附1：板书设计附2：教学设计说明1、教学内容解析本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》第三章第二节“函数模型及其应用”，教学安排为四课时，在这里我们主要研究的是第一课时的内容．学生在本册书的第二章已经学习了指数函数等基本初等函数的概念、图象和性质，本节课是对这些基本初等函数性质的进一步拓展和应用，教材在探求解决实际问题的过程中，体验到几种常见函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点，始终贯穿着函数模型的应用这条主线，从而为下一节继续研究函数的增长性和“函数模型的应用”奠定了基础，拉开高中阶段数学建模活动的帷幕．课程标准中明确指出：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容．数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力.2、教学目标分析本节课的内容脉络是：从学生熟悉的两个模拟实验入手，先动画演示摞砖的游戏，继而师生一起动手折纸．通过认真观察、动手操作，学生从不同的角度、层次挖掘其中所蕴含的数学问题，从而获得数学建模的初步体验；然后通过一组导入性问题的处理，使学生体会如何用恰当的函数模型来描述对应的数学问题，为后面的学习做出铺垫；进一步通过对例题的解决，让学生体会如何借助不同的表示方法对函数问题进行探究，弄清几类不同的增长型函数在实际问题中的应用，体会他们的增长差异.①本节课以培养学生挖掘实际背景中所蕴含的数学问题为切入点，突出了数学建模与解应用题的区别，体现了“数学是自然的，数学是有用的”这一新课程理念.②本节课以实际应用问题为主要研究的对象，以数表和图象为研究的主要依据，通过对图象以及数据的观察、分析、探究、归纳和概括得到所对应的结论，进而加强对几类函数的认识．③本节课渗透着函数与方程、数形结合的数学思想，通过将实际问题转化为函数问题，进而解决实际问题的研究经历，让学生体会到数学建模的过程和处理的方式．④通过这节课的学习，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，所采用的小组学习方式，也可以增强学生们的合作意识．3、教学问题诊断分析本节课涉及到的一次函数、二次函数、分段函数、指数函数学生在前面已经学过，基本掌握了它们的概念、图象和性质．另外，学生也熟悉了研究函数性质的一般方法，具有用函数知识解决实际问题的初步体验，这是本节课的知识基础．然而，学生前面的学习主要是针对某一类函数进行研究，很少将其综合在一起，学生没有或者很少有对这几类函数不同变化趋势的理解，让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难．另外，在第二章中，学生主要是从函数的基本模型认识函数，而较少涉及到函数在生活、生产中的实际应用．学生在研究具体问题时，如何选择恰当的模型函数分析和解决实际问题是另一个困难．这节课学习的对象是平顶山市实验高中高一年级的学生．该校是河南省示范性高中，学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，学生的理解能力比较强．在几个应用问题的理解上不会出现太大的问题．另外，学校一直十分重视新课改的研究，倡导尝试探究，学生已经习惯了小组合作学习的教学模式，参与讨论交流的积极性较高，这也是教学目标顺利实现的又一保证.4、教学策略分析①教法分析本节课选用合作探究与尝试概括相结合的教学方法．在教学中，从精心创设的问题情境出发，为学生提供更多的机会和时间，提问质疑、尝试探究、讨论交流、归纳总结等，促使学生的思维空间充分开放；积极营造出一个有利于人际沟通与合作的环境，使学生学会交流和分享自己的成果，并能把每个人的成果进行有效的整合，增强团队意识；这样做，能够丰富学生对数学与日常生活紧密联系的体验，感受数学的实际价值，增强应用意识，发展创新意识．②学法分析《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，本节课采用小组合作学习的教学组织形式，教师利用问题串来引导学生开展合作探究的学习活动．为了控制好课堂的研究方向，也为了提高小组讨论的效率，本节课设置了学案，引导学生的探究活动．在学案中为学生的讨论和探究设置了一系列的参考问题，在每一个问题之后都留给学生自己发现问题和解决问题的空间，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习的过程中，养成积极思考、主动交流的学习习惯．③教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，本节课借助信息技术工具，动画演示摞砖的游戏，绘制具体的常函数、一次函数、指数函数等基本初等函数的图象并列出相应的数据表格，通过数形结合开展数学探究活动．综上所述，本节课的设计亮点可以概括为以下三个方面：以问题为纽带；化结果为过程；把知识变成能力．通过体验数学建模的四个环节，引导学生经历知识的探究过程，对培养学生揭示数学关系的能力非常有益．。

教学目标：1．借助计算器或计算机制作数据表格和函数图像，对几种常见的函数类型的增长情况进行比较，在实际应用的背景中理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异。

2．通过对投资方案的选择，学会利用数据表格和函数图像分析问题和解决问题；引导学生充分体验将实际问题“数学化”解决的过程，从而理解“数学建模”的思想方法解决问题的有效性。

3．鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，从而培养学习数学的兴趣。

教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。

技术手段：计算机辅助教学。

教学方法：启发探究式。

教学过程一、创设情境，引入课题（1）先看一张图片，这是什么动物（2）关于兔子有这样一段故事：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．（3）请看画面。

（4）可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．（5）一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期的增长.（6）生活中的增长现象比比皆是，在我们学过的函数中也有许多成增长形态发展的。

3.2.1几类不同增长的函数模型（第一课时）浙江省杭州第二中学詹爽姿一．内容和内容解析本节是高中数学必修1（人教A版）第三章《函数的应用》的起始课．增长的直线上升、指数爆炸、对数增长．对不同函数模型在增长差异上的研究，教围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．教运用自选投资方案和制定奖励方案两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义研究函数模型的应用所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；—归纳—猜想—证明；（3）经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力.这部分内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数模型为对象，将内容紧密结合起来，使之成为一个整体．教学中应当注意贯彻的意图，学生经历函数模型应用的过程．学生在已学过函数概念、指数函数、对数函数、幂函数，但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难．为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情境，并通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题解决问题的能力．第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情境，在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析．第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题，让学生在观察和探究的过程中，体会到对数增长模型的特点．第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题．先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象，从中体会二者的差异；再通过两个探究问题，让学生对幂函数和对数函数的增长差异，以及三种函数的衰减情况进行自主探究．这样的安排内容上层次分明可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和探究活动，对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究．对分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动．要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是函数模型研究实际数据、图象等方面处理上的困难利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法收集数据并建立函数模型利用计算，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．—归纳—猜想—证明）．【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，体会对数增长模型的特点．【备注】对判断模型二是否满足限制条件“”，考虑到学生现在知识储备和接受水平，只能采用了直观教学，通过构造新函数，观察新函数的图象来解决（因为该函数单调性的判定，必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决）．六、拓展延伸，创新设计这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业发展蒸蒸日上，但随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.问题8：我们的奖励方案有什么弊端？问题9：你能否设计出更合理的奖励模型？【创新设计】为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加,要求如下：10万～ 50万，奖金不超过2万；50万～ 200万，奖金不超过4万；200万～ 1000万，奖金不超过20万．请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案．（四人一组，合作完成）【设计意图】设计开放性问题对例2拓展延伸，既检测了学生对几类不同模型增长差异的掌握情况，又鼓励学生学以致用，用以致优，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．七、归纳总结，提炼升华问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获？请你从知识、方法、思想方面作一个小结．1.知识：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大：常数函数（没有增长）；一次函数（直线上升）；指数函数（爆炸增长）；对数函数（平缓增长）．2.方法：函数有三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；函数问题的一般研究方法（观察—归纳—猜想—证明）3.思想：两个例题都体现了数学建模的思想，即把实际问题数学化：面对实际问题，我们要读懂问题，运用所学知识，将其转化成数学模型，最终得到实际问题的解.【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值．八、布置作业，巩固提高1.课本98页课后练习1，2；课本107页习题3.2（A组）第1题；2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用．【设计意图】进一步体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述；培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用价值.。

第2课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1情景导入国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.思路2直接导入我们知道，对数函数y=log a x(a>1),指数函数y=a x(a>1)与幂函数y=x n(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.推进新课新知探究提出问题①在区间(0，+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.③结合函数的图象找出其交点坐标.④请在图象上分别标出使不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围.⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：①在区间(0，+∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数.图3-2-1-12③从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16).④不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围分别是(2，4)和(0，2)∪(4，+∞).⑤我们在更大的范围内列表作函数图象(图3-2-1-13),图3-2-1-13容易看出：y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x<x2，有时x2<2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3-2-1-14和下表所示.图3-2-1-14一般地，对于指数函数y=a x(a>1)和幂函数y=x n(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.同样地，对于对数函数y=log a x(a>1)和幂函数y=x n(n>0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n.综上所述，尽管对数函数y=log a x(a>1),指数函数y=a x(a>1)与幂函数y=x n(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n(n>0)的增长速度，而y=log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n<a x.虽然幂函数y=x n(n>0)增长快于对数函数y=log a x(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”. 应用示例思路1例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x 份，显然当x ∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x ；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x-250).付给报社的总价为30·0.20x.解：设摊主每天从报社买进x 份，显然当x ∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y 为 y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x-250)-30·0.20x=0.5x+625，x ∈［250，400］. 因函数y 在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y 有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3-2-1-15解：(1)依题意,得y=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤.101,32032,10,6t t t t (2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则32-t 1+320=4,t 1=4.因而第二次服药应在11:00；设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有32-t 2+32032-(t 2-4)+320=4,解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00； 设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，32-(t 2-4)+32032-(t 2-9)+320=4,解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-.3016.1073,1610.59,100.436.21.02x x x x x x(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？ 解：(1)当0<x≤10时，f(x)=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9， 由f(x)的图象,知当x=10时，［f(x)］max =f(10)=59；当10<x≤16时，f(x)=59；当16<x≤30时，f(x)=-3x+107， 由f(x)的图象,知f(x)<-3×16+107=59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟. (2)∵f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5，f(20)=-3×20+107=47<53.5, ∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.思路2例3(山东滨州一模，文20)一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低0.02元,但最低出厂单价不低于51元.(1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰为51元?(2)设一次订购量为x 个时,零件的实际出厂价为p 元,写出p=f(x).(3)当销售商一次订购量分别为500、1 000个时,该工厂的利润分别为多少? (一个零件的利润=实际出厂价-成本)解：(1)设一次订购量为a 个时,零件的实际出厂价恰好为51元,则a=100+02.05160-50个. (2)p=f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤<,550,51,550100,5062,1000,60x x x x 其中x ∈N *.(3)当销售商一次订购量为x个时,该工厂的利润为y,则y=(p-40)x=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤<.550,11,550100,5022,100,202x x x x x x x 其中x ∈N *,故当x=500时,y=6000;当x=1000时,y=11000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x 、y 的等式. 例4甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：图3-2-1-16甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只.乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.(3)哪一年的规模(即总产量)最大?请说明理由.活动：观察函数图象，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:先观察图象得出相关数据，利用数据找出函数模型.解：由题意可知,甲图象经过(1,1)和(6,2)两点,从而求得其解析式为y甲=0.2x+0.8,乙图象经过(1,30)和(6,10)两点,从而求得其解析式为y乙=-4x+34.(1)当x=2时，y甲=0.2×2+0.8=1.2,y乙=-4×2+34=26，y甲·y乙=1.2×26=31.2.所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只.(2)第1年出产鳗鱼1×30=30(万只),第6年出产鳗鱼2×10=20(万只),可见,第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了.(3)设当第m年时的规模总产量为n,那么n=y甲·y乙=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m2+3.6m+27.2=-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25.因此,当m=2时,n max=31.2,即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只.知能训练某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(1) (2)图3-2-1-17(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)活动：学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正. 解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000.3000t t t t由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t-150)2+100,0≤t≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t).即h(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025722001,2000,2175********t t t t t t当0≤t≤200时，配方整理,得h(t)=2001-(t-50)2+100, 所以当t=50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100； 当200<t≤300时，配方整理,得h(t)=2001-(t-350)2+100, 所以当t=300时，h(t)取得区间［200，300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大. 点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力. 拓展提升 探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式. ②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：(2015山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3-2-1-18(1)、图3-2-1-18(2)、图3-2-1-18(3)所示.其中图3-2-1-18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.图3-2-1-18(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元? 分析：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式. 2.在t ∈［0,40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段. 3.回忆函数最值的求法. 解：(1)f(t)=⎩⎨⎧≤<+-≤≤,4030,2406,300,2t t t t g(t)=203-t 2+6t(0≤t≤40).(2)每件A 产品销售利润h(t)=⎩⎨⎧≤≤≤≤.4020,60,200,3t t t .该公司的日销售利润F(t)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤--,4030),240203(60,3020),8203(60,200),8203(3222t t t t t t t t t ,当0≤t≤20时，F(t)=3t(203-t 2+8t),先判断其单调性. 设0≤t 1＜t 2≤20,则F(t 1)-F(t 2)=3t 1(203-t 12+8t 1)-3t 2(203-t 22+8t 2)=209-(t 1+t 2)(t 1-t 2)2.∴F(t)在［0,20］上为增函数.∴F(t)max =F(20)=6 000<6 300.当20<t≤30时，令60(203-t 2+8t)>6 300，则370<t<30; 当30<t≤40时，F(t)=60(203-t 2+240)<60(203-×302+240)=6 300,故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.点评：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式,重点是找出关键点.2.在t ∈［0,40］上，有几个分界点,t=20,t=30两点把区间分为三段.3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一. 课堂小结本节学习了:①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.②幂函数、指数函数、对数函数的应用. 作业课本习题3.2A组3、4.设计感想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异.接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力;并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点.本节的每个例题都很精彩，可灵活选用.。

3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型【知识提炼】三种函数模型的性质y=a x(a>1)y=log x(a>1)y=x n(n>0)a在(0,+∞)上增函数增函数 增函数的增减性______________图象的变化随x 增大逐渐近似 随x 增大逐渐近随n 值而不同 趋势与 y 轴 平行 似与 x 轴平行②存在一个x0,当x>x0时,有x n a【即时小测】1.思考下列问题(1)在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有log a x<x n<a x成立?提示:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,log a x<x n<a x成立.(2)能否举例说明“指数爆炸”增长的含义?提示:如1个细胞分裂x次后的数量为y=2x,此为“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从图象上看出,存在x0,当x>x0时,数量增加特别快,足以体现“爆炸”的效果.2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是()A.y减少1个单位B.y增加1个单位C.y减少2个单位D.y增加2个单位【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1月份利润的m倍,则m等于()A.(1.02)12B.(1.02)11C.(0.98)12D.(0.98)11【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,故m=(1.02)11.4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是. 【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快.答案:y=3x5.如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势.【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度.答案:幂函数或对数型【知识探究】知识点几类函数模型的增长差异观察图形,回答下列问题:问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势?问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?【总结提升】1.四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2.几类函数模型的选择(1)一次函数模型:当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数,一次函数的图象为直线.(2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.(3)指数函数模型、对数函数模型:当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减率、利息等现实生活联系紧密.【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关(1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义.(2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.【题型探究】类型一几类函数模型的增长差异【典例】1.(2015·怀柔高一检测)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:关于x呈指数函数变化的变量是.2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分界点).【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的是哪一组?提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快.2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义是什么?提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断各曲线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知变量y2随着x变化呈指数函数变化.答案:y22.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)= ,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当0<x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d 时,f(x)>h(x)>g(x).【方法技巧】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升, 其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=ab x+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlog a x+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0, α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.【变式训练】有一组数据如下表:现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最接近的一个是()A.v=log2tB.v=tC.v=D.v=2t-2【解析】选C.取t=1.99≈2,代入A,得v=log22=1≠1.5,代入B,得v==-1≠1.5,代入C,得v==1.5,代入D,得v=2×2-2≠1.5.经计算可知最接近的一个是选项C.类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例】(2015·赤峰高一检测)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2011),g(2011)的大小.【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?增加的速度怎样?它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内?提示:曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快.又因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10.【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2011>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2 时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2011)>g(2011).又因为g(2011)>g(6),所以f(2011)>g(2011)> g(6)>f(6).【延伸探究】1.(改变条件)若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1) 呢?【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.2.(改变问法)本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小.【解析】因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2015>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(8)<g(8).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2015)>g(2015).又因为g(2015)>g(8),所以f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8).【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.【补偿训练】(2015·包头高一检测)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示:(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数.(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,g(x)=f(x).【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,试根据图象确定x1与1,x2与10的大小关系 .【解析】根据C2对应的函数关系式为f(x)=l gx,结合图象与x的交点为(1,0)可知,x1<1;由于f(10)=l g10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),根据图象,可知x2<10.2.(改变问法)本题条件不变,试根据图象比较f(1.5),g(1.5),f(2015),g(2015)的大小.【解析】由于f(3)=lg3>0,g(3)=0.3×3-1<0,f(10)=lg10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),结合图象可知3<x2<10,由于当1<x<3时,f(x)>g(x),故f(1.5)>g(1.5);由于x2<10,故当x>10时,g(x)>f(x),故g(2015)>f(2015),又因为f(2015)>f(1.5),所以g(2015)>f(2015)>f(1.5)>g(1.5).类型三函数模型的选择问题【典例】1.(2015·临汾高一检测)某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数2.(2015·邯郸高一检测)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案二:工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元的排污费.问:(1)工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下应选择哪种方案?通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?【解题探究】1.典例1中由“初期利润增长迅速,后来增长越来越慢”,联想到哪类函数的增长特性?提示:符合对数函数的增长特点.2.典例2中要进行两种方案的选择,需对两种方案进行什么比较?提示:需分为每月生产3000件产品,每月生产6000件产品两种情况下分别计算出两种方案的利润,进行比较利润大小,作出选择.【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢.2.设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000,因为y1<y2,所以应选择方案二处理污水.(2)当x=6000时,y1=114000,y2=108000,因为y1>y2,所以应选择方案一处理污水.【方法技巧】解函数应用题的四个步骤第一步:阅读、理解题意,认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.。

几类不同增长的函数模型【教学目标】1.知识与技能：（1）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性；（2）体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2.过程与方法：能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3.情感态度价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.【重点难点】1.教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义；2.教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。

【教学策略与方法】1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体【教学过程】的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？问题1：考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑什么?探究1：（1）本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数描述这些数量关系?教师引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述．（2）为了直观表现各方案每天回报的变化情况可用什么方法表示上述三个函数？教师投影表格：x /天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.4240020100.80.434003010 1.60.844004010 3.2 1.654005010 6.4 3.2合作学习：问题解决学生回答问题。

学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案中每天回报数的函数解析式。

方案一的函数模型：;方案二的函数模型：；方案三的函数模型：.学生回答还可用数据表格和函数图象直观表示上述三个函数。