第四章第三节菱形

菱形知识讲解(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2015?石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．【思路点拨】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【答案与解析】（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=，BH=1．∴GH=2，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=．【总结升华】本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．举一反三：【变式1】（2015?温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）例1】【变式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．A.21【答案】C；提示：由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1.类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长m，宽m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长m，宽m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形【答案与解析】解：墙壁长m，宽m，矩形瓷砖长m，宽m，÷＝14，÷＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．。

第四章四边形性质探索3．菱形一、学生起点分析学生在学习菱形之前，已具有简单图形旋转的知识和平行四边形的知识，学生完全能借助等腰三角形的旋转直观的理解菱形及菱形的判定和性质。

二、教学任务分析教科书基于学生上述认识的根底上，提出了本课的具体学习任务：知识目标1.理解菱形的定义。

2. 经历探索菱形的性质和判别条件的过程，进一步了解和体会说理的根本方法.1.在操作活动过程中，加深师生的情感.培养学生的观察能力，并提高学生的学习兴趣.2.在学习过程中，体会数学美。

三、教学过程设计本节课分成五个环节：第一环节：创设情境，引入菱形的概念；第二环节：讲授新课，包括菱形的性质和判定；第三环节：通过练习，应用和稳固知识；第四环节：小结；第五环节：布置作业。

第一环节设情境问题，引入课题观察一组图片：越王勾践剑、一个衣帽架以及其他学生熟悉的实物图片。

这些图片中有你熟悉的图形吗〔邻边相等的平行四边形.顺势给出菱形的定义，进而主题〕我们把这样的平行四边形叫做菱形.这节课我们就来探讨一下菱形.第二环节新课主要环节〔1〕根据图片中所反映出的图形的特点，请学生尝试给菱形下定义。

〔一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.〕〔3〕从对称的角度对菱形进行再认识〔包含菱形的画法和判定〕。

目的：1．培养学生的观察能力。

让学生观察图形，从直观上把握图形的性质和特点，从而给出菱形的定义。

2．因为菱形是特殊的平行四边形，所以在平行四边形性质的根底上，通过问题，具体的讨论菱形所具有的特殊性质。

3．对于〔2〕、〔3〕大体过程如下：画一个菱形，然后答复以下问题如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD相交于点O(1)图中有哪些线段是相等的哪些角是相等的(2)图中有哪些等腰三角形、直角三角形(3)两条对角线AC，BD有什么特定的位置关系〔同学们讨论分析答复〕因为菱形是特殊的平行四边形，所以它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：1．菱形的四条边都相等.2．菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

《菱形的判定》说课稿一、课标解读“菱形的判定”是北师大版八年级上册第四章《四边形性质探索》第三节的内容，属于义务教育课程标准第三学段（7-9年级）第二块《空间与图形》中的内容。

《课程标准》要求：探索并掌握菱形的判定条件，通过猜想、与他人合作交流等活动，发展学生合情的推理，进一步学习有条理的思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，学会证明，从而体会证明的必要性；在教学中，注重使学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程。

二、教材分析“菱形的判定”是北师大版八年级上册第四章《四边形性质探索》第三节的内容，它是继“四边形”、“平行四边形”和“矩形”之后的一个学习内容，是在学生掌握了平行四边形的性质与判定，学习了特殊的平行四边形——矩形，具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的。

这一节课不仅是前面所学知识的延伸，更为探索正方形等知识指明了方向，起着承前启后的作用。

三、学情分析通过七年级《证明一》的学习，八年级学生已具有一定的逻辑思维能力，前两节已经学习了平行四边形、矩形的相关知识和菱形的性质，有了一定的知识储备，加之他们的动手操作能力及推理能力也日趋成熟，在此基础上探究、学习菱形的判定方法，既加深了学生对菱形判定方法的理解，又提高了学生的合理推理能力和合作交流能力。

四、设计理念在本节课的教学中，我严格遵循学生的认知规律，通过菱形图片的展示、动手剪纸活动的开展，由感性到理性，由抽象到具体，让学生通过交流、合作、讨论的方式积极探索，成为学习的主人。

五、教学目标1、知识目标：经历菱形的判定方法的形成过程，掌握菱形的三种判定方法。

2、能力目标：通过探究菱形的判定方法，增强学生的实验、猜想、推理意识，并依据菱形的判定进行简单的说理，培养学生的逻辑推理能力。

3、情感态度：在探究菱形的判定方法的活动中获得成功的体验，建立自信心，学会欣赏数学美。

六、教学重点及难点1、重点：菱形判定方法的探究.2、难点：判定方法的探究及灵活运用.七、教法与学法分析1、教法：探究式、开放式本节课采用探究式、开放式的教学方法，探究过程中力求给学生时间，让他们放飞思维；给学生机会，让他们大胆展示，使不同的学生在数学上有不同的发展。

初中数学《菱形》说课稿初中数学《菱形》说课稿各位评老师：大家好：我说课的内容是北师大版《数学》八年级上册第四章“四边形性质探索”第三节第一课时《菱形》一、说教材(一)教材的地位和作用“菱形”一节是北师大版《数学》八年级上册第四章“四边形性质探索”第三节第一课时，。

它是学生在学习了平行四边形的性质和判定的基础上对平行四边形知识的延续和深入，同时它也为本章后面几节课的学习和探索做了铺垫。

所以，虽然本节内容所占章节不多，但是在整章中却有着承上启下的过渡作用。

(二)教学目标根据新课程标准中强调学生的主体地位与教师的主导作用、“主动探索、合作交流”教学方式以及本节内容在整个初中数学中的地位与作用。

以学生的发展为本，根据学生已有的知识量和学习能力制定切实可行的教学目标，体现出教师、学生、课堂的“三维”课程目标的和谐统一。

我从以下三个方面制定了本节课的教学目标1.知识与能力目标：能理解菱形的定义及其性质并会初步运用菱形的性质进行简单的计算和推理论证。

2.过程与方法目标：在探索菱形性质的过程中，让学生经历“观察-思考-归纳-总结”的数学思想。

3.情感与价值观目标：通过学生自己动手操作，观察分析得出结论。

在欢快愉悦的环境中使知识点得以掌握，激发了学生的学习兴趣。

根据新课标的要求，，另一方面也是根据学生的实际情况考虑的，为他们后面的学习打下好的基础，资料共享平台《初中数学《菱形》说课稿》(https://www.)。

(三)教学的重、难点教学重点：菱形的定义、性质及其应用。

教学难点：经历“观察-思考-归纳-总结”得到菱形的.性质。

二、说教法与学法为了达到教学目标，根据教学内容和教学条件、学生实际情况我采用1.教法：启发式教学、直观教学法和讲练结合法。

以课件为载体，学生能说的教师不说，学生能做的教师不代劳，以助于学生更好的掌握知识。

在教学手段上，我将借助计算机多媒体这一手段来辅助教学。

课前，我将利用“超级画板”制作精巧、灵活的课件，并在课堂上适时的播放，化静为动，激发学生的求知欲望和兴趣，从而使教学目标得以直观完美的体现。