三角函数的公式+五点作图+奇偶性+周期性

高中三角函数公式汇总与解析【引言】三角函数是高中数学中的一大重点内容，掌握三角函数的公式是学好数学的基础。

本文将对高中三角函数的公式进行汇总与解析，以帮助读者更好地理解和运用这些公式。

【正文】一、角度与弧度的转换在三角函数中，角可以用度数表示，也可以用弧度表示。

两者之间的转换关系如下：1度=π/180弧度1弧度=180/π度二、基本三角函数公式1. 正弦函数（sin）①定义域：实数集R②值域：[-1,1]③周期性：T=2π④奇偶性：a. sin(-x) = -sin(x)b. sin(x+π) = -sin(x)2. 余弦函数（cos）①定义域：实数集R②值域：[-1,1]③周期性：T=2π④奇偶性：a. cos(-x) = cos(x)b. cos(x+π) = -cos(x)3. 正切函数（tan）①定义域：x≠(2k+1)π/2，其中k为整数②值域：实数集R③周期性：T=π④奇偶性：a. tan(-x) = -tan(x)b. tan(x+π) = tan(x)三、和差角公式1.正弦函数：sin(A±B) = sin(A)cos(B)±cos(A)sin(B) 2.余弦函数：cos(A±B) = cos(A)cos(B)∓sin(A)sin(B)tan(A±B) = (tan(A)±tan(B))/(1∓tan(A)tan(B))四、倍角公式1.正弦函数：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)2.余弦函数：cos(2A) = cos²(A) - sin²(A) = 2cos²(A) - 1 = 1 - 2sin²(A) 3.正切函数：tan(2A) = (2tan(A))/(1 - tan²(A))五、半角公式1.正弦函数：sin(A/2) = ±√[(1-cos(A))/2]2.余弦函数：cos(A/2) = ±√[(1+cos(A))/2]3.正切函数：tan(A/2) = ±√[(1-cos(A))/(1+cos(A))]六、倒数公式1.正弦函数：csc(A) = 1/sin(A)sec(A) = 1/cos(A)3.正切函数：cot(A) = 1/tan(A)七、和角公式1.正弦函数：sin(A) + sin(B) = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)2.余弦函数：cos(A) + cos(B) = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)3.正切函数：tan(A) + tan(B) = (sin(A)+sin(B))/(cos(A)+cos(B))【结论】本文对高中三角函数的公式进行了汇总与解析，包括角度与弧度的转换、基本三角函数公式、和差角公式、倍角公式、半角公式、倒数公式和和角公式。

第三节 三角函数的图像与性质预习设计 基础备考知识梳理 1．“五点法”作图原理在确定正弦函数x y sin =在[O ，2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是 、 、 、 、2．三角函数的图像和性质3．函数),sin(ϕω+=x A y 或,0)(cos(>+=ωϕωx A y 且为常数）的周期=T ，函数,0)(tan >+<=ωϕωx A y 且为常数）的周期T=典题热身1．若直线a y =与函数x y sin =的图像相交，则相邻的两交点间的距离的最大值为 ( )2π⋅A π.B 23.πc π2.D答案 D2．（2011．课标全国卷）设函数++=)42sin()(πx x f ),42cos(π+x 则 ( ))2,0()(π在x f y A =⋅单调递增，其图像关于直线4π=x 对称)2,0()(π在x f y B =⋅单调递增，其图像关于直线2π=x 对称 )2,0()(π在x f y C =⋅单调递减，其图像关于直线4π=x 对称 )2,0()(π在x f y D =⋅单调递减，其图像关于直线2π=x 对称 答案 D3．(2011．山东高考)若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间]3,0[π上单调递增，在区间]2,3[ππ上单调递减，则=ω ( )32.A 23.B 2.C 3.D 答案 B4．(2011．天津高考)已知函数,),sin(2)(R x x x f ∈+=φω其中..,0πϕπω<<->若)(x f 的最小正周期为6π，且当=x ,2时π)(x f 取得最大值，则 ( ) )(.x f A 在区间[一2π，O]上是增函数B ．)(x f 在区间[ -3π，—π]上是增函数C ．)(x f 在区间[3π，5π]上是减函数D ．)(x f 在区间[4π，6π]上是减函数 答案 A5．（2011．辽宁高考）已知函数)tan()(ϕω+=x A x f ,)2||,0(⋅<>πϕω)(x f y =的部分图像如图，则=)24(πf ( )32.+A 3.B 33.c 32.-D答案 B课堂设计 方法备考题型一 三角函数的定义域 【例1】求下列函数的定义域：);1sin 2lg()1(-=x y.16cos )2(x x y -+=题型二 三角函数的值域和最值【例2】已知函数.,1)cos (sin cos 2)(R x x x x x f ∈+-= (1)求函数)(x f 的值域； (2)求函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最小值和最大值．题型三 三角函数的单调性 【例3】求下列函数的单调区间：)4sin(2)1(π-=x y 的减区间；)23tan()2(x y -=π的减区间，题型四 三角函数的周期性和对称性【例4】(1)如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图像关于点)0,34(π中心对称，那么｜ϕ｜的最小值是 ( )6π⋅A 4π⋅B 3π⋅c 2π⋅D|sin |)2(x y =的最小正周期为]2,0[,cos 2)3(π∈=x x y 与2=y 围成封闭图形的面积为技法巧点1．函数)sin(ϕω+=x A y 的单调性的求法求函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间时，基本思路是把ϕω+x 看成一个整体，由≤+≤+-φωππx k 22)(22z k k ∈+ππ解出x 的范围是增区间，由≤+ππk 22ππφωk x 223+≤+ )z k ∈（解出x 的范围为减区间，求)0,0)(sin(>>+-=ωϕωA x A y 的单调区间，只需求)s i n (φω+=x A y 的相反区间即可，一般常用复合函数的单调性法则或数形结合求解，对于 )tan(),cos(φωφω+=+=x A y x A y 的单调性的讨论 同上2．三角函数值的大小比较利用三角函数的单调性比较大小时，往往是利用奇偶性、周期性或诱导公式转化为同一单调区间的两个同名函数值，再用单调性比较． 3．三角函数的值域或最值的求法求三角函数的值域或最值时，通常是把函数式恒等变形为一个角的一种三角函数的形式，如),sin(ϕω+=x A y 或者利用换元法转化为一元二次函数的最值问题，但都应特别注意z 的取值范围对三角函数值的限制，不能机械地套用三角函数的有界性．随堂反馈1．（2010．合肥联考）函数x x y cos sin 21-=的最小正周期为；（ )2π⋅A π.B π2.c π4.D2．设点P 是函数)0(sin )(=/=ωωx x f 的图像c 的一个对称中心，若点P 到图像C 的对称轴的距离的最小值是,4π则)(x f 的最小正周期是( ） π2.A π.B 2π⋅c ⋅⋅4πD3．函数)32sin(π+=x y 的图像（ ）A ．关于点)0,3(π对称 B ．关于直线4π=x 对称 C ．关于点)0,4(π对称， D ．关于直线3π=x 对称4．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是 ( ) ①在)2,0(π上递减；②以2n 为周期；③是奇函数．x y A tan .= sx y B ∞=⋅ x y C sin -=⋅ x x y D cos sin =⋅5．已知函数),)(2sin()(R x x x f ∈-=π下面结论错误的是( )A ．函数)(x f 的最小正周期为2πB ．函数)(x f 的区间]2,0[π上是增函数C ．函数)(x f 的图像关于直线0=x 对称D ．函数)(x f 是奇函数高效作业 技能备考一、选择题1．（2011．纛兴模拟）已知在函数Rxx f πsin3)(=图像上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在222R y x =+上，则)(x f 的最小正周期为( )1.A2.B3.c4.D2．(2011．枣庄调研)已知函数3sinxy π=在区间[o ，t]上至少取得两次最大值，则正整数t 的最小值是( )6.A7.B8.c9.D3．函数)0(tan )(>=x x x f ω图像的相邻的两支截直线4π=y 所得线段为,4π则)4(πf 的值是( ) 0.A 1.B 1.-c 4π⋅D4．若函数x y ωcos 2=在区间]32,0[π上递减，且有最小值1，则w 的值可以是( ) 2.A 21.B 3.C 31.D5．函数x x x f cos 2sin )(2+=在区间],32[θπ-上的最大值为l ，则θ的值是( ) 0.A 3π⋅B 2π⋅c 2.π-D6．（2011．福建六校联考）若函数)(x f 同时满足下列三个性质：①最小正周期为丌；②图像关于直线3π=x 对称；③在区间]3,6[ππ-上是增函数．则)(x f y =的解析式可以是( ))62sin(π-=⋅x y A )62sin(π+=⋅x y B )62cos(π-=⋅x y C )32cos(π+=⋅x y D二、填空题 7．函数)34cos(π+=x y 的图像的两条相邻对称轴间的距离为8．（2011．青岛模拟）若函数)cos(3)(θω+=x x f 的对任意的x 都有),6()6(x f x f -=+ππ则)6(πf 等于9．（2011．绍兴月考）关于函数∈+=x x x f （)32sin(4)(π),R 有下列命题： ①由,0)()(21==x f x f 可得21x x -必是π的整数倍；)(x f y =②的表达式可改写为);62cos(4π-=x y)(x f y =③的图像关于点)0,6(π-对称；)(x f y =④的图像关于直线6π-=x 对称.其中正确的命题序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题10．(2011．怀化模拟)设函数),0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f )(x f y =图像的一条对称轴是直线⋅=8πx (1)求ϕ；(2)求函数)(x f y =的单调增区间．11．已知函数a R a x a x x f ,cos 2sin )(2∈+=（为常数），且4π是函数)(x f y =的零点． (1)求a 的值，并求函数)(x f 的最小正周期； (2)若],2,0[π∈x 求函数)(x f 的值域，并写出)(x f 取得最大值时x 的值，12.已知a>0，函数,2)62sin(2)(b a x a x f +++-=π当]2,0[π∈x 时，.1)(5≤≤-x f (1)求常数a ，b 的值； (2)设),2()(π+=x f x g 且,0)](lg[>x g 求)(x g 的单调区间.。

三角函数的图像和性质一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0)余弦函数y=cosx x [0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)二、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函 数 性 质例作以下函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求知足以下条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数概念：关于函数()y f x =，若是存在一个非零常数T ，使适当x 取概念域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做那个函数的周期。

注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一样称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。

三角函数图像及性质1、三角函数sin y x =、cos y x =、tan y x =的图像及性质2“五点作图法”作出函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>在某区间上的图象。

明确在研究函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>时常令_____________。

例题：函数()sin(2)3f x x π=-.（1）求函数()f x 的周期；（2）求函数()f x 的值域，最值及相应的x 值； （3）求函数()f x 的单调区间；（4）求函数()f x 在3[,)2ππ-上的增区间；（5）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围；（6）求函数()f x 的图象的对称中心、对称轴； （7）描述由正弦曲线得到函数()f x 的图象的过程； （8）作出函数()f x 在7[0,)6π上的图象。

3如何求sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的单调增减区间，对称轴对称中心，最值及取得最值时x 的取值 (1)函数y ＝sin(x ＋4π)在什么区间上是增函数?何时取得最大值？ (2)函数y ＝3sin(3π－2x )在什么区间是减函数? 何时取得最大值？（1）函数y ＝sin （2x ＋25π）图象的对称轴、对称中心的坐标 （2）函数cos(2)2y x π=-图像的对称轴、对称中心(3)函数1tan()24y x π=-的对称中心，单调增区间题型1：周期的应用1、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．2、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[,]34ππ-上单调递增，则ω的最大值为________3、有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________．4、若3sin)(xx f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++ ＝________。

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

三角函数的周期性与奇偶性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。

这些函数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。

其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要性质，下面将详细讨论这两个性质。

一、周期性1. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期性：正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数，它们的周期都为2π。

也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π) =cos(x)。

这意味着当自变量x增加2π或减少2π时，函数值不变，即函数呈现出周期性的变化规律。

这样的周期性特点使得正弦函数和余弦函数在很多问题中具有重要的意义。

2. 正切函数tan(x)的周期性：正切函数tan(x)也是一个周期函数，它的周期为π。

也就是说，对于任意实数x，有tan(x+π) = tan(x)。

这意味着当自变量x增加π或减少π时，函数值保持不变。

需要注意的是，正切函数在一些特殊点（如π/2，3π/2等）处不定义，因为在这些点上正切函数的值会趋于无穷大，即函数的图像会有垂直渐进线。

二、奇偶性1. 正弦函数sin(x)的奇偶性：正弦函数sin(x)是一个奇函数，它的图像关于原点对称。

也就是说，对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。

这意味着当自变量x取相反数时，函数值的相反数与原来的函数值相等，即函数的图像关于y轴对称。

2. 余弦函数cos(x)的奇偶性：余弦函数cos(x)是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。

也就是说，对于任意实数x，有cos(-x) = cos(x)。

这意味着当自变量x取相反数时，函数值保持不变，即函数的图像关于y轴对称。

3. 正切函数tan(x)的奇偶性：正切函数tan(x)既不是奇函数也不是偶函数，它的图像既没有关于原点的对称性，也没有关于y轴的对称性。

但是，正切函数有一个特殊的奇偶性质，即tan(-x) = -tan(x)。

图像及性质1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象． 2．了解三角函数的周期性．3．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与x 轴的交点等)．4．理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性． 利用三角函数的图象的直观性可以得出三角函数的性质，利用三角函数的性质可以描绘三角函数的图象，以形助数，以数辅形．1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 (2)在确定余弦函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 2.周期函数及最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f (x )为周期函数，T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期． 3．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan xy ＝A sin(ωx ＋φ)图象定义域x ∈R x ∈R x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 值域单调性在______ 上递增，k ∈Z ；在______ 上递减，k ∈Z 在______上递增，k ∈Z ； 在______ 上递减，k ∈Z 在______ 上递增，k ∈Z最值x ＝________(k ∈Z)时，y max ＝1；x ＝________(k ∈Z)时，y min ＝－1x ＝________(k ∈Z)时，y max ＝1；x ＝__________(k ∈Z)时，y min ＝－1无最值奇偶性对称性 对称中心对称轴无对称轴4.函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的步骤（1）求y ＝lg(sin x －cos x )的定义域． (2)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域．求下列函数的定义域： (1)y ＝sin （cos x ）；(2)y ＝lgsin x2sin x －3.求下列函数的最小正周期．(1)y ＝(a sin x ＋cos x )2(a ∈R )； (2)y ＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ； (3)y ＝最小正周期2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3.已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x .判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝2sin x －1； (2)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．(1)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫3π8，0 B.⎝⎛⎭⎫3π8，1 C.⎝⎛⎭⎫π8，1D.⎝⎛⎭⎫－π8，－1已知函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2m ＋2的图象关于点(0，2)对称，求m 的最小正值．(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间； (2)求y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的最小正周期及单调区间．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )(1)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最大值和最小值． (2)求y ＝cos x －2cos x －1的最小值；(3)求y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最值．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．综合应用1.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数2.设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则 ①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5 ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是__________(写出正确结论的编号)．3.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．4.(2012湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示：(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．6.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．1．三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)．(2)三角函数值域的求法三角函数的值域问题，大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的值域；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域． (3)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ)等类型后，用基本结论T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|来确定；③根据图象来判断．(4)三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．1.函数f (x )＝sin2x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数2.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个单调增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫3π4，7π4 B.⎝⎛⎭⎫－π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫－π2，π2D.⎝⎛⎭⎫－3π4，π4 3.(2012大纲全国高考)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )．A.π2B.2π3C.3π2D.5π34.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π35.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝23π对称，它的周期是π，则下列结论一定正确的是( )．A ．f (x )的最大值为AB ．f (x )的一个对称中心是点⎝⎛⎭⎫512π，0C ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12 D ．f (x )在⎣⎡⎦⎤512π，23π上是减函数 6.将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ等于( )．A.π6B.5π6C.7π6D.11π67.(2012浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )．8.函数f (x )＝2sin x4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．9.函数y ＝ln(sin x －cos x )的定义域为__________10.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为_________11.函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是奇函数，则φ＝__________12.已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．13.已知函数f (x )＝sin x (cos x －3sin x )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a ⎝⎛⎭⎫0<a <π2个单位，向下平移b 个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，求a ，b 的值； (3)求函数f (x )的单调增区间．14.(2012重庆高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域．15.如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长。