三角函数地公式+五点作图+奇偶性+周期性

三角函数的图像和性质一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0)余弦函数y=cosx x [0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)二、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函 数 性 质例作以下函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求知足以下条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数概念：关于函数()y f x =，若是存在一个非零常数T ，使适当x 取概念域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做那个函数的周期。

注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一样称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。

三角函数的周期性和奇偶性三角函数是数学中重要的函数之一，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

本文将探讨三角函数的周期性和奇偶性，从而帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、周期性1. 正弦函数的周期性正弦函数的周期是2π（或360°），即f(x) = sin(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

换句话说，正弦函数在每个2π的间隔内会重复自身的图像。

例如，f(0) = sin(0) = 0，f(2π) = sin(2π) = 0，f(4π) = sin(4π) = 0，以此类推。

这种周期性特征使得正弦函数在描述周期性现象时非常有用，比如震荡、波动等。

2. 余弦函数的周期性余弦函数的周期同样是2π（或360°），即f(x) = cos(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

与正弦函数类似，余弦函数也在每个2π的间隔内重复自身的图像。

例如，f(0) = cos(0) = 1，f(2π) = cos(2π) = 1，f(4π) = cos(4π) = 1，以此类推。

余弦函数的周期性可以应用于描述周期性运动、振动等现象。

3. 正切函数的周期性正切函数的周期是π（或180°），即f(x) = tan(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

不同于正弦函数和余弦函数，正切函数在每个π的间隔内重复自身的图像。

例如，f(0) = tan(0) = 0，f(π) = tan(π) = 0，f(2π) = tan(2π) = 0，以此类推。

正切函数的周期性可以应用于解决角度相关问题，比如角度变换、角度关系等。

二、奇偶性1. 正弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性体现在函数的对称性上。

具体来说，f(x) = sin(x)是一个奇函数，即f(-x) = -f(x)。

这意味着当自变量的符号取反时，函数值也取反。

例如，f(-π/2) = sin(-π/2) = -1，f(π/2) = sin(π/2) = 1，它们关于y轴对称。

三角函数中的奇偶性与周期性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在学习三角函数时，我们会发现它们具有一些特殊的性质，即奇偶性与周期性。

本文将对三角函数中的奇偶性与周期性进行详细的探讨。

一、正弦函数的奇偶性与周期性正弦函数是最基本的三角函数之一，记作sin(x)。

我们来分别讨论正弦函数的奇偶性与周期性。

1. 奇偶性：正弦函数的图像关于y轴对称，即满足f(-x) = -f(x)。

这意味着当x取正值时，正弦函数取相应的正值；当x取负值时，正弦函数取相应的负值。

当x取0时，正弦函数的值为0。

因此，正弦函数是一个奇函数。

2. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复，一个完整的周期是2π。

也就是说，对于任意实数x，有sin(x + 2π) = sin(x)。

所以正弦函数的周期为2π。

二、余弦函数的奇偶性与周期性余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的函数，记作cos(x)。

现在我们来研究余弦函数的奇偶性与周期性。

1. 奇偶性：余弦函数的图像关于y轴对称，即满足f(-x) = f(x)。

这意味着当x取正值时，余弦函数取相应的正值；当x取负值时，余弦函数取相应的正值。

当x取0时，余弦函数的值为1。

因此，余弦函数是一个偶函数。

2. 周期性：余弦函数的图像在一个周期内重复，一个完整的周期是2π。

也就是说，对于任意实数x，有cos(x + 2π) = cos(x)。

所以余弦函数的周期为2π。

三、正切函数的奇偶性与周期性正切函数是另一种重要的三角函数，记作tan(x)。

我们来探讨正切函数的奇偶性与周期性。

1. 奇偶性：正切函数不具备奇偶性，即不满足f(-x) = ± f(x)。

也就是说，当x取正值时，正切函数可以是正值或负值；当x取负值时，正切函数也可以是正值或负值。

当x取0时，正切函数的值为0。

因此，正切函数是一个既非奇函数也非偶函数。

2. 周期性：正切函数的图像在一个周期内重复，一个完整的周期是π。

第5讲三角函数的图象与性质1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点分别是(0，0)，□1(π2，1)，□2(π，0)，□3(3π2，－1)，□4(2π，0).(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点分别是(0，1)，□5(π2，0)，□6(π，－1)，□7(3π2，0)，□8(2π，1).2.三角函数的图象与性质(表中k ∈Z )π区间对称中心□22(k π，0)□23(k π＋π2，0)(k π2，0)对称轴方程□24x ＝k π＋π2□25x ＝k π无常用结论1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期.2.奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z ).(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.()(2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.()(3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.()(4)y ＝sin|x |是偶函数.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2.回源教材(1)函数y ＝2sin(x －π3)(x ∈[－π，0])的单调递增区间是()A.[－π，－5π6] B.[－5π6，－π6]C.[－π3，0]D.[－π6，0]解析：D 令－π2＋2k π≤x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z .由于x ∈[－π，0]，所以所求的单调递增区间为[－π6，0].(2)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π6)的定义域是.解析：由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠12k π＋π6，k ∈Z .答案：{x |x ≠12k π＋π6，k ∈Z }(3)函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈[0，π2]的值域是.解析：由x ∈[0，π2]得x ＋π3∈[π3，5π6]，所以y ＝cos(x ＋π3)∈[－32，12].答案：[－32，12]三角函数的定义域和值域例1(1)函数y ＝cos x －32的定义域为()A.[－π6，π6]B.[k π－π6，k π＋π6](k ∈Z )C.[2k π－π6，2k π＋π6](k ∈Z )D.R解析：C由cos x－32≥0，得cos x≥32，∴2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z.(2)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为.解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，∴sin x cos x＝1－t2 2，且－2≤t≤ 2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2].当t＝1时，y max＝1；当t＝－2时，y min＝－1＋22 2.∴函数y的值域为[－1＋22 2，1].答案：[－1＋22 2，1]反思感悟1.三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解.2.三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝A sin(ωx＋φ)的形式求值域.(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.(3)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域.训练1(1)函数y＝lg sin x＋cos x－12的定义域为.解析：要使函数有意义，x＞0，x－12≥0，x＞0，x≥12，kπ＜x＜π＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z.所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z}.答案：{x|2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z}(2)函数f(x)＝sin(2x＋3π2)－3cos x的最小值为.解析：∵f(x)＝sin(2x＋3π2)－3cos x＝－cos2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1＝－2(cos x＋34)2＋178，－1≤cos x≤1，∴当cos x＝1时，f(x)有最小值－4.答案：－4三角函数的周期性、奇偶性与对称性例2(1)(2023·天津卷)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为()A.f(x)＝sin(π2x) B.f(x)＝cos(π2x)C.f(x)＝sin(π4x) D.f(x)＝cos(π4x)解析：B由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中T＝2ππ2＝4，B选项中T＝2ππ2＝4，C选项中T＝2ππ4＝8，D选项中T ＝2ππ4＝8，排除选项CD，对于A选项，当x＝2时，函数值sin(π2×2)＝0，故(2，0)是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当x＝2时，函数值cos(π2×2)＝－1，故x＝2是函数的一条对称轴.故选B.(2)(2024·贵阳联考)使函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为偶函数，则θ的一个值可以是()A.π3B.π6C.－π3D.7π6解析：A由f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋π6 )，因为f(x)为偶函数，可得θ＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，所以θ＝kπ＋π3，k∈Z，令k＝0，可得θ＝π3 .反思感悟有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sinωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cosωx的形式.(2)周期的计算方法：利用函数y＝A sin(ωx＋φ)，y＝A cos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y＝A tan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解.(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.训练2(1)(多选)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于直线x＝π对称，则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期是πC.f(x)的一个对称中心是(－2π，0)D.f(x)的一个递增区间是(2，3)解析：BD B项，f(x)的最小正周期是T＝2π2＝π，B正确；A 项，由于f (x )的图象关于直线x ＝π对称，且最小正周期是π，因此f (x )的图象也关于直线x ＝0对称，故f (x )是偶函数，A 错误；C 项，因为是偶函数，且最小正周期是π，则f (x )＝2cos 2x 或f (x )＝－2cos 2x ，根据0＜φ＜π可得解析式为前者，f (x )的对称中心为(k π2－π4，0)(k ∈Z )，C 错误；D 项，由于(2，3)⊆(π2，π)，f (x )在(π2，π)单调递增，D 正确.(2)(2024·遂宁模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)＋cos ωx (ω＞0)，f (x 1)＝0，f (x 2)＝3，且|x 1－x 2|的最小值为π，则ω的值为()A.23B.12C.1D.2解析：Bf (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin(ωx ＋π3)，3是函数的最大值，由题意可知，|x 1－x 2|的最小值是14个周期，所以14×2πω＝π，得ω＝12.三角函数的单调性求三角函数的单调区间例3已知函数f (x )＝2cos(π4－3x )，x ∈[－π2，π2]，则f (x )的单调递增区间是()A.[－π2，0]B.[－π4，π12]C.[－π2，－π4]，[π12，5π12]D.[－π4，π12]，[5π12，π2]解析：Df (x )＝2cos(π4－3x )可化为f (x )＝2cos(3x －π4)，故单调增区间：2k π－π≤3x －π4≤2k π，k ∈Z ，解得23k π－π4≤x ≤23k π＋π12，k ∈Z .令k ＝0，－π4≤x ≤π12，令k ＝1，512π≤x ≤34π.∵x ∈[－π2，π2]，所以f (x )的单调递增区间是[－π4，π12]，[5π12，π2].根据函数的单调性求参数例4(1)(2024·绵阳模拟)若函数f (x )＝sin(x ＋π3)在(－a ，a )上是增函数，则实数a 的取值范围是()A.(0，π6]B.(0，π3]C.[π6，π3] D.[π6，5π6]解析：A 因为x ∈(－a ，a )，所以有a ＞0，且0∈(－a ，a )，因为函数f (x )＝sin(x ＋π3)在(－a ，a )上是增函数，＋π3≤π2，a ＋π3≥－π2⇒a ≤π6，∴0＜a ≤π6.(2)(2024·长沙长郡中学模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)(ω＞0)恒有f (x )≤f (2π)，且f (x )在[－π6，π3]上单调递增，则ω的值为()A.56B.16C.76D.16或76解析：B因为恒有f (x )≤f (2π)，所以当x ＝2π时f (x )取得最大值，所以2πω＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，得ω＝16＋k，k∈Z.因为f(x)在[－π6，π3]上单调递增，所以π3－(－π6)≤T2，即2πω≥π，得0＜ω≤2.因为x∈[－π6，π3]，所以ωx＋π6∈[－π6ω＋π6，π3ω＋π6].因为f(x)在[－π6，π3]上单调递增，所以－π6ω＋π6≥－π2＋2kπ，＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得≤4－12k，≤1＋6k，k∈Z.所以4－12k＞0，且1＋6k＞0，k∈Z，解得－16＜k＜13，k∈Z.故k＝0，ω＝16.反思感悟1.已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.训练3(1)(2024·西安模拟)下列区间中，函数f(x)＝3sin x－cos x单调递增的区间是()A.(0，π2)B.(π2，π)C.(π，3π2) D.(3π2，2π)解析：A 由题意得，f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)，令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π3≤x ≤23π，当k ＝1时，53π≤x ≤83π，因为(0，π2)⊆[－π3，23π]，所以(0，π2)是一个单调递增的区间.故选A.(2)已知a ＝sin 1，b ＝sin 32，c ＝sin 2，则()A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b解析：D 由三角函数的诱导公式，可得sin 2＝sin(π－2)，因为0＜1＜π－2＜32＜π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上是增函数，所以sin 1＜sin(π－2)＜sin 32，即a ＜c ＜b .(3)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π解析：A f (x )＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)，由题意得a ＞0，因为f (x )＝2cos(x ＋π4)在[－a ，a ]上是减函数，a ＋π4≥0，＋π4≤π，＞0，解得0＜a ≤π4，所以a 的最大值是π4.限时规范训练(二十八)A 级基础落实练1.(2024·湖南联考)函数f (x )＝6sin x 4cos x4－2的最小正周期和最小值分别是()A.π和－5 B.π和－3C.4π和－5 D.4π和－3解析：Cf (x )＝6sin x 4cos x 4－2＝3sin x2－2，则f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π，当x 2＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，f (x )取到最小值为－5.2.函数y ＝16－x 2lg （sin x ）的定义域是()A.[－4，4]B.[－4，π2)∪(π2，4]C.[－4，－π)∪(0，π)D.[－4，－π)∪(0，π2)∪(π2，π)解析：D y＝16－x2lg（sin x）有意义满足－x2≥0，x＞0，（sin x）≠0，即4≤x≤4，kπ＜x＜π＋2kπ，≠π2＋2kπ(k∈Z)，解得x∈[－4，－π)∪(0，π2)∪(π2，π).故选D.3.已知x∈(0，π)，则f(x)＝cos2x＋2sin x的值域为()A.(－∞，32] B.[1，32]C.(1，32] D.(－3，2]解析：B由f(x)＝cos2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x，设sin x＝t，∵x∈(0，π)，∴t∈(0，1]，∴g(t)＝－2(t－12)2＋32，∴g(t)∈[1，32]，即f(x)＝cos2x＋2sin x的值域为[1，32].4.下列不等式中不成立的是()A.cos(－3π10)＞cos(－4π9)B.sin507°＜sin145°C.tan(－π5)＜tan(－3π7)D.sin4＜cos4解析：C因为余弦函数y＝cos x是偶函数，比较cos310π与cos49π即可，因为0＜3π10＜4π9＜π2，所以cos3π10＞cos4π9，即cos(－3π10)＞cos(－4π9)，A 正确；sin 507°＝sin 147°，正弦函数y ＝sin x 在(90°，180°)上单调递减，且90°＜145°＜147°＜180°，所以sin 147°＜sin 145°，即sin 507°＜sin 145°，B 正确；因为－π2＜－3π7＜－π5＜π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2)内单调递增，所以tan(－3π7)＜tan(－π5)，C 错误；因为5π4＜4＜3π2，则sin 4＜cos 4＜0，D 正确.5.(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)在区间(π6，2π3)单调递增，直线x＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条对称轴，则f (－5π12)＝()A.－32B.－12C.12 D.32解析：D 因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)在区间(π6，2π3)单调递增，所以T 2＝2π3－π6＝π2，且ω＞0，则T ＝π，ω＝2πT＝2，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2·π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝sin(2x －5π6)，则f (－5π12＝sin(－5π3)＝32.故选D.6.(多选)已知函数f (x )＝tan(2x －π4)，下列结论正确的是()A.函数f (x )的最小正周期为π2B.函数f (x )的定义域为{x )x ≠k π2＋π8，k ∈Z }C.函数f (x )图象的对称中心为(k π4＋π8，0)，k ∈ZD.函数f (x )的单调递增区间为(k π2－π8，k π2＋3π8)，k ∈Z解析：ACD对于A ，函数f (x )＝tan(2x －π4)的最小正周期T ＝π2，所以A 正确；对于B ，令2x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠3π8＋k π2，k ∈Z ，即函数f (x )的定义|x ≠3π8＋k π2，k ∈B 错误；对于C ，令2x －π4＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝π8＋k π4，k ∈Z ，所以函数f (x )的图象关于点(k π4＋π8，0)，k ∈Z 对称，所以C 正确；对于D ，令k π－π2＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－π8＜x ＜k π2＋3π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为(k π2－π8，k π2＋3π8)，k ∈Z ，所以D 正确.故选ACD.7.设φ＞0，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)为偶函数，则φ的最小值为.解析：f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)＝2[12sin(2x ＋φ)－32cos(2x ＋φ)]＝2[sin(2x ＋φ)cos π3－cos(2x ＋φ)sin π3]＝2sin(2x ＋φ－π3)，∵f (x )为偶函数，所以φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋5π6，又φ＞0，∴当k ＝0时，φ的最小值为5π6.答案：5π68.已知直线x ＝π3和x ＝5π6是曲线y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个φ的值是.解析：由条件可知πω＝5π6－π3＝π2，得ω＝2，当x ＝π3时，2×π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝1时，φ＝5π6.故答案为5π6(答案不唯一).答案：5π6(答案不唯一)9.设函数f (x )＝sin(ωx －π6)＋k (ω＞0)，若f (x )≤f (π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小取值等于.解析：f (x )≤f (π3)对任意的实数x 都成立，∴sin(ωx －π6)＋k ≤sin(ωπ3－π6)＋k ，∴sin(ωπ3－π6)＝1，∴ωπ3－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又ω＞0，∴ωmin ＝2.答案：210.已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域.解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)，所以f (x )最小正周期为π，由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z得单调递减区间是[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z ).(2)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π3∈[π3，4π3]，则2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )有最小值为－3，2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )有最大值为2，所以此时f (x )的值域为[－3，2].11.(2024·南京模拟)已知f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω＞0.(1)若函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，求f (3π2)的值；(2)若函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，且函数f (x )在[0，π4]上单调，求ω的值.解：(1)因为f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝2(12sin ωx －32cos ωx )＝2sin(ωx －π3)，因为函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，所以12T ＝π2，则T ＝π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x －π3)，所以f (3π2)＝2sin(2×3π2－π3)＝2sin π3＝2×32＝ 3.(2)由f (x )＝2sin(ωx －π3)，函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，所以πω3－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ＋1，k ∈Z ，由x ∈[0，π4]，ω＞0，则ωx －π3∈[－π3，πω4－π3]，又函数f (x )在[0，π4]上单调，－π3≤π2，0，解得0＜ω≤103，所以当k ＝0时ω＝1.B 级能力提升练12.(2023·镇江二模)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)在(0，π3)上存在零点，且在(π2，3π4)上单调，则ω的取值范围为()A.(2，4)B.[2，72]C.[73，269]D.[73，4]解析：C化简f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)，在x ∈(0，π3)时，ωx ＋π3∈(π3，π3ω＋π3)，该区间上有零点，故π3ω＋π3＞π⇒ω＞2，又x ∈(π2，3π4)时f (x )单调，则T ＝2πω≥2(3π4－π2)⇒ω≤4，即ω∈(2，4]，＜ωπ2＋π3≤7π3，＜3ωπ4＋π3≤10π3ωπ2＋π3，＋π3≤5π2⇒ω∈[73，269].13.(多选)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1，则下列结论正确的是()A.点(3π8，1)是函数f (x )图象的一个对称中心B.直线x ＝3π8是函数f (x )图象的一条对称轴C.函数f (x )在[0，π]上有两个零点D.函数f (x )在[0，π]上有三个极值点解析：AC对于函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1，当x ＝3π8时，f (x )＝1，结合正弦函数图象的对称性，可得点(3π8，1)是函数f (x )图象的一个对称中心，故A 正确，B 错误；当x ∈[0，π]时，2x ＋π4∈[π4，9π4]，故当2x ＋π4＝7π6或11π6时，f (x )＝0，故函数f (x )在[0，π]上有两个零点，C 正确；当2x ＋π4＝π2或3π2时，函数f (x )取得极值，故函数f (x )在[0，π]上有两个极值点，D 错误.故选AC.14.(2024·盐城模拟)已知函数f (x )＝2a sin ax ＋a cos(ax ＋π4)＋b (a ＞0)的值域为[－1，3].(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (ωx )(ω＞0)在[0，π6]上恰有一个零点，求ω的取值范围.解：(1)f (x )＝2a sin ax ＋a cos(ax ＋π4)＋b＝2a sin ax ＋a (22cos ax －22sin ax )＋b ＝22a sin ax ＋22a cos ax ＋b ＝a sin(ax ＋π4)＋b ，因为a ＞0，且函数f (x )的值域为[－1，3]，a ＋b ＝－1，＋b ＝3，＝2，＝1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )可得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，因此，函数f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z ).(2)因为f (ωx )＝2sin(2ωx ＋π4)＋1，由于0≤x ≤π6，则π4≤2ωx ＋π4≤πω3＋π4，由f (ωx )＝0可得sin(2ωx ＋π4)＝－12，因为f (ωx )(ω＞0)在[0，π6]上恰有一个零点，则7π6≤πω3＋π4＜11π6，解得114≤ω＜194.因此，ω的取值范围是[114，194).。

三角函数的周期性与奇偶性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。

这些函数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。

其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要性质，下面将详细讨论这两个性质。

一、周期性1. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期性：正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数，它们的周期都为2π。

也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π) =cos(x)。

这意味着当自变量x增加2π或减少2π时，函数值不变，即函数呈现出周期性的变化规律。

这样的周期性特点使得正弦函数和余弦函数在很多问题中具有重要的意义。

2. 正切函数tan(x)的周期性：正切函数tan(x)也是一个周期函数，它的周期为π。

也就是说，对于任意实数x，有tan(x+π) = tan(x)。

这意味着当自变量x增加π或减少π时，函数值保持不变。

需要注意的是，正切函数在一些特殊点（如π/2，3π/2等）处不定义，因为在这些点上正切函数的值会趋于无穷大，即函数的图像会有垂直渐进线。

二、奇偶性1. 正弦函数sin(x)的奇偶性：正弦函数sin(x)是一个奇函数，它的图像关于原点对称。

也就是说，对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。

这意味着当自变量x取相反数时，函数值的相反数与原来的函数值相等，即函数的图像关于y轴对称。

2. 余弦函数cos(x)的奇偶性：余弦函数cos(x)是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。

也就是说，对于任意实数x，有cos(-x) = cos(x)。

这意味着当自变量x取相反数时，函数值保持不变，即函数的图像关于y轴对称。

3. 正切函数tan(x)的奇偶性：正切函数tan(x)既不是奇函数也不是偶函数，它的图像既没有关于原点的对称性，也没有关于y轴的对称性。

但是，正切函数有一个特殊的奇偶性质，即tan(-x) = -tan(x)。

5.5 正弦、余弦函数的图像和性质5.5.1 正弦函数的图象和性质任务提出正弦函数x y sin =，在),(+∞-∞上的图像如图所示，我们称之为正弦曲线. 那么，该曲线有何特点，又如何作出的呢？任务分析由诱导公式（红书P40）知识探究我们用单位圆中的正弦线，作出函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图像. 中职P291．五点作图法在精度要求不高的情况下，把点)0,0(，)1,2(π，)0,(π，)1,23(-π)0,2(,π五个点用平滑曲线依次连接起来就构成了函数的图象.2．正弦函数x y sin =的图象我们把正弦函数x y sin =在]2,0[π∈x 上的图象向左或向右每次移动π2个单位，就得到正弦函数x y sin =在),(+∞-∞∈x 上的图象，如图3-19所示正弦函数x y sin =在),(+∞-∞∈x 上的图象叫做正弦曲线 例1 作函数,sin 1x y +=]2,0[π∈x 的简图.描点作图，得到函数,sin 1x y +=]2,0[π∈x 的简图图3-19实际上，将函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图像，沿y 轴向上平移1个单位，就可以得到x y sin 1+=，]2,0[π∈x 的图像.2．正弦函数x y sin =的性质：（1）定义域和值域定义域：),(+∞-∞∈x 值域： ]1,1[-∈y ；（2）奇偶性正弦函数)(sin R x x y ∈=是奇函数，图象关于原点对称；（3）周期性π2=T ；（4）单调性其他区间上的单调性也能在正弦曲线上直观地作出判断. 例2中职P33例3能力训练中职P32 1 2 3中职P34 1 2 35.5.2 余弦函数的图象和性质1．余弦函数x y cos =的图象我们把正弦函数在x y sin =,]2,0[π∈x 上的图象向左或向右每次移动π2个单位，就得到余弦函数在x y cos =,),(+∞-∞∈x 上的图象，如图5-所示余弦函数x y cos =在),(+∞-∞∈x 上的图象叫做余弦曲线.2．余弦函数x y cos =的性质：（1）定义域和值域定义域：),(+∞-∞∈x 值域： ]11[，-∈y ；（2）奇偶性)(cos R x x y ∈=是偶函数，图象关于y 轴对称；（3）周期性π2=T ；（4）单调性其他区间上的单调性也可在余弦曲线上直观地作出判断.例4中职P36能力训练1．比较下列两值大小（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-417cos ______533cos ππ （2）516cos ______57cos ππ 2．函数x y sin 3+=的最小值是A ．1-B ．3C ．2D ．4 4、函数xx y cos 2cos 2-+=的值域是 ． 5．已知函数()2cos()32x f x π=- （1）求f (x)的单调递增区间（2）若[],x ππ∈-，求f (x)的最大值和最小值．。

三角函数中的周期性与奇偶性三角函数是数学中的重要概念，在各个领域中都得到广泛的应用。

其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要特性，对于分析和理解三角函数的性质具有重要意义。

一、周期性周期性是指函数在一定范围内以固定的间隔上下循环出现相同的值。

在三角函数中，正弦函数(sin)和余弦函数(cos)的周期均为2π。

这意味着，当自变量每增加2π时，函数的值会回到原来的位置。

以正弦函数为例，sin(x)的周期为2π，可以表示为：sin(x + 2π) = sin(x)这意味着，无论x的取值是多少，只要将其增加2π，函数的值就会回到原来的位置。

同样地，余弦函数的周期也为2π。

对于正弦函数和余弦函数的图像来说，周期性表现为波形的重复出现。

在一段周期中，波形会上升到最大值，然后下降到最小值，再经过0点回到原来的位置。

二、奇偶性奇偶性是指函数在定义域内满足一定的对称性。

在三角函数中，正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。

奇函数的特点是对称于坐标原点，即满足以下性质：sin(-x) = -sin(x)这意味着，对于正弦函数来说，当自变量取相反数时，函数的值也取相反数。

例如，sin(-π/6)等于-sin(π/6)。

与之相反，偶函数的特点是对称于y轴，即满足以下性质：cos(-x) = cos(x)这意味着，对于余弦函数来说，当自变量取相反数时，函数的值保持不变。

例如，cos(-π/3)等于cos(π/3)。

奇偶性在三角函数的图像中体现为关于y轴或坐标原点的对称性。

例如，正弦函数的图像在坐标原点上下对称，而余弦函数的图像在y 轴上下对称。

三、综合应用三角函数的周期性和奇偶性不仅仅是数学的概念，它们在实际问题中的应用也非常广泛。

周期性可以用于分析周期性现象的规律。

例如，天体运动、电流变化等都具有周期性，可以通过三角函数中的周期性概念来描述和分析这些现象。

奇偶性则可以用于简化计算或证明问题。

例如，利用正弦函数的奇性可以将某些积分计算简化，而余弦函数的偶性可以用于证明恒等式等。

三角函数的图象与性质一、知识网络三、知识要点（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx.（2）型三角函数的奇偶性（ⅰ）g（x）＝（x∈R）g（x）为偶函数由此得；同理，为奇函数 .（ⅱ）为偶函数；为奇函数.3、周期性（1）基本公式（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 .（ⅱ）型三角函数的周期的周期为；的周期为 .（2）认知（ⅰ）型函数的周期的周期为；的周期为 .（ⅱ）的周期的周期为；的周期为 .均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.（ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.（3）特殊情形研究（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；（ⅱ）的最小正周期为；（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.（2）y＝型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为①换元、分解：令u＝，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝；②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；③还原、结论：将u＝代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.（二）三角函数的图象1、对称轴与对称中心（1）基本三角函数图象的对称性（ⅰ）正弦曲线y＝sinx的对称轴为；正弦曲线y＝sinx的对称中心为（，0） .（ⅱ）余弦曲线y＝cosx的对称轴为；余弦曲线y＝cosx的对称中心（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为；正切曲线y＝tanx无对称轴.认知：①两弦函数的共性：x＝为两弦函数f（x）对称轴为最大值或最小值；（，0）为两弦函数f（x）对称中心＝0.②正切函数的个性：（，0）为正切函数f（x）的对称中心＝0或不存在.（2）型三角函数的对称性（服从上述认知）（ⅰ）对于g（x）＝或g（x）＝的图象x＝为g（x）对称轴为最值（最大值或最小值）；（，0）为两弦函数g（x）对称中心＝0.（ⅱ）对于g（x）＝的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心＝0或不存在.2、基本变换（1）对称变换（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移3、y＝的图象（1）五点作图法（2）对于A，T，，的认知与寻求：①A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.②：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.：由T＝得出. ③：解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得值为增根；解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.四、经典例题例1、求下列函数的值域：（1）（2）（3）（4）（5）（6）分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.解：（1）∵∴，即所求函数的值域为 .（2）由∴∴注意到这里x∈R，，∴∴所求函数的值域为[－1，1].（3）这里令sinx＋cosx＝t则有且由于是有∵∴因此，所求函数的值域为 .（4）注意到这里y>0，且∵∴即所求函数的值域为 .（5）注意到所给函数为偶函数，又当∴此时同理，当亦有 . ∴所求函数的值域为 .（6）令则易见f（x）为偶函数，且∴是f（x）的一个正周期. ①只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.当x∈[0， ]时，又注意到，∴x＝为f（x）图象的一条对称轴②∴只需求出f（x）在[0， ]上的最大值.而在[0， ]上，递增. ③亦递增④∴由③④得f（x）在[0， ]上单调递增.∴即⑤于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 .点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx 与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.例2、求下列函数的周期：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.解：（1）＝＝∴所求最小正周期 .（2）＝＝＝∴所求周期 .（3）＝＝＝ .注意到的最小正周期为，故所求函数的周期为 .（4）注意到3sinx及-sinx的周期为2，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为2 . ∴所求函数的周期为2 .（5）注意到sin2x的最小正周期，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期，这里的最小公倍数为 . ∴所求函数的周期 .点评：对于（5），令则由知，是f（x）的一个正周期.①又∴不是f（x）的最小正周期. ②于是由①②知，f（x）的最小正周期为 .在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.请大家研究的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验.例3、已知函数的部分图象，（1）求的值；（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.解：（1）令，则由题意得f（0）＝1∵∴注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为，故逆用“五点作图法”得：由此解得∴所求， .（2）由（1）得令，解得，∴函数f（x）图象的对称轴方程为；令解得，∴函数f（x）图象的对称中心坐标为 .点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：例4、（1）函数的单调递增区间为。