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西北工业大学—自动控制原理17-24

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《自动控制原理》-卢京潮主编-西北工业大学(清华大学)-第四章习题及答案

《自动控制原理》-卢京潮主编-西北工业大学(清华大学)-第四章习题及答案

根轨迹如图解 4-5 所示。
4-6 直升机静稳定性不好，需要加控制装置改善性能。如图 4-23 所示是加入镇定控制 回路的直升机俯仰控制系统结构图。直升机的动态特性可用传递函数
G0 (s)
=
1（0 s + 0.5） (s + 1)(s − 0.4)2
表示。
70
图 4-23 直升机俯仰控制系统结构图
解 若点 s1 在根轨迹上，则点 s1 应满足相角条 件 ∠G(s)H (s) = ±(2k + 1)π ，如图解 4-1 所示。
对于 s = −1 + j 3 ，由相角条件
∠G(s1)H (s1) =
0 − ∠(−1 + j 3 + 1) − ∠(−1 + j 3 + 2) − ∠(−1 + j 3 + 4) = 0 − π − π − π = −π
essn
=
lim
s→0
s
⋅Φ
en
(
s)
⋅
E
(s)
=
lim
s→0
s
⋅
−G0 ⋅ 1+ G0
K1(s +1)
s+9 ⋅ K1(s +1)
s+9
⋅1 s
=
lim
−10K1 ⋅ (s + 0.5)
K1 =1.9
= − 0.868
s→0 (s + 9)(s − 0.4)2 +10K1(s + 0.5)
71
4-7 单位反馈系统的开环传递函数为
（1）画出俯仰控制系统的根轨迹。
（2）当 K1 = 1.9 时，确定对阵风扰动 Td (s) = 1 s 的稳态误差。

《自动控制原理》（卢京潮，西北工业大学）第二章习题及答案

《自动控制原理》（卢京潮，西北工业大学）第二章习题及答案

∴
G ( s) =
4 ⎤ ⎡ −1 k (t ) = L−1 [G ( s )] = L−1 ⎢ + = 4e − 2 t − e − t ⎥ s + 1 s + 2 ⎣ ⎦
- 16 -2-10 Nhomakorabea已知系统传递函数
C ( s) 2 &(0) = 0 ， ， 且初始条件为 c(0) = −1 ，c = 2 R ( s ) s + 3s + 2
(1) (3) 原式 ＝
−1 1 3 1 1 + − + + 3 2 2( s + 2) 4( s + 2) 8( s + 2) 24s 3( s + 3)
− t 2 − 2 t t − 2 t 3 − 2 t 1 −3t 1 ∴ x（t）＝ e + e − e + e + 4 4 8 3 24
1 s 1 1 s +1 1 1 1 2 − 2 = − ⋅ + ⋅ (4) 原式 ＝ 2 2 s s + 2 s + 2 2 s 2 ( s + 1) + 1 2 ( s + 1) 2 + 1
化，试推导 id = f (ud ) 的线性化方程。 解 解得 将 i d = 10 −14 (e 将 i (0) = 2.19 × 10 A 代入 i d = 10 −14 (e
−3
ud
u d / 0.026
− 1)
ud 0 = 0.679V
u d / 0.026
− 1) 在( u d 0 ， i0 )处展开为泰勒级数，
∴ X (s) = ∴ X ( s) =
e− s 1 e −3s 1 ( s ) − 2 (2 s + ) + 2 s 2 s 2

西北工业大学—自动控制原理

西北工业大学—自动控制原理

ur
u u a m up
l
消去中间变量得：
Tm l l k 1 k 2 k 3 k 4 k m l k 1k 2 k 3 k m u a ─二阶线性定常微分方程
即： l
1 k1k 2 k 3k 4 k m kk kk l l 1 2 3 m ua Tm Tm Tm
R 1 1 uc uc ur L LC LC
── 2 阶线性定常微分方程
（2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析 A、B 点受力情况
A x 0 ) k2x0 k1 (x i x A ) f(x
A
B
由 k 1 ( x i x A ) k1 x A 解出 x A x i
第一章：自动控制理论的一般概念 §1.1 引言 §1.2 自动控制理论发展概述 发展过程： 19 世纪
呼应 与西方工业革命发展相
时域 复域 频域
20 世纪 60 年代初
古典控制理论 （单入/出）
与航天技术发展相呼应
现（近）代控制理论 （多入 / 出）
2．
闭环（信号有反向作用） 特点：复杂、抗干扰能力强、精度高、有稳定性问题。
3．
复合（前向联系、反向作用） 特点：性能要求高时用之。 例如：炉温系统可以采用开环或闭环的。
闭环控制工作原理：
给定量：使c跟踪r 外部作用： 干扰量：使c偏离r
控制目的：排除干扰因素、影响、使被控量随给定量变化。 负反馈原理——构成闭环控制系统的核心

0
at e
t 0 t 0
L[f ( t )] e at e st dt e sa t dt
0 0

自动控制原理课后习题答案 西北工业大学出社

自动控制原理课后习题答案 西北工业大学出社

第五章 线性系统的频域分析与校正习题与解答5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。

u rR 1u cR 2CCR 2R 1u ru c(a) (b)图5-75 R-C 网络解 （a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(R R C R R T C R RR R K s T s K sCR sC R R R s U s U r c ττ ωωτωωωωω11121212121)1()()()(jT j K C R R j R R C R R j R j U j U j G r c a ++=+++==(b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=C R R T CR s T s sCR R sCR s U s U r c)(1111)()(2122222212ττ ωωτωωωωω2221211)(11)()()(jT j C R R j C R j j U j U j G r c b ++=+++==5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(t c s 和稳态误差)(t e s （1） t t r 2sin )(=（2） )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 图5-76 系统结构图频率特性: 2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-=系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e 则 )2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时, 2=ω，r m =1则 ,35.081)(2==Φ=ωωj ο45)22arctan()2(-=-=j ϕο4.1862arctan )2(,79.085)(2====Φ=j j e e ϕωω )452sin(35.0)2sin()2(οο-=-Φ=t t j r c m ss ϕ)4.182sin(79.0)2sin()2(ο+=-Φ=t t j r e e e m ss ϕ （2） 当 )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωωο5.26)21arctan()1(45.055)1(-=-===Φj j ϕ ο4.18)31arctan()1(63.0510)1(====Φj j e e ϕ )]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m s ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=οο)902cos(7.0)4.3sin(4.0οο--+=t t)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t e e e m e e m s ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=οο )6.262cos(58.1)4.48sin(63.0οο--+=t t5-3 若系统单位阶跃响应 )0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t h tt试求系统频率特性。

西北工业大学—自动控制原理

西北工业大学—自动控制原理

联系并准备
实验二：典型环节模拟 实验三：二阶系统特征参数对性能的影响
联系地点： 实验大楼 12 楼
联 系 人： 杨建华 (实验中心主任)
§3.5
线性系统的稳定性分析
§3.5.1 稳定性的概念 lim k(t) 0 t
§3.5.2 稳定的充要条件
系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部 或所有闭环特征根均位于左半s平面
自动控制原理
西北工业大学自动化学院
自动控制原理教学组
自动控制原理
本次课程作业(9)
3 — 8, 9, 10
自动控制原理
（第 9 讲） §3 线性系统的时域分析与校正
§3.1 概述 §3.2 一阶系统的时间响应及动态性能 §3.3 二阶系统的时间响应及动态性能 §3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能 §3.5 线性系统的稳定性分析 §3.6 线性系统的稳态误差 §3.7 线性系统时域校正
§3.5
线性系统的稳定性分析（2）
§3.5.2 稳定的充要条件
根据系统稳定的定义，若 lim k(t) 0 ,则系统是稳定的。
t
必要性： (s) M (s) bm (s z1 ) (s z2 ) (s zm ) D(s) an(s 1 ) (s 2 ) (s n )
充分性：
C(s) (s)
解. 列劳斯表
s5 1
0
s4 2
0
s3 80
00
s2 e0
-2
s1 16 /e
0
s0 -2
-1
-2
列辅助方程： 2s4 2 0
d 2s4 2 8s3 0
ds
第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定
§3.5

第6讲自动控制原理-资料

第6讲自动控制原理-资料

解.（1）
C (s)1 2 1 1 1 2 (s 2 ) s 3s 13s 4s(s 1 )s( 4 )
G (s) C (s) C (S ) sG (s)2 (s 2 )
R (s) 1s
(s 1 )s( 4 )
§2.3.1 传递函数
(2)
K 22 1
4
(s25s4)C(s)(2s4)R(s)
L1: c5c4c2r4r
§2.3.1 传递函数
（7）
L: [s2C(s)sc(0)c(0)]
5[sC(s)c(0)]
[4C(s)]
( s 2 5 s 4 ) C ( s ) ( s 5 ) c ( 0 ) c ( 0 ) 2 ( s 2 ) R ( s )
课堂小结
2.3 复域数学模型 —— 传递函数 （1）传递函数的定义、性质和适用范围 （2）常用控制元件的传递函数 （3）典型环节
2.4 控制系统的结构图及其等效变换 （1）系统结构图 （2）结构图等效化简
自动控制原理
本次课程作业
2 — 11, 12 , 14 , 16
谢 谢！
F(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
解释：输入信号与希望值（给定值）关系
4、比较点和引出点的移动
结构图等效变换规则见表2－2
§2.4 控制系统的结构图及其等效变换
例3：例1电路的传递函数为
Uc(s) Ur(s)
111RR1R 1RC11C ssR2R2
R2(1R1Cs) R1R2(1R1Cs)
自动控制原理
西北工业大学自动化学院
自动控制原理教学组
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6

西北工业大学《自动控制原理》习题解答

《自动控制原理》习题解答西北工业大学自动化教研室第一章习题及答案1-3图1-3 (a)，(b)所示均为调速系统。

(1) 分别画出图1-24(a)、图(b)所示系统的方框图。

给出图1-24(a) 所示系统正确的反馈连线方式。

(2) 指出在恒值输入条件下，图1-24(a)，(b) 所示系统中哪个是有差系统，哪个是无差系统，说明其道理。

图1-3 调速系统工作原理图解图1-3 (a)正确的反馈连接方式如图1-3 (a)中虚线所示。

(1) 系统方框图如图解1-10所示。

(2) 图1-3 (a) 所示的系统是有差系统，图1-3 (b) 所示的系统是无差系统。

图1-3 (a)中，当给定恒值电压信号，系统运行达到稳态时，电动机转速的恒定是以发电机提供恒定电压为条件，对应发电机激磁绕组中电流一定是恒定值。

这意味着放大器前端电压是非零的常值。

因此，常值偏差电压存在是系统稳定工作的前提，故系统有差。

图1-3 (b)中，给定恒定电压，电动机达到稳定转速时，对应发电机激磁绕组中的励磁电流恒定，这意味着执行电动机处于停转状态，放大器前端电压必然为0，故系统无差。

1-4图1-4 (a)，(b)所示的系统均为电压调节系统。

假设空载时两系统发电机端电压均为110V，试问带上负载后，图1-4(a)，(b)中哪个能保持110V不变，哪个电压会低于110V？为什么?图1-4 电压调节系统工作原理图解带上负载后，开始由于负载的影响，图1-4(a)与(b)系统的端电压都要下降，但图(a)中所示系统能恢复到110V，而图(b) 所示系统却不能。

理由如下：图(a)系统，当u低于给定电压时，其偏差电压经放大器K放大后，驱动电机D转动，经I增大，发电机的输出电压会升高，从而使偏差电减速器带动电刷，使发电机F的激磁电流j压减小，直至偏差电压为零时，电机才停止转动。

因此，图(a)系统能保持110V不变。

图(b)系统，当u低于给定电压时，其偏差电压经放大器K后，直接使发电机激磁电流增大，提高发电机的端电压，使发电机G 的端电压回升，偏差电压减小，但不可能等于零，因i=0，发电机就不能工作。

西北工业大学航天学院自动控制原理实验报告

自动控制原理实验报告实验名称：线性系统的时域分析实验日期：2017.9.29，2017.11.14小组成员：目录一、典型环节的模拟研究 (3)1.实验目的 (3)2.实验原理及说明 (3)3.实验内容及实验结果 (3)3.1观察比例环节的阶跃响应曲线 (4)3.2观察惯性环节的阶跃响应曲线 (7)3.3观察积分环节的阶跃响应曲线 (10)3.4观察比例环节的阶跃响应曲线 (13)3.5观察比例微分环节的阶跃响应曲线 (16)3.6观察PID（比例积分微分）环节的阶跃响应曲线 (17)4.结果分析 (20)二、二阶系统瞬态响应和稳定性 (21)1.实验目的 (21)2.实验原理及说明 (21)3.实验内容及实验结果 (23)4.结果分析 (29)一、典型环节的模拟研究1.实验目的①了解和掌握各典型环节模拟电路的构成方法、传递函数表达式及输出时域函数表达式。

②观察和分析各典型环节的阶跃响应曲线，了解各项电路参数对典型环节动态特性的影响。

2.实验原理及说明①控制系统模拟实验采用复合网络法来模拟各种典型环节，即利用运算放大器不同的输入网络和反馈网络模拟各种典型环节，然后按照给定系统的结构图将这些模拟环节连接起来，便得到了相应的模拟系统。

②再将输入信号加到模拟系统的输入端，并利用计算机等测量仪器，测量系统的输出，便可得到系统的动态响应曲线及性能指标。

③若改变系统的参数，还可进一步分析研究参数对系统性能的影响。

④典型环节的结构图及传递函数3.实验内容与实验结果3.1观察比例环节的阶跃响应曲线 典型比例环节模拟电路如下图所示。

传递函数：1(S)(S)(S)R R K K U U G i O === 单位阶跃响应：K )t (U =1)实验步骤（1）构造模拟电路：安置短路套及测孔联线，表如下。

（a ）安置短路套 （b ）测孔联线（2）将A/D-D/A 转换（B2）DAOUT （矩形波）作为系统输入信号Ui,运行SACT 程序，选择线性系统时域分析项，点击启动实验项目弹出实验界面后，在“波形控制区”设置矩形波参数，设置矩形波“幅度”为4V ，“正脉宽”为1秒。

《自动控制原理》(卢京潮,西北工业大学)第八章习题及答案[1]

由上述三式，可列动态方程如下：
&1 ⎤ ⎡ 0 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡x ⎢x ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ & ⎢ 2 ⎥ = ⎢ − 2 − 3 0 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ + ⎢ 2⎥ u ⎢ &3 ⎥ 2 − 3⎥ ⎣0 ⎦⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎣x ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎡ x1 ⎤ ⎥ y = x1 = [1 0 0]⎢ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
181
由上式，可列动态方程如下
⎡ &1 ⎤ ⎢0 ⎡x 1 ⎥ ⎢x ⎢ & 0 ⎢ 2 ⎥ = ⎢0 R f + K bCm a m ⎢ &3 ⎥ ⎦ ⎢0 − ⎣x La J m ⎢ ⎣
⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 La f m + J m R a ⎥ ⎥ − La J m ⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎢ x ⎥ + ⎢0 ⎢ 2 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎢ Cm
182
⎡ ⎢ 0 由上式可得变换矩阵为 T = ⎢ 0 ⎢C ⎢ m ⎢ ⎣ Jm
8-2
1 0
⎤ 0 ⎥ 1 ⎥ f ⎥ 0 − m⎥ Jm ⎥ ⎦
&& + 6 & & + 11y & + 6 y = 6u 。式中 u 和 y 分别为系统输入、输 设系统微分方程为 & y y
出量。试列写可控标准型（即矩阵 A 为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵 A 为友矩阵转置) 状态空间表达式，并画出状态变量图。 解： 由题意可得：
0⎤ ⎥ et ⎦
187
( sI − A) −1
⎡s + 1 0 ⎤ =⎢ s − 1⎥ ⎣ 0 ⎦

西北工业大学考研专业课自动控制原理课程第24讲-串联超前校正

基础提高课程
第24讲 串联超前校正
串联超前校正
§5.9.1 串联超前校正
§5.9.2 串联迟后校正
§5.9.3 串联迟后－超前校正 §5.9.4 串联PID校正
§5.9 频率法串联校正（1）
校正：采用适当方式，在系统中加入一些结构和参数可调整 的装置（校正装置），用以改善系统性能，使系统满 足指标要求。

校正方式：串联校正，反馈校正，复合校正
§5.9频率法串联校正的过程（2）
频率法串联校正的设计过程
三频段理论：为我们改变系统频率特性，进而 改善系统性能提供了原则和方向。

举例1
课程小结
§5.9.1 串联超前校正
适用：**
00,c c ωωγγ≤≤实质：利用超前网络相角超前特性提高系统的相角裕度。

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第四章小结
自动控制原理
本次课程作业(17)
4 - 16, 17, 18, 19
自动控制原理
本次课程作业(18)
5 — 1, 2, 3, 4
自动控制原理
(第 18 讲)
§5. 线性系统的频域分析与校正
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7 §5.8 §5.9 频率特性的基本概念 幅相频率特性(Nyquist图) 对数频率特性(Bode图) 频域稳定判据 稳定裕度 利用开环频率特性分析系统的性能 闭环频率特性曲线的绘制 利用闭环频率特性分析系统的性能 频率法串联校正
G ( jω ) 定义三: G ( jω ) =
G ( s ) = C ( s ) R( s )
C ( s ) = G ( s ) R( s )
C ( jω ) R ( jω )
c( t ) =
C ( jω ) = G ( jω ) R ( j ω )
1 σ + jσ G ( s ) R ( s ) e st d s 2 πj ∫σ jω s = jω 1 + j∞ G ( jω ) R ( jω ) e jω t d ( j ω ) = 2 πj ∫ j∞ 1 +∞ jω t = ∫ ∞ G ( jω ) R( jω ) e dω 2π
令
K * = λ3 λ3 + 2 λ3 + 4 = 4
试根 λ 3 = 4.383
D( s ) s 3 + 6s 2 + 8s + K * = λ = 0.808 ± j 0.509 解根: 1, 2 s + 4.383 s + 4.383 λ 3 = 4.383 2 = s + 1.617 s + 0.9127
K = K* 3 = 3 K * ( s + 4) K * ( s + 4) s( s + 2)( s + 3) (3) Φ( s ) = = * K ( s + 2)[ s( s + 3) + K * ] 1+ s( s + 3)
σ 0 0 = 5.17 0 0 t s = 1.62
第四章小结
自动控制原理
西北工业大学自动化学院
自动控制原理教学组
自动控制原理
本次课程作业(17)
4 - 16, 17, 18, 19
根轨迹法的基本概念
根轨迹:
闭环极点 闭环零点 根轨迹方程
相角条件:
系统某一参数由 0 → ∞ 变化时,系统闭环极 点在s 平面相应变化所描绘出来的轨迹 与开环零点,开环极点及 K* 均有关
= 前向通道零点 + 反馈通道极点
模值条件:
根轨迹增益
绘制根轨迹的基本法则
法则 1 法则 2
★ 法则 根轨迹的起点和终点 根轨迹的分支数,对称性和连续性 实轴上的根轨迹 根之和 渐近线 分离点 与虚轴交点 出射角/入射角
3
法则 4
★ 法则
∑λ
i =1
n
i
=C
n m i j =1
( nm ≥ 2 )
K * =4
K * ( s + 4) = ( s + 4.383)[ s + 0.808 ± j 0.509) 4( s + 4) 4 × 0.9127 = = 2 ( s + 4.383)[ s 2 + 1.617 s + 0.9127 ) s + 1.617 s + 0.9127
ω n = 0.9127 = 0.955 ξ = 1.617 ( 2 × 0.955) = 0.8463
§5.1
频率特性的基本概念 (3)
例2 系统结构图如图所示, r(t)=3sin(2t+30), 求 cs(t), es(t).
解.
1 Φ( s ) = s+1
ω =2 1 c (t ) 1 1 Φ ( jω ) = = = = s 1 + jω 3 5 1+ω2
∠ Φ ( jω ) = arctan ω = 63 .4° = ∠ c s ( t ) ∠ r ( t ) = ∠ c s ( t ) 30 °
1 1 1 + + =0 d d +2 d +4
3d 2 + 12d + 8 = 0
d1 = 0.845;
* d
d 2 = 3.155
d = 0.845
K = d d+2 d+4
④ 虚轴交点:
=
3.08
D( s ) = s( s + 2)( s + 4) + K * = s 3 + 6 s 2 + 8 s + K * = 0
§4.4
利用根轨迹分析系统性能(5)
λ1, 2 = 0.808 ± j 0.509 λ 3 = 4.383 z = 4
⑷ 当 Κ*=4 时, 求λ1, 2, 3 并估算系统动态指标( σ%,ts)
视 λ1,2 为主导极点
K* K * ( s + 4) s( s + 2) Φ( s ) = = * K s( s + 2)( s + 4) + K * 1+ s( s + 2)( s + 4)
⑴ 绘制系统根轨迹; ⑵ 依题意确定闭环极点位置; ⑶ 确定闭环零点; ⑷ 保留主导极点,利用零点极点法估算系统性能
例1 已知系统结构图,K*= 0→∞,绘制系统根轨迹并确定:
⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围; ⑵ 复极点对应 ξ=0.5 (β=60 ) 时的 K 值及闭环极点位置; ⑶ 当 λ3=5 时,λ1,2=?相应 Κ=? ⑷ 当 Κ*=4 时, 求λ1, 2, 3 并估算系统动态指标( σ%,ts).
i
5
∑ p ∑z
σa =
n
i =1
nm
a =
( 2k + 1)π nm
法则 6 法则 7
★ 法则
m 1 1 ∑d p =∑dz i =1 j =1 i j
Re[D( jω )] = Im[D( jω )] = 0
n m ∑ ∠(s p i ) ∑ ∠(s z j ) = ( 2k + 1)π i=1 j=1
ω =2
cs (t ) = 3
5
2 2
sin( ω T - arctan ω T)
cs (t ) G ( jω ) = = r (t )
1
幅频特性 相频特性
G ( jω ) 定义二: G ( jω ) = G ( s ) s = jω
1 1 + ω 2T 2 ∠ arctan ω T =
1 1 1 1 = = ∠ 1 + jω T 1 + jω T 1 + jω T Ts + 1 s = jω
8
自动控制原理
(第 17 讲)
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
自动控制原理
(第 17 讲)
§4.4 利用根轨迹分析系统性能 第四章小结
§4.4
利用根轨迹分析系统性能(1)
利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤
K = K * 3 K * ( s + 4) s+2 K* 解. (1) G ( s ) = = s( s + 2)( s + 3) s + 4 s( s + 3) v = 1
(2) 当 ξ=0.5 (β=60o) 时
λ1, 2 = 1.5 ± j 2.598
K * = λ1 λ1 + 3 = 1.5 2 + 2.598 2 = 9
λ1, 2 = ξ ωn ± j 1 ξ 2 ω n 由根之和 C = 0 2 4 = 6 = 2ξ ωn + λ 3
设
λ 3 = 6 + 2ξ ωn = 6 + ω n 应有: D( s ) = s( s + 2)( s + 4) + K * = s 3 + 6 s 2 + 8 s + K * 2 = ( s λ1 )( s λ 2 )( s λ 3 ) = ( s 2 + 2ξ ωn s + ω n )( s + 6 ω n ) 2 = s 3 + 6 s 2 + 6ω n s + ω n (6 ω n ) K = K * 8 = 1.0375 ωn = 4 3 6ω n = 8 比较系数 λ1, 2 = 0.667 ± j1.1547 解根: * 2 * λ = 6 + ω = 4.667 K = 8 .3 ω n (6 ω n ) = K n 3
Im[D( jω )] = ω 3 + 8ω = 0 Re[D( jω )] = 6ω 2 + K * = 0
ω = 8 = 2.828 * K ω = 48
§4.4
利用根轨迹分析系统性能(3)
3.08 < K * < 48
⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围 依题,对应 0 < ξ < 1 有: 3.08 K * 48 <K= < =6 8 8 8 ο ⑵ 复极点对应 ξ=0.5 (β=60 ) 时的 K 值及闭环极点位置
ξ = 0.5
§4.4
利用根轨迹分析系统性能(4)
⑶ 当 λ3=5 时,λ1,2=?相应 Κ=?
s2 + s + 3 s + 5 s 3 + 6s 2 + 8s + K * D( s ) = s 3 + 6 s 2 + 8 s + K * 2 s 3 + 5s 2 = ( s + 5)( s + s + 3) s 2 + 8s λ1, 2 = 0.5 ± j1.6583 s 2 + 5s 3s + K * K * = 15 3 s + 15 K * = 15 K = K * 8 = 15 8 = 1.875 0 ⑷ 当 Κ*=4 时, 求λ1, 2, 3 并估算系统动态指标( σ%,ts)