高三数学天天练28

28 二倍角习题课时间：45分钟 满分：80分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题：(每小题 5分，共 5×6＝30分)1－cos α－π1．若 π<α<2π，则化简 的结果是( )2α α A ．sin B ．cos 2 2 α α C ．－cos D ．－sin 2 2 答案：Cπ α α 1＋cos α α α解析：∵π<α<2π，∴ < <π，∴cos <0，原式＝ 2 ＝|cos2|＝－cos .故2 2 22选 C.cos2α 22．若 ＝－ ，则 cos α＋sin α 的值为( ) π 2sin (α－ 4)7 1 A ．－ B ．－ 2 2 1 7 C. D. 2 2 答案：Cπ sin( －2α)2 解析：方法一：原式左边＝π－sin( －α)4π π 2sin ( －α)cos ( －α) 44＝π－sin( －α)4 π＝－2cos( －α)4＝－ 2(sin α＋cos α)2 ＝－21∴sin α＋cos α＝ ，故选 C.2cos 2α－sin 2α方法二：原式＝ππ sin α·cos －cos α·sin44cos α－sin α cos α＋sin α ＝2sin α－cos α 2＝－2(sinα＋cosα)2＝－21∴cosα＋sinα＝，故选C.21π π3 73．若 θ∈[2]，sin2θ＝ ，则 sin(5π－θ)＝( ) ， 483 7 A. B.4 4 3 7 3 C. 或 D ．－ 4 4 4 答案：Aπ ππ3 7解 析：解法一：因为 θ∈[2]，所以 2θ∈[ ，π].又 sin2θ＝，所以 cos2θ＝－， 428 13 711－cos2θ1＋ 3 1－sin 22θ1－(8 )＝－2＝－，所以 sin(5π－θ)＝sin θ＝＝ ＝ .故 8 824 2选 A.3 7 3 7 3 7解法二：因为 sin2θ＝ ，所以 2sin θcos θ＝ ，即 sin θcos θ＝ .又 sin 2θ＋ 8 8 16 9 × 7 9 × 7cos 2θ＝1，所以 sin 2θcos 2θ＝sin 2θ(1－sin 2θ)＝ ，即 sin 4θ－sin 2θ＋ ＝ 162 1629 7 π π 2 3 0，解得 sin 2θ＝ 或 sin 2θ＝16.又 θ∈[，所以 ≤sin θ≤1，所以 sin θ＝ .所以， 2]164243 sin(5π－θ)＝sin θ＝ ，故选 A.44．已知 cos 2α－cos 2β＝a ，那么 sin(α＋β)·sin(α－β)等于( ) a a A ．－ B. 2 2 C ．－a D ．a 答案：C解析：方法一：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β) ＝cos 2β－cos 2α＝－a ，故选 C.1 方法二：原式＝－ (cos2α－cos2β)21＝－ (2cos 2α－1－2cos 2β＋1)2＝cos 2β－cos 2α＝－a .A5．在△ABC 中，若 sin B sin C ＝cos 2 ，则△ABC 是( )2A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形 答案：B A 1＋cos A 解 析 ： ∵ sin B sin C ＝ cos 2 ， ∴ sin B sin C ＝ ， 即 2sin B sin C ＝ 1－ cos(B ＋ C )， 2 2 2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，即 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，∴B ＝C . 6．在△ABC 中，若 B ＝30°，则 cos A sin C 的取值范围是( )1 1 A ．[－1,1] B.[－2]， 2 1 3 3 1C.[－D.，4] [－ 4]， 4 4答案：C21 1 1解析：cos A sin C＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，2 4 21 3∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cos A sin C∈[－4].，4二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)5π3π 3 77．若θ∈[，2 ]，sin2θ＝，则sinθ的值为________．4 83答案：－45π3π5π解析：因为θ∈[ 2 ]，所以2θ∈[，3π]，cos2θ<0，所以cos2θ＝－1－sin，22θ4 211 1－(－8 ) 31－cos2θ＝－.又sinθ＝－＝－＝－.8 2 421 38. －的值为__________．sin10°sin80° 答案：41 3 cos10°－3sin10°2cos 10°＋60° 解析：原式＝－＝＝＝4.sin10°cos10°sin10°cos10° 1sin20°2cosα－sinα9．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝__________.cosα＋sinα答案：1cosα－sinα1－tanαπ解析：tanβ＝＝1＋tanα＝tan(－α)，cosα＋sinα 4 πππππ∵4－α，β∈(－，2)且y＝tan x在(－，2)上是单调增函数，2 2πππ∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan ＝1.4 4 4三、解答题：(共35分，11＋12＋12)2π4π6πππ10．证明：cos ＋cos ＋cos ＝－2sin cos .7 7 7 12 121 解析：左边＝·π2sin7π2ππ4ππ6π(2sin 7 )cos ＋2sin cos ＋2sin cos7 7 7 7 71＝Error!π2sin7Error!1 π＝(sinπ－sin7)π2sin71＝－，2π 1右边＝－sin ＝－，因为左边＝右边，所以原等式成立．6 27π3π(x＋4 )＋cos(x－4 )，x∈R. (1)求f(x)11．已知函数f(x)＝sin的最小正周期和最小值；34 4 π(2)已知 cos(β－α)＝ ，cos(β＋α)＝－ ，0<α<β≤ ，求 f (β)． 5 5 2 7π 7π 3π 3π解析：(1)f (x )＝sin x cos ＋cos x sin ＋cos x cos ＋sin x sin ＝ 2sin x － 2cos x 4 4 4 4π＝2sin(x － 4)，所以最小正周期 T ＝2π，f (x )min ＝－2.4(2)cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝ ， ①5 4cos(β＋α)＝cos βcos α－sin βsin α＝－ . ②5①＋②，得 cos αcos β＝0， π π 于是由 0<α<β≤ ，得 cos β＝0，β＝ . 2 2π π故 f (β)＝2sin(＝ .－ 4)22x12．已知向量 a ＝(1，－3)，b ＝(sin x,2cos 2 －1)，函数 f (x )＝a ·b .2θ2cos 2－sin θ－1 2(1)若 f (θ)＝0，求的值； π2sin (θ＋ 4)(2)当 x ∈[0，π]时，求函数 f (x )的值域．x解析：(1)∵a ＝(1，－ 3)，b ＝(sin x ，2cos －1)，22x∴f (x )＝a ·b ＝sin x － 3(2cos －1)＝sin x － 3cos x .22∵f (θ)＝0，即 sin θ－ 3cos θ＝0， ∴tan θ＝ 3，θ 2cos 2 －sin θ－12 cos θ－sin θ 1－tan θ 1－3 ∴ ＝ ＝ ＝ ＝－2＋ 3.π sin θ＋cos θ tan θ＋1 3＋12sin (θ＋ 4)π(2)f (x )＝sin x － 3cos x ＝2sin (x － 3)，π π 2π ∵x ∈[0，π]，∴x － 3∈[－， 3 ]，3π π当 x － ＝－ ，即 x ＝0时，f (x )min ＝－ 3；3 3 π π 5π当 x － ＝ ，即 x ＝ 时，f (x )max ＝2，3 2 6∴当 x ∈[0，π]时，函数 f (x )的值域为[－ 3，2]．4。

天天练28直线与平面的平行与垂直一、选择题1. （2018-湖北省重点中学一联）设皿〃是两条不同的直线，g "是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） 答案：D解析：选项A,若a 丄卩,mUa, nUp,则可能加丄弘m//n, 若m, 〃异面，故A 错误；选项B,若么〃0, tnUa, “U#,则m// n, 或加，刃异面，故B 错误；选项C,若加丄/?, mUa, nUR,则a 与 〃可能相交，平行，或垂直，故C 错误；选项D,若加丄a, m//n, 贝U 〃丄a,再由YI 〃B 可得aJL0,因此D 正确.故选D.2. （2018-泉州质检）已知直线a, b,平面a, 0, aUa, bug 贝！Ju a//p, h//p v 是 u a///r 的（ ）A ・充分不必要条件B ・必要不充分条件C ・充耍条件D.既不充分也不必耍条件答案：B解析：因为直线Q, b 不一定相交，所以Q 〃0, b///3不一定能够 得到a 〃0;而当a//p 时，a//p, b///3 一定成立，所以“a 〃0, b//^ 是u a//[i ”的必要不充分条件.3・（2018-湖北八校联考（一））如图所示，在四边形ABCD 中， AD//BC, AD=AB, ZBCD=45。

, ZB AD=90% 将沿 BQ 折 起，使得平面48D 丄平面BCD,构成四面体A —BCD,则在四面体/ — BCD 中，下列说法正确的是（）A. 平面力3D 丄平面ABCB. 平面/CD 丄平面BCDC. 平面/BC 丄平面BCD A. 若 a_L0, 加u a, nF ， B. 若 a//p, mUa, C. 若加丄〃， mUa, nU/3, D. 若加丄a, m// n, n//p, /7〃0 〃 丄〃丄丄 m m a a —J —J d u 貝则贝贝D・平面ACD丄平面/3Q答案：D解析：由题意可知，/D 丄AB, AD=AB,所以ZABD=45°9故 ZDBC=45。

天天练28直线与平面的平行与垂直一、选择题1．(2018·湖北省重点中学一联)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案：D解析：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，若m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，平行，或垂直，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，因此D正确．故选D.2．(2018·泉州质检)已知直线a，b，平面α，β，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：因为直线a，b不一定相交，所以a∥β，b∥β不一定能够得到α∥β；而当α∥β时，a∥β，b∥β一定成立，所以“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．3．(2018·湖北八校联考(一))如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面ABD答案：D解析：由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD.4．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当P A ∥平面EBF 时，PFFC ＝( )A.23B.14C.13D.12 答案：D解析：连接AC 交BE 于G ，连接FG ，因为P A ∥平面EBF ，P A ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面BEF ＝FG ，所以P A ∥FG ，所以PF FC ＝AGGC .又AD ∥BC ，E 为AD 的中点，所以AG GC ＝AB BC ＝12，所以PF FC ＝12.5．(2018·江西景德镇二模)将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的中线折起得到空间四面体ABCD (如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直 答案：C 解析：在题图1中，AD ⊥BC ，故在题图2中，AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，又因为BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，D 不在BC 上，所以AD ⊥BC ，且AD 与BC 异面，故选C.6．如图，在三棱锥P －ABC 中，已知P A ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，E ，F 分别是线段PB ，PC 上的动点，则下列说法错误的是( )A ．当AE ⊥PB 时，△AEF 一定是直角三角形 B ．当AF ⊥PC 时，△AEF 一定是直角三角形C ．当EF ∥平面ABC 时，△AEF 一定是直角三角形D ．当PC ⊥平面AEF 时，△AEF 一定是直角三角形 答案：B 解析：由P A ⊥底面ABC ，得P A ⊥BC ，又AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AB ，BC ⊥AE ，又AE ⊥PB ，则AE ⊥平面PBC ，则AE ⊥EF ，故A 正确；当EF ∥平面ABC 时，因为EF ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，所以EF ∥BC ，故EF ⊥平面P AB ，AE ⊥EF ，故C 正确；当PC ⊥平面AEF 时，PC ⊥AE ，又BC ⊥AE ，则AE ⊥平面PBC ，AE ⊥EF ，故D 正确．故选B.7．(2018·银川一模)如图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、K 分别为AC ′、CB ′、A ′B ′、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为( )A ．KB ．HC ．GD ．B ′ 答案：C解析：取A ′C ′的中点M ，连接EM 、MK 、KF 、EF ，则EM 綊12CC ′綊KF ，得EFKM 为平行四边形，若P ＝K ，则AA ′∥BB ′∥CC ′∥KF ，故与平面PEF 平行的棱超过2条；HB ′∥MK ⇒HB ′∥EF ，若P ＝H 或P ＝B ′，则平面PEF 与平面EFB ′A ′为同一平面，与平面EFB ′A ′平行的棱只有AB ，不满足条件，故选C.8．如图，在以角C 为直角顶点的三角形ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，F 为PB 上的点，在线段AB 上有一点E ，满足BE ＝λAE .若PB ⊥平面CEF ，则实数λ的值为( )A.316B.516C.916 D. 3答案：C解析：∵PB ⊥平面CEF ，∴PB ⊥CE ，又P A ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴P A ⊥CE ，而P A ∩PB ＝P ，∴CE ⊥平面P AB ，∴CE ⊥AB ，∴λ＝EB AE ＝EB ·AB AE ·AB ＝BC 2AC 2＝916.二、填空题9．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．答案：MN ∥平面BB 1C 1C解析：如图，连接AM 并延长，交BB 1的延长线于点P ，连接CP ，则由已知可得AA 1∥BB 1，所以A 1M MB ＝AM MP ＝12，又AN NC ＝12，所以AM MP ＝AN NC ＝12，所以MN ∥PC ，故有MN ∥平面BB 1C 1C .10．(2018·青岛一模)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)(不唯一)解析：如图，连接AC，∵四边形ABCD的各边都相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，又AC∩P A＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.11．(2018·益阳一模)如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O 上一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案：①②③解析：①由于P A⊥平面ABC，因此P A⊥BC，又AC⊥BC，因此BC⊥平面P AC，所以BC⊥AF，由于PC⊥AF，因此AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB；②因为AE⊥PB，AF⊥PB，所以PB⊥平面AEF，因此EF⊥PB；③在①中已证明AF⊥BC；④若AE⊥平面PBC，由①知AF⊥平面PBC，由此可得出AF∥AE，这与AF，AE有公共点A 矛盾，故AE⊥平面PBC不成立．故正确的结论为①②③.三、解答题12．(2017·江苏卷，15)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.。

江苏省高邮市界首中学2013届高三数学天天练28姓名 班级 2012年11月28日1．[2010·安徽卷] 过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________． x －2y －1＝02．[2011·扬州模拟] 直线ax －2y ＋2＝0与直线x ＋(a －3)y ＋1＝0平行，则实数a 的值是________．13．[2012·青岛模拟] 已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0不垂直也不平行，则m 的取值范围为________．m≠－8且m≠24．点A(1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B(－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是________．565．若直线l1：y ＝k(x －4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点________．(0,2)6.给出三条直线l1：4x ＋y ＝4，l2：mx ＋y ＝0，l3：2x －3my ＝4.若这三条直线不能围成任何一种封闭图形．试求出所有这样的实数m ，并指出三条直线的位置关系．(1)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0， 得l1与l2的交点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m ，－4m 4－m . 要使A 点也在直线l3上，只需点A 的坐标满足l3的方程，即2×44－m －3m×－4m 4－m＝4， 解得m ＝23或m ＝－1，∴当m ＝23或m ＝－1时，三条直线交于一点．(2)l1、l2、l3中至少有两条直线斜率相等时，这三条直线中至少两条直线平行或重合，但若直线的斜率不存在时，仍需单独考虑．当m ＝0时，l2：y ＝0，l3：x ＝2.∴l2与l3相交，交点为(2,0)，但(2,0)不在l1上．∴当m ＝0时，三直线能构成三角形．当m≠0时，当4－m ＝0，即m ＝4时，l1∥l2.当－12m －2＝0，即m ＝－16时，l1∥l3，而当－3m2－2＝0时，得m2＝－23，此方程无解．∴l2与l3不平行．综合(1)(2)知当m ＝－1，－16，23，4时，三条直线不能围成任何一种封闭图形．其中当m ＝－1或m ＝23时，三直线共点；而当m ＝4时，l1∥l2，l3与l1、l2相交；当m ＝－16时，l1∥l3，l2与l1、l3相交．。

第66练 向量的数量积（1）目标：掌握平面向量数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积在长度、角度和垂直等方面的简单运用.一、填空题1.已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ·b ＝ .【答案】1.2.已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，|a －b |＝ .【答案】 3.3.对于向量,,a b c 和实数λ，下列说法正确的是 （填序号）.①若0a b ⋅=，则0a =或0b =；②若0a λ=，则λ=0或0a =；③若22a b =，则a b =或a b =-；④若a b b c ⋅=⋅，则a c =.【答案】② 【解析】当a b ⊥时，0a b ⋅=，故①错误；2222,a a b b ==，则,a b 不一定共线，故③错误；若()a c b -⊥，有a b b c ⋅=⋅，但不一定要a c =，故④错误．4.若a b ⋅≤0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是 .【答案】[,]2ππ【解析】cos 0a b a b θ⋅=≤，又[0,]θπ∈，则[,]2πθπ∈． 5.已知1,42a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b ⋅= . 【答案】1【解析】1||||cos 4cos 123a b a b πθ⋅=⋅=⨯⨯=. 6.△ABC 中，已知0AB BC ⋅> ,则△ABC 的形状是 .【答案】钝角三角形解析：∵cos()0AB BC AB BC ABC π⋅=-∠>，∴c o s 0ABC ∠<，故△ABC 的形状是钝角三角形.7.已知2,4,3a b a b ==⋅=,则(23)(2)a b a b -⋅+=____________.【答案】- 44【解析】222(23)(2)44344433444a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=⨯-⨯-⨯=-. 8.已知10=a ，12=b ,1(3)()36,5a b a b ⋅=-且则与的夹角为 . 【答案】0120【解析】设a 与b 的夹角为θ，∵1(3)()365a b ⋅=-,∴60a b ⋅=-, ∴1cos 2a b a b θ⋅==-，故a 与b 的夹角为0120． 9.已知向量a 与b 的夹角为120，且4a b ==，那么(2)b a b ⋅+的值为 ． 【答案】0【解析】(2)b a b ⋅+=2a b ⋅+2b =a b cos120+2b =2×4×4×1()2-+24=0． 10.设向量a b ⋅满足b a ==1,b a 23-=3，则b a +3= .【答案】3 【解析】由条件得221a b ==，9232=-b a ， ∴9124922=-+b a b a ，∴13a b ⋅=，∴12693222=++=+b b a a b a ，∴323=+b a .二、解答题 11．已知a =4，b =5，当（1）a ∥b ；（2）a ⊥b ；（3）a 与b 的夹角为60º；（4）a 与b 的夹角为150º时，分别求a 与b 的数量积．解：（1）因为a ∥b ，所以当a 与b 同向时，θ=0º，a •b =a b cos0º=45⨯=20；当a 与b 反向时，θ=180º，a •b =a b cos180º=-45⨯=-20．（2）当a ⊥b 时, θ=90º，a •b =a b cos90º=0．（3）当a 与b 的夹角为60º时, a •b =a b cos60º=45⨯21⨯=10． （4）当a 与b 的夹角为150º时, a •b =a b cos150º=45⨯)23(-⨯=310-．12.已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.解：因为a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，由a 与b 的夹角为锐角，所以a ⋅b ＝1－2λ＞0，所以λ＜12，又因为a 与b 不共线，所以λ≠－2.所以λ的取值范围为为(－∞，－2)∪(－2，12)．。

天天练直线与平面的平行与垂直一、选择题．(·湖北省重点中学一联)设，是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )．若α⊥β，⊂α，⊂β，则⊥．若α∥β，⊂α，⊂β，则∥．若⊥，⊂α，⊂β，则α⊥β．若⊥α，∥，∥β，则α⊥β答案：解析：选项，若α⊥β，⊂α，⊂β，则可能⊥，∥，若，异面，故错误；选项，若α∥β，⊂α，⊂β，则∥，或，异面，故错误；选项，若⊥，⊂α，⊂β，则α与β可能相交，平行，或垂直，故错误；选项，若⊥α，∥，则⊥α，再由∥β可得α⊥β，因此正确．故选.．(·泉州质检)已知直线，，平面α，β，⊂α，⊂α，则“∥β，∥β”是“α∥β”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件答案：解析：因为直线，不一定相交，所以∥β，∥β不一定能够得到α∥β；而当α∥β时，∥β，∥β一定成立，所以“∥β，∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．．(·湖北八校联考(一))如图所示，在四边形中，∥，＝，∠＝°，∠＝°，将△沿折起，使得平面⊥平面，构成四面体－，则在四面体－中，下列说法正确的是( )．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面答案：解析：由题意可知，⊥，＝，所以∠＝°，故∠＝°，又∠＝°，所以⊥.因为平面⊥平面，且平面∩平面＝，所以⊥平面，所以平面⊥平面.．如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当∥平面时，＝( )答案：解析：连接交于，连接，因为∥平面，⊂平面，平面∩平面＝，所以∥，所以＝.又∥，为的中点，所以＝＝，所以＝.．(·江西景德镇二模)将图中的等腰直角三角形沿斜边上的中线折起得到空间四面体(如图)，则在空间四面体中，与的位置关系是( )．相交且垂直．相交但不垂直．异面且垂直．异面但不垂直答案：解析：在题图中，⊥，故在题图中，⊥，⊥，又因为∩＝，所以⊥平面，又⊂平面，不在上，所以⊥，且与异面，故选.．如图，在三棱锥－中，已知⊥底面，⊥，，分别是线段，上的动点，则下列说法错误的是( )．当⊥时，△一定是直角三角形．当⊥时，△一定是直角三角形。

点点练28 直线、平面的平行与垂直关系1．已知直线l 和平面α，β，且l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，则下列结论中正确的是( )A ．EF ⊥BB 1 B ．EF ⊥平面BCC 1B 1 C ．EF ∥平面D 1BC D ．EF ∥平面ACC 1A 13．如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 4.如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当P A ∥平面EBF 时，PFFC ＝( )A.23B.14C.13D.125．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.255B.223C.55D.136．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则EF ＝________.7．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为正确的条件即可)1．[2019·全国卷Ⅱ]设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面 2．[2017·全国卷Ⅰ]如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )ABCD3．[2017·全国卷Ⅲ]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD 的中点，则()A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC4．[2016·全国卷]α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有______．(填写所有正确命题的编号)5．[2019·全国卷Ⅰ]已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC ＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC 的距离为________．1．[2020·河北省衡水中学测试]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝22，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为()A．平行B．垂直C．异面D．以上都不对2．[2020·河南平顶山一模]过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有() A．2条B．4条C．6条D．8条3．[2020·辽宁省五校协作体联考]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则()A．MN∥C1D1B．MN⊥BC1C．MN⊥平面ACD1D．MN⊥平面ACC14．[2020·荆州模拟]如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()A．K B．HC．G D．B′5．[2020·黄冈质检]如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．6．[2020·聊城模拟]如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，则在△ADE 翻折的过程中，下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①VA －A 1DE :VA 1－BCDE ＝1:3；②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；③总有BM ∥平面A 1DE ；④线段BM 的长为定值．1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C 是矩形，侧面AA 1C 1C ⊥侧面AA 1B 1B ，且AB ＝4AA 1＝4，∠BAA 1＝60°，D 是AB 的中点．(1)求证：AC 1∥平面CDB 1； (2)求证：DA 1⊥平面AA 1C 1C .2．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC ＝CD ＝AD ＝1，∠ABC ＝π3，四边形BDEF 是正方形，且∠ADE ＝π2，点G 在线段EF 上．(1)求证：AD ⊥平面BDEF ；(2)当BG ∥平面ACE 时，求四棱锥A －BDEG 的体积．。

每天练28 空间点、线、面的位置关系一、选择题 1．(2021·衡水中学一调)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( )A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不肯定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β 3．(2021·长沙二模)若平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为( )A ．平行B ．相交C ．平行或重合D ．平行或相交 4．(2021·深圳二模)已知在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，则在四棱锥P －ABCD 的任意两个顶点的连线中，相互垂直的异面直线共有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对 5．(2021·甘肃二诊)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，AB ＝4，若在棱AB 上存在点P ，使得D 1P ⊥PC ，则AD 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(0,2]C ．(1，3]D ．1,4) 6．(2021·山西监测)在四棱锥P －ABCD 中，四条侧棱长均为2，底面ABCD 为正方形，E 为PC 的中点．若异面直线P A 与BE 所成的角为45°，则该四棱锥的体积是( )A ．4B ．2 3 C.43 D.233 7．已知四棱锥P －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，四边形ABCD 为正方形，点E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23 8．(2022·课标全国Ⅰ，11)平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32B.22C.33D.13 二、填空题9．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： (1)若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β；(2)若m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ；(3)若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n . 其中真命题是________(填序号)．10．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E ，F 分别是AC 和BD 的中点．若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是______________．11．(2021·日照一模)如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，给出下列结论：①A 、M 、O 三点共线；②A 、M 、O 、A 1不共面；③A 、M 、C 、O 共面；④B 、B 1、O 、M 共面．其中正确结论的序号为________． 三、解答题12．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点． 求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．每天练28 空间点、线、面的位置关系1．A 依题意，若l ⊥β，l ⊂α，则α⊥β，故A 正确；若α⊥β，则l 与m 可能平行、垂直或异面，B 错误；若l ∥β，则α与β平行或相交，C 错误；若α∥β，则l 与m 平行、垂直或异面，D 错误，故选A.2．D如图所示：AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ⇒AC ⊥m ；AB ∥l ⇒AB ∥β.3．D 当两个平面平行时，平面α上存在很多多个点到平面β的距离相等且不为零，满足题意；当两个平面相交时，可以从交线的两侧去找三个点到平面β的距离相等且不为零．故选D.4．C 由于ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BC ，P A ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥P A ，AD ⊥PB .共5对．5．B 连接DP ，由D 1P ⊥PC ，DD 1⊥PC ，且D 1P ，DD 1是平面DD 1P 上两条相交直线，得PC ⊥平面DD 1P ，PC ⊥DP ，即点P 在以CD 为直径的圆上，又点P在AB 上，则AB 与圆有公共点，即0<AD ≤12CD ＝2，故选B.6．D 连接AC 和BD 相交于点O ，连接OE ，则OE ∥P A ，则∠OEB ＝45°，又∠EOB ＝90°，则BO ＝OE ＝1，底面正方体的边长为2，四棱锥的高为3，则体积为13×(2)2×3＝233，故选D.7．C设棱长都为1，连接AC ，BD ，交于点O ，连接OE .由于全部棱长都相等，四边形ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点，且OE ∥PD ，故∠AEO (或其补角)为异面直线AE 与PD 所成的角．易知OE ＝12PD ＝12，AE ＝32AB ＝32，OA ＝12AC ＝12×12＋12＝22.在△OAE 中，由余弦定理得cos ∠AEO ＝34＋14－122×32×12＝33.8．A解析：如图，延长B 1A 1至A 2，使A 2A 1＝B 1A 1，延长D 1A 1至A 3，使A 3A 1＝D 1A 1，连接AA 2，AA 3，A 2A 3，A 1B ，A 1D .易证AA 2∥A 1B ∥D 1C ，AA 3∥A 1D ∥B 1C .∴平面AA 2A 3∥平面CB 1D 1，即平面AA 2A 3为平面α.于是m ∥A 2A 3，直线AA 2即为直线n .明显有AA 2＝AA 3＝A 2A 3，于是m 、n 所成的角为60°，其正弦值为32.选A.9．(1)(3)解析：(2)中，m ∥n ，m 与n 相交都有可能． 10．30°解析：如图，取CB 的中点G ，连接EG ，FG .则EG ∥AB ，FG ∥CD ，∴EF 与CD 所成的角为∠EFG .又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG .在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2， ∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG ＝30°， ∴EF 与CD 所成的角为30°. 11．①③解析：连接A 1C 1、AC ，则A 1C 1∥AC ，∴A 1、C 1、C 、A 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1.∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 、A 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，∴A 、M 、O 三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM 与BB 1为异面直线，故④错误．12．证明：(1)如图所示，连接CD 1、EF 、A 1B ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，∴FE ∥A 1B 且EF ＝12A 1B . ∵A 1D 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C ，∴FE ∥D 1C ，∴EF 与CD 1可确定一个平面，即E 、C 、D 1、F 四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝12CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴直线CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE、D1F、DA三线共点．。

高三数学每日一练（22）——值域（2）1．若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋)(1x f 的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103]2. 函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( )A. 45B. 54C. 34D. 433．[2015·河南信阳模拟]函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________．4．规定记号“⊕”表示一种运算，且a ⊕b ＝ab ＋a ＋b ＋1，其中a 、b 是正实数，已知1⊕k ＝4，则函数f (x )＝k ⊕x 的值域是________． 5．函数f (x )＝x 2＋x －14.（1）若定义域为[0,3]，求f (x )的值域；（2）若f (x )的值域为[－12，116]，且定义域为[a ，b ]，求b －a 的最大值．高三数学每日一练（23）——值域（3）1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈ [a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“亲密函数”，区间[a ，b ]称为“亲密区间”．若f (x )＝x 2＋x ＋2与g (x )＝2x ＋1在[a ，b ]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是( )A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[－1，0]2．已知函数()()21,43,xf x eg x x x =-=-+- 若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（ ）A ．[]1,3B ．()1,3C ．2⎡⎣D ．(22+3．若函数y ＝kx 2－6kx ＋（k ＋8）的值域为[0，＋∞)，则k 的取值范围是_______4．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.（1）求函数f (x )的解析式； （2）求函数y ＝f (x 2－2)的值域．5．已知函数f (x )的值域为[38，49]，求函数g (x )＝f (x )＋1－2f （x ）的值域．高三数学每日一练（24）——单调性（1）1．下列函数中，既是偶函数又是在区间(,0)-∞上单调递增的函数是（ ）A ．ln y x =B ．2y x =C．tan y x =D ．2x y -=2．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝e x ＋sin x ，则( )A ．f (1)＜f (2)＜f (3)B ．f (2)＜f (3)＜f (1)C ．f (3)＜f (2)＜f (1)D ．f (3)＜f (1)＜f (2)3．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调递增函数，且满足f (3x －2)<f (1)，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞) 4．函数f (x )＝log12(－x 2＋2x ＋3)的增区间为( )A ．(－1,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1,3) 5．已知函数3)3()(2+++=x k kx x f 其中k 为常数，且满足3)2(=f （1）求函数)(x f 的表达式；（2）求函数)(x f 在[]4,1-上的最大值和最小值；（3）设函数mx x f x g -=)()(，若)(x g 在区间[]2,2-上是单调函数，求实数m 的取值范围；高三数学每日一练（25）——单调性（2）1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定 ( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138]C ．(－∞，2]D ．[138，2) 3．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是( )A ．m >－2 2B ．m ≥－2 2C ．m <2 2D ．m ≤224．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．5．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.（1）求f (1)的值；（2）判断f (x )的单调性并证明；（3）若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＜2.高三数学每日一练（26）——单调性（3）1．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为( )A ．14B ．12C ．22D ．322．(2015·长春调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x －10 (x ≤2)log 3(x －1)－6 (x ＞2)若f (6－a 2)＞f (5a )，则实数a 的取值范围是__________．4．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x ⋅+⋅>⋅+⋅，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数：①2y x =；②1x y e =+；③2sin y x x =-；④()ln ,01,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为_________（把所有正确命题的序号都填上）. 5．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.（1）求f (1)的值；（2）证明：f (x )为单调递减函数；（3）若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．高三数学每日一练（27）——单调性（4）1．若函数)(x f 的导函数是34)(2+-='x x x f ，则函数)()(x a f x g = (0<a <1)的单调递减区间是( )A ．[]0,3log a ，[)+∞,1B ．(]),0[,3log ,+∞∞-aC ．[]a a ,3 D ．[]1,3log a2．已知)(x f 在R 上是增函数，且对任意R x ∈，都有[]43)(=-x x f f ，则=)(x f 283．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=)1(4)1()21()(x x a x a x f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ．4．已知定义域为R 的偶函数()x f 在(]0,∞-上是减函数,且221=⎪⎭⎫⎝⎛f ,则不等式()22>x f 的解集为____. 5．（2015杭州市七校联考）已知函数2()(1)||f x x x x a =+--． （1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围．高三数学每日一练（28）——奇偶性（1） 1．同时满足两个条件：（1）定义域内是减函数；（2）定义域内是奇函数的函数是（ ）A ．()x x x f -=B ．()x x x f 1+= C ．()x x f tan = D ．()xx x f ln =2．(2015·唐山统考)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )．则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln(1－x )B ．x 3＋ln(1－x )C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )3．(2015·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A ．23B ．－23C ．43D ．－434．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)5． (2014·盘锦模拟)已知函数f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，在[0,1]上f (x )＝2x ＋ln(x ＋1)－1.（1）求函数f (x )的解析式，并判断f (x )在[－1,1]上的单调性(不要求证明)． （2）解不等式f (2x －1)＋f (1－x 2)≥0.高三数学每日一练（22）BD 3．(－∞，1] 4．(2，＋∞)5．∵f (x )＝(x ＋12)2－12，∴对称轴为x ＝－12.(1)∵3≥x ≥0>－12，∴f (x )的值域为[f (0)，f (3)]，即[－14，474]．(2)∵x ＝－12时，f (x )＝－12是f (x )的最小值，∴x ＝－12∈[a ，b ]，令x 2＋x －14＝116，得x 1＝－54，x 2＝14，根据f (x )的图象知当a ＝－54，b ＝14时，b －a 取最大值14－(－54)＝32.高三数学每日一练（23）BD 3．[1，＋∞)4．(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12(x 2－32)2－18，当x 2＝32时，y 取最小值－18.∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为[－18，＋∞)．5．解：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f （x ）≤12，令t ＝1－2f （x ），则f (x )＝12(1－t 2)，令y ＝g (x )，∴y ＝－12(t 2－1)＋t .∴当t ＝13时，y 有最小值79，当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 高三数学每日一练（24）—— DDBD5．解：（1）32)(,12++-=-=x x x f k （2）5)(,4)(min max -==x f x f （3）62≥-≤m m 或高三数学每日一练（25）——DBB 4．35．解析：(1)f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0.(2)设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1，∵x 2x 1＞1，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f (6)＝f ⎝⎛⎭⎫366＝f (36)－f (6)，∴f (36)＝2.原不等式化为：f (x 2＋3x )＜f (36)， ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0，1x ＞0，x 2＋3x ＜36，解得0＜x ＜317－32.高三数学每日一练（26）——CC 3．－6＜a ＜1 4．②③5．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2. 高三数学每日一练（27）——B 2．28 3．[)0,1- 4．),1(+∞-5．（1）当1-=a 时，有⎩⎨⎧-<-≥-=1,11,12)(2x x x x f当1-≥x 时，1122=-x ，解得：1=x 或1-=x当1-<x 时，1)(=x f 恒成立，∴方程的解集为1|{-≤x x 或}1=x ．（2）⎩⎨⎧<-+≥++-=a x ax a ax a x a x x f ,)1(,)1(2)(2若)(x f 在R 上单调递增，则有（3）设)32()()(--=x x f x g ，则⎩⎨⎧<+--≥+++-=a x a x a ax a x a x x g 3)1(,3)3(2)(2即不等式0)(≥x g 对一切实数R x ∈恒成立，∵1<a ，∴当a x <时，)(x g 单调递减，其值域为),32(2∞++-a a ， ∵22)1(3222≥+-=+-a a a ，∴0)(≥x g 恒成立， 当a x ≥时，∵1<a ，∴ ，得53≤≤-a ，∵1<a ，∴13<≤-a ，高三数学每日一练（28）——ACCC5．[解析] (1)设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1， 所以f (－x )＝2－x ＋ln(1－x )－1＝12x ＋ln(1－x )－1，又f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，f (x )＝－f (－x )＝－12x －ln(1－x )＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x －－x ＋1，－1≤x <0，2x ＋x ＋－1，0≤x ≤1，f (x )是[－1,1]上的增函数．(2)∵f (2x －1)＋f (1－x 2)≥0，f (x )为奇函数，∴f (2x －1)≥f (x 2－1)， ∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x －1≤1，－1≤x 2－1≤1，2x －1≥x 2－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，－1≤x ≤1，0≤x ≤2.∴0≤x ≤1. ∴原不等式的解集为{x |0≤x ≤1}．。