高中数学综合复习题每日一练

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式考点专题训练单选题1、已知a >0，b >0且ab ＝1，不等式12a +12b +ma+b ≥4恒成立，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥2B ．m ≥4C ．m ≥6D ．m ≥8 答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a +b 的范围，化简不等式可得m ≥4(a +b )−(a+b )22，利用二次函数性质求4(a +b )−(a+b )22的最大值，由此可求m 的取值范围.不等式12a+12b+ma+b≥4可化为a+b 2ab+m a+b≥4，又a >0，b >0，ab ＝1，所以m ≥4(a +b )−(a+b )22，令a +b =t ，则m ≥4t −t 22，因为a >0，b >0，ab ＝1，所以t =a +b ≥2√ab =2，当且仅当a =b =1时等号成立，又已知m ≥4t −t 22在[2,+∞)上恒成立，所以m ≥(4t −t 22)max因为4t −t 22=12(8t −t 2)=−12(t −4)2+8≤8，当且仅当t =4时等号成立，所以m ≥8，当且仅当a =2−√3，b =2+√3或a =2−√3，b =2+√3时等号成立， 所以m 的取值范围是[8,+∞)， 故选：D.2、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ） A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100 C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100 答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.3、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞) 答案：D分析：设f(x)=x 2−6x +11，由题意可得a >f(x)min ，从而可求出实数a 的取值范围 设f(x)=x 2−6x +11，开口向上，对称轴为直线x =3，所以要使不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2，5)内有解，只要a >f(x)min 即可， 即a >f(3)=2，得a >2， 所以实数a 的取值范围为(2,+∞)， 故选：D4、不等式−x 2+3x +18<0的解集为（ ） A ．{x |x >6或x <−3}B ．{x |−3<x <6} C ．{x |x >3或x <−6}D ．{x |−6<x <3} 答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可.−x2+3x+18<0可化为x2−3x−18>0，即(x−6)(x+3)>0，即x>6或x<−3．所以不等式的解集为{x|x>6或x<−3}.故选：A5、要使关于x的方程x2+(a2−1)x+a−2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是（）A．{a|−1<a<2}B．{a|−2<a<1}C．{a|a<−2}D．{a|a>1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围.由题意可得1+(a2−1)+a−2=a2+a−2<0，解得−2<a<1.故选：B.6、若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是（）A．a+c<b+c B．1a <1bC．ac>bc D．b−a>c答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a <b ⇒ac <bc ，C 选项错误；对于D 选项，因为a <b ⇒b −a >0，c >0，所以无法判断b −a 与c 大小，D 选项错误. 7、已知实数a,b,c 满足a >b >0>c ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．a +1b <b +1a B ．2a+ba+2b <ab C ．ba−c >ab−c D ．√ca 3<√cb 3答案：B分析：对于A ，利用不等式的性质判断；对于CD ，举例判断；对于B ，作差法判断 解：对于A ，因为a >b >0，所以1a<1b，所以a +1b>b +1a，所以A 错误，对于B ，因为a >b >0，所以2a+b a+2b−a b=(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b=b 2−a 2(a+2b)b<0，所以2a+ba+2b <ab ，所以B 正确，对于C ，当a =2,b =1,c =−1时，b a−c =13<ab−c =1，所以C 错误，对于D ，当a =8,b =1,c =−1时，√c a 3=−12>√cb 3=−1，所以D 错误， 故选：B8、设实数x 满足x >0，函数y =2+3x +4x+1的最小值为（ ） A ．4√3−1B ．4√3+2C ．4√2+1D ．6 答案：A解析：将函数变形为y =3(x +1)+4x+1−1，再根据基本不等式求解即可得答案.解：由题意x >0，所以x +1>0，所以y =2+3x +4x+1=2+3(x +1)−3+4x+1=3(x +1)+4x+1−1≥2√3(x +1)⋅4x+1−1=4√3−1，当且仅当3(x +1)=4x+1，即x =2√33−1>0时等号成立，所以函数y =2+3x +4x+1的最小值为4√3−1. 故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 9、不等式1+x1−x ≥0的解集为（ ）A ．{x|x ≥1或x ≤−1}B ．{x ∣−1≤x ≤1}C ．{x|x ≥1或x <−1}D ．{x|−1≤x <1} 答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，解得−1≤x <1，故不等式的解集为{x|−1≤x <1}， 故选：D ．10、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b>0，所以a −b +1a−b≥2√(a −b )×1a−b=2，故C 正确；对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C. 填空题11、已知正数a ，b 满足1a+1b=2，则3b+1−a 的最大值为______．答案：5−2√33分析：由条件得b =a2a−1，进而得3b+1−a =53−[13a−1+(a −13)]，由基本不等式可得解.由1a+1b=2，得b =a2a−1，由a >0,b >0，得a >12， 所以3b+1−a =3a2a−1+1−a =3(2a−1)3a−1−a=53−[13a−1+(a −13)]≤53−2√13a−1⋅(a −13)=5−2√33， 当且仅当13a−1=a −13，即a =1+√33时等号成立，、所以3b+1−a 的最大值为5−2√33. 所以答案是：5−2√33.小提示：关键点点睛：本题的解题关键是利用等量代换实现二元换一元3b+1−a=53−[13a−1+(a−13)]，进而可利于基本不等式求最值.12、若不等式ax2+ax+a+3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是______. 答案：{a|a≥0}分析：分a=0和a≠0两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可.当a=0时，不等式为3>0，满足题意；当a≠0，需满足{a>0Δ=a2−4a(a+3)≤0，解得a>0，综上可得，a的取值范围为{a|a≥0}，所以答案是：{a|a≥0}.13、若实数a,b满足a2+b2=1，则1a2+4b2+1的最小值为_________.答案：92##4.5分析：根据实数a,b满足a2+b2=1，利用“1”的代换得到1a2+4b2+1=12(1a2+4b2+1)⋅(a2+b2+1)=1 2(5+b2+1a2+4a2b2+1)，再利用基本不等式求解.因为实数a,b满足a2+b2=1，所以1a2+4b2+1=12(1a2+4b2+1)⋅(a2+b2+1)=12(5+b2+1a2+4a2b2+1)，≥12(5+2√(b2+1a2)⋅(4a2b2+1))=92，当且仅当{b2+1a2=4a2b2+1a2+b2+1=2，即a=√63,b=√33时，等号成立，所以1a2+4b2+1的最小值为92，所以答案是：9214、设x∈R，使不等式3x2+x−2<0成立的x的取值范围为__________.)答案：(−1,23分析：通过因式分解，解不等式．3x2+x−2<0，即(x+1)(3x−2)<0，即−1<x<2，3)．故x的取值范围是(−1,23小提示：解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．15、若不等式kx2+2kx+2<0的解集为空集，则实数k的取值范围是_____．答案：{k|0≤k≤2}分析：分k=0和k>0两种情况讨论，当k>0时需满足Δ≤0，即可得到不等式，解得即可；解：当k=0时，2<0不等式无解，满足题意；当k>0时，Δ=4k2−8k≤0，解得0<k≤2；综上，实数k的取值范围是{k|0≤k≤2}．所以答案是：{k|0≤k≤2}16、已知a∈Z关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是________(写出任何一个满足条件的值即可）.答案：13，14，15(写出任何一个值即可）分析：根据题意，先表示出关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集，再结合数轴分析即可得到a的值.因为关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以Δ=64−4a>0，即a<16，由x2−8x+a=0，解得x=4±√16−a，故关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集为[4−√16−a,4+√16−a]，因关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以1≤√16−a<2，即12<x≤15，又因a∈Z，所以a=13，14或15都满足.所以答案是：13，14，15(写出任何一个值即可）.17、已知a,b,c均为正实数，且aba+2b ⩾13,bcb+2c⩾14,cac+2a⩾15，那么1a+1b+1c的最大值为__________．答案：4分析：本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可因为a,b,c均为正实数，所以由题可得：0<a+2bab ≤3,0<b+2cbc≤4,0<c+2aac≤5，即0<1b+2a≤3，0<1c+2b≤4，0<1a +2c≤5，三式相加得：0<3(1a+1b+1c)≤12，所以0<1a+1b+1c≤4所以1a +1b+1c的最大值为4所以答案是：418、已知正数a,b,c，则ab+bc2a2+b2+c2的最大值为_________．答案：√64分析：将分母变为(2a2+13b2)+(23b2+c2)，分别利用基本不等式即可求得最大值.∵ab+bc2a2+b2+c2=ab+bc(2a2+13b2)+(23b2+c2)≤2√23ab+2√23bc=2√23=√64（当且仅当√2a=√33b，√63b=c时取等号），∴ab+bc2a2+b2+c2的最大值为√64.所以答案是：√64.19、函数y =√kx 2−2kx +4的定义域为R ，则实数k 的取值范围为______． 答案：[0,4]分析：函数y =√kx 2−2kx +4的定义域为R ，等价于kx 2−2kx +4≥0恒成立，然后分k =0和k ≠0两种情况讨论求解即可得答案函数y =√kx 2−2kx +4的定义域为R ，等价于kx 2−2kx +4≥0恒成立， 当k =0时，显然成立；当k ≠0时，由Δ=(−2k)2−4k ×4≤0，得0<k ≤4． 综上，实数k 的取值范围为[0,4]． 所以答案是：[0,4]20、已知正数m ，n 满足m +8n =mn ，则m +2n 的最小值为______． 答案：18分析：由m +8n =mn 可得1n +8m =1，m +2n =(m +2n )(1n +8m )展开利用基本不等式即可求解. 由m +8n =mn 可得1n +8m=1，所以m +2n =(m +2n )(1n +8m)=10+m n+16n m≥10+2√m n×16n m=18，当且仅当{mn=16nm mn=16n m即{n =3m =12时等号成立， 所以m +2n 的最小值为18， 所以答案是：18 解答题21、已知二次函数f (x )=x 2+mx −6(m >0)的两个零点为x 1和x 2，且x 1−x 2=5．（1）求函数f (x )的解析式；（2）解关于x 的不等式f (x )<4−2x ．答案：（1）f (x )=x 2+x −6；（2）{x |−5<x <2}．分析：（1）利用根与系数的关系，由x 1−x 2=5求出m =1，即可得到函数f (x )的解析式；（2）把原不等式转化为x 2+3x −10<0，即可解得.（1）由题意得：关于x 的方程x 2+mx −6=0(m >0)的两个根为x 1和x 2，由根与系数的关系得{x 1+x 2=−m,x 1x 2=−6,故(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=m 2+24=25，故m 2=1．∵m >0，∴m =1，故f (x )=x 2+x −6．（2）由f (x )<4−2x 得x 2+x −6<4−2x ，即x 2+3x −10<0，即(x +5)(x −2)<0，解得−5<x <2，故原不等式的解集是{x |−5<x <2}．22、设2<a <7，1<b <2，求a +3b ，2a −b ，a b 的范围.答案：5<a +3b <13，2<2a −b <13，1<a b <7分析：根据不等式的基本性质，先求出a +3b 与2a −b 的范围，再由可乘性得出a b 的范围即可.∵2<a <7，1<b <2，∴4<2a <14，3<3b <6，−2<−b <−1，12<1b <1，∴5<a+3b<13，2<2a−b<13，∴1<a<7.b<7．故5<a+3b<13，2<2a−b<13，1<ab。

高中数学练习题基础一、集合与函数(1) A = {x | x是小于5的自然数}(2) B = {x | x² 3x + 2 = 0}(1) 若A∩B = ∅，则A∪B = A(2) 对于任意实数集R，有R⊆R(1) f(x) = √(x² 5x + 6)(2) g(x) = 1 / (x² 4)(1) f(x) = x³ 3x(2) g(x) = |x| 2二、三角函数(1) sin 45°(2) cos 60°(3) tan 30°2. 已知sin α = 1/2，α为第二象限角，求cos α的值。

(1) y = sin(2x + π/3)(2) y = cos(3x π/4)三、数列(1) an = n² + 1(2) bn = 2^n 1(1) 2, 4, 8, 16, 32, …(2) 1, 3, 6, 10, 15, …(1) 1, 4, 9, 16, 25, …四、平面向量1. 已知向量a = (2, 3)，求向量a的模。

2. 计算向量a = (4, 5)与向量b = (3, 2)的数量积。

(1) a = (2, 1)，b = (4, 2)(2) a = (1, 3)，b = (2, 1)五、平面解析几何(1) 经过点(2, 3)且斜率为2的直线(2) 经过点(1, 3)且垂直于x轴的直线(1) 圆心在原点，半径为3的圆(2) 圆心在点(2, 1)，半径为√5的圆(1) 点(1, 2)到直线y = 3x 1的距离(2) 点(2, 3)到直线2x + 4y + 6 = 0的距离六、立体几何(1) 正方体边长为2(2) 长方体长、宽、高分别为3、4、52. 已知正四面体棱长为a，求其体积。

(1) 正方体A边长为2，正方体B边长为4(2) 长方体A长、宽、高分别为3、4、5，长方体B长、宽、高分别为6、8、10七、概率与统计1. 抛掷一枚硬币10次，求恰好出现5次正面的概率。

高中数学每日试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列函数中，哪一个不是一次函数？A. y = 2x + 3B. y = 3x^2 - 1C. y = 4x - 5D. y = -x2. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，根据勾股定理，这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的结果：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}4. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. -4C. 4D. 无法确定5. 若sinθ = 1/√2，且θ在第一象限，那么cosθ的值是：A. 1/√2B. √3/2C. -1/√2D. -√3/2二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5的值是_________。

7. 函数y = log2(x)的定义域是_________。

8. 已知圆的半径为5，圆心到直线x + y - 7 = 0的距离是4，求圆与直线的位置关系是_________。

9. 已知正方体的棱长为a，求正方体的表面积S的公式是_________。

10. 若cosα = 1/3，且α在第一象限，求sinα的值是_________。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

12. 已知点A(-1, 2)，B(2, -1)，求直线AB的斜率k。

13. 证明：若a、b、c是正数，且a + b + c = 1，求证：1/a + 1/b + 1/c ≥ 9。

14. 已知函数f(x) = 3x - 2，求f(x)的反函数。

四、综合题（每题10分，共10分）15. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为20元，售价为40元。

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式经典大题例题单选题1、某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m s⁄），若a≠b，则（）A．甲先到达终点B．乙先到达终点C．甲乙同时到达终点D．无法确定谁先到达终点答案：B解析：设马拉松全程为x，得到甲用的时间为12(xa+xb)，乙用的时间为xa+b2=2xa+b，做差比较大小可得答案.设马拉松全程为x，所以甲用的时间为12(xa+xb)，乙用的时间为xa+b2=2xa+b，因为a≠b，所以12(xa+xb)−2xa+b=bx(a+b)+ax(a+b)−4abx2ab(a+b)=(a−b)2xab(a+b)>0，所以12(xa+xb)>2xa+b，则乙先到达终点.故选：B.小提示：比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.2、已知a,b 为正实数且a +b =2，则b a +2b 的最小值为（ ） A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可. 解：因为a,b 为正实数且a +b =2， 所以b =2−a ， 所以，ba +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立； 所以ba+2b =2−a a+2b=2a+2b−1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；故选：D3、下列命题中，是真命题的是（ ）A ．如果a >b ，那么ac >bcB ．如果a >b ，那么ac 2>bc 2C ．如果a >b ，那么ac >bc D ．如果a >b ，c <d ，那么a −c >b −d 答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误； 对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误； 对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.4、当0<x <2时，x(2−x)的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4 答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x <2，∴2−x >0，又x +(2−x)=2 ∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x =2−x ，即x =1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1 故选：B5、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（ ） A ．−2B ．0C ．1D ．2 答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案． 不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1， 则{−ba =−2+1−2a =−2×1 ，解得a =1,b =1，∴a +b =2， 故选：D6、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2 答案：A分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围. 不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意； 当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0 ，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2]. 故选：A.7、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x +600x−30)元（试剂的总产量为x 单位，50≤x ≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ） A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位 答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y ，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y ，然后利用基本不等式求解最值即可． 解：设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元，职工的工资总额为7500+20x 元，后续保养总费用为x (x +600x−30)元，则y =50x+7500+20x+x 2−30x+600x=x +8100x+40≥2√x ⋅8100x+40=220，当且仅当x =8100x，即x =90时取等号，满足50≤x ≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．8、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（ ） A ．3B ．32C ．2D ．23答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合 (x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0， 方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1， 即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3. 故选：A9、已知正实数a,b 满足4a+b+1b+1=1，则a +2b 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 答案：B分析：令a +2b =a +b +b +1−1，用a +b +b +1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可. 因为4a+b+1b+1=1，且a,b 为正实数所以a +b +b +1=(a +b +b +1)(4a+b +1b+1)=4+a+bb+1+4(b+1)a+b+1≥5+2√a+b b+1×4(b+1)a+b=9，当且仅当a+b b+1=4(b+1)a+b即a =b +2时等号成立.所以a +2b +1≥9,a +2b ≥8.10、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当a x=b y时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x+91−2x(0<x <12)的最小值为（ ） A ．16B ．25C ．36D ．49 答案：B分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当ax =by 时等号成立，又0<x <12，即1−2x >0， 于是得f(x)=222x+321−2x≥(2+3)22x+(1−2x)=25，当且仅当22x=31−2x，即x =15时取“=”，所以函数f(x)=2x +91−2x (0<x <12)的最小值为25. 故选：B 填空题11、正实数x,y 满足：2x +y =1，则2x +1y 的最小值为_____. 答案：9解析：根据题意，可得2x +1y =(2x +1y )(2x +y )=5+2y x+2x y，然后再利用基本不等式，即可求解.2x+1y =(2x +1y )(2x +y )=5+2y x+2x y≥5+2√2yx ⋅2x y≥5+2√4=9，当且仅当x =y =13 时取等号．所以答案是：9．小提示：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．12、已知三个不等式：①ab >0，②ca >db ，③bc >ad ，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得{ab>0ca>db⇒{ab>0bc−adab>0⇒bc>ad；{ab>0bc>ad⇒ca>db；{ca>dbbc>ad⇒{bc−adab>0bc>ad⇒ab>0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.13、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|3<x<4}，则c2+5a+b的取值范围为________________．答案：[4√5,+∞)分析：由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把b,c用a表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论．由不等式解集知a<0，由根与系数的关系知{−ba=3+4=7, ca=3×4=12,∴b=−7a,c=12a，则c2+5a+b =144a2+5−6a=−24a+5−6a≥2√(−24a)×5−6a=4√5，当且仅当−24a=5−6a ，即a=−√512时取等号．所以答案是：[4√5,+∞)．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14、已知x，y为正数，且12+x +4y=1，则x+y的最小值为________.答案：7解析：由题设等式有x+y+2=5+y2+x +4(x+2)y，利用基本不等式可求x+y+2的最小值，从而可得x+y的最小值.x+y+2=[(x+2)+y]×(1x+2+4y)=5+y2+x+4(x+2)y，由基本不等式有y2+x +4(x+2)y≥4，当且仅当x=1,y=6时等号成立，故x+y+2的最小值为9即x+y的最小值为7.所以答案是：7.小提示：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.15、已知x,y∈(0,+∞),a∈R，若(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，则3x+y的最小值为______.答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，所以3x +y 的最小值为2. 所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16、设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式：①a 2＋1＞a ； ②(a +1a )(b +1b )≥4； ③(a ＋b )(1a +1b )≥4； ④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号). 答案：①②③分析：利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论.由于a 2＋1－a ＝(a −12)2+34>0，故①恒成立；由于(a +1a )(b +1b )＝ab +1ab ＋ba ＋ab ≥2√ab ⋅1ab ＋2√ba ⋅ab＝4，当且仅当{ab =1ab b a=a b即a ＝b ＝1时等号成立，故②恒成立； 由于(a ＋b )(1a +1b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2√b a ×a b ＝4.当且仅当a b ＝ba ， 那么a ＝b ＝1时等号成立，故③恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立. 综上，恒成立的是①②③.所以答案是：①②③.小提示：本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属于较易题.17、 设x ∈R ，使不等式3x 2+x −2<0成立的x 的取值范围为__________. 答案：(−1,23)分析：通过因式分解，解不等式． 3x 2+x −2<0， 即(x +1)(3x −2)<0，即−1<x <23，故x 的取值范围是(−1,23)．小提示：解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 18、不等式2x−7x−1≤1的解集是________. 答案：(1,6]分析：把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，根据分式不等式解法，然后转化为两个一元一次不等式组，注意分母不为0的要求，求出不等式组的解集即为原不等式的解集． 不等式2x−7x−1≤1得x−6x−1≤0 ，故{(x −1)(x −6)≤0x −1≠0⇒1<x ≤6 ，所以答案是：(1,6].19、已知a ∈Z 关于x 的一元二次不等式x 2−8x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是________(写出任何一个满足条件的值即可）.答案：13，14，15(写出任何一个值即可）分析：根据题意，先表示出关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集，再结合数轴分析即可得到a的值. 因为关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以Δ=64−4a>0，即a<16，由x2−8x+a=0，解得x=4±√16−a，故关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集为[4−√16−a,4+√16−a]，因关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以1≤√16−a<2，即12<x≤15，又因a∈Z，所以a=13，14或15都满足.所以答案是：13，14，15(写出任何一个值即可）.>0的解集为______________．20、不等式x+3x−1答案：{x|x<−3或x>1}分析：由题可得(x−1)(x+3)>0，进而即得.>0，得(x−1)(x+3)>0，由x+3x−1所以x<−3或x>1，故不等式得解集为{x|x<−3或x>1}．所以答案是：{x|x<−3或x>1}．解答题<0，k≠021、已知关于x的不等式2kx2+kx−38（1）若k =18，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．答案：（1）(−32,1)；（2）(−3,0) 分析：（1）将k =18代入不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解.（2）根据关于x 的不等式2kx 2+kx −38<0的解集为R ．又因为k ≠0 ，利用判别式法求解. （1）将k =18代入不等式，可得14x 2+18x −38<0，即2x 2+x −3<0 所以−32和1是方程2x 2+x −3=0的两个实数根， 所以不等式的解集为{x |−32 <x <1}即不等式的解集为(−32,1)． （2）因为关于x 的不等式2kx 2+kx −38<0的解集为R ．因为k ≠0所以{2k <0,Δ=k 2+3k <0，解得−3<k <0， 故k 的取值范围为(−3,0)．22、（1）已知a >b,c <d ，求证：a −c >b −d ；（2）已知a >b,ab >0，求证：1a <1b ；（3）已知a >b >0,0<c <d ，求证：a c >b d . 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.分析：（1）根据c <d 不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到 −c >−d , 再用同向可加性法则即可得出结果.（2）根据正数的倒数大于0可得1ab>0,再用同向同正可乘性得出结果.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1c >1d>0,再用同向同正可乘性得出结果.证明：（1）因为a>b,c<d，所以a>b,−c>−d. 则a−c>b−d.（2）因为ab>0，所以1ab>0.又因为a>b，所以a⋅1ab >b⋅1ab，即1b >1a，因此1a<1b.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1 c >1d>0.又因为a>b>0，则a⋅1c >b⋅1d，即ac >bd.小提示：本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.。

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.的最小值为（）2、已知x>2，则x+4x−2A．6B．4C．3D．2答案：A分析：利用基本不等式可得答案.∵x>2，∴x−2>0，∴x +4x−2= x −2+4x−2+2≥2√(x −2)⋅4x−2+2＝6， 当且仅当x −2=4x−2即x =4时， x +4x−2取最小值6，故选：A ．3、若实数x >32，y >13，不等式4x 2t (3y−1)+9y 2t (2x−3)≥2恒成立，则正实数t 的最大值为（ ） A ．4B ．16C ．72D ．8答案：D分析：令3y −1=a,2x −3=b ，则(b+3)2a +(a+1)2b ≥2t ，由权方和不等式和基本不等式得(b+3)2a +(a+1)2b ≥16，即可求解t ≤8．由4x 2t (3y−1)+9y 2t (2x−3)≥2得4x 2(3y−1)+9y 2(2x−3)≥2t 因为x >32，y >13，则3y −1>0,2x −3>0令3y −1=a,2x −3=b则4x 2(3y−1)+9y 2(2x−3)≥2t 化为(b+3)2a +(a+1)2b ≥2t 恒成立， 由权方和不等式得(b+3)2a +(a+1)2b ≥(a+b+4)2a+b =(a +b )+16a+b +8≥2√16+8=16 当且仅当{b+3a =a+1b a +b =4 ，得a =53,b =73即x =73,y =109时等号成立． 所以16≥2t ⇒t ≤8故选：D4、若关于x 的不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)答案：D分析：根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围.|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则a >0，|x −1|<a ⇒1−a <x <1+a ，所以{1−a ≤01+a ≥4⇒a ≥3. 故选：D5、已知0<x <2，则y =x√4−x 2的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6答案：A分析：由基本不等式求解即可因为0<x <2，所以可得4−x 2>0，则y =x√4−x 2=√x 2⋅(4−x 2)≤x 2+(4−x 2)2=2，当且仅当x 2=4−x 2，即x =√2时，上式取得等号，y =x√4−x 2的最大值为2．故选：A ．6、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．√22D ．√32答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.若要使ab+bc a 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2=a+ca2+c2b+2b≤2√a2+c2b×2b=2√2(a2+c2)=12√a2+2ac+c22(a2+c2)=12√12+aca2+c2≤12√12+2√a2×c2=12，当且仅当a 2+c2b=2b，且a=c取等，即a=b=c取等号，即则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12，故选：A．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.7、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a=2，b=6取到最小值8.故选：B.8、设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（）A．2a >2bB．ac<bc C．|a|>－b D．√−a>√−b答案：B分析：利用不等式的性质对四个选项一一验证：对于A，利用不等式的可乘性进行证明；对于B，利用不等式的可乘性进行判断；对于C，直接证明；对于D，由开方性质进行证明.对于A，因为a<b<0，所以2ab >0，对a<b同乘以2ab，则有2a>2b，故A成立；对于B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；对于C，|a|＝－a>－b，则选项C成立；对于D，由－a>－b>0，可得√−a>√−b，则选项D成立.故选：B9、设实数x满足x>0，函数y=2+3x+4x+1的最小值为（）A．4√3−1B．4√3+2C．4√2+1D．6答案：A解析：将函数变形为y=3(x+1)+4x+1−1，再根据基本不等式求解即可得答案. 解：由题意x>0，所以x+1>0，所以y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)−3+4x+1=3(x +1)+4x+1−1≥2√3(x +1)⋅4x+1−1=4√3−1，当且仅当3(x +1)=4x+1，即x =2√33−1>0时等号成立， 所以函数y =2+3x +4x+1的最小值为4√3−1.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10、不等式1+x 1−x ≥0的解集为（ ）A ．{x|x ≥1或x ≤−1}B ．{x ∣−1≤x ≤1}C ．{x|x ≥1或x <−1}D ．{x|−1≤x <1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，由此求得不等式的解集． 不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，解得−1≤x <1，故不等式的解集为{x|−1≤x <1}，故选：D ．填空题11、已知x,y ∈(0,+∞),a ∈R ，若(x −y +sin 2α+1)(x +3y −2sin 2α)=2，则3x +y 的最小值为______. 答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，所以3x+y的最小值为2.所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12、设x1、x2、x3、y1、y2、y3是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：x1y1+x2y2+x3y3，x1y1+ x2y3+x3y2，x1y2+x2y3+x3y1，x1y2+x2y1+x3y3，x1y3+x2y2+x3y1，x1y3+x2y1+x3y2，能同时取到150的代数式最多有________个．答案：2分析：由作差法比较大小后判断不妨设x1<x2<x3，y1<y2<y3，记x1y1+x2y2+x3y3为①式，x1y1+x2y3+x3y2为②式，以此类推，由①−②=x2y2+x3y3−x2y3−x3y2=(x2−x3)(y2−y3)>0，故①>②，②−③=x1y1+x3y2−x1y2−x3y1=(x1−x3)(y1−y2)>0，故②>③，①−④=x1y1+x2y2−x1y2−x2y1=(x1−x2)(y1−y2)>0，故①>④，同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤，综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤，最多有②④或③⑥两项可同时取150，令x1y1+x2y3+x3y2=x1y2+x2y1+x3y3=150，得其一组解为{x1=−1x2=0x3=1，{y1=2y2=152y3=302所以答案是：213、已知a，b∈R，若对任意x≤0，不等式(ax+2)(x2+2bx−1)≤0恒成立，则a+b的最小值为___________．答案：√3分析：考虑两个函数g(x)=ax+2，f(x)=x2+2bx−1，由此确定a>0，x<0时，f(x)，g(x)有相同的零点，得出a,b的关系，检验此时f(x)也满足题意，然后计算出a+b（用a表示），然后由基本不等式得最小值．设g(x)=ax+2，f(x)=x2+2bx−1，f(x)图象是开口向上的抛物线，因此由x≤0时，f(x)g(x)≤0恒成立得a>0，g(x)=0时，x=−2a ，x<−2a时，g(x)<0，−2a<x≤0时，g(x)>0，因此x<−2a 时，f(x)>0，−2a<x≤0时，f(x)<0，f(−2a)=0，所以4a2−4ba−1=0①，−b>−2a②，由①得b=1a −a4，代入②得a4−1a>−2a，因为a>0，此式显然成立．a +b =1a +3a 4≥2√1a ×3a 4=√3，当且仅当1a =3a 4，即a =2√33时等号成立， 所以a +b 的最小值是√3．所以答案是：√3．小提示：关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数f(x)和g(x)，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数a,b 的关系，从而可求得a +b 的最小值．14、若函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，则a +b 的值为____.答案：92分析：根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为[1,b ](b >1)，列出相应方程组，求出a ，b 的值即可. 解：由函数f (x )=12x 2−x +a ，可得对称轴为x =1，故函数在[1,b ]上是增函数.∵函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)， ∴ {f (1)=1f (b )=b ，即{12−1+a =112b 2−b +a =b . 解得a =32，b =1或b =3.∵ b >1，∴ b =3.∴ a +b =32+3=92. 所以答案是：92. 15、已知M =x 2−3x ，N =−3x 2+x −3，则M ，N 的大小关系是________．答案：M >N分析：利用作差法直接比大小.M −N =(x 2−3x )−(−3x 2+x −3)=4x 2−4x +3=(2x −1)2+2>0∴M>N,所以答案是：M>N.16、若实数a>b，则下列说法正确的是__________．（1）a+c>b+c；（2）ac<bc；（3）1a <1b；（4）a2>b2答案：（1）分析：根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法. 根据不等式的性质（1）正确；（2）中如果c≥0时不成立，故错误；（3）若a=1,b=−1时，1a <1b不成立，故错误；（4）若a=1,b=−1，a2>b2不成立，故错误.故答案为:（1）小提示：本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.17、某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5m，各试验区之间也空0.5m.则每块试验区的面积的最大值为___________m2.答案：6分析：设矩形空地的长为x m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果.设矩形空地的长为x m ，则宽为32xm ，依题意可得，试验区的总面积S =(x −0.5×4)(32x−0.5×2)=34−x −64x≤34−2√x ⋅64x=18，当且仅当x =64x即x =8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为183=6m 2. 所以答案是：618、若不等式x 2−2>mx 对满足|m |≤1的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________ 答案：x <−2或x >2分析：令f (m )=mx −x 2+2，依题意可得−1≤m ≤1时f (m )<0恒成立，则{f (1)<0f (−1)<0，即可得到关于x 的一元二次不等式组，解得即可；解：因为x 2−2>mx ，所以mx −x 2+2<0令f (m )=mx −x 2+2，即f (m )<0在|m |≤1恒成立，即−1≤m ≤1时f (m )<0恒成立，所以{f (1)<0f (−1)<0，即{x −x 2+2<0−x −x 2+2<0，解x −x 2+2<0得x >2或x <−1；解−x −x 2+2<0得x >1或x <−2，所以原不等式组的解集为x ∈(−∞,−2)∪(2,+∞) 所以答案是：(−∞,−2)∪(2,+∞)19、已知x >54，则函数y =4x +14x−5的最小值为_______. 答案：7分析：由x >54，得4x −5>0，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.法一：∵x >54，∴4x −5>0，y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7，当且仅当4x −5=14x−5，即x =32时等号成立，所以答案是：7.法二：∵x >54，令y ′=4−4(4x−5)2=0得x =1或x =32，当54<x <32时y′<0函数单调递减，当x >32时y′>0函数单调递增，所以当x =32时函数取得最小值为：4×32+14×32−5=7，所以答案是：7.【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.20、已知a,b,c 均为正实数，且aba+2b⩾13,bcb+2c⩾14,cac+2a⩾15，那么1a+1b+1c的最大值为__________．答案：4分析：本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可因为a,b,c 均为正实数，所以由题可得：0<a+2b ab ≤3,0<b+2c bc≤4,0<c+2a ac ≤5，即0<1b +2a ≤3，0<1c +2b ≤4，0<1a +2c ≤5，三式相加得：0<3(1a +1b +1c )≤12，所以0<1a +1b +1c ≤4 所以1a +1b +1c 的最大值为4 所以答案是：4 解答题21、设a ∈R ，关于x 的二次不等式ax 2−2x −2a >0的解集为A ，集合B ={x |1<x <2 }，满足A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围. 答案：(−∞,−2)∪(2,+∞)分析：由题意a ≠0，求出方程ax 2−2x −2a =0的两根，讨论a 的正负，确定二次不等式的解集A 的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.解：由题意a≠0，令ax2−2x−2a=0，解得两根为x1=1a −√2+1a2,x2=1a+√2+1a2，由此可知x1<0,x2>0，当a>0时，解集A={x|x<x1}∪{x|x>x2}，因为x1<0,x2>1，所以A∩B≠∅的充要条件是x2<2，即1a+√2+1a2<2，解得a>2；当a<0时，解集A={x|x1<x<x2}，因为x1<0,x2<2，所以A∩B≠∅的充要条件是x2>1，即1a+√2+1a2>1，解得a<−2；综上，实数a的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞).22、设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.答案：(－∞，－4]∪[−23,0)分析：根据一元二次不等式的解法，求得p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又由p是q的充分不必要条件，得到A是B的真子集，列出关于a的不等式，即可求解.由题意，命题p，得x2－4ax＋3a2 =(x－3a)(x－a)<0，当a<0时，3a<x<a.由题意，命题q：得x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，即x<－4或x≥－2.设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又由p是q的充分不必要条件，可知A是B的真子集，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥−23，又∵a<0，∴a≤－4或－2≤a<0，3,0).即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪[−23小提示：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及利用充分不必要条件求解参数问题，其中解答中利用一元二次不等式的解法，求得集合命题p,q中实数a的取值范围是解答的关键，同时注意充分不必要条件的转化及应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。

数列高考复习含答案———综合训练篇一、选择题：1． 在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a -的值为 （ D ）A ．18B ．20C ．22D ．242．等差数列{}n a 满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{}n b 满足,,4311a b a b ==则5b 为（ B ） A ．16B ．32C ．64D ．273．等差数列{}n a 中,,27,39963741=++=++a a a a a a 则数列{}n a 的前9项之和S 9等于 （ C ）A ．66B ．144C ．99D ．2974．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比q ≠1，且2a ，321a ，1a 成等差数列，则5443a a a a ++为（A ） A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215+或215-5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,336=S S 则=69S S（ B ） A. 2 B.73 C. 83D.3 6．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和2(2,)()n Q n a n N *++∈的直线的一个方向向量的坐标是 ( B )A.1(2,)2B.1(,2)2-- C.1(,1)2-- D.(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且a 1、b 1、c 1成等差数列，则a c c a +的值为（ C ） A ．1594B ．1594±C ．1534 D ．1534±8． 已知数列{}n a 的通项,1323211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n n n a 则下列表述正确的是 ( A ) A ．最大项为,1a 最小项为3a B ．最大项为,1a 最小项不存在 C ．最大项不存在，最小项为3a D ．最大项为,1a 最小项为4a9.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（B ）A ．21B ．20C ．19D ．189．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以43为首项，31为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为a i =(i=1，2，…，n)，设b n =2（2n+1）·3n －2·a n ，且C n =11+n n b b ，T n =C 1+C 2+…+C n ，若对任意n ∈N*，总有T n >90m 恒成立，则m 的最大正整数为（ B ）A ．3B ．5C ．6D ．9二、填空题：10．已知等差数列{}n a 前n 项和S n =－n 2+2tn ，当n 仅当n=7时S n 最大，则t 的取值范围是 (6.5，7.5) .11． 数列{}n a 的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧=)(2)(2为偶数为奇数n n na nn ，则数列的前2m （m 为正整数）项和是 2m+1+m 2－2 .12．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====.∴应填1，0.13．在数列{}n a 和{}n b 中，b n 是a n 与a n +1的等差中项，a 1 = 2且对任意*N n ∈都有3a n +1－a n = 0，则数列{b n }的通项公式 nn b 34= . 14． 设P 1，P 2，…P n …顺次为函数)0(1>=x xy 图像上的点（如图），Q 1，Q 2，…Q n …顺次为x 轴上的点，且n n n Q P Q Q P O Q OP 122111,,-∆∆∆ ，…，均为等腰直解三角形（其中P n 为直角顶点）.设Q n 的坐标为（*)0)(0,N x n ∈，则数列{a n }的通项公式为n x n 2=*)N n ∈ .三、解答题：15．已知}{n a 是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6，成等比数列.15. [解法1]由已知.21,2,26361311741q q q a q a a a a a =+∴=+=+………………（2分）当66663124373124126361,2()2()2()2q S S S S a a a S a q a q a q S S q ≠-=+++=++= 时…………（4分）.1)1(1)1()1()1(266616318633S S qq a S q q a q S S q =⋅--=⋅--⋅+=+=………………（8分）当,)(2,6,6,3,126612316121613S S S S a S S a S a S q =-=-===同样有时……（10分）所以，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分） [解法2]由已知636131174121,2,2q q q a q a a a a a =+∴=+=+，……………（2分）当,36)12(32)(2,1231314122a a a a S S S q =-⨯=-=时∴==.36)6(232126a a S ∴=-.)(2266122S S S S 61263,,2S S S S -成等比数列.…（6分）当,221)1(2111212,1633636q q q q S S q ⋅=+=--⋅=≠时…………………………（8分） ∴61263,,2S S S S -成等比数列.……………………………………………………（11分）综上，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意自然数n 总有p a p S n n (),1(-=为常数，且q q n b b p p n n (2}{),1,0+=≠≠中有数列为常数）。

(每日一练)人教版高中数学必修一集合知识总结例题单选题1、已知集合M={(x,y)|x2+y2≤2,x∈Z,y∈Z}，则集合M的真子集的个数为（）A．29−1B．28−1C．25D．24+1答案：A解析：首先确定集合M的元素个数，接着根据公式求出集合M的所有子集个数，减掉集合M本身得出结果即可.因为集合M={(x,y)|x2+y2≤2,x∈Z,y∈Z}，画出如下示意图：由图可知集合M有9个元素，集合M的所以子集的个数为29，所以集合M的真子集的个数为29−1，故选：A.小提示：集合M有n个元素,则集合M的所有子集个数为2n，集合M的所有非空子集个数为2n−1，集合M的所有真子集个数为2n−1，集合M的所有非空真子集个数为2n−2；2、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B解析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值. 求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3、已知集合A={x|x2−2x−3<0}，集合B={x|x−1≥0}，则∁R(A∩B)=（）.A．(−∞,1)∪[3,+∞)B．(−∞,1]∪[3,+∞)C．(−∞,1)∪(3,+∞)D．(1,3)答案：A解析：算出集合A、B及A∩B，再求补集即可.由x2−2x−3<0，得−1<x<3，所以A={x|−1<x<3}，又B={x|x≥1}，所以A∩B={x|1≤x<3}，故∁R(A∩B)={x|x<1或x≥3}.故选：A.小提示：本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.填空题4、已知集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，则a=_________．答案：-3解析：由集合A={12，a2+4a，a−2}，且−3∈A，得a2+4a=−3或a−2=−3，由此能求出结果．解：∵集合A={12，a2+4a，a−2}，且−3∈A，∴a2+4a=−3或a−2=−3，解得a=−1，或a=−3，当a=−1时，A={12，−3，−3}，不合题意，当a=−3时，A={12，−3，−5}，符合题意．综上，a=−3．所以答案是：−3.5、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为_________答案：15解析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x= y+5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．所以答案是：15．。

(每日一练)人教版高中数学必修一集合基本知识过关训练单选题1、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C解析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A解析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.3、已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|3﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，3）C．{1，2，3，4}D．{1}答案：A解析：根据集合交集定义直接求解，即得结果.因为A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x<3}，所以A∩B＝{1，2}故选：A.小提示：本题考查交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.填空题4、定义集合A和B的运算为A∗B={x|x∈A,x∉B}，试写出含有集合运算符号“*”“∪”“∩”，并对任意集合A和B 都成立的一个式子：_____________________.答案：A∗(A∩B)=(A∪B)∗B（答案不唯一）.解析：根据运算A∗B={x|x∈A,x∉B}的定义可得出结论.如下图所示，由题中的定义可得A∗(A∩B)={x|x∈A,x∉(A∩B)}={x|x∈(A∪B),x∉B}=(A∪B)∗B.所以答案是：A ∗(A ∩B )=(A ∪B )∗B （答案不唯一）.小提示：本题考查集合运算的新定义，利用韦恩图法表示较为直观，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5、已知函数f (x )=x 2−4x +3，g (x )=mx +3−2m ，若对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，则实数m 的取值范围为______．答案：(−∞,−2]∪[2,+∞)解析：求出函数f (x )在[0,4]上的值域A ，再分情况求出g (x )在[0,4]上的值域，利用它们值域的包含关系即可列式求解. “对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立”等价于“函数f (x )在[0,4]上 的值域包含于g (x )在[0,4]上的值域”，函数f (x )=(x −2)2−1，当x ∈[0,4]时，f(x)min =f(2)=−1，f(x)max =f(0)=f(4) =3，即f (x )在[0,4]的值域A =[−1,3]，当m =0时，g(x)=3，不符合题意，当m >0时，g (x )在[0,4]上单调递增，其值域B 1=[3−2m,3+2m]，于是有A ⊆B 1，即有{3−2m ≤−13+2m ≥3，解得m ≥2，则m ≥2，当m <0时，g (x )在[0,4]上单调递减，其值域B 2=[3+2m,3−2m]，于是有A ⊆B 2，即有{3+2m ≤−13−2m ≥3，解得m ≤−2，则m ≤−2，综上得：m ≤−2或m ≥2，所以实数m的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞). 所以答案是：(−∞,−2]∪[2,+∞)。

高中数学高考复习每日一题（整理）高中数学高考复习每日一道好题11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u ru u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ +=<u u u ru u u r ．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个高中数学高考复习每日一道好题21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-L 时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+L ,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种a1．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ． 解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE 所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种高中数学高考复习每日一道好题41． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A 之间的最短距离为a 的所有值为 ．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a =（2）当2a <时，min AP =1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种1．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令222080222y x mx mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩， 所以22y x =+是与1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种． 答案：140种高中数学高考复习每日一道好题61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r - 解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C e 与12,O O e e 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C e 与12,O O e e 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e += 2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种高中数学高考复习每日一道好题71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+， 所以22221x y a a c a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个1． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c =+≥+=，所以10c ≥ 又因为a b c +>，而()1991016baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种高中数学高考复习每日一道好题91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =u u u r u u u rg 时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =u u u r u u u rg 得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种1．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ． 解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取得最小值为72．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种高中数学高考复习每日一道好题111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ．解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种． 答案：55种高中数学高考复习每日一道好题121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种高中数学高考复习每日一道好题131．已知定义在R上的函数()f x满足①()()20f x f x+-=；②()()20f x f x---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x xf xx x⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x与函数()122,0log,0x xg x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax-的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是．答案：2高中数学高考复习每日一道好题141．()f x是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f=，()()()()212f f f n n f n+++=L，则()2015f=．解：()()()()212f f f n n f n+++=L，()()()()()212111f f f n n f n+++-=--L两式相减得()()()()2211f n n f n n f n=---所以()()111f n nf n n-=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121 201512015201420131201620152014320161008f f ff ff f f=⋅⋅=⋅⋅⋅==L2． 某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式 有 种． 答案：144种高中数学高考复习每日一道好题151． 若,a b r r 是两个非零向量，且a b a bλ==+r r r r，3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则b r 与a b -r r 的夹角的取值范围是 ．解：令1a b ==r r ，则1a b λ+=r r设,a b θ=r r ，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=- 又3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r r2． 若()11n x -的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：12高中数学高考复习每日一道好题161． 函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B I 的元素构成的图形的面积是 ． 解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种高中数学高考复习每日一道好题171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =u u u ru u u ur ，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +u u u ru u u u r最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +u u u r u u u u r最小．其最小值就是2EC ． 连接212,AC B C ，计算可得21213,5,2AC B C AB ===，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2142EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++L 且123663a a a a ++++=L ，则实数m 的值为 ． 答案：1或-31． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ． 解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c cc ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e = 解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=o ，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,QF c am bm =---u u u r，()2,QF c am bm =--u u u u r由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=u u u r u u u u r，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭ 所以22bb a ca -=-⋅，即2c a =，所以2e = 2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：181． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r满足：24OA OB ==u u u r u u u r ，0OA OB =u u u r u u u rg ，()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC u u u r ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，得22220x y x y +--=cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01na C +12n a C +33n a C +L +1n n n a C += ．答案：23n n +高中数学高考复习每日一道好题201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=o ，25PQ = 点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足55FN MN FN -≤≤+ 即5555MN -≤≤+2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48高中数学高考复习每日一道好题211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2． 在243()x x +的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5高中数学高考复习每日一道好题221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=-设()21:(42)21BC l x y m m m=--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞U2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72高中数学高考复习每日一道好题231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150高中数学高考复习每日一道好题241． 已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B I 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧¼MPN （红色）． 此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧¼MPN上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（¼ABO 与¼ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。

——不等式性质应用1.已知0<<b a ,则（ ） A.a1<b1 B.10<<b a C.ab >2b D.a b >ba 2.已知cb a ,,R ∈，则（ ）A. b a >⇒2ac >2bcB.b a cb ca>⇒>C.b a ab b a 11033<⇒⎭⎬⎫>>D.b a ab b a 11022<⇒⎭⎬⎫>> 3.若b a >,且0<+b a ，则（ ）A.b a >B.ba11> C. b a < D.ba11< 4.已知0<c ，则（ ）A.0c >c )21( B.2c >c )21( C.2c <c )21( D.c )21(>(31)c 5.已知b a ,R ∈,则（ ）A.“b a >”是“22b a >”的必要条件B.“b a >”是“b a -<-11”的充要条件C.“b a >”是b a >的充分条件D.“b a >”是22b a >的必要条件 6.若0<<y x ，则（ ）A.02<<xy xB. 22y xy x >>C. 022<<y xD. xy y x >>22 7.已知0=++z y x ，且z y x >>，则（ ）A.yz xy >B. yz xz >C. xz xy >D. y z y x > 8.已知0,0>>>>d c b a 则（ ）A.0>-cd abB.0>-ad bcC.0>-ab cdD.0>-bd ac—— 一元二次不等式解法1.不等式222x x +<的解集是（ ）A.),1(+∞B.)0,(-∞C. ),(+∞-∞D. ),0(+∞ 2.不等式3－5x －2x 2<0的解集为（ ）A.RB.空集C.}213|{<<-x xD.}213|{>-<x x x 或 3.不等式0412<++bx x 的解集为φ，则（ ） A.1<b B.11<->b b 或 C.11≤≤-b D.11>-<b b 或4.不等式11622++--x x x x <0的解集为（ ）A.（+∞-,31）B.（21,∞-）C.（21,31-）D.（31,-∞-） 5.若函数()x f =12++mx mx 的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是 。

(每日一练)通用版高中数学必修一集合常考点单选题1、已知集合A={1，2，3，5，7，11}，B={x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5答案：B解析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B={5,7,11}，故A∩B中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2、已知集合A={x|x2−1<0}，B={x|0<x<2}，则A∩B=（）A．(−1,1)B．(−1,0)C．(0,1)D．(1,2)答案：C解析：解一元二次不等式化简集合A，再进行交运算，即可得答案；因为A={x|x2−1<0}=(−1,1)，∴A∩B=(0,1).故选：C.小提示：本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，求解时注意一元二次不等式的求解.3、已知全集U={−2,−1,0,1,2}，集合M={x|x2−x−2<0,x∈N}，则∁U M=（）A．{−2,1,2}B．{−2,−1,2}C．{−2}D．{2}答案：B解析：根据题意，求出集合M，进而可得∁U M.由题意得，M={0,1}，故∁U M={−2,−1,2}.故选：B.解答题4、设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？(1){P|PA=PB}(A,B是两个不同定点)；(2){P|PO=3cm}(O是定点)答案：(1)线段AB的垂直平分线；(2)以点O为圆心,3cm长为半径的圆.解析：(1)PA=PB指平面内到A,B距离相等的点的集合；(2)PO=3cm指平面内到定点O的距离为3cm的点的集合．(1) PA=PB指平面内到A,B距离相等的点的集合，这样的点在线段AB的垂直平分线上，即集合的点组成的图形是线段AB的垂直平分线；(2) PO=3cm指平面内到定点O的距离为3cm的点的集合，这样的点在以O为圆心，以3cm为半径的圆上，即集合的点组成的图形是以点O为圆心,3cm长为半径的圆．小提示：本题考查描述法表示集合，是基础题．5、在①B ⊆(∁R A )，②(∁R A )∪B =R ，③A ∩B =B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若问题中的实数a 不存在，请说明理由. 已知集合A ={x |x 2−5x +4≤0}，B ={x |a +1<x <2a −1}，是否存在实数a ，使得________？ 答案：答案见解析.解析：若选①：求出∁R A ，分B =∅和B ≠∅两种情况，列出不等式组可得答案； 若选②：由(∁R A )∪B =R ，得B ≠∅，列出不等式组可得答案；若选③：由A ∩B =B 可知B ⊆A ，分B =∅和B ≠∅列出不等式组可得答案. 集合A ={x |x 2−5x +4≤0}={x |1≤x ≤4}.若选①：∁R A ={x |x <1或x >4}，由B ⊆(∁R A )得，当B =∅时，a +1≥2a −1，解得a ≤2；当B ≠∅时，{a +1<2a −12a −1≤1 或{a +1<2a −1a +1≥4， 解得a ∈∅或a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3,+∞).综上，存在实数a ，使得B ⊆(∁R A )，且a 的取值范围为(−∞,2]∪[3,+∞).若选②：∁R A ={x |x <1或x >4}，由(∁R A )∪B =R ，得B ≠∅，所以{2a −1>4a +1<1，解得a ∈∅， 所以不存在实数a ，使得(∁R A )∪B =R . 若选③：由A ∩B =B 可知B ⊆A ，当B =∅时，a +1≥2a −1，解得a ≤2；当B ≠∅时，{a +1<2a −1a +1≥12a −1≤4，解得2<a ≤52. 综上，存在实数a ，使得A ∩B =B ，且a 的取值范围为(−∞,52]. 小提示：本题考查了集合的运算，解题关键点是对于B ⊆(∁R A )和(∁R A )∪B =R 中含有参数的集合要分情况进行讨论，要熟练掌握集合间的基本运算.。

第四周[周一]1．(2022·菏泽模拟)在①3a cos A ＋B 2＝c sin A ；②3a ＝3c cos B ＋b sin C ；③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，c ＝3，________，求a ＋2b 的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解 若选①：3a cos A ＋B 2＝c sin A ， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴由已知条件得3sin A sin C 2＝sin C sin A ， 由sin A ≠0， 得3sin C 2＝2sin C 2cos C 2， 由sin C 2≠0，得cos C 2＝32， ∵C ∈(0，π)， ∴C 2＝π6，即C ＝π3， 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，∴a ＋2b ＝2sin A ＋4sin B＝2sin A ＋4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3 ＝2sin A ＋4⎝⎛⎭⎫12sin A ＋32cos A ＝4sin A ＋23cos A＝27sin(A ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝37，cos φ＝27， ∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， ∴存在A ，使得A ＋φ＝π2， 此时a ＋2b 取得最大值为27.若选②：3sin A ＝3sin C cos B ＋sin B sin C ，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴3sin(B ＋C )＝3sin C cos B ＋sin B sin C ，即3(sin B cos C ＋cos B sin C )＝3sin C cos B ＋sin B sin C ， 化简得3sin B cos C ＝sin B sin C ，由sin B ≠0，得tan C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. 下同①.若选③：cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，即1－sin 2A －(1－sin 2C )＝sin 2B －sin A sin B ，即sin 2C －sin 2A ＝sin 2B －sin A sin B ，由正弦定理得c 2－a 2＝b 2－ab ，∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. 下同①.[周二]2．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，n ∈N *，且a 1＝1，a 5＋a 7＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记在区间(3m ，3m ＋1)(m ∈N *)上，{a n }的项数为b m ，求数列{b m }的前m 项和．解 (1)由题意知a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，则{a n }为等差数列，设其公差为d ，由a 5＋a 7＝22，得a 1＋4d ＋a 1＋6d ＝22，又a 1＝1，∴d ＝2，则a n ＝2n －1.(2)由题意得，b m ＝3m ＋1－3m2－1＝3m －1， ∴b 1＋b 2＋…＋b m＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3m －1)＝31＋32＋…＋3m －m＝3×1－3m1－3－m ＝3m ＋12－m －32. [周三]3．(2022·临沂模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，过AB 1E 的平面截此正方体，得到如图所示的多面体，F 为棱CC 1上的动点．(1)点H 在棱BC 上，当CH ＝14CB 时，FH ∥平面AEB 1，试确定动点F 在棱CC 1上的位置，并说明理由；(2)若AB ＝2，求点D 到平面AEF 的最大距离．解 (1)设平面BCC 1B 1与平面AEB 1的交线为l ，因为FH ∥平面AEB 1，平面BCC 1B 1∩平面AEB 1＝l ，FH ⊂平面BCC 1B 1，所以FH ∥l .由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，平面ADD 1E ∥平面BCC 1B 1，又因为平面ADD 1E ∩平面AEB 1＝AE ，所以AE ∥l ，所以AE ∥FH ，如图，取BC 的中点G ，连接C 1G ，易知AE ∥GC 1，所以GC 1∥FH ，又因为H 为CG 的中点，所以F 为CC 1的中点．(2)如图，以点D 为原点，DA →，DC →，DD 1——→分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，E (1,0,2)，设F (0,2，t )，t ∈[0,2]，AE →＝(－1,0,2)，AF →＝(－2,2，t )，DA →＝(2,0,0)，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＋tz ＝0， 不妨取x ＝2，则n ＝⎝⎛⎭⎫2，2－t 2，1， 所以点D 到平面AEF 的距离d ＝|DA →·n ||n |＝45＋⎝⎛⎭⎫2－t 22＝414(t －4)2＋5≤263， 当t ＝2，即点F 与点C 1重合时，取等号．所以点D 到平面AEF 的最大距离为263.[周四]4．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝12相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2 2.F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M ，N .(1)求抛物线C 的方程； (2)过点M ，N 作抛物线C 的切线l 1，l 2，P (x 0，y 0)是l 1，l 2的交点，求证：点P 在定直线上．(1)解 因为点A 的横坐标为22，且点A 在圆O 上，所以点A 的坐标为A (22，2)，代入抛物线方程得p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)证明 抛物线C ：y ＝x 24，则y ′＝x 2， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以切线PM 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12·x －x 214， 同理切线PN 的方程为y ＝x 22·x －x 224， 联立解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1x 2＝－4，所以点P 在定直线y ＝－1上，结论得证．[周五]5．(2022·福州模拟)某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加n (n ∈N *，且n ≥2)次抽奖，每次中奖的概率为13，不中奖的概率为23，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个：方案①：若中奖则得30分，否则得0分；方案②：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．(1)如果n ＝2，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；(2)记顾客甲第i 次获得的分数为X i (i ＝1,2，…，n )，并且选择方案②.请直接写出E (X i ＋1)与E (X i )的递推关系式，并求E (X 8)的值．(精确到0.1，参考数据：⎝⎛⎭⎫237≈0.059.)解 (1)若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为ξ，则ξ的可能取值为40,35,10,5.P (ξ＝40)＝13×13＝19， P (ξ＝35)＝23×13＝29， P (ξ＝10)＝13×23＝29，P (ξ＝5)＝23×23＝49， 所以E (ξ)＝40×19＋35×29＋10×29＋5×49＝1509＝503. 若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为η，则η的可能取值为30,15,10，则P (η＝30)＝13×13＝19， P (η＝15)＝23×13＋13×23＝49， P (η＝10)＝23×23＝49， E (η)＝30×19＋15×49＋10×49＝1309， 因为E (ξ)>E (η)，所以应选择方案①.(2)依题意得E (X i ＋1)＝5×23＋2E (X i )·13＝23E (X i )＋103， X 1的可能取值为10,5，其分布列为所以E (X 1)＝203， 则E (X 1)－10＝－103， 由E (X i ＋1)＝23E (X i )＋103得 E (X i ＋1)－10＝23[E (X i )－10]， 所以{E (X i )－10}为等比数列．其中首项为－103，公比为23. 则E (X i )－10＝－103×⎝⎛⎭⎫23i －1， 所以E (X 8)－10＝－103×⎝⎛⎭⎫237，故E (X 8)＝－103×⎝⎛⎭⎫237＋10≈9.8. [周六]6．(2022·江门模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋2x－5. (1)证明：f (x )<x ；(2)若函数f (x )的图象与g (x )的图象有两个不同的公共点，求实数a 的取值范围．(1)证明 要证f (x )<x ，即证当x ∈(0，＋∞)时，不等式ln x －x <0恒成立．令F (x )＝ln x －x ，则F ′(x )＝1x －12x ＝2－x 2x， 故当0<x <4时，F ′(x )>0，F (x )单调递增；当x >4时，F ′(x )<0，F (x )单调递减．则F (x )max ＝F (4)＝ln 4－2<0，故f (x )<x .(2)解 由f (x )＝g (x )可得a ＝ln x x ＋5x －2x2 ＝x ln x ＋5x －2x 2， 构造函数h (x )＝5＋ln x x －2x2，其中x >0， 则h ′(x )＝1x ·x －(5＋ln x )x 2＋4x3 ＝4－4x －x ln x x 3， 当0<x <1时，4－4x >0，ln x <0，则h ′(x )>0，此时函数h (x )单调递增，当x >1时，4－4x <0，ln x >0，则h ′(x )<0，此时函数h (x )单调递减，所以h (x )max ＝h (1)＝3，令φ(x )＝x ln x ＋5x －2，则当x >1时，φ(x )>5x －2>0，当0<x <25时，φ(x )<5x －2<0，故存在x 0∈⎝⎛⎭⎫25，1，使得φ(x 0)＝0，即h (x 0)＝0，作出函数h (x )与y ＝a 的图象如图所示，由图可知，当0<a <3时，函数h (x )与y ＝a 的图象有2个交点， 因此，实数a 的取值范围是(0,3)．。

高三数学每日一练（29）——奇偶性（2）1．下列函数中既是奇函数又存在极值的是( )A ．3x y = B ．)ln(x y -= C ．xxe y = D ．xx y 2+= 2．已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f （ ） A ．－2 B ．0 C ．1 D ．23．(2014·某某理，3)已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若g (1)＝2，则f (2014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2 5．已知函数()1log 1a mxf x x -=-是奇函数()01a a <≠且 （1）求m 的值（2）判断()f x 在区间()1,+∞上的单调性并加以证明（3）当1,a >(x ∈时，()f x 的值域是()1,+∞，求a 的值高三数学每日一练（30）——奇偶性（3）1．(2014·某某某某灵宝实验高中月考)f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．－22．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．13．如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[--上是( )A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最小值是5-D ．减函数且最大值是5- 4．已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为.5．已知函数()21ax f x bx c+=+是奇函数，,,a b c 为常数（1） 某某数c 的值；（2） 若,a b Z ∈，且()()12,23f f =<，求()f x 的解析式；（3） 对于（2）中的()f x ，若()2f x m x ≥-对()0,x ∈+∞恒成立，某某数m 的取值X 围.高三数学每日一练（31）——奇偶性（4）1．下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是( )A ．1y x=-B ．22y x =+C ．33y x =- D ．1log ey x =2．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-3．（2015某某市3月质检）已知函数(1)f x -是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则函数()f x 的图象可能是（ ）4．(2014·华师附中检测)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数5．已知函数y ＝f (x )的定义域为R .且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x >0时，f (x )<0恒成立，f (3)＝－3.（1）证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数； （2）证明：函数y ＝f (x )是奇函数；（3）试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n N ∈＋)上的值域．高三数学每日一练（32）——奇偶性（5）1．(2014·某某某某专题练习)若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3) 2．(2014·某某和平区期末)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递减，设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (－1)，则( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <b <a3．(2014·某某统一检测)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg x )＜0，则x 的取值X 围是( )A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1，＋∞) D．(10，＋∞)4．(2014·某某某某一中调研)若f (x )＝3x ＋sin x ，则满足不等式f (2m －1)＋f (3－m )>0的m 的取值X 围为________．5．已知定义在(1,1)-上的函数2()1ax b f x x +=+为奇函数，且12()25f =． （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<．高三数学每日一练（33）——奇偶性（6）1．如果函数xx f )21()(=（-+∞<<∞x ），那么函数)(x f 是 ( )A. 奇函数，且在)0,(-∞上是增函数B. 偶函数，且在)0,(-∞上是减函数C. 奇函数，且在),0(+∞上是增函数D. 偶函数，且在),0(+∞上是减函数 2．偶函数)(x f 在区间],0[a （0>a ）上是单调函数，且0)()0(<⋅a f f ，则方程0)(=x f 在区间],[a a -内根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．03．定义两种运算：m n ⊕=，a b a b ⊗=-，则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数4．已知R 上的不间断函数()g x 满足：（1）当0x >时，'()0g x >恒成立；（2）对任意的x R ∈都有()()g x g x =-。

高中数学每日试题及答案1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。

答案：将-1代入函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1中，得到f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6。

2. 解方程：3x - 5 = 2x + 1。

答案：首先将方程两边的x项移项，得到3x - 2x = 1 + 5，简化后得到x = 6。

3. 计算下列极限：lim (x→0) [sin(x) / x]。

答案：根据洛必达法则，当x趋近于0时，sin(x) / x的极限等于1。

4. 已知数列{an}满足a1 = 1，an = 2an-1 + 1，求a3的值。

答案：根据递推公式，a2 = 2a1 + 1 = 2 * 1 + 1 = 3，a3 = 2a2 +1 =2 *3 + 1 = 7。

5. 求解不等式：x^2 - 4x + 3 < 0。

答案：首先将不等式因式分解为(x - 1)(x - 3) < 0，解得1 < x < 3，即不等式的解集为(1, 3)。

6. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标和半径。

答案：圆心坐标为(2, 3)，半径为3。

7. 计算定积分：∫(0 to 1) (2x + 1) dx。

答案：首先求被积函数的原函数F(x) = x^2 + x，然后将上限1和下限0代入F(x)，得到F(1) - F(0) = 1^2 + 1 - (0^2 + 0) = 2。

8. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。

答案：向量a与向量b的点积为a·b = (3 * -1) + (4 * 2) = -3 +8 = 5。

9. 求函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x = 2处的导数值。

答案：首先求函数的导数y' = 3x^2 - 12x + 9，然后将x = 2代入y'得到y'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3。

第二周[周一]1．(2022·聊城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b －c a ＝cos C cos A，a ＝3.(1)求角A ；(2)若点D 在边AC 上，且BD →＝13BA →＋23BC →，求△BCD 面积的最大值． 解 (1)在△ABC 中，因为2b －c a ＝cos C cos A， 所以(2b －c )cos A ＝a cos C ，由正弦定理得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，因为sin B >0，所以cos A ＝12， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)因为BD →＝13BA →＋23BC →， 所以CD →＝BD →－BC →＝13CA →， 所以S △BCD ＝13S △ABC ＝16bc sin A ＝312bc ， 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以9＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，当且仅当b ＝c ＝3时，等号成立，所以S △BCD ＝312bc ≤334， 所以△BCD 面积的最大值为334. [周二]2．(2022·南通模拟)已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球．现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回地摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分．(1)若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；(2)若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．解 (1)连续取3个球有A 36种方法，从中连续取3个球，红、白、黑各取一个有C 12C 12C 12A 33种方法， 则恰好取到3种颜色球的概率P ＝C 12×C 12×C 12×A 33A 36＝48120＝25. (2)由题意得，随机变量ξ的所有可能取值为4,5,6,7,8.当取到两个红球和一个白球时，ξ＝4，则P (ξ＝4)＝C 22C 12C 36＝220＝110， 当取到两个红球和一个黑球或两个白球和一个红球时，ξ＝5，则P (ξ＝5)＝C 22C 12＋C 22C 12C 36＝420＝15， 当取到一个红球、一个白球和一个黑球时，ξ＝6，则P (ξ＝6)＝C 12C 12C 12C 36＝820＝25， 当取到一个红球和两个黑球或两个白球和一个黑球时，ξ＝7，则P (ξ＝7)＝C 22C 12＋C 22C 12C 36＝420＝15， 当取到两个黑球和一个白球时，ξ＝8，则P (ξ＝8)＝C 22C 12C 36＝220＝110. ∴随机变量ξ的分布列为[周三]3．(2022·济南模拟)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，将△ACD 沿AC 折起，使得点D 到达点P 的位置，如图2，PB ＝ 3.(1)证明：平面P AB ⊥平面ABC ；(2)求直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值．(1)证明 因为BC ＝1，PC ＝2，PB ＝3，则BC 2＋PB 2＝PC 2，于是得BC ⊥PB ，又BC ⊥AB ，PB ∩AB ＝B ，PB ，AB ⊂平面P AB ，因此BC ⊥平面P AB ，而BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面P AB .(2)解 在平面P AB 内过点P 作PO ⊥AB 于点O ，连接CO ，如图，由(1)知，平面ABC ⊥平面P AB ，而平面ABC ∩平面P AB ＝AB ，则有PO ⊥平面ABC ，所以∠PCO 是直线PC 与平面ABC 所成的角，在△P AB 中，P A 2＋PB 2＝4＝AB 2，则∠APB ＝90°，PO ＝P A ·PB AB ＝32， 在Rt △POC 中，PC ＝2，则有sin ∠PCO ＝PO PC ＝34， 所以直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值为34. [周四]4．(2022·泰安模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足3a n ＝2S n ＋2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)能否在数列{a n }中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？请说明理由．解(1)∵3a n＝2S n＋2，∴当n＝1时，3a1＝2S1＋2＝2a1＋2，∴a1＝2；当n≥2时，3a n－1＝2S n－1＋2，∴3a n－3a n－1＝(2S n＋2)－(2S n－1＋2)＝2a n，∴a n＝3a n－1，即a na n－1＝3(n≥2)，∴数列{a n}是以2为首项，3为公比的等比数列，∴a n＝2×3n－1.(2)若1≤k<m<n，有a k，a m，a n成等差数列，则2a m＝a k＋a n，即2×2×3m－1＝2×3k－1＋2×3n－1，整理得13m－k＋3n－m＝2，又k，m，n∈N*且1≤k<m<n，∴3n－m≥3，13m－k>0，∴3n－m＋13m－k >3与13m－k＋3n－m＝2矛盾，∴数列{a n}中找不到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列．[周五]5．(2022·青岛模拟)在平面直角坐标系中，点F1(－3，0)，F2(3，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝±2，点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知A(1,0)，过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q(点P和Q都异于点A)，若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点．(1)解因为|MF1|－|MF2|＝±2，所以||MF 1|－|MF 2||＝2<23＝|F 1F 2|，由双曲线定义可知，点M 的轨迹为双曲线，其中c ＝3，a ＝1，所以b ＝c 2－a 2＝2，所以曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)证明 若直线PQ 垂直于x 轴，易知此时直线AP 的方程为y ＝±(x －1)， 联立x 2－y 22＝1求解可得x ＝－3， 直线PQ 过点(－3,0)．当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 方程为y ＝kx ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，代入x 2－y 22＝1， 整理得(k 2－2)x 2＋2kmx ＋m 2＋2＝0，则x 1＋x 2＝2km 2－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－2， 因为AP ⊥AQ ，所以AP →·AQ →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(km －1)(x 1＋x 2)＋m 2＋1＝(k 2＋1)(m 2＋2)k 2－2＋2k 2m 2－2km 2－k 2＋m 2＋1＝0， 整理得3k 2＋2km －m 2＝(3k －m )(k ＋m )＝0，解得m ＝3k 或m ＝－k ，因为点P 和Q 都异于点A ，所以m ＝－k 不满足题意，故m ＝3k ，代入y ＝kx ＋m ， 得y ＝k (x ＋3)，过定点(－3,0)．综上，直线PQ 过定点(－3,0)．[周六]6．(2022·济南模拟)设函数f (x )＝ln x －ax ＋1.(1)若f (x )≤0恒成立，求a 的取值范围；(2)证明：⎝⎛⎭⎫ln x x ＋1(e －x ＋1)<2e＋1. (1)解 f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x，x >0. 当a ≤0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，取x ＝1，f (1)＝－a ＋1≥1，不符合题意，舍去．当a >0时，令f ′(x )>0，得0<x <1a， 令f ′(x )<0，得x >1a， 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．当x ＝1a时，f (x )取得极大值， 即最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a， 若f (x )≤0恒成立，则ln 1a≤0，解得a ≥1. (2)证明 要证⎝⎛⎭⎫ln x x ＋1(e －x ＋1)<2e＋1， 即证ln x x e x ＋1e x ＋ln x x <2e. 设h (x )＝ln x x， 则h ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2， 令h ′(x )>0，得0<x <e ；令h ′(x )<0，得x >e.故h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减． 当x ＝e 时，h (x )取得极大值，也是最大值，即最大值为h (e)＝1e， 故h (x )＝ln x x ≤1e. 设F (x )＝x e x －1－ln x －x ，则F ′(x )＝e x －1＋x e x －1－1x－1 ＝(1＋x )e x －1－1＋x x＝(1＋x )⎝⎛⎭⎫e x －1－1x . 设φ(x )＝e x －1－1x， 则φ′(x )＝e x －1＋1x 2>0， 所以φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，又φ(1)＝e 1－1－1＝0.所以当x ∈(0,1)时，φ(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，φ(x )>0.故当x ∈(0,1)时，F ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，即F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 故当x ＝1时，F (x )取得极小值，也是最小值， 即最小值为F (1)＝0，故F (x )≥0，即x e x －1－ln x －x ≥0，故ln x x e x ＋1e x ≤1e， 当且仅当x ＝1时，等号成立．又h (x )＝ln x x ≤1e， 当且仅当x ＝e 时，等号成立．两个等号不能同时成立，所以ln x x e x ＋1e x ＋ln x x <2e . 故⎝⎛⎭⎫ln x x ＋1(e －x ＋1)<2e ＋1.。

第七周 [周一]1．(2022·广州模拟)从①S 1010－S 55＝－5；②S 8＝S 4－8；③a 5＝1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＝9，且________，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解 设数列{a n }的公差为d . 选①S 1010－S 55＝－5.因为S 1010－S 55＝a 1＋a 102－a 1＋a 52＝a 10－a 52＝5d 2，所以5d2＝－5，解得d ＝－2，又a 1＝S 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11， S n ＝n (9＋11－2n )2＝－n 2＋10n .当1≤n ≤5时，a n >0，T n ＝S n ＝－n 2＋10n ； 当n ≥6时，a n <0，T n ＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.综上所述，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，1≤n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.选②S 8＝S 4－8，因为a 1＝S 1＝9，S 8＝8a 1＋28d ，S 4＝4a 1＋6d ， 所以S 8－S 4＝4a 1＋22d ＝－8， 解得d ＝－2. 下同①. 选③a 5＝1，因为a 1＝S 1＝9，a 5＝a 1＋4d ＝1， 所以d ＝－2. 下同①.[周二]2.(2022·广州模拟)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠P AB ＝∠PBC ＝∠PCA ＝α.(1)证明：PB ·sin ∠ABC ＝AB ·sin α； (2)若∠ABC ＝π2，AB ＝BC ＝1，求PC .(1)证明 在△ABP 中， 由正弦定理得PB sin α＝ABsin ∠APB ，即PB ·sin ∠APB ＝AB ·sin α， 要证明PB ·sin ∠ABC ＝AB ·sin α， 只需证明sin ∠ABC ＝sin ∠APB ， 在△ABP 中，∠APB ＝π－(α＋∠ABP )， 在△ABC 中，∠ABC ＝α＋∠ABP ， 所以∠APB ＝π－∠ABC ，所以sin ∠APB ＝sin(π－∠ABC )＝sin ∠ABC ， 所以PB ·sin ∠ABC ＝AB ·sin α.(2)解 由(1)知PB ·sin ∠ABC ＝AB ·sin α， 又因为∠ABC ＝π2，AB ＝1，所以PB ＝sin α，由已知得△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BCA ＝∠CAB ＝π4，则∠BCP ＝π4－α，所以在△PBC 中，∠BPC ＝π－⎝⎛⎭⎫π4－α－α＝3π4， 由正弦定理得BC sin ∠BPC ＝PCsin ∠PBC ，即1sin3π4＝PC sin α， 即PC ＝2sin α.由余弦定理得 sin 2α＋()2sin α2－2sin α·2sin α·cos 3π4＝1， 由题意知sin α>0， 解得sin α＝55， 所以PC ＝105. [周三]3．在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20,25<x i <65)，其中 x i 表示年龄，y i 表示脂肪含量，并计算得到∑i ＝120x 2i ＝48 280,∑i ＝120y 2i ＝15 480，∑i ＝120x i y i ＝27 220，x ＝48，y ＝27，22≈4.7.(1)请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用经验回归模型进行拟合，并求出y 关于x 的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(a ^，b ^的计算结果保留两位小数)；(2)科学健身能降低人体脂肪含量，下表是甲、乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表：某健身机构准备购进其中一款健身器材，以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，该机构选择购买哪一款健身器材才能使用更长久？ 参考公式：样本相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2∑i ＝1n(y i －y)2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2∑i ＝1ny 2i －n y2；对于一组具有线性相关关系的数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，其经验回归直线 y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .解 (1)x 2＝2 304，y 2＝729，∑i ＝120x i y i －20x y ＝1 300，∑i ＝120x 2i －20x 2＝2 200，∑i ＝120x 2i －20y 2＝900，r ＝∑i ＝120x i y i －20x y∑i ＝120x 2i －20x2∑i ＝120y 2i －20y2≈0.92，所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系，可用经验回归模型进行拟合；由题可得，b ^＝∑i ＝120(x i －x )(y i －y )∑i ＝120(x i －x)2＝∑i ＝120x i y i －20x y∑i ＝120x 2i －20x2＝1322≈0.59， a ^＝y －b ^x ＝27－1322×48≈－1.36，所以y ^＝0.59x －1.36.(2)以频率估计概率，设甲款健身器材使用年限为X (单位：年)，则X 的分布列为：X 5 6 7 8 P0.10.40.30.2E (X )＝5×0.1＋6×0.4＋7×0.3＋8×0.2＝6.6，设乙款健身器材使用年限为Y (单位：年)，则Y 的分布列为：Y 5 6 7 8 P0.30.40.20.1E (Y )＝5×0.3＋6×0.4＋7×0.2＋8×0.1＝6.1，因为E (X )>E (Y )， 所以该机构购买甲款健身器材更划算．[周四]4.(2022·长沙模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ，∠ABC ＝120°.(1)求证：平面P AC ⊥平面PBD ；(2)若点M 为PB 的中点，点N 为线段PC 上一动点，求直线MN 与平面P AC 所成角的正弦值的取值范围．(1)证明 如图，设AC 的中点为O ，连接BO ，DO ，因为AB ＝BC ，所以BO ⊥AC ，因为AD ＝CD ，所以DO ⊥AC ，所以B ，O ，D 三点共线，所以BD ⊥AC ， 因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥P A ，因为P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ， AC ⊂平面P AC ， 所以BD ⊥平面P AC ，因为BD ⊂平面PBD ，所以平面P AC ⊥平面PBD .(2)解 由(1)可得OC ⊥OD ，以OC ，OD 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 点作平行于AP 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C (3，0,0)，P (－3，0,2)， B (0，－1,0)，因为M 为PB 的中点， 所以M ⎝⎛⎭⎫－32，－12，1， 设PN →＝λPC →，0≤λ≤1， 所以N (23λ－3，0,2－2λ)， 所以MN →＝⎝⎛⎭⎫23λ－32，12，1－2λ，由(1)知BD ⊥平面P AC ，所以平面P AC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设直线MN 与平面P AC 所成角为θ， 则sin θ＝||cos 〈MN →，n 〉＝|MN →·n ||MN →||n |＝1216λ2－10λ＋2，0≤λ≤1，y ＝16λ2－10λ＋2的对称轴为λ＝516，当λ＝516时，y min ＝716，当λ＝1时，y max ＝8， 即当0≤λ≤1时，74≤16λ2－10λ＋2≤22，所以28≤1216λ2－10λ＋2≤277，所以28≤sin θ≤277， 即直线MN 与平面P AC 所成角的正弦值的取值范围为⎣⎡⎦⎤28，277.[周五]5．(2022·临沂模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为32，A 为C 的左顶点，且AF 1--→·AF 2--→＝－5.(1)求C 的方程；(2)若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于点M ，N .求证：点M 与点N 的横坐标之积为定值．(1)解 易知点A (－a ，0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， AF 1--→＝(－c ＋a ，0)，AF 2--→＝(c ＋a ，0)，所以⎩⎨⎧c a ＝32，AF 1--→·AF 2--→＝a 2－c 2＝－5，解得a ＝2，c ＝3，则b ＝c 2－a 2＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)证明 分以下两种情况讨论：①当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝±2，此时点M ，N 的横坐标之积为22＝4； ②当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意可知直线l 不与双曲线C 的渐近线平行或重合，即k ≠±52，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 25＝1，可得(5－4k 2)x 2－8kmx －4m 2－20＝0， 令Δ＝64k 2m 2＋4(5－4k 2)(4m 2＋20)＝0， 可得4k 2＝m 2＋5，则m ≠0，不妨令点M ，N 分别为直线l 与直线y ＝52x ，y ＝－52x 的交点， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，y ＝52x ，可得x 1＝m52－k ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝－52x ，可得x 2＝－m52＋k ， 此时x 1x 2＝m 2k 2－54＝4m 24k 2－5＝4m 2m 2＝4.综上所述，点M 与点N 的横坐标之积为定值．[周六]6．(2022·深圳模拟)已知函数f (x )＝e x －ax ＋sin x －1. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值点；(2)当1≤a <2时，试讨论函数f (x )的零点个数． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝e x －2x ＋sin x －1， 则f ′(x )＝e x －2＋cos x ， 令g (x )＝e x －2＋cos x ，则g′(x)＝e x－sin x.当x∈(0，＋∞)时，e x>1，∴g′(x)>1－sin x≥0,∴f′(x)＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)>f′(0)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当x∈(－∞，0]时，可得e x≤1，∴f′(x)＝e x－2＋cos x≤－1＋cos x≤0，∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，综上，函数f(x)的极值点为x＝0.(2)当x＝0时，f(0)＝e0－0－1＋sin 0＝0，∴x＝0是f(x)的一个零点，令h(x)＝f′(x)＝e x－a＋cos x，1≤a<2，则h′(x)＝e x－sin x.①当x∈(0，＋∞)时，e x>1，∴h′(x)>1－sin x≥0，∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)>f′(0)＝2－a>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0，此时f(x)在(0，＋∞)上无零点．②当x∈(－∞，－π]时，－ax≥π，有f(x)＝e x－ax＋sin x－1≥e x＋π＋sin x－1>0，此时f(x)在(－∞，－π]上无零点．③当x∈(－π，0)时，sin x<0，h′(x)＝e x－sin x>0，∴f′(x)在(－π，0)上单调递增，又f′(0)＝2－a>0，f′(－π)＝e－π－a－1<0，由零点存在定理知，存在唯一的x0∈(－π，0)，使得f′(x0)＝0.当x∈(－π，x0)时，f′(x)<0，f(x)在(－π，x0)上单调递减；当x∈(x0,0)时，f′(x)>0，f(x)在(x0,0)上单调递增，又f(－π)＝e－π＋aπ－1>0，f(x0)<f(0)＝0，∴f(x)在(－π，0)上有一个零点．综上，当1≤a<2时，f(x)有两个零点．。

2024年高中数学每日一题系列供题人：Oliver Zhan 一份耕耘一分收获2024.10.1824y =B ．||PB +352=D ．若P 在【答案】ACD解：1:4C y =可变形为22(2)(4)4(4)x y y -+-=≥，表示以1(2,4)C 为圆心，2为半径的圆的上半部分；22:44C y x x =+--可变形为22(2)(4)4(4)x y y ++-=≥，表示以()22,4C -为圆心，2为半径的圆的上半部分．对于A ：抛物线23:2C x py =过点()4,4，解得2p =，23:4C x y =，故A 选项正确；对于B ：抛物线23:4C x y =的准线为:1l y '=-，过点B 作1BB l '⊥，垂足为1B ，则1BF BB =，则1415P l PB FB PB BB d -'+=+≥≥+=，故B 选项不正确；对于C ：不妨设:1(0)l y kx k =+≥，显然离l 最远的点在2C 上，且222321P l C l k d d r k ----≤+=+，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩，消去y 整理得2440x kx --=，341413440404k ---=≤≤=---，则4A B x x k +=，4A B x x ⋅=-，则()()2221441A B A B AB k x x x x k =++-=+，由对称性只考虑0k ≥情况，B 在E 点时，max 34k =，所以30,4k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()222311412221PAB P l k S AB d k k -⎫--=⨯≤⨯++⎪+⎭ ()2221(23)41k k k =++++，设()22()1(23)41h k k k k =++++，易得()h k 在30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以PAB S 的最大值为33542h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 选项正确；对于D ：设AB 的中点为M ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 整理得2440x kx --=，则4A B x x k +=，4A B x x ⋅=-，22A B M x x x k +==，221M y k =+，341413440404k ---=≤≤=---，所以32M x ≤，()()2214PA PB PM MA PM MB PM AB ⋅=++=- ，22111112cos PM PC MC PC MC PC M +-⨯⨯∠PM 最小，即1cos PC M ∠最大，也即1PC M ∠最小，又AB 的中点M 位于圆心1C 的左侧，故当P 在位置时，1PC M ∠最小，PM 最小，所以()()222222211(20)2144444PM AB k k k -≥-++--+ ()22422294412941165165416k k k k k =+-+-+=-+≥-⨯+=-，故D 对故选：ACD ．)4,0(。

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式总结(重点)超详细单选题1、已知a=√2，b=√7−√3，c=√6−√2，则a，b，c的大小关系为（）A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a答案：B分析：通过作差法，a−b=√2+√3−√7，确定符号，排除D选项；通过作差法，a−c=2√2−√6，确定符号，排除C选项；通过作差法，b−c=(√7+√2)−(√6+√3)，确定符号，排除A选项；由a−b=√2+√3−√7，且(√2+√3)2=5+2√6>7，故a>b；由a−c=2√2−√6且(2√2)2=8>6，故a>c；b−c=(√7+√2)−(√6+√3)且(√6+√3)2=9+2√18>9+2√14=(√7+√2)2，故c>b.所以a>c>b，故选：B.2、已知正实数a,b满足4a+b +1b+1=1，则a+2b的最小值为（）A．6B．8C．10D．12 答案：B分析：令a+2b=a+b+b+1−1，用a+b+b+1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可.因为4a+b+1b+1=1，且a,b 为正实数所以a +b +b +1=(a +b +b +1)(4a+b+1b+1)=4+a+b b+1+4(b+1)a+b+1≥5+2√a+b b+1×4(b+1)a+b=9，当且仅当a+b b+1=4(b+1)a+b即a =b +2时等号成立.所以a +2b +1≥9,a +2b ≥8. 故选：B.3、设m ，n 为正数，且m +n =2，则4m+1+1n+1的最小值为（ ） A ．134B ．94C ．74D ．95答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1，∴4m+1+1n+1 =(4m+1+1n+1)(m+14+n+14) =n+1m+1+m+14(n+1)+54≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54 =94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即 m =53，n =13时等号成立.故选：B .4、若实数a 、b 满足a >b >0，下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a +b >2√ab B ．a +b <2√ab C ．a2+2b >2√ab D ．a2+2b <2√ab答案：A分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.因为a >b >0，则a +b −2√ab =(√a −√b)2>0，故a +b >2√ab ，A 对B 错；a2+2b −2√ab =a 2+2b −2√a 2⋅2b =(√a 2−√2b)2≥0，即a2+2b ≥2√ab ， 当且仅当a 2=2b 时，即当a =4b 时，等号成立，CD 都错. 故选：A.5、已知实数a,b,c 满足a >b >0>c ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．a +1b <b +1a B ．2a+ba+2b <ab C ．ba−c >ab−c D ．√ca 3<√cb 3答案：B分析：对于A ，利用不等式的性质判断；对于CD ，举例判断；对于B ，作差法判断 解：对于A ，因为a >b >0，所以1a <1b ，所以a +1b >b +1a ，所以A 错误， 对于B ，因为a >b >0，所以2a+ba+2b −ab =(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b=b 2−a 2(a+2b)b <0，所以2a+ba+2b <ab ，所以B 正确， 对于C ，当a =2,b =1,c =−1时，ba−c=13<a b−c=1，所以C 错误，对于D ，当a =8,b =1,c =−1时，√c a 3=−12>√cb 3=−1，所以D 错误， 故选：B6、若正数x ，y 满足3x +1y =5，则3x +4y 的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．25 答案：C分析：由3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.∵3x+4y=15(3x+4y)(3x+1y)=15(13+3xy+12yx)≥15(13+2√3xy⋅12yx)=5（当且仅当3xy=12yx，即x=2y=1时取等号），∴3x+4y的最小值为5. 故选：C.7、已知p：a>b>0q：1a2<1b2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：根据a>b>0与1a2<1b2的互相推出情况判断出属于何种条件.当a>b>0时，a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以充分性满足，当1a2<1b2时，取a=−2,b=1，此时a>b>0不满足，所以必要性不满足，所以p是q的充分不必要条件，故选：A.8、若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−1<x<2}，则不等式a(x2+1)+b(x−1)+c>2ax的解集是（）A．{x|0<x<3}B．{x|x<0或x>3}C．{x|1<x<3}D．{x|−1<x<3}答案：A分析：由题知{ba=−1ca=−2，a<0，进而将不等式转化为x2−3x<0，再解不等式即可.解：由a(x2+1)+b(x−1)+c>2ax，整理得ax2+(b−2a)x+(a+c−b)>0①．又不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−1<x<2}，所以a<0，且{(−1)+2=−ba(−1)×2=ca，即{ba=−1ca=−2②．将①两边同除以a得：x2+(ba −2)x+(1+ca−ba)<0③．将②代入③得：x2−3x<0，解得0<x<3．故选：A9、设a,b,c,d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是（）A．c2>cd B．a−c<b−dC．ac>bd D．ca −db>0答案：D分析：题目考察不等式的性质，A选项不等式两边同乘负数要变号；B,C选项可以通过举反例排除；D选项根据已知条件变形可得已知a>b>0>c>d,对各选项逐一判断：选项A：因为0>c>d,由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得c2<cd,所以选项A错误.选项B：取a=2,b=1,c=−1,d=−2,则a−c=3,b−d=3,此时a−c=b−d,所以选项B错误.选项C：取a=2,b=1,c=−1,d=−2,则ac=−2,bd=−2,此时ac=bd,所以选项C错误.选项D：因为a>b>0,0>c>d,所以ad<bd<bc,所以ca >db,即ca−db>0,所以选项D正确.故选：D.10、已知命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．(−∞,0]∪[4,+∞)B．[0,4]C．[4,+∞)D．(0,4)答案：A分析：先求出命题为真时实数a 的取值范围，即可求出命题为假时实数a 的取值范围. 若“∀x ∈R ，4x 2+(a −2)x +14>0”是真命题，即判别式Δ=(a −2)2−4×4×14<0，解得：0<a <4， 所以命题“∀x ∈R ，4x 2+(a −2)x +14>0”是假命题，则实数a 的取值范围为：(−∞,0]∪[4,+∞). 故选：A. 填空题11、不等式(x −2)2≤4的解集为________ 答案：{x|0≤x ≤4}解析：直接由−2≤x −2≤2可得解集.由(x −2)2≤4，得−2≤x −2≤2，解得：0≤x ≤4， 所以解集为{x|0≤x ≤4}. 所以答案是：{x|0≤x ≤4}.12、用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m ．答案：32##1.5分析：首先设框架的宽为x ，再表示框架的面积，利用基本不等式求最值，即可求框架的宽. 设框架的宽为x ，则其高为6−2x ，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S 最大，S =x (6−2x )=2x (3−x )≤2×[x+(3−x )2]2=92，当且仅当x =3−x ，即x =32时等号成立，故框架的宽为32m ．所以答案是：3213、已知函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域是R，则m的取值范围为______．答案：[0,4]分析：根据函数的定义域为R可得mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，对参数m的取值范围分类讨论，分别求出对应m 的范围，进而得出结果.因为函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域为R，所以mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，当m=0时，mx2+mx+1=1>0，符合题意；当m>0时，由Δ=m2-4m≤0，解得0<m≤4；当m<0时，显然mx2+mx+1不恒大于或等于0．综上所述，m的取值范围是[0,4].所以答案是：[0,4].14、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+1> 0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx 2+bx +a <0的解集为{x|x >12 或x <14}. 所以答案是：{x|x >12 或x <14}.15、方程x 2−(2−a )x +5−a =0的两根都大于2，则实数a 的取值范围是_____． 答案：−5<a ≤−4分析：根据一元二次方程根的分布即可求解.解：由题意，方程x 2－(2－a)x +5－a =0的两根都大于2， 令f(x)=x 2－(2－a)x +5－a ，可得{△≥0f(2)>02−a2>2 ，即{a 2≥16a +5>02−a >4 ，解得－5<a ≤－4．所以答案是：−5<a ≤−4.16、若正数a 、b 满足a +b =1，则13a+2+13b+2的最小值为________. 答案：47分析：由a +b =1可得(3a +2)+(3b +2)=7，将代数式(3a+2)+(3b+2)7与13a+2+13b+2相乘，展开后利用基本不等式可求得13a+2+13b+2的最小值.已知正数a 、b 满足a +b =1，则(3a +2)+(3b +2)=7，所以，13a+2+13b+2=(3a+2)+(3b+2)7⋅(13a+2+13b+2) =17(3b+23a+2+3a+23b+2+2)≥17(2√3b+23a+2⋅3a+23b+2+2)=47，当且仅当a =b =12时，等号成立.因此，13a+2+13b+2的最小值为47. 所以答案是：47.小提示：本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查了1的妙用，考查计算能力，属于基础题.17、已知正实数x，y满足1x +1y=1，则x+4y最小值为______．答案：9分析：利用基本不等式的性质直接求解即可.∵正数x，y满足：1x +1y=1，∴x+4y=(x+4y)⋅(1x +1y)=5+4yx+xy≥5+2√4yx⋅xy=9，当且仅当4yx =xy，即x=2y，x=3，y=32时“=”成立，所以答案是：9.18、若关于x的一元二次不等式2x2−kx+38>0对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________. 答案：(−√3,√3)分析：由判别式小于0可得．由题意Δ=k2−4×2×38<0，−√3<k<√3．所以答案是：(−√3,√3)．19、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为___________.答案：10≤V≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V−10，第二次操作后，利下的纯药液为V−10−V−10V×8，由题意可知：V−10−V−10V×8≤V⋅60%⇒V2−45V+200≤0⇒5≤V≤40，因为V ≥10，所以10≤V ≤40， 所以答案是：10≤V ≤4020、已知正数x,y 满足x 2+4y 2+2xy =1，则xyx+2y的最大值为____.答案：√312分析：先根据条件x 2+4y 2+2xy =1结合基本不等式求解出0<x +2y ≤2√33，然后利用基本不等式可求xyx+2y的最大值.因为x 2+4y 2+2xy =1，所以(x +2y )2−2xy =1，即(x +2y )2−1=2xy ；因为2xy ≤(x+2y 2)2，所以(x +2y)2−1≤(x+2y 2)2，当且仅当x =2y 时，等号成立，解得0<x +2y ≤2√33； 所以xyx+2y=2xy 2(x+2y)≤x+2y 8≤√312，当且仅当x =2y 时，即x =√33,y =√36时， xy x+2y取到最大值.所以答案是：√312. 解答题21、解关于x 的不等式ax 2−2≥2x −ax (a ∈R )． 答案：详见解析.分析：分类讨论a ，求不等式的解集即可. 原不等式变形为ax 2+(a −2)x −2≥0． ①当a =0时，x ≤−1；②当a ≠0时，不等式即为(ax −2)(x +1)≥0， 当a >0时，x ≥2a 或x ≤−1；由于2a −(−1)=a+2a ，于是当−2<a <0时，2a ≤x ≤−1； 当a =−2时，x =−1；当a <−2时，−1≤x ≤2a ．综上，当a =0时，不等式的解集为(−∞,−1]；当a >0时，不等式的解集为(−∞,−1]∪[2a,+∞)； 当−2<a <0时，不等式的解集为[2a,−1]；当a =−2时，不等式的解集为{−1}；当a <−2时，不等式的解集为[−1,2a ]． 22、已知函数f (x )=−x 2+mx −m ．（1）若函数f (x )的最大值为0，求实数m 的值．（2）若函数f (x )在[−1,0]上单调递减，求实数m 的取值范围．（3）是否存在实数m ，使得f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由． 答案：（1）m =0或m =4；（2）m ⩽−2；（3）存在，m =6分析：（1）配方后得最大值，由最大值为0可解得m 的值；（2）由对称轴在区间的左侧可得；（3）分类讨论求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值，由最大值为3最小值为2求解m 的值．（1）f(x)=−(x −m 2)2−m +m 24，则最大值−m +m 24=0，即m 2−4m =0，解得m =0或m =4． （2）函数f(x)图象的对称轴是x =m 2，要使f(x)在[−1,0]上单调递减，应满足m 2⩽−1，解得m ⩽−2．（3）①当m 2⩽2，即m ⩽4时，f(x)在[2,3]上递减，若存在实数m ，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，则{f(2)=3，f(3)=2，即{−4+2m −m =3，−9+3m −m =2，，此时m 无解． ②当m 2⩾3，即m ⩾6时，f(x)在[2,3]上递增，则{f(2)=2,f(3)=3,即{−4+2m −m =2,−9+3m −m =3, 解得m =6． ③当2<m 2<3，即4<m <6时，f(x)在[2,3]上先递增，再递减，所以f(x)在x =m 2处取得最大值，则f (m 2)=−(m 2)2+m ⋅m 2−m =3，解得m =−2或6，舍去．综上可得，存在实数m =6，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．小提示：本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最值，对称轴，单调性等性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．。