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四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）.1．（5分）已知集合A={x |x 2﹣4x +3≤0 }，B=（1，3]，则A ∩B=（ ）A ．[1，3]B ．（1，3]C ．[1，3）D ．（1，3）2．（5分）已知复数z 1=3+i ，z 2=2﹣i ．则z 1﹣z 2=（ ） A ．1B ．2C ．1+2iD ．1﹣2i3．（5分）在等比数列{a n }中，a 3=2，a 6=16，则数列{a n }的公比是（ ） A ．﹣2 B ．C ．2D ．44．（5分）从编号为1，2，3，…，100（编号为连续整数）的100个个体中随机抽取得到编号为10，30，50，70，90的样本，得到这个样本的抽样方法最有可能是（ ） A ．系统抽样B ．分层抽样C ．简单随机抽样D ．先分层再简单随机抽样5．（5分）在△ABC 中，•=，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形6．（5分）已知命题p ：2x ＜2y ，命题q ：log 2x ＜log 2y ，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（5分）运行如图所示的程序框图，输出n 的值为（ ）祝您高考马到成功！A ．5B ．6C ．100D ．1018．（5分）点P 是双曲线x 2﹣=1（b ＞0）上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，|PF 1|+|PF 2|=6，PF 1⊥PF 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ． 2C ．D ．9．（5分）如图，虚线网格小正方形边长为1，网格中是某几何体的三视图，这个几何体的体积是（ ）A ．27﹣πB ．12﹣3πC ．32﹣（﹣1）π D ．12﹣π10．（5分）将函数f （x ）=cosx 的图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数g （x ）的图象，则（ ） A ．g （x ）=cos （x ﹣） B ．g （x ）=cos （x ﹣） C ．g （x ）=cos （2x +）D ．g （x ）=cos （2x ﹣）11．（5分）四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在半径为的球上，四边形ABCD 是祝您高考马到成功！正方形，PA ⊥平面ABCD ，当△PAB 面积最大时，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为（ ） A ．8B ．C ．D ．412．（5分）如图，O 是坐标原点，过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2=2px （p ＞0）于A 、B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x=p 相交于点N ．则|ME |2﹣|NE |2=（ ）A ．2p 2B ．2pC ．4pD ．p二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）. 13．（5分）式子（1+3）n 展开式中，各项系数和为16，则xdx= ．14．（5分）已知x ，y 满足，则2x +y 的最大值是 ．15．（5分）已知函数f （x ）=mlnx ﹣x （m ∈R ）有两个零点x 1、x 2（x 1＜x 2），e=2.71828…是自然对数的底数，则x 1、x 2、e 的大小关系是 （用“＜”连接）． 16．（5分）在锐角△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，AC=，•的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知向量=（sin2x ，cos2x ），=（，﹣），f （x ）=•．（1）求函数f （x ）的周期； （2）在△ABC 中，f （A ）=，AB=2，BC=2，求△ABC 的面积S ．18．（12分）在数列{a n }中，a 1=1，当n ＞1时，2a n +a n a n ﹣1﹣a n ﹣1=0，数列{a n }的祝您高考马到成功！前n 项和为S n ．求证： （1）数列{+1} 是等比数列；（2）S n ＜2．19．（12分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1，41]（单位：万元）上，从这1000名中随机抽取100名，得到这100名年收入x（万元，下同）的频率分布直方图，如图，这些数据区间是[1，5]，…，（37，41]．已接受职业技术教育未接受职业技术教育总计个人年收入超过17万元340个人年收入不超过17万元总计6001000（1）从这100名年收入在（33，41]上的返乡创业人员中随机抽取 3 人，其中收入在（37，41]上有ξ人，求随机变量ξ的分布列和Eξ；（2）调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育，其中340人个人年收入超过 17 万元．请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表，是否有99%握认为该市这 1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由． 参考公式及数据K 2检验临界值表：K 2=（其中n=a +b +c +d ） P （K 2≥k 0） 0.050.0250.0100.0050.001k 03.841 5.0246.6357.879 10.828祝您高考马到成功！20．（12分）已知，如图，四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ． EF 是平面ABCD外的一条直线，△ADE 是等边三角形，平面ADE ⊥平面ABCD ，AB ∥EF ∥DC ，AB=2，EF=3，DC=AD=4．（1）求证：平面BCF ⊥平面ABCD ；（2）求平面ADE 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值．21．（12分）已知函数f （x ）=lnx ﹣ax +a （a ∈R ）．（1）当a=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）记[a ]表示不超过实数a 的最大整数，不等式f （x ）≤x 恒成立，求[a ]的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4参数方程与极坐标22．（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系．已知直线l ：（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0，l 与C 相交于两点A 、B ． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）已知M （0，﹣1），求|MA |•|MB |的值．祝您高考马到成功！选修4-5不等式选讲23．已知正数a，b，c满足：a+b+c=1，函数f（x）=|x﹣|+|x+|．（1）求函数f（x）的最小值；（2）求证：f（x）≥9．！功成到马考高您祝四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）.1．（5分）已知集合A={x |x 2﹣4x +3≤0 }，B=（1，3]，则A ∩B=（ ） A ．[1，3] B ．（1，3] C ．[1，3） D ．（1，3）【解答】解：∵集合A={x |x 2﹣4x +3≤0 }={x |1≤x ≤3}， B=（1，3]， ∴A ∩B=（1，3]． 故选：B ．2．（5分）已知复数z 1=3+i ，z 2=2﹣i ．则z 1﹣z 2=（ ）A ．1B ．2C ．1+2iD ．1﹣2i【解答】解：∵z 1=3+i ，z 2=2﹣i ，∴z 1﹣z 2=（3+i ）﹣（2﹣i ）=1+2i ．故选：C ．3．（5分）在等比数列{a n }中，a 3=2，a 6=16，则数列{a n }的公比是（ ） A ．﹣2 B ．C ．2D ．4【解答】解：根据题意，等比数列{a n }中，a 3=2，a 6=16， 则q 3==8，解可得q=2； 故选：C ．4．（5分）从编号为1，2，3，…，100（编号为连续整数）的100个个体中随机抽取得到编号为10，30，50，70，90的样本，得到这个样本的抽样方法最有可祝您高考马到成功！能是（ ） A ．系统抽样B ．分层抽样C ．简单随机抽样D ．先分层再简单随机抽样【解答】解：根据题意，抽取的样本间隔相等，为20； 则这个样本的抽样方法最有可能是系统抽样． 故选：A ．5．（5分）在△ABC 中，•=，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形 【解答】解：∵•=， ∴•﹣=•（﹣）=•=0，∴⊥，∴C=90°，∴△ABC 是直角三角形， 故选D6．（5分）已知命题p ：2x ＜2y ，命题q ：log 2x ＜log 2y ，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【解答】解：∵命题p ：2x ＜2y ，∴x ＜y ，∵命题q ：log 2x ＜log 2y ，∴0＜x ＜y ， ∴命题p 是命题q 的必要不充分条件． 故选：B ．7．（5分）运行如图所示的程序框图，输出n 的值为（ ）祝您高考马到成功！A ．5B ．6C ．100D ．101【解答】解：第一次执行循环体后，T=0，n=2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，T=lg2，n=3，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，T=lg6，n=4，不满足退出循环的条件； 第四 次执行循环体后，T=lg24，n=5，不满足退出循环的条件； 第五次执行循环体后，T=lg120，n=6，满足退出循环的条件； 故输出的n 值为6， 故选：B8．（5分）点P 是双曲线x 2﹣=1（b ＞0）上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，|PF 1|+|PF 2|=6，PF 1⊥PF 2，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．【解答】解：根据题意，点P 是双曲线x 2﹣=1（b ＞0）上一点，则有||PF 1|﹣|PF 2||=2a=2，设|PF 1|＞|PF 2|，则有|PF 1|﹣|PF 2|=2， 又由|PF 1|+|PF 2|=6， 解可得：|PF 1|=4，|PF 2|=2，又由PF 1⊥PF 2，则有|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2=20， 则c=，祝您高考马到成功！又由a=1，则双曲线的离心率e==；故选：C ．9．（5分）如图，虚线网格小正方形边长为1，网格中是某几何体的三视图，这个几何体的体积是（ ）A ．27﹣πB ．12﹣3πC ．32﹣（﹣1）π D ．12﹣π【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体，挖去一个圆锥所得的组合体，长方体的长，宽，高分别为：2，2，3，体积为：12，圆锥的底面半径为1，高为3，体积为：π，故组合体的体积为：V=12﹣π，故选：D10．（5分）将函数f （x ）=cosx 的图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数g （x ）的图象，则（ ） A ．g （x ）=cos （x ﹣） B ．g （x ）=cos （x ﹣） C ．g （x ）=cos （2x +）D ．g （x ）=cos （2x ﹣）【解答】解：将函数f （x ）=cosx 图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=cos2x 的图象；祝您高考马到成功！再将得到的图象向右平移个单位长度，可得函数y=cos [2（x ﹣）]=cos （2x﹣）的图象；故选：D ．11．（5分）四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在半径为的球上，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，当△PAB 面积最大时，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为（ ）A ．8B ．C ．D ．4【解答】解：如图，∵四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ， ∴BC ⊥面PAB ，CD ⊥面PAD ，∴△PCB ，△PCD ，△PAC 是有公共斜边PC 的直角三角形，取PC 中点O∴OA=OB=OC=OP ，O 为四棱锥P ﹣ABCD 的外接球的球心，直径PC=2， 设四棱锥的底面边长为a ，PA=．△PAB 面积S===3， 当且仅当a 2=12﹣a 2，即a=时，△PAB 面积最大，此时PA=，四棱锥P ﹣ABCD 的体积V==，故选：D，12．（5分）如图，O 是坐标原点，过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2=2px （p ＞0）于A 、B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M祝您高考马到成功！与此抛物线相切的直线与直线x=p 相交于点N ．则|ME |2﹣|NE |2=（ ）A ．2p 2B ．2pC ．4pD ．p【解答】解：过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2=2px （p ＞0）于A 、B 两点为任意的，不妨设直线AB 为x=p ， 由，解得y=±2p ，则A （﹣p ，﹣p ），B （p ，p ），∵直线BM 的方程为y=x ， 直线AM 的方程为y=﹣p ，解得M （﹣p ，﹣p ），∴|ME |2=（2p ）2+2p 2=6p 2，设过点M 与此抛物线相切的直线为y +p=k （x +p ），由，消x 整理可得ky 2﹣2py ﹣2p +2p 2k=0，∴△=4p 2﹣4k （﹣2p +2p 2k ）=0，解得k=，∴过点M 与此抛物线相切的直线为y +p=（x +p ），由，解得N （p ，2p ），∴|NE |2=4p 2，∴|ME |2﹣|NE |2=6p 2﹣4p 2=2p 2， 故选：A祝您高考马到成功！二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）. 13．（5分）式子（1+3）n 展开式中，各项系数和为16，则xdx=．【解答】解：令x=1，则展开式中各项系数和为A n =（1+3）n =22n ，由22n =16，则n=2， ∴xdx=xdx=x 2=[22﹣（﹣1）2]=，故答案为：．14．（5分）已知x ，y 满足，则2x +y 的最大值是 8 ．【解答】解：作出x ，y 满足对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x +y 得y=﹣2x +z ， 平移直线y=﹣2x +z ，由图象可知当直线y=﹣2x +z 经过点A 时，直线y=﹣2x +z 的截距最大，此时z 最大． 由，解得A （3，2），代入目标函数z=2x +y 得z=2×3+2=8．即目标函数z=2x +y 的最大值为：8． 故答案为：8．祝您高考马到成功！15．（5分）已知函数f （x ）=mlnx ﹣x （m ∈R ）有两个零点x 1、x 2（x 1＜x 2），e=2.71828…是自然对数的底数，则x 1、x 2、e 的大小关系是 x 1＜e ＜x 2 （用“＜”连接）．【解答】解：∵函数f （x ）=mlnx ﹣x 有两个零点，∴m ≠0，由方程mlnx ﹣x=0，得mlnx=x ，即lnx=，若m ＜0，两函数y=mlnx 与y=的图象仅有一个交点，不合题意；若m ＞0，设直线y=与曲线y=lnx 相切于（x 0，lnx 0），则，∴切线方程为，把原点坐标（0，0）代入，可得﹣lnx 0=﹣1，即x 0=e ．∵两函数y=mlnx 与y=的图象有两个交点，两交点的横坐标分别为x 1、x 2（x 1＜x 2），∴x 1＜e ＜x 2．故答案为：x 1＜e ＜x 2．16．（5分）在锐角△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，AC=，•的取值范围是 （1，] ．【解答】解：锐角△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，其对应的边分别为a ，b ，c ， ∴2B=A +C ，祝您高考马到成功！又A +B +C=π， ∴B=，由正弦定理可得====2，∴a=2sinA ，c=2sinC=2sin （﹣A ）=2（cosA +sinA ）=cosA +sinA ，∴ac=2sinA （cosA +sinA ）=sin2A +2sin 2A=sin2A ﹣cos2A +1=2sin （2A ﹣）+1， ∵0＜A ＜，0＜﹣A ＜∴＜A ＜∴＜2A ﹣＜， ∴＜sin （2A ﹣）≤1， ∴2＜2sin （2A ﹣）+1≤3，∴2＜ac ≤3， ∵•=accosB=ac ，∴•的取值范围是（1，]故答案为：（1，]三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知向量=（sin2x ，cos2x ），=（，﹣），f （x ）=•．（1）求函数f （x ）的周期； （2）在△ABC 中，f （A ）=，AB=2，BC=2，求△ABC 的面积S ． 【解答】解：（1）由f （x ）=•=sin2x ﹣cos2x=sin （2x ﹣）祝您高考马到成功！∴函数f （x ）的周期T=；（2）由f （A ）=，即sin （2A ﹣）=∵0＜A ＜π，AB=c=2＞BC=a=2，∴A=正弦定理：，可得sinC=，∵0＜C ＜π， ∴C=或． 当C=，则B=，△ABC 的面积S=acsinB=2，当C=，则B=，△ABC 的面积S=acsinB=．18．（12分）在数列{a n }中，a 1=1，当n ＞1时，2a n +a n a n ﹣1﹣a n ﹣1=0，数列{a n }的前n 项和为S n ．求证： （1）数列{+1} 是等比数列；（2）S n ＜2．【解答】证明：（1）数列{a n }中，a 1=1，当n ＞1时，2a n +a n a n ﹣1﹣a n ﹣1=0， 整理得：，转化为：，即：（常数）．则：数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由于数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列，则：，祝您高考马到成功！所以：（n=1符合），则：+…+=1+（1﹣）＜2．19．（12分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1，41]（单位：万元）上，从这1000名中随机抽取100名，得到这100名年收入x（万元，下同）的频率分布直方图，如图，这些数据区间是[1，5]，…，（37，41]．已接受职业技术教育未接受职业技术教育总计个人年收入超过17万元340个人年收入不超过17万元总计6001000（1）从这100名年收入在（33，41]上的返乡创业人员中随机抽取 3 人，其中收入在（37，41]上有ξ人，求随机变量ξ的分布列和Eξ；（2）调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育，其中340人个人年收入超过 17 万元．请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表，是否有99%握认为该市这 1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由．参考公式及数据K 2检验临界值表： K 2=（其中n=a +b +c +d ）P （K 2≥k 0） 0.050.0250.0100.005 0.001k 03.8415.0246.6357.87910.828祝您高考马到成功！【解答】解：（1）收入在（33，37]上的返乡创业人员有100×0.010×4=4人，在（37，41]上的返乡创业人员有100×0.005×4=2人，从这6人中随机抽取 3 人，收入在（37，41]上有ξ人， 则ξ的可能取值为0，1，2； 计算P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==；∴随机变量ξ的分布列为 ξ 012P （ξ）数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1；（2）根据题意，这1000名返乡创业人员中年收入超过 17 万元的人数是 1000×[1﹣（0.01+0.02+0.03+0.04）×4]=600，其中参加职业培训的人数是340人，由此填写2×2列联表如下；已接受职业技术教育 未接受职业技术教育 总计个人年收入超过17万元340260600 个人年收入不超过17万元 260 140400总计6004001000计算K 2=≈6.944＞6.635，所以有99%的把握认为该市这 1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业祝您高考马到成功！技术教育有关．20．（12分）已知，如图，四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ． EF 是平面ABCD 外的一条直线，△ADE 是等边三角形，平面ADE ⊥平面ABCD ，AB ∥EF ∥DC ，AB=2，EF=3，DC=AD=4．（1）求证：平面BCF ⊥平面ABCD ；（2）求平面ADE 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取线段AD 的中点H ，在等腰三角形ADE 中有EH ⊥AD ．又平面ADE ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ，连接GH ，由于AB ∥CD ∥EF ，且AB=2，CD=4，∴在梯形ABCD 中，HG ∥AB 且HG=3，∴HG ∥EF ．又HG=EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形， ∴FG ∥EH 且FG=EH ，∴FG ⊥平面ABCD ． ∵FG ⊂平面BCF ．∴平面BCF ⊥平面ABCD ；（2）解：如图，过G 作MN 平行AD ，交DC 于M ，交AB 延长线于点N ， 连接FM ，则面FMG ∥面ADE∴二面角C ﹣FG ﹣M 等于平面ADE 与平面BCF 所成的锐二面角，∵，∴∠CGM 为所求．∵AB=2，EF=3，DC=AD=4．HG=3 ∴MG=2，CM ﹣1在Rt △CMG 中，GM=2，CG=cos=．祝您高考马到成功！∴平面ADE 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值为．21．（12分）已知函数f （x ）=lnx ﹣ax +a （a ∈R ）． （1）当a=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）记[a ]表示不超过实数a 的最大整数，不等式f （x ）≤x 恒成立，求[a ]的最大值．【解答】解：（1）a=1时，f （x ）=lnx ﹣x +1，（x ＞0）． f′（x ）=﹣1=，令f′（x ）=0，解得x=1．∴x ∈（0，1）时，f′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增； x ∈[1，+∞）时，f′（x ）＜0，此时函数f （x ）单调递减．（2）不等式f （x ）≤x 恒成立，即lnx ﹣（a +1）x +a ≤0恒成立，x ∈（0，+∞）． 令g （x ）=lnx ﹣（a +1）x +a ，x ∈（0，+∞）． g′（x ）=﹣（a +1）．①a ≤﹣1时，g′（x ）＞0，此时函数g （x ）单调递增．而g （e ）=1﹣（a +1）e +a=（1﹣e ）（1+a ）≥0．可得x ＞e 时，g （x ）＞0，不满足题意，舍去． ②a ＞﹣1时，g′（x ）=，可得x=时， 函数g （x ）取得极大值即最大值．=﹣（a +1）×+a=﹣ln （a +1）+a ﹣1，令a +1=t ＞0，h （t ）=﹣lnt +t ﹣2．祝您高考马到成功！h′（t ）=﹣+1=，可得h （t ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．h （3）=﹣ln3+1＜0，h （4）=﹣ln4+2＞0．∴（a +1）max ∈（3，4），∴[a ]=2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4参数方程与极坐标22．（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系．已知直线l ：（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0，l 与C 相交于两点A 、B ． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知M （0，﹣1），求|MA |•|MB |的值．【解答】解：（1）直线l 的方程为：（t 为参数）， 转化为：x ﹣y ﹣1=0．曲线C 的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0， 转化为：x 2+y 2﹣6x +1=0．（2）把直线l 的方程：（t 为参数），代入x 2+y 2﹣6x +1=0得到：，A 点的参数为t 1，B 点的参数的为t 2，则：|MA |•|MB |=t 1•t 2=2．选修4-5不等式选讲23．已知正数a ，b ，c 满足：a +b +c=1，函数f （x ）=|x ﹣|+|x +|． 祝您高考马到成功！（1）求函数f （x ）的最小值；（2）求证：f （x ）≥9．【解答】解（1）f （x ）=|x ﹣|+|x +|=||+|x +| ∵正数a ，b ，c ，且a +b +c=1，则（a +b +c ）（）=3+（）=9 当且仅当a=b=c=时取等号．∴f （x ）的最小值为9．（2）证明：f （x ）=|x ﹣|+|x +|=||+|x +| ∵正数a ，b ，c ，且a +b +c=1，则（a +b +c ）（）=3+（）=9当且仅当a=b=c=时取等号．∴f （x ）≥9．祝您高考马到成功！。
2019年高考数学一诊理科试卷一：选择题.1.若i是虚数单位，复数( )A. B. C. D.【答案】B【分析】将的分子分母都乘以分母的共轭复数，即可化简出．【详解】，故选：B．【点睛】本题考查复数的除法运算，关键是将其分子分母都乘以分母的共轭复数．2.已知命题p：“，”，则命题￢为( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“，”，则命题￢为，．故选：C．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系．3.若双曲线的一条渐近线为，则实数( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程，可得它的渐近线方程为y=±x，比较系数得m=4.【详解】∵双曲线的方程为，∴双曲线的渐近线方程为y=±x又∵一条渐近线方程为y=x∴m=4故选：B【点睛】本题给出双曲线的方程和一条渐近线方程，求参数m的值，属于基础题．4.在中，，，，点D为BC边上一点，且，则( )A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】用,表示出，再利用数量积定义计算可得．【详解】由题意可知D为BC的靠近C的三等分点，∴===，∴===3+×2×cos120°=1．故选：C．【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则、数量积的计算，属于基础题5.如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为6分米，其内有一边长为1分米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖飞镖的大小忽略不计，则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出半径为6分米的圆形图案的面积与圆内接边长为分米的正六边形的面积，利用几何概型求出对应的概率．【详解】半径为6的圆形图案的面积为36π，其圆内接正六边形的面积为：6××1×sin60°=，故所求的概率为：P==．故选：B．【点睛】本题考查了几何概型的应用问题，也考查了圆内接正六边形的面积的计算问题，属于基础题．6.已知函数图象相邻两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】【分析】由函数y=f（x）的图象与性质求出T、ω和φ，写出函数y=f（x）的解析式，再求f（x）的对称轴和对称中心．【详解】由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为4π，所以ω==，所以f（x）=sin（x+φ）；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z；又|φ|＜，所以φ=，所以f（x）=sin（x+），令x+=kπ，k∈Z，解得x=2k﹣，k∈Z；令k=0时，得f（x）的图象关于点（-，0）对称．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，是基础题．7.下列命题错误的是( )A. 不在同一直线上的三点确定一个平面B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C. 如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面【答案】C【解析】【分析】利用公理和线与面的平行和垂直定理及其推论求解．【详解】由公理知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确；由公理知两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B正确；由面面垂直的性质定理知错误，故C不正确；由面面平行的性质定理知正确，故D正确；．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对概念的理解和定理，性质的应用，属于基础题.8.的展开式中不含项的系数的和为( )A. 33B. 32C. 31D.【答案】A【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为5求出展开式中x5的系数，令x=1求出所有系数和，从而用所有的项的和减去指出的项的系数即可．【详解】通项公式为T r+1=令r=5，∴T6=．令x=1，则所有系数和为25=32∴不含x5项的所有项的系数和为32+1=33故选：A【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，关键是写出二项展开式的通项公式和赋值法的应用，属于基础题．9.某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为A. 15B. 30C. 35D. 42【答案】B【解析】【分析】本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有C21C52种；不含有甲的选法有C53种，根据分类计数原理得到结果．【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有C21C52种，不含有甲的选法有C53种，共有C21C52+C53=30（种），故选：B．【点睛】本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解，不然不能保证发言的3人来自3家不同企业，属于基础题.10.已知直线与抛物线C：及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知直线l过抛物线的焦点，得m=-k，过M做MM′⊥准线x=﹣1，垂足为M′由∠M′MN与直线l倾斜角相等，根据抛物线的定义即可求得tan∠M′MN，即可求得k的值，进而得m．【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），因为所以直线l：y=kx+m过抛物线的焦点，所以m=-k,过M做MM′⊥准线x=﹣1，垂足为M′，由抛物线的定义，丨MM′丨=丨MF丨，由∠M′MN与直线l倾斜角相等，由，则cos∠M′MN=，则tan∠M′MN=±，因为∴直线l的斜率k=，即m=-故选：B．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义和同角三角函数的关系，属于中档题．11.已知正项等比数列的前n项和，满足，则的最小值为A. B. 3 C. 4 D. 12【答案】D【解析】【分析】根据题意，设该等比数列的首项为a1，第二项为a2，公比为q，由S4﹣2S2=3得S4﹣2S2=（q2﹣1）（a1+a2）=3，进而可得q＞1，且a1+a2=，又由S6﹣S4=q4×（a1+a2）=q4×=3[（q2﹣1）++2]，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】根据题意，设该等比数列的首项为a1，第二项为a2，公比为q，若S4﹣2S2=3，则有S4﹣2S2=a1+a2+a3+a4-2(a1+a2）=(a3+a4)﹣(a1+a2)=(q2﹣1)(a1+a2)=3，又由数列{a n}为正项的等比数列，则q＞1，则有a1+a2=，则S6﹣S4=（a5+a6）=q4×（a1+a2）=q4×=3[（q2﹣1）++2]≥6+3×2=12；当且仅当q2=2，即q=时等号成立，则S6﹣S4的最小值为12；故选：D．【点睛】本题考查等比数列的性质以及基本不等式的性质以及应用，关键是分析q与（a1+a2）的关系，属于中档题.12.已知函数，则A. 0B. 1009C. 2018D. 2019【答案】B【解析】【分析】因为 f （ ，所以利用 +f （1-x ）=1,计算出的结果.【详解】因为 +f （1-x ）= + + --x - + =+ - x （ -x =1 所以f （ =1=1009 故选：B【点睛】本题考查的是利用 表示的是前 项和，发现函数的自变量和等于1时，其函数和也等于1的规律，这是解题的关键，属于中档题.二：填空题。
达州市普通高中2019届毕业班第一次诊断性考试数学（理科）一、选择题：60分。
1. 已知全集{}0)1(≤-=x x x U ，{}1=A ，则=A C U （ ）A. [0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(]()+∞∞-,10,2. 表示复数i i 1+的点在（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. “m ≥0”是“022≥++m x x 对任意R x ∈恒成立”的（ ）A. 充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.运行如右图所示的程序框图，则输出的x 是（ ）A.-2B.-3C.-4D.-55.在等差数列{a n }中，a n ≠0(n ∈N*)。
角α顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()312,a a a +，则=-+ααααcos sin cos 2sin （ ） A.5 B.4 C.3 D.26. b 是区间[]22,22-上的随机数，直线b x y +-=与圆122=+y x 有公共点的概率为（ ）A. 31B.43C.21D.417. 右图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体体积为（图片依次从左到右为正视图、侧视图、俯视图）（ ）A.4πB.2πC.34π D.π 8. 扇形OAB 的半径为1，圆心角为90°，P 是AB 上的动点，()OB OA OP -∙的最小值是（ ）A. -1B.0C.- 2D.129. 函数)20100)(sin()(πϕωϕω＜＜，＜＜+=x x f 图像经过(0,22)，它的一条对称轴是8π=x ，则=ω（ ）A.12B.1C.2D.8 10.函数)1(log 2+=x y 与函数2332x x y +-=在区间[0,1]上的图像大致是（ ）11.已知椭圆)0(1:2222＞＞b a by a x C =+的左右焦点分别为21F F 、，抛物线)0,(42222＞c b a c cx y -==与椭圆C 在第一象限的交点为P ，若54cos 21=∠F PF ，则椭圆C 的离心率为（ ） A. 215- B.22-3或223+ B. 21-3 D.97-4或974+ 12.若⎪⎩⎪⎨⎧-≤+++--=ax x x x a x x a x a a x x f ＞，＜ln 0,)12(ln )1(21)(2是),0(+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. []e ，1B.[)+∞,eC.],0(23e D.],1[23e 二、填空题：20分。
四川省达州市2019-2020学年高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个C ．4个D ．7个【答案】B 【解析】 【分析】由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．92D ．92+【答案】B 【解析】 【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值. 【详解】解：曲线y =O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB 的方程为30x y -+=，可得||AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为=，则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．3．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集.【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba =，令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题. 4．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r（ ）.A ．7388BA BC -u u u r u u u rB ．3788BA BC -u u u r u u u r C ．3788BA BC +u u u r u u u rD ．7388BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u ur u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可. 【详解】因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u ur u u u r133()244BC BA BC -+-=u u ur u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题. 6．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-【答案】D 【解析】 【分析】由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2故选：D ． 【点睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．7．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sina ＞sinb B ．c a ＞c b C ．a c ＜b c D ．11c c b a--＜ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性逐项判断即可 【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina 与sinb 大小不确定，故错误； 对B,因为y ＝c x 为增函数，且a ＞b ，所以c a ＞c b ，正确 对C,因为y ＝x c 为增函数,故c c a b > ，错误； 对D, 因为1c y x -=在()0,∞+为减函数，故11c c b a--> ，错误 故选B ． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．8．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．4【答案】B 【解析】 【分析】因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！9．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根， 则在[0,5]上有4个不同的实数根， 当直线y kx =经过(4,1)时，14k =； 当直线y kx =经过(5,1)时，15k =， 可知当1154k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点， 即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y =±B ．3y x =C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A【分析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b =，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>可知，焦点在x 轴上，则双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =， ∴22224c b a b ==+，即：223a b =，3b a =，所以双曲线的渐近线方程为：y x =. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.11．已知集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()A B C ⋃ð＝（ ） A ．{2，3，4，5} B ．{2，3，4，5，6} C ．{1，2，3，4，5，6} D ．{1，3，4，5，6，7}【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集、补集的概念，可得结果. 【详解】集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}＝{x ∈N|0＜x ＜8}， 所以集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7} B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}， 故A C ð＝{1，4，5，6}，所以()A B C ⋃ð＝{1，2，3，4，5，6}. 故选：C.本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.12．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得955a a a =，从而得到53a =，再由53a =就可以得出其它各项的值，进而判断出9S 的范围． 【详解】解：i j a a +Q ，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，29a a ∴+或者29a a 或者92a a 是该数列中的项， 又Q 数列{}n a 是递增数列， 1239a a a a ∴<<<⋯<， 299a a a ∴+>，299a a a >，只有92a a 是该数列中的项， 同理可以得到93a a ，94a a ，..，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<⋯<<， ∴955a a a =，53a ∴=或53a =-（舍)，63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =，同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7483a =，94912914133613S a a a -∴=++⋯+=<-，故选：D ． 【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={x|x(x−1)≤0}，A={1}，则∁U A=()A. [0,1]B. (0,1)C. [0,1)D. (−∞,0]∪(1，+∞)【答案】C【解析】解：全集U={x|x(x−1)≤0}=[0,1]，A={1}，则∁U A=[0,1)故选：C．根据补集的定义求出A补集即可此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2.复平面内表示复数1+ii的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】解：复平面内表示复数1+ii =i(1+i)i⋅i=1−i，对应点为：(1,−1)在第四象限．故选：D．直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，是基础题．3.“m≥0”是“x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立⇔△≤0⇔m≥1，∵m≥0推不出m≥1，m≥1⇒m≥0，∴“m≥0”是“x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的必要不充分条件．故选：C．根据充分条件和必要条件的定义结合判别式的解法进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据判别式的解法是解决本题的关键．4.运行如图所示的程序框图，输出的x是()A. −2B. −3C. −4D. −5【答案】A【解析】解：模拟运行如图所示的程序框图知，该程序运行后输出的x=9−8−3=−2．故选：A．模拟运行如图所示的程序框图，即可得出该程序运行后输出的x值．本题考查了程序框图的理解与应用问题，是基础题．5.在等差数列{a n}中，a n≠0(n∈N∗).角α顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(a2,a1+a3)，则sinα+2cosαsinα−cosα=()A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】解：角α顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(a2,a1+a3)，可得tanα=a1+a3a2=2a2a2=2，则sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1=2+22−1=4．故选：B．运用任意角三角函数的定义和同角公式，注意弦化切方法，结合等差数列中项性质，即可得到所求值．本题考查任意角三角函数的定义和同角公式的运用，考查等差数列中项性质，考查运算能力，属于基础题．6.b是区间[−22,22]上的随机数，直线y=−x+b与圆x2+y2=1有公共点的概率为()A. 13B. 34C. 12D. 14【答案】C【解析】解：b是区间[−22,22]上的随机数.即−22≤b≤22，区间长度为42，由直线y=−x+b与圆x2+y2=1有公共点可得，2≤1，∴−2≤b≤2，区间长度为22，直线y=−x+b与圆x2+y2=1有公共点的概率P=242=12，故选：C．利用圆心到直线的距离小于等半径可求出满足条件的b，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．本题主要考查了直线与圆的位置关系，与长度有关的几何概型的求解．7.如图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为()A. 4πB. 2πC. 4π3D. π【答案】B【解析】解：应用可知几何体的直观图如图：是圆柱的一半，可得几何体的体积为：12×12π×4=2π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．8.扇形OAB的半径为1，圆心角为90∘，P是AB上的动点，OP⋅(OA−OB)的最小值是()A. 0B. −1C. −2D. 12【答案】B【解析】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；设点P(x,y)，则0≤x≤10≤y≤1x2+y2=1；∴OP=(x,y)，OA=(1,0)，OB=(0,1)，∴OP⋅(OA−OB)=x−y；由图形可知，当x=0，y=1时，上式取得最小值是−1．故选：B．建立平面直角坐标系，用坐标表示向量OP、OA和OB，求出OP⋅(OA−OB)的最小值．本题考查了平面向量的数量积应用问题，利用坐标表示便于计算，是基础题．9.函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π2)图象经过(0,22)，它的一条对称轴是x=π8，则ω=()A. 12B. 1C. 2D. 8【答案】C【解析】解：∵f(x)图象经过(0,22)，∴f(0)=sinφ=22，∵0<φ<π2，∴φ=π4，即f(x)=sin(ωx+π4)，∵f(x)的一条对称轴是x=π8，∴π8ω+π4=π2+kπ，k∈Z，即ω=2+8k，k∈Z，∵0<ω<10，∴当k=0时，ω=2，故选：C．根据图象过(0,22)，代入求出φ的值，结合对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数的性质，结合图象过定点，以及三角函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．10.函数y=log2(x+1)与函数y=−2x3+3x2在区间[0,1]上的图象大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：由y=−2x3+3x2得：y′=−6x2+6x，得：y″=−12x+6，当0<x<12时，y″>0，即函数图象在此区间越来越陡峭，当12<x<1时，y″<0，即函数图象在此区间越来越平缓，故选：A．函数的一阶导的正负号可探究函数的增减性，函数的二阶导的正负号可研究函数图象的陡峭与平缓，当y″>0时，函数图象越来越陡峭，当y″<0时，函数图象越来越平缓，本题中由y=−2x3+3x2，得：y″=−12x+6，当0<x<12时，y″>0，即函数图象在此区间越来越陡峭，当12<x<1时，y″<0，即函数图象在此区间越来越平缓，故可得解本题考查了函数的图象及用函数二阶导研究函数陡峭及平缓程度，属中档题．11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，抛物线y2=4cx(c2=a2−b2,c>0)与椭圆C在第一象限的交点为P，若cos∠PF1F2=45，则椭圆C的离心率为()A. 5−12B. 3− 22或3+ 22C. 3−12D. 4− 79或4+ 79【答案】D 【解析】解：作抛物线的准线l ，则直线l 过点F 1，过点P 作PE 垂直于直线l ，垂足为点E ，由抛物线的定义知|PE |=|PF 2|，易知，PE //x 轴，则∠EPF 1=∠PF 1F 2，∴cos ∠EPF 1=cos ∠PF 1F 2=|PE ||PF 1|=|PF 2||PF 1|=45， 设|PF 1|=5t (t >0)，则|PF 2|=4t ，由椭圆定义可知，2a =|PF 1|+|PF 2|=9t ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|PF 2|2=|PF 1|2+|F 1F 2|2−2|PF 2|⋅|F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，整理得|F 1F 2|2−8t |F 1F 2|+9t 2=0，解得|F 1F 2|=(4+ 7)t 或|F 1F 2|=(4− 7)t ．当|F 1F 2|=(4+ 7)t 时，2c2a =4+ 79； 当|F 1F 2|=(4− 7)t 时，离心率为e =2c2a =4− 79． 综上所述，椭圆C 的离心率为4− 79或4+ 79． 故选：D ． 作PE 垂直于抛物线的准线l 于点E ，由抛物线的定义得出cos ∠EPF 1=|PE ||PF 1|=|PF 2||PF 1|=45，并设|PF 1|=5t (t >0)，则|PF 2|=4t ，由椭圆定义可得出2a ，在△PF 1F 2中利用余弦定理可求出2c 的值，可得出椭圆C 的离心率的值．本题考查椭圆的性质，考查抛物线的定义以及余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．12. 若f (x )=−12x 2−a (a +1)ln x +(2a +1)x ,0<x ≤a x −x ln x ,x >a是(0,+∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. [1,e ]B. [e ,+∞)C. (0,e 32]D. [1,e 32] 【答案】D 【解析】解：当x >a 时，f (x )=x −x ln x 的导数为f ′(x )=1−1−ln x =−ln x ，由题意可得−ln x ≤0，即x ≥1在x >a 恒成立，可得a ≥1，①由0<x ≤a 时，f (x )=−12x 2−a (a +1)ln x +(2a +1)x的导数为f ′(x )=−x −a (a +1)x +2a +1=−(x−a )(x−a−1)x ，由f ′(x )≤0，解得x ≥a +1或0<x ≤a 在0<x ≤a 恒成立，即有a >0，②由f (x )为(0,+∞)上的减函数，可得−12a 2−a (a +1)ln a +(2a +1)a ≥a −a ln a ，即为ln a ≤32，可得0<a ≤e 32③由①②③可得a 的范围是1≤a ≤e 32．故选：D ．分别考虑x >a ，0<x ≤a 时，f (x )的导数，由导数小于等于0恒成立，可得a 的范围；再由函数的连续性，可得−12a 2−a (a +1)ln a +(2a +1)a ≥a −a ln a ，解不等式可得所求范围．本题考查函数的单调性的定义和应用，考查导数的运用：求单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若(x −2)n 展开式的二项式系数之和为32，则展开式各项系数和为______．【答案】−1【解析】解：由已知可得，2n =32，则n =5．取x =1，可得(x −2)5展开式的各项系数和为(1−2)5=−1．故答案为：−1．由已知可得n ，取x =1得答案．本题考查二项式定理及其应用，关键是明确二项展开式的二项式系数与项的系数，是基础题．14. 若x ，y 满足： x +y −2≤0x −y ≥0y ≥0.，则x +3y 的最大值是______． 【答案】4【解析】解：画出x ，y 满足： x +y −2≤0x −y ≥0y ≥0.的平面区域，如图：由 x −y =0x +y−2=0，解得A (1,1)而z =x +3y 可化为y =−13x +z 3，由图象得直线过A (1,1)时z 最大，z 的最大值是：4，故答案为：4．先画出满足条件的平面区域，求出A 的坐标，结合图象求出z 的最大值即可．本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．15.三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=23，球O的体积为______．【答案】36π【解析】解：如下图所示，∵PA、PB、PC两两垂直，且PA∩PB=P，∴PC⊥平面PAB，∵PA=PB=2，所以，△PAB的外接圆直径为斜边AB= PA2+PB2=26，所以，球O的直径为2R= PC2+AB2=6，则R=3，因此，球O的体积为43πR3=43π×33=36π．故答案为：36π．先证明PC⊥平面PAB，并计算出△PAB的外接圆直径AB，然后利用公式2R= PC2+AB2计算出球O的半径R，最后利用球体体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，同时也考查了直线与平面垂直的判定定理，考查推理能力与计算能力，属于中等题．16.记[x]为不超过x的最大整数，如[0.8]=0，[3]=3，当0≤x<2π时，函数f(x)=sin([x]π+x)的最大值是______【结果可用三角函数表示(如sin1)】【答案】−sin5【解析】解：当0≤x<1时，f(x)=sin([x]π+x)=sin x，且f(x)∈[0,sin1)；当1≤x<2时，f(x)=sin([x]π+x)=sin(π+x)=−sin x，由sin1<sin2，可得f(x)∈[−1,−sin1]；当2≤x<3时，f(x)=sin([x]π+x)=sin(2π+x)=sin x，由sin1<sin2，可得f(x)∈(sin3,sin2]；当3≤x<4时，f(x)=sin([x]π+x)=sin(3π+x)=−sin x，可得f(x)∈[−sin3,−sin4)；当4≤x<5时，f(x)=sin([x]π+x)=sin(4π+x)=sin x，可得f(x)∈(sin5,sin4]；当5≤x<6时，f(x)=sin([x]π+x)=sin(5π+x)=−sin x，可得f(x)∈(−sin6,−sin5]；当6≤x<2π时，f(x)=sin([x]π+x)=sin(6π+x)=sin x，可得f(x)∈[sin6,0)．由−sin1<0，sin4<0，sin2=sin(π−2)，−sin5=sin(2π−5)，而0<π−2<2π−5<π2，可得sin(π−2)<sin(2π−5)，即0<sin2<−sin5，可得f(x)的最大值为−sin5．故答案为：−sin5．由新定义，讨论当0≤x<1时，当1≤x<2时，当2≤x<3时，当3≤x<4时，当4≤x<5，当5≤x<6，当6≤x<2π时，结合诱导公式化简f(x)，再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查正弦函数的图象和性质，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且cos2A+cos B cos C+1=sin B sin C．(1)求角A；(2)若a=7，c=2，求b．【答案】解：(1)由题意得：cos2A+cos B cos C+1=sin B sin C，整理后：cos2A+1=sin B sin C−cos B cos C=−cos(B+C)=cos A=2cos A2−1+1，化简结果后得cos A=12．∵A∈(0,π)，∴A=π3．(2)由余弦定理得：cos A=b2+c2−a22bc，由于若a=7，c=2，整理得：b2−2b−3=0，解得：b=3或b=−1，又∵b>0，∴b=3．【解析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变变换求出A的值．(2)利用(1)的结论和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.S n是等差数列{a n}的前n项和，S10=100，a3+a4=12．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}是等比数列，b n>0(n∈N∗)，b1=1a2+1,b3=1S4，T n是数列{b n}的前n项和，求证：b n+T n=12恒成立．【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵S10=100，a3+a4=12，∴10a1+10×92d=100(a1+2d)+(a1+3d)=12，解得a1=1，d=2，∴a n=a1+(n−1)d=2n−1；∴通项公式为a n=2n−1；(2)证明：等比数列{b n}的公比设为q，由b n>0，可得q>0，b1=1a2+1,b3=1S4，由S n=12n(1+2n−1)=n2，可得b1=14，b3=116，即有q2=14，即q=12，T n=14(1−12n)1−12=12−12，b n=14⋅(12)n−1=(12)n+1，可得b n+T n=12恒成立．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到身心和公差，可得所求通项公式；(2)设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式和求和公式，可得证明．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.如图，四边形ABCD是正方形，G是线段AD延长线一点，AD=DG，PA⊥平面ABCD，BE//AP，BE=12AP，F是线段PG的中点；(1)求证：EF⊥平面PAC；(2)若PA=AB=2时，求平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值．【答案】(1)证明：分别连接DB，DF，∵D，F分别是线段AG，PG的中点，∴DF=12AP，DF//AP，又∵BE=12AP，BE//AP，∴四边形BDFE为平行四边形．∴BD//EF．∵四边形ABCD时正方形，∴DB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA，AC是面PAC内两两相交直线，∴DB⊥面PAC，∴EF⊥平面PAC；(2)解：分别以直线AB，AG，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∵PA=AB=2，∴F(0,2，1)，C(2,2，0)，P(0,0，3)，CF=(−2,0,1)，FP=(0,2,1)．设平面PCF的法向量n=(x,y,z)，由n⋅CF=−2x+z=0 n⋅FP=−2y+z=0．∴n=(1,2,1)．平面PAG的法向量为AB=(2,0,0)cos<n,AB>=6×2=66．∴平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值为66．【解析】(1)分别连接DB，DF，可得四边形BDFE为平行四边形，BD//EF.又DB⊥面PAC，即可得EF⊥平面PAC；(2)分别以直线AB，AG，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PCF的法向量n=(x,y,z)，平面PAG的法向量为AB=(2,0,0)，即可得平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面所成角的求解，考查转化思想以及空间想象能力逻辑推理能力的应用．20.对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量T(单位：吨)的频率分布直方图，如图一．(1)根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量T ；(2)已知该居民月用水量T 与月平均气温t (单位：℃)的关系可用回归直线T =0.4t +2模拟.2017年当地月平均气温t 统计图如图二，把2017年该居民月用水量高于和低于T 月的月份分为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，这2个月中该居民有ξ个月每月用水量超过T 月，视频率为概率，求出Eξ．【答案】解：(1)由图一可知，该居民月平均用水量约为T 月=(0.0375×2+0.05×6+0.075×10+0.05×14+0.0375×18)×4=10(吨)； (2)由回归直线方程T =0.4t +2知，T 月对应的月平均气温约为t =(10−2)÷0.4=20， 再根据图二可得，该居民2017年5月和10月的用水量刚好为T 月， 且该居民2017年→4个月用水量高于T 月，有6个月低于T 月，因此用分层抽样的方法选取5个月，有2个月高于T 月，有3个月低于T 月， 则随机变量ξ的可能取值为0，1，2； 计算P (ξ=0)=C 32C 52=310，P (ξ=1)=C 21⋅C 31C 52=610=35，P (ξ=2)=C 22C 52=110；故ξ的分布列如下表：数学期望E (ξ)=0×310+1×35+2×110=45． 【解析】(1)由图一计算该居民月平均用水量即可；(2)由回归直线方程和图二，利用分层抽样法得出随机变量ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．21. 已知a >0，函数f (x )=ax 2−x −ln x ，g (x )=ln x ．(1)求证：g (x )<x ；(2)讨论函数y =f (x )零点的个数．【答案】证明：(1)设G (x )=g (x )−x ，则G (x )=ln x −x ， ∴x >0，且G ′(x )=1x −1=1−x x，当0<x <1时，G ′(x )>0，G (x )递增， 当x >1时，G ′(x )<0，G (x )递减，∵G ′(1)=0，∴G (x )最大=G (x )极大=G (1)=−1<0， ∴G (x )=g (x )−x <0， ∴g (x )<x ．解：(2)∵f (x )=ax 2−x −ln x ，(a >0)， ∴x >0，f ′(x )=2ax 2−x−1x，∵(−1)2+8a >0，∴方程2ax 2−x −1=0有两个不相等的实根，分别为x 1，x 2(x 1<x 2, ∴f ′(x )=a (x−x 1)(x−x 2)x，且x 1x 2=−12a <0，∴x 1<0<x 2，当0<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )递减，当x >x 2时，f ′(x )>0，f (x )递增，∵f ′(x 2)=0，∴f (x )min =f (x 2)=ax 22−x 2−ln x 2， ∵2ax 22+x 2−1=0，即ax 22=12x 2+12， ∴f (x )min =−12x 2−ln x 2+12．设F (x )=−12x −ln x +12，则F ′(x )=−12−1x <0，∴F (x )是减函数， 当x 1=1，即a =22x 22+12x 2=1时，f (x )min =0，函数y =f (x )只有一个零点，当0<x 2<1，即a =12x 22+12x 2=12(1x 2+12)2−18>1时，f (x )min >0，函数f (x )没有零点，当x 2>1，即a ∈(0,1)时，f (x )min <0，且x 2=1+ 1+8a4a， 由(1)知ln x <x ，∴f (x )=ax 2−x −ln x >ax 2−x −x =ax (x −2a )， 若a >2a ，则有f (x )>0，∵x 2=1+ 1+8a4a<2a，∴函数y =f (x )有且只有一个大于x 2的零点，又f (1e )=ae 2−1e +1>0，即函数y =f (x )在区间(0,x 2)有且只有一个零点， 综上，当0<a <1时，函数f (x )有两个零点；当a =1时，函数f (x )只有一个零点， 当a >1时，函数y =f (x )没有零点．【解析】(1)设G (x )=g (x )−x ，则G (x )=ln x −x ，从而x >0，且G ′(x )=1x −1=1−x x，利用导数性质能证明g (x )<x ． (2)x >0，f ′(x )=2ax 2−x−1x ，由(−1)2+8a >0，得到方程2ax 2−x −1=0有两个不相等的实根，设F (x )=−12x −ln x +12，则F ′(x )=−12−1x <0，从而F (x )是减函数，由此利用导数性质能求出y =f (x )零点的个数．本题考查不等式的证明，考查函数的零点个数的求法，考查函数性质、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论与整合思想，是中档题．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是 y =2sin α.x =1+2cos α(α为参数)，直线l 的参数方程是 y =t sin β.x =t cos β(t 为参数，0≤β<π).l 与C 相交于A 、B .以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的普通方程和极坐标方程； (2)若|AB |= 13，求β．【答案】解：(1)曲线C 的参数方程是 y =2sin α.x =1+2cos α(α为参数)，转换为直角坐标方程为：(x −1)2+y 2=4． 整理得：x 2+y 2−2x −3=0，转换为极坐标方程为：ρ2−2ρcos θ−3=0．(2)直线l 的参数方程是 y =t sin β.x =t cos β(t 为参数，0≤β<π)．转换为极坐标方程为：θ=β，极径为：ρ1和ρ2， 故： θ=βρ2−2ρcos θ−3=0，转换为：ρ2−2ρcos β−3=0， 所以：ρ1+ρ2=2cos β，ρ1⋅ρ2=−3， 所以：|AB |=|ρ1−ρ2|= 13， 则：4cos 2β+12=13， 解得：cos β=±12，由于：0≤β<π所以：β=π3或2π3．【解析】(1)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用极径和一元二次方程根和系数的关系和三角函数的值求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.设函数f(x)=|2x+2|+|x−3|．(1)解不等式：f(x)≥7；(2)记函数f(x)的最小值为a，已知m>0，n>0，且2m+n=a，求证：1m +2n≥2．【答案】解：(1)∵f(x)=|2x+2|+|x−3|，∴f(x)=−3x+1x<−1x+5−1≤x≤3 3x−1x>3，①当x<−1时，不等式f(x)≥7即为−3x+1≥7，解得，x≤−2，②当−1≤x≤3时，不等式f(x)≥7即为x+5≥7，解得2≤x≤3，③当x>3时，不等式f(x)≥7即为3x−1≥7，解得x>3综上所述，不等式f(x)≥7的解集为(−∞,−2]∪[2,+∞)(2)证明：由(1)可知，a=4，∴2m+n=4，即2m+n4=1，∴1m +2n=14(2m+n)(1m+2n)=14(4+4mn+nm)≥14(4+24mn⋅nm)=2，即1m +2n≥2．【解析】(1)对x分三种情况讨论去绝对值；(2)变形后用基本不等式证明．本题考查了绝对值不等式的解法.属中档题．。
2019年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，，则A. B.C. D. ，【答案】C【解析】解：全集，，则故选：C．根据补集的定义求出A补集即可此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2.复平面内表示复数的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】解：复平面内表示复数，对应点为：在第四象限．故选：D．直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，是基础题．3.“”是“对任意恒成立”的A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：对任意恒成立，推不出，，“”是“对任意恒成立”的必要不充分条件．故选：C．根据充分条件和必要条件的定义结合判别式的解法进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据判别式的解法是解决本题的关键．4.运行如图所示的程序框图，输出的x是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：模拟运行如图所示的程序框图知，该程序运行后输出的．故选：A．模拟运行如图所示的程序框图，即可得出该程序运行后输出的x值．本题考查了程序框图的理解与应用问题，是基础题．5.在等差数列中，角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】解：角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，可得，则．故选：B．运用任意角三角函数的定义和同角公式，注意弦化切方法，结合等差数列中项性质，即可得到所求值．本题考查任意角三角函数的定义和同角公式的运用，考查等差数列中项性质，考查运算能力，属于基础题．6.b是区间上的随机数，直线与圆有公共点的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：b是区间上的随机数即，区间长度为，由直线与圆有公共点可得，，，区间长度为，直线与圆有公共点的概率，故选：C．利用圆心到直线的距离小于等半径可求出满足条件的b，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．本题主要考查了直线与圆的位置关系，与长度有关的几何概型的求解．7.如图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：应用可知几何体的直观图如图：是圆柱的一半，可得几何体的体积为：．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．8.扇形OAB的半径为1，圆心角为，P是上的动点，的最小值是A. 0B.C.D.【答案】B【解析】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；设点，则；，，，；由图形可知，当，时，上式取得最小值是．故选：B．建立平面直角坐标系，用坐标表示向量、和，求出的最小值．本题考查了平面向量的数量积应用问题，利用坐标表示便于计算，是基础题．9.函数图象经过，它的一条对称轴是，则A. B. 1 C. 2 D. 8【答案】C【解析】解：图象经过，，，，即，的一条对称轴是，，，即，，，当时，，故选：C．根据图象过，代入求出的值，结合对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数的性质，结合图象过定点，以及三角函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．10.函数与函数在区间上的图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：由得：，得：，当时，，即函数图象在此区间越来越陡峭，当时，，即函数图象在此区间越来越平缓，故选：A．函数的一阶导的正负号可探究函数的增减性，函数的二阶导的正负号可研究函数图象的陡峭与平缓，当时，函数图象越来越陡峭，当时，函数图象越来越平缓，本题中由，得：，当时，，即函数图象在此区间越来越陡峭，当时，，即函数图象在此区间越来越平缓，故可得解本题考查了函数的图象及用函数二阶导研究函数陡峭及平缓程度，属中档题．11.已知椭圆：的左右焦点分别为、，抛物线与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】解：作抛物线的准线l，则直线l过点，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知，易知，轴，则，，设，则，由椭圆定义可知，，在中，由余弦定理可得，整理得，解得或．当时，；当时，离心率为．综上所述，椭圆C的离心率为或．故选：D．作PE垂直于抛物线的准线l于点E，由抛物线的定义得出，并设，则，由椭圆定义可得出2a，在中利用余弦定理可求出2c的值，可得出椭圆C的离心率的值．本题考查椭圆的性质，考查抛物线的定义以及余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．12.若是上的减函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：当时，的导数为，由题意可得，即在恒成立，可得，由时，的导数为，由，解得或在恒成立，即有，由为上的减函数，可得，即为，可得由可得a的范围是．故选：D．分别考虑，时，的导数，由导数小于等于0恒成立，可得a的范围；再由函数的连续性，可得，解不等式可得所求范围．本题考查函数的单调性的定义和应用，考查导数的运用：求单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若展开式的二项式系数之和为32，则展开式各项系数和为______．【答案】【解析】解：由已知可得，，则．取，可得展开式的各项系数和为．故答案为：．由已知可得n，取得答案．本题考查二项式定理及其应用，关键是明确二项展开式的二项式系数与项的系数，是基础题．14.若x，y满足：，则的最大值是______．【答案】4【解析】解：画出x，y满足：的平面区域，如图：由，解得而可化为，由图象得直线过时z最大，z的最大值是：4，故答案为：4．先画出满足条件的平面区域，求出A的坐标，结合图象求出z的最大值即可．本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．15.三棱锥的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，，球O的体积为______．【答案】【解析】解：如下图所示，、PB、PC两两垂直，且，平面PAB，，所以，的外接圆直径为斜边，所以，球O的直径为，则，因此，球O的体积为．故答案为：．先证明平面PAB，并计算出的外接圆直径AB，然后利用公式计算出球O的半径R，最后利用球体体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，同时也考查了直线与平面垂直的判定定理，考查推理能力与计算能力，属于中等题．16.记为不超过x的最大整数，如，，当时，函数的最大值是______【结果可用三角函数表示如】【答案】【解析】解：当时，，且；当时，，由，可得；当时，，由，可得；当时，，可得；当时，，可得；当时，，可得；当时，，可得．由，，，，而，可得，即，可得的最大值为．故答案为：．由新定义，讨论当时，当时，当时，当时，当，当，当时，结合诱导公式化简，再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查正弦函数的图象和性质，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．求角A；若，，求b．【答案】解：由题意得：，整理后：，化简结果后得．，．由余弦定理得：，由于若，，整理得：，解得：或，又，．【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换求出A的值．利用的结论和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.是等差数列的前n项和，，．求数列的通项公式；数列是等比数列，，，是数列的前n项和，求证：恒成立．【答案】解：设等差数列的公差为d，，，，解得，，；通项公式为；证明：等比数列的公比设为q，由，可得，，由，可得，，即有，即，，，可得恒成立．【解析】设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到身心和公差，可得所求通项公式；设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式和求和公式，可得证明．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.如图，四边形ABCD是正方形，G是线段AD延长线一点，，平面ABCD，，，F是线段PG的中点；求证：平面PAC；若时，求平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值．【答案】证明：分别连接DB，DF，，F分别是线段AG，PG的中点，，，又，，四边形BDFE为平行四边形．．四边形ABCD时正方形，，平面ABCD，，，AC是面PAC内两两相交直线，面PAC，平面PAC；解：分别以直线AB，AG，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，，2，，2，，0，，，．设平面PCF的法向量，由．．平面PAG的法向量为．平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值为．【解析】分别连接DB，DF，可得四边形BDFE为平行四边形，又面PAC，即可得平面PAC；分别以直线AB，AG，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PCF的法向量，平面PAG的法向量为，即可得平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面所成角的求解，考查转化思想以及空间想象能力逻辑推理能力的应用．20.对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量单位：吨的频率分布直方图，如图一．根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量；已知该居民月用水量T与月平均气温单位：的关系可用回归直线模拟年当地月平均气温t统计图如图二，把2017年该居民月用水量高于和低于月的月份分为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，这2个月中该居民有个月每月用水量超过月，视频率为概率，求出．【答案】解：由图一可知，该居民月平均用水量约为吨；月由回归直线方程知，月对应的月平均气温约为，再根据图二可得，该居民2017年5月和10月的用水量刚好为月，且该居民2017年个月用水量高于月，有6个月低于月，因此用分层抽样的方法选取5个月，有2个月高于月，有3个月低于月，则随机变量的可能取值为0，1，2；计算，，；故的分布列如下表：数学期望．【解析】由图一计算该居民月平均用水量即可；由回归直线方程和图二，利用分层抽样法得出随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．21.已知，函数，．求证：；讨论函数零点的个数．【答案】证明：设，则，，且，当时，，递增，当时，，递减，，最大极大，，．解：，，，，，方程有两个不相等的实根，分别为，，且，，当时，，递减，当时，，递增，，，，即，．设，则，是减函数，当，即时，，函数只有一个零点，当，即时，，函数没有零点，当，即时，，且，由知，，若，则有，，函数有且只有一个大于的零点，又，即函数在区间有且只有一个零点，综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，当时，函数没有零点．【解析】设，则，从而，且，利用导数性质能证明．，，由，得到方程有两个不相等的实根，设，则，从而是减函数，由此利用导数性质能求出零点的个数．本题考查不等式的证明，考查函数的零点个数的求法，考查函数性质、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论与整合思想，是中档题．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是为参数，直线l的参数方程是为参数，与C相交于A、以直角坐标系xOy的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的普通方程和极坐标方程；若，求．【答案】解：曲线C的参数方程是为参数，转换为直角坐标方程为：．整理得：，转换为极坐标方程为：．直线l的参数方程是为参数，．转换为极坐标方程为：，极径为：和，故：，转换为：，所以：，，所以：，则：，解得：，由于：所以：或．【解析】直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用极径和一元二次方程根和系数的关系和三角函数的值求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.设函数．解不等式：；记函数的最小值为a，已知，，且，求证：．【答案】解：，，当时，不等式即为，解得，，当时，不等式即为，解得，当时，不等式即为，解得综上所述，不等式的解集为证明：由可知，，，即，，即．【解析】对x分三种情况讨论去绝对值；变形后用基本不等式证明．本题考查了绝对值不等式的解法属中档题．。
四川省达州市2019-2020学年高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）A ．2B ．2iC ．4D ．4i 【答案】A【解析】【分析】对复数z 进行乘法运算，并计算得到42z i =+，从而得到虚部为2.【详解】因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意21i =-.2．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．【详解】如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC V 与DBC V 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体A BCD -的球心，∴四面体A BCD -的外接球的半径R ===∴球O 的表面积为220π4π3⨯=． 故选A ．【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．3．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r ”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r ，所以向量m r ，n r 共线且方向相反，所以0m n ⋅<r r ，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r 不共线且反向，所以必要性不成立．所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件．故选B ．【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 4．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件【答案】D对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 的夹角为钝角或平角；对于C 当m=0时，满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断．【详解】选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确； 选项B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C 当m=0时,满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立，因此不正确；选项D 若“()x A B ∈I ”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈U ”，因此“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件，故正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题. 5．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( )A ．13(,)34B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,1)2 【答案】D【解析】【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A -()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点设(),ln 2C m m m m -，0m >，则ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m = 1AC k ∴=- 设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，则23132220AB n n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=- 11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，则1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 本题正确选项：D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.6．已知集合{}2(,)|A x y y x==，{}22(,)|1B x y x y =+=，则A B I 的真子集个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】【分析】求出A B I 的元素，再确定其真子集个数．由2221y x x y ⎧=⎨+=⎩，解得x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，∴A B I 中有两个元素，因此它的真子集有3个．故选：C.【点睛】本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合,A B 都是曲线上的点集．7．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案. 【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=- A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确 故答案选D其中化简三角函数是解题的关键.8．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =I （ ）A ．{}2345，，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，， 【答案】B【解析】【分析】 解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解.【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<< ,B N = 由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=，故选：B.【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.9．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ）A ．3.12B ．3.13C ．3.14D ．3.15 【答案】B【解析】【分析】先利用几何概型的概率计算公式算出x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出π.【详解】因为x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，所以有01x <<，01y <<，若x ，y 能与1构成锐角三角形三边长， 则2211x y x y +>⎧⎨+>⎩，由几何概型的概率计算公式知11435411142000m P n ππ⨯-==-==⨯，【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.10．使得()3nx n N+⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】 二项式展开式的通项公式为r -n 3x n r r C （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B 【考点定位】本题考查二项式定理的应用．11．设集合U =R （R 为实数集），{}|0A x x =>，{}|1B x x =≥，则U A C B =I （ ） A ．{}1|0x x <<B ．{}|01x x <≤C ．{}|1x x ≥D ．{}|0x x > 【答案】A【解析】【分析】根据集合交集与补集运算,即可求得U A C B ⋂.【详解】集合U =R ,{}|0A x x =>,{}|1B x x =≥ 所以{}1U C B x x =< 所以{}{}{}0101U A C B x x x x x x ⋂=⋂<=<<故选:A【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.12．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z z +=（ ） A ．32i + B ．12i + C ．132i - D ．132i +求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】121312z i i z i +--==+. 故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
一诊数学（理）试卷第1页（共4页）达州市普通高中2019届第一次诊断性测试数学试题（理科）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知全集{|(1)0}U x x x =-≤，{1}A =，则UA =A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(,0](1,)-∞+∞2． 表示复数i 1i+的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． “0m ≥”是“220x x m ++≥对任意x ∈R 恒成立”的 A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件4．运行如右图所示的程序框图，输出的x 是A ．2-B ．3-C ．4-D ．5- 5．在等差数列{}n a 中，0 (*)n a n ≠∈N ，角α顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点213(,)a a a +，则sin 2cos sin cos αααα+=- A ．5 B ．4 C ．3D 6．b 是区间[-上的随机数，直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率是A ．13B ．34C ．12D ．14一诊数学（理）试卷第2页（共4页）7．右图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为 A ．4πB ．2πC ．43πD ．π8．扇形OAB 的半径为1，圆心角为90，P 是AB ⌒上的动点，()OP OA OB ⋅-的最小值是 A ．1-B ．0C．D ．129．函数()sin()ωϕ=+f x x (010,0)2ωϕπ<<<<图象经过(0,2，它的一条对称轴是8x π=，则ω=A ．12B ．1C ．2D ．810．函数2log (1)y x =+与函数3223y x x =-+在区间[0,1]上的图象大致是11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，抛物线24y cx =222(,c a b =- 0)c >与椭圆C 在第一象限的交点为P ，若124cos 5PF F ∠=，则椭圆C 的离心率为A ．12B ．3232C D12．若21(1)ln (21),0,()2ln , x a a x a x x a f x x x x x a ⎧⎪--+++<=⎨->⎪⎩≤．是(0,)+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是A ．[1,e]B ．[e,)+∞C ．32(0,e ]D ．32[1,e ]一诊数学（理）试卷第3页（共4页）A B C EF PDG二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若(2)n x -展开式的二项式系数和为32，则展开式各项系数和为 ．14．若x ，y 满足：20,0,0.x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥ ，则3x y +的最大值是．15．三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 上，PA 、PB 、PC 两两垂直，=PA==PB PC O 的体积为 ．16．记[]x 为不超过x 的最大整数，如[0.8]0=，[3]3=，当02x <π≤时，函数()sin([])f x x x =π+的最大值是 ［结果可用三角函数式子（如sin1）表示］． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一） 必考题：共60分． 17．(12分)在斜三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ．cos2cos cos AB C + 1sin sin B C +=． (1) 求角A ；(2) 若a = 2c =，求b ．18．(12分)n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，10100S =，3412+=a a ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 是等比数列，0 (*)n b n >∈N ，1211b a =+，341b S =，n T 是数列{}n b 的前n 和，求证： 12n n b T +=．19．(12分)如图, 四边形ABCD 是正方形，G 是线段AD 延长线一点，AD DG =，PA ⊥平面ABCD ，BE AP ∥，12BE AP =，F 是线段PG 中点．(1)求证：EF ⊥平面PAC ；(2)若2PA AB ==，求平面PCF 与平面PAG 所成锐二面角的余弦值．一诊数学（理）试卷第4页（共4页）20．(12分)对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量(T 单位：吨)的频率分布直方图，如图一．(1) 根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量T 月； (2) 已知该居民月用水量T 与月平均气温t (单位：C)的关系可用回归直线ˆ0.42=+Tt 模拟．2017年当地月平均气温t 统计图如图二，把2017年该居民月用水量高于和低于T 月的月份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，这2个月中该居民有ξ个月每月用水量超过T 月，视频率为概率，求E ξ． 21．(12分)已知0a >，函数2()ln f x ax x x =--，()ln g x x =． (1)求证：()g x x <；(2)讨论函数()y f x =零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos ,(2sin .x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)，直线l 的参数方程是cos ,(sin .x t t y t ββ=⎧⎨=⎩为参数，0)βπ<≤．l 与C 相交于A 、B ．以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求曲线C 的普通方程和极坐标方程； (2) 若||AB =β．23．[选修4-5：不等式选讲](10分)设函数()|22||3|f x x x =++-． (1)解不等式：()7f x ≥；(2)记函数()f x 的最小值为a ，已知0m >，0n >，且2m n a +=，求证：122m n+≥．。
2019年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，，则A. B.C. D. ，【答案】C【解析】解：全集，，则故选：C．根据补集的定义求出A补集即可此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2.复平面内表示复数的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】解：复平面内表示复数，对应点为：在第四象限．故选：D．直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，是基础题．3.“”是“对任意恒成立”的A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：对任意恒成立，推不出，，“”是“对任意恒成立”的必要不充分条件．故选：C．根据充分条件和必要条件的定义结合判别式的解法进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据判别式的解法是解决本题的关键．4.运行如图所示的程序框图，输出的x是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：模拟运行如图所示的程序框图知，该程序运行后输出的．故选：A．模拟运行如图所示的程序框图，即可得出该程序运行后输出的x值．本题考查了程序框图的理解与应用问题，是基础题．5.在等差数列中，角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】解：角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，可得，则．故选：B．运用任意角三角函数的定义和同角公式，注意弦化切方法，结合等差数列中项性质，即可得到所求值．本题考查任意角三角函数的定义和同角公式的运用，考查等差数列中项性质，考查运算能力，属于基础题．6.b是区间上的随机数，直线与圆有公共点的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：b是区间上的随机数即，区间长度为，由直线与圆有公共点可得，，，区间长度为，直线与圆有公共点的概率，故选：C．利用圆心到直线的距离小于等半径可求出满足条件的b，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．本题主要考查了直线与圆的位置关系，与长度有关的几何概型的求解．7.如图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：应用可知几何体的直观图如图：是圆柱的一半，可得几何体的体积为：．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．8.扇形OAB的半径为1，圆心角为，P是上的动点，的最小值是A. 0B.C.D.【答案】B【解析】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；设点，则；，，，；由图形可知，当，时，上式取得最小值是．故选：B．建立平面直角坐标系，用坐标表示向量、和，求出的最小值．本题考查了平面向量的数量积应用问题，利用坐标表示便于计算，是基础题．9.函数图象经过，它的一条对称轴是，则A. B. 1 C. 2 D. 8【答案】C【解析】解：图象经过，，即，的一条对称轴是，，，即，，，当时，，故选：C．根据图象过，代入求出的值，结合对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数的性质，结合图象过定点，以及三角函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．10.函数与函数在区间上的图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：由得：，得：，当时，，即函数图象在此区间越来越陡峭，当时，，即函数图象在此区间越来越平缓，故选：A．函数的一阶导的正负号可探究函数的增减性，函数的二阶导的正负号可研究函数图象的陡峭与平缓，当时，函数图象越来越陡峭，当时，函数图象越来越平缓，本题中由，得：，当时，，即函数图象在此区间越来越陡峭，当时，，即函数图象在此区间越来越平缓，故可得解本题考查了函数的图象及用函数二阶导研究函数陡峭及平缓程度，属中档题．11.已知椭圆：的左右焦点分别为、，抛物线与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】解：作抛物线的准线l，则直线l过点，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知，易知，轴，则，，设，则，由椭圆定义可知，，在中，由余弦定理可得，整理得，解得或．当时，；当时，离心率为．综上所述，椭圆C的离心率为或．故选：D．作PE垂直于抛物线的准线l于点E，由抛物线的定义得出，并设，则，由椭圆定义可得出2a，在中利用余弦定理可求出2c的值，可得出椭圆C的离心率的值．本题考查椭圆的性质，考查抛物线的定义以及余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．12.若是上的减函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：当时，的导数为，由题意可得，即在恒成立，由时，的导数为，由，解得或在恒成立，即有，由为上的减函数，可得，即为，可得由可得a的范围是．故选：D．分别考虑，时，的导数，由导数小于等于0恒成立，可得a的范围；再由函数的连续性，可得，解不等式可得所求范围．本题考查函数的单调性的定义和应用，考查导数的运用：求单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若展开式的二项式系数之和为32，则展开式各项系数和为______．【答案】【解析】解：由已知可得，，则．取，可得展开式的各项系数和为．故答案为：．由已知可得n，取得答案．本题考查二项式定理及其应用，关键是明确二项展开式的二项式系数与项的系数，是基础题．14.若x，y满足：，则的最大值是______．【答案】4【解析】解：画出x，y满足：的平面区域，如图：由，解得而可化为，由图象得直线过时z最大，z的最大值是：4，故答案为：4．先画出满足条件的平面区域，求出A的坐标，结合图象求出z的最大值即可．本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．【答案】【解析】解：如下图所示，、PB、PC两两垂直，且，平面PAB，，所以，的外接圆直径为斜边，所以，球O的直径为，则，因此，球O的体积为．故答案为：．先证明平面PAB，并计算出的外接圆直径AB，然后利用公式计算出球O的半径R，最后利用球体体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，同时也考查了直线与平面垂直的判定定理，考查推理能力与计算能力，属于中等题．16.记为不超过x的最大整数，如，，当时，函数的最大值是______【结果可用三角函数表示如】【答案】【解析】解：当时，，且；当时，，由，可得；当时，，由，可得；当时，，可得；当时，，可得；当时，，可得；当时，，可得．由，，，，而，可得，即，可得的最大值为．故答案为：．由新定义，讨论当时，当时，当时，当时，当，当，当时，中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．求角A；若，，求b．【答案】解：由题意得：，整理后：，化简结果后得．，．由余弦定理得：，由于若，，整理得：，解得：或，又，．【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换求出A的值．利用的结论和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.是等差数列的前n项和，，．求数列的通项公式；数列是等比数列，，，是数列的前n项和，求证：恒成立．【答案】解：设等差数列的公差为d，，，，解得，，；通项公式为；证明：等比数列的公比设为q，由，可得，，由，可得，，即有，即，，，可得恒成立．【解析】设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到身心和公差，可得所求通项公式；设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式和求和公式，可得证明．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.如图，四边形ABCD是正方形，G是线段AD延长线一点，，平面ABCD，，，F是线段PG的中点；求证：平面PAC；若时，求平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值．【答案】证明：分别连接DB，DF，，F分别是线段AG，PG的中点，，，又，，四边形BDFE为平行四边形．．四边形ABCD时正方形，，平面ABCD，，，AC是面PAC内两两相交直线，面PAC，平面PAC；解：分别以直线AB，AG，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，，2，，2，，0，，，．设平面PCF的法向量，由．．平面PAG的法向量为．平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值为．【解析】分别连接DB，DF，可得四边形BDFE为平行四边形，又面PAC，即可得平面PAC；分别以直线AB，AG，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PCF的法向量，平面PAG的法向量为，即可得平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面所成角的求解，考查转化思想以及空间想象能力逻辑推理能力的应用．20.对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量单位：吨的频率分布直方图，如图一．根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量；已知该居民月用水量T与月平均气温单位：的关系可用回归直线模拟年当地月平均气温t统计图如图二，把2017年该居民月用水量高于和低于月的月份分为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，这2个月中该居民有个月每月用水量超过月，视频率为概率，求出．【答案】解：由图一可知，该居民月平均用水量约为吨；月由回归直线方程知，月对应的月平均气温约为，且该居民2017年个月用水量高于月，有6个月低于月，因此用分层抽样的方法选取5个月，有2个月高于月，有3个月低于月，则随机变量的可能取值为0，1，2；计算，，；数学期望．【解析】由图一计算该居民月平均用水量即可；由回归直线方程和图二，利用分层抽样法得出随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．21.已知，函数，．求证：；讨论函数零点的个数．【答案】证明：设，则，，且，当时，，递增，当时，，递减，，最大极大，，．解：，，，，，方程有两个不相等的实根，分别为，，且，，当时，，递减，当时，，递增，，，，即，．设，则，是减函数，当，即时，，函数只有一个零点，当，即时，，函数没有零点，当，即时，，且，由知，，若，则有，，函数有且只有一个大于的零点，又，即函数在区间有且只有一个零点，综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，当时，函数没有零点．【解析】设，则，从而，且，利用导数性质能证明．，，由，得到方程有两个不相等的实根，设，则，从而是减函数，由此利用导数性质能求出零点的个数．本题考查不等式的证明，考查函数的零点个数的求法，考查函数性质、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论与整合思想，是中档题．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是为参数，直线l的参数方程是为参数，与C相交于A、以直角坐标系xOy的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的普通方程和极坐标方程；若，求．【答案】解：曲线C的参数方程是为参数，转换为直角坐标方程为：．整理得：，转换为极坐标方程为：．直线l的参数方程是为参数，．转换为极坐标方程为：，极径为：和，故：，转换为：，所以：，，所以：，则：，解得：，由于：所以：或．【解析】直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用极径和一元二次方程根和系数的关系和三角函数的值求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.设函数．解不等式：；记函数的最小值为a，已知，，且，求证：．【答案】解：，，当时，不等式即为，解得，，当时，不等式即为，解得，当时，不等式即为，解得综上所述，不等式的解集为证明：由可知，，，即，，即．【解析】对x分三种情况讨论去绝对值；变形后用基本不等式证明．本题考查了绝对值不等式的解法属中档题．。
四川省达州市2019-2020学年高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C kkk a x+⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果. 【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立. 故选:B. 【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.2．已知()A ，)B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．x ≥【答案】A 【解析】 【分析】由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解. 【详解】如图，连接OP ，AM ，由题意得22MB MA BQ OP -===，∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，∴1x ≥.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题. 3．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）A ．34B ．33 C ．32D 3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即23AF BF AB +≤，所以33MN AB≤，故选B ． 考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系． 4．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】 因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5cos cos 33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.5．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数x ey a =的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数xey a=的变化趋势，从而得a 的范围．【详解】由题0x e x a->在()0,∞+上恒成立.即xe x a>，xe y a=的图象永远在y x =的上方，设x e y a =与y x =的切点()00,x y ，则01x x e ae xa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，易知a 越小，xey a=图象越靠上，所以0a e <<.故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．6．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的数据分析素养优于甲B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数据分析最差 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项. 【详解】根据雷达图得到如下数据：由数据可知选C. 【点睛】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77 D ．78【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】根据等差数列的性质可得3578125102()3()6666a a a a a a a ++++=+=，即5a +1011a =， 所以1141451014()7()772a a S a a +==+=，故选C ． 8．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可. 【详解】因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==， 因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<，综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.9．已知直线l ：320x y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB V 与OMN V 的面积相等，给出下列直线1l 330x y +-=320x y +-=，③320x y -+=3230x y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==，得出120AOB ∠=︒，根据条件得出O 到直线1l 的距离1d '=或.【详解】解：由已知可得：圆O ：224x y +=的圆心为（0,0），半径为2，则圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==， ∴120AOB ∠=︒，而1//l l ，OAB V 与OMN V 的面积相等， ∴120MON ∠=︒或60︒，即O 到直线1l 的距离1d '=或 根据点到直线距离可知，①②④满足条件. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.10．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B I 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为 A ．()0,2 B ．(]2,4 C ．[)4,+∞ D ．(),0-∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意知{}02A ⊆，且4A ∉，结合数轴即可求得a 的取值范围. 【详解】由题意知，{}=02A B I ，，则{}02A ⊆，，故2a >， 又4A ∉，则4a ≤，所以24a <≤，所以本题答案为B. 【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定A B I 中的元素是解题的关键，属于基础题.11．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin a C A b c +=+，则A =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】 【分析】sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值. 【详解】解：由cos sin a C A b c +=+及正弦定理得sin cos sin sin sin A C C A B C +=+. 因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得sin cos sin sin C A A C C =+.由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.故选：C. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案.【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B .本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
