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第六章_近独立粒子的最概然分布

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第六章近独立粒子的最概然分布习题课

第六章近独立粒子的最概然分布习题课

第六章-近独立粒子的最概然分布(习题课)第六章 近独立粒子的最概然分布(习题课)本章题型一、基本概念：1、粒子相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态、系统微观状态；经典相格与粒子微观状态；系统宏观态与系统微观态。

2、等概率原理（统计物理学的基本假设）：平衡态孤立系统的各个微观态出现的概率相等。

最概然分布作为平衡态下的分布近似。

3、近独立粒子孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微观状态数及各分布出现的几率、最概然分布。

,,,,21l τττ∆∆∆,,,,21l εεε}{l a,,,,21l ωωω,,,,21l a a a与分布}{l a 对应的微观状态数为()l a Ω分布{}l a 要满足的条件是：N al l=∑ E =∑lll a ε系统总的微观状态数()()lm man a l a a lΩΩ=Ω∑~总系统某时刻的微观状态只是其中的一个。

在宏观短，微观长时间内（一瞬间）系统经历了所有的微观状态()()lm man a l a a lΩΩ∑~----各态历经假说。

且各微观态出现的概率相等()()lm man a l a a lΩ≈Ω=∑11ρ()le a a l lm l βεαωδ--=⇒=Ω0ln ---玻耳慈曼分布。

此分布（宏观态）的概率为()()()()()()1=ΩΩ≈ΩΩ=Ω=∑lmman lm man a l lm man lm man lm a a a a a a p lρ 即：最概然分布几乎就是孤立系统的平衡态分布。

4、热力学第一定律的统计解释：Q d W d dU +=l ll l ll l l da d a dU a U ∑∑∑+=⇒=εεε比较可知：l ll d a W d ε∑=l ll da Q d ∑=ε即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能级引起内能变化； 传热：通过改变粒子分布引起内能变化。

二、相关公式 1、分布与微观状态数①、 ()la l lll l B M a a ω∏=Ω∏!N!..②、 ()∏--+=Ωll l l lE B a a a )!1(!)!1(..ωω ③、 ()∏-=Ωll l l l D F a a a )!(!!..ωω ④、 ()la r l l ll l cl h a N a ) ( ! !ω∆∏∏=Ω2、最概然分布玻耳兹曼分布le a l l βεαω--=玻色-爱因斯坦分布1-=+l e allβεαω费米-狄拉克分布1+=+l e allβεαω本章题型※、第一类是求粒子运动状态在μ空间的相轨迹:关键是由已知条件写出广义坐标q 和广义动量p 满足的函数关系()0,=p q f 。

第六章近独立粒子的最概然分布

第六章近独立粒子的最概然分布

第六章近独立粒子的最概然分布6.1试根据式33d d d d d d d d d 2x y z x y z x y z L V n n n p p p p p p h π⎛⎫== ⎪⎝⎭h ，证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()()132232d 2d VD m hπεεεε=。

解：用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量：sin cos ;sin sin ;cos x y z p p p p p p θϕθϕθ===对动量积分，得在p 到d p p +范围内量子态数为：2233d sin d d 4d Vp Vp V p p h hθθϕΩ==⎰⎰⎰π 自由粒子的能量动量关系为：22p mε=，因此2,d p m p p md εε==得体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，粒子的量子态数为：()132232()d 2d VD m hεεεε=π6.2证明，一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()2d d 2L mD h εεεε=解：一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为：d d d xx x p n h=在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内的量子态数为2d x L n p h=将能量动量关系：22p mε=，代入，即得()122d d 2L m D h εεεε⎛⎫= ⎪⎝⎭6.3证明二维自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()222L D d md hεεε=π。

解：二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为：3d d d d d d x yx y x y p p n n h=动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为cos ,sin x y p p p p θθ== 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为d d d V p p θ=在面积2L 内，在p 到d p p +，θ到d θθ+范围内，自由粒子可能的状态数为-22d d h L p p θ 对d θ积分，可得面积2L 内，p 到d p p +范围内，二维自由粒子可能的状态数为：2-22d L h p p π 将能量动量关系：()-122m p ε=，代入，即有()2-2d 2d D L h m εεε=π6.4在极端相对论情形下 cp ε=，试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d V p p h π 将cp ε=带入，得V 内在能量ε到d εε+内，量子态数为：()()-32d 4d D V ch εεεε=π6.5系统有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '。

热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布

热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布

al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l

l
l
1
（经典极限条件或 所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l

l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N

第六章近独立粒子的最概然分布

第六章近独立粒子的最概然分布

近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系：热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。

而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。

热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。

μ空间：设粒子的自由度为r 。

经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。

粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。

粒子运动状态的经典描述和量子描述：① 一维谐振子在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中，转子的能量是：2M 2Iε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为234V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。

第六章_近独立粒子的最概然分布

第六章_近独立粒子的最概然分布

2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
4．本章的知识结构体系：
力学描述 系统微观 经典描述 粒子运 几何描述 态的描述 动状态 定域系 系统运动状 的描述 量子描述 量子态 玻色系 态的描述 非定域系 费米系 分布 定域系 最概然 等概率 与微 玻色 分布 原理 观态 费米系 关系
由力学知，粒子的运动状态是由能量来度量的。对近 独立粒子而言，粒子的能量仅与粒子本身状态有关而与其 它粒子的运动状态无关。 因此，近独立粒子系统的能量不包含粒子间的相互作 用能部分，而只是各粒子的动能之和。
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
一、粒子微观运动状态的经典描述
1．粒子运动状态的经典描述：
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
任何统计理论要涉及解决以下三个问题：
①研究对象是什么——引入何种假设、模型，如何描 述其研究对象的运动状态（力学、几何）； ②如何求出概率分布——这是核心； ③如何求出热力学量的统计表达式。 本章为7、8两章作准备，研究解决前两个问题。
2．本章研究的系统：
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
第六章 近独立粒子的最概然分布
1．统计物理的基本观点和方法：
基本观点：
①宏观物体是由大量微观粒子组成的。 ②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体表现， 宏观物理量是相应微观量的统计平均值。（例：温度）
方法：
深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互 作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。
就组成系统的各个微观粒子而言，它们是遵 守力学运动规律的。如果粒子遵守经典力学的运 动规律，对粒子运动的描述称为经典描述；如果 粒子遵守量子力学运动规律，对粒子运动状态的 描述就称为量子描述。本节先讨论粒子运动的经 典描述。

近独立粒子的最概然分布

近独立粒子的最概然分布

空间：2维
px2
2m
0 x L
px
当粒子以一定的动量 px 在容器
中运动时，粒子运动状态代表 点在µ空间的轨道是平行于x轴 的一条直线。
空间的体积元：d dxdpx
MUSIC
2.三维自由运动粒子
r 3 x, y, z px, py , pz
px mx py my pz mz
（角动量=转动惯量X角速度）L=Iω
p , p 是转子角动量的两个分量


1 m（r2 2 r2 sin2 2）
2
I mr2

21I（p2

1 sin2

p2）
转子的总角动量: L r p 守恒(无外力)
选 Z 平行 L
=2，p
0

p2 L2
1 2m
px2

p
2 y

pz2
空间：6维
3个2维的子空间
空间的体积元：d dxdydzdpxdpydpz
MUSIC
（二）线性谐振子 质量m F Ax （谐振子受力方程）
F Ax mx
x A x 0 （ A）
m
m
r=1 x px 二维空间
对单粒子: 量子数的数目=粒子的自由度 数
MUSIC
二、举例
（一）线性谐振子
,
n
(n 1)
2
n 0,1,2……
n（振动量子数）：运动状态和能量的量子数.
1个量子数(n)
自由度
0

1 2
r=1
0——零点效应
能级间隔： =n+1 n （常数）

《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲

《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲习题6.1试证明，在体积V内，在；到「d；的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：D（；）d ；：^2^2m ；场；h证明：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。

在六维相空间，相体积兀d.二dxdydzdp x dp y dp z内的微观量子态为：d dxdydzdp x dp y dp zh3「h3体积V =L3内，动量在范围 P x ~ P x dP x,P y ~ P y dP y,P z ~ P z dP z的自由粒子量子态数。

dxdydzdp x dp y dp z Vdp x dp y dp z VP2sin ^dPd^d :对积分，可得体积V = L3内自由粒子动量大小在P~ P dP范围的量子态2二二VP2 sinrdPd 闭，VP2dP'二h30 0 h3由；哙进行变量代换：PS/，dP5）l2；“代入上式可得：在体积V内，在；到；d；的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：2兀V “3；1；D（；）d 32m 2；2d ；h其中D（J为在；到「d；的能量范围内单位能量间隔的量子态数，称为量子态密度证毕习题6.2试证明，对子一维自由粒子，在长度L内，在；到「d；的能量范围内，量子态数为:2L C m证明：一维粒子局域于宏观长度 L 内运动，其能量值和动量值是准连续 的。

在二维相空间，相体积兀 d 二dxdp x 内的微观量子态为:d . dxdp x在长度x 二L 内，动量在范围P x ~巳• dP x 的自由粒子量子态数。

dxdp xLdp x对P x 在范围-P -dP ~ -P 及P ~ P dP 积分，可得在长度X = L 内，自由粒子 动量大小在P ~ P dP 范围的量子态习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在；到「d ；的能量范围内，量子态数为证明：二维粒子局域于宏观面积 L 2内运动，其能量值和动量值是准连续 的。

第六章：近独立粒子的最概然分布 热力学统计物理汪志诚


新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
1－d线性谐振子 自由度： 1 相空间维数：2 位置：x
动量：p mx
p2 1 m 2 x 2 能量： 2m 2
半长轴
a 2m
能量椭圆：
p2 x2 1 2 2m m 2
能量曲面包围的相体积：
( ) ab 2
例二、线性谐振子
自由度： 1 空间维数：2
位置：x
动量：p mx
p2 1 2 2 m x 能量： 2m 2
能量椭圆
p2 x2 1 2 2m m 2
p
x
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述小结
例三、转子 自由度：2
空间维数：4
z
, 位置：
p r 2 动量： p r 2 sin 2
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
能量ε包围的相体积：
0 x L px
2 px px 2m 2m


V , 0
2 px
dxdpx dx
0
L
2 m
2 m
dpx 2 2m L
2m
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
无外力矩时,转子的总角动 量守恒量
M rp r M 2 p mr p 0 z // M 选 则 2
1 1 1 1 2 2 2 ( p p ) ( p ) 2 2 2I sin 2 I sin
（2）三维自由粒子： 分解 自由度：r 3, r 6 位置：x y z 投影
动量：p x mx p y my
三个2－d子相空间

热力学与统计物理教案：第六章 近独立粒子的最概然分布


为随机事件 A 出现可能性的客观量度，称为事件 A 发生的概率 PA ：
lim PA
N
NA N
PA 0 ， A 不可能发生； PA 1， A 肯定发生
显然 0 PA 1 。事实上，试验的次数不可能无限多，但是，只要试验次数足够多，我们就可
以用 NA 来表示事件发生的概率。如掷一质量均匀的硬币，若只掷少数几次，正面向上和背 N
统计物理中讨论的系统是由大量微观粒子组成的，大约有1023 数量级。描述大量粒子组
成的系统的宏观性质的物理量称为宏观量，描述单个粒子性质的物理量称为微观量。 粒子（指微观粒子）的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动
规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。如果粒子遵从量子力学规律，对粒子运动状态 的描述称为量子描述。当然，从本质上讲，微观粒子遵从量子力学规律，不过在一定极限条 件下，经典理论还是有意义的。 粒子运动状态的经典描述
相体积。 统计物理中的几个例子
（1）自由粒子
当自由粒子在三维空间中运动时，其自由度 3 ，所以相空间是 6 维的，粒子在任一时刻 的位置由坐标 x, y, z 确定，共轭的动量分别为 px mx ， py my ， pz mz ，
相空间坐标分别为 x, y, z, px , py , pz 。
微观粒子服从量子力学规律。
波粒二象性： 粒子 波
， p k
, p 粒子量，
,
k
波量
普朗克常量 h 1.0551034 J S ， 2
量纲： T E L P M
海森堡不确定关系 qp ~ h
经典：粒子沿轨道运动。
量子：无轨道， x, p 不能同时确定。
量子态——量子力学中微观粒子的运动状态。 量子态数的计算，量子态的描述

第六章 近独立粒子的最概然分布教案资料

第六章近独立粒子的最概然分布教案资料第六章近独立粒子的最概然分布教案资料热力学与统计物理课程教案热力学与统计数据物理课程教案授课内容(教学章节):第六章近独立粒子的最概然分布主讲教师：教材分析:从本章开始着重阐述物质微观运动状态的描述以及微观运动的规律，玻耳兹曼系统和玻色系统费米系统等，即统计物理学部分。

内容难度、深度均超出了前四章。

用到了较多的数学知识、原子物理学和统计物理学的概念。

因此，在本章教学中紧密结合先前知识对难点加以分解，同时引导学生用新的思维方式研究物质的微观运动。

教学目标:知道微观粒子运动状态的经典描述和量子描述，掌握系统微观运动状态的描述，理解分布和微观状态的概念及其关系，掌握玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的区别和联系，理解与之对应的三种分布并会推导。

知道等概率原理，经典极限条件等。

培养学生用统计学和数学建模等方法探讨物理问题。

教学重点与教学难点:教学重点：系统微观运动状态的描述、分布与微观状态的概念、玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统及其分布。

教学难点：玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统及其三种分布的推导和物理意义。

教学内容6.1粒子运动状态的经典描述6.2粒子运动状态的量子描述6.3系统微观运动状态的描述6.4等概率原理6.5分布和微观状态6.6玻耳兹曼分布6.7玻色分布和费米分布6.8三种分布的关系教学方法与手段以讲授为主，结合多媒体教学，三种分布及其关系采用讨论法展开教学。

课后作业6.16.26.36.46.5小论文1、在量子力学中全同粒子既然不能分辨，那么如何来描述系统的微观运动状态？2、满足经典极限条件时玻色分布和费米分布在形式上都过渡到玻耳兹曼分布的形式，其物理意义是否相同？教材与参考资料教材：热力学与统计物理汪志诚高等教育出版社主讲教师：1授课地点授课班级热力学与统计物理课程教案第六章近独立粒子的最概然分布6.1粒子运动状态的经典描述首先了解如何叙述粒子的运动状态。

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2011年3月16日星期三 第六章 近独立粒子的最概然分布
第六章 近独立粒子的最概然分布
1．统计物理的基本观点和方法： ．统计物理的基本观点和方法：
基本观点： 基本观点：
①宏观物体是由大量微观粒子组成的。 宏观物体是由大量微观粒子组成的。 物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体表现， ②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体表现， 宏观物理量是相应微观量的统计平均值。（ 。（例 温度） 宏观物理量是相应微观量的统计平均值。（例：温度）
2011年3月16日星期三 第六章 近独立粒子的最概然分布
图6－1－1 － －
图6－1－2 － －
②线性谐振子
质量为m的粒子在弹性力 的作用下， 质量为 的粒子在弹性力f = -Ax的作用下，将在原 的粒子在弹性力 的作用下 点附近作简谐振动， 称为线性谐振子。 点附近作简谐振动 ， 称为线性谐振子 。 线性谐振子的 自由度为1。 在任一时刻， 粒子的位置由它的位移x确 自由度为 。 在任一时刻 ， 粒子的位置由它的位移 确 与之共轭的动量为p。 定，与之共轭的动量为 。线性谐振子的能量为
近独立粒子是指粒子间的相互作用非常弱， 近独立粒子是指粒子间的相互作用非常弱， 在粒子运动的过程中大部分时间处于自由态。 在粒子运动的过程中大部分时间处于自由态。 例如，理想气体分子就是典型的近独立粒子。 例如，理想气体分子就是典型的近独立粒子。
2011年3月16日星期三 第六章 近独立粒子的最概然分布
2011年3月16日星期三
第六章 近独立粒子的最概然分布
4．本章的知识结构体系： ．本章的知识结构体系：
力学描述 系统微观 经典描述 粒子运 几何描述 态的描述 动状态 定域系 系统运动状 的描述 量子描述 − 量子态 − 玻色系 态的描述 非定域系 费米系 分布 定域系 等概率 最概然 − 与微 − 玻色 分布 原理 观态， 深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互 作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。 作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。
2011年3月16日星期三
第六章 近独立粒子的最概然分布
任何统计理论要涉及解决以下三个问题： 任何统计理论要涉及解决以下三个问题：
2011年3月16日星期三 第六章 近独立粒子的最概然分布
为简单起见， 为简单起见，只考虑近独立粒子微观运动状态的描述 问题。 问题。 近独立粒子是指粒子间的相互作用非常弱， 近独立粒子是指粒子间的相互作用非常弱，粒子运动过 程中的大部分时间处于自由态。 例如， 程中的大部分时间处于自由态。（例如，理想气体分子就是 典型的近独立粒子。） 典型的近独立粒子。） 由力学知，粒子的运动状态是由能量来度量的。 由力学知，粒子的运动状态是由能量来度量的。对近 独立粒子而言， 独立粒子而言，粒子的能量仅与粒子本身状态有关而与其 它粒子的运动状态无关。 它粒子的运动状态无关。 因此，近独立粒子系统的能量不包含粒子间的相互作 因此，近独立粒子系统的能量不包含粒子间的相互作 用能部分，而只是各粒子的动能之和。 用能部分，而只是各粒子的动能之和。
p x + =1 2 2mε 2ε / mω
2
2
(6.1.4)
可见，振子在 空间中的轨线是一椭圆 如图6-1-3）。 空间中的轨线是一椭圆（ 可见，振子在µ空间中的轨线是一椭圆（如图 ）。
引入何种假设、 ①研究对象是什么——引入何种假设、模型，如何描 研究对象是什么 引入何种假设 模型， 述其研究对象的运动状态（力学、几何）； 述其研究对象的运动状态（力学、几何）； 如何求出概率分布——这是核心； 这是核心； ②如何求出概率分布 这是核心 如何求出热力学量的统计表达式，本章为7、 两章 ③如何求出热力学量的统计表达式，本章为 、8两章 作准备，研究解决前两个问题。 作准备，研究解决前两个问题。
统计物理部分引言
统计物理学与热力学的研究对象是相同 的，即研究由大量微观粒子组成的宏观物体 的热现象及其规律。但是， 的热现象及其规律。但是，二者的研究方法 不同。 不同。 统计物理是从宏观物体内部的微观结构 出发，依据微观粒子遵守的力学规律， 出发，依据微观粒子遵守的力学规律，用统 计的方法求出系统的宏观性质及其规律。 计的方法求出系统的宏观性质及其规律。 统计物理可对特定物质系统的物理性质 给出结果，对涨落现象给出解释。 给出结果，对涨落现象给出解释。
2011年3月16日星期三 第六章 近独立粒子的最概然分布
由于线性谐振子的自由度数为1，可由x和p为直角坐标 由于线性谐振子的自由度数为1 可由 和 为 构成二维µ空间 振子在任一时刻的运动状态由该µ空间中 空间。 构成二维 空间 。振子在任一时刻的运动状态由该 空间中 的一点表示，振子的运动状态随时间变化时， 的一点表示，振子的运动状态随时间变化时，在µ空间中应 空间中应 有一条轨线与之对应。在给定能量下， 有一条轨线与之对应。在给定能量下，式(6.1.3)可改写成下 可改写成下 列形式
1 2 1 2 2 ε = p + mω x 2m 2
(6.1.3)
其中，第一项是振动动能，第二项是振动势能， 其中，第一项是振动动能，第二项是振动势能， ω是振子的振动圆频率。我们看到，线性谐振子的运 是振子的振动圆频率。 是振子的振动圆频率 我们看到， 动状态也是由动量和坐标来描述的。 动状态也是由动量和坐标来描述的。
2011年3月16日星期三 第六章 近独立粒子的最概然分布
② 由 N个近独立粒子组成的系统在某一时刻的微 个近独立粒子组成的系统在某一时刻的微 观运动状态在µ空间中用 个代表点来表示。 空间中用N个代表点来表示 观运动状态在 空间中用 个代表点来表示。对于 粒子之间有相互作用的情形， 空间是无法表示 粒子之间有相互作用的情形 ， µ空间是无法表示 这是它的一大缺点。 的，这是它的一大缺点。 ③μ空间只是为了方便而引入的一个思想空间， 空间只是为了方便而引入的一个思想空间， μ空间中的一个点代表的是粒子在某一时刻的微 观运动状态而不是粒子本身， 观运动状态而不是粒子本身，引入这样的空间只 是为了使粒子运动状态的描述更形象、更直观。 是为了使粒子运动状态的描述更形象、更直观。
近独立粒子在某一时刻的力学运动状态可用µ空间中 ① 近独立粒子在某一时刻的力学运动状态可用 空间中 的一个点（称为代表点）来表示。 的一个点（称为代表点）来表示。当粒子的运动状态随时 间发生变化时， 空间中应有一条轨线与之对应。 间发生变化时，在µ空间中应有一条轨线与之对应。 空间中应有一条轨线与之对应
2011年3月16日星期三 第六章 近独立粒子的最概然分布
一、粒子微观运动状态的经典描述
1．粒子运动状态的经典描述： ．粒子运动状态的经典描述：
若粒子的自由度为r，按经典力学， 若粒子的自由度为 ，按经典力学，粒子的能量是其广 义坐标和广义动量的函数， 义坐标和广义动量的函数，即：
ε＝ε（q1,q2,…,qr，p1,p2,…pr） ＝ （
§6.1 粒子运动状态的经典描述
现在来讨论前面提到的第一个问题， 现在来讨论前面提到的第一个问题，即如何 描述物体(或称系统)的微观运动状态。 描述物体(或称系统)的微观运动状态。这里所说 的微观运动状态是指系统的力学运动状态。 的微观运动状态是指系统的力学运动状态。 就组成系统的各个微观粒子而言，它们是遵 就组成系统的各个微观粒子而言， 守力学运动规律的。 守力学运动规律的。如果粒子遵守经典力学的运 经典描述； 动规律，对粒子运动的描述称为经典描述 动规律，对粒子运动的描述称为经典描述；如果 粒子遵守量子力学运动规律， 粒子遵守量子力学运动规律，对粒子运动状态的 描述就称为量子描述 量子描述。 描述就称为量子描述。本节先讨论粒子运动的经 典描述。 典描述。
2011年3月16日星期三 第六章 近独立粒子的最概然分布
2．µ空间 ． 空间
为了用几何方法形象地描述粒子的运动状态， 为了用几何方法形象地描述粒子的运动状态， 我们可以用 个广义坐标和 个广义坐标和r个广义动量构成一个 我们可以用r个广义坐标和 个广义动量构成一个 2r维空间，称为 空间。 维空间，称为µ空间 空间。 维空间 说明： 说明：
2．本章研究的系统： ．本章研究的系统：
近独立粒子组成的系统
粒子 : 分子, 原子, 离子,电子, 光子等 近独立 : 粒子间有相互作用, 但可忽略不计.
2011年3月16日星期三
第六章 近独立粒子的最概然分布
3．最概然分布： ．最概然分布：
①分布：指系统中的粒子在能级上的填布情况。 分布：指系统中的粒子在能级上的填布情况。 ②最概然分布：也称最可几分布，是概率最大的一种分布。 最概然分布：也称最可几分布，是概率最大的一种分布。 ③体系有许多种不同的分布，可以证明，最概然分布出现 体系有许多种不同的分布，可以证明， 的概率比其余各种所有可能分布的概率之和还要大得 因此，体系绝大部分时间处于这种分布。 多，因此，体系绝大部分时间处于这种分布。因此可用 最概然分布代替体系处于平衡态时的分布。 最概然分布代替体系处于平衡态时的分布。 ④意义：求得最概然分布以后，可求得体系的统计平衡性质。 意义：求得最概然分布以后，可求得体系的统计平衡性质。
下面举几个简单实例来说明近独立粒子的经典描述方法. 下面举几个简单实例来说明近独立粒子的经典描述方法.
一维自由粒子: ① 一维自由粒子
一维自由粒子的自由度数为1， 一维自由粒子的自由度数为 ， 我们只需一个坐标x和一个动量 和一个动量p 我们只需一个坐标 和一个动量 x就 可构成二维自由粒子的µ空间 空间。 可构成二维自由粒子的 空间。如图 6-1-1所示 显然，它是一个二维的 所示).显然 所示 显然，它是一个二维的µ 空间. 空间 对于经典粒子， 对于经典粒子，动量原则上可取从 的任何数值。 －∞到∞的任何数值。而坐标可取从 到容 到 的任何数值 而坐标可取从0到容 器长度L间的任何值 间的任何值。 器长度 间的任何值。粒子的一个运动状 可用µ空间在上述范围中的一 态（x，px）可用 空间在上述范围中的一 ， 点代表。当粒子以一定动量p 运动时， 点代表。当粒子以一定动量 x运动时，运 动状态代表点的轨道是平行于x 动状态代表点的轨道是平行于 轴的一条 直线（ 所示）。 直线（如图 6-1-2所示）。 所示 。