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第六章近独立粒子的最概然分布6.1试根据式33d d d d d d d d d 2x y z x y z x y z L V n n n p p p p p p h π⎛⎫== ⎪⎝⎭h ，证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()()132232d 2d VD m hπεεεε=。
解：用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量：sin cos ;sin sin ;cos x y z p p p p p p θϕθϕθ===对动量积分，得在p 到d p p +范围内量子态数为：2233d sin d d 4d Vp Vp V p p h hθθϕΩ==⎰⎰⎰π 自由粒子的能量动量关系为：22p mε=，因此2,d p m p p md εε==得体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，粒子的量子态数为：()132232()d 2d VD m hεεεε=π6.2证明，一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()2d d 2L mD h εεεε=解：一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为：d d d xx x p n h=在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内的量子态数为2d x L n p h=将能量动量关系：22p mε=，代入，即得()122d d 2L m D h εεεε⎛⎫= ⎪⎝⎭6.3证明二维自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()222L D d md hεεε=π。
解：二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为：3d d d d d d x yx y x y p p n n h=动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为cos ,sin x y p p p p θθ== 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为d d d V p p θ=在面积2L 内，在p 到d p p +，θ到d θθ+范围内，自由粒子可能的状态数为-22d d h L p p θ 对d θ积分，可得面积2L 内，p 到d p p +范围内，二维自由粒子可能的状态数为：2-22d L h p p π 将能量动量关系：()-122m p ε=，代入，即有()2-2d 2d D L h m εεε=π6.4在极端相对论情形下 cp ε=，试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d V p p h π 将cp ε=带入，得V 内在能量ε到d εε+内，量子态数为：()()-32d 4d D V ch εεεε=π6.5系统有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '。
近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系：热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。
而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。
热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。
μ空间：设粒子的自由度为r 。
经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。
粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子运动状态的经典描述和量子描述：① 一维谐振子在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中，转子的能量是：2M 2Iε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为234V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。
②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。
这里0h 由测量精度决定的一个常数。
经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。
空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。
并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。
③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。
若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。
在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。
②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。
这里0h 由测量精度决定的一个常数。
经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。
空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。
并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。
③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。
若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。
在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。
热力学与统计物理课程教案第六章 近独立粒子的最概然分布 6.1 粒子运动状态的经典描述首先介绍如何描述粒子的运动状态。
这里说的粒子是指组成宏观物质系统的基本单元，例如气体的分子，金属的离子或电子，辐射场的光子等等。
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。
如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述；如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。
1、粒子运动状态经典描述的两种方法设粒子的自由度为r 。
经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标r q q q ,,,21 和与之共轭的r 个广义动量r p p p ,,,21 在该时刻的数值确定。
粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：()r r p p p q q q εε,,,;,,,2121 = 如果存在外场，ε还是描述外场参量的函数。
为了形象地描述粒子的力学运动状态，用r q q q ,,,21 ；r p p p ,,,21 共r 2个变量为直角坐标，构成一个r 2维空间，称为μ空间。
粒子在某一时刻的力学运动状态（r q q q ,,,21 ；r p p p ,,,21 ）可以用μ空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点。
当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨道。
2、下面介绍统计物理中用到的几个例子 （1）、自由粒子：自由粒子不受力的作用而自由运动，当在三维空间中运动时，它的自由度为3。
粒子在任一时刻的位置可由坐标z y x ,,确定，与之共轭的动量为：⋅⋅⋅===z m p y m p x m p z y x ,, 自由粒子的能量就是它的动能：()22221z y x p p p mε++=， 对应的μ空间是6维的。
（2）线性谐振子对于自由度为1的线性谐振子，在任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为⋅=x m p x ，它的能量是其动能和势能之和：2222221222x m m p x A m p ωε+=+=以x 和p 为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时刻运动状态由μ空间中的一点表示。
第六章 近独立粒子的最概然分布习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度L 内，在ε到εεd +的能量范围内，量 子态数为：εεεεd m h L d D 2122)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=证：一维自由粒子，x P 附近的量子态为x dP h L dn =；x x x x x dP m dP m m m dP P d m P εεεε21222+=⋅+==⇒=于是。
()εεεεd mh L d D 2+= 而 ±P x 对应同一能量ε，于是：()m h L m h L D εεε2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在长度L 2内，在ε到εεd +的能量范围内， 量子态数为()επεεmd hL d D 222=证：二维；在P x ,P y 附近dP x dP y 区间上内的粒子数。
ϕPdPd hSdP dP h S dn y x 22== (s －面积)因m P 22=ε只与P 有关（P >0）,故对ϕ积分可得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==m P h S PdP h S d D 222222ππεε，επd h mS m 22= ()22hmS D πε=⇒ (s=L 2) 习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为cp =ε。
试求在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。
解：φθθd dpd p hVdp dp dp h V dn z y x sin 233==由于cp =ε只与p 有关，与θ、φ无关，于是⎰⎰===ππεππφθθεε200322323)(44sin )(hc V dp p h V d dpd p h V d D 以上已经代入了 c d p d cp =⇒=εε于是， 32)(4)(hc V D επε=习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。
假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。
