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6第六章 近独立粒子的最概然分布

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第六章近独立粒子的最概然分布

第六章近独立粒子的最概然分布

第六章近独立粒子的最概然分布6.1试根据式33d d d d d d d d d 2x y z x y z x y z L V n n n p p p p p p h π⎛⎫== ⎪⎝⎭h ，证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()()132232d 2d VD m hπεεεε=。

解：用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量：sin cos ;sin sin ;cos x y z p p p p p p θϕθϕθ===对动量积分，得在p 到d p p +范围内量子态数为：2233d sin d d 4d Vp Vp V p p h hθθϕΩ==⎰⎰⎰π 自由粒子的能量动量关系为：22p mε=，因此2,d p m p p md εε==得体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，粒子的量子态数为：()132232()d 2d VD m hεεεε=π6.2证明，一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()2d d 2L mD h εεεε=解：一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为：d d d xx x p n h=在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内的量子态数为2d x L n p h=将能量动量关系：22p mε=，代入，即得()122d d 2L m D h εεεε⎛⎫= ⎪⎝⎭6.3证明二维自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()222L D d md hεεε=π。

解：二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为：3d d d d d d x yx y x y p p n n h=动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为cos ,sin x y p p p p θθ== 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为d d d V p p θ=在面积2L 内，在p 到d p p +，θ到d θθ+范围内，自由粒子可能的状态数为-22d d h L p p θ 对d θ积分，可得面积2L 内，p 到d p p +范围内，二维自由粒子可能的状态数为：2-22d L h p p π 将能量动量关系：()-122m p ε=，代入，即有()2-2d 2d D L h m εεε=π6.4在极端相对论情形下 cp ε=，试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d V p p h π 将cp ε=带入，得V 内在能量ε到d εε+内，量子态数为：()()-32d 4d D V ch εεεε=π6.5系统有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '。

热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布

热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布

al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l

l
l
1
（经典极限条件或 所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l

l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N

第六章近独立粒子的最概然分布

第六章近独立粒子的最概然分布

近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系：热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。

而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。

热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。

μ空间：设粒子的自由度为r 。

经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。

粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。

粒子运动状态的经典描述和量子描述：① 一维谐振子在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中，转子的能量是：2M 2Iε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为234V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。

第六章_近独立粒子的最概然分布

第六章_近独立粒子的最概然分布

2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
4．本章的知识结构体系：
力学描述 系统微观 经典描述 粒子运 几何描述 态的描述 动状态 定域系 系统运动状 的描述 量子描述 量子态 玻色系 态的描述 非定域系 费米系 分布 定域系 最概然 等概率 与微 玻色 分布 原理 观态 费米系 关系
由力学知，粒子的运动状态是由能量来度量的。对近 独立粒子而言，粒子的能量仅与粒子本身状态有关而与其 它粒子的运动状态无关。 因此，近独立粒子系统的能量不包含粒子间的相互作 用能部分，而只是各粒子的动能之和。
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
一、粒子微观运动状态的经典描述
1．粒子运动状态的经典描述：
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
任何统计理论要涉及解决以下三个问题：
①研究对象是什么——引入何种假设、模型，如何描 述其研究对象的运动状态（力学、几何）； ②如何求出概率分布——这是核心； ③如何求出热力学量的统计表达式。 本章为7、8两章作准备，研究解决前两个问题。
2．本章研究的系统：
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
第六章 近独立粒子的最概然分布
1．统计物理的基本观点和方法：
基本观点：
①宏观物体是由大量微观粒子组成的。 ②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体表现， 宏观物理量是相应微观量的统计平均值。（例：温度）
方法：
深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互 作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。
就组成系统的各个微观粒子而言，它们是遵 守力学运动规律的。如果粒子遵守经典力学的运 动规律，对粒子运动的描述称为经典描述；如果 粒子遵守量子力学运动规律，对粒子运动状态的 描述就称为量子描述。本节先讨论粒子运动的经 典描述。

第六章：近独立粒子的最概然分布 热力学统计物理汪志诚

第六章：近独立粒子的最概然分布 热力学统计物理汪志诚

新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
1－d线性谐振子 自由度： 1 相空间维数：2 位置：x
动量：p mx
p2 1 m 2 x 2 能量： 2m 2
半长轴
a 2m
能量椭圆：
p2 x2 1 2 2m m 2
能量曲面包围的相体积：
( ) ab 2
例二、线性谐振子
自由度： 1 空间维数：2
位置：x
动量：p mx
p2 1 2 2 m x 能量： 2m 2
能量椭圆
p2 x2 1 2 2m m 2
p
x
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述小结
例三、转子 自由度：2
空间维数：4
z
, 位置：
p r 2 动量： p r 2 sin 2
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
能量ε包围的相体积：
0 x L px
2 px px 2m 2m


V , 0
2 px
dxdpx dx
0
L
2 m
2 m
dpx 2 2m L
2m
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
无外力矩时,转子的总角动 量守恒量
M rp r M 2 p mr p 0 z // M 选 则 2
1 1 1 1 2 2 2 ( p p ) ( p ) 2 2 2I sin 2 I sin
（2）三维自由粒子： 分解 自由度：r 3, r 6 位置：x y z 投影
动量：p x mx p y my
三个2－d子相空间

第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点)

第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点)

第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。

②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。

这里0h 由测量精度决定的一个常数。

经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。

空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。

并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。

③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。

若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。

在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。

热力学与统计物理教案：第六章 近独立粒子的最概然分布


为随机事件 A 出现可能性的客观量度，称为事件 A 发生的概率 PA ：
lim PA
N
NA N
PA 0 ， A 不可能发生； PA 1， A 肯定发生
显然 0 PA 1 。事实上，试验的次数不可能无限多，但是，只要试验次数足够多，我们就可
以用 NA 来表示事件发生的概率。如掷一质量均匀的硬币，若只掷少数几次，正面向上和背 N
统计物理中讨论的系统是由大量微观粒子组成的，大约有1023 数量级。描述大量粒子组
成的系统的宏观性质的物理量称为宏观量，描述单个粒子性质的物理量称为微观量。 粒子（指微观粒子）的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动
规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。如果粒子遵从量子力学规律，对粒子运动状态 的描述称为量子描述。当然，从本质上讲，微观粒子遵从量子力学规律，不过在一定极限条 件下，经典理论还是有意义的。 粒子运动状态的经典描述
相体积。 统计物理中的几个例子
（1）自由粒子
当自由粒子在三维空间中运动时，其自由度 3 ，所以相空间是 6 维的，粒子在任一时刻 的位置由坐标 x, y, z 确定，共轭的动量分别为 px mx ， py my ， pz mz ，
相空间坐标分别为 x, y, z, px , py , pz 。
微观粒子服从量子力学规律。
波粒二象性： 粒子 波
， p k
, p 粒子量，
,
k
波量
普朗克常量 h 1.0551034 J S ， 2
量纲： T E L P M
海森堡不确定关系 qp ~ h
经典：粒子沿轨道运动。
量子：无轨道， x, p 不能同时确定。
量子态——量子力学中微观粒子的运动状态。 量子态数的计算，量子态的描述

第六章 近独立粒子的最概然分布教案资料

第六章近独立粒子的最概然分布教案资料第六章近独立粒子的最概然分布教案资料热力学与统计物理课程教案热力学与统计数据物理课程教案授课内容(教学章节):第六章近独立粒子的最概然分布主讲教师：教材分析:从本章开始着重阐述物质微观运动状态的描述以及微观运动的规律，玻耳兹曼系统和玻色系统费米系统等，即统计物理学部分。

内容难度、深度均超出了前四章。

用到了较多的数学知识、原子物理学和统计物理学的概念。

因此，在本章教学中紧密结合先前知识对难点加以分解，同时引导学生用新的思维方式研究物质的微观运动。

教学目标:知道微观粒子运动状态的经典描述和量子描述，掌握系统微观运动状态的描述，理解分布和微观状态的概念及其关系，掌握玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的区别和联系，理解与之对应的三种分布并会推导。

知道等概率原理，经典极限条件等。

培养学生用统计学和数学建模等方法探讨物理问题。

教学重点与教学难点:教学重点：系统微观运动状态的描述、分布与微观状态的概念、玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统及其分布。

教学难点：玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统及其三种分布的推导和物理意义。

教学内容6.1粒子运动状态的经典描述6.2粒子运动状态的量子描述6.3系统微观运动状态的描述6.4等概率原理6.5分布和微观状态6.6玻耳兹曼分布6.7玻色分布和费米分布6.8三种分布的关系教学方法与手段以讲授为主，结合多媒体教学，三种分布及其关系采用讨论法展开教学。

课后作业6.16.26.36.46.5小论文1、在量子力学中全同粒子既然不能分辨，那么如何来描述系统的微观运动状态？2、满足经典极限条件时玻色分布和费米分布在形式上都过渡到玻耳兹曼分布的形式，其物理意义是否相同？教材与参考资料教材：热力学与统计物理汪志诚高等教育出版社主讲教师：1授课地点授课班级热力学与统计物理课程教案第六章近独立粒子的最概然分布6.1粒子运动状态的经典描述首先了解如何叙述粒子的运动状态。

chapter6近独立粒子分布-概率知识1


统计法大意
和为x的概率？
13
统计法大意
（6）统计平均值和涨落
14
统计法大意
（7）二项分布
例:无规则行走，醉汉行走 忽前忽后（一维） 每步长为 l 求：N步之后，离出发点距离为X的几率
15
统计法大意
解：设N步中，N1步向前，N2步向后
N1 + N 2 = N x = ( N1 − N 2 )l
7
统计法大意
· 概率的基础知识 (1) 几率概念 随机事件：可能发生，可能不发生，N次随机事 件（硬币，骰子） A事件发生的次数=NA
考虑一个连续的实验 X和x+dx之间的值出现的几率 P(x)dx8统计法大意来自(2) 互斥事件几率的加法定理
归一化
9
统计法大意
(3) 独立事件几率的乘法定理
（4）条件概率
4
统计法大意
宏观系统统计规律：非决定论的，几率性的骰子 统计讨论的是宏观系统的特征，一般来说该系统是 个大量数的系统。比如1023个粒子，据力学规律则 有2*1023个正则方程，一般来说1000个分子的动力 学行为就显得“毫无规则”。 总的说是： 力学: 确定性 统计：有规律，但只确定几率。
5
统计法大意
第六章 近独立粒子的最概然分布
• • • • • • • • • 统计法大意 粒子运动状态的经典描述 粒子运动状态的量子描述 系统微观运动状态的描述 等概率原理 分布和微观状态 玻尔兹曼分布 玻色分布和费米分布 三种分布关系
1
统计物理学
热力学：平衡态的统计理论宏观量唯象理论，建 立宏观量之间关系及唯象定律 统计物理：由宏观系统的组元的动力学研究宏观 性质 宏观量 ——微观量的统计平均值

第6章 近独立粒子的最概然分布


西北师范大学物理与电子工程学院
6.1
粒子运动状态的经典描述
（2）、线性谐振子（自由度为1）
p2 1 ;能量ε 坐标x;动量p x mx mω2 x 2 2m 2
p
能量椭圆：
p2 x2 1 2ε 2m ε mω2
n=2 n=1 n=0 x
（3）、转子(自由度为2)
坐标θ , φ;动量pθ mr θ , pφ mr sin θ φ;
西北师范大学物理与电子工程学院
6.3
系统微观运动状态的描述
（3)、玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统 玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一 个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 玻色系统：由不可分辨的全同近独立玻色子组成，且处在一个 个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 费米系统：由不可分辨的全同近独立费米子组成，且处在一个 个体量子态上的粒子数最多只能为1，受泡利不相容原理的限制。
自旋角动量在外磁场方向上的投影Sz只能取两个值： S z 在外磁场方向的投影相应为： Z 在外磁场B中的势能为： μB
e 2m
1 2
e B 2m
将S z 表为S z m S , 描述粒子的自旋状态只 要一个量子数 m s， 1 它只能取两个分立的值 。 2
3
L 量子态数为： dn x dn y dnz dp x dp y dpz 2 π
由测不准关系：pq h 对应μ空间的一个体积元，量子相格。
自由度为r，相格大小为： q1， ，qr p1， ，pr hr
因此dnx dn y dnz 表示：Vdpx dp y dpz除以相格大小 hr而得到的 三维自由粒子在 Vdpx dp y dpz内的量子态数
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nx = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅ （两个传播方向） 2π px = nx nx = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅ L 2 px 2π 2 2 2 nx = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅ 能量 ε nx = = nx 2 2m mL 能量值决定于 nx 。基态非简并，激发态为二度简并。 三维自由粒子 粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动 2π px = nx L 2π py = ny L 2π pz = nz L nx = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅ n y = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅ nz = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅
2
l = 0,1, 2, ⋅⋅⋅
基态非简并，激发态简并，简并度为 2l + 1. （四）自由粒子 一维自由粒子 考虑处于长度为L的一维容器中自由粒子的运动状态。
L = nx λ
nx = 0,1, 2, ⋅⋅⋅
（周期性边界条件）
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第六章 近独立粒子的最概然分布
2π kx = nx k = 2π λ L 由德布罗意关系 p= k
ε = p 2 2m , p 2 = 2mε
p = 2mε , dp = m 2ε d ε
2π V 得到 D (ε )d ε = 3 (2m)3 2 ε 1 2 d ε h D(ε )表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为态密度。如 果粒子的自旋不为零，以上量子态数公式需乘以2。
第六章 近独立粒子的最概然分布
M2 ε= = 2I 2I
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pφ2
r
p
§6.2 粒子运动状态的量子描述
微观粒子普遍具有波粒二象性。 其中
ε = ω p = k 德布罗意关系 = h 2π = 1.055 ×10−34 J ⋅ s ( h 和 都称为普朗克常数)
普朗克常数被称为基本的作用量子。这个作用量子成为判别采用 经典描述或量子描述的判据。当一个物质系统的任何具有作用量 纲（角动量）的物理量具有与普朗克常数相比拟的数值时，这个 物质系统就是量子系统。反之，如果物质系统的每一个具有作用 量纲的物理量用普朗克常数来量度都非常大时，这个系统就可以 用经典力学来研究。 ΔqΔp ≈ h 测不准关系 它揭示：量子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动 量，因此这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，微观粒子 的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数 来描述的。
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第六章 近独立粒子的最概然分布
能量
1 2π 2 2 2 2 ε= ( px + p y + pz ) = m 2m
2
2 2 nx + ny + nz2
L2
（1）在微观体积下，粒子的动量值和能量值的分离性很显著， 2 2 2 n + n + n 粒子运动状态由三个量子数表征。能量值决定于 x y z ， 2 2 2 如对于nx + n y + nz = 1 的能级有六个量子态与之对应，(0,0,1), (0,0,-1), (0,1,0), (0,-1,0), (1,0,0), (-1,0,0).所以该能级为六度简并， 而基态为非简并。 （2）在宏观体积下 (V = L3 ) ，粒子的动量值和能量值是准连 续的，自由粒子可能的量子态数 。 L dnx = dpx ( px ∼ px + dpx ) 2π L dn y = dp y ( p y ∼ p y + dp y ) 2π L dnz = dpz ( pz ∼ pz + dpz ) 2π
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V = L3 , ( px ∼ px + dpx ), ( p y ∼ p y + dp y ), ( pz ∼ pz + dpz ) 范围内
自由粒子可能的量子态数 L 3 V dnx dn y dnz = ( ) dpx dp y dpz = 3 dpx dp y dpz 2π h 对应于μ空间体积 Vdpx dp y dpz 中的量子态数，三维自由粒子 每个状态在μ空间占据h3相体积. 在动量空间用球坐标p,θ,φ描述粒子的动量和体元为
M 2 = l (l + 1)
2
l = 0,1, 2,
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第六章 近独立粒子的最概然分布
对于一定的l，角动量在z方向的投影Mz只能取分离值： Mz = m
m = −l , −l + 1, ⋅⋅⋅,0, ⋅⋅⋅l − 1, l
共 2l + 1 个可能的值。在量子理论中自由度为二的转子的运 动状态由两个量子数l和m表征。转子的能量 l (l + 1) εl = 2I
第六章 近独立粒子的最概然分布
第六章 近独立粒子的最概然分布
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第六章 近独立粒子的最概然分布
§6.1 粒子运动状态的经典描述
粒子是指组成物质系统的基本单元。粒子的运动状态是指 它的力学运动状态。 如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描 述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描 述称为量子描述。 设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的 qr r个广义坐标 q1 , q2 , ,和相应的 r个广义动量 p1 , p2 , , pr在 该时刻的数值确定，粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函 数，即
第六章 近独立粒子的最概然分布 青岛科大数理学院
能量：
p2 1 p2 A 2 + mω 2 x 2 ε= + x = 2m 2 2m 2
相迹：以x和p为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一 时刻运动状态由μ空间中的一点表示。如果给定振子的能量， 对应点的轨迹就由如下的椭圆方程决定： p2 x2 + =1 2 2mε 2ε mω 椭圆的长轴和短轴分别为
a = 2mε 和 b = 2ε mω ,
2
p
ε1
o
x
ε2
面积为 S = 2πε ω 。
第六章 近独立粒子的最概然分布
青岛科大数理学院
（三）转子 考虑质量为m的质点A被具有一定长度的轻杆系于原点O 时所作的运动。 质点在直角坐标下的能量： 1 ε = m( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 用球坐标表示： x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ
2
m1
质心
根据经典力学，在没有外力作用的情形下，转子的总角动量 M = r × p 是一个守恒量，其大小和时间都不随时间改变。由于r 垂直于M，质点的运动是在垂直于 M 的平面内运动。如果选择z 轴平行于 M ，质点的运动必在xy平面上，这时 θ = π 2, pθ = 0 ， 能量简化为
M
1 2 1 ε = ( pθ + 2 pφ2 ) 2I sin θ
z
θ
x
O φ
r
A
y
z = r cos θ x = r sin θ cos φ + r sin θ sin φθ − r sin θ sin φφ
y = r sin θ sin φ + r cos θ sin φθ + r sin θ cos φφ
z = r cos θ − r sin θθ 1 ε = m(r 2 + r 2θ 2 + r 2 sin 2 θφ 2 ) 2
ε = ε (q1 , q2 , , qr , p1 , p2 , , pr )
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更一般表述为
ε = ε (qi , pi )
(i = 1, 2
, r)
在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的 能量函数写成H（哈密顿）函数，即
ε = H (qi , pi )
2 广义动量： p1 = pθ = mr θ 1 1 动能： ε = ( pθ2 + 2 pφ2 ) 2I sin θ
p2 = pφ = mr 2 sin 2 θφ
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双原子分子的力学模型： 将双原子分子看作一根细棒的两端联结着质量为m1和m2的 两个质点绕其质心的转动。然后将两体问题转化为单体问题， m 即将公式中的m换成约化质量 μ m1m2 μ= ⇒ m1 + m2
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在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由 一组量子数来表征。这组量子数的数目等于粒子的自由度数。 在量子力学中，微观粒子的能量是不连续的，不连续的能 量用能级表示。如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称 为简并的。一个能级的量子态数称为该能级的简并度。如果一 个能级只有一个量子态，该能级称为非简并的。 （一）自旋 一质量为m, 电荷为-e，自旋角动量量子数为1/2，自旋磁 矩m和粒子的自旋角动量S之比为 μ e =− S m 沿z方向加外磁场B，角动量S在方向z有两个独立分量为 S z = ms
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1 其中 ms = ± 为自旋量子数，这时自旋磁矩m和势能不 2 连续为
e e μ z = ms = ± 2m m e B e E= ms = ± B 2m m
能级为非简并。 （二）线性谐振子 ε n = ω (n + 1 2) 圆频率为ω的线性谐振子的能量可能值为， n=0，1，2，所有能级等间距均为 ω 。能级为非简并。 （三）转子 转子的能量 量子理论要求 M2 ε= 2I
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相迹：以一维自由粒子为例，以x,px为直角坐标，构成二维的μ空 间，设一维容器的长度为L 。粒子的一个运动状态(x,px)可以用μ 空间在一定范围内的一点代表。
px px