第六章 近独立粒子的最概然分布(习题课)

第六章-近独立粒子的最概然分布(习题课)第六章 近独立粒子的最概然分布(习题课)本章题型一、基本概念：1、粒子相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态、系统微观状态；经典相格与粒子微观状态；系统宏观态与系统微观态。

2、等概率原理（统计物理学的基本假设）：平衡态孤立系统的各个微观态出现的概率相等。

最概然分布作为平衡态下的分布近似。

3、近独立粒子孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微观状态数及各分布出现的几率、最概然分布。

,,,,21l τττ∆∆∆,,,,21l εεε}{l a,,,,21l ωωω,,,,21l a a a与分布}{l a 对应的微观状态数为()l a Ω分布{}l a 要满足的条件是：N al l=∑ E =∑lll a ε系统总的微观状态数()()lm man a l a a lΩΩ=Ω∑~总系统某时刻的微观状态只是其中的一个。

在宏观短，微观长时间内（一瞬间）系统经历了所有的微观状态()()lm man a l a a lΩΩ∑~----各态历经假说。

且各微观态出现的概率相等()()lm man a l a a lΩ≈Ω=∑11ρ()le a a l lm l βεαωδ--=⇒=Ω0ln ---玻耳慈曼分布。

此分布（宏观态）的概率为()()()()()()1=ΩΩ≈ΩΩ=Ω=∑lmman lm man a l lm man lm man lm a a a a a a p lρ 即：最概然分布几乎就是孤立系统的平衡态分布。

4、热力学第一定律的统计解释：Q d W d dU +=l ll l ll l l da d a dU a U ∑∑∑+=⇒=εεε比较可知：l ll d a W d ε∑=l ll da Q d ∑=ε即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能级引起内能变化； 传热：通过改变粒子分布引起内能变化。

二、相关公式 1、分布与微观状态数①、 ()la l lll l B M a a ω∏=Ω∏!N!..②、 ()∏--+=Ωll l l lE B a a a )!1(!)!1(..ωω ③、 ()∏-=Ωll l l l D F a a a )!(!!..ωω ④、 ()la r l l ll l cl h a N a ) ( ! !ω∆∏∏=Ω2、最概然分布玻耳兹曼分布le a l l βεαω--=玻色-爱因斯坦分布1-=+l e allβεαω费米-狄拉克分布1+=+l e allβεαω本章题型※、第一类是求粒子运动状态在μ空间的相轨迹:关键是由已知条件写出广义坐标q 和广义动量p 满足的函数关系()0,=p q f 。

al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l

l
l
1
（经典极限条件或 所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l

l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N

［5］近独立粒子的最概然分布习题选解
习题5.1 （教材,Ｐ.228,6.1题）
试根据式（6.2.1）证明,在体积V 试根据式（6.2.1）证明,在体积V内,在ε到 ε+dε的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为 +dε的能量范围内,
2π V D (ε ) d ε = (2 m )3 / 2 ε 1/ 2dε h3
/2m代入上式可得 在体积V 代入上式可得， +dε 将ε=p2/2m代入上式可得，在体积V内,在ε到ε+dε的能量范 围内, 围内,三维自由粒子的量子态数为
2π V D (ε ) d ε = (2 m )3 / 2 ε 1/ 2dε h3
习题5.2 （教材,Ｐ.228,6.2题）
试证明,对于一维自由粒子，在长度L 试证明,对于一维自由粒子，在长度L内,在ε 到ε+dε的能量范围内,量子态数为 +dε的能量范围内,
（2）在玻色粒子情形中，粒子按能级分布有两种。每 在玻色粒子情形中，粒子按能级分布有两种。 种包含的微观态数如下： 种包含的微观态数如下：
Ω B−E =
∏
l
(ω l − 1 + a l )! a l ! (ω l − 1)!
Ω
'
B−E
3! 4! = ⋅ = 18 2!1! 2!2!
Ω
"
B−E
4 ! 3! = ⋅ = 12 3!1! 1!2 !
证明：在体积V内,动量大小在p到p+dp，动量方向在θ 证明：在体积V 动量大小在p p+dp，动量方向在θ 到θ+dθ，ϕ到ϕ+dϕ的范围内，自由粒子可能的状态数为 +dθ +dϕ的范围内，
π 2π V 2 4πV 2 D ( p ) dp = 3 p dp ∫0 sin θ ∫0 dϕ = 3 p dp h h

近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系：热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。

而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。

热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。

μ空间：设粒子的自由度为r 。

经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。

粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。

粒子运动状态的经典描述和量子描述：① 一维谐振子在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中，转子的能量是：2M 2Iε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为234V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。

第6-9章作业第六章 近独立粒子的最概然分布6．1试证明，在体积V 内，在ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D(ε) d ε =()εεπd m h V2123322解: 式（6.2.13）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为3d d d .x y z Vp p p h（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为234πd .V p p h （2） 上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ，动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为2.2p mε= 因此d .p p p md ε==将上式代入式（2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()132232π()d 2d .VD m hεεεε= （3）6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =εεd m h L 2122⎪⎭⎫ ⎝⎛ 证明：对于一维自由粒子，有n L hn L p ==ηπ2dnL hdp =∴ 由于p 的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在范围内的量子态数p d p p +→p d h Ld 2n =再由 εεm m p 2p 22==得所以 ()εεεεεd m h L m d h L dn 212222 d D ⎪⎭⎫⎝⎛===， 证毕6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επmd h L 222证明：对于二维自由粒子，有y y x x n L hp n L h p ==,y y x x dn L h dp dn L h dp ==∴,所以，在面积L 2内，在y y y x x x dp p p dp p p +→+→,内的量子态数为yx y x dp dp dn dn 22h L ＝换为极坐标，则动量大小在dp p p +→内的量子态数为ϕϕd dp h L pdpd h L dn 222222==对φ从0至2π积分，并利用m p 22=ε则可得在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επmd h L 222，证毕6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，试求在体积V 内，ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4 解:式（6.2.16）已给出在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d .V p p h π （1） 将极端相对论粒子的能量动量关系cp ε=代入，可得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()234πd d .VD ch εεεε=习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。

单粒子状态的量子描述
3
分布和微观状态
例1 一维无限深势阱（宽L，粒子质量m）
4
8例4 转子
2
2
(1),0,1,2,... 212l l l l l g l I ε+===+=l 为角量子数
9
微观状态数
10
Boltzmann系统
粒子可以分辨，量子态容纳的粒子数不受限制Bose 系统
粒子不可以分辨，量子态容纳的粒子数不受限制，自旋量子数为整数，
Fermi系统
粒子不可以分辨，量子态容纳的粒子数最多为
1，自旋量子数为半整数
11
16
Bose system （确定量子态上粒子数）
Bose
1984.1.1-1974.2.4{}..(1)!!(1)!i i B E i i i i n g W n n g +−=−∏
17
Fermi system （确定量子态上粒子数）Pauli 不相容原理
Bose (1984-1974)
i i
g n ≥相当于从g i 个量子态中挑出n i 个来
为粒子所占据
!!()!i i
n i i g i i i g W C n g n ==−{}.!!()!i F D i i i i i g W n n g n =−∏
27
Bose分布（确定量子态上粒子数）
33
34
利用Lagrange待定乘子法
α，β由约束条件定，物理意义？
35
Fermi 分布
类似Bose分布
37
半经典分布
条件：
48。

2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
4．本章的知识结构体系：
力学描述 系统微观 经典描述 粒子运 几何描述 态的描述 动状态 定域系 系统运动状 的描述 量子描述 量子态 玻色系 态的描述 非定域系 费米系 分布 定域系 最概然 等概率 与微 玻色 分布 原理 观态 费米系 关系
由力学知，粒子的运动状态是由能量来度量的。对近 独立粒子而言，粒子的能量仅与粒子本身状态有关而与其 它粒子的运动状态无关。 因此，近独立粒子系统的能量不包含粒子间的相互作 用能部分，而只是各粒子的动能之和。
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
一、粒子微观运动状态的经典描述
1．粒子运动状态的经典描述：
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
任何统计理论要涉及解决以下三个问题：
①研究对象是什么——引入何种假设、模型，如何描 述其研究对象的运动状态（力学、几何）； ②如何求出概率分布——这是核心； ③如何求出热力学量的统计表达式。 本章为7、8两章作准备，研究解决前两个问题。
2．本章研究的系统：
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
第六章 近独立粒子的最概然分布
1．统计物理的基本观点和方法：
基本观点：
①宏观物体是由大量微观粒子组成的。 ②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体表现， 宏观物理量是相应微观量的统计平均值。（例：温度）
方法：
深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互 作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。
就组成系统的各个微观粒子而言，它们是遵 守力学运动规律的。如果粒子遵守经典力学的运 动规律，对粒子运动的描述称为经典描述；如果 粒子遵守量子力学运动规律，对粒子运动状态的 描述就称为量子描述。本节先讨论粒子运动的经 典描述。

空间：2维
px2
2m
0 x L
px
当粒子以一定的动量 px 在容器
中运动时，粒子运动状态代表 点在µ空间的轨道是平行于x轴 的一条直线。
空间的体积元：d dxdpx
MUSIC
2.三维自由运动粒子
r 3 x, y, z px, py , pz
px mx py my pz mz
（角动量=转动惯量X角速度）L=Iω
p , p 是转子角动量的两个分量


1 m（r2 2 r2 sin2 2）
2
I mr2

21I（p2

1 sin2

p2）
转子的总角动量: L r p 守恒(无外力)
选 Z 平行 L
=2，p
0

p2 L2
1 2m
px2

p
2 y

pz2
空间：6维
3个2维的子空间
空间的体积元：d dxdydzdpxdpydpz
MUSIC
（二）线性谐振子 质量m F Ax （谐振子受力方程）
F Ax mx
x A x 0 （ A）
m
m
r=1 x px 二维空间
对单粒子: 量子数的数目=粒子的自由度 数
MUSIC
二、举例
（一）线性谐振子
,
n
(n 1)
2
n 0,1,2……
n（振动量子数）：运动状态和能量的量子数.
1个量子数(n)
自由度
0

1 2
r=1
0——零点效应
能级间隔： =n+1 n （常数）

新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
1－d线性谐振子 自由度： 1 相空间维数：2 位置：x
动量：p mx
p2 1 m 2 x 2 能量： 2m 2
半长轴
a 2m
能量椭圆：
p2 x2 1 2 2m m 2
能量曲面包围的相体积：
( ) ab 2
例二、线性谐振子
自由度： 1 空间维数：2
位置：x
动量：p mx
p2 1 2 2 m x 能量： 2m 2
能量椭圆
p2 x2 1 2 2m m 2
p
x
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述小结
例三、转子 自由度：2
空间维数：4
z
, 位置：
p r 2 动量： p r 2 sin 2
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
能量ε包围的相体积：
0 x L px
2 px px 2m 2m


V , 0
2 px
dxdpx dx
0
L
2 m
2 m
dpx 2 2m L
2m
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
无外力矩时,转子的总角动 量守恒量
M rp r M 2 p mr p 0 z // M 选 则 2
1 1 1 1 2 2 2 ( p p ) ( p ) 2 2 2I sin 2 I sin
（2）三维自由粒子： 分解 自由度：r 3, r 6 位置：x y z 投影
动量：p x mx p y my
三个2－d子相空间

因为 p (r)归一化为 函数，故采用周期性边 界条件：
L nx ,
nx 0,1,2,
又 ：k x
2
kx
2
L
nx , nx
0,1,2,
代入德布罗意关系式：px kx
px
2
L
nx
因此，一维自由粒子的量子数：1 nx
nx
px2 2m
2 22
m
nx2 L
nx 0,1,2,
b.三维
2
px L nx
N
E i
i 1
二.经典物理中微观运动状态的描述
1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动）
2）描述方式： 相空间中N个点。
三.量子物理中微观运动状态的描述
1）不可分辨 （物质波的非轨道几率运动）
2）描述方式： a.对于某一个粒子的各个量子态 b.对应于每一个量子态的粒子数
3）.玻色子与费米子 a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复合粒子。 如：电子、质子、中子等。
py
2
L
ny
pz
2
L
nz
nx 0,1,2,
量子数：3个
nx , ny , nz
n
p2 2m
p
2 x
p
2 y
2m
pz2
2 22
m
nx2
n
2 y
nz2
L3
简并度：6
.量子状态数与态密度
例五、求V=L3内在Px到Px+dPx， Py到Py+dPy， Pz到Pz+dPz间的自由粒子的量子态数与态密度。
b）玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或复合粒子。 如：光子、Л介子等。
c）泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立的费米子 的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。

第一章 热力学的基本规律习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。

解：由得：nRT PV = VnRT P P nRT V ==; 所以, TP nR V T V V P 11)(1==∂∂=α T PVRn T P P V /1)(1==∂∂=β P PnRT V P V V T T /111)(12=--=∂∂-=κ 习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:⎰-=)(ln dp dT V T κα如果1T α= 1T pκ= ,试求物态方程。

解： 因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此,dp p V dT T V dV T p )()(∂∂+∂∂=, 因为T T p pV V T V V )(1,)(1∂∂-=∂∂=κα 所以, dp dT V dV dp V dT V dV T T κακα-=-=,所以, ⎰-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα.CT pV pdp T dT V =-=⎰:,ln 得到 习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。

问（1压强要增加多少n p 才能使铜块体积不变？（2若压强增加100n p ，铜块的体积改多少解：分别设为V xp n ∆;，由定义得：74410*8.7*10010*85.4;10*858.4----=∆=V x T κ所以，410*07.4,622-=∆=V p x n习题 1.4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力η，物态方程是0),,(=T L f η实验通常在n p 1下进行，其体积变化可忽略。

第六章 近独立粒子的最概然分布6．1试证明，在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D(ε) d ε =()εεπd m hV2123322证明：由式子（6-2-13），在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为Z Y X dP dP dP h V3-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为dP P hV 234π-------------（2） 上式可以理解为将相空间（μ空间）体积元4πVP 2dP （体积V ，动量球壳4πP 2dP ）除以相格大小h 3而得到的状态数。

自由粒子的能量动量关系为mP 22=ε因此 εm P 2=， εmd PdP =将上式代入（2）式，即得到在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =()εεπd m hV2123322------------（3）6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =εεd m h L 2122⎪⎭⎫⎝⎛证明：对于一维自由粒子，有n Lhn L p ==π2 dn Lhdp =∴由于p 的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在范围内的量子态数p d p p +→ p d hLd 2n = 再由 εεm mp 2p 22==得 所以 ()εεεεεd m h L m d h L dn 212222 d D ⎪⎭⎫⎝⎛===， 证毕6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επm d hL 222证明：对于二维自由粒子，有y y x x n Lh p n L h p ==, y y x x dn Lhdp dn L h dp ==∴,所以，在面积L 2内，在y y y x x x dp p p dp p p +→+→,内的量子态数为y x y x dp dp dn dn 22hL ＝换为极坐标，则动量大小在dp p p +→内的量子态数为ϕϕd dp hL pdpd h L dn 222222==对φ从0至2π积分，并利用mp 22=ε则可得在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επm d hL 222，证毕6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，试求在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4 证明：在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为Z Y X dP dP dP h V3-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为dP P hV 234π-------------（2） 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，代入，可得在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4-------------------（3） 6．6同6.5题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何? 解：两种粒子的分布{}{}'l l a a 和必须满足：∑=llN a， ∑=llN a''，∑∑=+llllll E aa ''εε，其中E 为系统总能量。

第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。

②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。

这里0h 由测量精度决定的一个常数。

经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。

空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。

并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。

③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。

若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。

在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。

2023年热力学统计物理第五版(汪志诚著)课后答案下载热力学统计物理第五版(汪志诚著)内容简介导言第一章热力学的基本规律1.1 热力学系统的平衡状态及其描述1.2 热平衡定律和温度1.3 物态方程1.4 功1.5 热力学第一定律1.6 热容和焓1.7 理想气体的内能1.8 理想气体的绝热过程附录1.9 理想气体的卡诺循环1.10 热力学第二定律1.11 卡诺定理1.12 热力学温标1.13 克劳修斯等式和不等式1.14 熵和热力学基本方程1.15 理想气体的熵1.16 热力学第二定律的数学表述1.17 熵增加原理的简单应用1.18 自由能和吉布斯函数习题第二章均匀物质的热力学性质2.1 内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 2.2 麦氏关系的简单应用2.3 气体的节流过程和绝热膨胀过程2.4 基本热力学函数的确定2.5 特性函数2.6 热辐射的热力学理论2.7 磁介质的.热力学2.8 获得低温的方法习题第三章单元系的相变3.1 热动平衡判据3.2 开系的热力学基本方程3.3 单元系的复相平衡条件3.4 单元复相系的平衡性质3.5 临界点和气液两相的转变3.6 液滴的形成3.7 相变的分类3.8 临界现象和临界指数3.9 朗道连续相变理论习题第四章多元系的复相平衡和化学平衡热力学第三定律 4.1 多元系的热力学函数和热力学方程4.2 多元系的复相平衡条件4.3 吉布斯相律4.4 二元系相图举例附录4.5 化学平衡条件4.6 混合理想气体的性质4.7 理想气体的化学平衡4.8 热力学第三定律习题第五章不可逆过程热力学简介5.1 局域平衡熵流密度与局域熵产生率 5.2 线性与非线性过程昂萨格关系5.3 温差电现象5.4 最小熵产生定理5.5 化学反应与扩散过程5.6 非平衡系统在非线性区的发展判据 5.7 三分子模型与耗散结构的概念习题第六章近独立粒子的最概然分布6.1 粒子运动状态的经典描述6.2 粒子运动状态的量子描述6.3 系统微观运动状态的描述6.4 等概率原理6.5 分布和微观状态6.6 玻耳兹曼分布6.7 玻色分布和费米分布……第七章玻耳兹曼统计第八章玻色统计和费米统计第九章系综理论第十章涨落理论第十一章非平衡态统计理论初步附录A 热力学常用的数学结果B 概率基础知识C 统计物理学常用的积分公式索引参考书目物理常量表热力学统计物理第五版(汪志诚著)图书目录《“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材：热力学统计物理(第5版)》是“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材，是作者在第四版的基础上全面修订而成的。

第六章 近独立粒子的最概然分布习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度L 内，在ε到εεd +的能量范围内，量 子态数为：εεεεd m h L d D 2122)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=证：一维自由粒子，x P 附近的量子态为x dP h L dn =；x x x x x dP m dP m m m dP P d m P εεεε21222+=⋅+==⇒=于是。

()εεεεd mh L d D 2+= 而 ±P x 对应同一能量ε，于是：()m h L m h L D εεε2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在长度L 2内，在ε到εεd +的能量范围内， 量子态数为()επεεmd hL d D 222=证：二维；在P x ,P y 附近dP x dP y 区间上内的粒子数。

ϕPdPd hSdP dP h S dn y x 22== (s －面积)因m P 22=ε只与P 有关（P >0）,故对ϕ积分可得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==m P h S PdP h S d D 222222ππεε，επd h mS m 22= ()22hmS D πε=⇒ (s=L 2) 习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为cp =ε。

试求在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。

解：φθθd dpd p hVdp dp dp h V dn z y x sin 233==由于cp =ε只与p 有关，与θ、φ无关，于是⎰⎰===ππεππφθθεε200322323)(44sin )(hc V dp p h V d dpd p h V d D 以上已经代入了 c d p d cp =⇒=εε于是， 32)(4)(hc V D επε=习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。

假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。

0 0 2

p
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6.2
粒子运动状态的量子描述
一、微观粒子的波粒二象性与测不准关系
微观粒子普遍地具有粒子和波动的二象性，一方面是客观存在的单个实 体，另一方面在适当的条件下显示干涉、衍射等波动的现象。 德布罗意波： 德布罗意，薛定谔
能量为、动量为p的自由粒子 对应 圆频率为、波矢为k的单色平面波
德布罗意关系： p k

适用于一切微观粒子。
h ; 其中h和都称为普朗克常量： h 6.626 10 34 J . S 2π 1.055 10 34 J . S
普朗克常数是物理中的基本常数， 它的量纲是[时间]· [能量]=[长度]· [动量]=[角动量]
结论：确定了系统的r个广义坐标和r个广义动量，就确定了体系的运动状态。
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6.1 二、 空间
粒子运动状态的经典描述
把遵从经典力学规律的粒子看作是具有r个自由度的力学体系时，近独 立粒子的运动状态由粒子r个广义坐标和r个广义动量确定----构成一个 2r维抽象空间，称为空间，也称为粒子相空间。 μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点称为 代表点（或相点）。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空 间中移动，描画出一条轨迹，称为相轨迹。 ①、相点是一个粒子运动状态，而不是粒子，粒子只能在真实空间运动。 ②、任何粒子总可以找到与其对应的空间，不同自由度的粒子不能用同一 空间描述状态。 ③、若粒子受 i E 的限制，粒子状态只能在能量曲面内，称为相体积。 H H ，q ④、 空间中相轨道不相交，因为在物理问题中 P 是单 q p 值函数。

y
双原子分子:以约化质量μ替换m
m1m2
m1 m2
无外力作用,选Z轴平行于转子总角动量M: p 2 M 2
2I 2I
§6.2 粒子运动的量子描述
本节要求：①掌握量子态的概念； ②掌握自由粒子能量量子化及其量子态数的计算， ③掌握粒子能态密度的概念和计算。
粒子性与波动性
德布罗意关系：
s(s 1) （, s取正整数、0或正的半奇数）
Sz ms ，(自旋量子数ms s, s 1, ..., s 1, s)
电子、质子、中子等粒子,其量子数为
mS
1, 2
自旋磁矩:
e
Sm
自旋磁矩在空间任意方向上的投影只能取两个值:
z
e 2m
在外场B中的势能为
U
B
e 2m
B
mS
e m
B
例二、线性谐振子(双原子分子的相对振动，晶格振动)
dny
L
2
dpy
dnz
L
2
dpz
2
px L nx
在V=L3内，符合上式的量子态数：
L
dnx dn y dnz
(
2
)3 dpxdpydpz， 亦可从对应关系来理解
粒子状态与μ空间体积元的对应关系:
粒子自由度为r , p1 pr q1 qr hr （相格）
p1 pr q1 qr hr （相格）
足够小，同一相格内的 空间的粗粒近似 相格 不同相点所代表的状态
能量值确定的状态在空间为两条相互平行的直线段；
动量值确定的状态则分布在一条直线段上;
3维自由粒子：分解为3个2维子空间;
对于给定能量的状态，在空间为5维的等能“曲面”。