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第六章近独立粒子的最概然分布6.1试根据式33d d d d d d d d d 2x y z x y z x y z L V n n n p p p p p p h π⎛⎫== ⎪⎝⎭h ，证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()()132232d 2d VD m hπεεεε=。
解：用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量：sin cos ;sin sin ;cos x y z p p p p p p θϕθϕθ===对动量积分，得在p 到d p p +范围内量子态数为：2233d sin d d 4d Vp Vp V p p h hθθϕΩ==⎰⎰⎰π 自由粒子的能量动量关系为：22p mε=，因此2,d p m p p md εε==得体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，粒子的量子态数为：()132232()d 2d VD m hεεεε=π6.2证明，一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()2d d 2L mD h εεεε=解：一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为：d d d xx x p n h=在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内的量子态数为2d x L n p h=将能量动量关系：22p mε=，代入，即得()122d d 2L m D h εεεε⎛⎫= ⎪⎝⎭6.3证明二维自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()222L D d md hεεε=π。
解：二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为：3d d d d d d x yx y x y p p n n h=动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为cos ,sin x y p p p p θθ== 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为d d d V p p θ=在面积2L 内，在p 到d p p +，θ到d θθ+范围内，自由粒子可能的状态数为-22d d h L p p θ 对d θ积分，可得面积2L 内，p 到d p p +范围内，二维自由粒子可能的状态数为：2-22d L h p p π 将能量动量关系：()-122m p ε=，代入，即有()2-2d 2d D L h m εεε=π6.4在极端相对论情形下 cp ε=，试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d V p p h π 将cp ε=带入，得V 内在能量ε到d εε+内，量子态数为：()()-32d 4d D V ch εεεε=π6.5系统有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '。
近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系：热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。
而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。
热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。
μ空间：设粒子的自由度为r 。
经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。
粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子运动状态的经典描述和量子描述：① 一维谐振子在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中，转子的能量是：2M 2Iε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为234V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。
②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。
这里0h 由测量精度决定的一个常数。
经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。
空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。
并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。
③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。
若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。
在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。
②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。
这里0h 由测量精度决定的一个常数。
经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。
空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。
并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。
③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。
若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。
在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。
②、系统中，每个粒子（分子、原子、离子、电子、光子等）具有相同的各种可能状态，系统的一个微观状态就是体系的粒子在这些可能的状态中的一种具体分布。
2、全同近独立粒子系统微观运动状态的描述：体系全部粒子的微观状态确定之后，系统的微观态即已确定。
无论那个粒子微观状态的改变，均将改变系统的微态。
在一定的宏观条件下，系统所可能的微观状态的总数是确定的。
由于碰撞粒子之间不断交换能量，系统的微观状态总在不断的变化。
①、系统微观运动状态的经典描述：1）可分辨（可跟踪的经典轨道运动）2）描述方式：由N个全同粒子组成的系统在某时刻的微观运动状态可以在μ空间中用N个点表示，体系的一个微观状态就是这N个点在μ空间一个具体分布。
注意：由于粒子的可区分性，交换两个代表点在μ空间的位置，相应的系统的微观状态是不同的。
②、系统微观运动状态的量子描述：1）不可分辨（物质波的非轨道几率运动）2）描述方式：a. 玻耳兹曼系统的微观运动状态（即确定体系的粒子在各种可能的状态中的具体分布）：归结为确定每一个粒子的个体量子态。
b. 玻色系统、费米系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。
三、分布与系统微观状态数1、能级分布与状态分布：①、能级分布：在N，U，V 确定的系统中，分布各能级上的粒子数。
②、状态分布：是指粒子如何分布在各量子态上。
3、分布与微观状态数状态数及各分布出现的几率、最概然分布。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆∆∆,,,,,,,,,,,,,,,,}{21212121l l l l l a a a a ωωωεεετττ：（1）、与分布}{l a 对应的微观状态数为()la Ω ①、 ()l a l lll l B M a a ω∏=Ω∏!N!.. ②、()∏--+=Ωll l ll E B a a a )!1(!)!1(..ωω ③、 ()∏-=Ωll l l l D F a a a )!(!!..ωω④、()l a r l l ll l cl h a N a ) ( ! !τ∆∏∏=Ω （2）、分布{}la 要满足的条件是：}{E N l l l l lla a a一般有多种分布⇒⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑ε （3）、等概率原理：在 N ，U ，V 确定的系统中，系统总的微观状态数()∑Ω=Ωla l a 总系统某时刻的微观状态只是其中的一个。
在宏观短，微观长时间内（一瞬间）系统经历了所有的微观状态()∑Ωla la ----各态历经假说。
且各微观态出现的概率相等()∑Ω=la l a p 1①、分布{}la 出现的概率()()()∑ΩΩ=Ω=lla l l l a a a a p p②、 最概然分布：理论计算及实验检验表明()()lmm ana la a lΩΩ=Ω∑~总在粒子数足够多的宏观体系中，可以用()lmmana Ω来近似代表所有的微观态数的总和 4、三种最概然分布推导方法：()lm l l l l ll a a a a ⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===Ω∑∑E N 0ln εδ ①、玻耳兹曼分布l e al lβεαω--=②、玻色-爱因斯坦分布1-=+l e a llβεαω③、费米-狄拉克分布1+=+l e a llβεαω四、解题指导[例1]、对于二维自由粒子，在长度L 2内，求粒子在ε到εεd +的能量范围内量子态数()εεd D 。
方法一：解，量子力学方法:边长为L 的正方形平面内，粒子哈密顿算符的能量本征方程为()εϕϕϕ=+=22ˆ21H Y X P P m设：()()()y Y x X y x =,ϕ 则22222222222112 εεm dy Y d Y dx X d X XY XY y x m -=+⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-2222222222;1;1 εm k k k dy Y d Y k dx X d X yx y x =+-=-=其中解得：()()()()()y p x p iy k x k i y x y x e e y Y x X y x ++===A1A 1,ϕ利用周期性边界条件：⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2L ,2L ,;,2L ,2L x x y y ϕϕϕϕ得：2,1,0;,2;2±±===y x y y x x n n n Lp n L p ππ 由上式可知，量子数yxn n ，完全决定了粒子的量子状态。
以yxn n ，为直角坐标轴，构成二维量子数空间，每一组数()yxn n ，对应一个点，它代表一个量子态，这种点成为代表点，此空间中边长为1的一个正方形（面积为1）内有1个代表点，即相应于1个量子态。
由()()2222222221y x y x n n mLp p m +=+= πε可知，在数空间中能量ε的等能线为半径()2122221222R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+= πεmL nnyx的圆，它所包围的面积为2222R πεπmL =，而单位面积对应1个量子态，所以粒子能量小于ε的量子态数为()222πεεωmL =，所以粒子在ε到εεd +的能量范围内的量子态数()()επεεεωεεmd hL d d d d D 222==其中：()m hL D 222πε=为态密度，显然此情况在数空间态密度是均匀的。
方法二： 解，半经典方法:由()2221yx p p m+=ε可知，在二维动量空间中，等能线满足εm p py x222=+，等能线为半径等于εm 2的圆，由此求得粒子能量小于ε的量子态数：()επεωεm hL h dp dxdydp Am p p yx y x 2222222==⎰⎰≤+所以粒子在ε到εεd +的能量范围内的量子态数()()επεεεωεεmd hL d d d d D 222==[例2]：（1）假设某种类型分子的许可能级为0、ω、ω2、ω3、……，若0和ω两能级是非简并的，而ω2和ω3两个能级分别是6度和10度简并，如果体系含有6个分子，问与总能量ω3相联系的是什么样的分布？并根据公式∏∏=Ωla l ll la ω!N!M.B 计算每种分布的微观态数DΩ,并由此确定各种分布的几率（设各种微观态出现的几率相等）。
解：粒子的在各能级的分布可以描述如下：能 级 ,,,4321εεεε，能量值 ωωω,32,,0简并度 ,106,1,1 ，分布数 ,421,,aa a分布{}la 要满足的条件是：6==∑N all， ωε3E ==∑ll l a满足上述限制条件的分布可以有：{}{} 0,1,0,0,5a :D l 1={}{}0,0,1,1,4a :D l 2={}{} 0,0,0,3,3a :D l 3=则各分布所对应的微观态数为：60015!6!1D =⨯=Ω08164!6!2D =⨯=Ω2013!3!6!3D =⨯=Ω 所以此种情况下体系的总的微观状态数为260321=Ω+Ω+Ω=Ω总各分布的几率为：230.02606011D D ==ΩΩ=总P692.026018022D D ==ΩΩ=总P 077.02602033D D ==ΩΩ=总P [例3]：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。
假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。
试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：l e a l l βεαω--=和'--'='le a l lβεαω其中lε和'lε是两种粒子的能级，lω和'lω是能级简并度。
证：粒子A 能级，粒子数分布：lε—{a l }—简并度lω粒子B 能级，粒子数分布：'lε—{a ’l }—简并度'lω体系两种粒子分布要满足的条件为： N all=∑，N a ll '='∑ E =''+∑∑ll l ll l a a εε分布{}la ，对应的微观状态数为∏∏=Ωla l ll la ω!N!1分布{}la '，对应的微观状态数为∏∏''''=Ωla l ll l a ω!!N 2则系统的微观态数为21Ω⋅Ω=Ω上式表明：当第一类粒子的分布为{a l }，而同时第二类粒子的分布为{a ’l }时系统的微观态数。
在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件N all=∑，N a ll '='∑ E =''+∑∑ll l ll l a a εε下使21ln ln Ω⋅Ω=Ω为极大的分布。
