2018-2019学年北京四中八年级(上)期中数学试卷-含详细解析

北京四中18-19学度初二上年中考试试题-数学〔时间：100分钟总分值：120分〕姓名：班级：成绩: ____________一、选择题〔每题3分，共30分〕1、以下交通标志图案是轴对称图形的是〔〕、A、 B、 C、 D、2、以下说法正确的选项是〔〕、A、一个无理数不是正数就是负数B、8的立方根是±2C、3的平方根是3 D是无理数3、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'，⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，那么以下各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是( 〕、A、①②③B、①②⑤C、①③⑤D、②⑤⑥4、点P〔1，2〕关于y轴对称点的坐标是〔〕、A、〔－1，2〕B、〔1，－2〕C、〔1，2〕D、〔－1，－2〕5、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，用1小时爬上山顶。

游客爬山所用时间t与山高h间的函数关系用图形表示是〔〕、A、 B、 C、 D、〔1〕有两个内角分别是70°、40°的三角形是等腰三角形、〔2〕平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形、〔3〕有两个内角不等的三角形不是等腰三角形、〔4〕如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等，那么这个三角形是等腰三角形、A、1个B、2个C、3个D、4个7、一个正方体水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在〔〕之间、A、4cm～5cmB、5cm～6cmC、6cm～7cmD、7cm～8cm8、如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是边AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在边BC上，那么AP的长是()、A、4B、5C、6D、8P（第8题）BOCDA9、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAD=20︒，那么∠EDC=()、A 、18︒B 、15︒C 、10︒D 、8︒10、在ΔABC 中，高AD 、BE 所在直线交于H 点，假设BH ＝AC ，那么∠ABC ＝〔〕、A 、30︒B 、45︒或135︒C 、45︒D 、30︒或150︒【二】填空题〔每空2分，共24分〕11、函数y =x 的取值范围是、12、大于5-小于5的所有整数是、13、假设2-x 是8的立方根，那么x 的平方根是、 14、周长为20的等腰三角形的腰长为x ，底边长为y ，那么y 与x 之间的函数关系式；x 的取值范围为、15、如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，假设∠B=70º，∠BAD:∠BAC=1:3，那么∠C 的度数是、假设AE=6，△ABD 的周长为18，那么△ABC 的周长=____、16、如图，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，BD ＝2CD ，假设点D 到AB 的距离等于5cm ，那么BC 的长为_____cm 、(第15题)(第16题)(第18题)17、假设实数z y x ,,满足21202x y z ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，那么z y x ++=_____、 18、：如图，∠B=∠C=90︒，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CED=36︒，那么∠EAB 的度数是__________、19、有一等腰三角形纸片，假设能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，那么原等腰三角形纸片的顶角为度、20、如图，在△ABC 中，AB=23，∠CAB=15︒，M 、N 分别是AC 、AB 上的动点，那么BM+MN 的最小值是__________、 三、解答题〔共46分〕21、计算〔每题4分〕：1(2)23)451(12726-+-、22、解方程〔每题4分〕：(第9题)B C A D E AB C ED A B C D EA B C M N （第20题） A B C D(1)()2252116x +=；(2)125)32(3-=-x 、23、〔5分〕如图，D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，求证：AB=AC 、24、〔6分〕在平面直角坐标系中，直线l 过点M 〔3，0〕且平行于y 轴、〔1〕如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A 〔-2，0〕、B 〔-1，0〕、C 〔-1，2〕，△ABC 关于直线l 的对称图形是△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并求出A 1、B 1、C 1的坐标；(2)如果点P 的坐标是〔-a ,0)其中a >0,点P 关于y 轴的对称点是点P 1，点P 1关于直线l 的对称点是点P 2，求P 1P 2的长(用含a 的代数式表示〕、25、〔6分〕如图，在矩形MNPQ 中，MN=6，PN=4，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止、设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，〔1〕当x =3时y=；当x =12时，y=；当y=6时，x =；〔2〕分别求当04x <<、410x ≤≤、1014x <<时，y 与x 的函数关系式、26、〔5分〕：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,直线l 经过顶点C ，过A ，B 两点分别作l 的垂线AE 和BF ，且E ，F 为垂足.（1）求证：EF=AE+BF ；（2）取AB 的中点M ，连结ME ，MF 、试判断△MEF 的形状，并说明理由、27.〔3分〕阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根。

北京四中初二上期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传，下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列各式不能分解因式的是（ ）． A ．224x x - B ．214x x ++C ．229x y +D ．21m -3．点(3,5)P -关于y 轴的对称点的坐标是（ ）． A ．(3,5)B ．(3,5)-C ．(5,3)-D ．(3,5)--4．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，若3c m CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）． A ．5cm B ．4cm C ．3cmD ．2cm5．下列各式中，正确的是（ ）． A ．3355x xy y--=- B ．a b a bc c +-+-= C ．a b a bc c---=-D ．a ab a a b-=--6．下列命题是真命题的是（ ）． A ．等底等高的两个三角形全等 B ．周长相等的直角三角形都全等C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等7．如图，D 是等腰Rt ABC △内一点，BC 是斜边，如果将ABD △绕点A 逆时针方向旋转到ACD '△的位置，则ADD '∠的度数（ ）． A ．25︒ B ．30︒ C ．35︒ D ．45︒AC D BD'ACD B8．在等腰ABC △中，已知2AB BC =，20AB =，则ABC △的周长为（ ）． A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．无法确定9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x 的范围是（ ）．A ．212x <<B ．57x <<C ．16x <<D ．无法确定 10．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论： （1）AD BF =；（2）CF CD =；（3）AC CD AB +=；（4）BE CF =；（5）2BF BE =， 其中正确的结论个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．若式子24x x -有意义，则x 的取值范围是__________．12．计算212293m m +=--__________．13．如图，在ABC △中，AB AC =，20A ∠=︒，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠为__________度．14．若关于x 的二次三项式2x kx b ++的因式分解为(1)(3)x x --，则k b +的值为__________．15．若7a b +=，5ab =，则22a ab b -+=__________．16．当x 取__________值时，2610x x ++有最小值，最小值是__________．17．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则列出的方程是__________．18．如图，ABC △中，在BC 上截取BD BA =，作ABC ∠的平分线与AD 相交于点P ，连结PC ，若2BD CD =，ABC △的面积为22cm ，则DPC △的面积为__________．19．如图，把ABC △沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=︒，195∠=︒，则2∠的度数为__________．20．如果满足条件“30ABC ∠=︒，1AC =，(0)BC k k =>”的ABC △是唯一的，那么k 的取值范围是__________．FEAC BDEDBC AP D BCA三、解答题21．把多项式分解因式（每题4分，共8分） （1）33312a b ab -； （2）222()4()4x x x x ---+．22．（每题4分，共8分） （1）计算：21111a a a a a ÷----． （2）解方程：542332x x x+=--． 23．（本题5分）已知：如图，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AB CD =，AE BF ∥且AE BF =． 求证：EC FD =．24．（每题4分，共8分）（1）先化简，再求值：21123369m m m m m ⎛⎫+÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中9m =．（2）已知113x y -=，求代数式21422x xy y x xy y----的值．25．列分式方程解应用题：（本题5分）（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系） 赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车和自行车的速度．四、解答题26．（本题4分）某地区要在区域S 内（即COD ∠内部）建一个超市M ，如图所示，按照要求，超市M 到两个新建的居民小区A ，B 的距离相等，到两条公路OC ，OD 的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）27．（本题5分）阅读下列材料：如图，在四边形ABCD 中，已知105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ADC ∠=∠=︒． 求证：CD AB =． 小刚是这样思考的：由已知可得，60DCA ∠=︒，75DAC ∠=︒，30CAB ∠=︒，180ACB DAC ∠+∠=︒， 由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A 作AE AB ⊥交BC 的延长线于点E ，则AB AE =，E D ∠=∠． ∵在ADC △与CEA △中， 75D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ADC △≌CEA △， 得CD AE AB ==．请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图，在四边形ABCD 中，若180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠，请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明：若不相等，请说明理由．ACBDEDBCA28．（本题7分）在等边ABC △中，D 为射线BC 上一点，CE 是ACB ∠外角的平分线，60ADE ∠=︒，EF BC ⊥于F ．（1）如图1，若点D 在线段BC 上． 求证：①AD DE =；②2BC DC CF =+；（2）如图2，若点D 在线段BC 的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．图2ABD CFE图1ACBEDF附加题（满分20分）：1．（本题4分）已知2310a a --=，求62120a a -+=__________． 2．（本题4分）如图，45ABC BCD DAB ∠=∠=∠=︒，2BD =，则四边形ABCD 的面积为__________．3．（本题6分）已知22m n =+，22n m =+，m n ≠，求332m mn n -+的值．4．（本题6分）已知：ABC △中，2ABC ACB ∠=∠，ABC ∠的平分线BD 与ACB ∠的平分线CD 相交于点D ，且CD AB =，求证：60A ∠=︒．DCBA北京四中初二上期中数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCACDDDBCD二、填空题（本题共20分，每小题2分）题号 11 12 13 14 15 答案 4x ≠23m -+ 601-34题号 16 17 18 19 20 答案 3-，1480480420x x -=+21cm 325︒2k =或01k <≤三、解答题21．（1）解：33223123(4)3(2)(2)a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-． （2）解：2222222()4()4(2)(2)(1)x x x x x x x x ---+=--=-+．22．（1）解：原式1(1)(1)11a a aa a a -+=⋅--- 11a aa a +=-- 221(1)(1)a a a a a a -=--- 1(1)a a =--．（2）解：去分母得，54(23)x x -=-， 整理得，77x =， 解得，1x =．经检验，1x =为原方程的解．22．证明：∵AE BF ∥， ∴A FBD ∠=∠． ∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC BD =． 在AEC △和BFD △中， A FBD AC AE B BD F ∠=∠==⎧⎪⎨⎪⎩， ∴AEC △≌BFD △（SAS ）． ∴EC FD =．24．（1）解：原式233(3)(3)(3)2m m m m m m ++--=⋅-+233(3)(3)(3)2m m m m m m ++--=⋅-+ 22(3)(3)(3)2m m m m m-=⋅-+ 33m m -=+． ∵9=m ， ∴原式931932-==+． （2）解：∵113x y-=，∴3x y xy -=-，21426144232x xy y xy xyx xy y xy xy----==----．25．解：设自行车的速度为x 千米/小时，则自驾车的速度为2x 千米/小时． 依题意得：2020529x x -=， 解得18x =．经检验，18x =是原方程的解，且符合实际意义． 236x =．答：自行车的速度为18千米/小时，则自驾车的速度为36千米/小时．26．解：如图所示，点M 即为所求．27．解：CD 与AB 相等，证明如下： 作AE AB =交BC 延长线于点E ， ∴B E ∠=∠． ∵B D ∠=∠， ∴D E ∠=∠．∵180ACB CAD ∠+∠=︒，180ACB ECA ∠+∠=︒， ∴DAC ECA ∠=∠． 在DAC △和ECA △中，D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DAC △≌ECA △（AAS ）， ∴CD AE =，∴CD AB =．28．（1）证明：①过点D 作DG AC ∥交AB 于点G ． ∵ABC △是等边三角形， ∴AB AC =，60B ACB ∠=∠=︒， ∴60BDG ACB ∠=∠=︒， ∴60BGD ∠=，∴BDG △是等边三角形， ∴BG BD =， ∴AG DC =．∵CE 是ACB ∠外角的平分线， ∴120DCE AGD ∠=︒=∠． ∵60ADE ∠=︒，∴120ADB EDC ADB DAG ∠+∠=︒=∠+∠， ∴EDC DAG ∠=∠， ∴AGD △≌DCE △． ∴AD DE =．②∵AGD △≌DCE △， ∴GD CE =， ∴BD CE =，∴2BC BD DC DC CF =+=+．（2）①成立；②不成立，此时2BC CF CD =-． 过D 作DG AC ∥交BA 延长线于G ． 同（1）可证明AGD △≌DCE △， ∴AD DE =，GD CE =． ∴BD CE =，在CEF △中，60∠=︒ECF ，90∠=︒CFE ， ∴2=CE CF ．∴2=-=-BC BD CD CF CD ．附加题（满分20分）： 1．【答案】1309【解析】∵2310a a --=，∴231a a =+，∴422(31)9613310a a a a a =+=++=+， ∴822(3310)108966010039271189a a a a a =+=++=+，∴8622120392711891201309(31)12013093131a a a a a a a a -+++++====++．2．【答案】2【解析】延长AD 交BC 于点H ． ∵45ABC BCD DAB ∠=∠=∠=︒， ∴90AHB ∠=︒，∴AHB △与CHD △均为等腰直角三角形． 设CH m =，BH n =，则AH n =，DH m =． 在Rt BHD △中，222BH HD BD +=，∴22224m n +==，则2211=222ABH CDH ABCD S S S m n +=+=四边形△△．故答案为2．3．解：∵22m n =+，22n m =+，∴2222m n n m -=+--， ∴()()m n m n n m +-=-， ∵m n ≠， ∴1m n +=-． ∴332m mn n -+222m m mn n n =⋅-+⋅222mn m mn mn n =+-++ 2()m n =+2=-．4．证明：过点A 作AE BC ∥交BD 延长线于E ，连接CE ． 设AC 、BE 相交于点O ，则1ACB ∠=∠，23∠=∠．∵2ABC ACB ∠=∠， ∴3ACB ∠=∠， ∴OB OC =，12∠=∠， ∴OA OE =． 又∵AOB EOC ∠=∠， ∴AOB △≌EOC △．∴BAC CED ∠=∠，543∠=∠=∠，AB CE =． ∵CD AB =， ∴CD CE =，∴36CED CDE ∠=∠=∠+∠， 又∵57DCE ∠=∠+∠，67∠=∠， ∴60CED CDE DCE ∠=∠=∠=︒， ∴60BAC CED ∠=∠=︒．HDCBA北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【答案】D【解析】观察可知，D 中的图形为轴对称图形．故选D ．2．【答案】C【解析】2242(2)x x x x -=-；2211()42x x x ++=+；21(1)(1)m m m -=+-．故选C ．3．【答案】A【解析】点(3,5)P -关于y 轴的对称点的坐标是(3,5)．故选A ．4．【答案】C【解析】由角平分线性质定理可知，点D 到AB 的距离是等于3cm CD =．故选C ．5．【答案】D 【解析】3355xxy y --=；a ba bc c +---=；a ba bc c --+=-．故选D ．6．【答案】D【解析】有一边对应相等的两个等边三角形全等为真命题．故选D ．7．【答案】D【解析】由题意知，ABD △≌ACD '△，∴AD AD '=，D AC DAB '∠=∠，∴90D AD D AC CAD DAB CAD ''∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴45ADD '∠=︒．故选D ．8．【答案】B【解析】若AB 为底边，则10BC CA ==，不能构成三角形，∴AB 为腰，∴20AC =，10BC =，故ABC △的周长为50．故选B ．9．【答案】C【解析】倍长中线，得到一个边长分别为5，7，2x 的三角形，则75275x -<<+，即16x <<．故答案为C ．10．【答案】D【解析】易证ACD △≌BCF △，则AD BF =，CF CD =．∵AD 平分BAC ∠，AD BF ⊥，∴AB AF =，BE EF =，∴AC CD AC CF AF AB +=+==，2BF BE =．∵BE EF CD CF =>=，即BE CF >．故（1）（2）（3）（5）正确，即正确的结论个数为4．故选D ．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．【答案】4x ≠【解析】由题意，得40x -≠，∴4x ≠．故答案为4x ≠．12．【答案】23m -+ 【解析】2122122(3)1226293(3)(3)(3)(3)(3)(3)3m m m m m m m m m m m +--+=-==---+-+-+-+．故答案为23m -+．13．【答案】60【解析】∵AB AC =，20A ∠=︒，∴80ABC C ∠=∠=︒．∵线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，∴AE BE =，∴20ABE A ∠=∠=︒，∴802060CBE ABC ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为60．14．【答案】1-【解析】22(1)(3)43x kx b x x x x ++=--=-+，∴4k =-，3b =，∴1k b +=-．故答案为1-．15．【答案】34【解析】∵7a b +=，5ab =，∴222()239a b a b ab +=+-=，∴2234a ab b -+=．故答案为34．16．【答案】3-，1【解析】22610(3)1x x x ++=++，当3x =-时，有最小值1．故答案为3-，1．17．【答案】480480420x x -=+ 【解析】由题意可知，所列方程为480480420x x -=+．故答案为480480420x x -=+．18．【答案】21cm 3【解析】∵2BD CD =，∴2ABD ACD S S =△△，∴13ACD ABC S S =△△． ∵BD BA =，BP 平分ABD ∠，∴AP PD =，∴12PDC APC ADC S S S ==△△△， ∴1163PDC ABC S S ==△△．故答案为21cm 3．19．【答案】25︒【解析】由折叠性质，易得122A ∠+∠=∠，∴225∠=︒．故答案为25︒．20．【答案】2k =或01k <≤【解析】作30MBN ∠=︒，在射线BN 上任取一点C ，使BC k =．①如图1，当01k <<时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，此时只与圆有唯一的交点，∴ABC △是唯一的．②如图2，当1k =时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，B ， ∴ABC △是唯一的．③如图3，当2k =时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，是唯一的， ∴ABC △是唯一的．故当2k =或01k <≤时，ABC △是唯一的． 故答案为2k =或01k <≤．图1NMC B A图2N M C B A 图3N M C B A。

北京四中初二上期中数学试卷一、选择题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）．DA B C．．．．2）．把多项式．分解因式，结果正确的是（2aa4?22)a?2)(a?a(2)2)(a?((a?4)a?a4(a?2)? DB A C．．．．2．）3．分式的取值范围是（有意义，则x1?x B C DA1x?1?xx??1x?1?．．．．）．4．点关于轴成轴对称的点的坐标是（y3)A(2,3)2)?(2,(3,?3),?3)(?2,(?2 C A BD．．．．△中，已知???AA???CAB≌使5．在和，添加下列条件中的一个，不能，B??AB?A?ABCABC△△．．△）．一定成立的是（???CAB????? C ADB ．．．．?C??B?CAC?ACC?BCB?B??．）6．下列各式中，正确的是（y?yx??a?b1?bx??? A B．．22abb22yx?yx?1x?3?? D C ．．22)?xy(x?y3?9x?x，则这个等腰三角形的周长为（）．7．等腰三角形的两边长分别为和63B C D A 181515．．．或．1212的度数是（边上的高，则是，，中，．如图，8．）BDDBC?ACABC△AB??A36AC??A?18．B．?24 C?30．D?36．1的度．如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证91???30?3．数为（）A?30．B?45．C?60．D?75．）．，若10．如图，和分别垂直平分和，则等于（ABMPPAQ?QNAC130???BACA?50．B?75．C?80．D?105．二、填空题用科学记数法表示为．已知某种植物花粉的直径为纳米，即米，把110.000035350000.000035 __________．2 __________．12．分解因式：??6x?3x310?1 __________．计算：．13?3|)|(?2?1)??(2．若于交于，，．14 如图，在中，，平分E?ADABDEDBCCAB30B??ABCC??90???△Rt，cm1DE?则__________．?BC cm，在同一直线上，且、、、，是等边三角形，点15．如图，已知DE?DFEBDCD?C△ABCCG则__________度．??E，中，、分别平分，、．如图，16ABCO?ABCBOACB?∥OMABC△?．，则__________，的周长OMN10cmBCACON∥?△cm2112x?14xy?2y??3?__________．17．已知，则代数式xyx?2xy?y 的面积为，则，且，平分如图18．中，，的面积为4ABAD?ACDABD3△△ABCAC??BAC2△__________．最小时，是正方形19．如图，的一条对称轴，点是直线上的一个动点，当PPDMNABCD?PCMN __________．??PCD上的一个动点（点，点是折线段20．如图所示，长方形中，，E4EAB?3?4BCCA?DABCD?为等腰三角运动的过程中，能使，点是点关于的对称点．在点与点不重合）EPAABEPCB△．．．．的位置共有__________个．形的点E．三、解答题分解因式22)y(2?m92)mx(??．．213222xx(??1)4．22．计算abb32b3?)(?．23．4b3a9a?x12?．24．2x1?1?xa1．25．先化简，再求值：，其中1?a?3?(1?)21?12aa?a? 83x?1??．解方程：26．21?x1x?．，27．已知：如图，，AE?ADBAC?AB?AC?DAE?．求证：CEBD?428．列分式方程解应用题甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇字的文章与乙打一篇字的文章所用的时间相同．已9001000知甲每分钟比乙每分钟多打个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？529．小明在做课本中的一道题：如图，直线，所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这1b a两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图，画，量出直线与的夹角度数，即2PCbCP ∥a直线，所成角的度数．b a（）请写出这种做法的理由．1（）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图）：①以为圆心，任意长为半径画圆弧，分P23别交直线，于点，．②连结并延长交直线于点，请直接写出图中所有与相PABADBA?D3PCb a等的角．（）请在图画板内作出“直线，所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求b33a作出图形，并保留作图痕迹．530．（本题8分）（）如图（），已知：在中，，，直线经过点，⊥直线，⊥BDA11CE△ABC??BAC?90?ACABll直线，垂足分别为点、．证明：．EDCEBD?DE?l（）如图（），将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，EAD221AC△ABC?ABl?，其中为任意锐角或钝角．请问结论且是否成立？如成?CE??BDBDA??AEC??BAC?DE?立．请你给出证明．若不成立，请说明理由．（）拓展与应用：如图（），、是直线上的两动点（、、三点互不重合），点为EEAFDD?BAC33l 平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，BDBAC??ACF??CEAEC?△ABFBDA△求证：．EF?DF附加题2122?a?b042a??a?．已知:．，__________则1??，b1a?zxy 2．已知：的值为，则__________．zb)?(yac?)?(bcx(?)?a??ccb??ab??caa??by，中，直角边3．等腰轴两个动点，交轴于点轴、、点，点分别是BADAC?BAC??90ABCRt△xx 斜边．交轴于点yEBC点的坐标．，，求），若）如图（（0)B(2,,1)(0A11C恰为，运动到使点连接当等腰），（）（如图中点时，求证：．DED22CDE?ADBAC??△RtABC的平分线，试探究：）如图（不断运动的过程中，若满足（），在等腰始终是BDABCABC?△Rt33、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．、线段BDODOA67北京四中初二上期中数学试卷参考答案二、填空题5? 11．103.5?21)3(x? 12．13．4 14．3 15．15 16．10．174．181.5．1945．204三、解答题22)x2)(m??9ym(2? 21．解：22)yx?9?(m?2)(．)y33?y)(x??(m?2)(x222x?1)4?(x 22．解：22)1?2x?(x?1?2x)(x?221)x(?x?1)?(．ab3b2b3．解：23?)?(4b9a?3a3ab39ab????43bb227a2a3b???32b6a1．??ab2x21?．解：242x1?x1?x??1x2?)?)(1?(1xx81．?x1?a1?1a．解：原式25?(?)?21aa?1a?a?1?2a11?a?????1?aa??a1a?1??a．时，原式当．31??11??3a??3 21aa???a12221??8?x(x?3)(x?1)．解：，26221?8?x?4x?3?x，4x?4，1x?，1?x是原方程的增根，所以原方程无解．经检验：，27．证明：∵，BAE???BAEBAC???DAE，∴，即EACBAE??DAB???DAE??BAE?BAC??中，在和ADB△AEC△AE?AD??，EAC??DAB???ACAB??），∴≌（SAS△△AECADB∴．CEBD?个字，则甲每分钟打个字，28．解：设乙每分钟打5)(x?x9001000，由题意得，?xx?5得：，45?x检验：是原方程的解，且符合题意．45x?个字，乙每分钟打个字．答：甲每人每分钟打455029．解：（）两直线平行，同位角相等．1（），21??PDA?BDC????PAB，）作线段（的垂直平分线EFAB3是所求作的图形．则EF）∵，，30．解：（1l?lBD?CE∴，???BDA?90AEC?9，又∵??90?BAC，∴，??90?BAD????BAD?CAE?90?ABD，∴ABD???CAE中，在和CAE △△ABDCAE?ABD????，?90ADB??CEA????AC?AB?），≌（∴AAS△△ABDCAE，∴，AEBD?CE?AD，∵AE?DE?AD．∴BD?DE?CE（）成立，2?，∵?AEC??BAC?BDA???，∴?CAE?180??BAD??BAD????DBA∴，ABD??CAE?在和中，CEA△ADB△?ABD??CAE??，CEA??ADB???AB?AC?∴≌（），AAS△ADBCEA△∴，，BDAE?CEAD?∴．DE?AD?BD?CE?AE （）由（）知，≌，2CEA△△ADB3∴，，BD?AECAE???DBA∵和均为等边三角形，ACF△△ABF∴，?60??CAF??ABF∴，CAF??CAE??DBA??ABF?∴，FAEDBF???∵，AFBF?在和中，EAFDBF△△FB?FA??，FAE???FBD??BD?AE?∴和（），SAS△DBF△EAF∴，，AFEBFD?DF?EF??∴，?BFD?60DFA??DFA?AFE??????DFE∴为等边三角形．DEF△∴．EFDF?附加题：10a2，1．解：由题可知，2a?b???a2212∴?ba?1a?2?2(a?1)?2)a?a?1)((3a?22aa??3a?a?a??222．2??xyz，．解：令2k???c?abb?c?a?bc?a?则，，，)?bk(c?ay?)b?c?k(ax?k(b?c?a)?z代入zb)y?(a??c)x?(c?a)(b，)ca?b??b)?(a?b)(?b?c)(bc?a)?(c?a)(c?a?(222222，bc?ab?a??b?cb?ab?ac?cac?a??bc?．0?轴于点，3．（）如图，过点作yCF?F1C），则≌（AASACFABO△△，，∴2OB?1AF?CF?OA?，∴1OF?．∴1)?(C?1,轴于点（）如图，过点作交，y2GCACCG?，≌（）则ASA△△ACGABD，∴，GCG?AD?CD??ADB?，∵?DCE???GCE?45，）∴≌（SAS △DCEGCE△，∴G???CDE．∴CDE???ADB（）如图，在上截取，连接，AHOD3?OBOH，由对称性得，AHD?AD?AH??ADH∴，BEO???BAO?ADH???AHD∴，BHA??AEC?，，又∵ABH??ABACCAE??（≌∴），AASACE△△BAH∴，OA2BHAE??∵，OD?DH211∴．)OD?BD2(OA?12北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1A【答案】．【解析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直选项经过折叠后不能重合．线就叫做对称轴．A A ．故选：2A【答案】．2?4a?aa(a?4)．【解析】A ．故选：3A 【答案】．21x??1?0x．，解得【解析】分式有意义，则分母x?1 A．故选：B4【答案】．y3)?A(2,3)y??3(2,2x?．【解析】点轴成轴对称的点的坐标其，，即关于B．故选：B5【答案】．△?????ABC△SAS，≌，【解析】、，条件判定可利用A???CAAC?ACBBAB??A?AA?△?????ABC△，，无法判定≌，、B???CBC?BACBBAAB?A??A?△?????ABC△CSAS，，、，条件判定可利用≌???CBAC?ACAB?A?A?AAB?△????ABCASA△．条件判定可利用，、，≌???DCAB?C??CB?AB?AA??A B ．故选：6D 【答案】．a?b1?b?，本选项错误，、【解析】A abb?x?yx?y??，本选项错误，、B22x?31?C，本选项错误，、2?9xx?322yyx?x??、，本选项正确．D2)?y?y(xx D ．故选：7B【答案】．6?3363?不能构成三角形．，底边为【解析】若腰为，则1315?6?3636?．故腰为，则周长为，底边为B ．故选：8A【答案】．AC?AB，【解析】∵1?B??C?(180???A)?72?，∴2AC?BD，∵?18C?90????DBC?．∴A ．故选：9C【答案】．??60???3?1??2?90．【解析】C ．故选：10C【答案】．??130?A，【解析】∵??50??C?B，∴QN AC，和和分别垂直平分∵ABMPAQ?CQ，∴，APBP??QAC??C，∴，BPAB????PAB??QAC??B??C?50?，∴?PAQ??BAC?(?PAB??QAC)?80?．∴C ．故选：二、填空题11 5?【答案】．103.5?n11010≤a?，这种记【解析】把一个绝对值小于（或者大于等于的形式（其中）的实数记为）110a?5?0.000035．数法叫做科学记数法．把用科学记数法表示为103.5?5?．故答案为：10?3.521)?3(x 12【答案】．2221)x??1)?xx?3?3(3(?2x3x?6．【解析】21)?3(x．故答案为：13 【答案】．41?10()?(2?1)?|?3|?2?1?3?4．【解析】2．故答案为：41414 3【答案】．DC?CABAC?，，，平分【解析】∵ABDEAD?1??DECD，∴?30B?Rt△BDE?，中，又∵在，∴2?BD?2DE3cmBD?BC?CD?．∴3．故答案为：15 15【答案】．ABC△是等边三角形，【解析】∵??120??ACD?ACB?60，∴，CDCG?，又∵?150???FDE?CDG?30，，∴，又∵DEDF??15?E?．∴?15．故答案为：16 10【答案】．ABC?BO，平分【解析】∵MBO?ABO??，∴AB∥OM，又∵BOM?ABO??，∴MOB?MBO??，∴OBOM?，∴NCON?，同理可得10cmBC??NC?ON?MN?BM?MN△OMNOM?．的周长为∴10．故答案为：17 【答案】．411xy3??，【解析】将等式两边同时乘以xyxy?3xy?，得y14xy?2?2x∴yxy??x2xy?2(xy)?14?xyy?2?xxyxy?6?14?xy?3?xy2．4?．故答案为：41518 1.5【答案】．ACDF?，作，【解析】过ABDE?D BAC?的平分线，∵是AD，∴DFDE?13?AB??SDE，∵△ABD23?DE，∴23?DF，∴21?SDF?1.5AC?∴．△ADC21.5．故答案为：1945【答案】．，【解析】连结PBBCMN，垂直平分∵PC?PB，∴PBPC?PD?PD?，∴∵两点之间直线最短，BD?PD≤PB，∴BD?PD≤PC，∴PDPC?，即的最短距离为BD BCDPC?，此时平分?45PCD??．∴?45．故答案为：20【答案】．4为等腰三角形一腰长时，【解析】①BP个，符合点的位置有E2BC．的垂直平分线与以为圆心是为半径的圆的交点即是点PBBA C为顶点时，为底边时，②BP个，的位置有符合点E2BCC．为圆心为半径的圆与以是以为圆心为半径的圆的交点即是点PBBA PC为顶点时，这样的等腰三角形不存在，③以为底边，B BC为半径的圆没有交点．为半径的圆与以为圆心因为以为圆心BBBA16．故答案为：417。

x + 2 yE初二数学期中试卷（时间：90 分钟, A 卷满分 100 分，B 卷满分 20 分，请将答案填写在答题纸上.）姓名：班级：成绩: ____________A 卷一、选择题：（每小题 3 分，共 10 道小题，共 30 分）1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有()A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（） A.a (b -c ) = ab - acB. x 2 - 2 x + 3 = (x - 1)2 + 2C.x 2 - 4 = (x + 2)(x - 2)D.(x + 1)(x + 2) = x 2 + 3x + 23. 如图, ∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D,若 BC=5cm,BD=3cm, 则点 D 到 AB 的距离为( )A. 5cmB. 2cmC. 3cmD. 不能确定A CD4. 如果把分式中的 x 和 y 都扩大 10 倍，那么分式的值 （）x + y2A ．扩大 10 倍B ．缩小 10 倍C ．是原来的D ．不 变 35．已知右图中的两个三角形全等，则∠1 等于 （）BA ． 72°B ． 60°C ． 50°D ． 58°6. 用科学记数法表示 0.00003082 为（）a50° 1b72°c baA. 3.082 ⨯10-5B. 308.2 ⨯10-7C. 0.3082 ⨯10-4D. 30.82 ⨯10-67．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线 MN 分别交 AC ，AB 于点 D ， ． 若∠CBD : ∠DBA =3:1，则∠A 为( )MCA ．18°B ．20°C ．22.5°D ．30°D A B ENB．C．3x D．x+y a-b8．下列分式为最简分式的是()．A．3b15aa2-b2x2x2+y29．如果多项式y2+my+16是完全平方式，那么m的值为().A．8B．-8C．±4D．±810.若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开，则剩余部分展开后得到的图形是（）.上右右下折沿虚线剩余部剪开分A．B．C．D．二、填空题（每小题2分，共16分）11.分解因式：a3-ab2=_________________.12.如图，在△ABC和△FED，AD=FC，AB=FE，当添加一个条件_____________时，就可得到△ABC≌△FED．13.当x________时，分式1+2xx-2有意义；14.计算:(-2)-3=___________15.右图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：__________________________________A16.如图，在△ABC中，A B＝A C＝10，B C＝7，DE垂直平分AB，交AB于D点,交AC于E点,则△BEC的周长.DEB C（2）分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 长为半径作弧，两弧相交于点 F ；17．如图， AB ∥CD ，点 E 是边 AD 上的点，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，有下列结论：①AD=AB+CD ，②E 为 AD 的中点，③BC=AB+CD ，④BE ⊥CE 其中正确的有__________．AEB CD（填序号）18．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线 AB 和 AB 上一点 C ．求作：AB 的垂线，使它经过点 C ．小明的作法如下：如图，（1）在直线 AB 上取一点 D ，使点 D 与点 C 不重合，以点 C 为圆心，CD 长为半径作弧，交 AB 于 D ，E 两点；12（3）作直线 CF ．所以直线 CF 就是所求作的垂线．老师表扬了小明的作法是对的．请回答：小明这样作图的依据是________________________________________．三．解答题（共 27 分）19. 将下列各式因式分解（共 2 道小题，每小题 3 分，共 6 分）(1)a32a 2bab2(2)x 2 2x 8x34x x22．（5 分）先化简代数式 (1- ， 再选一个恰当的数作为 a20．计算：（共 2 道小题，每小题 4 分，共 8 分）a a a + 1 a 1(1) (- ) 2 ⋅ (- ) 3 ÷ (-a 2b ) 2 . (2)- ÷ b b a - 1 a 2 - 2a + 1 a21.解方程（共 2 道小题，每小题 4 分，共 8 分）（1）+ 1 = （2） + =1x - 1 2 x - 2 x 2 - 4 x + 23 a 2 - 2a + 1) ÷a + 2 a 2 - 4的值代入求值.四．证明题（共 2 道小题，每小题 6 分，共 12 分）23．如图，△ＡＢＣ中，Ｄ是边ＢＣ的中点，延长ＡＤ到点Ｅ，且ＣＥ∥ＡＢ． 求证：△ＡＢＤ≌ ＥＣＤＡＢＤＥＣ24．已知：如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E五．作图题：（4分）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）25.作图：已知∠AOB，试在∠AOB的内部确定一点P，使点P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.AMNO B六.列方程解应用题：（5分）26．2017年春，我校初二全体同学到距学校30公里的房山农业职业学院，参加为期一周的学农劳动。

八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（1998•丽水）把化为最简二次根式是( )A．B． C．D．2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )[来源:Z+xx+]A．12，15，20 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．32，42，523．如果点P（﹣m，3）与点P1（﹣5，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为( ) A．m=﹣5，n=3 B．m=5，n=3 C．m=﹣5，n=﹣3 D．m=﹣3，n=54．下列等式一定成立的是( )A．+=B．=•C．=x2+1 D．=x5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为( )A．12m B．13m C．16m D．17m6．已知+=0，则x的取值范围为( )A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2[来源:Z*xx*]7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=12cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( ) A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm28．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，已知直线y=x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为( )A．（0，0）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）二、填空题（每小题3分，共21分）9．已知P点在第三象限，且到x轴距离是2，到y轴距离是3，则P点的坐标是__________．10．已知一次函数y=ax+1﹣a，若y随x的增大而减小，则|a﹣1|+=__________．11．如图，在数轴上标注了三段范围，则表示的点落在第__________段内．12．已知Rt△ABC的两边长分别为AB=4，BC=5，则AC=__________．13．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为__________．14．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l3之间的距离为，l2与l3之间的距离为1．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC=BC，AC与直线l2交于点D，则BD的长为__________．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1），点A是x轴上的一个动点，当△PAO 是等腰三角形时，点A的坐标为__________．三、解答题（本大题共6小题，满分55分）16．混合运算：（1）（1﹣）﹣1+（π﹣3.14）0﹣；（2）（﹣1）2++（﹣）﹣1．17．现有一块三角形菜地，量得两边长为25米、17米，第三边上的高为15米，求此三角形菜地的面积．18．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．20．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2，交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积．21．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？[来源:学科网]八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（1998•丽水）把化为最简二次根式是( )A．B． C．D．【考点】最简二次根式．【分析】题目给出的二次根式中，被开方数含有分母，因此需将根号的分母化去．【解答】解：==；故本题选B．【点评】本题化简二次根式的过程：分子、分母同乘以分母的有理化因式，使被开方数不含分母．2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A．12，15，20 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．32，42，52【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、152+122≠202，故不是直角三角形，故此选项不合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项不合题意；C、0.32+0.42=0.52，故是直角三角形，故此选项符合题意；D、（32）2+（42）2=（52）2，故不是直角三角形，故此选项不合题意．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3．如果点P（﹣m，3）与点P1（﹣5，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为( ) A．m=﹣5，n=3 B．m=5，n=3 C．m=﹣5，n=﹣3 D．m=﹣3，n=5【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据已知条件，P点和P1点关于y轴对称，可知n=3，﹣m=5，即可得到m和n．【解答】解：点P和点P1关于y轴对称，根据题意，有n=3，﹣m=5；即m=﹣5，n=3；故选A．【点评】本题主要考查了点关于坐标轴的对称问题；关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号．4．下列等式一定成立的是( )A．+=B．=•C．=x2+1 D．=x【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的化简结合选项进行运算，然后选择正确选项．【解答】解：A、+≠，原式错误，故本选项错误；B、=•，原式错误，故本选项错误；C、=x2+1，计算正确，故本选项正确；D、=﹣x，原式错误，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的化简、二次根式的乘法等知识，属于基础题．5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为( )A．12m B．13m C．16m D．17m【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．6．已知+=0，则x的取值范围为( )A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2【考点】立方根；算术平方根．【专题】计算题．【分析】已知等式变形，利用绝对值的代数意义化简即可确定出x的范围．【解答】解：已知等式变形得：x﹣2+|x﹣2|=0，即|x﹣2|=2﹣x，∴x﹣2≤0，即x≤2．故选A【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=12cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( ) A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a2+b2的值，再利用完全平方公式得出ab的值，进而得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，a2+b2=c2=100，∵a+b=12cm，c=10cm，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=144，∴100+2ab=144，则：ab=11，故Rt△ABC的面积是：11cm2．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及完全平方公式的应用，得出a2+b2的值是解题关键．8．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，已知直线y=x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为( )A．（0，0）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短．【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段A B最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=1，由此可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=，∴D（﹣，﹣）．故选C．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．[来源:学科网]二、填空题（每小题3分，共21分）9．已知P点在第三象限，且到x轴距离是2，到y轴距离是3，则P点的坐标是（﹣3，﹣2）．【考点】点的坐标．【专题】应用题．【分析】本题根据点在第三象限的特点，横纵坐标都小于0，再根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，进而根据点P到坐标轴的距离判断点P的具体坐标．【解答】解：∵第三象限内的点横坐标＜0，纵坐标＜0，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，∴点P的纵坐标为﹣2，横坐标为﹣3，因而点P的坐标是（﹣3，﹣2），故答案为：（﹣3，﹣2）．【点评】此题用到的知识点为：第三象限点的坐标的符号都为负，点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．10．已知一次函数y=ax+1﹣a，若y随x的增大而减小，则|a﹣1|+=1﹣2a．【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到a＜0，然后根据绝对值的意义和二次根式的性质化简得到原式=﹣a﹣1﹣a，再合并即可．【解答】解：根据题意得a＜0，所以原式=﹣a﹣1﹣a=﹣2a﹣1．故答案为﹣2a﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b，当k＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．11．如图，在数轴上标注了三段范围，则表示的点落在第③段内．【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．【分析】分别利用已知数据的平方得出最接近的数据即可得出答案．【解答】解：∵2.42=5.76，2.62=6.76，2.82=7.84，∴的点落在第③段内．故答案为：③．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确利用已知数的平得出是解题关键．12．已知Rt△ABC的两边长分别为AB=4，BC=5，则AC=3或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分情况进行讨论，两边长分别为5和4，5可能是直角边也可能为斜边，再根据勾股定理计算出第三边长即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，两边长分别为5和4，∴5可能是直角边也可能为斜边，当5为直角边时，斜边长为：=，当5为斜边时，另一直角边为：=3，综上所述：AC的长为3或．故答案为：3或．【点评】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．13．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为．【考点】勾股定理；实数与数轴．【专题】数形结合．【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．【解答】解：AC===，则AM=，∵A点表示﹣1，∴M点表示﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．14．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l3之间的距离为，l2与l3之间的距离为1．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC=BC，AC与直线l2交于点D，则BD的长为．[来源:Z_xx_]【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．【解答】解：分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，在△BCE与△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（ASA）∴CF=BE，CE=AF，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为，∴CF=BE=1，CE=AF=，在Rt△ACF中，∵AF=，CF=1，∴AC==2，[来源:]∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴=，，解得CD=，在Rt△BCD中，BD==．故答案为：．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1），点A是x轴上的一个动点，当△PAO 是等腰三角形时，点A的坐标为（4，0），（，0）（﹣，0）．【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】分类讨论：OP=PA，OP=OA，根据勾股定理，可得OP的长，根据等腰三角形的定义，可得答案．【解答】解：OP=PA时，A（4，0）；OP=PA时，A（，0），（﹣，0）．故答案为：A（4，0），（，0），（﹣，0）．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键，以防遗漏．三、解答题（本大题共6小题，满分55分）16．混合运算：（1）（1﹣）﹣1+（π﹣3.14）0﹣；（2）（﹣1）2++（﹣）﹣1．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）先算负整数指数幂，0次幂，化简二次根式，再进一步合并即可；（2）先算负整数指数幂，乘方，化简二次根式，再进一步合并即可．【解答】解：（1）原式=﹣+1﹣（2﹣）=﹣+；（2）原式=4﹣2﹣（+1）﹣=3﹣4．[来源:学.科.网Z.X.X.K]【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序与化简的方法是解决问题的关键．17．现有一块三角形菜地，量得两边长为25米、17米，第三边上的高为15米，求此三角形菜地的面积．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形进而利用勾股定理得出AC的长，即可得出此三角形菜地的面积．【解答】解：如图1所示：过点B作BD⊥AC于点D，当AB=25m，BC=17m，BD=15m，则AD==20（m），故DC==8（m），则AC=28m，故此三角形菜地的面积为：×BD×AC=×15×28=210（m2），如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D，当AB=25m，BC=17m，BD=15m，则AD==20（m），故DC==8（m），则AC=12m，故此三角形菜地的面积为：×BD×AC=×15×12=90（m2），答：此三角形菜地的面积为210m2或90m2．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．18．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？[来源:]【考点】平面展开-最短路径问题．【专题】计算题．【分析】（1）做出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；（2）A′G为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可．【解答】解：（1）如图所示，AQ+QG为最短路程．（2）∵在直角△AEG中，AE=40cm，AA′=120，∴A′E=80cm，又EG=60cm，∴AQ+QG=A′Q+QG=A′G==100cm．∴最短路线长为100cm．【点评】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【分析】（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．【点评】本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．20．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2，交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积．【考点】一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题；三角形的面积．【分析】（1）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可；（2）设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；（3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC．【解答】解：（1）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，∴x=1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，由图象知：x=4，y=0；x=3，，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），∵AD=3，∴S△ADC=×3×|﹣3|=．【点评】此题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键．21．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．[来源:Z,xx,]（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据每放入一个大球水面就上升4毫米，即可解答；（2）①根据y=放入大球上面的高度+放入小球上面的高度，即可解答；②根据题意列出不等式，即可解答．【解答】解：（1）根据题意得：y=4x大+210；（2）①当x大=6时，y=4×6+210=234，∴y=3x小+234；②依题意，得3x小+234≤260，解得：，∵x小为自然数，∴x小最大为8，即最多能放入8个小球．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式、一元一次不等式．。

2019-2020学年北京四中八年级（上）期中数学试卷（A 卷 共100分）一、选择题（共10个小题）．1．剪纸是中华传统文化中的一块瑰宝，下列剪纸图案中不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．某流感病毒的直径在0.00 000 012米左右，将0.00 000 012用科学记数法表示应为( )A ．60.1210-⨯B ．81210-⨯C ．61.210-⨯D ．71.210-⨯3．点(2,3)-关于y 轴对称的点的坐标是( ) A ．(2,3)-B ．(2,3)C ．(2,3)--D ．(3,2)-4．下列约分正确的是( )A ．623m m m =B ．b c ba c a +=+ C ．22x y x y x y-=+-D ．x y y x+=5．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A ．241(21)(21)x x x -=+- B ．(1)a x y ax ay a ++=++ C ．22(3)(3)9x y x y x y +-=-D ．2221()1a c a b a c b -+=-+6．若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1∠的度数为( )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒7．使分式23x -有意义的x 的取值范围是( ) A ．3x ≠ B ．3x > C ．3x < D ．3x =8．计算32()a b-的结果是( ) A ．332a b -B ．336a b -C ．338a b -D ．338a b9．小米在用尺规作图作ABC ∆边AC 上的高BH ，作法如下： ①分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于F ；②作射线BF ，交边AC 于点H ；③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ； ④取一点K ，使K 和B 在AC 的两侧； 所以，BH 就是所求作的高． 其中顺序正确的作图步骤是( )A ．①②③④B ．④③②①C ．②④③①D ．④③①②10．如图，在ABC ∆中，40C ∠=︒，将ABC ∆沿着直线l 折叠，点C 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是( )A ．40︒B ．80︒C ．90︒D ．140︒二、填空题（每题3分，共24分） 11．当x = 时，分式1xx -值为0． 12．分解因式：24x y y -= ．13．计算：26x yy x=g ．14．如图，DE 是ABC ∆中AC 边的垂直平分线，若8BC cm =，10AB cm =，则EBC ∆的周长为 ．15．如图，在ABC ∆中，BD 是边AC 上的高，CE 平分ACB ∠，交BD 于点E ，2DE =，5BC =，则BCE ∆的面积为 ．16．化简分式233()a ba b --的结果是 ． 17．在ABC ∆中，已知3AB =，5AC =，AD 是BC 边上的中线，则AD 取值范围是 ． 18．阅读下面材料：在数学课上老师提出如下问题： 尺规作图：作A O B AOB ∠'''=∠． 已知：AOB ∠，求作：A O B AOB ∠'''=∠．小米的作法如下：如图： （1）作射线O A ''；（2）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ； （3）以点O '为圆心，OC 为半径作弧C E ''，交O A ''于点C '； （4）以点C '为圆心，CD 为半径作弧，交弧C E ''于D '； （5）过点D '作射线O B ''． 所以A O B ∠'''就是所求作的角．老师说：“小米的做法正确．” 请回答：小米的作图依据是 ．三、解答题（共46分，19题10分，20题-25题每题各6分） 19．分解因式： （1）2()3()a b a b -+-； （2）221218ax ax a -+．20．已知：如图，点D 在ABC ∆的BC 边上，//AC BE ，BC BE =，ABC E ∠=∠，求证：AB DE =．21．先化简，再求值：221(1)211a a a a÷--+-，其中2a =． 22．解方程：3111x x x -=-+． 23．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN ，点A 、B 、M 、N 均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD （四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为点D ，点B 的对称点为点C ．24．列方程解应用题：老京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国第一条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问题，京张高铁是2022年北京至张家口冬奥会的重点配套交通基础设施，全长约175千米，预计2019年底建成通车，京张高铁的预设平均速度是老京张铁路的5倍，可以提前5个小时到达，求京张高铁的平均速度．25．在探究两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等( “SSA ” )是否能判定两个三角形全等时，我们设计不同情形进行探究：（1）例如，当B ∠是锐角时，如图1，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，在射线EM 上有点D ，使DF AC =，用尺规画出符合条件的点D ，则ABC ∆和DEF ∆的关系是 ； A ．全等 B ．不全等 C ．不一定全等我们进一步发现如果能确定这两个三角形的形状，那么“SSA ”是成立的．（2）例如，已知：如图2，在锐角ABC ∆和锐角DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠．求证：ABC DEF ∆≅∆．B 卷（共20分）26．学农期间我们完成了每日一题，进一步研究了角的平分线．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图，AOB ∠是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合．过角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的平分线．我们发现利用SSS 证明两个三角形全等，从而证明AOC BOC ∠=∠．学习了轴对称的知识后，我们知道角是轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，爱动脑筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线的方法．方法如下：如图1，将两个全等的三角形纸片DEF ∆和MNL ∆的一组对应边分别与AOB ∠的一边共线，同时这条边所对顶点落在AOB ∠的另一条边上，则DEF ∆和MNL ∆的另一组对应边的交点P 在AOB ∠的平分线上．（1）小慧的做法正确吗？说明理由．小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画角平分线．（提示：刻度尺可以度量出相等的线段）（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图2中QRS ∠的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法）27．学习期间，我们了解了任意有理数均可化为有限连分数，例如：把3.21化成连分数． 解：整数分离：3.2130.21=+ 小数化分数：213.213100=+真分数部分化为分子是一的繁分数：13.21310021=+此时，10021是假分数，重复以上步骤，分离其整数部分，将10021写成16421+，如此继续下去：111113.213333310016111444421512121111161635=+=+=+=+=++++++++ 其实，每个实数都可以写成连分数的形式：0123111a a a a ++++⋯．其中0a ，1a ，2a ，3a 都是整数． 例如： 将无理数3132x +=化成无限连分数的方法如下：因为当3132x +=时，231x x =+，所以两边同时除以x ，得13x x =+，所以11113333111333113313x xxx=+=+=+=+++++++⋯请你仿照上例完成下列填空，将无理数2化为无限连分数． 设21y =+⋯⋯①，计算(21)(21)+-= ， 112121(21)(21)y -===++- ，则y = 1y +⋯②由①②可得，0012311211a a y a a a =+=++++⋯，0a = ，1a = ，2a = ，3a = ．28．已知：如图，直角ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，45CAB ABC ∠=∠=︒．过点B 做射线BD AB ⊥于B ，点P 为BC 边上任一点，在射线BD 上取一点Q ，使得PQ AP =．（1）请依题意补全图形；（2）试判断AP和PQ的位置关系并加以证明．参考答案一、选择题（每题3分，共30分）（A卷共100分）1．剪纸是中华传统文化中的一块瑰宝，下列剪纸图案中不是轴对称图形的是() A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．2．某种流感病毒的直径在0.00 000 012米左右，将0.00 000 012用科学记数法表示应为( )A．60.1210-⨯B．81210-⨯C．61.210-⨯D．71.210-⨯解：0.00 000 7012 1.210-=⨯．故选：D．3．点(2,3)-关于y轴对称的点的坐标是()A．(2,3)-B．(2,3)C．(2,3)--D．(3,2)-解：点(2,3)-关于y轴对称的点的坐标是(2,3)，故选：B．4．下列约分正确的是()A．623mmm=B．b c ba c a+=+C．22x yx yx y-=+-D．x yyx+=解：A 、633m m m=，错误；B 、b c b ca c a c ++=++，错误； C 、22x y x y x y -=+-，正确；D 、1x y yx x+=+，错误； 故选：C ．5．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A ．241(21)(21)x x x -=+- B ．(1)a x y ax ay a ++=++ C ．22(3)(3)9x y x y x y +-=-D ．2221()1a c a b a c b -+=-+解：因式分解的定义是指把一个多项式化成几个整式的积的形式， 即等式的左边是一个多项式，等式的右边是几个整式的积，A 、241(21)(21)x x x -=+-，符合因式分解的定义，故本选项正确；B 、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项错误；C 、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项错误；D 、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项错误；故选：A ．6．若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1∠的度数为( )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒解：在左图中，边a 所对的角为180607050︒-︒-︒=︒， 因为图中的两个三角形全等， 所以1∠的度数为50︒． 故选：B ． 7．使分式23x -有意义的x 的取值范围是( ) A ．3x ≠ B ．3x > C ．3x < D ．3x =解：由分式23x -有意义，得 30x -≠， 解得3x ≠，故选：A ．8．计算32()a b-的结果是( ) A ．332a b - B ．336a b - C ．338a b - D ．338a b解：原式3333(2)8a a b b=-=-． 故选：C ．9．小米在用尺规作图作ABC ∆边AC 上的高BH ，作法如下：①分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于F ； ②作射线BF ，交边AC 于点H ；③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ；④取一点K ，使K 和B 在AC 的两侧；所以，BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是( )A ．①②③④B ．④③②①C ．②④③①D ．④③①② 解：用尺规作图作ABC ∆边AC 上的高BH ，作法如下：取一点K ，使K 和B 在AC 的两侧；以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ；分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于F ； 作射线BF ，交边AC 于点H ；所以，BH 就是所求作的高．故正确的作图步骤是④③①②．故选：D ．10．如图，在ABC ∆中，40C ∠=︒，将ABC ∆沿着直线l 折叠，点C 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是( )A ．40︒B ．80︒C ．90︒D ．140︒解：由折叠的性质得：40D C ∠=∠=︒，根据外角性质得：13C ∠=∠+∠，32D ∠=∠+∠，则1222280C D C ∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠+︒，则1280∠-∠=︒．故选：B ．二、填空题（每题3分，共24分）11．当x = 0 时，分式1xx -值为0．解：依题意得：0x =且10x -≠，解得0x =．故答案是：0．12．分解因式：24x y y -= (2)(2)y x x +- ．解：24x y y -，2(4)y x =-，(2)(2)y x x =+-．故答案为：(2)(2)y x x +-．13．计算：26x y y x =g 6x ． 解：原式6x =．故答案为：6x ．14．如图，DE 是ABC ∆中AC 边的垂直平分线，若8BC cm =，10AB cm =，则EBC ∆的周长为 18cm ．解：DE Q 垂直平分AC ，EA EC ∴=．EBC ∆的周长BC BE EC =++，BC BE AE =++，BC AB =+，810=+，18()cm =．故答案为：18cm ．15．如图，在ABC ∆中，BD 是边AC 上的高，CE 平分ACB ∠，交BD 于点E ，2DE =，5BC =，则BCE ∆的面积为 5 ．解：作EF BC ⊥于F ，CE Q 平分ACB ∠，BD AC ⊥，EF BC ⊥，2EF DE ∴==，1152522BCE S BC EF ∆∴==⨯⨯=g ． 故答案为：5．16．化简分式233()a b a b --的结果是 3a b- ． 解：原式23()()a b a b -=- 3a b=- 故答案为：3a b -． 17．在ABC ∆中，已知3AB =，5AC =，AD 是BC 边上的中线，则AD 取值范围是 14AD << ．解：如图，延长AD 至E ，使DE AD =，连接CE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD ∴=，ADB CDE ∠=∠，ABD ECD ∴∆≅∆，CE AB ∴=，在ACE ∆中，AC CE AE AC CE -<<+，而3AB =，5AC =，5353AE ∴-<<+，228AD ∴<<，即14AD <<．18．阅读下面材料：在数学课上老师提出如下问题：尺规作图：作A O B AOB ∠'''=∠．已知：AOB ∠，求作：A O B AOB ∠'''=∠．小米的作法如下：如图：（1）作射线O A ''；（2）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ；（3）以点O '为圆心，OC 为半径作弧C E ''，交O A ''于点C '；（4）以点C '为圆心，CD 为半径作弧，交弧C E ''于D '；（5）过点D '作射线O B ''．所以A O B ∠'''就是所求作的角．老师说：“小米的做法正确．”请回答：小米的作图依据是 全等三角形对应角相等 ．解：根据作图过程可知：在OCD ∆和△OC D ''中OC OC OD OD CD C D ='⎧⎪='⎨⎪=''⎩所以OCD ∆≅△()OC D SSS ''所以A O B AOB ∠'''=∠（全等三角形对应角相等）．故答案为：全等三角形对应角相等．三、解答题（共46分，19题10分，20题-25题每题各6分）19．分解因式：（1）2()3()a b a b -+-；（2）221218ax ax a -+．解：（1）2()3()()(3)a b a b a b a b -+-=--+；（2）221218ax ax a -+22(69)a x x =-+22(3)a x =-．20．已知：如图，点D 在ABC ∆的BC 边上，//AC BE ，BC BE =，ABC E ∠=∠，求证：AB DE =．【解答】证明：//AC BE Q ，C DBE ∴∠=∠．在ABC ∆和DEB ∆中，C DBE BC EBABC E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABC DEB ASA ∴∆≅∆，AB DE ∴=．21．先化简，再求值：221(1)211a a a a÷--+-，其中2a =． 解：221(1)211a a a a÷--+- 2211(1)1a a a a--=÷-- 221(1)a a a a-=--g 1a a=--，当2a =时，原式2212=-=-． 22．解方程：3111x x x -=-+． 解：方程两边乘以(1)(1)x x +-，得(1)(1)(1)3(1)x x x x x +-+-=-，去括号得：22133x x x x +-+=-，解得：2x =，检验：当2x =时，(1)(1)30x x +-=≠，则原分式方程的解为2x =．23．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN ，点A 、B 、M 、N 均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD （四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为点D ，点B 的对称点为点C ．解：如图所示，四边形ABCD 即为所求．24．列方程解应用题：老京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国第一条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问题，京张高铁是2022年北京至张家口冬奥会的重点配套交通基础设施，全长约175千米，预计2019年底建成通车，京张高铁的预设平均速度是老京张铁路的5倍，可以提前5个小时到达，求京张高铁的平均速度．解：设京张高铁的平均速度为x /km h ，则京张高铁的预设平均速度是5x /km h ， 依题意得：21017555x x=+， 解得35x =．经检验，35x =是所列方程的根，并符合题意．答：京张高铁的平均速度为35 /km h ．25．在探究两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等( “SSA ” )是否能判定两个三角形全等时，我们设计不同情形进行探究：（1）例如，当B ∠是锐角时，如图1，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，在射线EM 上有点D ，使DF AC =，用尺规画出符合条件的点D ，则ABC ∆和DEF ∆的关系是 A ； A ．全等 B ．不全等 C ．不一定全等我们进一步发现如果能确定这两个三角形的形状，那么“SSA ”是成立的．（2）例如，已知：如图2，在锐角ABC ∆和锐角DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠．求证：ABC DEF ∆≅∆．解：（1）如图1，点D 即为所求作的点．因为BC EF =，90B E ∠=∠=︒，DF AC =，所以Rt ABC ∆和Rt DEF ∆的关系是：全等，故选A ；（2）如图2，作CG AB ⊥于点G ，FH DE ⊥于点H ，90CGB FHE ∴∠=∠=︒，在CGB ∆和FHE ∆中，CGB FHE B EBC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CGB FHE AAS ∴∆≅∆．CG FH ∴=．在Rt AGC ∆和Rt DHF ∆中，AC DF CG FH =⎧⎨=⎩Rt AGC Rt DHF(HL)∴∆≅∆A D ∠=∠．ACB DFE ∴∠=∠在ABC ∆和DEF ∆中，AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC DEF SAS ∴∆≅∆．B 卷（共20分）26．学农期间我们完成了每日一题，进一步研究了角的平分线．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图，AOB ∠是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合．过角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的平分线．我们发现利用SSS 证明两个三角形全等，从而证明AOC BOC ∠=∠．学习了轴对称的知识后，我们知道角是轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，爱动脑筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线的方法．方法如下：如图1，将两个全等的三角形纸片DEF ∆和MNL ∆的一组对应边分别与AOB ∠的一边共线，同时这条边所对顶点落在AOB ∠的另一条边上，则DEF ∆和MNL ∆的另一组对应边的交点P 在AOB ∠的平分线上．（1）小慧的做法正确吗？说明理由．小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画角平分线．（提示：刻度尺可以度量出相等的线段）（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图2中QRS ∠的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法）解：（1）如图1所示，DEF MNL ∆≅∆Q ，OLM OFD ∴∠=∠，LM FD =，又LOM FOD ∠=∠Q ，()LOM FOD ASA ∴∆≅∆，LO FO ∴=，DO MO =，LD FM ∴=，又LPD FPM ∠=∠Q ，()LPD FPM AAS ∴∆≅∆，LP FP ∴=，又OP OPQ，=∴∆≅∆，LOP FOP SSS()∠；∴∠=∠，即OP平分AOBAOP BOP（2）如图2所示，在RQ，RS上分别截取RA RB=，RC RD=，连接AD，BC，交于点P，作射线RP，则RP即为所求，又CRB DRA∠=∠Q，∴∆≅∆，()BCR ADR SAS∴∠=∠，BCR ADR=Q，RC RDRA RB=，∴=，AC BD又APC BPDQ，∠=∠()∴∆≅∆，ACP BDP AAS∴=，CP DP又RP RP=Q，∴∆≅∆，()PCR PDR SSS∴∠=∠，PRC PRD∴平分QRSRP∠．27．学习期间，我们了解了任意有理数均可化为有限连分数，例如：把3.21化成连分数． 解：整数分离：3.2130.21=+ 小数化分数：213.213100=+真分数部分化为分子是一的繁分数：13.21310021=+此时，10021是假分数，重复以上步骤，分离其整数部分，将10021写成16421+，如此继续下去： 111113.213333310016111444421512121111161635=+=+=+=+=++++++++ 其实，每个实数都可以写成连分数的形式：0123111a a a a ++++⋯．其中0a ，1a ，2a ，3a 都是整数． 例如，将无理数x =化成无限连分数的方法如下：因为当x =时，231x x =+，所以两边同时除以x ，得13x x=+，所以11113333111333113313x x x x =+=+=+=+++++++⋯设1y =+⋯⋯①，计算1)-= 1 ，1y === ，则y = 1y +⋯②由①②001231111a a y a a a =+=++++⋯，0a = ，1a = ，2a = ，3a = ．解：设1y =+⋯⋯①，计算21)1211+=-=-=，11212121(21)(21)y -===-++-， 则12y y=+⋯②，由①②可得，1111121211111111221221222112122121221=+-=+=+=+=+=+++-+++++++++，01a ∴=，12a =，22a =，32a =．故答案为：1，21-，2，1，2，2，2．28．已知：如图，直角ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，45CAB ABC ∠=∠=︒．过点B 做射线BD AB ⊥于B ，点P 为BC 边上任一点，在射线BD 上取一点Q ，使得PQ AP =．（1）请依题意补全图形；（2）试判断AP 和PQ 的位置关系并加以证明．解：如图所示：（1）点P 、Q 即为所求作的点； （2）AP 和PQ 的位置关系是垂直． 证明：过点A 作//AQ BC 交BD 于点Q ，45QAB ABC ∴∠=∠=︒， 904545AQB ∴∠=︒-︒=︒ AB QB ∴=，所以此时点Q 与点B 重合， AP PQ ∴=， AP PQ ⊥．AP 和PQ 的位置关系是垂直．。

北京四中2018-2019学年上学期初中八年级期中考试数学试卷（考试时间为100分钟，试卷满分为100分，另20分附加题）一、选择题（每题3分共30分，四个选项中只有一个正确答案） 1. 计算25-的结果是（ ）。

A. －10B. －25C.251D. 251-2. 图中全等的三角形是（ ）。

A. Ⅰ和ⅡB. Ⅱ和ⅣC. Ⅱ和ⅢD. Ⅰ和Ⅲ 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）。

A. 1)(12222--=-+-b a b ab a B. )11(22222xx x x +=+ C. 4)2)(2(2-=-+x x xD. )1)(1)(1(124-++=-x x x x4. 如图，已知AB ＝AD ，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）。

A. CB ＝CDB. ∠BCA ＝∠DCAC. ∠BAC ＝∠DACD. ∠B ＝∠D ＝90°5. 下列分式中，最简分式是（ ）。

A. 1122+-x xB. 112-+x xC. xy x y xy x -+-2222 D. 122362+-x x6. 如图，已知钝角△ABC ，老师按如下步骤尺规作图：步骡1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点D ； 步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H 。

小明说：图中的BH ⊥AD 且平分AD 。

小丽说：图中AC 平分∠BAD 。

小强说：图中点C 为BH 的中点。

你认为（ ）。

A. 小明说得对B. 小丽说得对C. 小强说得对D. 他们都不对 7. 学完分式运算后，老师出了一道题：化简：42232--+++x xx x 。

小明的做法是：原式＝48426424)2)(3(222222--=----+=-----+x x x x x x x x x x x ；小亮的做法是：原式＝426)2()2)(3(22-=-+-+=-+-+x x x x x x x ； 小芳的做法是：原式＝12132123)2)(2(223=+-+=+-++=-+--++x x x x x x x x x x 。

第1页，总6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……北京市第四中学2018-2019学年八年级上学期期中考试数学试题（解析版）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人得分一、单选题（共9题)1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A ．B ．C ．D ．2. 在平面直角坐标系中，点A ，点B 关于y 轴对称，点A 的坐标是（2，-8），则点B 的坐标是（ ）.A ．（-2，-8）B ．（2，8）C ．（-2，8）D ．（8，2）3. 已知x=3是分式方程=3的解，那么实数k 的值为（ ）.A ．1B ．C ．6D ．94. 如图，己知≌，，，，那么下列结论中错误的是（ ）．A ．B ．C ．D ．5. 下列算式中，你认为正确的是（ ）.A ．B ．1÷. =lC ．D ．6. 在三角形内，到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）.A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条中线的交点7. 某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）.A ．B ．C ．D ．8. 对于非零实数a 、b ，规定a ≌b =．若2≌（2x ﹣1）=1，则x 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．﹣9. 如图，为的外角平分线上一点并且满足，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①≌；②；③；④．其中正确的结论有（）．A ．个B ．个C ．个D ．个第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、填空题（共9题)1. 若分式的值为0，则x 的值为___________.答案第2页，总6页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2.__________；用科学记数法表示__________．3. 化简：=___________.4. 若，则__________．5. 如图，，，请你添加一个适当的条件：__________，使得≌．6. 如图，中，，，是边上的中线，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，，则的面积为__________．7. 若关于x 的分式方程=3的解为正实数，则实数m 的取值范围是____________。

2018-2019学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分，四个选项中只有一个正确答案）1．（3分）计算5﹣2的结果是（）A．﹣10B．﹣25C．D．﹣2．（3分）图中全等的三角形是（）A．Ⅰ和ⅡB．Ⅱ和ⅣC．Ⅱ和ⅢD．Ⅰ和Ⅲ3．（3分）下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1B．2x2+2x＝2x2（1+）C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）4．（3分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°5．（3分）下列分式中，最简分式是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知钝角△ABC，老师按如下步骤尺规作图：步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①，步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D．步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．小明说：图中的BH⊥AD且平分AD．小丽说：图中AC平分∠BAD．小强说：图中的C为BH的中点认为（）A．小明说得对B．小丽说的对C．小强说的对D．他们都不对7．（3分）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”．小明的做法是：原式＝；小亮的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；小芳的做法是：原式＝．其中正确的是（）A．小明B．小亮C．小芳D．没有正确的8．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，在格点F、G、H、I中选出一个点与点D、点E 构成的三角形与△ABC全等，则符合条件的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（3分）若a2﹣2a﹣3＝0，代数式的值是（）A．﹣B．C．﹣3D．310．（3分）关于x的分式方程＝3的解是负数，则字母m的取值范围是（）A．m＜3B．m＜3且m≠2C．m＞﹣3D．m＞﹣3且m≠﹣2二、填题（每题2分，共12分）11．（2分）当分式有意义的时候，x的取值范围是．12．（2分）研究表明，H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156m，用科学记数法表示这个数为．13．（2分）如果≠0，那么代数式•（2m+n）的值是．14．（2分）＝+．15．（2分）如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论①BC＝DE；②∠ABC ＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有．16．（2分）已知a n＝（n＝1，2，3，……），b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…，b n＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）则通过计算推测出b n表达式为b n＝（用含n的代数式表示）三、解答题（共10大题58分，在答题纸书写，保留解答过程，仅有答案不得分）17．（8分）因式分解（1）2a2b﹣8b（2）xy3﹣10xy2+25xy18．（8分）计算（1）a5b3+（﹣a3b）•（﹣3a）2；（2）÷（m+2﹣）19．（5分）已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，且AB＝CD，AE∥BF，AE＝BF．求证：∠E＝∠F．20．（5分）先化简1﹣÷，再任取一个你喜欢的x的值，代入求值．21．（5分）如图，BE、CF分别是钝角△ABC（∠A＞90°）的高，在BE上截取BP＝AC，在CF的延长线截取CQ ＝AB，连结AP、AQ，请推测AP与AQ的数量和位置关系，并加以证明．22．（5分）解方程：．23．（5分）根据《中国铁路中长期发展规划》，预计到2020年底，我国建设城际轨道交通的公里数是客运专线的2倍．其中建设城际轨道交通约投入8000亿元，客运专线约投入3500亿元．据了解，建设每公里城际轨道交通与客运专线共需1.5亿元．预计到2020年底，我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约多少公里？24．（5分）将两个全等的△ABC和△DBE按图1方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E 落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转角a，且60°＜α＜180°，其他条件不变，如图2，请直接写出此时线段AF、EF与DE之间的数量关系．25．（6分）如下表，方程1、方程2、方程3．是按照一定规律排列的一列方程（1）猜想方程1的解，并将它们的解，填在图中的空白处．﹣＝1﹣＝1﹣＝1（2）若方程﹣＝1（a＞b）的解是x1＝6，x2＝10，猜想a、b的值．（3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解．26．（6分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上的中线AD的取值范围．（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q使得BQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，则AD的取值范围是．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中（2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠F AC＝90°，试探究线段AD 与EF的数量和位置关系，并加以证明．四、陬加题（12题每题4分，34题每题6分）27．（4分）如图，已知△ABD≌△ACE，且∠ABC＝∠ACB，则图中一共有多少对全等三角形？（）A．3对B．4对C．5对D．6对28．（4分）已知x2﹣2x﹣3是多项式3x3+ax2+bx﹣3的因式（a、b为整数）则a＝，b＝．29．（6分）如果一个正整数能写成a2+3b2的形式（其中a、b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为7＝22+3×12，31＝22+3×32．（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数；（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．30．（6分）请阅读下述材料：下述形式的繁分数叫做有限连分数，其中n是自然数，a0是整数，a1，a2，a3…，a n是正整数：a0+其中a0，a1，a2，a3，…a n称为部分商．按照以下方式，可将任意一个分数转化为连分数的形式：a＝，则a＝3+；考虑的倒数，有＝1+，从而a＝3+，再考虑的倒数，有＝3+，于是得到a的连分数展开式，是他有4个剖分商：3，1，3，3；a＝＝3+．可利用连分数来求二元一次不定方程的特殊解，以49x﹣13y＝1为例，首先将写成连分数的形式，如上所示；其次，数部分商的个数，本例是偶数个部分商（奇数情况见下例）；最后计算倒数第二个渐进分数3+＝从而x0＝4，y0＝15是一个特解考虑不定方程49x﹣34y＝1，先将写成连分数的形式：＝1+意到此联分数有奇数个部分商：将之改写为偶数个部分商的形式：＝1+计算倒数第二个渐进分数：1+＝，所以x0＝25，y0＝36，是49x﹣34y＝1的一个特解对于分式，有类似的连分式的概念，利用将分数展开为连分数的方法，可以将分式展开为连分式，例如的连分式展开式如下，它有3个部分商：x2﹣x+2，x+2，x﹣；x2﹣x+2+，再例如＝1+，他有4个部分商：1，x，x﹣1，x请阅读上述材枓，利用所讲述的方法，解决下述两个问题（1）找出两个关于x的多项式p和q，使得（x2+x+1）p﹣（x2+1）q＝1（2）找出两个关于x的多项式u和v，使得（x3+2x2+x+1）u﹣（x2+x+1）v＝12018-2019学年北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分，四个选项中只有一个正确答案）1．【解答】解：5﹣2＝＝．故选：C．2．【解答】解：A选项中条件不满足SAS，不能判定两三角形全等；B选项中条件对应边不相等，不能判定两三角形全等；C选项中条件不满足SAS，不能判定两三角形全等；D选项中条件满足SAS，能判定两三角形全等．故选：D．3．【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；B2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；C（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；Dx4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．故选：D．4．【解答】解：在△ABC和△ADC中∵AB＝AD，AC＝AC，∴当CB＝CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；当∠BCA＝∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；当∠BAC＝∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；当∠B＝∠D＝90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；故选：B．5．【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；B、原式＝＝，不合题意；C、原式＝＝，不合题意；D、原式＝＝，不合题意，故选：A．6．【解答】解：连接CD，BD．由作图可知：CA＝CD，BD＝BA，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，∴BH⊥AD且平分AD，故小明的说法正确，故选：A．7．【解答】解：+＝﹣＝﹣＝＝＝1．所以正确的应是小芳．故选：C．8．【解答】解：由图形可知AB＝，AC＝3，BC＝，GD＝，DE＝，GE＝3，DI＝3，EI＝，所以G，I两点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，故选：B．9．【解答】解：移项，得a2﹣2a＝3．＝＝，故选：B．10．【解答】解：＝3，方程两边同时乘以x+1得：2x﹣m＝3（x+1），解得：x＝﹣m﹣3，∵x+1≠0，∴x≠﹣1即﹣m﹣3≠﹣1，解得：m≠﹣2，又∵方程的解是负数，∴﹣m﹣3＜0，解不等式得：m＞﹣3，综上可知：m＞﹣3且m≠﹣2，故选：D．二、填题（每题2分，共12分）11．【解答】解：依题意得：2x+1≠0，解得：x≠﹣．故答案是：x≠﹣．12．【解答】解：0.000 001 56＝1.56×10﹣6m．13．【解答】解：原式＝•（2m+n）＝，设＝k，则m＝3k、n＝2k，所以原式＝＝＝，故答案为：．14．【解答】解：﹣＝＝﹣＝﹣2．故答案为：﹣215．【解答】解：∵△ABC≌△ADE∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC∴∠BAD＝∠CAE故答案为：①②③16．【解答】解：由题意可得，a1＝，a2＝，a3＝，…，a n＝，则b1＝2×（1﹣）＝2×＝，b2＝，b3＝，b4＝，…，b n＝，故答案为：．三、解答题（共10大题58分，在答题纸书写，保留解答过程，仅有答案不得分）17．【解答】解：（1）2a2b﹣8b＝2b（a2﹣4）＝2b（a﹣2）（a+2）；（2）xy3﹣10xy2+25xy＝xy（y2﹣10xy+25）＝xy（y﹣5）2．18．【解答】解：（1）a5b3+（﹣a3b）•（﹣3a）2＝a5b3+（﹣a3b）•9a2＝b；（2）÷（m+2﹣）＝＝＝＝﹣．19．【解答】证明：∵AB＝CD，AE∥BF，∴AC＝BD，∠A＝∠FBD，∵AE＝BF，∴△EAC≌△FBD，∴∠E＝∠F．20．【解答】解：1﹣÷＝1﹣＝1﹣＝＝，当x＝2时，原式＝＝．21．【解答】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴∠ABE＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．∵BP＝AC，CQ＝AB，在△APB和△QAC中，，∴△APB≌△QAC（SAS）．∴∠BAP＝∠CQA，AP＝AQ，∵∠CQA+∠QAF＝90°，∴∠BAP+∠QAF＝90°．即AP⊥AQ22．【解答】解：去分母，得x（x+2）﹣（x2﹣4）＝2，去括号，得x2+2x﹣x2+4＝2，整理，得2x＝﹣2，解得x＝﹣1，检验：将x＝﹣1代入（x+2）（x﹣2）＝﹣3≠0，∴x＝﹣1是原方程的解．23．【解答】解：设我国将建设城际轨道交通专线x公里，可得：，解得：x＝5000，2x＝10000经检验x＝5000是原方程的解，答：我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约5000，10000公里．24．【解答】证明：（1）连接BF，∵△ABC≌△DBE∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，∵BE＝BC，BF＝BF∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）∴EF＝CF∴DE＝AC＝AF+CF＝AF+EF（2）连接BF，∵△ABC≌△DBE∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，∵BE＝BC，BF＝BF∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）∴EF＝CF∴AF＝AC+CF＝DE+EF25．【解答】解：（1）填写如下：﹣＝1﹣＝1﹣＝1故答案为：3，4；（2）若方程﹣＝1（a＞b）的解是x1＝6，x2＝10，则有a＝12，b＝5；（3）归纳得：第n个方程为﹣＝1，它的解为x1＝n+2，x2＝2n+2．26．【解答】解：（1）延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△QDB和△ADC中，，∴△QDB≌△ADC（SAS），∴BQ＝AC＝5，在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，∴4＜AQ＜14，∴2＜AD＜7，故答案为：2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，∴∠BQD＝∠CAD，∴AC∥BQ；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由：如图2，延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，∵AC＝AF，∴BQ＝AF，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，∴∠BAC+ABQ＝180°，∵∠BAE＝∠F AC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABQ＝∠EAF，在△ABQ和△EAF中，，∴△ABQ≌△EAF，∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，延长DA交EF于P，∵∠BAE＝90°，∴∠BAQ+∠EAP＝90°，∴∠AEF+∠EAP＝90°，∴∠APE＝90°，∴AD⊥EF，∵AD＝DQ，∴AQ＝2AD，∵AQ＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD，AD⊥EF．四、陬加题（12题每题4分，34题每题6分）27．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AE＝AD，CE＝BD，∠ABD＝∠ACE，∴BE＝CD，在△BFE与△CFD中，，∴△BFE≌△CFD（AAS），在△BCD与△CBE中，∴△BCD≌△CBE（SSS），∴BD＝CE，在△BDE与△CED中，，∴△BDE≌△CED（SSS），∴共有4对全等三角形．故选：B．28．【解答】解：设另一个因式是：mx+n，则（x2﹣2x﹣3）（mx+n）＝mx3+（n﹣2m）x2+（﹣3m﹣2n）x﹣3n＝3x3+ax2+bx ﹣3则：解得：故答案是：﹣5，﹣11．29．【解答】证明：（1）∵28＝12+3×32＝28，217＝132+3×42＝217，∴28和217都是婆罗摩笈多数．（2）设一个婆罗摩笈多数为x＝a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y＝c2+3d2，xy＝（a2+3b2）•（c2+3d2）＝a2c2+3a2d2+3b2c2+9b2d2＝（ac）2+（3bd）2+6abcd﹣6abcd+3a2d2+3b2c2＝（ac+bd）2+3（ad﹣bc）2因此，任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．30．【解答】解：（1），计算倒数第二个渐进分数：，∴p＝x，q＝x+1，（2），计算倒数第二个渐进分数：，∴u＝x+1，v＝x2+2x，。

2019-2020学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在下列学校校徽图案中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.某种流感病毒的直径是0.000000085米，这个数据用科学记数法表示为()A. 0.85×10−7B. 85×10−7C. 8.5×10−8D. 8.5×1083.若点(a,−3)与点(2,b)关于y轴对称，则a，b的值为()A. a=2，b=3B. a=2，b=−3C. a=−2，b=3D. a=−2，b=−34.约分：6a2b3abc=()A. 2ac B. 2abc C. a2cD. 2c5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A. (a+3)(a−3)=a2−9B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. a2−4a−5=(a−2)2−9D. x2−4+3x=(x−2)(x+2)+3x6.如图是两个全等三角形，则∠1=()A. 62°B. 72°C. 76°D. 66°7.要使分式1x−1有意义，则x的取值范围是()A. x≠1B. x=1C. x=−1D. x≠−18.计算a3·(1a)2的结果是()A. aB. a5C. a6D. a89.如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是()A. B.C. D.10.如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落在处，点E落在边上的处，则∠CBD的度数是()A. 85∘B. 90∘C. 95∘D. 100∘二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.若分式x−2x−1的值为零，则x=______．12.分解因式：8x2y−18y=______．13.化简：m−1m ÷m−1m2=______．14.已知△ABC中，DE垂直平分AB，如果△ABC的周长为22，AB=10，则△ACD的周长为______．15.如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，且△POA的面积为12cm2，则PB的长为．16.若x+1x =3，则分式x2x4+x2+1的值是______．17.△ABC中，AB=9，AC=7，则中线AD之长的范围________．18.阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一角等于已知角．已知：∠AOB(图1)，求作：∠FBE，使得∠FBE=∠AOB小明解答如图2所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：(1)小明的作图依据是______；(2)他所画的痕迹弧MN是以点______为圆心，______为半径的弧．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）19.分解下列因式：(1)2x2−8xy+8y2；(2)3x2−27；(3)4+12(x−y)+9(x−y)2．20.解方程：5x−4x−2=4x+103x−6−1．四、解答题（本大题共8小题，共50.0分）21.已知：点D在BC边上，AB=AD，BC=DE，AC=AE，求证：∠1=∠2．22. 先化简，再求值：(x −1−3x+1)÷x 2−4x+4x+1，其中x =−4．23. 作图题：如图，在10∗10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD(即四边形的顶点都在格点上)．(1)在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 关于直线I 对称的图形A 1B 1C 1D 1的面积;(2)若小正方形的边长是1，求四边形A 1B 1C 1D 1的面积．24. 为加快交通建设，促进经济发展，国家发改委于2015年批准武汉至十堰高铁孝感至十堰段建设，该工程于2015年开工，预计2019年完成并开通运营．原来武汉至十堰动车铁路全长约490km ，建成后的高铁路段全长约460km，预测届时从武汉至十堰高铁比动车平均每小时快9倍，高铁14比动车少用1.5小时，问该段高铁平均每小时多少km？25.如图，已知△ABC(1)利用尺规作图：①在边AC下方作∠CAE=∠ACB；②在射线AE上截取AD=BC；③连结CD，记CD交AB于点G.(尺规作图要求保留作图痕迹．不写作法)(2)请写出按要求作图后所有全等的三角形：______．26.(1)如图1，利用网格线，作出三角形关于直线l的对称图形．(2)如图2，利用网格线：①在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；②在射线AP上找一点Q，使QB=QC.此时QB与QC的位置关系是______．27.化简√6．√3+√2−√528.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.D为BC边上任一点，连接AD，过D作DE⊥AD，且DE=AD.连接BE，探究BE与AB 的位置关系，并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．2.答案：C解析：解：0.000000085米，这个数据用科学记数法表示为8.5×10−8．故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.答案：D解析：【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a、b的值．【解答】解：∵点(a,−3)与点(2,b)关于y轴对称，∴a=−2，b=−3，故选D．4.答案：A解析：【分析】本题考查了约分，对分子分母分解因式，并找出公因式是解题的关键．①先找出分子分母的公因式，然后约去即可；②把分子分母分解因式，然后约去公因式即可．【解答】解：6a2b3abc =2ac，故选A．5.答案：B解析：【分析】本题考查了因式分解的意义.把一个多项式分解成几个整式的积的形式叫因式分解，先看等式左边是否是一个多项式，等式右边是否是几个整式的积的形式即可．【解答】A.本选项是多项式乘多项式，不是因式分解；B.本选项是因式分解；C.本选项不是因式分解；D.本选项不是因式分解．故选B．6.答案：C解析：【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．【解答】解：第一个图中，∠1=180°−42°−62°=76°，∵两个三角形全等，∴∠1=76°，故选C．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不等于零．【解答】有意义，解：∵分式1x−1∴x−1≠0．解得：x≠1．故选A．8.答案：A解析：【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．先算出分式的乘方，再约分．【解答】=a，解：原式=a3⋅1a2故选A．9.答案：D解析：解：∵PB+PC=BC，而PA+PC=BC，∴PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：D．由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB 的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线定理的判定．10.答案：B解析：【分析】此题考查了折叠的性质与平角的定义，解题的关键是掌握翻折的性质.由折叠的性质，即可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定义，即可求得∠A′BC+∠E′BD=90°，则可求得∠CBD的度数．【解答】解：根据折叠的性质可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°，∴∠A′BC+∠E′BD=90°，∴∠CBD=90°．故选B．11.答案：2解析：解：由分式的值为零的条件得x−2=0且x−1≠0，由x−2=0，解得x=2，故答案为2．根据分式的值为零的条件可以求出x的值．本题考查了分式的值为零的条件，具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．12.答案：2y(2x+3)(2x−3)解析：解：原式=2y(4x2−9)=2y(2x+3)(2x−3)，故答案为：2y(2x+3)(2x−3)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.答案：m解析：解：原式=m−1m ⋅m2m−1=m．故答案为：m．原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.答案：12解析：解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∵△ABC的周长为22，AB=10，∴AB+AC+BC=10+AC+BC=22，解得，AC+BC=12，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+BC=12，故答案为：12．根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15.答案：3cm解析：【分析】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．过点P作PD⊥OA于点D，由三角形的面积公式可求出PD，再根据角平分线的性质即可得出结论．【解答】解：过点P作PD⊥OA于点D，∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，∴PD=PB，∵OA=8cm，∴S△POA=12OA⋅PD=12×8⋅PD=12，∴PD=PB=3(cm)．故答案为3cm．16.答案：18解析：解：把x+1x =3，两边平方得：(x+1x)2=x2+1x2+2=9，即x2+1x2=7，则原式=1x2+1x2+1=18．故答案为：18．已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出x2+1x2的值，原式变形后代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.答案：1<AD<8解析：【分析】本题考查了三角形的三边关系及三角形全等的判定与性质，先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．【解答】解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，∵{BD=CD∠ADB=∠EDC AD=DE，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，∵AB=9，AC=7，∴CE=9，设AD=x，则AE=2x，∴2<2x<16，∴1<x<8，∴1<AD<8．故答案为1<AD<8．18.答案：(1)三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等；(2)E；CD．解析：解：(1)连接CD、EF，由小明的作图知，OC=OD=BE=BF，CD=EF，在△OCD和△BEF中，∵{OC=BE OD=BF CD=EF，∴△OCD≌△BEF(SSS)，∴∠FBE=∠AOB，∴小明的作图依据是三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，故答案为：三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等；(2)他所画的痕迹弧MN是以点E为圆心，CD的长度为半径的弧，故答案为：E、CD．【分析】(1)根据作图痕迹知OC=OD=BE=BF，CD=EF，证△OCD≌△BEF得∠FBE=∠AOB，从而得出答案；(2)根据尺规作图步骤可知．本题考查了基本作图和全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．19.答案：解：(1)2x2−8xy+8y2原式=2(x2−4xy+4y2)=2(x−2y)2；(2)原式=3(x2−9)=3(x+3)(x−3)；(3)原式=[3(x−y)+2]2=(3x−3y+2)2．解析：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．(1)首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；(2)原式提取3，再利用平方差公式分解即可；(3)利用完全平方公式分解可得．20.答案：解：去分母得：15x−12=4x+10−3x+6，移项合并得：14x=28，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．解析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．21.答案：证明：在△ABC与△ADE中，{AB=AD BC=DE AC=AE，∴△ABC≌△ADE(SSS)，∴∠ABC=∠ADE，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠ABC+∠BAD，∴∠CDE =∠BAD ，即∠1=∠2．解析：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS 证明△ABC≌△ADE ．根据SSS ，即可证得△ABC≌△ADE ，利用三角形的外角性质和等式的性质证明即可．22.答案：解：(x −1−3x+1)÷x 2−4x+4x+1 =(x −1)(x +1)−3x +1⋅x +1(x −2)2=x 2−1−3x +1⋅x +1(x −2)2=(x +2)(x −2)x +1⋅x +1(x −2)2=x+2x−2，当x =−4时，原式=−4+2−4−2=−2−6=13．解析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．23.答案：解：①四边形A 1B 1C 1D 1如图所示；②四边形A 1B 1C 1D 1的面积=3×3−12×1×2−12×1×3，=9−1−1.5，=9−2.5，=6.5．解析：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． ①根据网格结构找出点A 、B 、C 、D 关于直线l 的对称点A 1、B 1、C 1、D 1的位置，然后顺次连接即可；②利用四边形所在的正方形的面积减去四周两个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 24.答案：解：设该段高铁的平均速度为xkm/ℎ，依题意列方程，4901423x =460x +32，解得，x=230，经检验，x=230是原方程的根，答：该段高铁的平均速度230km/ℎ．解析：设该段高铁的平均速度为xkm/ℎ，找出合适的等量关系，列方程求解即可．本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂原题，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．25.答案：△ACD≌△CAB、△ADG≌△CBG解析：【分析】(1)根据题目要求作图即可得；(2)先根据AC=CA、∠DAC=∠BCA、AD=CB证△ACD≌△CAB，得∠D=∠B，再结合∠AGD=∠CGB、AD=CB可证△ADG≌△CBG．本题主要考查作图−复杂作图，熟练掌握做一个角等于已知角和全等三角形的判定与性质是解题的关键．【解答】解：(1)如图所示；(2)在△ACD和△CAB中，∵{AC=CA∠DAC=∠BCA AD=CB，∴△ACD≌△CAB(SAS)，∴∠D=∠B，在△ADG和△CBG中，∵{∠D=∠B∠AGD=∠CGB AD=CB，∴△ADG≌△CBG(AAS)，故答案为：△ACD≌△CAB、△ADG≌△CBG．26.答案：(1)如图所示：；(2)①如图所示，点P即为所求；②垂直解析：【分析】此题主要考查了轴对称变换以及角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，正确借助网格是解题关键．(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)①借助网格得出∠CAB的角平分线；②借助网格得出Q点位置，进而得出QB与QC的位置关系．【解答】解：(1)见答案(2)①见答案②如图所示，点Q即为所求；QB与QC的位置关系是垂直．故答案为：垂直．27.答案：解：原式=√2)2√6+(√3)2√5)2√3+√2−√5=(√2+√3)2−(√5)2√3+√2−√5=√2+√3+√5)(√2+√3−√5)√3+√2−√5=√2+√3+√5．解析：本题考查的是二次根式的混合运算和分母有理化.掌握分母有理化是关键.根据原式的特点将分子加上(√2)2+(√3)2−(√5)2，式子的值不变，然后将分子按照完全平方公式和平方差公式进行变形，再与分母约分即可．28.答案：解：AB⊥BE.理由如下：如图，过点E作EM⊥BD，交DB延长线于点M．∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴∠ADC+∠EDM=90°，∠ADC+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠EDM．又DE=AD，∠C=∠M=90°，∴△EMD≌△DCA(AAS)，∴EM=CD，MD=CA=BC，∴MD−BD=BC−BD，∴BM=CD=EM，∴∠MEB=∠MBE=45°．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°，∴∠ABE=180°−∠MBE−∠ABC=90°，∴AB⊥BE．解析：过点E作EM⊥BD，交DB延长线于点M，由“AAS”可证△EMD≌△DCA，可得EM=CD，MD=CA=BC，可得EM=BM，由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°=∠MBE，可得∠ABE= 90°，即AB⊥BE．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

绝密★启用前北京市第四中学2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题（解析版)试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( ) A ．x(a －b)＝ax －bxB ．x 2－1＋y 2＝(x －1)(x ＋1)＋y 2C ．x 2－1＝(x ＋1)(x －1)D ．ax ＋bx ＋c ＝x(a ＋b)＋c3．在平面直角坐标系中，点A ，点B 关于y 轴对称，点A 的坐标是（2，-8），则点B 的坐标是（ ）.A ．（-2，-8）B ．（2，8）C ．（-2，8）D ．（8，2） 4．已知x=3是分式方程1kx -=3的解，那么实数k 的值为（ ）. A.1B.32C.6D.9论中错误的是（ ）．A.60D ∠=︒B.40∠=︒DBCC.AC DB =D.10BE =6．下列算式中，你认为正确的是（ ）. A.1b aa b b a-=--- B.1÷b a .a b=l C.1133a a-=D.22211()a b a b a b a b-⋅=+-+ 7．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A ．三条高的交点 B ．三条角平分线的交点 C ．三条边的垂直平分线的交点 D ．三条中线的交点8．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）. A.120012002(120%)x x -=+ B.120012002(120%)x x-=-C.120012002(120%)x x-=+D.120012002(120%)x x -=- 9．对于非零实数，规定，若，则的值为A ．B ．C ．D ．10．如图，D 为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足BD CD =，DBC DCB ∠=∠，过D 作DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥交BA 的延长线于F ，则下列结论： ①CDE △≌BDF ；②CE AB AE =+；③BDC BAC ∠=∠；④DAF CBD ∠=∠．其中正确的结论有（ ）．A．1个B．2个C．3个D．4个第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．当分式的值为0时，x 的值为 ．12．23-=__________；用科学记数法表示0.000314=__________．13．化简：224816x xx x --+=___________.14．若2226100a b a b +--+=，则a b +=__________．15．如图，AC =DC ，BC =EC ，请你添加一个适当的条件：______________，使得△ABC ≌△DEC ．16．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CF AE ⊥，垂足为点F ，过点B 作BD BC ⊥交CF 的延长线于点D ，2BD =，则ABE △的面积为__________．17．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l 和l 外一点P ．（如图1） 求作：直线l 的垂线，使它经过点P ． 作法：如图2（1）在直线l 上任取两点A ，B ；（2）分别以点A ，B 为圆心，AP ，BP 长为半径作弧，两弧相交于点Q ；（3）作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是_________________________________________．18．（2017四川省攀枝花市）若关于x 的分式方程7311mx x x +=--无解，则实数m =_______．三、解答题19．将下列各式因式分解： （1）221218x x -+． （2）2()x a b a b --+．20．先化简（1-11x -）÷22441x x x -+-，再选一个适当的数代入求值. 21．解分式方程：2311xx x x +=--. 22．如图，点、、、在同一条直线上，，，.求证：.23．下面是某同学对多项式（x 2-4x +2）（x 2-4x +6）+4进行因式分解的过程． 解：设x 2-4x =y原式=（y +2）（y +6）+4（第一步） =y 2+8y +16（第二步） =（y +4）2（第三步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2-2x ）（x 2-2x +2）+1进行因式分解．24．如图，ABC △中，BAC ∠的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ．（1）请你利用尺规作图作出点D ．（2）过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，若6AB =，3AC =，则BE =__________．25．列方程或方程组解应用题：为了响应市政府“绿色出行”的号召，小张上下班由自驾车方式改为骑自行车方式. 已知小张单位与他家相距20千米，上下班高峰时段，自驾车的平均速度是自行车平均速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多23小时. 求自驾车平均速度和自行车平均速度各是多少?26．如图，BC CA ⊥，BC CA =，DC CE ⊥，DC CE =，直线BD 与AE 交于点F ，与AC 交于点G ，连接CF ．（1）BD 和AE 的大小关系是__________，位置关系是__________；请给出证明． （2）求证：CF 平分BFE ∠．27．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60︒．ABC △是等边三角形，点D 在BC 所在直线上运动，连接AD ，在AD 所在直线的右侧作60DAE ∠=︒，交ABC △的外角ACF ∠的角平分线所在直线于点E ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，请你猜想AD 与AE 的大小关系，并给出证明． （2）如图2，当点D 在线段BC 的反向延长线上，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．28．分解因式：（1）2244x y y -+-=__________．（2）2244243x xy y x y -+-+-=__________． 29．阅读下面材料，并解答问题.将分式42231x x x +--拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式. 解：由分母为x 2-1，可设x 4+x 2-3=（x 2-1）（x 2+a ）+b. 则x 4+x 2-3=（x 2-1）（x 2+a ）+b=x 4-x 2+ax 2-a+b=x 4+（a-1）x 2-a+b∴113a a b -=⎧⎨-+=-⎩,∴21a b =⎧⎨=-⎩∴4222222222223(1)(2)1(1)(2)11(2)11111x x x x x x x x x x x x +--+--+==-=+------ 这样，分式42231x x x +--被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式-211x -的和. 根据上述作法，将分式422681x x x +--拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式。

北京四中初二上期中数学试卷DA B C ....2).把多项式.分解因式，结果正确的是( 2aa4 ?2)a 2)(a a(2)2)(a ((a 4)a a4(a 2) DB A C ....2 . ) 3•分式的取值范围是(有意义，则 x _______ 1 x B C DA1x 1 xx 1x 1 .... ).4 •点关于轴成轴对称的点的坐标是(y3)A(2,3)2) (2,(3, 3), 3)( 2,( 2 C A BD ....△中，已知 AA CAB 幻使5.在和，添加下列条件中的一个，不能， B AB A ABCABC △△ . . △). 一定成立的是( CABC ADB . . . . C B CAC ACC BCB B.)6 .下列各式中，正确的是( y yx a b1 bx A B .. --------------------------- -------------22abb 22yx yx 1x 3 D C . . ---------------------- --------- -------- ---------- 22) xy(x y3 9x x，则这个等腰三角形的周长为( ).7.等腰三角形的两边长分别为和63B C D A181515 ...或.1212的度数是(边上的高，则是， ，中，如图，8. ) BDDBC ACABC △ AB A36ACA 18 .B . 24C 30 .D 36.一、选择题1 •下列图形中，不是轴对称图形的是 ()•，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证A 50.二、填空题 用科学记数法表示为•已知某种植物花粉的直径为纳米，即米，把 110.000035350000.000035 __________ ..12 .分解因式： 6x 3x3，在同一直线上，且、、、，是等边三角形，点 15.如图，已知 DE DFEBDCD91 30 3 . ). ，若A 30 .B 45.17数为（10•如图，和分别垂直平分和，则等于（ABMPPAQ QNAC130C 60 .D 75 . BAC度.的度•如图, ABCC 90△ Rt ，cm1DEB 75.C 80.D 105 .C △ ABCCG 贝 U•计算：.13 3|)|( 2 1) (一 20 1，中，、分别平分，、•如图，16ABC0 ABCBOACB II OMABC △.，则___________ ，的周长OMNIOcmBCACON II △ cm2112x 14xy 2y 3 __________ . 17 •已知，则代数式的面积为，则，且，平分如图18. 中，，的面积为4ABADACDABD3 △△ ABCAC三角运动的过程中，能使，点是点关于的对称点.在点与点不重合）最小时，是正方形点是直线上的一个动点，当PPDMNABCD PCMN上的一个动点（点，点是折线段20 •如图所示，长方形中,，E4EAB 3 4BCCA DABCD 为等腰—xyx 2xy yBAC2 △EPAABEPCB △.... 的位oA置共有__________ 个.形的点、解答题分解因式22)y(2 m92)mx( . . 21222xx( 1)4 . 22.计算abb32b )( . 23.4b3a9ax12 . 24. ----------------------------2x1 1 xal」］.25.先化简，再求值：，其中1 a 3 (1 ) ------------------------------ -------- 21 12aa a 83x 1 .解方程：26 . 21 x1x.,27 .已知：如图，,AE ADBAC AB AC DAE .求证：CEBD28. 列分式方程解应用题甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇字的文章与乙打一篇字的文章所用的时间相同•已9001000知甲每分钟比乙每分钟多打个字•问：甲、乙两人每分钟各打多少字？529. 小明在做课本中的一道题：如图，直线，所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量岀这1b a两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图，画，量岀直线与的夹角度数，即2PCbCP II a直线，所成角的度数. b a ()请写岀这种做法的理由. 1 ()小明在此基础上又进行了如下操作和探究(如图)：①以为圆心，任意长为半径画圆弧，分P23别交直线，于点，•②连结并延长交直线于点，请直接写岀图中所有与相PABADBA D3PCb a等的角.（）请在图画板内作岀“直线，所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分） 求b33a 作岀图形，并保留作图痕迹.30. （本题8分）（）如图（），已知：在中，，，直线经过点，丄直线，丄 BDA11CE △ ABC BAC 90 ACABII 直 线，垂足分别为点、•证明：.EDCEBD DE I （）如图（），将（）中的条件改为：在中，，、、三 点都在直线上，EAD221AC △ ABC ABI ，其中为任意锐角或钝角•请问结论且是否成立？如成 CE BDBDA AEC BAC DE 立•请你给岀证明•若不成立，请说明理由.（）拓展与应用：如图（），、是直线上的两动点（、、三点互不重合），点为EEAFDD BAC33I 平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、 ，若，BDBAC ACF CEAEC △ ABFBDA △求证：.EF DF，只要附加题2122 a b042a a •已知：.， ____________ 则 1 , ------------ b lazxy 2 .已知：的值为，贝U __________ , zb）（yac ）（bcx（） a -------- -------------- 「-------- ccb ab caa by，中，直角边3•等腰轴两个动点，交轴于点轴、、点，点分别是BADAC BAC 90ABCRt △ xx斜边•交轴于点yEBC点的坐标•，，求），若）如图（（0）B（2,,1）（0A11C 恰为，运动到使点连接当等腰），（）（如图中点时，求证：• DED22CDE ADBAC △ RtABC的平分线，试探究：）如图（不断运动的过程中，若满足（），在等腰始终是BDABCABC △ Rt33、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由. 、线段BDODOA 6北京四中初二上期中数学试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A A A B B D B A C C二、填空题 5 1 1. 103.5 2l)3(x 12.13. 4 14. 3 15. 15 16. 10 . 174 . 181.5 . 1945 . 204三、解答题22)x2)(m 9ym(2 21 .解:22)yx 9 (m 2)(.)y33 y)(x (m 2)(x222X 1)4 (x 22 .解：22)1 2x (x 1 2x)(x221)x( x 1)(.ab3b2b3.解：23 )( ----------- ------- ------ 4b9a 3a3ab39ab ---------- — ------------ 43bb227a2a3b _ _______ 32b6a1 . ___ ab2x21 .解：24 -------------------------- 2X1 x1x 1x2 ----------------------- ) )(1 (1xx81 . ------ x1a1 1a . 解:原式25 ( ) ____________ _____ ____ 21aa 1a a 1 2a11 aa1a 1 a. 』叮时，原式当.31 11 3a 321aa a122 1 aa21 8 x(x 3)(x 1)•解：，26 221 8 x 4x 3 x ，4x 4，1x ，1 x是原方程的增根，所以原方程无解•经检验：,27 .证明：J, BAE BAEBAC DAE , 即EACBAE DAB DAE BAE BAC 中，在和ADB △ AEC △ AE AD , EAC DAB ACAB ), •〜 (SAS △△ AECADB /.. CEBD个字，则甲每分钟打个字，28•解：设乙每分钟打5)(x X9001000 ,由题意得，——------------ xx 5得：，45 x检验：是原方程的解，且符合题意. 45x 个字，乙每分钟打个字•答：甲每人每分钟打455029 •解：（）两直线平行，同位角相等.1BDA(),2190AECPDA BDC9PAB ,）作线段（的垂直平分线EFAB3 是所求作的图形•则EF解：（1丨IBD CE •••,)v,,30.,又90 B AC , •••,90 BAD BAD CAE 90 ABD ? * •• ABD CAE中，在和CAE△ △ ABDCAE ABD ,90ADB CEA AC AB ),〈垄（・•• AAS △△ ABDCAE , •,AEBD> CE AD , •/ AE DE AD . •BD DE CE ()成立， 2 ,•/ AEC BAC BDA , •CAE 180 BAD BAD DBA •,ABD CAE在和中，CEA △ ADB △ABD CAE ,CEA ADB AB AC •••幻(),AAS △ ADBCEA △•-•, , BDAE CEAD •.DE AD BD CE AE()由()知，幻，2CEA △△ ADB3 /., , BD AECAE DBA 二•和均为等边三角形，ACF △△ABF •••,60 CAF ABF /., CAF CAE DBA ABF /., FAEDBF v, AFBF 在和中，EAFDBF △△ FB FA , FAE FBD BD AE •••和(),SAS △ DBF △ EAF ••,, AFEBFD DF EF •, BFD 60DFA DFA AFE DFE •为等边三角形. DEF △ •. EFDF附加题：10a2, 1 •解：由题可知，2a b a2—212 • _ ___________ ba 1a 2 2(a 1) -------------------------------2)a a 1)((3a ------------------ 22aa 3a ------------------------- a a 22_ 2. 2xyz，解：令2k ---------------------- --------------- --------------- c abb c a bc a则，，)bk(c ay )b c k(ax k(b c a) z 代入zb)y (a c)x (c a)(b , )ca b b) (a b)( b c)(bc a) (c a)(c a (222222 ,y //<“ F/ —Jbc ab a b cb ab ac cac a bc• 1OF卜AA7AcQG1,轴于点（）如图，过点作交，y2GCACCG 圍（2）轴于点,3.（）如图，过点作yCF F1C ），则幻（AASACFABO• 1) (C△ △,,••• 2OB 1AF CF OA，幻()贝0 ASA △△ ACGABD , •, GCG AD △ DCEGCE △，二G CDE . • CDE ADB CD ADB , •/ DCE GCE 45 ,) •心(SAS ()如图，在上截取，连接，AHOD3 OBOH ,(7),△ ABC 无法判定幻，、B CBC BACBBAAB A A △ 判定可利用幻 CBACJA占〉由对称性得，AHD AD AH ADH S(3) •••, BEO BAO ADH AHD •••, BHA AEC ,，又:ABH ABACCAEAASACE △△ BAH)OD BD2(OA12北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1A【答案】.【解析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠, 图形，这条直 选项经过折叠后不能重合•线就叫做对称轴. 直线两旁的部分能够完全重合的 A A .故选:2A【答案】.2 4a aa(a 4).【解析】A .故选：3A 【答案】.2 1x 1 Ox •，解得【解析】分式有意义，则分母 B------- x 1 A .故选:4【答案】.y3) A(2,3)y 3(2, 2x .【解析】点轴成轴对称的点的坐标其， ，即关于 B •故选:B5【答案】.△ ABC △ SAS ，幻，【解析】、，条件判定可利用 A CAAC ACBBAB A AAABC △ CSAS ,,、，条件(7),ACAB A A AAB △ ABCASA △.条件判定可利用，、，幻DCAB C CB AB AA AB .故选：6D【答案】.a bl b ，本选项错误，、【解析】A ----------------- --------- abb x yx y ，本选项错误，、B -------- ------------ 22x 31 C, 本选项错误，、 ------- -------- 2 9xx 3?2yyx x 、，本选项正确. D.故选：----------------------------------- ------------------------------ 2) y y(xx D7B【答案】.6 3363不能构成三角形.，底边为【解析】若腰为，贝9 1315 6 3636 •故腰为，则周长为，底边为B .故选:8A【答案】• AC AB ,【解析】•/ 1 B C (180 A) 72 , •••_ 2 AC BD , •/18C 90 DBC A .故选：9C【答案】.60 3 1 2 90.【解析】 C .故选：10C【答案】.130 A，【解析】J 50 C B, • QN AC ,和和分别垂直平分J ABMPAQ CQ •••, APBP QAC C ,•••, BPAB PAB QAC B C 50 , •PAQ BAC ( PAB QAC) 80 . • C .故选：二、填空题11 5【答案】.103.5 n iioio< a，这种记【解析】把一个绝对值小于(或者大于等于的形式(其中)的实数记为)110a 5 0.000035 .数法叫做科学记数法.把用科学记数法表示为103.5 5 .故答案为：10 3.521) 3(x 12【答案】.2221)X 1) XX 3 3(3( 2x3x 6 .【解析】2“ 3(x .故答案为：13【答案】.41 ••10() (2 1) | 3| 2 13 4 .【解析】一2 .故答案为：41414 3【答案】.DC CABAC ,,，平分【解析】•/ ABDEAD 1 DECD , •30B Rt△ BDE ,中，又•••在，二2 BD 2DE 3cmBD BC CD . • 3.故答案为：15 15【答案】.ABC △是等边三角形，【解析】J 120 ACD ACB 60,二，CDCG，又丁150 FDE CDG 30, •，又丁DEDF 15 E . •15.故答案为：16 10【答案】.ABC BO，平分【解析】J MBO ABO , • AB II OM，又丁BOM ABO , • MOB MBO , • OBOM , • NCON，同理可得10cmBC NC ON MN BM MN △ OMNOM .的周长为• 10.故答案为：17【答案】.411xy3 ，【解析】将等式两边同时乘以_ _ xyxy 3xy ，得y14xy 2 2X•----------------------- yxy x2xy 2(xy) 14 ---------------------------------- xyy 2 xxyxy 6 14 ---------------------------- xy 3 xy2 . 4 .故答案为：41518 1.5【答案】.ACDF，作，【解析】过ABDE D 是AD , • DFDE 13 AB SDE , J △—ADC 2 1.5.故答案为：BAC的平分线，J■ ABD23 DE，•一23 DF，•一21 SDF 1.5AC1945【答案】.，【解析】连结PB.¥SBCMN，垂直平分J PC PB,「. PBPC PD PD，二•两点之间直线最短，BD PD< PB ,••• BD PD< PC,「. PDPC，即的最短距离为BD BCDPC ，此时平分45PCD .二45.故答案为：20【答案】.4为等腰三角形一腰长时，【解析】①BP个，符合点的位置有E2 BC •的垂直平分线与以为圆心是为半径的圆的交点即是点PBBA C为顶点时，为底边时，② BP个，的位置有符合点E2 BCC •为圆心为半径的圆与以是以为圆心为半径的圆的交点即是点PBBA PC为顶点时，这样的等腰三角形不存在，③以为底边， B BC为半径的圆没有交点•为半径的圆与以为圆心因为以为圆心BBBA 16•故答案为：417。

三角形及多边形全等三角形的性质与判定轴对称整式运算与因式分解分式及分式化简分式方程及其应用二次根式初二第一学期期中试卷（清华附中平行班）数学人大附中2018-2019学年度第一学期期中初二年级数学练习2018年11月7日北京四中2018-2019学年第一学期期中测验初二年级（数学学科）北京市师达中学2018-2019学年第一学期第二次质量监测三角形及多边形三角形按照边来分可分为：三边不等的三角形，等腰三角形三角形按照角来分可分为：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三角形的性质：三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边.三角形内角和为180°；三角形的外角等于不相邻的两内角之和；三角形的外角大于任何和它不相邻的内角.三角形的五心分别是重心，垂心，外心，内心，旁心1.三角形的重心．．：三角形各边中线的交点。

如图所示，点G为三角形ABC的重心重心主要有两个性质：（1）过重心的直线平分几何图形的面积。

中心对称图形还同时平分周长（2）在三角形中，每条中线都被重心分成1:2两部分三角形的重心一定在三角形内部2.三角形的外心．．：三角形三条边的垂直平分线的交点.外心到三角形三个顶点的距离相等当三角形是锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形是直角三角形时，外心在该三角形斜边中点；当三角形是钝角三角形时，外心在三角形外部.3.三角形的垂心．．：三条高线所在直线的交点当三角形是锐角三角形时，垂心心在三角形内部；当三角形是直角三角形时，垂心在该三角形直角顶点；当三角形是钝角三角形时，垂心在三角形外部.4.三角形的内心．．：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心.内心的性质：三角形的三条内角平分线交于一点，该点即为三角形的内心.内心到三角形三边距离相等.内心一定在三角形内部5.三角形的旁心．．：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心每个三角形都有三个旁心旁心到三边所在直线的距离相等.我们把内心和旁心放在一起说是有原因的：一个是到三边距离相等，一个是到三边所在直线距离相等三角形练习一．选择题1.从长度分别为10cm 、20cm 、30cm 、40cm 的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是()．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l 的取值范围是()．(A)6＜l ＜15(B)6＜l ＜16(C)11＜l ＜13(D)10＜l ＜163．上午9时，一艘船从A 处出发以20海里／时的速度向正北航行，11时到达B 处，若在A 处测得灯塔C 在北偏西34°，且,23BAC ACB ∠=∠则灯塔C 应在B 处的()．(A)北偏西68°(B)南偏西85°(C)北偏西85°(D)南偏西68°4．在△ABC 中，若∠A ∶∠B ＝5∶7，∠C －∠A ＝10°，则∠C 等于()．(A)75°(B)60°(C)50°(D)40°5．在△ABC 中，若AB ＝3，BC ＝1－2x ，CA ＝8，则x 的取值范围是()．(A)0＜x ＜2(B)－5＜x ＜－2(C)－2＜x ＜5(D)x ＜－5或x ＞26．下列命题中，结论正确的是()．①外角和大于内角和的多边形只有三角形．②一个三角形的内角中，至少有一个不小于60°．③三角形的一个外角大于它的任何一个内角．④多边形的边数增加时，其内角和随着增加，外角和不变．(A)①②③④(B)①②④(C)①③④(D)①④7．若一个正多边形的每个内角与它相邻的外角的差为100°，则这个正多边形的边数是()(A)七(B)八(C)九(D)十8．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是()．(A)∠A ＝∠1＋∠2(B)2∠A ＝∠1＋∠2(C)3∠A ＝2∠1＋∠2(D)3∠A ＝2(∠1＋∠2)9.如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（）A .∠A =∠1+∠2B .∠A =21（∠1+∠2）C .∠A =31（∠1+∠2）D .∠A =41（∠1+∠2）10.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）A .17cmB .5cmC .5cm 或17cmD .无法确定11．7条长度均为整数厘米的线段：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5＜a 6＜a 7，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若a 1=1厘米，a 7=21厘米，则a 6能取的值是（）A ．18厘米B ．13厘米C ．8厘米D ．5厘米12.如图，在△ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H .下列结论：①∠DBE =∠F ；②2∠BEF =∠BAF +∠C ；③∠F =21（∠BAC -∠C ）；④∠BGH =∠ABE +∠C .其中正确的是（）A .①②③B .①③④C .①②③D .①②③④13.四边形ABCD 两组对边AD ，BC 与AB ，DC 延长线分别交于点E ，F ，∠AEB ，∠AFD的平分线交于点P .∠A =64°，∠BCD =136°，则下列结论中正确的是（）①∠EPF =100°；②∠ADC +∠ABC =160°；③∠PEB +∠PFC +∠EPF =136°；④∠PEB +∠PFC =136°.A .①②③B .②③④C .①③④D .①②③④14.三角形的三角内角分别为α，β，γ，且γβα≥≥，βα2=，则β的取值范围是（）A . 4536≤≤βB . 6045≤≤βC . 9060≤≤βD .3245≤≤β15．如图，四边形ABCD 中，∠B=60°，∠D=50°，将△CMN 沿MN 翻折得△EMN ，若EM ∥AB ，EN ∥AD ，则∠C 的度数为（）图15图16图17A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°16．将五边形纸片ABCDE 按如图方式折叠，折痕为AF ，点E ，D 分别落在E′，D′点．已知∠AFC=76°，则∠CFD′等于（）A ．15°B ．25°C ．28°D ．31°17．如图，在四边形ABCD 中，∠A+∠D=α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则∠P=（）A ．90°﹣αB ．90°+αC ．D ．360°﹣α二．填空题1.设a ，b ，c 是△ABC 的三边，化简c b a c b a --+++=____________.2.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为____________.（第2题）（第3题）图4图53.如图，若∠CGE =α，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =_______.4．如图，△ABC 中，∠A=60°，∠B=80°，CD 是∠ACB 的平分线，DE ⊥AC 于点E ，EF ∥CD 交AB 于F ，则∠DEF 的度数为°．5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数是．6．一机器人以0.2m/s 的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为s ．7．如图，∠1=m°，∠2+∠4+∠6+∠8=n°，则∠3+∠5+∠7的大小是．图7图8图98.如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=220°，则∠P=°．9．如图，长方形的长和宽分别为2cm和1cm，则图中由弧AB、弧CD和AC、BD围成的阴影部分的面积为_______.10．任何一个凸多边形的外角和等于______．它与该多边形的______无关；正n边形的每一个内角等于______，每一个外角等于______；若一个正多边形的内角和2340°，则边数为______；它的外角等于______；若一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的内角和等于______；多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数为______，对角线条数为______．11．(1)已知：如图1，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6___________．(2)已知：如图2，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8____________．图1图212．如图，在图(1)中，猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______度．请说明你猜想的理由．如果把图1成为2环三角形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F；图2称为2环四边形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H；则2环四边形的内角和为_____________________________________________度；2环五边形的内角和为________________________________________________度；2环n边形的内角和为________________________________________________度．图1图213.如图，在△ABC 中，∠A=α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，则∠A 1=．∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2，…，∠A 2009BC 的平分线与∠A 2009CD 的平分线交于点A 2010，得∠A 2010，则∠A 2010=．14.如图1所示，圆上均匀分布着11个点12311,,,,A A A A .从A 1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A 1连接时，我们把所形成的图形称为“k +1阶正十一角星”，其中18k ≤≤（k 为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么1211A A A ∠+∠++∠= °；当1211A A A ∠+∠++∠= 900°时，k =.图1图2三．解答题1．已知：如图，P 是△ABC 内一点．请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．2．如图，D 、E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC ．3．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．4．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分(以下两问要求各画三个示意图)(1)已知一个任意三角形，并其剖分成3个等积的三角形．(2)已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．5．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．6．喜羊羊、美羊羊、懒羊羊在微信建立了一个学习讨论组，现在他们讨论了一道几何题，如图所示，请你填写完整的解答过程．懒羊羊：我现在有一个△ABC，其中∠A＞∠C，BD是高，BE是角平分线，如图，请美羊羊设置问题，喜羊羊来回答．美羊羊：问题一：若∠A=45°，∠C=25°，求∠ABD与∠BEA的度数；美羊羊：问题二：试判断∠DBE与∠A﹣∠C之间的数量的关系，并说明理由．7．如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=70°．（1）求∠DAE的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．8．如图，四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．①如图1，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用α、β的代数式表示）②如图2，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并求得∠P=．（用α、β的代数式表示）9．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当△PMN所放位置如图①所示时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=15°，∠PEB=30°，求∠N的度数．10．已知△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于G1、G2、G3，…、G n－1，试猜想：∠BG n－1C与∠A的关系．(其中n≥2的整数)首先得到：当n＝2时，如图1，∠BG1C＝______，当n＝3时，如图2，∠BG2C＝______，…………猜想∠BG n－1C＝______．图1图2图n11.在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.12.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°.13.平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°.（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小.（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC.图1图214.如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB；∠CNB＝3∶2，求∠CAB的度数．15．如图，已知线段AD、BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．16．一张长方形的桌面，减去一个角后，求剩下的部分的多边形的内角和．17．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．18．如果一个凸多边形除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数．19．小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗?若能，当他走回点A时共走了多少米?若不能，写出理由．20．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成一个平面图形．(1)请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数345678…n正多边形每个内角度数60°90°…(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?(3)不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么?正五边形的地砖会留有不少缝隙(4)某家庭准备用正三角形与正六边形两种瓷砖结合在一起镶嵌地面，由你帮助设计镶嵌图案，你能设计几种不同的镶嵌方案?(5)正三角形和正方形组合呢?(画图说明)21．三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题．(1)把一个三角形分成面积相等的4块(至少给出两种方法)；(2)在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图，现被两条中线分成4块，则四边形的一块(阴影部分)恰好可放养几只羊?24．请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A=70°，则∠BPC=度；（2）探究2：如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系？并说明理由．（3）拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α．①直接写出∠BPC与α的数量关系；②根据α的值的情况，判断△BPC的形状（按角分类）．25.如图，△ABC三条角平分线交与点O，过点O作OG⊥BC于点G，试判断∠BOD和∠COG的大小关系，并说明理由.。

2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）下列博物院的标识中是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）A．B．C．D．3．（2分）下列计算正确的是（ ）A．（4ab）2＝4a2b2B．a2⋅a3＝a6C．a2+a2＝a4D．（﹣3a3b）2＝9a6b24．（2分）如图，△ABC被木板遮住了一部分，其中AB＝6，则AC+BC的值不可能是（ ）A．11B．9C．7D．55．（2分）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）A．B．C．D．6．（2分）如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．AD＝CB D．∠BAC＝∠DCA 7．（2分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数（ ）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小8．（2分）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号（4，8，8），（3，6，3，6），（3，3，4，3，4）表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ）A．（3，12，12）B．（3，4，6，4）C．（3，3，4，12）D．（3，4，3，3，6）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．（2分）计算：（π﹣3.14）0＝ ；＝ ．10．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是 ．11．（2分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．12．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于 ．13．（2分）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是直角三角形时，t ＝ ．14．（2分）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为 ．15．（2分）数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段a、b，利用“尺规作图”作Rt△ABC使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如下，请你回答下列问题：所以，Rt△ABC为所求作的三角形．（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是 ；（只填序号）①以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D；②画直线BF；③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F；④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，连接AC；⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB＝a．（2）∠ABC＝90°的理由是 ．16．（2分）在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边△ABC，下面四个结论中：①存在无数个△MNP是等腰三角形；②存在无数个△MNP是等边三角形；③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．所有正确结论的序号是 ．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．（24分）（1）计算：；（2）计算：20222﹣2020×2024 （需简便运算）；（3）计算：（15x2y﹣10xy2）÷5xy；（4）计算：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）；（5）因式分解：（x+m）2﹣（x+n）2；（6）因式分解：3ax2+6axy+3ay2．18．（6分）如图，A，C，D三点共线，△ABC和△CDE落在AD的同侧，AB∥CE，BC＝DE，∠B＝∠D，求证：（1）△ABC≌△CDE；（2）AB+CE＝AD．19．（6分）先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．20．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为（﹣4，﹣1），点B坐标为（﹣1，﹣1），点C坐标为（﹣3，3）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）请写出点B关于x轴对称点的坐标为 ；（3）点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标为 ．21．（6分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．如图2，∠ABC为直角，以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ；以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与交于点F ；再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与交于点G ；作射线BF ，BG ．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG ，∠GBF ，∠FBE 的大小关系．22．（7分）如图（1），等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE ．（1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE ∥BC 的理由；（3）如图（2），将（1）动点D 运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE ∥BC ？证明你的猜想．23．（6分）阅读下列材料：对于多项式x 2+x ﹣2，如果我们把x ＝1代入此多项式，发现x 2+x ﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x+2），于是我们可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2 有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1．于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）请你根据以上材料，解答以下问题：（1）当x＝ 时，多项式6x2﹣x﹣5的值为0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式 ，从而因式分解6x2﹣x﹣5＝ ；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：x3﹣7x+6．24．（7分）如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在射线AB上，且∠ACE＝2α，在射线CE上取点D使得CD＝CA，连接AD并延长交射线CB于点F．（1）当0°＜2α＜60°时，①∠DAB＝ ；（请用含α的代数式表示）②求证：CE+BE＝CF；（2）当60°＜2α＜120°时，请根据题意补全图2，并写出线段CE，BE，CF间的数量关系 ．第二部分附加题（共10分）25．（5分）找规律．第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；……（1）请写出第4组等式 ， ；（2）请写出第n组等式 ， ；（3）若k2+96032＝96052（k＞0）则k＝ ．26．（5分）为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法．因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明A＞B，只需要证明A﹣B＞0；同样的，要证明A ＜B，只需要证明A﹣B＜0．例如：小明对于命题：任意的实数a和b，总有a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立，给出了如下证明：证明：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立．（1）请仿照小明的证明方法，证明如下命题：若a，b，x，y≥0，且a≥x，则（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）若a1≥a2≥……≥a n≥0，b1≥b2≥……≥b n≥0，且a1+a2+……+a n＝b1+b2+……+b n＝1，求（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值．2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．2．【解答】解：△ABC的边AB上的高是经过点C与AB垂直，故选：A．3．【解答】解：A．（4ab）2＝16a2b2，故A错误，不符合题意；B．a2⋅a3＝a5，故B错误，不符合题意；C．a2+a2＝2a2，故C错误，不符合题意；D．（﹣3a3b）2＝9a6b2，故D正确，符合题意．故选：D．4．【解答】解：在△ABC中，AC+BC＞AB，∵AB＝6，∴AC+BC＞6，∴AC+BC的值不可能是5，故选：D．5．【解答】解：原式＝﹣＝，故选：D．6．【解答】解：添加的条件是AD＝CB，理由是：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），故选：C．7．【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度数是定值，故选：C．8．【解答】解：A、∵正三角形一个内角为60°，正十二边形一个内角为150°，60°+2×150°＝360°，∴（3，12，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；B、∵正三角形一个内角为60°，正方形一个内角为90°，正六边形一个内角为120°，60°+2×90°+120°＝360°，∴（3，4，6，4）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；C、∵2×60°+90°+150°＝360°，∴（3，3，4，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；D、3×60°+90°+120°＝390°≠360°，∴（3，4，3，3，6）不可以得到“半正密铺”图案，故符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．【解答】解：（π﹣3.14）0＝1；＝．故答案为：0；﹣．10．【解答】解：∵x﹣3≠0，∴x≠3．故答案为：x≠3．11．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．故多边形是十二边形．12．【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是70°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是110°．故答案为：70°或110°．13．【解答】解：分两种情况：①当∠APB＝90°时，过A作AP⊥BC于点P，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP＝，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝；②当∠BAP＝90°时，过A作P'A⊥AB交BC于点P'，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP'＝6，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝6，综上所述，当△ABP是直角三角形时，t＝或6，故答案为：或6．14．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，所以a2+b2＝11，故答案为：11．15．【解答】解：（1）⑤①③②④，故答案为：⑤①③②④；（2）∠ABC＝90°的理由是：等腰三角形的三线合一；故答案为：等腰三角形的三线合一．16．【解答】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）．故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值（面积可以接近O，没有最小值）．故答案为①②③．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．【解答】解：（1）原式＝﹣6a3b2；（2）原式＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+22＝4；（3）原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy＝3x﹣2y；（4）原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2＝12xy+10y2；（5）（x+m）2﹣（x+n）2＝（x+m+x+n）（x+m﹣x﹣n）＝（2x+m+n）（m﹣n）；（6）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2．18．【解答】证明：（1）∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）；（2）∵△ABC≌△CDE；∴AC＝CE，AB＝CD，∴AB+CE＝CD+AC＝AD．19．【解答】解：＝＝．∵x≠±2且x≠0，∴x＝﹣1时，．20．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）B（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）；（3）设P（0，m），由题意×3×|m+1|＝×3×4，∴m＝3或﹣5，∴P（0，3）或（0，﹣5）．故答案为：（0，3）或（0，﹣5）．21．【解答】解：（1）如图，射线BG，BF即为所求．（2）∠DBG＝∠GBF＝∠FBE．理由：连接DF，EG，则BD＝BF＝DF，BE＝BG＝EG，即△BDF和△BEG均为等边三角形，∴∠DBF＝∠EBG＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．22．【解答】解：（1）△DBC和△EAC会全等证明：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD ∴∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），（2）∵△DBC≌△EAC∴∠EAC＝∠B＝60°又∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC（3）结论：AE∥BC理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），∴∠EAC＝∠B＝60°又∵∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC．23．【解答】解：（1）当x＝1时，6x2﹣x﹣5＝6×12﹣1﹣5＝0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式x﹣1，即6x2﹣x﹣5＝（x﹣1）（6x+5）．故答案为：1，x﹣1，（x﹣1）（6x+5）；（2）当x＝1时，x3﹣7x+6＝13﹣7×1+6＝0，所以x3﹣7x+6＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）．24．【解答】（1）①解：∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACE＝2α，∴∠CAD＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAD﹣∠CAB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，故答案为：30°﹣α；②证明：在CF上截取CM＝CE，连接DM，BD，∵∠ABC＝60°，∠DAB＝30°﹣α，∴∠F＝60°﹣（30°﹣α）＝30°+α，∵CD＝CB，∠DCM＝∠BCE，CM＝CE，∴△CMD≌△CEB（SAS），∴∠CMD＝∠CEB，DM＝BE，∴∠DEB＝∠DMF，∵∠DEB＝∠DAB+∠CDA＝120°﹣2α，∴∠DMF＝120°﹣2α，∴∠MDF＝180°﹣30°﹣α﹣120°+2α＝30°+α，∴∠F＝∠MDF，∴DM＝MF，∴BE＝MF，∴CF＝CM+MF＝CE+BE；（2）解：补全图形如下：在CE上截取CN＝CF，连接BN，BD，则CA＝CB＝CD，同（1）可知△BCN≌△DCF（SAS），∴∠CNB＝∠CFD，∴∠BNE＝∠BFD，∵∠BCE＝2α﹣60°，CD＝CB＝CA，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∴∠DAB＝60°﹣（90°﹣α）＝α﹣30°，∴∠E＝∠CDA﹣∠DAB＝120°﹣2α，∵∠CFD＝90°﹣α+60°＝150°﹣α，∴∠CNB＝150°﹣α，∴∠BNE＝30°+α，∴∠NBE＝180°﹣∠BNE﹣∠E＝30°+α，∴∠BNE＝∠NBE，∴BE＝NE，∴CE＝NC+NE＝CF+BE．故答案为：CE＝CF+BE．第二部分附加题（共10分）25．【解答】解：∵第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；∴（1）请写出第4组等式，162+632＝652；故答案为：，（2）请写出第n组等式＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；故答案为：＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；（3）∵k2+96032＝96052（k＞0），设x+（x+2）＝k，则x（x+2）＝9603，解得x＝97，k＝196，故答案为：196．26．【解答】（1）证明：由题意得，（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2＝（a﹣x）2﹣（a+b﹣x）2+（b﹣y）2﹣y2＝（a﹣x+a+b﹣x）（a﹣x﹣a﹣b+x）+（b﹣y+y）（b﹣y﹣y）＝﹣b（2a+b﹣2x）+b（b﹣2y）＝b（﹣2a﹣b+2x+b﹣2y）＝2b（x﹣a﹣y）．∵a，b，x，y≥0，且a≥x，∴x﹣a≤0，﹣y≤0．∴x﹣a﹣y≤0．∴2b（x﹣a﹣y）≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）解：设a1≥b1，∵b1≥b2≥……≥b n≥0，b1+b2+……+b n＝1，∴b1≥．又++……+≤+b1b2+……+b1b n＝b1（b1+b2+……+b n）＝b1，∴b1（a1+a2+……+a n）＝a1b1+b1（a2+……+a n）≤a1b1+a1（a2+……+a n）≤a1b1+a2b2+…+a n b n+a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n．∴a1b1+a2b2+…+a n b n≥b1（a2+……+a n）﹣（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2＝（++……+）﹣2（a1b1+a2b2+…+a n b n）+（++……+）≤（++……+）﹣2b1（a1+a2+……+a n）+2（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）+b1＝（a1+a2+……+a n）2﹣2b1+b1＝1﹣2b1+b1＝1﹣b1≤1﹣＝．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值为．。

2010-2011学年北京市四中八年级（上）期中数学试卷2010-2011学年北京市四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题：（1～6小题每题4分，7～12小题每题3分，共42分）．C D．3．（4分）如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上两点且BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF=（）4．（4分）如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）分）（2003•黑龙江）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（）5．（46．（4分）如图所示，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，则∠E=（）8．（3分）下列运算中，正确的个数是（）①=±4；②；③．9．（3分）（2009•江苏）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（）10．（3分）如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系11．（3分）如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1=∠2，D为AC上一点，AD=AB，则（）12．（3分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=2，对角线BD平分∠ABC，E是BC的中点，P 是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）．C．二、填空题：（每小题2分，共16分）13．（2分）的平方根是_________，若（x+1）2=2，则x=_________．14．（2分）已知点（2，x）和点（y，3）关于y轴对称，则（x+y）2011=_________．15．（2分）某人在湖水中看到一串字符在水中的倒影为，则该串字符在实际中的内容应该是_________．16．（2分）如图，已知点O为△ABC内角平分线的交点，过点O作MN∥BC，分别交AB于AC点M、N，若AB=12，AC=14，则△AMN的周长是_________．17．（2分）设实数x，y满足，则x=_________，y=_________．18．（2分）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE+OF的值为_________．19．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为_________．20．（2分）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是_________．①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．三、解答题：21．（3分）计算：．22．（9分）将下列各式因式分解：（1）2x2﹣4x﹣6；（2）（x+2）（x﹣3）﹣6；（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）．23．（5分）（2005•武汉）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠ADC=∠BCD，AD=BC，求证：AO=BO．24．（4分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣l，O），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，在右面的坐标系中画出△A2B2C2，并写出它的三个顶点的坐标．25．（5分）已知，如图，AD为△ABC的角平分线，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．26．（5分）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．27．（5分）如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，试判断CF与GB的大小关系，并证明你的结论．四、附加题29．求证：是整数．30．已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M．求证：AM=（AB+AC）．31．试证明：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，较大的边所对的角也较大．2010-2011学年北京市四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（1～6小题每题4分，7～12小题每题3分，共42分）．C D．3．（4分）如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上两点且BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF=（）4．（4分）如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）5．（4分）（2003•黑龙江）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（）6．（4分）如图所示，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，则∠E=（）CBD= CBD=×8．（3分）下列运算中，正确的个数是（）①=±4；②；③．解：①=4③的算术平方根．记为9．（3分）（2009•江苏）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（）10．（3分）如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系11．（3分）如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1=∠2，D为AC上一点，AD=AB，则（）12．（3分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=2，对角线BD平分∠ABC，E是BC的中点，P 是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）．C．=．二、填空题：（每小题2分，共16分）13．（2分）的平方根是±3，若（x+1）2=2，则x=﹣1±．解：∵=9∴±，±±14．（2分）已知点（2，x）和点（y，3）关于y轴对称，则（x+y）2011=1．15．（2分）某人在湖水中看到一串字符在水中的倒影为，则该串字符在实际中的内容应该是wp31285qb．16．（2分）如图，已知点O为△ABC内角平分线的交点，过点O作MN∥BC，分别交AB于AC点M、N，若AB=12，AC=14，则△AMN的周长是26．17．（2分）设实数x，y满足，则x=2，y=4．解：∵，∴y=018．（2分）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE+OF的值为1．=OE+OF=BCAB=19．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为40°．20．（2分）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是①②③④．①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．三、解答题：21．（3分）计算：．2+22．（9分）将下列各式因式分解：（1）2x2﹣4x﹣6；（2）（x+2）（x﹣3）﹣6；（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）．23．（5分）（2005•武汉）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠ADC=∠BCD，AD=BC，求证：AO=BO．∵∵24．（4分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣l，O），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，在右面的坐标系中画出△A2B2C2，并写出它的三个顶点的坐标．25．（5分）已知，如图，AD为△ABC的角平分线，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．26．（5分）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．27．（5分）如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，试判断CF与GB的大小关系，并证明你的结论．四、附加题29．求证：是整数．是整数．30．已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M．求证：AM=（AB+AC）．EF=ACAC AD=AB ACEF=EM=ACAE=AD=AM=AE+EM=（AM=EF=EM=31．试证明：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，较大的边所对的角也较大．参与本试卷答题和审题的老师有：zjx111；心若在；gbl210；HJJ；xiawei；wenming；sjzx；bjy；HLing；haoyujun；开心；冯延鹏；cair。