北京四中2021~2021学年初二上期中考试数学试题及答案

2020-2021北京市初二数学上期中试题含答案一、选择题1．“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为（）A．18018032x x-=-B．18018032x x-=+C．18018032x x-=+D．18018032x x-=-2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm3．李老师开车去20km远的县城开会，若按原计划速度行驶，则会迟到10分钟，在保证安全驾驶的前提下，如果将速度每小时加快10km，则正好到达，如果设原来的行驶速度为xkm/h，那么可列分式方程为A．20201010x x-=+B．20201010x x-=+C．20201106x x-=+D．20201106x x-=+4．如图是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（）A．90°B．120°C．150°D．180°5．如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，BC＝DE，则下列结论中不正确的是( )A ．△ABC≌△CDEB ．CE ＝AC C ．AB⊥CD D ．E 为BC 的中点6．要使分式13a +有意义，则a 的取值应满足（ ） A ．3a =-B ．3a ≠-C ．3a >-D ．3a ≠7．计算()2x yxy x xy--÷的结果为（ ） A ．1yB ．2x yC ．2x y -D ．xy -8．如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与ACP '重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ ）A ．32B ．23C ．42D ．339．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（ ）A 29B 34C ．2D 4110．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（ ）A ．80°B ．80°或50°C ．20°D ．80°或20°11．如图，在ABC ∆中，64A ∠=︒，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；……；1n A BC -∠与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，要使n A ∠的度数为整数，则n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．如图，△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，P 为MN 上任一点，下列结论中错误的是( )A ．△AA 1P 是等腰三角形B ．MN 垂直平分AA 1，CC 1 C ．△ABC 与△A 1B 1C 1面积相等D ．直线AB 、A 1B 的交点不一定在MN 上二、填空题13．若关于x 的分式方程2222x m x x ++=--的解有增根，则m 的值是____． 14．关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是_________． 15．已知x 2+mx-6=(x-3)(x+n)，则m n =______．16．关于x 的方程25211a x x-+=---的解为正数，则a 的取值范围为________． 17．已知m ﹣n=2，mn=﹣1，则（1+2m ）（1﹣2n ）的值为__．18．如图，已知△ABC 的周长为27cm ，AC ＝9cm ，BC 边上中线AD ＝6cm ，△ABD 周长为19cm ，AB=__________19．因式分解：2()4()a a b a b ---＝___.20．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A ＝30° ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝2cm ，则AC=______．三、解答题21．列方程解应用题：某市今年进行水网升级，1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．22．（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC的长取到最大值，则最大值为；（用含a、b的式子表示）．（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=2，分别以AB，AC为边，作等边ABD△和等边ACE△，连接CD，BE.①图中与线段BE相等的线段是线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值为．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值为，及此时点P的坐标为．（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c=1：1223．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 24．已知：如图，//AD BC ，DB 平分ADC ∠,CE 平分BCD ∠，交AB 于点E ，BD 于点O ，求证：点O 到EB 与ED 的距离相等.25．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，BF 平分∠ABC ，AF ∥DC ，连接AC ，CF. 求证：（1）AF=CF ； （2）CA 平分∠DCF.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】设小组原有x人，根据题意可得，出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费，列方程即可．【详解】设小组原有x人,可得：1801803.2x x-=+故选B.【点睛】考查由实际问题抽象出分式方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键. 2．D解析：D【解析】【分析】先求出∠ACD=∠B=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再求出AB即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，∴∠B=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），∴AC=12AB（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），又∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=90º，∴∠ACD=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），∴AD=12AC（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），∴AC=6，又∴AC=12 AB，∴12AB=．故选D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和有30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．3．C解析：C 【解析】设原来的行驶速度为xkm/h ，根据“原计划所用的时间-实际所用的时间=16小时”，即可得方程20201106x x -=+，故选C. 点睛：本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找出等量关系是解题的关键.4．D解析：D 【解析】 【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用△ABC 各内角的度数表示出∠1，∠2，∠3，再根据三角形内角和定理，即可得出结论． 【详解】∵图中是三个等边三角形，∴∠1=180°−60°−∠ABC=120°−∠ABC ，∠2=180°−60°−∠ACB=120°−∠ACB ，∠3=180°−60°−∠BAC=120°−∠BAC ， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°−180°=180°， 故选D ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形内角和定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．5．D解析：D 【解析】 【分析】首先证明△ABC ≌△CDE ，推出CE=AC ，∠D=∠B ，由∠D+∠DCE=90°，推出∠B+∠DCE=90°，推出CD ⊥AB ，即可一一判断． 【详解】在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，AB CDBC DE =⎧⎨=⎩， ∴△ABC ≌△CDE ，∴CE =AC ，∠D =∠B ，90D DCE ∠+∠=， 90B DCE ∴∠+∠=，∴CD ⊥AB ，D ：E 为BC 的中点无法证明 故A 、B 、C.正确， 故选. D 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】直接利用分式有意义，则分母不为零，进而得出答案． 【详解】 解：要使分式13a +有意义， 则a +3≠0， 解得：a ≠-3． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题 【详解】()()()22===x yxy x xyxy x y x x y xyx x y x y x y--÷-⋅--⋅--- 故答案为C 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．8．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】解：如图：根据旋转的旋转可知：∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3， 根据勾股定理得：223332'=+=PP ，故选A ．9．D解析：D 【解析】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △P AB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB •h =13AB •AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离． 在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE =22AB AE + =2254+=41，即P A +PB的最小值为41．故选D ．10．D解析：D 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质分情况解答． 【详解】∵等腰三角形的一个外角是100°， ∴与这个外角相邻的内角为180°−100°=80°， 当80°为底角时，顶角为180°-160°=20°， ∴该等腰三角形的顶角是80°或20°. 故答案选：D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.11．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，然后整理得到∠A1=12∠A，由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律．【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，∴∠A1+∠A1BC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠A1BC，∴∠A1=12∠A=12×64°=32°；∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=12∠A，同理可得∠A1=2∠A2，∴∠A2=14∠A，∴∠A=2n∠A n，∴∠A n=(12)n∠A=642n，∵∠A n的度数为整数，∵n=6．故选C.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．12．D解析：D【解析】【分析】根据轴对称的性质即可解答.【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，P 为MN 上任意一点，∴△A A 1P 是等腰三角形，MN 垂直平分AA 1、CC 1，△ABC 与△A 1B 1C 1面积相等， ∴选项A 、B 、C 选项正确；∵直线AB ，A 1B 1关于直线MN 对称，因此交点一定在MN 上．∴选项D 错误.故选D ．【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．二、填空题13．0【解析】【分析】根据题意先解出方程的根为x=4-2m 由题意可知x=2即可得4-2m=2解出m 即可【详解】解：方程两边同时乘以x-2得解得：∵分式方程有增根∴x=2∴∴故答案为：0【点睛】本题考查分解析：0【解析】【分析】根据题意先解出方程的根为x=4-2m ，由题意可知x=2，即可得4-2m=2，解出m 即可．【详解】解：方程两边同时乘以x-2，得22(2)x m x -++=-，解得：2x m =+，∵分式方程有增根，∴x=2，∴22m +=，∴0m =.故答案为：0.【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．14．a>-1【解析】分析：先去分母得2x+a=x-1可解得x=-a-1由于关于x 的方程＝1的解是正数则x ＞0并且x-1≠0即-a-1＞0且-a-1≠1解得a ＜-1且a≠-2详解：去分母得2x+a=x-1【解析】分析：先去分母得2x+a=x-1，可解得x=-a-1，由于关于x 的方程21x a x +-＝1的解是正数，则x ＞0并且x-1≠0，即-a-1＞0且-a-1≠1，解得a ＜-1且a≠-2．详解：去分母得2x+a=x-1，解得x=-a-1， ∵关于x 的方程21x a x +-＝1的解是正数， ∴x ＞0且x≠1，∴-a-1＞0且-a-1≠1，解得a ＜-1且a≠-2，∴a 的取值范围是a ＜-1且a≠-2．故答案为a ＜-1且a≠-2． 点睛：本题考查了分式方程的解：先把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右两边成立，那么这个解就是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程左右两边不成立，那么这个解就是分式方程的增根．15．1【解析】【分析】将已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算根据多项式相等的条件求出m 与n 的值即可得出mn 的值【详解】∵x2+mx -6=（x-3）（x+n ）=x2+nx-3x-3n=x2+（n-3）解析：1【解析】【分析】将已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出m 与n 的值，即可得出m n 的值．【详解】∵x 2+mx-6=（x-3）（x+n ）=x 2+nx-3x-3n=x 2+（n-3）x-3n ，∴m=n-3，-3n=-6，解得：m=-1，n=2，∴m n =1．故答案为：1【点睛】本题考查了多项式乘以多项式以及多项式相等的条件，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．16．且【解析】【分析】方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整式方程求解它的解为含有a 的式子解为正数且最简公分母不为零得到关于a 的一元一次不等式解之即可【详解】方程两边同乘(x −1)得：2−(5-a)解析：5a <且3a ≠【解析】方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，它的解为含有a的式子，解为正数且最简公分母不为零，得到关于a的一元一次不等式，解之即可．【详解】方程两边同乘(x−1)得：2−(5-a)=-2(x−1)解得：x=52a -∵x>0且x−1≠0，∴52510 2aa-⎧>⎪⎪⎨-⎪-≠⎪⎩解得：a<5且a≠3故答案为：a<5且a≠3【点睛】本题考查了分式方程解的定义，求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于零的未知数的值，这个值叫分式方程的解，考查了一元一次不等式组的解法，求解每个不等式，再求两个不等式解集的公共部分即可．17．9【解析】∵m−n=2mn=−1∴(1+2m)(1−2n)=1−2n+2m−4mn=1+2(m−n)−4mn=1+4+4=9故答案为9点睛:本题考查了多项式乘多项式法则合并同类项时要注意项中的指数及解析：9【解析】∵m−n=2，mn=−1，∴(1+2m)(1−2n)=1−2n+2m−4mn=1+2(m−n)−4mn=1+4+4=9.故答案为9.点睛:本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．18．cm【解析】【分析】【详解】∵AD是BC边上的中线∴BD=CD∵△ABC的周长为27cmAC＝9cm∴AB+BC=27－9=18cm∴AB+2BD=18cm∵AD＝6cm△ABD周长为19cm∴AB解析：cm．【解析】【分析】【详解】∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，∴AB+BC=27－9=18 cm ，∴AB+2BD=18 cm ，∵AD ＝6cm ，△ABD 周长为19cm ，∴AB+BD=19－6=13 cm ，∴BD=5 cm ，∴AB=8 cm ，故答案为8 cm ．19．【解析】分析：先提公因式再利用平方差公式因式分解即可详解：a2（a-b ）-4（a-b ）=（a-b ）（a2-4）=（a-b ）（a-2）（a+2）故答案为：（a-b ）（a-2）（a+2）点睛：本题考查的解析：()()()22a b a a -+-【解析】分析：先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．详解：a 2（a-b ）-4（a-b ）=（a-b ）（a 2-4）=（a-b ）（a-2）（a+2），故答案为：（a-b ）（a-2）（a+2）．点睛：本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键．20．6cm 【解析】【分析】根据∠C＝90°∠A＝30°易求∠ABC＝60°而BD 是角平分线易得∠ABD＝∠DBC＝30°根据△BCD 是含有30°角的直角三角形易求BD 然后根据等角对等边可得AD ＝BD 从而解析：6cm【解析】【分析】根据∠C ＝90°，∠A ＝30°，易求∠ABC ＝60°，而BD 是角平分线，易得∠ABD ＝∠DBC ＝30°，根据△BCD 是含有30°角的直角三角形，易求BD ，然后根据等角对等边可得AD ＝BD ，从而可求AC ．【详解】解：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝30°，在Rt △BCD 中，BD ＝2CD ＝4cm ，又∵∠A ＝∠ABD ＝30°，∴AD ＝BD ＝4cm ，∴AC ＝6cm ．故答案为6cm ．【点睛】本题考查了角平分线定义、等角对等边、直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，解题的关键是求出BD，难度适中．三、解答题21．4元/米3【解析】【分析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，进而得出等式即可．【详解】解：设去年用水的价格每立方米x元，则今年用水价格为每立方米1.2x元由题意列方程得：30155 1.2x x-=解得x2=经检验，x2=是原方程的解1.2x2.4=(元/立方米)答：今年居民用水的价格为每立方米2.4元．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出用水量是解题关键．22．（1）CB延长线上；a+b（2）①DC②6；（3））或（2-，）.【解析】【分析】1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论．【详解】（1）CB延长线上；a+b；（2）①DC，理由如下：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD 与△EAB 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAD ≌△EAB ，∴CD=BE.②6（3）（）【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的性质. 23．（1）120件；（2）150元．【解析】试题分析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则购进第二批这种衬衫可设为2x 件，由已知可得，，这种衬衫贵10元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至少为a 元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等式解答即可.试题解析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则第二批衬衫是2x 件. 由题意可得：2880013200102x x-=，解得120x =，经检验120x =是原方程的根. （2）设每件衬衫的标价至少是a 元. 由（1）得第一批的进价为：132********÷=（元/件），第二批的进价为：120（元） 由题意可得：()120(110)24050(120)50(0.8120)25%42000a a a ⨯-+-⨯-+⨯-≥⨯ 解得：35052500a ≥，所以，150a ≥，即每件衬衫的标价至少是150元.考点：1、分式方程的应用 2、一元一次不等式的应用.24．见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC=90°，进一步得到()CDO CBO ASA ∆≅∆，得出DO=BO,则CE 是BD 的垂直平分线，根据等腰三角形的三线合一的性质得出EC 平分∠BED ，从而得证．【详解】证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵DB 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，∴∠ODC+∠OCD=11802︒⨯=90°， ∴∠DOC=90°，又CE 平分∠BCD ，CO=CO,易证()CDO CBO ASA ∆≅∆∴DO=BO,∴CE 是BD 的垂直平分线，∴EB=ED ，又∠DOC=90°，∴EC 平分∠BED ，∴点O 到EB 与ED 的距离相等．【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．25．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据BF 平分∠ABC ⇒∠ABF=∠CBF ，再加上AB=BC ，BF=BF 就可以推出△ABF ≌△CBF ，依据全等三角形对应边相等的性质可以推出AF=CF ；（2）根据（1）中所得出的结论可以推出∠FCA=∠FAC ；依据平行线的性质可以得出内错角∠FAC 、∠DCA 相等，等量代换后，就可推出CA 平分∠DCF ．【详解】证明：如图.（1）∵BF 平分ABC ∠，∴ABF CBF ∠=∠．在△ABF 与△CBF 中，,{,,AB CB ABF CBF BF BF =∠=∠=∴ △ABF ≌△CBF ．∴AF CF =．（2）∵AF CF =，∴FCA FAC ∠=∠．∵AF ∥DC ，∴FAC DCA ∠=∠．∴FCA DCA ∠=∠，即CA 平分DCF ∠．【点睛】出AF=CF，继而推出∠FCA=∠FAC，结合两直线平行内错角相等的性质，很容易就可以得出（2）中的结论．。

八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（1998•丽水）把化为最简二次根式是( )A．B． C．D．2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )[来源:Z+xx+]A．12，15，20 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．32，42，523．如果点P（﹣m，3）与点P1（﹣5，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为( ) A．m=﹣5，n=3 B．m=5，n=3 C．m=﹣5，n=﹣3 D．m=﹣3，n=54．下列等式一定成立的是( )A．+=B．=•C．=x2+1 D．=x5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为( )A．12m B．13m C．16m D．17m6．已知+=0，则x的取值范围为( )A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2[来源:Z*xx*]7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=12cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( ) A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm28．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，已知直线y=x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为( )A．（0，0）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）二、填空题（每小题3分，共21分）9．已知P点在第三象限，且到x轴距离是2，到y轴距离是3，则P点的坐标是__________．10．已知一次函数y=ax+1﹣a，若y随x的增大而减小，则|a﹣1|+=__________．11．如图，在数轴上标注了三段范围，则表示的点落在第__________段内．12．已知Rt△ABC的两边长分别为AB=4，BC=5，则AC=__________．13．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为__________．14．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l3之间的距离为，l2与l3之间的距离为1．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC=BC，AC与直线l2交于点D，则BD的长为__________．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1），点A是x轴上的一个动点，当△PAO 是等腰三角形时，点A的坐标为__________．三、解答题（本大题共6小题，满分55分）16．混合运算：（1）（1﹣）﹣1+（π﹣3.14）0﹣；（2）（﹣1）2++（﹣）﹣1．17．现有一块三角形菜地，量得两边长为25米、17米，第三边上的高为15米，求此三角形菜地的面积．18．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．20．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2，交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积．21．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？[来源:学科网]八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（1998•丽水）把化为最简二次根式是( )A．B． C．D．【考点】最简二次根式．【分析】题目给出的二次根式中，被开方数含有分母，因此需将根号的分母化去．【解答】解：==；故本题选B．【点评】本题化简二次根式的过程：分子、分母同乘以分母的有理化因式，使被开方数不含分母．2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A．12，15，20 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．32，42，52【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、152+122≠202，故不是直角三角形，故此选项不合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项不合题意；C、0.32+0.42=0.52，故是直角三角形，故此选项符合题意；D、（32）2+（42）2=（52）2，故不是直角三角形，故此选项不合题意．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3．如果点P（﹣m，3）与点P1（﹣5，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为( ) A．m=﹣5，n=3 B．m=5，n=3 C．m=﹣5，n=﹣3 D．m=﹣3，n=5【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据已知条件，P点和P1点关于y轴对称，可知n=3，﹣m=5，即可得到m和n．【解答】解：点P和点P1关于y轴对称，根据题意，有n=3，﹣m=5；即m=﹣5，n=3；故选A．【点评】本题主要考查了点关于坐标轴的对称问题；关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号．4．下列等式一定成立的是( )A．+=B．=•C．=x2+1 D．=x【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的化简结合选项进行运算，然后选择正确选项．【解答】解：A、+≠，原式错误，故本选项错误；B、=•，原式错误，故本选项错误；C、=x2+1，计算正确，故本选项正确；D、=﹣x，原式错误，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的化简、二次根式的乘法等知识，属于基础题．5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为( )A．12m B．13m C．16m D．17m【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．6．已知+=0，则x的取值范围为( )A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2【考点】立方根；算术平方根．【专题】计算题．【分析】已知等式变形，利用绝对值的代数意义化简即可确定出x的范围．【解答】解：已知等式变形得：x﹣2+|x﹣2|=0，即|x﹣2|=2﹣x，∴x﹣2≤0，即x≤2．故选A【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=12cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( ) A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a2+b2的值，再利用完全平方公式得出ab的值，进而得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，a2+b2=c2=100，∵a+b=12cm，c=10cm，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=144，∴100+2ab=144，则：ab=11，故Rt△ABC的面积是：11cm2．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及完全平方公式的应用，得出a2+b2的值是解题关键．8．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，已知直线y=x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为( )A．（0，0）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短．【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段A B最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=1，由此可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=，∴D（﹣，﹣）．故选C．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．[来源:学科网]二、填空题（每小题3分，共21分）9．已知P点在第三象限，且到x轴距离是2，到y轴距离是3，则P点的坐标是（﹣3，﹣2）．【考点】点的坐标．【专题】应用题．【分析】本题根据点在第三象限的特点，横纵坐标都小于0，再根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，进而根据点P到坐标轴的距离判断点P的具体坐标．【解答】解：∵第三象限内的点横坐标＜0，纵坐标＜0，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，∴点P的纵坐标为﹣2，横坐标为﹣3，因而点P的坐标是（﹣3，﹣2），故答案为：（﹣3，﹣2）．【点评】此题用到的知识点为：第三象限点的坐标的符号都为负，点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．10．已知一次函数y=ax+1﹣a，若y随x的增大而减小，则|a﹣1|+=1﹣2a．【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到a＜0，然后根据绝对值的意义和二次根式的性质化简得到原式=﹣a﹣1﹣a，再合并即可．【解答】解：根据题意得a＜0，所以原式=﹣a﹣1﹣a=﹣2a﹣1．故答案为﹣2a﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b，当k＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．11．如图，在数轴上标注了三段范围，则表示的点落在第③段内．【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．【分析】分别利用已知数据的平方得出最接近的数据即可得出答案．【解答】解：∵2.42=5.76，2.62=6.76，2.82=7.84，∴的点落在第③段内．故答案为：③．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确利用已知数的平得出是解题关键．12．已知Rt△ABC的两边长分别为AB=4，BC=5，则AC=3或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分情况进行讨论，两边长分别为5和4，5可能是直角边也可能为斜边，再根据勾股定理计算出第三边长即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，两边长分别为5和4，∴5可能是直角边也可能为斜边，当5为直角边时，斜边长为：=，当5为斜边时，另一直角边为：=3，综上所述：AC的长为3或．故答案为：3或．【点评】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．13．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为．【考点】勾股定理；实数与数轴．【专题】数形结合．【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．【解答】解：AC===，则AM=，∵A点表示﹣1，∴M点表示﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．14．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l3之间的距离为，l2与l3之间的距离为1．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC=BC，AC与直线l2交于点D，则BD的长为．[来源:Z_xx_]【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．【解答】解：分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，在△BCE与△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（ASA）∴CF=BE，CE=AF，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为，∴CF=BE=1，CE=AF=，在Rt△ACF中，∵AF=，CF=1，∴AC==2，[来源:]∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴=，，解得CD=，在Rt△BCD中，BD==．故答案为：．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1），点A是x轴上的一个动点，当△PAO 是等腰三角形时，点A的坐标为（4，0），（，0）（﹣，0）．【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】分类讨论：OP=PA，OP=OA，根据勾股定理，可得OP的长，根据等腰三角形的定义，可得答案．【解答】解：OP=PA时，A（4，0）；OP=PA时，A（，0），（﹣，0）．故答案为：A（4，0），（，0），（﹣，0）．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键，以防遗漏．三、解答题（本大题共6小题，满分55分）16．混合运算：（1）（1﹣）﹣1+（π﹣3.14）0﹣；（2）（﹣1）2++（﹣）﹣1．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）先算负整数指数幂，0次幂，化简二次根式，再进一步合并即可；（2）先算负整数指数幂，乘方，化简二次根式，再进一步合并即可．【解答】解：（1）原式=﹣+1﹣（2﹣）=﹣+；（2）原式=4﹣2﹣（+1）﹣=3﹣4．[来源:学.科.网Z.X.X.K]【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序与化简的方法是解决问题的关键．17．现有一块三角形菜地，量得两边长为25米、17米，第三边上的高为15米，求此三角形菜地的面积．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形进而利用勾股定理得出AC的长，即可得出此三角形菜地的面积．【解答】解：如图1所示：过点B作BD⊥AC于点D，当AB=25m，BC=17m，BD=15m，则AD==20（m），故DC==8（m），则AC=28m，故此三角形菜地的面积为：×BD×AC=×15×28=210（m2），如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D，当AB=25m，BC=17m，BD=15m，则AD==20（m），故DC==8（m），则AC=12m，故此三角形菜地的面积为：×BD×AC=×15×12=90（m2），答：此三角形菜地的面积为210m2或90m2．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．18．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？[来源:]【考点】平面展开-最短路径问题．【专题】计算题．【分析】（1）做出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；（2）A′G为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可．【解答】解：（1）如图所示，AQ+QG为最短路程．（2）∵在直角△AEG中，AE=40cm，AA′=120，∴A′E=80cm，又EG=60cm，∴AQ+QG=A′Q+QG=A′G==100cm．∴最短路线长为100cm．【点评】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【分析】（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．【点评】本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．20．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2，交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积．【考点】一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题；三角形的面积．【分析】（1）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可；（2）设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；（3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC．【解答】解：（1）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，∴x=1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，由图象知：x=4，y=0；x=3，，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），∵AD=3，∴S△ADC=×3×|﹣3|=．【点评】此题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键．21．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．[来源:Z,xx,]（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据每放入一个大球水面就上升4毫米，即可解答；（2）①根据y=放入大球上面的高度+放入小球上面的高度，即可解答；②根据题意列出不等式，即可解答．【解答】解：（1）根据题意得：y=4x大+210；（2）①当x大=6时，y=4×6+210=234，∴y=3x小+234；②依题意，得3x小+234≤260，解得：，∵x小为自然数，∴x小最大为8，即最多能放入8个小球．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式、一元一次不等式．。

北京四中2020－2021学年上学期初中八年级期中考试数学试卷本试卷共29道小题，满分120分。

考试时间100分钟。

一、选择题（每小题3分，共30分）1 下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（ ）A B C D 2 下列运算正确的是（ ） A 632a a a =⋅B 632)(a a = C 6332a a a =+D 248a a a =÷3 下列变形属于因式分解的是（ ） A 4)2)(2(2-=-+x x xB )0)(11(1≠-=-x xx xC 1)2(12223++=++x x x xD )3)(3(92-+=-x x x4 在平面直角坐标系上，点A 关于直线=l 对称的点为B （-2，4），则点A 的坐标为（ ） A （4，4） B （-2，-2） C （2，4） D （3，4）5 电子文件的大小常用B ，KB ，MB ，GB 等作为单位，其中1GB=210MB ，1MB=210KB ，1KB=210B 。

某视频文件的大小约为1GB ，1GB 等于（ ）A 230BB 830BC 8×1010BD 2×1030B6 已知102=-b a ，5=ab ，则224b a +的值是（ ）A 110B 120C 125D 1307 如图所示，图（1）是一个长为2a ，宽为2b （a >b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）A abB （ab ）2C（a -b ）2D a 2-b 28 如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ）A SSSB SASC AASD ASA9 我们利用尺规作图可以作一个角（∠A'O'B'）等于已知角（∠AOB ），如下所示： （1）作射线O'A'；（2）以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OA 于C ，交OB 于D ； （3）以O'为圆心，OC 为半径作弧，交O'A'于C'； （4）以C'为圆心，OC 为半径作弧，交前面的弧于D'； （5）连接O'D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角。

数学试卷（考试时间：100 分钟满分：120 分）姓名：班级：成绩:一、选择题（本题共30 分，每小题 3 分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）．A．B．C．D．2．下列各式不．能．分解因式的是（）．A．2x2 - 4x B．x2 +x +14C．x2 + 9 y2D．1-m23．点P（－3，5）关于y 轴的对称点的坐标是（）．A．（3，5）B．（3，－5）C．（5，－3）D．（－3，－5）4. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC 于点D，若则点D到AB 的距离是（）．A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm5．下列各式中，正确的是（）．CD=m c3，A．--3x=5y3x-5yB．-a +b=-a +b Dc cC．-a -b=a -b D．- a =a B （第4 题图）c -c b -a a -b6．下列命题是真命题的是（）．A．等底等高的两个三角形全等B．周长相等的直角三角形都全等C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等7．如图，D 是等腰Rt△ABC 内一点，BC 是斜边，如果将D'△ABD 绕点A 逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数（）．A．25︒B．30︒C．35︒D．45︒A B（第7 题图）8．在等腰∆ABC 中，已知AB=2BC，AB=20，则∆ABC 的周长为（）．A．40 B．50 C．40 或50 D．无法确定9．已知三角形的两边长分别为5 和7，则第三边的中线长x 的范围是（）．A．2 < x < 12 B．5 < x < 7 C．1 < x < 6 D．无法确定10．如图，在RtΔABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC，BE ⊥ AD 交AC 的延长线于F，E 为垂足．则结论：（1）AD=B F；（2）C F=C D；（3）AC+CD=A B；（4）BE=C F；（5）BF=2BE，其中正确的结论个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．4（第10 题图）CD二、填空题（本题共 20 分，每小题 2 分） x 211．若式子x - 4 有意义，则 x 的取值范围是.12．计算 12 + 2= ．m 2- 9 3 - m 13．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =20°, 线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，连接 BE ，则∠CBE 为 度．B C （第13 题图） 14．若关于 x 的二次三项式 x 2+kx + b 因式分解为(x -1)(x - 3) ，则k +b 的值为 ． 15．若 a + b = 7, ab = 5, 则 a 2 - ab + b 2 = ．16．当 x 取值时， x 2 + 6x +10 有最小值，最小值是．17．某农场挖一条 480 米的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20 米，结果提前 4 天完成任务，若设原计划每天挖 x 米，则列出的方程是．18．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC =90°，在 BC 上截取 BD ＝BA ，作 ∠ABC 的平分线与 AD 相交于点 P ，连结 PC ，若 B D=2C D ，△ABC 的面积为2cm 2 ，则△D PC 的面积为 ．A C' A2CB' 1FEBC（第 18 题图）（第 19 题图）19．如图，把△ ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A = 60︒ ，∠1 = 95︒ ， 则∠2 的度数为 ． 20．如果满足条件“∠ABC =30°，AC =1， BC =k （k >0）”的△ABC 是唯一的，那么 k 的取值范围是 ．三、解答题21. 把多项式分解因式（每题 4 分，共 8 分）. (1) 3a 3b -12ab 3(2) (x 2 - x )2 - 4(x 2 - x ) + 4解：解：ADE22.（每题4 分，共8 分）(1)计算：1÷a-a. (2)解方程：x+5= 4 .a -1 a 2 -1 a -1 2x - 3 3 -2x解：解：23.（本题5 分）已知：如图，A、B、C、D 四点在同一直线上，AB=CD，AE∥BF 且AE=BF．求证：EC=FD．证明： E FA B C D 24．（每题4 分，共8 分）(1)先化简，再求值：(解：1+m - 31) ÷m + 32mm2 -6m +9，其中m = 9 ．(2)已知1-1= 3 ，求代数式2x -14xy - 2 y的值. x y x - 2xy -y解：25．列分式方程解应用题：（本题5 分）（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系）赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20 千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2 倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车和自行车的速度．四、解答题26.（本题4 分）某地区要在区．域．S．内．(即 C OD内．部．) 建一个超市M, 如图所示, 按照要求, 超市M 到两个新建的居民小区A, B 的距离相等, 到两条公路OC, OD 的距离也相等. 这个超市应该建在何处？(要求：尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)C⎨⎩27. （本题 5 分）阅读下列材料：如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ACB = ∠BAD = 105 ，∠ABC = ∠ADC = 45 . 求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由已知可得，∠DCA = 60 ，∠DAC = 75 ，∠CAB = 30 ，∠ACB + ∠DAC = 180 ，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点 A 作 AE ⊥ AB 交 BC 的延长线于点 E ，则 AB=AE ，∠E=∠D.∵在∆ADC 与∆CEA 中，⎧∠D = ∠E D E⎪∠DAC = ∠ECA = 75 ⎪ AC = CA C∴∆ADC ≌∆CEA ，得CD = AE = AB .A B请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图，在四边形 ABCD 中，若∠ACB + ∠CAD = 180 ， ∠B = ∠D ，请问：CD 与 AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理 由．DA B28. （本题 7 分）在等边△ABC 中，D 为射线 BC 上一点，CE 是∠ACB 外角的平分线，∠ADE ＝60°，EF ⊥BC 于 F ． （1）如图 1，若点 D 在线段 BC 上． 求证：①AD ＝DE ；②BC ＝DC ＋2CF ； （2）如图 2，若点 D 在线段 BC 的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．EAB C F 图 1图 2EA附加题（满分20 分）：1.（本题4 分）已知a2 -3a -1 = 0 ，求a6 +120a-2 = ．2.（本题4 分）右图中，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，求四边形ABCD 的面积为．3.（本题 6 分）已知m2 =n + 2 ，n2 =m + 2 ，m≠n，求m3 - 2mn +n3 的值．4.（本题6 分）已知：△ABC 中，∠ABC＝2∠ACB，∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的平分线CD 相交于点D，且CD＝AB，求证：∠A＝60°．ADB C⎨⎩- =一、选择题 1、D 2、C 3、A 4、C 5、D 6、D 7、D 8、B 9、C 10、D 二、填空题11. x ≠ 4 ； 12. -2m + 3； 13.60； 14.-1； 15.34； 16.x =-3，1； 17. 480 - x 18. 1；19.25°； 20. k = 2 或 0<k ≤1. 3480x + 20= 4 ；21.(1)解：原式= 3ab (a 2 - 4b 2 ) = 3ab (a + 2b )(a - 2b ). （2）解：原式= (x 2 - x - 2)2 = [(x - 2)(x +1)]2 = (x - 2)2 (x +1)2 .22. （1） -1a (a -1)；（2） x = 1.23.解：∵AE ∥BF ，∴∠A =∠FBD ． 又∵AB = CD ， ∴AB ＋BC = CD ＋BC ． 即 AC =BD ． 在△AEC 和△BFD 中，⎧ A E = B ,F ⎪∠A = ∠F B , ⎪ A C = B ,D∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ∴EC =FD ．24.(1)解：( 1 + m - 3 1 ) ÷ m + 3 2m m 2 - 6m + 9＝2m⋅ (m - 3) 2 (m - 3)(m + 3)2m＝m - 3 ．m + 3当 m = 9 时，原式＝ 9 - 3 = 1．9 + 3 2（2）解：∵ 1 - 1= 3,∴ x - y = -3xyx y2(x - y ) -14xy ∴上式=x - y - 2xy=- 6xy -14xy- 3xy - 2xy= 4.25.解：设自行车速度为 x 千米/小时20 20 5依题意得： x 2x 9A G E⎨⎩解方程得 x=18.经检验 x=18 是原方程的解且符合实际意义2x=36答：自行车的速度是 18 千米/小时，自驾车的速度是 36 千米/小时.26.略27.解：CD=AB证明：延长 BC 至 E 使 AE=AB则∠B=∠E ∵∠B=∠D ∴∠D=∠E∵ ∠ACB + ∠CAD = 180 ∴∠CAD=∠ACE在ΔCAD 与ΔACE 中 ⎧∠CAD = ∠ACE ⎪AC = CA ⎪∠D = ∠E ∴ΔCAD ≅ ΔACE ∴CD=AE ∴CD=AB.∠ACB+∠ACE=180°28.（1）①过 D 作 DG ∥AC 交 AB 于 G∵△ABC 是等边三角形，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠ACB ＝60°∴∠BDG ＝∠ACB ＝60°，∴∠BGD ＝60° A∴△BDG 是等边三角形，∴BG ＝BD ∴AG ＝DC∵CE 是∠ACB 外角的平分线，∴∠DCE ＝120°＝∠AGD ∵∠ADE ＝60°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝120°＝∠ADB ＋∠DAG ∴∠EDC ＝∠DAG ，∴△AGD ≌△DCE∴AD ＝DEB DC F②∵△AGD ≌△DCE ，∴GD ＝CE ，∴BD ＝CE∴BC ＝CE ＋DC ＝DC ＋2CFGE（2）①成立；②不成立，此时 BC ＝2CF －CD证明：过 D 作 DG ∥AC 交 AB 延长线于 G 以下略BCDF1 2 OD 4 5 3 6 7 附加题：1、1309； 2、2； 3. -24.证明：过点 A 作 AE ∥BC 交 BD 延长线于 E ，连接 CE ，设 AC 、BE 相交于点 O 则∠1＝∠ACB ，∠2＝∠3∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠3＝∠ACB∴OB ＝OC ，∠1＝∠2 A E∴OA ＝OE又∠AOB ＝∠EOC ，∴△AOB ≌△EOC∴∠BAC ＝∠CED ，∠5＝∠4＝∠3，AB ＝CE∵CD ＝AB ，∴CD ＝CE ∴∠CED ＝∠CDE ＝∠3＋∠6B C 又∠DCE ＝∠5＋∠7，∠6＝∠7 ∴∠CED ＝∠CDE ＝∠DCE ＝60° ∴∠BAC ＝∠CED ＝60°。

第 1 页 共 19 页2020-2021学年北京四中八年级上期中考试数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）A ．5.6×10﹣1B ．5.6×10﹣2C ．5.6×10﹣3D ．0.56×10﹣1 3．（3分）若点A （m ，n ）和点B （5，﹣7）关于x 轴对称，则m +n 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．﹣124．（3分）化简5x 20xy 的结果是（ ） A ．14 B ．14x C ．14y D ．4y5．（3分）y ﹣2x +1是4xy ﹣4x 2﹣y 2﹣k 的一个因式，则k 的值是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．46．（3分）已知△ABC 的三边长分别为3，4，5，△DEF 的三边长分别为3，3x ﹣2，2x +1，若这两个三角形全等，则x 的值为（ ）A ．2B ．2或73C ．73或32D ．2或73或32 7．（3分）分式2y x−3有意义的条件是（ ） A ．x ≠0B ．y ≠0C ．x ≠3D ．x ≠﹣3 8．（3分）2x 2−4÷1x 2−2x 的计算结果为（ ） A ．x x+2 B ．2x x+2 C ．2x x−2 D ．2x(x+2)9．（3分）如图，已知△ABC （AC ＜BC ），用尺规在BC 上确定一点P ，使P A +PB ＝BC ，则下列四种不同方法的作图中，作法正确的是（ ）。

2021-2022学年北京四中八年级（上）期中数学试卷1.计算：(π−2)0=______．2.如图，已知∠1=∠2，请你添上一个条件：______ ，使△ABC≌△ADC．3.如图，已知AB=AC，E为AB上一点，ED//AC，ED=AE.求证：BD=CD．4.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第()块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．A. ①B. ②C. ③D. ①②③5.如图，△ABC的顶点都是格点(平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法)；(2)直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′______，B′______，C′______．6.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对(a+b)n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2= a2+2ab+b2展开式中的系数． 1 1 1 (a+b)=a+b 1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31 4 6 4 1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(1)根据表中规律，写出(a+b)5的展开式______；(2)写出(a+b)12展开式中含a10b2项的系数是______．7.计算：(1)(−4x2)(3x+1)；(2)(m+2n)(3n−m)；(3)(12m3−6m2+3m)÷3m；(4)(2x+y+z)(2x−y−z)．8.已知：如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．E是线段AD上一点(点E不与点A，点D重合)，满足∠ABE=2∠ACE．(1)如图2，若∠ACE=18°，且EA=EC，则∠DEC=______°，∠AEB=______°.(2)求证：AB+BE=AC．(3)如图3，若BD=BE，请直接写出∠ABE和∠BAC的数量关系．9.如图，等边△ABC的边长为3，点M为AC边上的一个动点，作MD⊥AB于点D，延长CB使得BF=AM，连接MF交AB于点E，则DE的长为()A. 34B. 1C. 32D. 210.化简求值：若a2−3a=1，求(2a−3)2−(a+2)(a−5)的值．11.已知：AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF.求证：AB//CD．12.如图1，将长为(x+1)，宽为(x−1)的长方形沿虚线剪去一个宽为1的小长方形(阴影部分)，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式()A. (x−1)2=x2−2x+1B. x(x−1)=x2−xC. (x+1)2=x2+2x+1D. (x+1)(x−1)=x2−113.丽丽在做一道计算题目(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式(2−1)，很快得到计算结果．①(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=______；请参考丽丽的方法进行运算：②(5+1)(52+1)(54+1)…(52048+1)的值为______．14.如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE=4，BC=10，则△BCE的面积为______．15.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是()A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q16.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=4cm，AB=5cm，则△EBC的周长为______．17.下列运算正确的是()A. m+3m=3m2B. 3m3⋅2m2=6m6C. (3m)2=9m2D. m6÷m6=m18.设a，b是实数，定义∗的一种运算如下：a∗b=(a+b)2，则下列结论有：①a∗b=0，则a=0且b=0②a∗b=b∗a③a∗(b+c)=a∗b+a∗c④a∗b=(−a)∗(−b)正确的有()个．A. 1B. 2C. 3D. 419.在平面直角坐标系xOy中，定义：①“直线y=m”表示过点(0,m)且平行于x轴的直线；②若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于直线l的二次对称点．③若图形T关于y轴对称的图形为T1，图形T1关于直线l对称的图形为T2，则称T2是图形T关于直线l的二次对称图形．例如：点Q(1,2)关于直线y=1的二次对称点是Q2(−1,0)．已知四点A(1,−1)，B(−1,−3)，C(−3,3)，D(1,1)．(1)若点E是点A关于直线l1：y=2的二次对称点，则点E的坐标为______；(2)点B是点A关于直线l2：y=a的二次对称点，则a的值为______；(3)已知线段CD关于直线y=b的二次对称图形C2D2与线段BD有交点，则b的取值范围为______．(4)已知△ABC关于直线y=t的二次对称图形为△A2B2C2.若△A2B2C2与△BCD无交点，则t的取值范围为______．20.我们类比学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法，对“四边形全等的判定”进行探究．根据全等形的定义，如果四边形满足四条边分别相等，四个角分别相等，就能判定这两个四边形全等．【初步思考】一定要满足四条边分别相等，四个角也分别相等，才能保证两个四边形全等吗？能否在上述八个条件中选择部分条件，简捷地判定两个四边形全等呢？通过画图可以发现，满足上述八个条件中的四个条件的两个四边形不一定全等，举反例如图1或图2：【深入探究】满足上述八个条件中的五个，能保证两个四边形全等吗？小萍所在学习小组进行了研究，她们认为五个条件可分为以下四种类型：Ⅰ.一条边和四个角分别相等；Ⅱ.二条边和三个角分别相等；Ⅲ.三条边和二个角分别相等；Ⅳ.四条边和一个角分别相等．(1)小齐认为“Ⅰ.一条边和四个角分别相等”的两个四边形不一定全等，请你画图举反例说明，并写出分别相等的一条边和四个角．(2)小栗认为“Ⅳ.四条边和一个角分别相等”的两个四边形全等，请你结合下图3进行证明．已知：如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB=A1B1，BC=B1C1，CD=C1D1，DA=D1A1，∠B=∠B1.求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．(3)小熊认为还可以对“Ⅱ.二条边和三个角分别相等”进一步分类，他以四边形ABCD和四边形A1B1C1D1为例，分为以下几类：①AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1；②AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠D=∠D1；③AB=A1B1，AD=A1D1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1；④AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等的是______(填序号)，概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是______．21.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是()A. B. C. D.22.计算：(−3a2b)3=______；a6÷a3=______．23.如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，则BC边中线AD的取值范围为______．24.课堂上，老师让同学们计算(3a−b)(3a+b)−a(4a−1)．(3a−b)(3a+b)−a(4a−1)=3a2−b2−4a2−a=−a2−b2−a左边是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．25.如图，已知∠AOB.按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C．则射线OC是∠AOB的平分线．根据上面的作法，完成以下问题：(1)使用直尺和圆规，作出射线OC(请保留作图痕迹)；(2)完成下面证明过程．(注：括号里填写推理的依据)．连接MC，NC．在△OCM和△OCN中，∵{OM=ON OC=OC MC=NC，∴△OCM≌△OCN(______)，∴∠AOC=______(______)，即OC平分∠AOB．26.如图，点B，D，E，C在同一条直线上，若△ABD≌△ACE，∠AEC=110°，则∠DAE的度数为()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°27.计算：(1)已知10m=2，10n=3，求103m+2n的值；(2)已知(x+y)2=16，(x−y)2=4，求xy的值．28.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是______．答案和解析1.【答案】1【解析】解：(π−2)0=1，故答案为：1．根据非零的零次幂等于，可得答案．本题考查了零指数幂，非零的零次幂等于1．2.【答案】∠B=∠D或∠ACB=∠ACD或AB=AD(答案不唯一)【解析】解：添加∠B=∠D、∠ACB=∠ACD、AB=AD后可分别根据AAS、ASA、SAS判定△ABC≌△ADC．故答案为：∠B=∠D或∠ACB=∠ACD或AB=AD(答案不唯一)．在△ABC与△ADC中，已知∠1=∠2，AC是公共边，具备了一组角、一组边对应相等，所以添加∠B=∠D、∠ACB=∠ACD、AB=AD均可．本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．3.【答案】证明：∵ED//AC，∴∠EDA=∠DAC，∵ED=AE，∴∠EAD=∠EDA，∴∠EAD=∠DAC，在△ADB和△ADC中，{AB=AC∠BAD=∠CAD AD=AD∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴BD=CD．【解析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠EAD=∠DAC，由“SAS”可证△ADB≌△ADC，可得BD=CD．本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证明△ADB≌△ADC是本题的关键．4.【答案】C【解析】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．故选：C．根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．5.【答案】(2,2)(3,0)(−2,−2)【解析】解：(1)如图，△A′B′C′为所作；(2)A′(2,2)，B′(3,0)，C′(−2,−2)．故答案为：(2,2)，(3,0)，(−2,−2)．(1)(2)利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A′，B′，C′三点的坐标，然后描点即可．本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．6.【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b566【解析】解：(1) 1 1 1 (a+b)=a+b 1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31 4 6 4 1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b415101051(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；(2)∵(a+b)6展开式的系数为：1，6，15，20，15，6，1；(a+b)7展开式的系数为：1，7，21，35，35，21，7，1；(a+b)8展开式的系数为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；(a+b)9展开式的系数为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；(a+b)10展开式的系数为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1；(a+b)11展开式的系数为：1，11，55，165，330，462，462，330，165，55，11，1；(a+b)12展开式的系数为：1，12，66，220，495，792，924，792，495，220，66，12，1；∴含a10b2的项为66a10b2，故答案为：66．根据每行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多一个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和解答．本题考查了探索规律，掌握中间的数等于上一行两数的和是解题的关键．7.【答案】解：(1)(−4x2)(3x+1)=−12x3−4x2；(2)(m+2n)(3n−m)=3mn−m2+6n2−2mn=mn−m2+6n2；(3)(12m3−6m2+3m)÷3m=4m2−2m+1；(4)(2x+y+z)(2x−y−z)=[2x+(y+z)][2x−(y+z)]=(2x)2−(y+z)2=4x2−(y2−2yz+z2)=4x2−y2−2yz−z2．【解析】(1)根据单项式乘多项式的法则计算即可；(2)根据多项式乘多项式的法则计算即可；(3)根据多项式除以单项式的法则计算即可；(4)根据平方差公式与完全平方公式计算即可．本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．8.【答案】36126【解析】(1)解：∵EA=EC，∴∠CAE=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠CAE+∠ACE=36°，∵∠ABE=2∠ACE，∠ACE=18°，∴∠ABE=36°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=18°，∴∠AEB=180°−∠BAE−∠ABE=180°−18°−36°=126°，故答案是：∠DEC=36°，∠AEB=126°；(2)证明：如图1，在AC上截取AF=AB，连接FE，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE，∵AE=AE，∴△AEF≌△AEB(SAS)，∴EF=EB，∠AFE=∠ABE，∵∠ABE=2∠ACE，∴∠AFE=2∠ACE，∵∠AFE=∠ACE+∠CEF，∴2∠ACE=∠ACE+∠CEF，∴∠ACE=∠CEF，∴EF=FC，∴FC=BE，∴AC=AF+FC=AB+BE；(3)解：如图2，设∠CAE=∠BAE=α，∠ACE=β，∴∠ABE=2β，∴∠DEB=∠BAE+∠ABE=α+2β，∵BE=BD，∴∠ADB=∠DEB=α+2β，∵∠ADB=∠CAE+∠ACD，∴2β=α+(∠ACE+∠DCE)，∴2β=α+(β+∠ACD)，∴∠ACD=β，∴∠ACB=2∠ACE=∠ABE，∴CE是∠ACB的平分线，∵AD是∠CAB的平分线，∴E点△ABC的内心，∴∠ABC=∠ABE=2β，∴∠ABC=2∠ABE，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC+2∠ABE+∠ABE=180°，∴3∠ABE+∠BAC=180°．(1)由EA=EC得∠CAE=∠ACE=18°，进而求得结果；(2)在AC上截取AF=AB，连接FE，可证得△BAE≌△AFE，从而∠AFE=∠ABE，根据∠ABE=2∠ACE可得△CEF是等腰三角形，进一步可得证；(3)先推出∠DEC=∠ACE，从而得出E是△ABC的内心，进而BE平分∠ABC，可根据三角形内角和推出∠ABE和∠BAC的数量关系．本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形内心等知识，解决问题的关键是“截长补短”以及内心的性质．9.【答案】C【解析】解：作FN⊥AB，交直线AB的延长线于点N，连接MN，DF，如图：又∵MD⊥AB于点D，∴∠FNB=∠MDA=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBN=60°，在FNB和△MDA中，{∠FNB=∠MDA ∠A=∠FBNBF=AM，∴△FNB≌△MDA(AAS)，∴NF=DM，BN=AD且FN//DM，∴四边形FDMN是平行四边形，∴DE=12ND，∵D=NB+BD=AD+BD=AB，∴DE =12AB ，又∵AB =3，∴DE =32． 故选：C ．作FN ⊥AB ，交直线AB 的延长线于点N ，连接MN ，DF ，由BF =AM ，再根据全等三角形的判定定理得出△FNB≌△MDA ，再由NF =DM ，BN =AD 且FN//DM ，可知四边形FDMN 是平行四边形，进而可得出NB +BD =AD +BD =AB ，DE =12AB ，由等边△ABC的边长为3可得出DE =32即可．本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形的性质的应用，能推出两三角形全等是解此题的关键．10.【答案】解：原式=4a 2−12a +9−(a 2−3a −10)=4a 2−12a +9−a 2+3a +10=3a 2−9a +19=3(a 2−3a)+19，∵a 2−3a =1，∴原式=3×1+19=22．【解析】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.【答案】证明：∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠AEB =∠DFC =90°，在Rt △AEB 和Rt △DFC 中，{AE =DF AB =DC， ∴Rt △AEB≌Rt △DFC(HL)，∴∠B =∠C ，∴AB//CD ．【解析】由AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，得出∠AEB =∠DFC =90°，再由AE =DF ，AB =DC 得Rt △AEB≌Rt △DFC ，即可得∠B =∠C ，即可得出结论．本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决问题的关键．12.【答案】D【解析】解：图1的面积为：(x+1)(x−1)，图2中拼成图形的面积为：x2−1，∴(x+1)(x−1)=x2−1．故选：D．用代数式分别表示出图1和图2中两个长方形的面积的和，由此得出等量关系即可．本题考查了平方差公式的几何背景，利用两个长方形面积的和不变列出等式是解决问题的关键．13.【答案】232−1=54096−14【解析】解：①原式=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28−1)(28+1)(216+1)=(216−1)(216+1)=232−1，故答案为：232−1；(5−1)(5+1)(52+1)(54+1)…(52048+1)②原式=14(52−1)(52+1)(54+1)…(52048+1)=14=1(54−1)(54+1)…(52048+1)4(58−1)(58+1)…(52048+1)=14=⋯…=14(54096−1)=54096−14，故答案为：54096−14．①配上因式(2−1)，连续利用平方差公式进行计算即可；②配上因式14(5−1)，连续利用平方差公式进行计算即可．本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，配上适当的因式是正确计算的关键．14.【答案】20【解析】解：过E作EF⊥BC于F，∵BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，EF⊥BC，∴DE=EF，∵DE=4，∴EF=4，∵BC=10，∴△BCE的面积为12×BC×EF=12×10×4=20，故答案为：20．过E作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得出DE=EF=4，根据三角形的面积公式求出面积即可．本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DE=EF是解此题的关键．15.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【解答】解：观察图形可知点M在∠AOB的角平分线上，∴点M到∠AOB两边距离相等．故选A16.【答案】9cm【解析】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴EA=EC，∴△EBC的周长=BE+EC+BC=BE+EA+BC=BA+BC，∵BC=4cm，AB=5cm，∴△EBC的周长=BA+BC=9(cm)，故答案为：9cm．根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．17.【答案】C【解析】解：A.m+3m=4m，故此选项不合题意；B.3m3⋅2m2=6m5，故此选项不合题意；C.(3m)2=9m2，故此选项符合题意D.m6÷m6=1，故此选项不合题意；故选：C．直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则、合并同类项法则、整式的除法运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算、合并同类项、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18.【答案】B【解析】解：∵a∗b=0，a∗b=(a+b)2，∴(a+b)2=0，即：a+b=0，∴a、b互为相反数，因此①不符合题意，a∗b=(a+b)2，b∗a=(b+a)2，因此②符合题意，a∗(b+c)=(a+b+c)2，a∗b+a∗c=(a+b)2+(a+c)2，故③不符合题意，∵a∗b=(a+b)2，(−a)∗(−b)=(−a−b)2，∵(a+b)2=(−a−b)2，∴a∗b=(−a)∗(−b)故④符合题意，因此正确的个数有2个，故选：B．根据新定义的运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断．考查完全平方公式的特点和应用，新定义一种运算关键是转化为常见的运算进行计算即可．19.【答案】(−1,5)−2−1<b<3t<−2或t>12【解析】解：(1)如图1，故答案是：E(−1,5)；(2)如图2，故答案是：a=−2；(3)如图3，设C1D1关于y=a对称，则C2(3,2b−3)，D2(−1,2b−1)，设直线C2D2的解析式是：y=kx+n，∴{3k+n=2b−3−k+n=2b−1，∴{k=−12n=2b−32，∴y=−12x+(2b−32)，当C2D2过D(1,1)时，−12+(2b−32)=1，∴b=32，当C2D2过B(−1,−3)时，1 2+(2b−32)=−3，∴b=−1，∴C2D2与线段BD有交点时，−1≤b≤32，故答案是：−1≤b≤32；(4)如图4，由题意得，A1(−1,−1)，B1(1,−3)，C1(3,3)，当t<0时，只需点A1关于y=t的对称点A2不在△BCD内即可，∵当A1对称的对称点是B时，t=−2，∴t<−2，当t>0时，只要点A1C1上的点D的对称点D2在D点上方即可，当D2与D重合时，此时A2(−1,3)，此时=1，∴t>1，综上所述：t<−2或t>1．(1)作出点A关于y轴对称点A1，再作出A1关于y=2的对称点；(2)作出点A1，观察A1和B的位置可得；(3)先求出直线C2D2的解析式，求出其过点D和点B求出b，进而确定范围；(4)求出A1和B对称时t的值，求出点点A1C1上的点D的对称点D2在D点上方时，此时A2(−1,3)，进而求得t的范围．本题考查了一次函数及其图象性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是数形结合．20.【答案】①②③有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等【解析】解：(1)如图1，在正方形ABCD和矩形EFGH中，满足AB=EH，且四对角对应相等，正方形ABCD和矩形EFGH不全等；∴一条边和四个角分别相等；(2)证明：如图2，连接AC、A1C1，∵AB=A1B1，∠B=∠B1，BC=B1C1∴△ABC≌△A1B1C1(SAS)，∴AC=A1C1，∠BAC=∠B1A1C1，∠BCA=∠B1C1A1，又∵CD=C1D1，DA=D1A1，∴△ACD≌△A1C1D1(SSS)，∴∠D=∠D1，∠DAC=∠D1A1C1，∠DCA=∠D1C1A1，∴∠BAD=∠B1A1D1，∠BCD=∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；(3)如图3，AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1；②AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠D=∠D1；③AB=A1B1，AD=A1D1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1；④AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．①连接BD，∵AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∴△ABD≌△A1B1D1(SAS)，∴∠ABD=∠A1B1D1，BD=B1D1，∵∠ABC=∠A1B1C1，∴∠DBC=∠D1B1C1，∵∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1D1C1(AAS)，∴BC=B1C1，CD=C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，故①正确，②同理①可得，∴△ABD≌△A1B1D1(SAS)，再证得△BCD≌△B1D1C1，从而四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，故②正确；③根据四边形的内角是360°，∵∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，∴∠A=∠A1，转化到①，故③正确；如图4，满足AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，但两个四边形不全等，故答案是：①②③，有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．(1)举例正方形和矩形满足条件但是不全等；(2)连接AC、A1C1，先证△ABC≌△A1B1C1，再证△ACD≌△A1C1D1，进而得证；(3)①②③证法同(2)，④举反例同(1)．本题类比三角形全等的条件探究过程研究四边形全等的过程，解题的关键是转化为全等三角形的判定和性质．21.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．22.【答案】−27a6b3a3【解析】解：(−3a2b)3=(−3)3×(a2)3b3=−27a6b3；a6÷a3=a6−3=a3．故答案为：−27a6b3；a3．利用积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各式进行运算即可．本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．23.【答案】1<AD<4【解析】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵∠ADB=∠CDE，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，在△ACE中，AC−CE<AE<AC+CE，而AB=3，AC=5，∴5−3<AE<5+3，∴2<2AD<8，即1<AD<4．故答案为：1<AD<4．如图，首先倍长中线AD至E，连接CE，因此可以得到△ABD≌△ECD，这样就有CE=AB，然后在△ACE中利用三角形的三边的关系即可求解．此题既考查了全等三角形的性质与判定，也考查了三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．24.【答案】解：不正确，原式=9a2−b2−4a2+a=5a2−b2+a，即正确答案为：5a2−b2+a．【解析】根据平方差公式，单项式乘多项式，以及整式的加减进行计算即可．本题考查平方差公式，单项式乘多项式，以及整式的加减，掌握平方差公式的结构特征以及去括号、合并同类项是得出正确答案的前提．25.【答案】SSS∠BOC全等三角形的对应角相等【解析】(1)解：如图，射线OC即为所求；(2)证明：连接MC，NC．在△OCM和△OCN中，{OM=ON OC=OC MC=NC，∴△OCM≌△OCN(SSS)，∴∠AOC=∠BOC(全等三角形的对应角相等)，即OC平分∠AOB．故答案为：SSS，∠BOC，全等三角形的对应角相等．(1)根据题意作图即可；(2)根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．26.【答案】B【解析】解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=110°，∴∠ADE=∠AED=180°−110°=70°，∴∠DAE=180°−∠ADE−∠AED=40°．故选：B．先根据全等三角形的性质得到∠ADB=∠AEC=110°，再利用邻补角的定义计算出∠ADE=∠AED=70°，然后根据三角形内角和计算∠DAE的度数．本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．27.【答案】解：(1)103m+2n=103m⋅102n=(10m)3⋅(10n)2=23×32=8×9=72；(2)∵(x+y)2=x2+2xy+y2=16①，(x−y)2=x2−2xy+y2=4②，∴①−②得，4xy=12，∴xy=3．【解析】(1)逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，即可得出答案；(2)利用完全平方公式进行计算．本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，完全平方公式，掌握(x+y)2=x2+2xy+y2，(x−y)2=x2−2xy+y2=4是解题的关键．28.【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上【解析】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)，故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．。

2021北京初二（上）期中数学汇编勾股定理一、单选题1．（2021·北京市第十七中学八年级期中）如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点A―1B CB⊥ABB BC=2A ACD D，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（）A．2.8 B．C．D．2222―122+12．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）勾股定理是“人类最伟大的十大科学发明之一”中国对勾股定．理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家（）A．夏艳芳B．刘学升C．李大荟D．赵爽3．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，数轴上点A所表示的数是（ ）A．B．﹣+1 C．+1 D．﹣155554．（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么(m+n)2的值为（）A．23 B．24 C．25 D．265．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（2021·北京·北大附中八年级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A．B．C．D．7．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A OA=5A l OA l B AB=2O OB，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴C C的交点为，那么点表示的无理数是（）A．B．C．D．21297298．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（）A．1处B．2处C．3处D．4处9．（2021·北京市第十七中学八年级期中）若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（）.A．3 B．C．2D．或2253253二、填空题10．（2021·北京市第十七中学八年级期中）如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示1mA⇒B⇒C m的折线从所走的路程为___．11．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，是的中线，，，把沿翻折，ADΔABC∠ADC=45°BC=4cmΔACD ADC E BE使点落在的位置，则为___．12．（2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB=____，斜边AB上的高线长为____．13．（2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．14．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 ________．15．（2021·北京市第一六一中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．点Q在直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为___________．16．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）笔直的公路，，如图所示，，互相垂直，的中点AB AC BC AC BC ABD与点C被建筑物隔开，若测得的长为，的长为，则C，D之间的距离为__________．AC6km BC8km km17．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）如图，在中，直角边，斜边，现将折Rt△ABC AC=6AB=10△ABCB A DE AD=叠，使点与点重合，折痕为，则________．18．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）在中，，，高，则的△ABC AB=15AC=13AD=12BC长_________．19．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为，正方形1ABCM CDEN MNPQ MNPQ，，的顶点都在格点上，则正方形的面积为__________．20．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）x设木杆长尺，依题意，列方程是__________．21．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为___________．22．（2021·北京市第十七中学八年级期中）在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2-S3-S4＝_________．23．（2021·北京市师达中学八年级期中）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．24．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD=____________ .三、解答题25．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）阅读、操作与探究：小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如4：6的最简形式为2：3）为两个连续自然数的比，具体操作如△下：如图1，Rt ABC中，BC，AC，AB的长分别为3，4，5，先以点B为圆心，线段BA的长为半径画弧，交CB 的延长线于点D，再过D，A两点分别作AC，CD的平行线，交于点E．得到矩形ACDE，请仿照小亮的方法解决下列问题：(1)则矩形ACDE的邻边比为．(2)如图2，已知Rt FGH中，GH：GF：FH＝5：12：13，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形△式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；（需保留做图痕迹）(3)若已知直角三角形的三边比为（2n+1）：（2n2+2n）：（2n2+2n+1）（n为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为；(4)若小亮所画的矩形的邻边比为3：4，那么他所借助的直角三角形的三边比为．26．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB=AD=5 m，∠A=60°，BC=12 m，∠ABC=150°．小明说根据小东所得的数据可以求出CD 的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出CD 的长度；若不同意，请说明理由．27．（2021·北京市第十七中学八年级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．(1)求∠BAC的度数．(2)若BD=1，求AD的长．28．（2021·北京师大附中八年级期中）正方形是我们非常熟悉的几何图形，它是四条边都相等，四个角都是直角的正多边形，它是轴对称图形，有四条对称轴，正方形的一条对角线可以把它分成两个全等的等腰直角三角形（如图1），两条对角线可以把它分成四个全等的等腰直角三角形（如图2）．（1）图3中有三个正方形，正方形ABCD，正方形BEFG，正方形MNPQ，那么图中有_________对全等的三角形．（2）若正方形BEFG的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，不通过计算，推测S1和S2的大小关系是________．S1>S2S1<S2S1=S2A． B． C．（3）若正方形ABCD的边长为18，则正方形BEFG的面积S1＝_______；正方形MNPQ的面积为S2＝______．（4）若正方形MNPQ的面积S2＝a，则正方形ABCD的面积S＝_______．29．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P．（1）求PD的长度；（2）连结PC，求PC的长度．30．（2021·北京一七一中八年级期中）已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，DA=3，∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积．参考答案1．C【分析】AC AD D根据题意，利用勾股定理可以求得的长，从而可以求得的长，进而可以得到点表示的数．【详解】解：由题意可得，AB=2BC=2AB⊥BC，，，∴AC=22+22=22，∴AD=22，∴D22―1点表示数为：，故选：C．【点睛】本题考查实数与数轴，以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．D【分析】根据在周髀算经中赵爽提过”“赵爽弦图”解答．《》【详解】解：图中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”赵爽通过对这种《》．图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，记住“赵爽弦图”是赵爽在周髀算经提到过是解答本题的关键．《》3．D【分析】55先根据勾股定理计算出BC＝，则BA＝BC＝，然后计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．【详解】解：如图，BD＝1-(-1)＝2，CD＝1，OB=1，∴BC＝＝＝，BD2+CD222+125∴BA＝BC＝，5∴OA＝BA –OB=-1，5∴点A表示的数为-1．5故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．4．B【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2mn即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（m＋n）2．【详解】解：（m＋n）2＝m2＋n2＋2mn＝大正方形的面积＋四个直角三角形的面积和＝13＋（13−2）＝24．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理、正方形的性质、直角三角形的性质、完全平方公式等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．5．D【分析】根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长．【详解】解：观察图形，应用勾股定理，得AB=42+12=17，BC=32+22=13，AC=22+42=20=25，∴三个边长都是无理数；故选：D．【点睛】本题考查了无理数与勾股定理，解题的关键是理解无理数及使用勾股定理．6．D【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．【详解】解：A 、∵两个以a 和b 为直角边三角形面积+一个直角边为c 的等腰直角三角形面积和=上底为a ,下第为b ,高为（a +b ）的梯形面积，∴ab +c 2+ab ＝（a +b ）（a +b ），12121212∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B 、∵以a 与b 为两直角边四个全等三角形面积+边长为c 的小正方形面积和=以a +b 的和为边正方形面积， ∴4×ab +c 2＝（a +b ）2，12∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C 、∵以a 与b 为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b -a ）的小正方形面积和=以c 为边正方形面积， ∴4×ab +（b ﹣a ）2＝c 2，12∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D 、∵四个小图形面积和=大正方形面积，∴ab + b 2+ a 2+ ab =（a +b ）2，∴a 2+ 2ab +b 2=（a +b ）2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键． 7．B【分析】利用勾股定理列式求出OB 判断即可．【详解】由勾股定理得，OB ＝，52+22=29∴点C 表示的无理数是．29故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟记定理并求出OB 的长是解题的关键．8．D【分析】根据题意分当AB ，CD 为直角边时以及当EF ，CD 为直角边时，并运用勾股定理进行分析讨论求解.【详解】解：由题意可得,CD 2=4,AB 2=22+32=13当AB ，CD 为直角边时，有, ,AB 2+CD 2=EF 2EF 2=13+4=17此时F 如图:EF2+CD2=AB2EF2=13―4=9当EF，CD为直角边时，有, ,此时F如图:所以综上点F的位置有4处.故选：D.【点睛】本题考查勾股定理的网格问题，熟练掌握勾股定理与分类讨论思想进行分析是解题的关键. 9．D【分析】x可为斜边也可为直角边，因此要分类进行讨论，利用勾股定理求解．【详解】x=25解：当x为斜边时，x2=22+42=20，所以;当4为斜边时，x2=16-4=12，x=23故选D【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意要分两种情况讨论．10．25【分析】AB BC由图形可知、都是直角边为1、2的直角三角形的斜边，利用勾股定理求解即可得．【详解】AB BC解：折线分为、两段，AB BC由图形可知，、都是直角边为1、2的直角三角形的斜边，AB=BC=22+12=5(m)由勾股定理得：，则小明沿图中所示的折线从所走的路程为， A⇒B⇒C 5+5=25(m)故答案为：．25【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 11．22cm 【分析】根据翻折知：∠ADE ＝∠ADC ＝45°，ED ＝EC ，得到∠BDE ＝90°，利用勾股定理计算即可．【详解】解：是的中线，∵AD ΔABC ，∴BD =CD =12BC =2cm 翻折，∵，，∴∠ADE =∠ADC =45°ED =CD ，，∴∠BDE =90°BD =DE 在中，由勾股定理得：，RtΔBDE BE =22+22=22cm 故答案为：．22cm 【点睛】本题考查的是翻折变换以及勾股定理，熟记翻折前后图形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．12． ####10 4.8245445【分析】先利用勾股定理求解的长，再利用等面积法可得从而可求解AB 12AB ·CD =12AC ·BC ,CD .【详解】解：如图，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，为上的高线， CD AB∴AB =AC 2+BC 2=10,为上的高，∵CD AB∵12AB ·CD =12AC ·BC ,∴CD =AC ·BCAB =6×810=4.8,故答案为：10,4.8【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用等面积法列方程，掌握“利用等面积法求解直角三角形斜边上的高”是解本题的关键.13．或或．42510【分析】根据题意分类讨论，①，②，③，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理∠CAD =90°∠ACD =90°∠ADC =90°求解即可．【详解】解：①如图，当时，∠CAD =90°是等腰直角三角形，∵∠BAC =90°，AB =AC =2，△ACD ,，∴AC =AD =AB =2∠BAD =∠BAC +∠CAD =180°；∴BD =AB +AD =2+2=4②如图，当时，过点作，交的延长线于点， ∠ACD =90°D DE ⊥BC BC E，，是等腰直角三角形，∵∠BAC =90°，AB =AC =2△ACD △ABC ，，∴CD =AC =AB =2∠DCE =180°―∠ACD ―∠ACB =45°又 ，∵DE ⊥BC 是等腰直角三角形，∴△DEC ，∴DE =CE 在中，，Rt △DEC DC 2=CE 2+DE 2=2DE 2 ，∴DE =22DC =2在中，，Rt △ABC BC =AB 2+AC 2=22在中，；Rt △BDE BD =BE 2+DE 2=(22+2)2+(2)2=25③如图，当时，∠ADC =90°，是等腰直角三角形，∵∠BAC =90°AB =AC =2△ACD △ABC，∴CD =AD =22AC =2在中，，Rt △ABC BC =AB 2+AC 2=22在中，．Rt △BDC BD =CD 2+BC 2=(22)2+(2)2=10综上所述，的长为：或或．BD 42510故答案为：或或．42510【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 14．5―1【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长=12+22=5所以点A 表示的实数是5―1故答案为5―1【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．15．或3+13―1【分析】分当Q 在射线CB 上和当Q 在射线BC 上两种情况利用勾股定理求解即可.【详解】解：如图所示，当Q 在射线CB 上时，∵AC =BC =1，AQ =2，∠ACB =90°，∴，CQ =AQ 2―AC 2=3∴；BQ =CQ ―CB =3―1如图所示，当Q 在射线BC 上时， ∵AC =BC =1，AQ =2，∠ACB =90°，∴∠ACQ =90°， ∴，CQ =AQ 2―AC 2=3∴，BQ =CQ +CB =3+1故答案为：或.3+13―1【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于能够理解Q 的位置有两个.16．5【分析】由题意可以知为直角三角形，根据勾股定理可以求得，在利用直角三角形的性质（斜边中线等于斜△ABC AB =10边一半），即可求得．【详解】解：∵，互相垂直AC BC ∴，为直角三角形∠ACB =90°△ABC 由勾股定理得AB =AC 2+BC 2=10又∵D 为的中点AB ∴CD =12AB =5故答案为．5【点睛】此题考查了直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解本题的关键． 17．254【分析】利用翻折变换的性质得出，再利用在中运用勾股定理就可以求出的长．AD =BD Rt △ACD AD 【详解】解：∵直角边，斜边，AC =6AB =10∴BC==8，AB 2―AC 2设，则．AD =x BD =AD =x 将一张直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，∵△ABC B A DE ，在中，CD =BC ―BD =(8―x )Rt △ACD ，AD 2=CD 2+AC 2则，x 2=(8―x )2+62，64+x 2―16x +36=x 2整理得：，16x =100解得：， x =254即的长为．AD 254故答案为：．254本题考查了折叠的性质以及勾股定理，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．18．14或4##4或14【分析】根据高在三角形内部和外部分类讨论，勾股定理求出相应线段长即可．【详解】△ABC AC=13AB=15BC AD=12①如图，锐角中，，，边上高，∵在中，，Rt△ACD AC=13AD=12∴，CD2=AC2―AD2=132―122=25∴，CD=5Rt△ABD AB=15AD=12在中，，由勾股定理得BD2=AB2―AD2=152―122=81，∴，CD=9∴的长为；BC BD+DC=9+5=14△ABC AC=13AB=15BC AD=12②钝角中，，，边上高，Rt△ACD AC=13AD=12在中，，由勾股定理得CD2=AC2―AD2=132―122=25，∴，CD=5Rt△ABD AB=15AD=12在中，，由勾股定理得BD2=AB2―AD2=152―122=81，∴，BD=9∴的长为．BC DB―BC=9―5=4故答案为14或4．本题考查了勾股定理的应用，解题关键是根据高的不确定性,画出图形，分类讨论．19．45【分析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°，∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，∴正方形MNPQ的面积=MN2=45，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20．．102+(x―1)2=x2【分析】x(x―1)当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程．【详解】x(x―1)解：如图，设木杆AB长为尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有尺，△ABC在Rt中，∴AC2+BC2=AB2，∴，102+(x―1)2=x2102+(x―1)2=x2故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．21．65【分析】如图（见解析），先根据网格的特点、勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得．【详解】设AB边上的高为h如图，由网格的特点得：AC=2,AD=4,BD=3,AB=AD2+BD2=5∵S △ABC =12AC ⋅BD =12AB ⋅ℎ ∴12×2×3=12×5⋅ℎ解得ℎ=65故答案为：． 65【点睛】本题考查了勾股定理的网格问题，熟记勾股定理是解题关键．22．-2【分析】观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．【详解】解：如图∵AB =BE ，∠ACB =∠BDE =90°，∴∠ABC +∠BAC =90°，∠ABC +∠EBD =90°，∴∠BAC =∠EBD ，∵在△ABC 与△BDE 中，{∠ACB =∠BDE =90°∠BAC =∠EBD AB =BE∴△ABC ≌△BDE （AAS ），∴BC =ED ，∵AB 2=AC 2+BC 2，∴AB 2=AC 2+ED 2=S 1+S 2，即S 1+S 2=1，同理S 3+S 4=3． 故S 1＋S 2-S 3-S 4＝（S 1＋S 2）-（S 3+S 4）＝1-3=-2．故答案为-2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质和勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．23．5或7【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，42―32=7第三边的长为：；②长为3、4的边都是直角边时，42+32=5第三边的长为：；∴第三边的长为：或5，77故答案为：或5．24．13【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理求出AD的长．【详解】在直角三角形ABC中，AC=4，BC=3AC2+BC2=42+32根据勾股定理，得AB==5在Rt△ABD中，BD=12AB2+BD2=52+122根据勾股定理，得AD==13.故答案为13【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能运用勾股定理进行计算是解本题的关键．25．(1)1∶2(2)作图见解析；2∶3；(3)n∶n+1(4)24:7:25【分析】先作图，将旋转后的矩形作出来，通过图像可计算出矩形的边长，进而计算出邻边比，由此可以解决（1）（2）（3）问，（4）通过前三问可总结出规律，矩形的邻边比等于直角三角形较长的直角边比直角三角形最短的直角边与斜边之和，根据以上关系列方程可解决第４问．(1)解：如下图所示：CD 的长度为3＋5=8，故矩形ACDE 的邻边比为：AC ∶CD =4∶8=1∶2，故答案为：1∶2． (2)解：如上图所示，FK 是由HF 旋转得到的，设GH=5a ，∴GK =GH ＋HK =5a ＋13a =18a ，∴FG ∶GK =12a ∶18a =2∶3，故比值为：2∶3．(3)解：矩形的长=（2n +1）+（2n 2+2n +1）=2n 2+4n +2，矩形的宽=2n 2+2n ，∴邻边比=（2n 2+2n ）∶（2n 2+4n +2）=n ∶n +1，故答案为：n ∶n +1．(4)由题可知，直角三角形直角边为3，设斜边为x ，则另一条直角边为4－x ．由勾股定理可知： ，32+(4―x )2=x 2解得： ， x =258所以直角三角形的三边比为：，3:(4―258):258=24:7:25故答案为：．24:7:25【点睛】 本题考查直角三角形的性质，作图能力，列方程，以及分析，归纳，总结，应用的能力，能够快速总结出规律并正确的运用规律是解决本题的关键．26．同意，13m【分析】直接利用等边三角形的判定方法得到△ABD 是等边三角形，再利用勾股定理得出答案即可．【详解】解：同意，理由如下：连接BD∵AB=AD=5，∠A=60°∴△ABD是等边三角形∴BD=AB=5，∠ABD=60°∵∠ABC=150°∴∠CBD=∠ABC－∠ABD=150°－60°=90°Rt△CBD在中，BD=5，BC=12∴CD=BD2+BC2=52+122=13答：CD的长度为13米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出△ABD是等边三角形是解题的关键．27．(1)∠BAC=75°(2)3【分析】（1）根据三角形的内角和定理计算即可．（2）根据直角三角形30度角的性质求出AB=2，再利用勾股定理即可解决问题．(1)解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=75°．(2)解：在Rt△ABD中，∵BD=1，∠BAD=90°-∠B=30°，∴AB=2BD=2，∴AD=．AB2―BD2=3【点睛】本题考查了直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．28．（1）3；（2）A；（3）81，72；（4）4.5a．【分析】（1）根据全等三角形的定义将图中全等的三角形一一列举出来，进而即可求解；△ABC≌△ADC S△ABC（2）由（1）可知，根据正方形BEFG的面积的2倍等于，正方形MNPQ的面积的2倍等于ACQM S△ADC四边形的面积，小于，即可推测S1和S2的大小关系；AC AN=x AC=3x（3）勾股定理求得，进而设，则，进而求得正方形MNPQ的面积AC=3a AB（4）根据（3）的结论，则可知，进而求得的长，即可求得正方形ABCD的面积．【详解】解：（1）有3对，分别是，，△ABC≌△ADC△AGF≌△FEC△ANM≌△CPQ根据题意正方形的一条对角线可以把它分成两个全等的等腰直角三角形，可得是等腰直角三角形△ABC,△ADC∴∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA=45°又AC=AC∴△ABC≌△ADC图3中有三个正方形，正方形ABCD，正方形BEFG，正方形MNPQ，∵,∴∠AGF=∠FEC=90°GF=EF与是等腰直角三角形∴△AGF△FEC∴AG=GF,EF=EC，∴AG=FG=EF=EC∠AGF=∠FEC∴△AGF≌△FEC同理可得△ANM≌△CPQ故答案为：3（2）由（1）可知，△ABC≌△ADC则=S△ABC S△ADC连接，BF,NQ根据对称性可知：正方形BEFG的面积的为2倍等于，正方形MNPQ的面积的2倍等于四边形的面S△ABC ACQM 积，小于，S△ADC∴S1>S2故选A（3）正方形ABCD的边长为18，∵∴AB=18∵△AGF≌△FEC∴AG=EF四边形BEFG是正方形∵∴EF=BG∴BG=12AB=9正方形BEFG的面积S1＝∴92=81∴AC=AB2+BC2=2AB=182，∵△ANM≌△CPQ∴AN =CP 四边形MNPQ 是正方形∵∴MN =NP∴AN =NP =CP ∴NP =13AC =62正方形MNPQ 的面积为S 2＝∴(62)2=72故答案为：81，72；（4）正方形MNPQ 的面积S 2＝a ，∵∴NP =a∴AC =3a ∴AB =3a 2正方形ABCD 的面积S ＝∴AB 2=(3a 2)2=4.5a 故答案为：4.5a 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质性质，三角形全等的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．29．（1）2；（2）5【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AD =2，再证明∠APD =∠DAP =45°，由等角对等边即可得出结论； （2）过点P 作PF ⊥AC ，垂足为点F ．由角平分线的性质定理得到PD =PF =2，进而得到AF 、FC 的长．在Rt △CFP 中，由勾股定理即可得出结论．【详解】（1）∵AB =4，DE 垂直平分AB ，∴AD =AB =2．12又∵∠BAC =90°，AP 平分∠BAC ，∴∠DAP =∠CAP =∠BAC =45°，12∴∠APD =∠DAP =45°，∴PD =AD =2．（2）过点P 作PF ⊥AC ，垂足为点F ．∵AP 平分∠BAC ，PD ⊥AC ，∴PD =PF =2．∵∠CAP =45°，∴∠APF =45°，∴AF =PF =2．又∵AC =3，∴FC =1．在Rt △CFP 中，PC =．FP 2+CF 2=5【点睛】本题考查了线段的垂直平分线定理、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．熟练掌握有关的定理是解题的关键．30．2+.2【分析】连接AC ，则由题意可知△ABC 为等腰直角三角形，再由勾股定理逆定理可知∠ACD=90°.【详解】解：连接AC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC=，AB 2+BC 2=4+4=22∵CD=1，AD=3，AC=，22∴AC 2+CD 2=AD 2，∴∠ACD=90°，∴四边形ABCD 的面积：S=S △ABC +S △ACD =AB×BC+×AC×CD=×2×2+×1×2=2+．1212121222【点睛】由题意想到连接AC ，将四边形ABCD 的面积分解为两个直角三角形的面积是解题关键.。

北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择（每小题3分，共30分）1．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．x2﹣x﹣2=x（x﹣1）﹣2B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1C．x2﹣4x+4=（x﹣2）2D．x﹣1=x（1﹣）2．（3分）下列不适合全面调查的是（）A．老师检查全班同学完成作业情况B．人口普查C．汽车公司检测安全气囊在撞击时的保护作用D．机场安检3．（3分）用科学记数法表示0.00003082为（）A．3.082×10﹣5B．308.2×10﹣7C．0.3082×10﹣4D．30.82×10﹣64．（3分）已知x≠0，等于（）A．B．C．D．5．（3分）已知，如图AB=CD，BC=AD，∠B=23°，则∠D=（）A．67°B．46°C．23°D．不能确定6．（3分）已知一个样本27，23，25，27，29，31，27，30，32，28，31，28，26，27，29，18，24，26，27，30，那么频数为8的范围是（）A．24.5～26.5B．26.5～28.5C．28.5～30.5D．30.5～32.5 7．（3分）下列各式正确的有（）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（）A．60°B．45°C．30°D．15°9．（3分）以图中方格纸的3个格点为顶点画出三角形，不全等的三角形有（）种．A．8B．9C．10D．1110．（3分）若三角形的三条边的长分别为a，b，c，且a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空（每小题4分，共24分）11．（4分）当x时，分式的值为正数；当x时，分式的值为﹣1．12．（4分）写出中间过程及结果：+（）0=+ =．13．（4分）如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD 的延长线于点E．若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是．14．（4分）为使x2+bx+5在整数范围内可以分解因式，则b可能取的值为．15．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，若AB：AC=5：3，则S△ABD：S△ACD=，进而BC：CD=．16．（4分）已知△ABC如图，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作△A′C′B．作法：在BP上截BA′=BA，以点B为圆心、BC为半径作弧，以点A′为圆心、AC 为半径作弧，两弧在射线BP右侧交于点C′，则△A′C′B即为所求．请简述操作原理：．三、解答（共46分）17．因式分解：（1）x2y﹣4y（2）﹣x3+x（2x﹣1）18．分式化简：（1）（2）．19．解方程：（1）+=2﹣（2）（）x﹣1×（）2x﹣3=．20．先化简，再求值：（﹣2）÷，其中a2﹣4=0．21．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P、F在OC上，PD⊥AO于点D，PE⊥BO于点E，连接DF、EF．求证：DF=EF．22．列方程解应用题：在生产操作中，有些化工原料对人体有害，所以需要用机器人来搬运．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？23．将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．24．我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A：体操，B：跑操，C：舞蹈，D：健美操四项活动，为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人．（2）请将统计图2补充完整．（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是度．（4）已知该校共有学生3600人，请根据调查结果估计该校喜欢健美操的学生人数．25．小明做数学作业时遇到一道证明题：求证三角形的三条角平分线交于一点．小明首先根据题意画出图形如图1．然后他将原命题转化为：已知：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I，求证：AI是．（1）请帮小明补全命题的结论：AI是；（2）结合图2，补全下面证明过程（括号中填写定理内容）作IP⊥BC于点P，IQ⊥AC于点Q，IR⊥AB于点R．∵BI平分∠ABC，IP⊥BC，IR⊥AB∴IP=IR（）同理：∴IQ=IR又∵IQ⊥AC，IR⊥AB∴（）（3）根据上述结论，完成下述作图任务：如图3，有一张矩形纸片，上面画有一个角的两边m，n，但是这个角的顶点P 在纸片的外部，试在纸片上作出∠P的平分线．（要求：尺规作图，不得折纸，不得超出矩形纸片，保留作图痕迹，不必写作法）26．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB=10，如图作∠DBO=∠ABO，∠CAy=∠BAO，直线CD过点O．（1）写出线段AC、BD的关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PE⊥CD于点E，QF⊥CD 于点F．问两动点运动多长时间时△OPE与△OQF全等？B卷27．已知n是整数，且|n2+2n﹣224|是质数，则n=．28．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=40°，点E、F在BC边上，∠AEF=70°，∠AFE=60°，求线段BE、EF、CF围成的三角形的各内角度数．29．在笔直的公路上，一只老虎想捕获距离它14米远的一只兔子．老虎跑5步的距离，兔子要跑9步；老虎跑3步的时间，兔子能跑4步．问老虎能否追上兔子．如果能追上，求老虎跑多远追上；如果不能追上，叙述理由．30．“三角形的三条角平分线交于一点”，这点I叫做△ABC的内心，显然内心I 到三角形三边的距离相等，这个距离叫做三角形的“内切圆半径”，记作r，下面我们来讨论r的求法（1）已知，如图1，△ABC的三边长AB=c，AC=b，BC=a，面积为S，则S=S△IAB+S△IBC +S△IAC=∴r=（用a、b、c、S表示）（2）特别地，在Rt△ABC中∠ACB=90°，如图2，（1）中结论仍然成立，而S=故r=（用a、b、c表示），记作①式；另外，容易证明四边形IPCQ为正方形，即CP=CQ=r，所以可以得到r的另一种表达方式r=（用a、b、c表示），记作②式；由上述①式②式相等，请继续推导直角三角形中a、b、c的关系．北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择（每小题3分，共30分）1．C；2．C；3．A；4．D；5．C；6．B；7．A；8．D；9．A；10．A；二、填空（每小题4分，共24分）11．＜8；≤0且不等于﹣3；12．﹣50；1；﹣49；13．12；14．±6；15．5：3；8：3；16．三边分别相等的两个三角形全等；三、解答（共46分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．500；54；25．∠BAC的角平分线；∠BAC的角平分线；角的平分线上的点，到角两边的距离相等；IP=IQ；AI平分∠BAC；到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；26．；B卷27．﹣15或﹣17或15或13；28．；29．；30．；；；；。

2020-2021学年北京四中八年级（上）期中数学试卷1.下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是()A. B. C. D.2.下列运算正确的是()A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a6C. a3+a3=2a6D. a8÷a4=a23.下列变形属于因式分解的是())(x≠0)A. (x+2)(x−2)=x2−4B. x−1=x(1−1xC. x3+2x2+1=x2(x+2)+1D. x2−9=(x+3)(x−3)4.在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x=1对称的点为B(−2,4)，则点A的坐标为()A. (4,4)B. (−2,−2)C. (2,4)D. (3,4)5.电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB=210MB，1MB=210KB，1KB=210B.某视频文件的大小约为1GB，1GB等于()A. 230BB. 830BC. 8×1010BD. 2×1030B6.已知a−2b=10，ab=5，则a2+4b2的值是()A. 100B. 110C. 120D. 1257.图(1)是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是()A. abB. (a+b)2C. (a−b)2D. a2−b28.如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是()A. SSSB. SASC. AASD. ASA9.我们利用尺规作图，可以作一个角(∠A′O′B′)等于已知角(∠AOB)，如下所示：(1)作射线O′A′；(2)以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；(3)以O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于C′；(4)以C′为圆心，OC为半径作弧，交前面的弧于D′；(5)连接O′D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是()A. (2)B. (3)C. (4)D. (5)10.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道()A. △ABC的周长B. △AFH的周长C. 四边形FBGH的周长D. 四边形ADEC的周长11.分解因式：3ma2−3mb=______．12.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是______点．13.已知3x+2y−2=0，则8x⋅4y=______．14.如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF.根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为______．15.已知关于x的代数式x2+bx+c，设代数式的值为y，则y=x2+bx+c.下表中列出了当x分别取…，−1，0，1，2，3，4，5，…，m，m+1…时对应的y值．x…−1012345…m m+1…y…1052125n…p q…(1)表中n的值为______；(2)当x=______时，y有最小值，最小值是______；(3)p______q.(填<，>，=)16.已知等腰三角形的一个外角的度数为108°，则顶角的度数为______．17.已知锐角∠AOB，如图，(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；(3)作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是______．①CP//OB；②CP=2QC；③∠AOP=∠BOP；④CD⊥OP．18.如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有______个．19.因式分解：(1)4x2−9；(2)4ab2−4a2b−b3．20.计算下列各题(1)(x−3y)(−6x)；(2)(6x4−8x2y)÷2x2；(3)(x−1)(x+2)；(4)(x+y−3)(x−y+3)21.先化简，再求值：(a+b)(a−b)+(a−b)2−a(2a−3b)，其中a=−1，b=1．222.已知：如图，AB//CD，AD与BC相交于点O，且OA=OD，求证：OB=OC．23.小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足OB>2OA．求作：线段OB上的一点C，使△AOC的周长等于线段OB的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意的点C已经找到，即△AOC的周长等于OB的长，那么由OA+OC+AC=OB=OC+BC，可以得到OA+AC=______．对于这个式子，可以考虑用截长的办法，在BC上取一点D，使得BD=AO，那么就可以得到CA=______．若连接AD，由______.(填推理的依据)，可知点C在线段AD的垂直平分线上，于是问题的解法就找到了．请根据小宇的分析，在图2中完成作图(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)．24.阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得多项式的一次项系数．小明想通过计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找(x+2)(2x+3)所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得多项式的一次项系数，可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项22x+3的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算(x+4)(4x+3)所得多项式的一次项系数为______．(2)计算(x+1)(3x−2)(2x+5)所得多项式的一次项系数为______．(3)若x2−3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式，求a、b的值．25.如图1，点D是等腰三角形ABC外一点，AB=AC，∠BDC=2∠ABC，过点A作AE⊥BD于点E，(1)依据题意，补全图形．(2)求证：DE =BE +CD ．(3)如图2，AD 与BC 交于点F ，当F 是AD 的中点时，翻折△BCD 得到△BCG ，连接AG ，求证：A ，G 两点到直线BC 的距离相等．26. 若k 为正奇数，则(−k−k−⋯−k)kk 个k =______；若k 为正偶数，则(−k−k−⋯−k)kk 个k =______． 27. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a ，小正方形地砖面积为b ，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD.则正方形ABCD 的面积为______.(用含a ，b 的代数式表示)28. 小明同学研究如下问题：从1，2，3，…，n(n 为整数，且n ≥3)这n 个整数中任取a(1<a <n)个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？他采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．他进行了如下几个探究： 探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．拓展延伸：从1，2，3，…，36这36个整数中任取______个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)．29.如图，△ABC中，AB=AC，60°<∠BAC<120°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．(1)依题意补全图形；(2)判断△CDE的形状，并证明；(3)请问在直线CE上是否存在点P，使得PB−PA=CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；故选：D．利用轴对称图形定义进行解答即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2.【答案】B【解析】解：A，a2⋅a3=a5；B、(a2)3=a6；C、a3+a3=2a3；D、a8÷a4=a4；故选：B．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：A.从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B.从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C.从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D.从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D．根据因式分解的定义逐个判断即可．本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4.【答案】A【解析】解：∵点A关于直线x=1对称的点为B(−2,4)，∴点A的坐标为(4,4)．故选：A．根据对称的性质即可得点A的坐标．本题考查了坐标与图形变化−对称、关于平行于x轴或y轴的直线的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称的性质．5.【答案】A【解析】解：由题意得：210×210×210B=210+10+10=230B，故选：A．列出算式，进行计算即可．本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加是计算法则．6.【答案】C【解析】解：∵a−2b=10，ab=5，∴a2+4b2=(a−2b)2+4ab=102+4×5=120．故选：C．先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．7.【答案】C【解析】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b−2b=a−b，则面积是(a−b)2．故选：C．中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．8.【答案】D【解析】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，所以，依据是ASA．故选：D．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：(4)错误．应该是以C′为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D′；故选：C．根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．10.【答案】A【解析】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH=GH，∠FHG=60°，∴∠AHF+∠GHC=120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ACB=∠A=60°，∴∠GHC+∠HGC=120°，∴∠AHF=∠HGC，∴△AFH≌△CHG(AAS)，∴AF=CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE=FH，∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，=AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．证明△AFH≌△CHG(AAS)，得出AF=CH.由题意可知BE=FH，则得出五边形DECHF 的周长=AB+BC，则可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．11.【答案】3m(a2−b)【解析】解：原式=3m(a2−b)．原式提取公因式即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.【答案】Q【解析】解：点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是Q点．故答案为Q．利用到角的两边的距离相等的点在角的平分线上进行判断．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．13.【答案】4【解析】解：由3x+2y−2=0可得：3x+2y=2，所以8x⋅4y=23x+2y=22=4，故答案为：4．根据幂的乘方解答即可．此题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是根据幂的乘方法则解答．14.【答案】134°【解析】解：连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∵∠B=62°，∠C=51°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−62°−51°=67°，∴∠EAF=2∠BAC=134°，故答案为134°．连接AD ，利用轴对称的性质解答即可．此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，关键是利用轴对称的性质解答． 15.【答案】10 2 1 <【解析】解：(1)由表格可得：{(−1)2−b +c =10c =5， 解得{b =−4c =5． 则y =x 2−4x +5，当x =5时，n =52−4×5+5=25−20+5=10．故答案为：10；(2)由(1)知，y =x 2−4x +5=(x −2)2+1，当x =2时，y 有最小值，最小值是1，故答案为：2，1；(3)由(1)知，y =x 2−4x +5=(x −2)2+1，则该函数的对称轴为直线x =2，当x >2时，y 随x 的增大而增大，∵2<m <m +1，∴p <q ．故答案为：<．(1)根据表格中的数据可以得到b 、c 的值，从而可以求得n 的值；(2)根据(1)中y 与x 的函数关系式，可以得到当x 为何值时，y 有最小值，并且的y 的最小值；(3)根据二次函数的性质，可以得到p 和q 的大小．本题考查数字的变化类、二次函数的性质、有理数大小比较，解答本题的关键是明确题意，求出b 、c 的值．16.【答案】72°或36°【解析】解：∵一个外角为108°，∴三角形的一个内角为72°，当72°为顶角时，其他两角都为54°、54°，当72°为底角时，其他两角为72°、36°，所以等腰三角形的顶角为72°或36°．故答案为：72°或36°．等腰三角形的一个外角等于108°，则等腰三角形的一个内角为72°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．17.【答案】②③④【解析】解：由作图可知，OC=OD，PC=PD，OP平分∠AOB，∴OP垂直平分线段CD，故③④正确，∵△PCD是等边三角形，PQ⊥CD，∴CQ=DQ，∴CP=2QC，故②正确，故答案为②③④．根据作图信息判断出OP平分∠AOB，由此即可一一判断．本题考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．18.【答案】8【解析】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故答案为：8．分AB为腰和底两种情况进行讨论，画出图形，即可找出点C的个数．本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．19.【答案】解：(1)原式=(2x+3)(2x−3)；(2)原式=−b(4a2−4ab+b2)=−b(2a−b)2．【解析】(1)原式利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20.【答案】解：(1)(x−3y)(−6x)=−6x2+18xy；(2)(6x4−8x2y)÷2x2=3x2−4y；(3)(x−1)(x+2)=x2+2x−x−2=x2+x−2；(4)(x+y−3)(x−y+3)=[x+(y−3)][x−(y−3)]=x2−(y−3)2=x2−y2−9+6y．【解析】(1)直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案；(2)直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；(3)直接利用多项式乘以多项式计算得出答案；(4)直接利用乘法公式计算得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．21.【答案】解：原式=a2−b2+a2−2ab+b2−2a2+3ab=ab，当a=−12，b=1时，原式=−12．【解析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.【答案】证明：∵AD与BC相交于点O，∴∠AOB=∠DOC，∵AB//CD，∴∠B=∠C，在△AOB和△DOC中，{OA=OD∠AOB=∠DOC ∠B=∠C，∴△AOB≌△DOC中(AAS)，∴OB=OC．【解析】由AB//CD得到∠B=∠C，根据AAS证△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质推出即可．本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．23.【答案】BC DC线段的垂直平分线的判定【解析】解：如图，△AOC即为所求．故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】19 1【解析】解：(1)(x+4)(4x+3)所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，故答案为：19；(2)(x +1)(3x −2)(2x +5)所得多项式的一次项系数为1×(−2)×5+3×1×5+2×1×(−2)=1，故答案为：1；(3)由x 4+ax 2+bx +2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx +2， 则(x 2−3x +1)(x 2+mx +2)=x 4+ax 2+bx +2，∴{1×m −3×1=01×2+1×1+(−3)×m =a −3×2+1×m =b，解得：{m =3a =−6b =−3．(1)根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；(2)根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；(3)由x 4+ax 2+bx +2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx +2，根据三次项系数为0、二次项系数为a 、一次项系数为b 列出方程组求出a 、b 的值，据此可得答案．本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．25.【答案】解：(1)如图1所示：(2)过点A 作AH ⊥CD ，交DC 的延长线于H ，∵AE ⊥BD ，AH ⊥DH ，∴∠AED =∠H =90°，∴∠EDH +∠EAH =180°，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵∠BAC +∠ABC +∠ACB =180°，∴∠BAC+2∠ABC=180°，又∵∠BDC=2∠ABC，∴∠BDC+∠BAC=180°，∴∠BAC=∠EAH，∴∠BAE=∠CAH，在△ABE和△ACH中，{∠AEB=∠H∠BAE=∠CAH AB=AC，∴△ABE≌△ACH(AAS)，∴AE=AH，BE=CH，在Rt△AED和Rt△AHD中，{AE=AHAD=AD，∴Rt△AED≌Rt△AHD(HL)，∴DE=DH，∴DE=BE+CD；(3)如图3，过点A作AG⊥BC于G，连接GD交BC于N，∵翻折△BCD得到△BCG，∴BN⊥GD，GN=DN，∵F是AD的中点，∴AF=DF，在△AGF和△DNF中，{∠AFG=∠DFN ∠AGF=∠DNF AF=DF，∴△AGF≌△DNF(AAS)∴AG=DN，∴AG=GN，∴A ，G 两点到直线BC 的距离相等．【解析】(1)依据题意画出图形即可；(2)过点A 作AH ⊥CD ，交DC 的延长线于H ，由“AAS ”可证△ABE≌△ACH ，可得AE =AH ，BE =CH ，由“HL ”可证Rt △AED≌Rt △AHD ，可得结论；(3)过点A 作AG ⊥BC 于G ，连接GD 交BC 于N ，由“AAS ”可证△AGF≌△DNF ，可得AG =DN =GN ，可得结论．本题几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．26.【答案】−k 2k k 2k【解析】解：若k 为正奇数，则(−k−k−⋯−k)k k 个k =(−k 2)k =(−1)k k 2k =−k 2k ，若k 为正偶数，则(−k−k−⋯−k)k k 个k =(−k 2)k =(−1)k k 2k =k 2k ．故答案为：−k 2k ，k 2k ．把式子写成积的乘方运算，再根据积的乘方计算即可得出答案．本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，合理应用法则进行计算是解决本题的关键． 27.【答案】a +b【解析】【试题解析】解：如图1，正方形ABCD 是由4个相同大小的阴影部分和和一个小正方形组成； 如图2，由图中对应的两个三角形全等可知，每个阴影部分的面积等于14的大正方形的面积，故四个相同阴影部分面积的和等于大正方形的面积，即和为a ．故正方形ABCD 的面积=a +b ．故答案为a +b ．如图，正方形ABCD 是由4个相同的阴影部分和一个小正方形组成，4个阴影部分的面积和等于大正方形的面积a，由此即可解决问题．本题考查全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】7 (2n−3) 4 (3n−8)(4n−15)(an−a2+1)7或29【解析】解：根据探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；(3)∵1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，2+5=7，3+5=8，4+5=9，∴从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果．故答案为：7；(4)根据探究一：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果；所以从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有(2n−3)种不同的结果．故答案为：(2n−3)；探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和分别为：6，7，8，9，共有4种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有(3n−8)种不同的结果．故答案为：4；(3n−8)；探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有(4n−15)种不同的结果．故答案为：(4n−15)；归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有(an−a2+1)种不同的结果．故答案为：(an−a2+1)；拓展延伸：当n=36时，36a−a2+1=204，解得a1=7，a2=29．所以从1，2，3，…，36这36个整数中任取7或29个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．(3)根据探究一的(1)和(2)可得结果；(4)结合(3)即可得到结果．探究二：(1)根据探究一的方法即可得结果．(2)结合以上(1)，总结规律，即可得结果．探究三：根据探究一和探究二的方法即可得结果．归纳结论：根据探究一和探究二的方法即可得结果．拓展延伸：根据以上结论：当n=36时，36a−a2+1=204，解方程即可得a的值．此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题是关键．29.【答案】解：(1)补全图形如图1：(2)△CDE为等边三角形，理由如下：连接BD，设BC与DE交于F，如图2：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，∴AD=AB=AC，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∠ACD=∠ADC，∴∠ABD=∠ADB=60°，∴∠ABC+∠DBC=60°，∴∠ACB+∠DBC=60°，在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ADC+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ACD+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ACB+∠DCB+∠DCB=180°，即60°+60°+2∠DCB=180°，∴∠DCB=30°，∵点E与点D关于直线BC对称，∴∠ECF=∠DCB=30°，CD=CE，∴∠DCE=60°．∴△CDE是等边三角形；(3)存在，作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点即为点P，理由如下：延长AG、CD交于点Q，连接QB，BD，由(2)可知，∠PCQ=60°，点P与Q关于BC对称，∴PC=QC，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°，∴∠APC=120°，∵AG⊥BC，AC=AB，∴AG垂直平分BC，PG=QG，∴PB=PC=QB=QC，∴四边形PBQC是菱形，∴CP=BQ=CQ=PB，∠PBQ=∠PCQ=60°，∠DQB=120°=∠APC，∵QB=QC，∴∠QBC=∠QCB，∴∠ABQ=∠ACQ，由(2)得：△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°=∠PCQ，∴∠ABQ−∠ABD=∠ACQ−∠PCQ，∴∠DBQ=∠ACP，在△ACP和△DBQ中，{∠ACP=∠DBQ CP=BQ∠APC=∠DQB，∴△ACP≌△DBQ(ASA)，∴AP=DQ，∵PB=CQ，CQ−DQ=CD，∴PB−AP=CD即PB−PA=CD成立．【解析】(1)依题意补全图形即可；(2)连接BD，设BC与DE交于F，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，根据旋转的性质得AD=AB=AC，证出△ABD是等边三角形，∠ACD=∠ADC，求出∠DCE=60°.可得△CDE为等边三角形；(3)作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点即为点P，延长AG与CD交于点Q，连接QB，BD，得出△PCQ为等边三角形，证明四边形PBQC是菱形，证明△ACP≌△DBQ，得出AP=DQ.则PB−PA=CD成立．本题是几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和轴对称的性质是解题的关键．。