2019-2020西城区北京四中初二上学期期中数学试卷.pdf

北京四中初二上期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传，下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列各式不能分解因式的是（ ）． A ．224x x - B ．214x x ++C ．229x y +D ．21m -3．点(3,5)P -关于y 轴的对称点的坐标是（ ）． A ．(3,5)B ．(3,5)-C ．(5,3)-D ．(3,5)--4．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，若3c m CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）． A ．5cm B ．4cm C ．3cmD ．2cm5．下列各式中，正确的是（ ）． A ．3355x xy y--=- B ．a b a bc c +-+-= C ．a b a bc c---=-D ．a ab a a b-=--6．下列命题是真命题的是（ ）． A ．等底等高的两个三角形全等 B ．周长相等的直角三角形都全等C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等7．如图，D 是等腰Rt ABC △内一点，BC 是斜边，如果将ABD △绕点A 逆时针方向旋转到ACD '△的位置，则ADD '∠的度数（ ）． A ．25︒ B ．30︒ C ．35︒ D ．45︒AC D BD'ACD B8．在等腰ABC △中，已知2AB BC =，20AB =，则ABC △的周长为（ ）． A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．无法确定9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x 的范围是（ ）．A ．212x <<B ．57x <<C ．16x <<D ．无法确定 10．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论： （1）AD BF =；（2）CF CD =；（3）AC CD AB +=；（4）BE CF =；（5）2BF BE =， 其中正确的结论个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．若式子24x x -有意义，则x 的取值范围是__________．12．计算212293m m +=--__________．13．如图，在ABC △中，AB AC =，20A ∠=︒，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠为__________度．14．若关于x 的二次三项式2x kx b ++的因式分解为(1)(3)x x --，则k b +的值为__________．15．若7a b +=，5ab =，则22a ab b -+=__________．16．当x 取__________值时，2610x x ++有最小值，最小值是__________．17．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则列出的方程是__________．18．如图，ABC △中，在BC 上截取BD BA =，作ABC ∠的平分线与AD 相交于点P ，连结PC ，若2BD CD =，ABC △的面积为22cm ，则DPC △的面积为__________．19．如图，把ABC △沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=︒，195∠=︒，则2∠的度数为__________．20．如果满足条件“30ABC ∠=︒，1AC =，(0)BC k k =>”的ABC △是唯一的，那么k 的取值范围是__________．FEAC BDEDBC AP D BCA三、解答题21．把多项式分解因式（每题4分，共8分） （1）33312a b ab -； （2）222()4()4x x x x ---+．22．（每题4分，共8分） （1）计算：21111a a a a a ÷----． （2）解方程：542332x x x+=--． 23．（本题5分）已知：如图，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AB CD =，AE BF ∥且AE BF =． 求证：EC FD =．24．（每题4分，共8分）（1）先化简，再求值：21123369m m m m m ⎛⎫+÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中9m =．（2）已知113x y -=，求代数式21422x xy y x xy y----的值．25．列分式方程解应用题：（本题5分）（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系） 赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车和自行车的速度．四、解答题26．（本题4分）某地区要在区域S 内（即COD ∠内部）建一个超市M ，如图所示，按照要求，超市M 到两个新建的居民小区A ，B 的距离相等，到两条公路OC ，OD 的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）27．（本题5分）阅读下列材料：如图，在四边形ABCD 中，已知105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ADC ∠=∠=︒． 求证：CD AB =． 小刚是这样思考的：由已知可得，60DCA ∠=︒，75DAC ∠=︒，30CAB ∠=︒，180ACB DAC ∠+∠=︒， 由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A 作AE AB ⊥交BC 的延长线于点E ，则AB AE =，E D ∠=∠． ∵在ADC △与CEA △中， 75D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ADC △≌CEA △， 得CD AE AB ==．请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图，在四边形ABCD 中，若180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠，请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明：若不相等，请说明理由．ACBDEDBCA28．（本题7分）在等边ABC △中，D 为射线BC 上一点，CE 是ACB ∠外角的平分线，60ADE ∠=︒，EF BC ⊥于F ．（1）如图1，若点D 在线段BC 上． 求证：①AD DE =；②2BC DC CF =+；（2）如图2，若点D 在线段BC 的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．图2ABD CFE图1ACBEDF附加题（满分20分）：1．（本题4分）已知2310a a --=，求62120a a -+=__________． 2．（本题4分）如图，45ABC BCD DAB ∠=∠=∠=︒，2BD =，则四边形ABCD 的面积为__________．3．（本题6分）已知22m n =+，22n m =+，m n ≠，求332m mn n -+的值．4．（本题6分）已知：ABC △中，2ABC ACB ∠=∠，ABC ∠的平分线BD 与ACB ∠的平分线CD 相交于点D ，且CD AB =，求证：60A ∠=︒．DCBA北京四中初二上期中数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCACDDDBCD二、填空题（本题共20分，每小题2分）题号 11 12 13 14 15 答案 4x ≠23m -+ 601-34题号 16 17 18 19 20 答案 3-，1480480420x x -=+21cm 325︒2k =或01k <≤三、解答题21．（1）解：33223123(4)3(2)(2)a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-． （2）解：2222222()4()4(2)(2)(1)x x x x x x x x ---+=--=-+．22．（1）解：原式1(1)(1)11a a aa a a -+=⋅--- 11a aa a +=-- 221(1)(1)a a a a a a -=--- 1(1)a a =--．（2）解：去分母得，54(23)x x -=-， 整理得，77x =， 解得，1x =．经检验，1x =为原方程的解．22．证明：∵AE BF ∥， ∴A FBD ∠=∠． ∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC BD =． 在AEC △和BFD △中， A FBD AC AE B BD F ∠=∠==⎧⎪⎨⎪⎩， ∴AEC △≌BFD △（SAS ）． ∴EC FD =．24．（1）解：原式233(3)(3)(3)2m m m m m m ++--=⋅-+233(3)(3)(3)2m m m m m m ++--=⋅-+ 22(3)(3)(3)2m m m m m-=⋅-+ 33m m -=+． ∵9=m ， ∴原式931932-==+． （2）解：∵113x y-=，∴3x y xy -=-，21426144232x xy y xy xyx xy y xy xy----==----．25．解：设自行车的速度为x 千米/小时，则自驾车的速度为2x 千米/小时． 依题意得：2020529x x -=， 解得18x =．经检验，18x =是原方程的解，且符合实际意义． 236x =．答：自行车的速度为18千米/小时，则自驾车的速度为36千米/小时．26．解：如图所示，点M 即为所求．27．解：CD 与AB 相等，证明如下： 作AE AB =交BC 延长线于点E ， ∴B E ∠=∠． ∵B D ∠=∠， ∴D E ∠=∠．∵180ACB CAD ∠+∠=︒，180ACB ECA ∠+∠=︒， ∴DAC ECA ∠=∠． 在DAC △和ECA △中，D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DAC △≌ECA △（AAS ）， ∴CD AE =，∴CD AB =．28．（1）证明：①过点D 作DG AC ∥交AB 于点G ． ∵ABC △是等边三角形， ∴AB AC =，60B ACB ∠=∠=︒， ∴60BDG ACB ∠=∠=︒， ∴60BGD ∠=，∴BDG △是等边三角形， ∴BG BD =， ∴AG DC =．∵CE 是ACB ∠外角的平分线， ∴120DCE AGD ∠=︒=∠． ∵60ADE ∠=︒，∴120ADB EDC ADB DAG ∠+∠=︒=∠+∠， ∴EDC DAG ∠=∠， ∴AGD △≌DCE △． ∴AD DE =．②∵AGD △≌DCE △， ∴GD CE =， ∴BD CE =，∴2BC BD DC DC CF =+=+．（2）①成立；②不成立，此时2BC CF CD =-． 过D 作DG AC ∥交BA 延长线于G ． 同（1）可证明AGD △≌DCE △， ∴AD DE =，GD CE =． ∴BD CE =，在CEF △中，60∠=︒ECF ，90∠=︒CFE ， ∴2=CE CF ．∴2=-=-BC BD CD CF CD ．附加题（满分20分）： 1．【答案】1309【解析】∵2310a a --=，∴231a a =+，∴422(31)9613310a a a a a =+=++=+， ∴822(3310)108966010039271189a a a a a =+=++=+，∴8622120392711891201309(31)12013093131a a a a a a a a -+++++====++．2．【答案】2【解析】延长AD 交BC 于点H ． ∵45ABC BCD DAB ∠=∠=∠=︒， ∴90AHB ∠=︒，∴AHB △与CHD △均为等腰直角三角形． 设CH m =，BH n =，则AH n =，DH m =． 在Rt BHD △中，222BH HD BD +=，∴22224m n +==，则2211=222ABH CDH ABCD S S S m n +=+=四边形△△．故答案为2．3．解：∵22m n =+，22n m =+，∴2222m n n m -=+--， ∴()()m n m n n m +-=-， ∵m n ≠， ∴1m n +=-． ∴332m mn n -+222m m mn n n =⋅-+⋅222mn m mn mn n =+-++ 2()m n =+2=-．4．证明：过点A 作AE BC ∥交BD 延长线于E ，连接CE ． 设AC 、BE 相交于点O ，则1ACB ∠=∠，23∠=∠．∵2ABC ACB ∠=∠， ∴3ACB ∠=∠， ∴OB OC =，12∠=∠， ∴OA OE =． 又∵AOB EOC ∠=∠， ∴AOB △≌EOC △．∴BAC CED ∠=∠，543∠=∠=∠，AB CE =． ∵CD AB =， ∴CD CE =，∴36CED CDE ∠=∠=∠+∠， 又∵57DCE ∠=∠+∠，67∠=∠， ∴60CED CDE DCE ∠=∠=∠=︒， ∴60BAC CED ∠=∠=︒．HDCBA北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【答案】D【解析】观察可知，D 中的图形为轴对称图形．故选D ．2．【答案】C【解析】2242(2)x x x x -=-；2211()42x x x ++=+；21(1)(1)m m m -=+-．故选C ．3．【答案】A【解析】点(3,5)P -关于y 轴的对称点的坐标是(3,5)．故选A ．4．【答案】C【解析】由角平分线性质定理可知，点D 到AB 的距离是等于3cm CD =．故选C ．5．【答案】D 【解析】3355xxy y --=；a ba bc c +---=；a ba bc c --+=-．故选D ．6．【答案】D【解析】有一边对应相等的两个等边三角形全等为真命题．故选D ．7．【答案】D【解析】由题意知，ABD △≌ACD '△，∴AD AD '=，D AC DAB '∠=∠，∴90D AD D AC CAD DAB CAD ''∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴45ADD '∠=︒．故选D ．8．【答案】B【解析】若AB 为底边，则10BC CA ==，不能构成三角形，∴AB 为腰，∴20AC =，10BC =，故ABC △的周长为50．故选B ．9．【答案】C【解析】倍长中线，得到一个边长分别为5，7，2x 的三角形，则75275x -<<+，即16x <<．故答案为C ．10．【答案】D【解析】易证ACD △≌BCF △，则AD BF =，CF CD =．∵AD 平分BAC ∠，AD BF ⊥，∴AB AF =，BE EF =，∴AC CD AC CF AF AB +=+==，2BF BE =．∵BE EF CD CF =>=，即BE CF >．故（1）（2）（3）（5）正确，即正确的结论个数为4．故选D ．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．【答案】4x ≠【解析】由题意，得40x -≠，∴4x ≠．故答案为4x ≠．12．【答案】23m -+ 【解析】2122122(3)1226293(3)(3)(3)(3)(3)(3)3m m m m m m m m m m m +--+=-==---+-+-+-+．故答案为23m -+．13．【答案】60【解析】∵AB AC =，20A ∠=︒，∴80ABC C ∠=∠=︒．∵线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，∴AE BE =，∴20ABE A ∠=∠=︒，∴802060CBE ABC ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为60．14．【答案】1-【解析】22(1)(3)43x kx b x x x x ++=--=-+，∴4k =-，3b =，∴1k b +=-．故答案为1-．15．【答案】34【解析】∵7a b +=，5ab =，∴222()239a b a b ab +=+-=，∴2234a ab b -+=．故答案为34．16．【答案】3-，1【解析】22610(3)1x x x ++=++，当3x =-时，有最小值1．故答案为3-，1．17．【答案】480480420x x -=+ 【解析】由题意可知，所列方程为480480420x x -=+．故答案为480480420x x -=+．18．【答案】21cm 3【解析】∵2BD CD =，∴2ABD ACD S S =△△，∴13ACD ABC S S =△△． ∵BD BA =，BP 平分ABD ∠，∴AP PD =，∴12PDC APC ADC S S S ==△△△， ∴1163PDC ABC S S ==△△．故答案为21cm 3．19．【答案】25︒【解析】由折叠性质，易得122A ∠+∠=∠，∴225∠=︒．故答案为25︒．20．【答案】2k =或01k <≤【解析】作30MBN ∠=︒，在射线BN 上任取一点C ，使BC k =．①如图1，当01k <<时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，此时只与圆有唯一的交点，∴ABC △是唯一的．②如图2，当1k =时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，B ， ∴ABC △是唯一的．③如图3，当2k =时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，是唯一的， ∴ABC △是唯一的．故当2k =或01k <≤时，ABC △是唯一的． 故答案为2k =或01k <≤．图1NMC B A图2N M C B A 图3N M C B A。

北京四中初二上期中数学试卷一、选择题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）．DA B C．．．．2）．把多项式．分解因式，结果正确的是（2aa4?22)a?2)(a?a(2)2)(a?((a?4)a?a4(a?2)? DB A C．．．．2．）3．分式的取值范围是（有意义，则x1?x B C DA1x?1?xx??1x?1?．．．．）．4．点关于轴成轴对称的点的坐标是（y3)A(2,3)2)?(2,(3,?3),?3)(?2,(?2 C A BD．．．．△中，已知???AA???CAB≌使5．在和，添加下列条件中的一个，不能，B??AB?A?ABCABC△△．．△）．一定成立的是（???CAB????? C ADB ．．．．?C??B?CAC?ACC?BCB?B??．）6．下列各式中，正确的是（y?yx??a?b1?bx??? A B．．22abb22yx?yx?1x?3?? D C ．．22)?xy(x?y3?9x?x，则这个等腰三角形的周长为（）．7．等腰三角形的两边长分别为和63B C D A 181515．．．或．1212的度数是（边上的高，则是，，中，．如图，8．）BDDBC?ACABC△AB??A36AC??A?18．B．?24 C?30．D?36．1的度．如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证91???30?3．数为（）A?30．B?45．C?60．D?75．）．，若10．如图，和分别垂直平分和，则等于（ABMPPAQ?QNAC130???BACA?50．B?75．C?80．D?105．二、填空题用科学记数法表示为．已知某种植物花粉的直径为纳米，即米，把110.000035350000.000035 __________．2 __________．12．分解因式：??6x?3x310?1 __________．计算：．13?3|)|(?2?1)??(2．若于交于，，．14 如图，在中，，平分E?ADABDEDBCCAB30B??ABCC??90???△Rt，cm1DE?则__________．?BC cm，在同一直线上，且、、、，是等边三角形，点15．如图，已知DE?DFEBDCD?C△ABCCG则__________度．??E，中，、分别平分，、．如图，16ABCO?ABCBOACB?∥OMABC△?．，则__________，的周长OMN10cmBCACON∥?△cm2112x?14xy?2y??3?__________．17．已知，则代数式xyx?2xy?y 的面积为，则，且，平分如图18．中，，的面积为4ABAD?ACDABD3△△ABCAC??BAC2△__________．最小时，是正方形19．如图，的一条对称轴，点是直线上的一个动点，当PPDMNABCD?PCMN __________．??PCD上的一个动点（点，点是折线段20．如图所示，长方形中，，E4EAB?3?4BCCA?DABCD?为等腰三角运动的过程中，能使，点是点关于的对称点．在点与点不重合）EPAABEPCB△．．．．的位置共有__________个．形的点E．三、解答题分解因式22)y(2?m92)mx(??．．213222xx(??1)4．22．计算abb32b3?)(?．23．4b3a9a?x12?．24．2x1?1?xa1．25．先化简，再求值：，其中1?a?3?(1?)21?12aa?a? 83x?1??．解方程：26．21?x1x?．，27．已知：如图，，AE?ADBAC?AB?AC?DAE?．求证：CEBD?428．列分式方程解应用题甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇字的文章与乙打一篇字的文章所用的时间相同．已9001000知甲每分钟比乙每分钟多打个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？529．小明在做课本中的一道题：如图，直线，所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这1b a两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图，画，量出直线与的夹角度数，即2PCbCP ∥a直线，所成角的度数．b a（）请写出这种做法的理由．1（）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图）：①以为圆心，任意长为半径画圆弧，分P23别交直线，于点，．②连结并延长交直线于点，请直接写出图中所有与相PABADBA?D3PCb a等的角．（）请在图画板内作出“直线，所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求b33a作出图形，并保留作图痕迹．530．（本题8分）（）如图（），已知：在中，，，直线经过点，⊥直线，⊥BDA11CE△ABC??BAC?90?ACABll直线，垂足分别为点、．证明：．EDCEBD?DE?l（）如图（），将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，EAD221AC△ABC?ABl?，其中为任意锐角或钝角．请问结论且是否成立？如成?CE??BDBDA??AEC??BAC?DE?立．请你给出证明．若不成立，请说明理由．（）拓展与应用：如图（），、是直线上的两动点（、、三点互不重合），点为EEAFDD?BAC33l 平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，BDBAC??ACF??CEAEC?△ABFBDA△求证：．EF?DF附加题2122?a?b042a??a?．已知:．，__________则1??，b1a?zxy 2．已知：的值为，则__________．zb)?(yac?)?(bcx(?)?a??ccb??ab??caa??by，中，直角边3．等腰轴两个动点，交轴于点轴、、点，点分别是BADAC?BAC??90ABCRt△xx 斜边．交轴于点yEBC点的坐标．，，求），若）如图（（0)B(2,,1)(0A11C恰为，运动到使点连接当等腰），（）（如图中点时，求证：．DED22CDE?ADBAC??△RtABC的平分线，试探究：）如图（不断运动的过程中，若满足（），在等腰始终是BDABCABC?△Rt33、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．、线段BDODOA67北京四中初二上期中数学试卷参考答案二、填空题5? 11．103.5?21)3(x? 12．13．4 14．3 15．15 16．10．174．181.5．1945．204三、解答题22)x2)(m??9ym(2? 21．解：22)yx?9?(m?2)(．)y33?y)(x??(m?2)(x222x?1)4?(x 22．解：22)1?2x?(x?1?2x)(x?221)x(?x?1)?(．ab3b2b3．解：23?)?(4b9a?3a3ab39ab????43bb227a2a3b???32b6a1．??ab2x21?．解：242x1?x1?x??1x2?)?)(1?(1xx81．?x1?a1?1a．解：原式25?(?)?21aa?1a?a?1?2a11?a?????1?aa??a1a?1??a．时，原式当．31??11??3a??3 21aa???a12221??8?x(x?3)(x?1)．解：，26221?8?x?4x?3?x，4x?4，1x?，1?x是原方程的增根，所以原方程无解．经检验：，27．证明：∵，BAE???BAEBAC???DAE，∴，即EACBAE??DAB???DAE??BAE?BAC??中，在和ADB△AEC△AE?AD??，EAC??DAB???ACAB??），∴≌（SAS△△AECADB∴．CEBD?个字，则甲每分钟打个字，28．解：设乙每分钟打5)(x?x9001000，由题意得，?xx?5得：，45?x检验：是原方程的解，且符合题意．45x?个字，乙每分钟打个字．答：甲每人每分钟打455029．解：（）两直线平行，同位角相等．1（），21??PDA?BDC????PAB，）作线段（的垂直平分线EFAB3是所求作的图形．则EF）∵，，30．解：（1l?lBD?CE∴，???BDA?90AEC?9，又∵??90?BAC，∴，??90?BAD????BAD?CAE?90?ABD，∴ABD???CAE中，在和CAE △△ABDCAE?ABD????，?90ADB??CEA????AC?AB?），≌（∴AAS△△ABDCAE，∴，AEBD?CE?AD，∵AE?DE?AD．∴BD?DE?CE（）成立，2?，∵?AEC??BAC?BDA???，∴?CAE?180??BAD??BAD????DBA∴，ABD??CAE?在和中，CEA△ADB△?ABD??CAE??，CEA??ADB???AB?AC?∴≌（），AAS△ADBCEA△∴，，BDAE?CEAD?∴．DE?AD?BD?CE?AE （）由（）知，≌，2CEA△△ADB3∴，，BD?AECAE???DBA∵和均为等边三角形，ACF△△ABF∴，?60??CAF??ABF∴，CAF??CAE??DBA??ABF?∴，FAEDBF???∵，AFBF?在和中，EAFDBF△△FB?FA??，FAE???FBD??BD?AE?∴和（），SAS△DBF△EAF∴，，AFEBFD?DF?EF??∴，?BFD?60DFA??DFA?AFE??????DFE∴为等边三角形．DEF△∴．EFDF?附加题：10a2，1．解：由题可知，2a?b???a2212∴?ba?1a?2?2(a?1)?2)a?a?1)((3a?22aa??3a?a?a??222．2??xyz，．解：令2k???c?abb?c?a?bc?a?则，，，)?bk(c?ay?)b?c?k(ax?k(b?c?a)?z代入zb)y?(a??c)x?(c?a)(b，)ca?b??b)?(a?b)(?b?c)(bc?a)?(c?a)(c?a?(222222，bc?ab?a??b?cb?ab?ac?cac?a??bc?．0?轴于点，3．（）如图，过点作yCF?F1C），则≌（AASACFABO△△，，∴2OB?1AF?CF?OA?，∴1OF?．∴1)?(C?1,轴于点（）如图，过点作交，y2GCACCG?，≌（）则ASA△△ACGABD，∴，GCG?AD?CD??ADB?，∵?DCE???GCE?45，）∴≌（SAS △DCEGCE△，∴G???CDE．∴CDE???ADB（）如图，在上截取，连接，AHOD3?OBOH，由对称性得，AHD?AD?AH??ADH∴，BEO???BAO?ADH???AHD∴，BHA??AEC?，，又∵ABH??ABACCAE??（≌∴），AASACE△△BAH∴，OA2BHAE??∵，OD?DH211∴．)OD?BD2(OA?12北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1A【答案】．【解析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直选项经过折叠后不能重合．线就叫做对称轴．A A ．故选：2A【答案】．2?4a?aa(a?4)．【解析】A ．故选：3A 【答案】．21x??1?0x．，解得【解析】分式有意义，则分母x?1 A．故选：B4【答案】．y3)?A(2,3)y??3(2,2x?．【解析】点轴成轴对称的点的坐标其，，即关于B．故选：B5【答案】．△?????ABC△SAS，≌，【解析】、，条件判定可利用A???CAAC?ACBBAB??A?AA?△?????ABC△，，无法判定≌，、B???CBC?BACBBAAB?A??A?△?????ABC△CSAS，，、，条件判定可利用≌???CBAC?ACAB?A?A?AAB?△????ABCASA△．条件判定可利用，、，≌???DCAB?C??CB?AB?AA??A B ．故选：6D 【答案】．a?b1?b?，本选项错误，、【解析】A abb?x?yx?y??，本选项错误，、B22x?31?C，本选项错误，、2?9xx?322yyx?x??、，本选项正确．D2)?y?y(xx D ．故选：7B【答案】．6?3363?不能构成三角形．，底边为【解析】若腰为，则1315?6?3636?．故腰为，则周长为，底边为B ．故选：8A【答案】．AC?AB，【解析】∵1?B??C?(180???A)?72?，∴2AC?BD，∵?18C?90????DBC?．∴A ．故选：9C【答案】．??60???3?1??2?90．【解析】C ．故选：10C【答案】．??130?A，【解析】∵??50??C?B，∴QN AC，和和分别垂直平分∵ABMPAQ?CQ，∴，APBP??QAC??C，∴，BPAB????PAB??QAC??B??C?50?，∴?PAQ??BAC?(?PAB??QAC)?80?．∴C ．故选：二、填空题11 5?【答案】．103.5?n11010≤a?，这种记【解析】把一个绝对值小于（或者大于等于的形式（其中）的实数记为）110a?5?0.000035．数法叫做科学记数法．把用科学记数法表示为103.5?5?．故答案为：10?3.521)?3(x 12【答案】．2221)x??1)?xx?3?3(3(?2x3x?6．【解析】21)?3(x．故答案为：13 【答案】．41?10()?(2?1)?|?3|?2?1?3?4．【解析】2．故答案为：41414 3【答案】．DC?CABAC?，，，平分【解析】∵ABDEAD?1??DECD，∴?30B?Rt△BDE?，中，又∵在，∴2?BD?2DE3cmBD?BC?CD?．∴3．故答案为：15 15【答案】．ABC△是等边三角形，【解析】∵??120??ACD?ACB?60，∴，CDCG?，又∵?150???FDE?CDG?30，，∴，又∵DEDF??15?E?．∴?15．故答案为：16 10【答案】．ABC?BO，平分【解析】∵MBO?ABO??，∴AB∥OM，又∵BOM?ABO??，∴MOB?MBO??，∴OBOM?，∴NCON?，同理可得10cmBC??NC?ON?MN?BM?MN△OMNOM?．的周长为∴10．故答案为：17 【答案】．411xy3??，【解析】将等式两边同时乘以xyxy?3xy?，得y14xy?2?2x∴yxy??x2xy?2(xy)?14?xyy?2?xxyxy?6?14?xy?3?xy2．4?．故答案为：41518 1.5【答案】．ACDF?，作，【解析】过ABDE?D BAC?的平分线，∵是AD，∴DFDE?13?AB??SDE，∵△ABD23?DE，∴23?DF，∴21?SDF?1.5AC?∴．△ADC21.5．故答案为：1945【答案】．，【解析】连结PBBCMN，垂直平分∵PC?PB，∴PBPC?PD?PD?，∴∵两点之间直线最短，BD?PD≤PB，∴BD?PD≤PC，∴PDPC?，即的最短距离为BD BCDPC?，此时平分?45PCD??．∴?45．故答案为：20【答案】．4为等腰三角形一腰长时，【解析】①BP个，符合点的位置有E2BC．的垂直平分线与以为圆心是为半径的圆的交点即是点PBBA C为顶点时，为底边时，②BP个，的位置有符合点E2BCC．为圆心为半径的圆与以是以为圆心为半径的圆的交点即是点PBBA PC为顶点时，这样的等腰三角形不存在，③以为底边，B BC为半径的圆没有交点．为半径的圆与以为圆心因为以为圆心BBBA16．故答案为：417。

北京四中初二数学期中试卷(考试时间为100分钟，试卷分为A卷、B卷满分为120分) 试卷部分A卷一、选择题：(每小题3分，共24分)1．下列命题中，不正确的是()A．关于某条直线对称的两个三角形全等B．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的平分线重合C．线段有2条对称轴D．角是轴对称图形2．下列因式分解中，结果正确的是()A．B．C．D．3．要使代数式有意义，则的取值范围是( )A．B．C．D．4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()A．B．C．D．5．将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是()6．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点7．如图，已知△ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是( )A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙8．如图，已知，，，则为()A．67°B．46°C．23°D．无法确定二、填空题：(每小题2分，共20分)9．已知点和点关于轴对称，那么____________。

10．若，则____________；若，则____________。

11．若，则的值是____________。

12．等腰三角形的一边是3，另一边是8，则它的周长是____________。

13．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如下图所示，这时实际时间应是____________。

14．如图所示，三角形纸片ABC，，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为____________。

15．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且，则的大小等于______。

16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为____________。

北京市北京市西城区北京师范大学附属中学2019-2020学年八年级上学期数学期中试卷一、单选题1. 下列各式：中，分式有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2.已知，那么等于（）A .B .C .D .3. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）A . AB=CDB . EC=BFC . ∠A=∠D D . AB=BC4. 使分式有意义的x的取值范围是（）A . x≠0B . x≠﹣1C . x≠1D . x≠25. 如图，AB=CD，AD=CB，判定△ABD≌△CDB的依据是（）A . SSSB . ASAC . SASD . AAS6. 下列各式中最简分式是（）A .B .C .D .7. 如图，Rt△ABC中，∠ABC的平分线交于，若，则点到的距离是（）A . 5cmB . 4cmC . 3cmD . 2cm8. 若分式方程有增根，则a的值是( )A . 1B . 2C . -1D . -29. 如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）A . AB=DC，AC=DB B . AB=DC，∠ABC=∠DCBC . BO=CO，∠A=∠D D . AB=DC，∠DBC=∠ACB10. 如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )A . AD ＝BEB . BE ⊥AC C . △CFG 为等边三角形D . FG ∥BC二、填空题11. 用科学记数法表示:0.00000108=________.12. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第________块．13. 若 (2x+5)有意义，则x 满足的条件是________．14. 计算: ________.15. 如果多项式y -(m-1)y+1是完全平方式，那么m 的值为________16. 当x=________时，分式 的值为零.17. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=________18. 已知a ＝ (n ＝1，2，3，…)，记b ＝2(1－a )，b ＝2(1－a )(1－a )，…，b ＝2(1－a )(1－a )…(1－a )，则通过计算推测出表达式b ＝________ (用含n 的代数式表示)．三、解答题19. 分解因式：（1）（2） a ﹣2a b+ab 20. 计算:（1）计算:（2） （3）21. 先化简，再任取一个你喜欢的x 的值，代入求值。

北京四中初二上期中数学试卷一、选择题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．把多项式24a a -分解因式，结果正确的是（ ）． A ．(4)a a - B ．(2)(2)a a +- C ．(2)(2)a a a +- D ．2(2)4a --3．分式21x -有意义，则x 的取值范围是（ ）． A ．1x ≠ B ．1x = C ．1x ≠-D ．1x =-4．点(2,3)A 关于y 轴成轴对称的点的坐标是（ ）． A ．(3,2)- B ．(2,3)-C ．(2,3)--D ．(2,3)-5．在ABC △和A B C '''△中，已知A A '∠=∠，AB A B ''=，添加下列条件中的一个，不能．．使ABC △≌A B C '''△一定成立的是（ ）． A ．AC A C ''=B ．BC B C ''=C ．B B '∠=∠D ．C C '∠=∠6．下列各式中，正确的是（ ）． A ．1a b bab b++= B ．22x y x y-++=- C ． 23193x x x -=--D ．222()x y x y x y x y --=++7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）． A ．12B ．15C ．12或15D ．188．如图，ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 是AC 边上的高，则DBC ∠的度数是（ ）． A ．18︒B ．24︒C ．30︒D ．36︒9．如图，330∠=︒，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证1∠的度数为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒10．如图，130BAC ∠=︒，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ ∠等于（ ）． A ．50︒B ．75︒C ．80︒D ．105︒二、填空题11．已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为__________．12．分解因式：2363x x -+=__________．13．计算：101()(21)|3|2---+-=__________．14． 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ．若1c m DE =，则BC =__________cm ．15．如图，已知ABC △是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG CD =，DF DE =，则E ∠=__________度．16．如图，ABC △中，BO 、CO 分别平分ABC ∠、ACB ∠，OM AB ∥，ON AC ∥，10cm BC =，则O M N△的周长=__________cm ．17．已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y--=--__________．18． 如图ABC △中，AD 平分BAC ∠，4AB =，2AC =，且ABD △的面积为3，则ACD △的面积为__________．19．如图，MN 是正方形ABCD 的一条对称轴，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC PD +最小时，PCD ∠=__________．20．如图所示，长方形ABCD 中，4AB =，43BC =，点E 是折线段A D C --上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，能使PCB △为等腰三角形．．．．．的点E 的位置共有__________个．三、解答题分解因式21．22(2)9(2)x m y m -+-．22．222(1)4x x +-．计算23．3423()39b b ab a a b÷⋅-． 24．21211xx x++-．25．先化简，再求值：21(1)121aa a a -÷+++，其中31a =-．26．解方程：238111x x x +-=--．27．已知：如图，AD AE =，AB AC =，DAE BAC ∠=∠．求证：BD CE =．28．列分式方程解应用题甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？29．小明在做课本中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画P C a∥，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由．（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D．②连结AD并延长交直线a于点B，请直接写出图3中所有与PAB∠相等的角．（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．30．（本题8分）（1）如图（1），已知：在ABC=，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥∠=︒，AB AC△中，90BAC直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE BD CE=+．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC=，D、A、E三点都在直线l上，且△中，AB AC∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE=+是否成立？如成立．请BDA AEC BACα你给出证明．若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC∠平分线上的一点，且ABF △和ACF △均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，求证：DF EF =．附加题1．已知:2a b -=，2240a a +-=，则121a b+=+__________．2．已知：x y zb c a c a b a b c==+-+-+-，则()()()b c x c a y a b z -+-+-的值为__________．3．等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ．（1）如图（1），若(0,1)A ，(2,0)B ，求C 点的坐标．（2）如图（2），当等腰Rt ABC △运动到使点D 恰为AC 中点时，连接DE ，求证：ADB CDE ∠=∠． （3）如图（3），在等腰Rt ABC △不断运动的过程中，若满足BD 始终是ABC ∠的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．北京四中初二上期中数学试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 AAABBDBACC二、填空题11．53.510-⨯ 12．23(1)x - 13．4 14．3 15．15 16．10 17．4 18．1.5 19．45 20．4三、解答题21．解：22(2)9(2)x m y m -+-22(2)(9)m x y =-- (2)(3)(3)m x y x y =--+．22．解：222(1)4x x +-22(12)(12)x x x x =+-++ 22(1)(1)x x =-+．23．解：3423()39b b ab a a b ÷⋅-33493272b a aba b b =-⋅⋅22336b a a b =-⋅ 12ab =-．24．解：21211x x x ++-12(1)(1)x x x x -+=-+ 11x=-．25．解：原式211()1121a aa a a a +=-÷++++ 211121a aa a a +-=÷+++ ()211a a a a+=⋅+ 1a =+．当31a =-时，原式3113=-+=．26．解：2(3)(1)81x x x ++-=-，224381x x x ++-=-，44x =， 1x =，经检验：1x =是原方程的增根，所以原方程无解．27．证明：∵DAE BAC ∠=∠，BAE BAE ∠=∠， ∴DAE BAE BAC BAE ∠-∠=∠-∠，即DAB EAC ∠=∠， 在AEC △和ADB △中， AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEC △≌ADB △（SAS ），∴BD CE =．28．解：设乙每分钟打x 个字，则甲每分钟打(5)x +个字， 由题意得，10009005x x=+， 得：45x =，检验：45x =是原方程的解，且符合题意． 答：甲每人每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．29．解：（1）两直线平行，同位角相等． （2）1PAB PDA BDC ∠=∠=∠=∠， （3）作线段AB 的垂直平分线EF ， 则EF 是所求作的图形．30．解：（1）∵BD l ⊥，CE l ⊥， ∴90BDA AEC ∠=∠=︒， 又∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒， ∴CAE ABD ∠=∠， 在ABD △和CAE △中，90ABD CAE ADB CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ABD △≌CAE △（AAS ）， ∴BD AE =，AD CE =， ∵DE AD AE =+， ∴DE CE BD =+． （2）成立，∵BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，∴180DBA BAD BAD CAE α∠+∠=∠+∠=︒-， ∴CAE ABD ∠=∠， 在ADB △和CEA △中， ABD CAE ADB CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ADB △≌CEA △（AAS ）， ∴AE BD =，AD CE =， ∴BD CE AE AD DE +=+=． （3）由（2）知，ADB △≌CEA △， ∴AE BD =，DBA CAE ∠=∠， ∵ABF △和ACF △均为等边三角形， ∴60ABF CAF ∠=∠=︒，∴DBA ABF CAE CAF ∠+∠=∠+∠， ∴DBF FAE ∠=∠， ∵BF AF =，在DBF △和EAF △中， FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DBF △和EAF △（SAS ）， ∴DF EF =，BFD AFE ∠=∠，∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴DEF △为等边三角形． ∴DF EF =．附加题：1．解：由题可知2b a =-，222a a =-， ∴121a b++ 22(1)(1)(2)a a a a -++=+- 232aa a =--3222aaa =-+-2=-．2．解：令x y zk b c a c a b a b c===+-+-+-，则()x k b c a =+-，()y k c a b =+-，()z k a b c =+-， 代入()()()b c x c a y a b z -+-+-()()()()()()b c b c a c a c a b a b a b c =-+-+-+-+-+-， 222222b c ab ac c a bc ab a b ac bc =--++--++--+， 0=．3．（1）如图，过点C 作CF y ⊥轴于点F ， 则ACF △≌ABO △（AAS ）， ∴1CF OA ==，2AF OB ==， ∴1OF =， ∴(1,1)C --．（2）如图，过点C 作CG AC ⊥交y 轴于点G ， 则ACG △≌ABD △（ASA ）， ∴CG AD CD ==，ADB G ∠=∠， ∵45DCE GCE ∠=∠=︒， ∴DCE △≌GCE △（SAS ）， ∴CDE G ∠=∠， ∴ADB CDE ∠=∠．（3）如图，在OB 上截取OH OD =，连接AH ， 由对称性得AD AH =，ADH AHD ∠=∠， ∴AHD ADH BAO BEO ∠=∠=∠=∠， ∴AEC BHA ∠=∠，又∵AB AC =，CAE ABH ∠=∠， ∴ACE △≌BAH △（AAS ）， ∴2AE BH OA ==， ∵2DH OD =， ∴2()BD OA OD =+．北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴．A 选项经过折叠后不能重合．故选：A ．2．【答案】A【解析】24(4)a a a a -=-．故选：A ．3．【答案】A 【解析】分式21x -有意义，则分母10x -≠，解得1x ≠． 故选：A ．4．【答案】B【解析】点(2,3)A 关于y 轴成轴对称的点的坐标其2x =，3y =-，即(2,3)-．故选：B ．5．【答案】B【解析】A 、A A '∠=∠，AB A B ''=，AC A C ''=可利用SAS 条件判定ABC △≌A B C '''△， B 、A A '∠=∠，AB A B ''=，BC B C ''=无法判定ABC △≌A B C '''△，C 、A A '∠=∠，AB A B ''=，AC A C ''=可利用SAS 条件判定ABC △≌A B C '''△，D 、A A '∠=∠，AB A B ''=，C C '∠=∠可利用ASA 条件判定ABC △≌A B C '''△．故选：B ．6．【答案】D【解析】A 、1a b b ab b++≠，本选项错误， B 、22x y x y -+-=-，本选项错误， C 、23193x x x -=-+，本选项错误， D 、222()x y x y x y x y --=++，本选项正确． 故选：D ．7．【答案】B【解析】若腰为3，底边为6，则336+=不能构成三角形．故腰为6，底边为3，则周长为66315++=．故选：B ．8．【答案】A【解析】∵AB AC =， ∴1(180)722B C A ∠=∠=︒-∠=︒， ∵BD AC ⊥，∴9018DBC C ∠=︒-∠=︒．故选：A ．9．【答案】C【解析】1290360∠=∠=︒-∠=︒．故选：C ．10．【答案】C【解析】∵130A ∠=︒，∴50B C ∠+∠=︒，∵MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，∴BP AP =，AQ CQ =，∴PAB B ∠=∠，QAC C ∠=∠，∴50PAB QAC B C ∠+∠=∠+∠=︒，∴()80PAQ BAC PAB QAC ∠=∠-∠+∠=︒．故选：C ．二、填空题11．【答案】53.510-⨯【解析】把一个绝对值小于1（或者大于等于10）的实数记为10n a ⨯的形式（其中110a <≤），这种记数法叫做科学记数法．把0.000035用科学记数法表示为53.510-⨯． 故答案为：53.510-⨯．12．【答案】23(1)x -【解析】2223633(21)3(1)x x x x x -+=-+=-．故答案为：23(1)x -．13．【答案】4 【解析】101()(21)|3|21342---+-=-+=． 故答案为：4．14．【答案】3【解析】∵AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥，AC DC ⊥，∴1CD DE ==，又∵在Rt BDE △中，30B ∠=︒，∴22BD DE ==，∴3cm BC CD BD =+=．故答案为：3．15．【答案】15【解析】∵ABC △是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，120ACD ∠=︒，又∵CG CD =，∴30CDG ∠=︒，150FDE ∠=︒，又∵DF DE =，∴15E ∠=︒．故答案为：15︒．16．【答案】10【解析】∵BO 平分ABC ∠，∴ABO MBO ∠=∠，又∵OM AB ∥，∴ABO BOM ∠=∠，∴MBO MOB ∠=∠，∴OM OB =，同理可得ON NC =，∴OMN △的周长为10cm OM ON MN BM MN NC BC ++=++==．故答案为：10．17．【答案】4 【解析】将等式113x y -=两边同时乘以xy ，得3y x xy -=， ∴21422x xy yx xy y ----2()142x y xyx y xy --=--61432xy xyxy xy --=--4=．故答案为：4．18．【答案】1.5【解析】过D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DE DF =， ∵132ABD S AB DE =⋅=△， ∴32DE =， ∴32DF =，∴1 1.52ADC S AC DF =⋅=△． 故答案为：1.5．19．【答案】45【解析】连结PB ，∵MN 垂直平分BC ， ∴PB PC =，∴PD PC PD PB +=+， ∵两点之间直线最短， ∴PB PD BD +≤， ∴PC PD BD +≤，即PC PD +的最短距离为BD ， 此时PC 平分BCD ∠， ∴45PCD ∠=︒． 故答案为：45︒．20．【答案】4【解析】①BP 为等腰三角形一腰长时， 符合点E 的位置有2个， 是BC 的垂直平分线与以B 为圆心BA 为半径的圆的交点即是点P ． ②BP 为底边时，C 为顶点时， 符合点E 的位置有2个， 是以B 为圆心BA 为半径的圆与以C 为圆心BC 为半径的圆的交点即是点P ． ③以PC 为底边，B 为顶点时，这样的等腰三角形不存在， 因为以B 为圆心BA 为半径的圆与以B 为圆心BC 为半径的圆没有交点．故答案为：4．。

2023北京四中初二（上）期中数 学 考生须知 1.本试卷共7页，第一部分共24道小题，第二部分共2道小题，满分110考分.考试时间100分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号. 3.答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题和作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.第一部分一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)1. 下列博物院的标识中是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 如图，用三角板作ABC 的边AB 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）A. ()22244ab a b =B. 236a a a ⋅=C. 224a a a +=D. ()236239a b a b −=4. 如图，ABC 被木板遮住了一部分，其中6AB =，则AC BC +的值不可能是（ ）A. 11B. 9C. 7D. 5 5. 根据分式的基本性质，分式a a b −−可变形为（ ） A. a a b − B. a a b + C. a a b −− D. a b a − 6. 如图，已知AD ∥BC ，欲用“边角边”证明△ABC ≌△CDA ，需补充条件（ ）A. AB = CDB. ∠B = ∠DC. AD = CBD. ∠BAC = ∠DCA 7. 如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠P AH 的度数（ ）A. 随着θ的增大而增大B. 随着θ的增大而减小C. 不变D. 随着θ的增大，先增大后减小8. 用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号()4,8,8，()3,6,3,6，()3,3,4,3,4表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ）A. ()3,12,12B. ()3,4,6,4C. ()3,3,4,12D. ()3,3,3,6二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)9. 计算：()0π 3.14−=______；132−= − ______. 10. 要使分式53x −有意义，则x 的取值范围是______． 11. 已知一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是___________．12. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于_____�13. 如图，60ABC ∠=°，3AB =，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当ABP 是直角三角形时，t = ______．14. 有两个正方形A 、B ，现将B 放在A 的内部得图甲，将A 、B 并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A ，B 的面积之和为______．15. 数学课上，老师提出问题，任意画两条长度不等的线段a 、b ，利用尺规作图作Rt �ABC ，使线段a 、b 分别为三角形的一条直角边和斜边，小勇所作之图如下：请你回答下列问题：（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是_____；（只填序号）�以B 为圆心，BA 的长为半径画弧，交射线AG 于点D ．�画直线BF ．�分别以点A ，D 为圆心，大于线段AB 的长为半径画弧，交于点F ．�以点A 为圆心，线段b 的长为半径画弧，交直线BF 于点C ，连接AC ．�画射线AG ，并在AG 上截取线段（2）�ABC=90°的理由是_____．16. 在等边ABC 中，M 、N 、P 分别是边AB 、BC 、CA 上的点（不与端点重合），对于任意等边ABC ，下面四个结论中：�存在无数个MNP △是等腰三角形；�存在无数个MNP △是等边三角形；�存在无数个MNP △是等腰直角三角形；�存在一个MNP △在所有MNP △中面积最小．所有正确结论的序号是_____________．二、解答题(本大题共8小题，第17题每小题4分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分)17. （1）计算：()2384ab a b −⋅； （2）计算：2202220202024−×(需简便运算)；（3）计算：()2215105x y xyxy −÷；（4）计算：()()()22322x y x y x y +−+−； （5）因式分解：()()22x m x n +−+；（6）因式分解：22363ax axy ay ++．18. 如图，A ，C ，D 三点共线，ABC 和CDE 落在AD 的同侧，AB CE ∥，BC DE =，B D ∠=∠，求证：（1）ABC CDE △≌△；（2）AB CE AD +=19. 先化简：222142x x x÷−−，再从0，1−，2−，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值． 20. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 顶点都在网格线的交点上，点A 坐标为()4,1−−，点B 坐标为()1,1−−，点C 坐标为()3,3−.（1）画出ABC 关于y 轴的对称图形111A B C △；（2）请写出点B 关于x 轴对称点的坐标为______；（3）点P 在y 轴上，且ABP 与ABC 的面积相等，则点P 的坐标为______.21. 中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文释义 甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线． 如图2，ABC ∠为直角． 以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ； 以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与 DE 交于点F ； 再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与 DE 交于点G ； 作射线BF ，BG ．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出DBG ∠，GBF ∠，FBE ∠的大小关系．22. 如图(1)，等边ABC 中，D 边上的动点，作等边DCE △使得点B 和点E 位于CD 两侧，连接AE .（1）DBC △与EAC 全等吗？请说明你的理由；（2）求证：AE BC ∥；（3）如图（2），将（1）动点D 运动到边BA 的延长线上，其余条件不变，请问是否仍有AE BC ∥？证明你的猜想.23. 阅读下列材料：对于多项式22x x +−，如果我们把1x =代入此多项式，发现22x x +−的值为0，这时可以确定多项式中有因式()1x −；同理，可以确定多项式中有另一个因式()2x +，于是我们可以得到：()()2212x x x x +−=−+．又如：对于多项式2232x x −−，发现当2x =时，2232x x −−的值为0，则多项式2232x x −−有一个因式()2x −，我们可以设()()22322x x x mx n −−=−+，解得2m =，1n =． 于是我们可以得到：()()2232221x x x x −−=−+． 请你根据以上材料，解答以下问题：（1）当x =______时，多项式265x x −−的值为0，所以多项式265x x −−有因式______，从而因式分解265x x −−=______； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：376x x −+．24. 如图，已知ABC 是等边三角形，点E 在射线AB 上且2ACE a ，在射线CE 上取点D 使得CD CA =，连接AD 并延长交射线CB 于点F ．（1）当0260α°<<°时，①DAB ∠=______；(请用含α的代数式表示)②求证：CE BE CF +=； （2）当602120α°<<°时，请根据题意补全图形，并写出线段CE ，BE ，CF 间的数量关系______.第二部分 附加题(共10分)25. 找规律.第1组：114133+=，222435+=；第2组：1183515+=，22281517+=； 第3组：11125735+=，222123537+=； ……（1）请写出第4组等式_____，_______；（2）请写出第n 组等式______，______；（3）若()222960396050k k +=>，则k =______．26. 为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法，因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明A B >，只需要证明0A B −>；同样的，要证明A B <，只需要证明0A B −<．例如：小明对于命题：任意的实数a 和b ，总有222a b ab +≥，当a b =并且只有a b =时，等号成立，给出了如下证明：证明：∵()22220a b ab a b +−=−≥，∴222a b ab +≥，当a b =并且只有a b =时，等号成立．（1）请仿照小明 的证明方法，证明如下命题：若a ，b ，x ，0y ≥，且a x ≥，则()()()2222a x b y a b x y −+−≤+−+．（2）若120n a a a ≥≥≥≥ ，120n b b b ≥≥≥≥ ，且12121n n a a a b b b +++=+++= ，求()()()221122n a b a b a b −+−++− 的最大值．参考答案第一部分一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)1. 【答案】B【分析】根据轴对称的定义进行判断即可.【详解】解：根据轴对称图形的概念可知,选项A �C �D 不是轴对称图形,故选B.【点睛】本题考查轴对称图形的概念.判定轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.2. 【答案】B【分析】根据三角形高的画法进行判断即可．【详解】解：选项A ，C ，D �都不是ABC 的边AB 上的高，故选：B ．【点睛】此题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键．3. 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方、合并同类项等知识点逐项判定即可．【详解】解：A ．()222416ab a b =，故A 错误，不符合题意；B ．235a a a ⋅=，故B 错误，不符合题意；C ．2222a a a +=，故C 错误，不符合题意；D ．()236239a ba b −=，故D 正确，符合题意． 故选D ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项法则等知识点，熟练掌握相关运算法则是解答本题关键．4. 【答案】D【分析】根据三角形三边关系判断即可．【详解】解：∵AB =6，∴AC +BC ＞AB =6，∴11，9，7都满足，5不满足，故选D ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边． 5. 【答案】D【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】a a a b b aa ab −−−−==−， 故选�D ．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 6. 【答案】C【分析】由平行线的性质可知DAC BCA ∠=∠，再由AC 为公共边，即要想利用“边角边”证明△ABC ≌△CDA ，可添加AD =CB 即可． 【详解】∵AD ∥BC ，∴DAC BCA ∠=∠．∵AC 为公共边，∴只需AD =CB ，即可利用“边角边”证明△ABC ≌△CDA ．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键．7. 【答案】C【分析】由旋转的性质可得BC ＝BP ＝BA ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC +∠BP A ＝135°＝∠CP A ，由外角的性质可求∠P AH ＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【详解】解：∵将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，∴BC ＝BP ＝BA ，∴∠BCP ＝∠BPC ，∠BP A ＝∠BAP ，∵∠CBP +∠BCP +∠BPC ＝180°，∠ABP +∠BAP +∠BP A ＝180°，∠ABP +∠CBP ＝90°，∴∠BPC +∠BP A ＝135°＝∠CP A ，∵∠CP A ＝∠AHC +∠P AH ＝135°，∴∠P AH ＝135°﹣90°＝45°，∴∠P AH 的度数是定值，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．8. 【答案】D【分析】本题考查的是密铺，正多边形的内角度数，解题的关键是要掌握“密铺图形的公共顶点处的角的度数和为360°”【详解】解：观察可知“半正密铺”图案记号()4,8,8，则表示由一个正方形和两个正八边形组成的；A.()3,12,12是由一个正三角形、两个正十二边形组成，正三角形的一个内角为60°，正十二边形的每一个内角为： (122)18015012−×°=°， ∴60150150360°+°+°=°，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意；B. ()3,4,6,4是由一个正三角形、两个正方形和一个正六边形组成，正三角形的一个内角为60°，正方形的内角为90°，正六边形的内角为： (62)1801206−×°=°， ∴60902120360°+°×+°=°，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意；C. ()3,3,4,12是由两个正三角形、一个正方形、一个正十二边形组成，正三角形的一个内角为60°，正方形的内角为90°，正十二边形的每一个内角为： (122)18015012−×°=°， 60290150360∴°×+°+°=°，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意；D. ()3,3,3,6是由三个正三角形、一个正六边形组成，正三角形的一个内角为60°，正六边形的内角为： (62)1801206−×°=°， 603120300∴°×+°=°，不能表示“半正密铺”图案，符合题意；故选：D �二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)9. 【答案】 �. 1 �. 23− 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质计算，即可得出答案．【详解】解：()0π 3.141−=；13322− − =− ． 故答案为：1；23− 10. 【答案】x ≠3【分析】根据分式有意义，分母不为0，列不等式求解即可.【详解】解：根据题意，要使分式53x −有意义，必须使x-3≠0,解得：x ≠3 故答案为：x ≠3【点睛】本题考查了分式有意义，分母不为0．11. 【答案】12【分析】根据正n 边形的每个内角的度数为()2180n n −⋅°，列出方程进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：()2180150n n −⋅°=⋅°， 解得：12n =，∴这个多边形的边数是12；故答案为：12．【点睛】本题考查正多边形的内角问题．熟练掌握正n 边形的每个内角的度数为()2180n n−⋅°，是解题的关键．12. 【答案】110°或70° 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形内部；三角形的外部；三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．【详解】当高在三角形内部时（如图1），∠ABD =20°，∴∠A =90°-∠ABD =70°，∴顶角是70°；当高在三角形外部时（如图2），∠ABD =20°，∴∠CAB =90°+∠ABD =110°，∴顶角是110°．故答案为：70°或110°．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出70°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题． 13. 【答案】32或6 【分析】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【详解】解：�当90APB ∠=°时，过A 作⊥AP BC ，�60ABC ∠=°，3AB =，�1322BPAB ==， �33122t =÷=， �当90BAP ′∠=°时，过A 作P A AB ′⊥时，�60ABC ∠=°，3AB =，�26BP AB ′==，�616t =÷=， 故答案为：32或6． 14. 【答案】11【点睛】设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图形得出关系式求解即可．【详解】解：设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图甲得()2221a b b a b −−−=即2221a b ab +−=， 由图乙得()22210a b a b +−−=即210ab =，∴2211a b +=，故答案为：11．【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．15. 【答案】（1）�����；（2）到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．【分析】（1）根据尺规作直角三角形的方法进行判断即可；（2）根据线段垂直平分线的性质即可判断．【详解】解：（1）根据尺规作图的方法可知作图的顺序为：�����，故答案为�����；（2）根据作图方法可知BC 是线段AD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可知�ABC=90°，故�ABC=90°的理由是：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．【点睛】本题考查了尺规作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质等，掌握基本作图的方法是解题的关键．16. 【答案】①②③【分析】根据题意作图，根据所画图形判定即可解决问题．【详解】解：如图1中，满足AM ＝BN ＝PC ，�ABC 是等边三角形�AB =BC =CA ，�A =�C =�B =60°�AB -AM =BC -BN =CA -CP�AP =CN =BM又�A =�C =�B =60°��AMP ��CNP ��BMN�MP =PN =MN∴△PMN 是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM ＝NP ，∠MNP ＝90°时，△MNP 是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）．故①②③正确，△PNM 的面积不存在最小值．故答案为①②③．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、解答题(本大题共8小题，第17题每小题4分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分)17. 【答案】（1）326a b −；（2）4；（3）32x y −；（4）21210xy y +；（5）()()2x m n m n ++−（6）()23a x y +．【分析】（1）根据单项式乘以单项式法则求解即可；（2）利用平方差公式求解即可；（3）根据多项式除以单项式法则求解即可；（4）首先利用平方差公式和完全平方公式求解，然后合并同类项即可；（5）利用平方差公式分解因式即可；（6）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）()2384ab a b −⋅326a b =-；（2）2202220202024−×()()220222022220222=−−+()222202220222=−−222202220222=−+4=；（3）()2215105x y xy xy −÷32x y =−；（4）()()()22322x y x y x y +−+− ()222241294x xy y x y =++−−x xy y x y 222212944=-+++21210xy y +；（5）()()22x m x n +−+ ()()x m x n x m x n =++++−−()()2x m n m n =++−；（6）22363ax axy ay ++()2232a x xy y =++()23a x y +．【点睛】此题考查了单项式乘以单项式，平方差公式，多项式除以单项式，完全平方公式，因式分解，解题的关键是熟练掌握以上知识点．平方差公式：()()22a b a b a b +−=−，完全平方公式：()2222a b a ab b +=++法等． 18. 【答案】（1） 证明见解析（2） 证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，（1）根据平行线的性质可得A DCE ∠=∠，再利用AAS 证明ABC CDE △≌△即可；（2）利用全等三角形“对应边相等”的性质结合线段的和与差可得结论．【小问1详解】证明：∵AB CE ∥，A ECD ∴∠=∠，在ABC 和CDE 中，A ECDB D BC DE ∠=∠ ∠=∠ =， ()AAS ABC CDE ∴ ≌；【小问2详解】证明：ABC CDE ≌△△，AB CD ∴=，AC CE =，AB CE CD AC AD ∴+=+=．19. 【答案】22x x +，=1x −时，原式2=− 【分析】根据分式的运算法则化简计算即可． 【详解】222142x x x÷−− ()()()2222x x x x ×−+−22x x =+． ∵2x ≠±，∴=1x −时，()2122212x x ×−==−+−+． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确化简，适当选值是解题的关键．20. 【答案】（1）作图见解析；（2）(11)−， （3）(03)，或(05)−， 【分析】本题考查了坐标与图形，关于坐标轴对称的点的坐标特征，“关于x 轴对称，x 不变，关于y 轴对称，y 不变”，以及作轴对称图象，采用数形结合的方法，熟练掌握轴对称的性质以及面积相等采用同底等高的方法是解题的关键．【小问1详解】解： 点A 坐标为()4,1−−，点B 坐标为()1,1−−，点C 坐标为()3,3−.∴1(41)A −，，1(11)B −，，1(33)C ，，【小问2详解】解： 点B 坐标为()1,1−−，∴点B 关于x 轴对称点的坐标为：(11)−，，故答案为：(11)−，； 【小问3详解】解： ABP 与ABC 的面积相等，()111141222ABP ABC c P S S AB y AB AB y ∴==××+=××=××+ ， �5P y =−或3．又 点P 在y 轴上，当点P 在y 轴的正半轴时，P ∴的坐标为：(03)，当点P 在y 轴负半轴时，P ∴的坐标为：(05)−，， 故答案为：(03)，或(05)−， 21. 【答案】（1）见解析 （2）DBG GBF FBE ∠=∠=∠【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）连接DF ，EG ，可得 BDF V 和BEG 均为等边三角形，60DBF EBG ∠=∠=°，进而可得30DBG GBF FBE ∠=∠=∠=°．【小问1详解】解：（1）如图：【小问2详解】DBG GBF FBE ∠=∠=∠．理由：连接DF ，EG 如图所示则BD =BF =DF ，BE =BG =EG即BDF V 和BEG 均为等边三角形�60DBF EBG ∠=∠=°�90ABC ∠=°�30DBG GBF FBE ∠=∠=∠=°【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．22. 【答案】（1）会全等，理由见解析（2）证明见解析 （3）AE BC ∥；证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．（1）首先证明BCD ACE ∠=∠，然后利用SAS 证明DBC EAC △≌△即可；（2）根据全等的性质可得60EAC B ∠=∠=°，进而可得EAC ACB ∠=∠，从而可得AE BC ∥； （3）利用等边三角形的性质可得BC AC =，DC CE =，60BCA DCE ∠=∠=°，然后再证明DBC EAC △≌△，再推出EAC ACB ∠=∠，进而可得AE BC ∥． 【小问1详解】解：DBC △和EAC 会全等；理由：60ACB ∠=° ，60DCE ∠=°，60BCD ACD ∴∠=°−∠，60ACE ACD ∠=°−∠，BCD ACE ∴∠=∠，在DBC △和EAC 中，BC AC BCD ACE EC DC = ∠=∠ =()SAS DBC EAC ∴ ≌；【小问2详解】证明：DBC EAC ≌，60EAC B ∴∠=∠=°，又60ACB ∠=°，EAC ACB ∴∠=∠，∴AE BC ∥；【小问3详解】解：结论：AE BC ∥理由：ABC 、EDC △为等边三角形BC AC ∴=，DC CE =，60BCA DCE ∠=∠=°， BCA ACD DCE ACD ∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠，在DBC △和EAC 中，BC AC BCD ACE CD CE = ∠=∠ =， ()SAS DBC EAC ∴ ≌，60EAC B ∴∠=∠=°，又60ACB ∠=° ， EAC ACB ∴∠=∠，∴AE BC ∥．23. 【答案】（1）1，()1x −，()()165x x −+（2）()()()376132x x x x x −+=−+−【分析】本题考查多项式乘以多项式，因式分解；熟练掌握多项式与多项式，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【小问1详解】（1）当1x =时，多项式265x x −−的值为0，所以多项式265x x −−有因式()1x −，设()()()22165x mx n mx n m x n x x −++−−−==− �6m =，5n =，�因式分解()()256165x x x x −=−−， 故答案为：1，()1x −，()()165x x −+；【小问2详解】当1x =时，3760x x −+=�376x x −+有有一个因式()1x −，当3x =−时，3760x x −+=�设()()()37613x x x x ax b −+=−++�()()()13x x ax b −++()()223x x ax b =+−+3222233ax bx ax bx ax b =+++−−()()322233ax b a x b a x b +++−−�()()233272633ax b a x b a x b x x −++++−− �1a =，36b −=，即2b =−�()()()376132x x x x x −+=−+−．24. 【答案】（1）①30α°−；②见解析（2）CE CF BE =+【分析】（1）①根据等边三角形的性质得出()11802902CAD CDA a a ∠=∠=°−=°−，根据角度关系得出906030DAB CAD CAB a a ∠=∠−∠=°−−°=°−；②延长BA ，使EG CE =，连接CG ，证明CBG ACF ≌，得出CF BG =，根据BG BE GE BE CE =+=+，即可证明结论；（2）根据题意补全图形，在CE 上截取EG BE =，连接BG ，证明BCG DCF ≌，得出CG CF =，即可证明CE CF BE =+．【小问1详解】解：①∵ABC 是等边三角形，∴AC AB BC ==，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=°，∵CD CA =，2ACEa ， ∴()11802902CAD CDA a a ∠=∠=°−=°−， ∴906030DAB CAD CAB a a ∠=∠−∠=°−−°=°−，故答案为：30α°−．②延长BA ，使EG CE =，连接CG ，如图所示：则CGE ECG ∠=∠，∵602CEB CGE ECG CAB ACE a ∠=∠+∠=∠+∠=°+， ∴1302CGE ECG CEB a ∠=∠=∠=°+， ∵ADC DCF CFD ∠=∠+∠，∴()9060230CFDADC DCF a a a ∠=∠−∠=°−−°−=°+， ∴CGE CFD ∠=∠，∵AC BC =，60CBG ACF ∠=∠=°，∴CBG ACF ≌，∴CF BG =，∵BG BE GE BE CE =+=+，∴CE BE CF +=； 【小问2详解】解：CE CF BE =+，理由如下：在CE 上截取EG BE =，连接BG ，如图所示：∵ABC 是等边三角形，∴AC AB BC ==，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=°， ∵CD CA =，2ACEa ?， ∴()11802902ADC CAD a a ∠=∠=°−=°−， ∵1801202E CAE ACE a ∠=°−∠−∠=°−，又∵BE EG =， ∴()1180302EBG BGE E a ∠=∠=°−∠=°+， ∴18090CBG ABC EBG a ∠=°−∠−∠=°−，∴CBG CDA ∠=∠，∵AC CD =，ACBC =，∴BC DC =，∵BCG DCB ∠=∠，∴BCG DCF ≌，∴CG CF =，∴CE CG EG CG BE CF BE =+=+=+．故答案为：CE CF BE =+．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法，证明BCG DCF ≌． 第二部分 附加题(共10分)25. 【答案】（1）11167963+=，222166365+= （2）2114212141n n n n +=−+−，()()()2222244141n n n +−=+ （3）196【分析】（1）根据所给算式可直接写出第4组等式；（2）由所给算式可知，第n 组的第一个等式左边是()21n −和()21n +的倒数和，右边的分子是()21n −与()21n +的和，分母是()21n −与()21n +的积；第二个等式左边是第一个等式右边分子、分母的平方和，右边是()21n −与()21n +的积加上2再平方；（3）根据296034491=×−，296054491=×+，结合（2）中规律可得449196k =×=．【小问1详解】解：第4组等式为：11167963+=，222166365+=， 故答案为：11167963+=，222166365+=；【小问2详解】解：由分析可知，第n 组等式为：()()211212142121212141n n nn n n n n −+++==−+−+−，()()()()222222244141241n n n n +−=−+=+， 故答案为：2114212141n n n n +=−+−，()()()2222244141n n n +−=+；【小问3详解】解：∵296034491=×−，296054491=×+，∴()()()22222449144910k k +×−=×+>，由（2）可知()()()2222244141n n n +−=+，∴449196k =×=，故答案为：196．【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据所给算式，总结归纳出一般性规律是解题的关键．26. 【答案】（1）见解析 （2）1n n −【分析】本题考查整式的混合运算，不等式的性质，掌握作差法，以及完全平方公式，是解题的关键． （1）利用作差法进行比较即可；（2）设11a b ≥，利用已知条件，得到11b n≥，()222221231121311121n n n b b b b b b b b b b b b b b b b ++++≤++++=+++= ，()()112211212231n n n n n a b a b a b b a a a a a a a a a −++≥+++−+++ ，推出()()()2221122n n a b a b a b −+−++− ()()()2221211212231122n n n n a a a b a a a a a a a a a b −≤+++−++++++++ 1112b b =−+，即可得出结果．【小问1详解】 解：∵()()()2222a x b y a b x y −+−−+−+ax x b by y b a x ab ax b y a x = −++−+−+− ++−+2222222222222by ab bx =−−+222()b x y a =−−2∵a x ≥，∴0x a −≤，∵0y ≥∴y −≤0∴x y a −−≤0∵0b ≥∴()b x y a −−≤20∴()()()22220a x b y a b y −+−−+−+≤∴()()()2222a x b y a b x y −+−≤+−+【小问2详解】设11a b ≥，∵12120,1n n b b b b b b ≥≥≥≥+++=， ∴11b n≥，()222221231121311121n n n b b b b b b b b b b b b b b b b ++++≤++++=+++= ， ∴()()11211123n n b a a a a b b a a a +++=++++()11123n a b a a a a ≤++++112212231n n n n a b a b a b a a a a a a −≤+++++++ ，∴()()112211212231n n n n n a b a b a b b a a a a a a a a a −++≥+++−+++ ， ∴()()()2221122n n a b a b a b −+−++− ()()()222222*********n n n n a a a a b a b a b b b b +++−+++++++()()()2221211212231122n n n n a a a b a a a a a a a a a b −≤+++−++++++++()212112n a a a b b =+++−+1112b b =−+11b =− 111n n n−≤−=． ∴()()()2221122n n a b a b a b −+−++− 的最大值为1n n−．。

西城区八年级数学上册期中测试题(含答案解析)是．12．分解因式： = ．13．已知一次函数的图象经过点A（－1，y1）、点B（－2，y2），则y1 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC于点D，交AB于点E．若AE=3，△ADC的周长为8，则△ABC的周长为．15．计算：.16．若点M（a，3）和点N（2，a+b）关于x轴对称，则b 的值为．17．如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB 交OA于点C．若PC＝10，则OC＝，PD＝．18．甲、乙两车从A地出发前往B地．在整个行程中，汽车离开A地的距离 y（km）与时间t（h）的对应关系如图所示，则乙车的平均速度为 km/h；图中a的值为 km；在乙车行驶的过程中，当t＝ h时，两车相距20km．三、解答题（本题共15分，第19题4分，第20题5分，第21题6分）19．计算：．解：20．已知：如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB=CD，AE∥FD，且∠E=∠F．求证：EC=FB．证明：21．先化简，再求值：，其中．解：四、解答题（本题共16分，第23题6分，其余每小题5分）22．解分式方程：．解：23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（，），且与正比例函数的图象交于点B（，）．（1）求的值及一次函数的解析式；（2）若一次函数的图象与x轴交于点C，且正比例函数的图象向下平移m（m0）个单位长度后经过点C，求m的值；（3）直接写出关于x的不等式的解集．解：（1）（3）关于x的不等式的解集为．24．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）①在射线BM上求作一点C，使AC=AB；②在线段AB上求作一点D，使点D到BC，AC的距离相等；（2）在（1）所作的图形中，若∠ABM=72°，则图中与BC 相等的线段是．五、解答题（本题共14分，每小题7分）25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A （，），与y轴的正半轴交于点B．点C在直线上，且CA⊥x 轴于点A．（1）求点C的坐标；（2）若点D是OA的中点，点E是y轴上一个动点，当EC+ED 最小时，求此时点E的坐标；（3）若点A恰好在BC的垂直平分线上，点F在x轴上，且△ABF是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．解：（1）（3）点F的坐标为．26．已知：在△ABC中，∠ABC60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C，D重合），且∠EAC=2∠EBC．（1）如图1，若∠EBC=27°，且EB=EC，则∠DEB= °，∠AEC= °；（2）如图2．①求证：AE＋AC=BC；②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数．。

2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．若分式的值不存在，则x的取值是（）A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝3 D．x≠32．若分式的值等于0，则x的取值是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝3或x＝﹣3 3．下列式子变形，正确的是（）A．＝B．＝﹣C．＝D．＝4．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．5．用科学记数法表示：0.00002018是（）A．2.018×10﹣5B．2.018×10﹣4C．201.8×10﹣7D．2018×10﹣56．计算：（）﹣3的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣7．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（）A．96°B．84°C．76°D．72°9．下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④10．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DEC．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF11．如图，∠CAB＝60°，CD垂直平分AB，垂足为点D，∠CAB的平分线交CD于点E，连接EB，则∠BEC的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．90°12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，下列结论：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠CDA＝∠DCB；④CD∥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分13．若分式的值为0，则x的值是．14．分式，，的最简公分母是．15．若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝．16．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，EF是AC边的垂直平分线，垂足为E，交BC 于点F，则∠AFE的度数等于．18．已知ab＝1，m＝+，则﹣m2018的值等于．三、解答题：本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．先约分，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．20．计算：（1）•（2）÷（3）（）2（4）（）321．计算（1）（）3•（）2•（）2（2）（）4•（）3÷（）522．计算：（1）+﹣（2）﹣﹣23．如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．24．如图，AB＝CD，AD＝BC，E、F分别是AC上的点，且AE＝CF（1）求证：AB∥CD；（2）求证：BE＝DF．25．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD 的延长线于点F（1）求证：△ABE≌△AFE；（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．26．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．若分式的值不存在，则x的取值是（）A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝3 D．x≠3【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值不存在，∴2x+4＝0，解得：x＝﹣2，则x的取值是：﹣2．2．若分式的值等于0，则x的取值是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝3或x＝﹣3 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值等于0，∴|x|﹣3＝0，2x﹣6≠0，解得：x＝﹣3，故选：C．3．下列式子变形，正确的是（）A．＝B．＝﹣C．＝D．＝【分析】根据分式的基本性质解答．【解答】解：A、原式＝，故本选项错误；B、原式＝﹣，故本选项正确；C、原式＝，故本选项错误；D、原式＝，故本选项错误；故选：B．4．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．【解答】解：A．＝，不符合题意；B．＝，不符合题意；C．＝，不符合题意；D．是最简分式，符合题意；5．用科学记数法表示：0.00002018是（）A．2.018×10﹣5B．2.018×10﹣4C．201.8×10﹣7D．2018×10﹣5【分析】根据科学记数法的形式选择即可．【解答】解：0.00002018＝2.018×10﹣5，故选：A．6．计算：（）﹣3的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】先根据负整数指数幂的定义进行变形，再求出即可．【解答】解：（）﹣3＝（）3＝，故选：B．7．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．故选：C．8．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（）A．96°B．84°C．76°D．72°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据CD是△ABC的角平分线，即可求出∠ACD的度数；再根据三角形内角和外角的关系即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝66°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣66°＝84°，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝×84°＝42°．∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+42°＝72°．故选：D．9．下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④【分析】根据命题是判断性语句，可得答案．【解答】解：①你叫什么名字，没有作出判断，不是命题；②负数的绝对值等于它的相反数，正确，是命题；③相等的角是对顶角，正确，是命题；④明天下雨吗？是疑问句，不是命题，故选：B．10．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DEC．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF【分析】根据题意画出图形，再由全等三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：如图所示，A、AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，符合SAS定理，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；B、∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE，符合ASA定理，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；C、∵AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，故本选项错误；D、∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，符合SSS定理，∴△ABC≌△EFD，故本选项正确．故选：C．11．如图，∠CAB＝60°，CD垂直平分AB，垂足为点D，∠CAB的平分线交CD于点E，连接EB，则∠BEC的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．90°【分析】根据三角形的外角的性质可知：∠BEC＝∠B+∠EDB，想办法求出∠B，∠EDB即可解决问题；【解答】解：∵AE平分∠CAB，∠CAB＝60°，∴∠EAD＝∠CAB＝30°，∵CD垂直平分线段AB，∴EA＝EB，∠EDB＝90°，∴∠B＝∠EAD＝30°，∴∠BEC＝∠EDB+∠B＝90°+30°＝120°，故选：A．12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，下列结论：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠CDA＝∠DCB；④CD∥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由△ABC≌△BAD（AAS），推出AD＝BC，AC＝BD，故①②正确，再证明CO＝OD，可得∠CDA＝∠DCB，故③正确，由∠CDO＝∠OAB，可得CD∥AB，故④正确；【解答】解：∵OA＝OB，∴∠DAB＝∠CBA，∵∠ACB＝∠BDA＝90°，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（AAS），∴AD＝BC，AC＝BD，故①②正确，∵BC＝AD，BO＝AO，∴CO＝OD，∴∠CDA＝∠DCB，故③正确，∵∠COD＝∠AOB，∴∠CDO＝∠OAB，∴CD∥AB，故④正确，故选：D．二．填空题（共6小题）13．若分式的值为0，则x的值是0 ．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴x＝0．将x＝0代入x+1＝1≠0．当x＝0时，分式分式的值为0．故答案为：0．14．分式，，的最简公分母是12a2b2c．【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【解答】解：因为三分式中的常数项系数的最小公倍数是12，a的最高次幂是2，b的最高次幂是2，c的最高次幂是1，所以三分式的最简公分母是12a2b2c．故答案为：12a2b2c．15．若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝ 2 ．【分析】先根据同底数幂的除法进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵3x＝10，3y＝5，∴3x﹣y＝3x÷3y＝10÷5＝2，故答案为：2．16．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，EF是AC边的垂直平分线，垂足为E，交BC 于点F，则∠AFE的度数等于50°．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝70°，根据三角形的内角和得到∠C ＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，根据线段垂直平分线的性质得到CF＝AF，EF⊥AC，于是得到结论．【解答】解：∵AC＝BC，∠B＝70°，∴∠CAB＝∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，∵EF是AC边的垂直平分线，∴CF＝AF，EF⊥AC，∴∠EAF＝∠C＝40°，∴∠AFE＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50°．18．已知ab＝1，m＝+，则﹣m2018的值等于﹣1 ．【分析】先利用异分母分式的加减法法则，计算m的值，再求出﹣m2018的值．【解答】解：m＝+＝＝∵ab＝1，∴m＝＝1∴﹣m2018＝﹣12018＝﹣1故答案为：﹣1三．解答题（共8小题）19．先约分，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．【分析】先把分子分母因式分解，再约分得到原式＝，然后把x、y的值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝，当x＝﹣2，y＝﹣时，原式＝＝．20．计算：（1）•（2）÷（3）（）2（4）（）3【分析】（1）先分解因式，再根据分式的乘法法则求出即可；（2）先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可；（3）根据分式的乘方法则求出即可；（4）根据分式的乘方法则求出即可．【解答】解：（1）•＝•＝﹣2x（x+1）＝﹣2x2﹣2x；（2）原式＝•＝；（3）（）2＝；（4）（）3＝﹣＝﹣．21．计算（1）（）3•（）2•（）2（2）（）4•（）3÷（）5【分析】（1）先算乘方，再算乘法即可；（2）先算乘方，把除法变成乘法，再算乘法即可．【解答】解：（1）原式＝••＝；（2）原式＝••＝﹣．22．计算：（1）+﹣（2）﹣﹣【分析】（1）直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案；（2）直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）+﹣＝+﹣＝；（2）﹣﹣＝﹣﹣＝＝﹣．23．如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．【分析】根据平行线性质得到∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥ED，CD∥BF，∴∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ABF与△EDC中，∴△ABF≌△EDC，（ASA），∴AB＝ED．24．如图，AB＝CD，AD＝BC，E、F分别是AC上的点，且AE＝CF（1）求证：AB∥CD；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SSS证得△ABD≌△CDB，则该全等三角形的对应角相等，即∠ABD＝∠CDB，故AB∥CD；（2）欲证明BE＝DF，只需推知△ABE≌△CDF即可．【解答】证明：（1）在△ABD与△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD；（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，又AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．25．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD 的延长线于点F（1）求证：△ABE≌△AFE；（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠F，然后求出∠ABF＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE 和△AFE全等即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证．【解答】证明：（1）∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，∴∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠F，∠ABF＝∠F，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）；（2）∵△ABE≌△AFE，∴BE＝EF，在△BCE和△FDE中，，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴BC＝DF，∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，即AD+BC＝AB．∵AD＝2，BC＝6，∴AB＝8．26．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？【分析】（1）首先设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，则设乙种污水处理器每小时处理污水（x+20）吨，根据题意可得等量关系：甲种污水处理器处理25吨的污水＝乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间，根据等量关系，列出方程，再解即可．（2）根据题意列出计算式解答即可．【解答】解：（1）设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，由题意得，，解之得，x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，所以x＝50，x+20＝70，答，甲种污水处理器每小时处理污水50吨，乙种污水处理器每小时处理污水70吨．（2）30×4×50×30+30×4×70×50＝180000+420000＝600000（元），答：该厂每个月（以30天计）需要污水处理费600000元．。

2019-2020学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在下列学校校徽图案中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.某种流感病毒的直径是0.000000085米，这个数据用科学记数法表示为()A. 0.85×10−7B. 85×10−7C. 8.5×10−8D. 8.5×1083.若点(a,−3)与点(2,b)关于y轴对称，则a，b的值为()A. a=2，b=3B. a=2，b=−3C. a=−2，b=3D. a=−2，b=−34.约分：6a2b3abc=()A. 2ac B. 2abc C. a2cD. 2c5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A. (a+3)(a−3)=a2−9B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. a2−4a−5=(a−2)2−9D. x2−4+3x=(x−2)(x+2)+3x6.如图是两个全等三角形，则∠1=()A. 62°B. 72°C. 76°D. 66°7.要使分式1x−1有意义，则x的取值范围是()A. x≠1B. x=1C. x=−1D. x≠−18.计算a3·(1a)2的结果是()A. aB. a5C. a6D. a89.如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是()A. B.C. D.10.如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落在处，点E落在边上的处，则∠CBD的度数是()A. 85∘B. 90∘C. 95∘D. 100∘二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.若分式x−2x−1的值为零，则x=______．12.分解因式：8x2y−18y=______．13.化简：m−1m ÷m−1m2=______．14.已知△ABC中，DE垂直平分AB，如果△ABC的周长为22，AB=10，则△ACD的周长为______．15.如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，且△POA的面积为12cm2，则PB的长为．16.若x+1x =3，则分式x2x4+x2+1的值是______．17.△ABC中，AB=9，AC=7，则中线AD之长的范围________．18.阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一角等于已知角．已知：∠AOB(图1)，求作：∠FBE，使得∠FBE=∠AOB小明解答如图2所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：(1)小明的作图依据是______；(2)他所画的痕迹弧MN是以点______为圆心，______为半径的弧．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）19.分解下列因式：(1)2x2−8xy+8y2；(2)3x2−27；(3)4+12(x−y)+9(x−y)2．20.解方程：5x−4x−2=4x+103x−6−1．四、解答题（本大题共8小题，共50.0分）21.已知：点D在BC边上，AB=AD，BC=DE，AC=AE，求证：∠1=∠2．22. 先化简，再求值：(x −1−3x+1)÷x 2−4x+4x+1，其中x =−4．23. 作图题：如图，在10∗10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD(即四边形的顶点都在格点上)．(1)在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 关于直线I 对称的图形A 1B 1C 1D 1的面积;(2)若小正方形的边长是1，求四边形A 1B 1C 1D 1的面积．24. 为加快交通建设，促进经济发展，国家发改委于2015年批准武汉至十堰高铁孝感至十堰段建设，该工程于2015年开工，预计2019年完成并开通运营．原来武汉至十堰动车铁路全长约490km ，建成后的高铁路段全长约460km，预测届时从武汉至十堰高铁比动车平均每小时快9倍，高铁14比动车少用1.5小时，问该段高铁平均每小时多少km？25.如图，已知△ABC(1)利用尺规作图：①在边AC下方作∠CAE=∠ACB；②在射线AE上截取AD=BC；③连结CD，记CD交AB于点G.(尺规作图要求保留作图痕迹．不写作法)(2)请写出按要求作图后所有全等的三角形：______．26.(1)如图1，利用网格线，作出三角形关于直线l的对称图形．(2)如图2，利用网格线：①在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；②在射线AP上找一点Q，使QB=QC.此时QB与QC的位置关系是______．27.化简√6．√3+√2−√528.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.D为BC边上任一点，连接AD，过D作DE⊥AD，且DE=AD.连接BE，探究BE与AB 的位置关系，并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．2.答案：C解析：解：0.000000085米，这个数据用科学记数法表示为8.5×10−8．故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.答案：D解析：【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a、b的值．【解答】解：∵点(a,−3)与点(2,b)关于y轴对称，∴a=−2，b=−3，故选D．4.答案：A解析：【分析】本题考查了约分，对分子分母分解因式，并找出公因式是解题的关键．①先找出分子分母的公因式，然后约去即可；②把分子分母分解因式，然后约去公因式即可．【解答】解：6a2b3abc =2ac，故选A．5.答案：B解析：【分析】本题考查了因式分解的意义.把一个多项式分解成几个整式的积的形式叫因式分解，先看等式左边是否是一个多项式，等式右边是否是几个整式的积的形式即可．【解答】A.本选项是多项式乘多项式，不是因式分解；B.本选项是因式分解；C.本选项不是因式分解；D.本选项不是因式分解．故选B．6.答案：C解析：【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．【解答】解：第一个图中，∠1=180°−42°−62°=76°，∵两个三角形全等，∴∠1=76°，故选C．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不等于零．【解答】有意义，解：∵分式1x−1∴x−1≠0．解得：x≠1．故选A．8.答案：A解析：【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．先算出分式的乘方，再约分．【解答】=a，解：原式=a3⋅1a2故选A．9.答案：D解析：解：∵PB+PC=BC，而PA+PC=BC，∴PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：D．由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB 的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线定理的判定．10.答案：B解析：【分析】此题考查了折叠的性质与平角的定义，解题的关键是掌握翻折的性质.由折叠的性质，即可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定义，即可求得∠A′BC+∠E′BD=90°，则可求得∠CBD的度数．【解答】解：根据折叠的性质可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°，∴∠A′BC+∠E′BD=90°，∴∠CBD=90°．故选B．11.答案：2解析：解：由分式的值为零的条件得x−2=0且x−1≠0，由x−2=0，解得x=2，故答案为2．根据分式的值为零的条件可以求出x的值．本题考查了分式的值为零的条件，具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．12.答案：2y(2x+3)(2x−3)解析：解：原式=2y(4x2−9)=2y(2x+3)(2x−3)，故答案为：2y(2x+3)(2x−3)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.答案：m解析：解：原式=m−1m ⋅m2m−1=m．故答案为：m．原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.答案：12解析：解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∵△ABC的周长为22，AB=10，∴AB+AC+BC=10+AC+BC=22，解得，AC+BC=12，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+BC=12，故答案为：12．根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15.答案：3cm解析：【分析】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．过点P作PD⊥OA于点D，由三角形的面积公式可求出PD，再根据角平分线的性质即可得出结论．【解答】解：过点P作PD⊥OA于点D，∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，∴PD=PB，∵OA=8cm，∴S△POA=12OA⋅PD=12×8⋅PD=12，∴PD=PB=3(cm)．故答案为3cm．16.答案：18解析：解：把x+1x =3，两边平方得：(x+1x)2=x2+1x2+2=9，即x2+1x2=7，则原式=1x2+1x2+1=18．故答案为：18．已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出x2+1x2的值，原式变形后代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.答案：1<AD<8解析：【分析】本题考查了三角形的三边关系及三角形全等的判定与性质，先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．【解答】解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，∵{BD=CD∠ADB=∠EDC AD=DE，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，∵AB=9，AC=7，∴CE=9，设AD=x，则AE=2x，∴2<2x<16，∴1<x<8，∴1<AD<8．故答案为1<AD<8．18.答案：(1)三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等；(2)E；CD．解析：解：(1)连接CD、EF，由小明的作图知，OC=OD=BE=BF，CD=EF，在△OCD和△BEF中，∵{OC=BE OD=BF CD=EF，∴△OCD≌△BEF(SSS)，∴∠FBE=∠AOB，∴小明的作图依据是三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，故答案为：三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等；(2)他所画的痕迹弧MN是以点E为圆心，CD的长度为半径的弧，故答案为：E、CD．【分析】(1)根据作图痕迹知OC=OD=BE=BF，CD=EF，证△OCD≌△BEF得∠FBE=∠AOB，从而得出答案；(2)根据尺规作图步骤可知．本题考查了基本作图和全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．19.答案：解：(1)2x2−8xy+8y2原式=2(x2−4xy+4y2)=2(x−2y)2；(2)原式=3(x2−9)=3(x+3)(x−3)；(3)原式=[3(x−y)+2]2=(3x−3y+2)2．解析：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．(1)首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；(2)原式提取3，再利用平方差公式分解即可；(3)利用完全平方公式分解可得．20.答案：解：去分母得：15x−12=4x+10−3x+6，移项合并得：14x=28，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．解析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．21.答案：证明：在△ABC与△ADE中，{AB=AD BC=DE AC=AE，∴△ABC≌△ADE(SSS)，∴∠ABC=∠ADE，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠ABC+∠BAD，∴∠CDE =∠BAD ，即∠1=∠2．解析：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS 证明△ABC≌△ADE ．根据SSS ，即可证得△ABC≌△ADE ，利用三角形的外角性质和等式的性质证明即可．22.答案：解：(x −1−3x+1)÷x 2−4x+4x+1 =(x −1)(x +1)−3x +1⋅x +1(x −2)2=x 2−1−3x +1⋅x +1(x −2)2=(x +2)(x −2)x +1⋅x +1(x −2)2=x+2x−2，当x =−4时，原式=−4+2−4−2=−2−6=13．解析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．23.答案：解：①四边形A 1B 1C 1D 1如图所示；②四边形A 1B 1C 1D 1的面积=3×3−12×1×2−12×1×3，=9−1−1.5，=9−2.5，=6.5．解析：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． ①根据网格结构找出点A 、B 、C 、D 关于直线l 的对称点A 1、B 1、C 1、D 1的位置，然后顺次连接即可；②利用四边形所在的正方形的面积减去四周两个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 24.答案：解：设该段高铁的平均速度为xkm/ℎ，依题意列方程，4901423x =460x +32，解得，x=230，经检验，x=230是原方程的根，答：该段高铁的平均速度230km/ℎ．解析：设该段高铁的平均速度为xkm/ℎ，找出合适的等量关系，列方程求解即可．本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂原题，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．25.答案：△ACD≌△CAB、△ADG≌△CBG解析：【分析】(1)根据题目要求作图即可得；(2)先根据AC=CA、∠DAC=∠BCA、AD=CB证△ACD≌△CAB，得∠D=∠B，再结合∠AGD=∠CGB、AD=CB可证△ADG≌△CBG．本题主要考查作图−复杂作图，熟练掌握做一个角等于已知角和全等三角形的判定与性质是解题的关键．【解答】解：(1)如图所示；(2)在△ACD和△CAB中，∵{AC=CA∠DAC=∠BCA AD=CB，∴△ACD≌△CAB(SAS)，∴∠D=∠B，在△ADG和△CBG中，∵{∠D=∠B∠AGD=∠CGB AD=CB，∴△ADG≌△CBG(AAS)，故答案为：△ACD≌△CAB、△ADG≌△CBG．26.答案：(1)如图所示：；(2)①如图所示，点P即为所求；②垂直解析：【分析】此题主要考查了轴对称变换以及角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，正确借助网格是解题关键．(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)①借助网格得出∠CAB的角平分线；②借助网格得出Q点位置，进而得出QB与QC的位置关系．【解答】解：(1)见答案(2)①见答案②如图所示，点Q即为所求；QB与QC的位置关系是垂直．故答案为：垂直．27.答案：解：原式=√2)2√6+(√3)2√5)2√3+√2−√5=(√2+√3)2−(√5)2√3+√2−√5=√2+√3+√5)(√2+√3−√5)√3+√2−√5=√2+√3+√5．解析：本题考查的是二次根式的混合运算和分母有理化.掌握分母有理化是关键.根据原式的特点将分子加上(√2)2+(√3)2−(√5)2，式子的值不变，然后将分子按照完全平方公式和平方差公式进行变形，再与分母约分即可．28.答案：解：AB⊥BE.理由如下：如图，过点E作EM⊥BD，交DB延长线于点M．∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴∠ADC+∠EDM=90°，∠ADC+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠EDM．又DE=AD，∠C=∠M=90°，∴△EMD≌△DCA(AAS)，∴EM=CD，MD=CA=BC，∴MD−BD=BC−BD，∴BM=CD=EM，∴∠MEB=∠MBE=45°．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°，∴∠ABE=180°−∠MBE−∠ABC=90°，∴AB⊥BE．解析：过点E作EM⊥BD，交DB延长线于点M，由“AAS”可证△EMD≌△DCA，可得EM=CD，MD=CA=BC，可得EM=BM，由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°=∠MBE，可得∠ABE= 90°，即AB⊥BE．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择（每小题3分，共30分）1．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．x2﹣x﹣2=x（x﹣1）﹣2B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1C．x2﹣4x+4=（x﹣2）2D．x﹣1=x（1﹣）2．（3分）下列不适合全面调查的是（）A．老师检查全班同学完成作业情况B．人口普查C．汽车公司检测安全气囊在撞击时的保护作用D．机场安检3．（3分）用科学记数法表示0.00003082为（）A．3.082×10﹣5B．308.2×10﹣7C．0.3082×10﹣4D．30.82×10﹣64．（3分）已知x≠0，等于（）A．B．C．D．5．（3分）已知，如图AB=CD，BC=AD，∠B=23°，则∠D=（）A．67°B．46°C．23°D．不能确定6．（3分）已知一个样本27，23，25，27，29，31，27，30，32，28，31，28，26，27，29，18，24，26，27，30，那么频数为8的范围是（）A．24.5～26.5B．26.5～28.5C．28.5～30.5D．30.5～32.5 7．（3分）下列各式正确的有（）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（）A．60°B．45°C．30°D．15°9．（3分）以图中方格纸的3个格点为顶点画出三角形，不全等的三角形有（）种．A．8B．9C．10D．1110．（3分）若三角形的三条边的长分别为a，b，c，且a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空（每小题4分，共24分）11．（4分）当x时，分式的值为正数；当x时，分式的值为﹣1．12．（4分）写出中间过程及结果：+（）0=+ =．13．（4分）如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD 的延长线于点E．若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是．14．（4分）为使x2+bx+5在整数范围内可以分解因式，则b可能取的值为．15．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，若AB：AC=5：3，则S△ABD：S△ACD=，进而BC：CD=．16．（4分）已知△ABC如图，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作△A′C′B．作法：在BP上截BA′=BA，以点B为圆心、BC为半径作弧，以点A′为圆心、AC 为半径作弧，两弧在射线BP右侧交于点C′，则△A′C′B即为所求．请简述操作原理：．三、解答（共46分）17．因式分解：（1）x2y﹣4y（2）﹣x3+x（2x﹣1）18．分式化简：（1）（2）．19．解方程：（1）+=2﹣（2）（）x﹣1×（）2x﹣3=．20．先化简，再求值：（﹣2）÷，其中a2﹣4=0．21．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P、F在OC上，PD⊥AO于点D，PE⊥BO于点E，连接DF、EF．求证：DF=EF．22．列方程解应用题：在生产操作中，有些化工原料对人体有害，所以需要用机器人来搬运．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？23．将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．24．我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A：体操，B：跑操，C：舞蹈，D：健美操四项活动，为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人．（2）请将统计图2补充完整．（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是度．（4）已知该校共有学生3600人，请根据调查结果估计该校喜欢健美操的学生人数．25．小明做数学作业时遇到一道证明题：求证三角形的三条角平分线交于一点．小明首先根据题意画出图形如图1．然后他将原命题转化为：已知：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I，求证：AI是．（1）请帮小明补全命题的结论：AI是；（2）结合图2，补全下面证明过程（括号中填写定理内容）作IP⊥BC于点P，IQ⊥AC于点Q，IR⊥AB于点R．∵BI平分∠ABC，IP⊥BC，IR⊥AB∴IP=IR（）同理：∴IQ=IR又∵IQ⊥AC，IR⊥AB∴（）（3）根据上述结论，完成下述作图任务：如图3，有一张矩形纸片，上面画有一个角的两边m，n，但是这个角的顶点P 在纸片的外部，试在纸片上作出∠P的平分线．（要求：尺规作图，不得折纸，不得超出矩形纸片，保留作图痕迹，不必写作法）26．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB=10，如图作∠DBO=∠ABO，∠CAy=∠BAO，直线CD过点O．（1）写出线段AC、BD的关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PE⊥CD于点E，QF⊥CD 于点F．问两动点运动多长时间时△OPE与△OQF全等？B卷27．已知n是整数，且|n2+2n﹣224|是质数，则n=．28．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=40°，点E、F在BC边上，∠AEF=70°，∠AFE=60°，求线段BE、EF、CF围成的三角形的各内角度数．29．在笔直的公路上，一只老虎想捕获距离它14米远的一只兔子．老虎跑5步的距离，兔子要跑9步；老虎跑3步的时间，兔子能跑4步．问老虎能否追上兔子．如果能追上，求老虎跑多远追上；如果不能追上，叙述理由．30．“三角形的三条角平分线交于一点”，这点I叫做△ABC的内心，显然内心I 到三角形三边的距离相等，这个距离叫做三角形的“内切圆半径”，记作r，下面我们来讨论r的求法（1）已知，如图1，△ABC的三边长AB=c，AC=b，BC=a，面积为S，则S=S△IAB+S△IBC +S△IAC=∴r=（用a、b、c、S表示）（2）特别地，在Rt△ABC中∠ACB=90°，如图2，（1）中结论仍然成立，而S=故r=（用a、b、c表示），记作①式；另外，容易证明四边形IPCQ为正方形，即CP=CQ=r，所以可以得到r的另一种表达方式r=（用a、b、c表示），记作②式；由上述①式②式相等，请继续推导直角三角形中a、b、c的关系．北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择（每小题3分，共30分）1．C；2．C；3．A；4．D；5．C；6．B；7．A；8．D；9．A；10．A；二、填空（每小题4分，共24分）11．＜8；≤0且不等于﹣3；12．﹣50；1；﹣49；13．12；14．±6；15．5：3；8：3；16．三边分别相等的两个三角形全等；三、解答（共46分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．500；54；25．∠BAC的角平分线；∠BAC的角平分线；角的平分线上的点，到角两边的距离相等；IP=IQ；AI平分∠BAC；到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；26．；B卷27．﹣15或﹣17或15或13；28．；29．；30．；；；；。

2020-2021学年北京四中八年级（上）期中数学试卷1.下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是()A. B. C. D.2.下列运算正确的是()A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a6C. a3+a3=2a6D. a8÷a4=a23.下列变形属于因式分解的是())(x≠0)A. (x+2)(x−2)=x2−4B. x−1=x(1−1xC. x3+2x2+1=x2(x+2)+1D. x2−9=(x+3)(x−3)4.在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x=1对称的点为B(−2,4)，则点A的坐标为()A. (4,4)B. (−2,−2)C. (2,4)D. (3,4)5.电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB=210MB，1MB=210KB，1KB=210B.某视频文件的大小约为1GB，1GB等于()A. 230BB. 830BC. 8×1010BD. 2×1030B6.已知a−2b=10，ab=5，则a2+4b2的值是()A. 100B. 110C. 120D. 1257.图(1)是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是()A. abB. (a+b)2C. (a−b)2D. a2−b28.如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是()A. SSSB. SASC. AASD. ASA9.我们利用尺规作图，可以作一个角(∠A′O′B′)等于已知角(∠AOB)，如下所示：(1)作射线O′A′；(2)以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；(3)以O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于C′；(4)以C′为圆心，OC为半径作弧，交前面的弧于D′；(5)连接O′D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是()A. (2)B. (3)C. (4)D. (5)10.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道()A. △ABC的周长B. △AFH的周长C. 四边形FBGH的周长D. 四边形ADEC的周长11.分解因式：3ma2−3mb=______．12.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是______点．13.已知3x+2y−2=0，则8x⋅4y=______．14.如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF.根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为______．15.已知关于x的代数式x2+bx+c，设代数式的值为y，则y=x2+bx+c.下表中列出了当x分别取…，−1，0，1，2，3，4，5，…，m，m+1…时对应的y值．x…−1012345…m m+1…y…1052125n…p q…(1)表中n的值为______；(2)当x=______时，y有最小值，最小值是______；(3)p______q.(填<，>，=)16.已知等腰三角形的一个外角的度数为108°，则顶角的度数为______．17.已知锐角∠AOB，如图，(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；(3)作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是______．①CP//OB；②CP=2QC；③∠AOP=∠BOP；④CD⊥OP．18.如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有______个．19.因式分解：(1)4x2−9；(2)4ab2−4a2b−b3．20.计算下列各题(1)(x−3y)(−6x)；(2)(6x4−8x2y)÷2x2；(3)(x−1)(x+2)；(4)(x+y−3)(x−y+3)21.先化简，再求值：(a+b)(a−b)+(a−b)2−a(2a−3b)，其中a=−1，b=1．222.已知：如图，AB//CD，AD与BC相交于点O，且OA=OD，求证：OB=OC．23.小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足OB>2OA．求作：线段OB上的一点C，使△AOC的周长等于线段OB的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意的点C已经找到，即△AOC的周长等于OB的长，那么由OA+OC+AC=OB=OC+BC，可以得到OA+AC=______．对于这个式子，可以考虑用截长的办法，在BC上取一点D，使得BD=AO，那么就可以得到CA=______．若连接AD，由______.(填推理的依据)，可知点C在线段AD的垂直平分线上，于是问题的解法就找到了．请根据小宇的分析，在图2中完成作图(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)．24.阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得多项式的一次项系数．小明想通过计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找(x+2)(2x+3)所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得多项式的一次项系数，可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项22x+3的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算(x+4)(4x+3)所得多项式的一次项系数为______．(2)计算(x+1)(3x−2)(2x+5)所得多项式的一次项系数为______．(3)若x2−3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式，求a、b的值．25.如图1，点D是等腰三角形ABC外一点，AB=AC，∠BDC=2∠ABC，过点A作AE⊥BD于点E，(1)依据题意，补全图形．(2)求证：DE =BE +CD ．(3)如图2，AD 与BC 交于点F ，当F 是AD 的中点时，翻折△BCD 得到△BCG ，连接AG ，求证：A ，G 两点到直线BC 的距离相等．26. 若k 为正奇数，则(−k−k−⋯−k)kk 个k =______；若k 为正偶数，则(−k−k−⋯−k)kk 个k =______． 27. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a ，小正方形地砖面积为b ，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD.则正方形ABCD 的面积为______.(用含a ，b 的代数式表示)28. 小明同学研究如下问题：从1，2，3，…，n(n 为整数，且n ≥3)这n 个整数中任取a(1<a <n)个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？他采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．他进行了如下几个探究： 探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．拓展延伸：从1，2，3，…，36这36个整数中任取______个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)．29.如图，△ABC中，AB=AC，60°<∠BAC<120°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．(1)依题意补全图形；(2)判断△CDE的形状，并证明；(3)请问在直线CE上是否存在点P，使得PB−PA=CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；故选：D．利用轴对称图形定义进行解答即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2.【答案】B【解析】解：A，a2⋅a3=a5；B、(a2)3=a6；C、a3+a3=2a3；D、a8÷a4=a4；故选：B．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：A.从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B.从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C.从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D.从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D．根据因式分解的定义逐个判断即可．本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4.【答案】A【解析】解：∵点A关于直线x=1对称的点为B(−2,4)，∴点A的坐标为(4,4)．故选：A．根据对称的性质即可得点A的坐标．本题考查了坐标与图形变化−对称、关于平行于x轴或y轴的直线的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称的性质．5.【答案】A【解析】解：由题意得：210×210×210B=210+10+10=230B，故选：A．列出算式，进行计算即可．本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加是计算法则．6.【答案】C【解析】解：∵a−2b=10，ab=5，∴a2+4b2=(a−2b)2+4ab=102+4×5=120．故选：C．先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．7.【答案】C【解析】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b−2b=a−b，则面积是(a−b)2．故选：C．中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．8.【答案】D【解析】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，所以，依据是ASA．故选：D．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：(4)错误．应该是以C′为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D′；故选：C．根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．10.【答案】A【解析】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH=GH，∠FHG=60°，∴∠AHF+∠GHC=120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ACB=∠A=60°，∴∠GHC+∠HGC=120°，∴∠AHF=∠HGC，∴△AFH≌△CHG(AAS)，∴AF=CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE=FH，∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，=AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．证明△AFH≌△CHG(AAS)，得出AF=CH.由题意可知BE=FH，则得出五边形DECHF 的周长=AB+BC，则可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．11.【答案】3m(a2−b)【解析】解：原式=3m(a2−b)．原式提取公因式即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.【答案】Q【解析】解：点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是Q点．故答案为Q．利用到角的两边的距离相等的点在角的平分线上进行判断．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．13.【答案】4【解析】解：由3x+2y−2=0可得：3x+2y=2，所以8x⋅4y=23x+2y=22=4，故答案为：4．根据幂的乘方解答即可．此题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是根据幂的乘方法则解答．14.【答案】134°【解析】解：连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∵∠B=62°，∠C=51°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−62°−51°=67°，∴∠EAF=2∠BAC=134°，故答案为134°．连接AD ，利用轴对称的性质解答即可．此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，关键是利用轴对称的性质解答． 15.【答案】10 2 1 <【解析】解：(1)由表格可得：{(−1)2−b +c =10c =5， 解得{b =−4c =5． 则y =x 2−4x +5，当x =5时，n =52−4×5+5=25−20+5=10．故答案为：10；(2)由(1)知，y =x 2−4x +5=(x −2)2+1，当x =2时，y 有最小值，最小值是1，故答案为：2，1；(3)由(1)知，y =x 2−4x +5=(x −2)2+1，则该函数的对称轴为直线x =2，当x >2时，y 随x 的增大而增大，∵2<m <m +1，∴p <q ．故答案为：<．(1)根据表格中的数据可以得到b 、c 的值，从而可以求得n 的值；(2)根据(1)中y 与x 的函数关系式，可以得到当x 为何值时，y 有最小值，并且的y 的最小值；(3)根据二次函数的性质，可以得到p 和q 的大小．本题考查数字的变化类、二次函数的性质、有理数大小比较，解答本题的关键是明确题意，求出b 、c 的值．16.【答案】72°或36°【解析】解：∵一个外角为108°，∴三角形的一个内角为72°，当72°为顶角时，其他两角都为54°、54°，当72°为底角时，其他两角为72°、36°，所以等腰三角形的顶角为72°或36°．故答案为：72°或36°．等腰三角形的一个外角等于108°，则等腰三角形的一个内角为72°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．17.【答案】②③④【解析】解：由作图可知，OC=OD，PC=PD，OP平分∠AOB，∴OP垂直平分线段CD，故③④正确，∵△PCD是等边三角形，PQ⊥CD，∴CQ=DQ，∴CP=2QC，故②正确，故答案为②③④．根据作图信息判断出OP平分∠AOB，由此即可一一判断．本题考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．18.【答案】8【解析】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故答案为：8．分AB为腰和底两种情况进行讨论，画出图形，即可找出点C的个数．本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．19.【答案】解：(1)原式=(2x+3)(2x−3)；(2)原式=−b(4a2−4ab+b2)=−b(2a−b)2．【解析】(1)原式利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20.【答案】解：(1)(x−3y)(−6x)=−6x2+18xy；(2)(6x4−8x2y)÷2x2=3x2−4y；(3)(x−1)(x+2)=x2+2x−x−2=x2+x−2；(4)(x+y−3)(x−y+3)=[x+(y−3)][x−(y−3)]=x2−(y−3)2=x2−y2−9+6y．【解析】(1)直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案；(2)直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；(3)直接利用多项式乘以多项式计算得出答案；(4)直接利用乘法公式计算得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．21.【答案】解：原式=a2−b2+a2−2ab+b2−2a2+3ab=ab，当a=−12，b=1时，原式=−12．【解析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.【答案】证明：∵AD与BC相交于点O，∴∠AOB=∠DOC，∵AB//CD，∴∠B=∠C，在△AOB和△DOC中，{OA=OD∠AOB=∠DOC ∠B=∠C，∴△AOB≌△DOC中(AAS)，∴OB=OC．【解析】由AB//CD得到∠B=∠C，根据AAS证△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质推出即可．本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．23.【答案】BC DC线段的垂直平分线的判定【解析】解：如图，△AOC即为所求．故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】19 1【解析】解：(1)(x+4)(4x+3)所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，故答案为：19；(2)(x +1)(3x −2)(2x +5)所得多项式的一次项系数为1×(−2)×5+3×1×5+2×1×(−2)=1，故答案为：1；(3)由x 4+ax 2+bx +2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx +2， 则(x 2−3x +1)(x 2+mx +2)=x 4+ax 2+bx +2，∴{1×m −3×1=01×2+1×1+(−3)×m =a −3×2+1×m =b，解得：{m =3a =−6b =−3．(1)根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；(2)根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；(3)由x 4+ax 2+bx +2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx +2，根据三次项系数为0、二次项系数为a 、一次项系数为b 列出方程组求出a 、b 的值，据此可得答案．本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．25.【答案】解：(1)如图1所示：(2)过点A 作AH ⊥CD ，交DC 的延长线于H ，∵AE ⊥BD ，AH ⊥DH ，∴∠AED =∠H =90°，∴∠EDH +∠EAH =180°，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵∠BAC +∠ABC +∠ACB =180°，∴∠BAC+2∠ABC=180°，又∵∠BDC=2∠ABC，∴∠BDC+∠BAC=180°，∴∠BAC=∠EAH，∴∠BAE=∠CAH，在△ABE和△ACH中，{∠AEB=∠H∠BAE=∠CAH AB=AC，∴△ABE≌△ACH(AAS)，∴AE=AH，BE=CH，在Rt△AED和Rt△AHD中，{AE=AHAD=AD，∴Rt△AED≌Rt△AHD(HL)，∴DE=DH，∴DE=BE+CD；(3)如图3，过点A作AG⊥BC于G，连接GD交BC于N，∵翻折△BCD得到△BCG，∴BN⊥GD，GN=DN，∵F是AD的中点，∴AF=DF，在△AGF和△DNF中，{∠AFG=∠DFN ∠AGF=∠DNF AF=DF，∴△AGF≌△DNF(AAS)∴AG=DN，∴AG=GN，∴A ，G 两点到直线BC 的距离相等．【解析】(1)依据题意画出图形即可；(2)过点A 作AH ⊥CD ，交DC 的延长线于H ，由“AAS ”可证△ABE≌△ACH ，可得AE =AH ，BE =CH ，由“HL ”可证Rt △AED≌Rt △AHD ，可得结论；(3)过点A 作AG ⊥BC 于G ，连接GD 交BC 于N ，由“AAS ”可证△AGF≌△DNF ，可得AG =DN =GN ，可得结论．本题几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．26.【答案】−k 2k k 2k【解析】解：若k 为正奇数，则(−k−k−⋯−k)k k 个k =(−k 2)k =(−1)k k 2k =−k 2k ，若k 为正偶数，则(−k−k−⋯−k)k k 个k =(−k 2)k =(−1)k k 2k =k 2k ．故答案为：−k 2k ，k 2k ．把式子写成积的乘方运算，再根据积的乘方计算即可得出答案．本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，合理应用法则进行计算是解决本题的关键． 27.【答案】a +b【解析】【试题解析】解：如图1，正方形ABCD 是由4个相同大小的阴影部分和和一个小正方形组成； 如图2，由图中对应的两个三角形全等可知，每个阴影部分的面积等于14的大正方形的面积，故四个相同阴影部分面积的和等于大正方形的面积，即和为a ．故正方形ABCD 的面积=a +b ．故答案为a +b ．如图，正方形ABCD 是由4个相同的阴影部分和一个小正方形组成，4个阴影部分的面积和等于大正方形的面积a，由此即可解决问题．本题考查全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】7 (2n−3) 4 (3n−8)(4n−15)(an−a2+1)7或29【解析】解：根据探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；(3)∵1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，2+5=7，3+5=8，4+5=9，∴从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果．故答案为：7；(4)根据探究一：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果；所以从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有(2n−3)种不同的结果．故答案为：(2n−3)；探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和分别为：6，7，8，9，共有4种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有(3n−8)种不同的结果．故答案为：4；(3n−8)；探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有(4n−15)种不同的结果．故答案为：(4n−15)；归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有(an−a2+1)种不同的结果．故答案为：(an−a2+1)；拓展延伸：当n=36时，36a−a2+1=204，解得a1=7，a2=29．所以从1，2，3，…，36这36个整数中任取7或29个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．(3)根据探究一的(1)和(2)可得结果；(4)结合(3)即可得到结果．探究二：(1)根据探究一的方法即可得结果．(2)结合以上(1)，总结规律，即可得结果．探究三：根据探究一和探究二的方法即可得结果．归纳结论：根据探究一和探究二的方法即可得结果．拓展延伸：根据以上结论：当n=36时，36a−a2+1=204，解方程即可得a的值．此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题是关键．29.【答案】解：(1)补全图形如图1：(2)△CDE为等边三角形，理由如下：连接BD，设BC与DE交于F，如图2：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，∴AD=AB=AC，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∠ACD=∠ADC，∴∠ABD=∠ADB=60°，∴∠ABC+∠DBC=60°，∴∠ACB+∠DBC=60°，在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ADC+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ACD+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ACB+∠DCB+∠DCB=180°，即60°+60°+2∠DCB=180°，∴∠DCB=30°，∵点E与点D关于直线BC对称，∴∠ECF=∠DCB=30°，CD=CE，∴∠DCE=60°．∴△CDE是等边三角形；(3)存在，作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点即为点P，理由如下：延长AG、CD交于点Q，连接QB，BD，由(2)可知，∠PCQ=60°，点P与Q关于BC对称，∴PC=QC，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°，∴∠APC=120°，∵AG⊥BC，AC=AB，∴AG垂直平分BC，PG=QG，∴PB=PC=QB=QC，∴四边形PBQC是菱形，∴CP=BQ=CQ=PB，∠PBQ=∠PCQ=60°，∠DQB=120°=∠APC，∵QB=QC，∴∠QBC=∠QCB，∴∠ABQ=∠ACQ，由(2)得：△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°=∠PCQ，∴∠ABQ−∠ABD=∠ACQ−∠PCQ，∴∠DBQ=∠ACP，在△ACP和△DBQ中，{∠ACP=∠DBQ CP=BQ∠APC=∠DQB，∴△ACP≌△DBQ(ASA)，∴AP=DQ，∵PB=CQ，CQ−DQ=CD，∴PB−AP=CD即PB−PA=CD成立．【解析】(1)依题意补全图形即可；(2)连接BD，设BC与DE交于F，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，根据旋转的性质得AD=AB=AC，证出△ABD是等边三角形，∠ACD=∠ADC，求出∠DCE=60°.可得△CDE为等边三角形；(3)作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点即为点P，延长AG与CD交于点Q，连接QB，BD，得出△PCQ为等边三角形，证明四边形PBQC是菱形，证明△ACP≌△DBQ，得出AP=DQ.则PB−PA=CD成立．本题是几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和轴对称的性质是解题的关键．。

第 1 页 共 23 页2019-2020学年北京四中八年级上期中考试数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）剪纸是中华传统文化中的一块瑰宝，下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（3分）某种流感病毒的直径在0.00 000 012米左右，将0.00 000 012用科学记数法表示应为（ ） A ．0.12×10﹣6B ．12×10﹣8C ．1.2×10﹣6D ．1.2×10﹣73．（3分）点（﹣2，3）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（3，﹣2）4．（3分）下列约分正确的是（ ） A ．m 6m =m 2 B ．b+ca+c =baC ．x 2−y 2x−y=x +yD ．x+y x=y5．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．4x 2﹣1＝（2x +1）（2x ﹣1） B ．a （x +y +1）＝ax +ay +aC ．（x +3y ）（x ﹣3y ）＝x 2﹣9y 2D ．a 2c ﹣a 2b +1＝a 2（c ﹣b ）+16．（3分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°7．（3分）使分式2x−3有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3B ．x ＞3C ．x ＜3D ．x ＝3。

2019-2020 学年度北京四中八年级上学期期中数学试卷考试时间为100 分钟试卷满分为120 分班级：姓名：学号：（A 卷共100 分）一、选择题（每题 3 分，共30 分）1、剪纸是中华传统文化中的一项瑰宝，下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2、某种流感病毒的直径在0.00 000 012 米左右，将0.00 000 012 用科学记数法表示应为（）A.0.12×10-6 B. 12×10－8C. 1.2×10－6D. 1.2×10－73、点（－2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）A. （2，－3）B.（2，3）C.（－2，－3）D.（3，－2）4、下列约分正确的是（）5、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. 4x2－1= (2x +1)(2x－1)B. a(x +y +1)= ax +a y +aB. (x +3 y)(x－3 y)= x2－9 y2 D. a2c－a2b +1= a2 (c－b)+16、若右图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1 的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°A.x ≠3B.x＞3C.x＜3D.x = 38、计算( －2ab )3的结果是（）在数学课上老师提出如下问题： 小米的做法如下： 如图：（1）作射线 O’A’；（2）以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于点 C ， 交 OB 于点 D ；（3）以点 O’为圆心，OC 为半径作弧 C’E’，交 O’A’于点 C’； （4）以点 C’为圆心，CD 为半径作弧，交弧 C’E’于 D’； （5）过点 D’作射线 O’B’. 所以∠A’O’B’就是所求作的角.尺规作图：作∠A’O’B’=∠AOB. 已知：∠AOB. 求作：∠A’O’B’=∠AOB.9、小米在用尺规作图作△ABC 边 AC 上的高 BH ，作法如下：①分别以点 D 、E 为圆心，大于1DE 的长为半径作弧，两弧交于 F ；2②作射线 BF ，交边 AC 于点 H ；③以 B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线 AC 于点 D 和 E ； ④取一点 K ，使 K 和 B 在 AC 的两侧；所以，BH 就是所求作的高，其中顺序正确的作图步骤是（ ） A. ①②③④ B. ④③②① C. ②④③① D. ④③①② 10、如图，在△ABC 中，∠C=40°，将△ABC 沿着直线 l 折叠， 点 C 落在点 D 的位置，则∠1－∠2 的度数是（ ） A. 40° B. 80° C. 90° D. 140° 二、填空题（每题 3 分，共 24 分）12、分解因式： x 2 y －4 y =.13、计算： 6x 2• y y x= .14 题图15 题图17 题图14、如图，DE 是△ABC 中 A C 边的垂直平分线，若 B C=8，AB=10，则△EBC 的周长是 .15、如图，在△ABC 中，BD 是边 AC 上的高，CE 平分∠ACB ，交 BD 于点 E ，DE=2，BC=5，则△BCE 的面积为 .17、如图，在△ABC 中，AB=3，AC=5，则 B C 边的中线 A D 的取值范围为 . 18、阅读下面材料：老师说：“小米的做法正确.”请回答：小米的作图依据是.三、解答题（共46 分，19 题10 分，20 题-25 题每题各 6 分）19、分解因式：（1）(a－b)2+3(a－b) （2）2ax2－12ax+18a20、已知，如图，点D 在△ABC 的BC 边上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E. 求证：AB=DE.23、如图，在每个小正方形的边长均为1 个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为点D，点B 的对称点为点C.24、列方程或列方程组解应用题.老京张铁路是1909 年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国第一条干线，铁路全程约210 千米，用“人”字形铁轨铺助的方式解决了火车上山的问题. 京张铁路是2022 年北京至张家口冬奥会的重点配套交通基础设施，全长约175 千米，预计2019 年底建成通车. 京张高铁的预设平均速度将是老京张铁路的5 倍，可以提前5 个小时到达，求京张高铁的平均速度.“SSA”）是否能判定两个三角形全等时，我们25、在探究两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等（设计不同情形进行探究：（1）例如，当∠B 是锐角时，如图1，BC=EF，∠B=∠E=90°，在射线EM 上有点D，使DF=AC，用尺规画出符合条件的点D，则△ABC 和△DEF 的关系是；A.全等B. 不全等C. 不一定全等图 1我们进一步发现如果能确定这两个三角形的形状，那么“SSA”是成立的.（2）例如，已知：如图，在锐角△ABC 和锐角△DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E. 求证：△ABC≌△DEF.B 卷（共 20 分）1、（本题 6 分）学农期间我们完成了每日一题，进一步研究了角的平分线. 工人师傅常用角尺平分一个任意角. 作法如下： 如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA 、OB 上分别取 OM=ON ， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M 、N 重合. 过角尺顶点 C 的射线 OC 便是∠AOB 的平分线. 我们发现利用 SSS 证明两个三角形全等，从而证明∠AOC=∠BOC. 学习了轴对称的知识后，我们知道角是轴对称图形，角平分线 所在直线就是它的对称轴，爱动脑筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线的方法. 方法如下：如图 1，将两个全等的三角形纸片△DEF 和△MNL 的一组对应边分别与∠AOB 的一边共线，同时这条边所对顶点落在∠AOB 的另一条边上，则△DEF 和△MNL 的另一组对应边的交点 P 在 ∠AOB 的平分线上.图 1图 2（1）小慧的做法正确吗？说明理由：小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画角平分线.（提示：刻度尺可以度量出相等的线段）（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图 2 中∠QRS 的角平分线.（保留作图痕迹，不写作法）2、（本题 7 分）学农期间，我们了解了任意有理数均可化为有限连分数，例如：把 3.21 化成连分数.解：整数分离：3.21=3+0.21小数化分数：3.21=3+21 100真分数部分化为分子是一的繁分数： 3.21= 3+1 100 21此时， 100 是假分数，重复以上步骤，分离其整数部分，将100 写成4+ 21，如此继续下去：21 21 16其中a 0 ， a 1 ， a 2 ， a 3都是整数.例如，将无理数 x = 3+ 13 化成无限连分数的方法如下：因为当 x = 3+ 13时，2 2x 2 = 3x +1，所以两边同时除以 x ，得x = 3+ 1，x请你仿照上例完成下列填空，将无理数.设 y = 2 +1 ①，计算(2 +1)( 2－1)=，3、（本题7 分）已知：如图，直角△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，∠CAB=∠ABC=45°，过点B 作射线BD⊥AB 于B，点P 为BC 边上任一点，在射线上取一点Q，使得PQ=AP.（1）请依题意补全图形；（2）试判断AP 和PQ 的位置关系，并加以证明.。

北京四中 2019-2020学年八年级上期中考试数学试题及答案（考试时间： 100 分钟 满分： 120 分）姓名：班级： 成绩 : ____________一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.B. C. D.2. 把多项式 a 2 4a 分解因式，结果正确的是（ ）A. a a 4B.(a 2)( a 2)C. a(a2)( a 2) D. (a 2) 243. 分式 有意义，则 x 的取值范围是（）A ．x ≠1B ．x=1C ． x ≠﹣ 1D ． x=﹣14. 点 A （ 2,3）关于 y 轴成轴对称的点的坐标是（）A ．（ 3,-2）B ．（ -2, 3）C ．（ -2,-3）D ．（ 2,-3）5. 在 △ABC 和 △A ′B ′中C ′，已知∠ A= ∠A ′， AB=A ′B ′，添加下列条件中的一个，不能 使△ ABC ≌△ A ′B ′一C ′定成立的是（ ）．．．A ．AC =A ′C ′B ． BC=B ′C ′ C ．∠ B=∠B ′D ．∠ C=∠ C ′ 6. 下列各式中，正确的是（）．A ． a b 1 bB ．x yx y abb22C ．x 31 D ．x yx 2 y 2x 29 x 3x y ( x y) 27. 等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（）ADA．12B． 15C．12 或 15D．188.如图，△ ABC中， AB＝AC，∠ A＝36°， BD是 AC边上的高，则∠ DBC的度数是（）A． 18° B ．24° C ．30° D ．36°第 8 题图9.如图，∠ 3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1 的度数为（）A．30° B ．45°C．60°D．75°10.如图，∠ BAC=130°，若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC，则∠ PAQ等于（）A．50°B．75°C．80°D．105°第 9 题图二、填空题（本题共20 分，每小题 2 分）第 10 题图11.已知某种植物花粉的直径为 35000 纳米，即 0.000035 米，把 0.000035 用科学记数法表示为 _____________________.12. 分解因式：3 2 6x3．x13．计算：(1)1 ( 2 1)0 | 3 | __ ____． C2 D14. 如图，在 Rt △ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°， AD平分∠ CAB交 BC于 D，DE⊥ AB于 E．若DE=1cm，AEB则 BC =_______ cm．第 14 题图15.如图，已知△ ABC是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE，则∠ E=_____度．第 15 题图第16题图第18题图16.如图，△ ABC中， BO、CO分别平分∠ ABC、∠ ACB，OM∥ AB，ON∥AC，BC＝10cm，则 OMN的周长＝ ______cm．17. 已知11 3 ，则代数式2x14xy 2 y = . x y x 2xy y18. 如图ABC中，平分BAC，AB 4 ， AC 2 ，且的面积为 3 ，则 ACD的面积为AD ABD。

2022北京四中初二（上）期中数 学第一部分一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1. 下列各式计算正确的是（ ）.A. ()()4224a a = B. 3262510x x x ⋅= C. ()()862c c c −÷−=−D. ()236ab ab = 2. 下列各组线段能组成三角形的是（ ）A. 5cm,8cm,12cmB. 2cm,3cm,6cmC. 3cm,3cm,6cmD. 4cm,7cm,11cm 3. 如图，在ABC 中，,AB AC AD =是ABC 的边BC 上的中线，那么可以证明ABD ACD ∆≅∆，这里证明全等所使用的判定方法是（ ）A. SASB. AASC. ASAD. SSS 4. 如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，125=∠，230∠=，则3∠=（ ）A. 60B. 55C. 50D. 无法计算 5. 如图，在由线段,,,,AB CD DF BF CA 组成的平面图形中，28D ∠=︒，则A B C F ∠+∠+∠+∠的度数为（ ）．A. 62︒B. 152︒C. 208︒D. 236︒ 6. 若15x x +=，则221x x +的值为（ ） A. 27 B. 23 C. 24 D. 37. 在ABC 中，3,5AB AC ==，延长BC 至D ，使CD BC =，连接AD ，则AD 的长度的取值范围是（ ）．A. 713AD <<B. 214AD <<C. 27AD <<D. 511AD << 8. 如图，在ABC 中，,,,65B C BF CD BD CE FDE ∠=∠==∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A. 45︒B. 70︒C. 65︒D. 50︒二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9. 在ABC 中，30A ∠=︒，45B ∠=︒，则C ∠=______________︒．10. 一个多边形的内角和是720︒，这个多边形的边数是______．11. 已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为______________．12. 已知锐角ABC ∆的一个内角是40︒，A B ∠=∠，那么C ∠的外角是______________︒．13. 若29a ka ++是一个完全平方式，则k 的值是________．14. 若x m +与22x x −+乘积中不含x 的二次项，则实数m 的值为______________．15. 如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，D 、C 、E 三点在一条直线上，且90ADC BEC ∠=∠=︒，过点C 作FC DE ⊥，且FC AD BE =+．若AFB α∠=，则DFE ∠=______________．（用含α式子表示）的16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(6,0),(0,8)A B ，P ，Q 是两个动点，其中点P 以每秒2个单位长度的速度沿折线AOB （按照A O B −−）的路线运动，点Q 以每秒5个单位长度的速度沿折线BOA （按照B O A −−）的路线运动，运动过程中点P 和Q 同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t 秒，直线l 经过原点O ，且l AB ∥，过点P ，Q 分别作l 的垂线段，垂足为E ，F ，当OPE 与OQF △全等时，t 的值为______________．三、解答题（本大题共8小题，第17题24分，第19题4分，第18，20，21题每题6分，第22，23题每题7分，第24题每题8分，共68分）17. 计算：（1）()2234x y xy ⋅−；（2）()24(3)x x y −+； （3）(2)(3)m n n m +−；（4）()3212633−+÷m m m m ；（5）(3)(3)x y x y +−−+；（6）2()a b c +−． 18. 已知2410x x −−=，求代数式22(23)()()x x y x y y −−+−−的值．19. 要求：铅笔作图（可以借助带刻度的直尺、三角板和量角器）：已知ABC ∆（如图），求作：（1）ABC ∆的中线AD ；（2）ABD ∆的角平分线DM ；（3）ACD ∆的高线CN ；（4）若3ADC ADB C C ∆∆−=（其中C 表示周长），且5AB =，则AC =______________．20. 如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上BF ＝CE ，AC ＝DF ．（1）在下列条件①∠B ＝∠E ；②∠ACB ＝∠DFE ；③AB ＝DE ；④AC ∥DF 中，只添加一个条件就可以证得△ABC ≌△DEF ，则所有正确条件的序号是 ．（2）根据已知及（1）中添加一个条件证明∠A ＝∠D ．21. 如图，在ABC 中，=45ABC ∠︒，AH BC ⊥于点H ，点D 为AH 上的一点，且DH HC =，连接BD 并延长BD 交AC 于点E ．（1）请补全图形；（2）写出BD 与AC 数量关系和位置关系并证明．22. 在乘法公式学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题：的的的图1 图2（1）如图1，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为____________________________；（2）将图2中边长为a 和b 的正方形拼在一起，B ，C ，G 三点在同一条直线上，连接BD 和BF ，若这两个正方形的边长满足5a b +=，3ab =，请求出阴影部分的面积．（3）若图1中每块小长方形的面积为6，四个正方形的面积之和为48，请直接写出图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和．23. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为BC 边上一点，DA 平分CDE ∠，且AB AE =，若2CD =，3BD =，求DE 的长．24. 喜欢动手的小马同学收集了很多套三角板，以下是他利用三角板进行的数学探究：（1）小马同学将两个大小相同的含有30︒，60︒的三角板如图1所示放置，即,,,90AB AE AC AD BC ED ACB ADE ===∠=∠=︒，连接BE 、CD 交于点F ，小马同学发现FB FE =，请给出证明：（2）小马同学将两个大小不同的等腰直角三角板如图2所示放置，即,,90AB AC AD AE EAD CAB ==∠=∠=︒，连接BE CD 、交于点F ．当DE BE =时，请写出AEC ∠与BEC ∠之间的数量关系，并证明．第二部分 附加题（共10分）25. 阅读材料：我们已经学习过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±．对于多项式222x x ++，虽然不能写成某个代数式的平方形式，但是可以写成22211(1)1x x x +++=++，即一个含x 的代数式的平方与另一个数的和的形式．更一般的，对于二次项系数不为1的二次三项式2(0)ax bx c a ++≠，它总是可以化为2()a x h k ++的形式，我们把这种代数式的恒等变形叫做配方．例如：()22224322152(1)5x x x x x +−=++−=+−，这就是一个配方的过程．根据以上内容回答下列问题：（1）代数式23121x x +−经配方可化为______________．（2）已知2244()50a a b b +−++=，那么ab 的值为______________．（3）已知x 、y 为实数，求代数式2222222022x xy y x y −++++的最小值及取到最小值时x 、y 的值． 26. 小聪和小明两位同学在学习全等三角形时积极思考，提出了以下两个问题：问题1：如图1，ABC ∆中，3AB =，2AC =，AD 是ABC ∆的角平分线，求:BD DC 的值．小聪同学经过思考，发现可以过D 作DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥于N ，利用ABD ∆与ACD ∆的面积比来解决这个问题．问题2：如图2，ABC ∆为等边三角形，点D 为ABC ∆外一点，60CDA ∠=︒，连接DB ，探究,,AD CD BD 三者之间的的数量关系．小明同学经过思考，发现可以在DA 上截取DE DC =，构造等边三角形CDE ，从而解决这个问题．（1）根据两位同学的思考，完成问题1、2的解答（直接写出结果）．（2）根据问题1、2的结论，解决下面问题：如图3，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且B ，C ，E 三点共线，连接,AE BD 交于点F ，连接FC ，设AF a =，DF b =，CF c =，若2BC CE =，直接写出23a bc −的值.参考答案一、选择题1.【答案】A【解析】【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂相除的法则计算即可．【详解】A 、()()42248a a a ==，故本项正确； B 、3252510⋅=x x x ，故本项错误； C 、()()862c c c −÷−=，故本项错误；D 、()2326ab a b =，故本项错误.故选A ．考点：单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．2.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的三边关系求解判断即可．【详解】解：A 、5+8=1312>，故选项A 中线段能组成三角形，符合题意；B 、2+3=56<，故选项B 中线段不能组成三角形，不符合题意；C 、3+3=6，故选项C 中线段不能组成三角形，不符合题意；D 、4+7=11，故选项D 中线段不能组成三角形，不符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答的关键．3.【答案】D【解析】【分析】根据中线的性质可得BD CD =，结合已知条件根据SSS 可证明ABD ACD ∆≅∆．【详解】解：∵AD 是ABC 的边BC 上的中线，∴BD CD =，在ABD ∆和ACD ∆中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴(SSS)ABD ACD ∆≅∆，故选：D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键4.【答案】B【解析】【分析】根据BAC DAE ∠=∠，可得1EAC ∠=∠，由SAS 证得BAD 与CAE 全等，得到2ABD ∠=∠，根据三角形外角和即可求解． 详解】BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠，即1EAC ∠=∠，在BAD 与CAE 中 1AB AC EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BAD ≌CAE ()SAS ，∴2ABD ∠=∠，230∠=︒，30ABD ∴∠=︒，125=∠，∴31303555ABD ∠∠=+=+∠=．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，推出BAD ≌CAE 是解题的关键． 5.【答案】C【解析】【分析】如图标记1,2,3，然后利用三角形的外角性质得13B F D ∠=∠+∠=∠+∠，2A C ∠=∠+∠，再利用2,3∠∠互为邻补角，即可得答案．【详解】解：如下图标记1,2,3，13B F D ∠=∠+∠=∠+∠，28D ∠=︒，328B F ∴∠=∠+∠−︒，又2A C ∠=∠+∠，2328A C B F ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠−︒，23180∠+∠=︒18028A C B F ∴︒=∠+∠+∠+∠−︒，18028208A C B F ∴∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒，故选C ．【【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】利用完全平方公式：222()2a b a ab b +=++，进行计算即可得解． 【详解】解：15x x +=， 22211225x x x x ⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭， 22125223x x ∴+=−=； 故选B ．【点睛】此题考查完全平方公式，熟练掌握并运用完全平方公式是解答此题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】画出图形，延长AC ，使CE AC =，连接DE ，证明ABC EDC △≌△得到3DE AB ==，再利用三角形的三边关系求解即可．【详解】解：如图，延长AC ，使CE AC =，连接DE ，在ABC 和EDC △中，AC CE ACB ECD BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABC EDC SAS ≌，∴AB DE =，∵3AB =，5AC =，∴210AE AC ==，3DE =，∴103103＜＜AD −+，即713＜＜AD ，故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形解决问题是解答的关键．8.【答案】D【解析】【分析】证明≌BDF CED 得到BFD CDE ∠=∠，利用三角形的外角性质得到65B FDE ∠=∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：在BDF 和CED △中，BF CD B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BDF CED SAS ≌，∴BFD CDE ∠=∠，∵FDC FDE CDE B BFD ∠=∠+∠=∠+∠，又65FDE ∠=︒，∴65B FDE ∠=∠=︒，∴180250A B ∠=︒−∠=︒故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，证明BDF CED △≌△是关键．二、填空题9.【答案】105【解析】【分析】根据三角形的内角和是180︒求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，30A ∠=︒，45B ∠=︒，∴180105C A B ∠=︒−∠−∠=︒，故答案为：105．【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180︒是解答的关键．10.【答案】6##六【解析】【分析】设这个多边形的边数为n ，根据多边形的内角和定理得到（n ﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n ，则（n ﹣2）×180°＝720°，解得n ＝6，故这个多边形为六边形．故答案是：6．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n 边形的内角和为（n ﹣2）×180°解答． 11.【答案】6或8##8或6【解析】【分析】分两种情况进行讨论：①当腰长为6时；②当底边长为6时，分别进行求解即可．【详解】解：设底边长为x ，腰长为y ，则220x y +=，①当腰长6y =时，2620x ∴+⨯=，8x ∴=；三边长分别为6，6，8能构成三角形，符合题意；故8x =；②当底边长6x =时，6220y ∴+=，7y ∴=；三边长分别7，7，6能构成三角形，符合题意；故6x =；综上所述，6x =或8x =；故答案为：6或8．【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的构成与一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形三边的关系与分类讨论是解答此题的关键． 12.【答案】80或140##140或80【解析】【分析】分两类情况分析：①当40A B ∠=∠=︒时；②当40ACB ∠=︒时．然后利用三角形的外角性质与邻补角的意义进行求解即可．【详解】解：如图所示，ACD ∠是ACB ∠的外角，①当40A B ∠=∠=︒时，80ACD A B ∠=∠+∠=︒；②当40ACB ∠=︒时，180140ACD ACB ∠=︒−∠=︒；∴ACB ∠的外角为80︒或140︒；故答案为：80或140．【点睛】此题考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质、邻补角的意义以及分类讨论的思想方法是解答此题的关键．13.【答案】6±【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值． 【详解】解：29a ka ++是一个完全平方式，即22233a a ±⨯+是一个完全平方式，6k ∴=±故答案为：6±【点睛】本题考查了完全平方式，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的 2倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．14.【答案】1【解析】【分析】利用多项式与多项式相乘，展开后合并同类项，再令含x 的二次项系数为0，求解即可． 【详解】解：2()(2)x m x x +−+=32222x x x mx mx m −++−+=32(1)(2)2x m x m x m +−+−+乘积中不含x 的二次项，10m ∴−=，1m ∴=；故答案为：1．【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘积，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则与合并同类项是解答此题的关键．15.【答案】90α︒−##90α−+︒【解析】【分析】连接AE ，BD ，先证明ADC CEB ≅, 再证CDF EBD ≅,可得到BDF 是等腰直角三角形，则45BFD ∠=︒，再证ADE ECF ≅，得AEF △是等腰直角三角形，得45AFE ∠=︒，由DFE BFD AFE AFB ∠=∠+∠−∠可得到答案．【详解】解：如图所示，连接AE ，BD ，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，∵90ADC BEC ∠=∠=︒，∴90DAC ACD ∠+∠=︒，∴=DAC BCE ∠∠，∵AC BC =，=90ADC CEB ∠∠=︒，∴ADC CEB ≅（AAS ）,∴AD CE =，CD BE =，=ACD CBE ∠∠，∴DE CE CD AD BE =+=+，∵CF AD BE =+，∴DE CF =，∵CF DE ⊥，∴=90BED DCF ∠∠=︒，∴CDF EBD ≅（SAS ）,∴DF BD =，CFD EDB ∠=∠，∴90BDF CDF EDB CDF CFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴BDF 是等腰直角三角形，∴45BFD ∠=︒，∵AD CE =，=90ADE ECF ∠∠=︒，DE CF =，∴ADE ECF ≅（SAS ）,∴=AED EFC ∠∠，AE EF =，∴90AEF CEF AED CEF EFC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴AEF △是等腰直角三角形，∴45AFE ∠=︒，∵AFB α∠=，∴454590DFE BFD AFE AFB αα∠=∠+∠−∠=︒+︒−=︒−．故答案为：90α︒−．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键．16.【答案】23或2或6 【解析】【分析】根据题意可分三种情况：①点P 在OA 上，点Q 在OB 上；②点P 、Q 都在OA 上，③点P 在OB 上，点Q 在点A 处，可画出对应图形，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：根据题意，6OA =，8OB =，当点P 运动到点O 时，623t =÷=，当点P 运动到点B 时，()6827t =+÷=，点Q 运动到点O 时，8855t =÷=，点Q 运动到点A 时，()148655t =+÷=， 故可分三种情况：①点P 在OA 上，点Q 在OB 上，如图，当OPE 与OQF △全等时OP OQ =，∵62OP t =−，85OQ t =−，∴6285t t −=−，解得：23t =； ②点P 、Q 都在OA 上，如图，当OPE 与OQF △全等时，点P 、Q 重合，即OP OQ =，∵62OP t =−，58OQ t =−，∴6258t t −=−，解得：2t =；③点P 在OB 上，点Q 在点A 处，如图，当OPE 与OQF △全等时OP OA =，则266t −=，解得：6t =，综上，满足条件的t 值为23或2或6， 故答案为：23或2或6． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、坐标与图形、一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想解决动点问题是解答的关键．三、解答题17.【答案】（1）474x y （2）32124xyx −−（3）226m mn n −++（4）2421m m −+（5）2269x y y −+−（6）222222a ab ac b bc c +−+−+【解析】【分析】（1）先算积的乘方，再做单项式的乘法即可；（2）利用单项式乘多项式法则计算即可；（3）利用多项式乘多项式的法则计算即可； （4）利用多项式除以单项式的法则计算即可；（5）变形后用完全平方公式展开即可；（6）变形后用完全平方公式展开即可．【小问1详解】解：()2234x y xy ⋅−2264x y x y =⋅474x y =；【小问2详解】的解：()24(3)x x y −+ 32124x x y =−−；【小问3详解】解：(2)(3)m n n m +−22362mn m n mn =−−+226m mn n =−++；【小问4详解】解：()3212633−+÷m m m m 2421m m =−+；【小问5详解】解：(3)(3)x y x y +−−+()()33x y x y =+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()223x y =−−2269x y y =−+−；【小问6详解】解：2()a b c +− ()2a b c =+−⎡⎤⎣⎦ ()()222a a b c b c =+−+−222222a ab ac b bc c =+−+−+．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键． 18.【答案】12【解析】【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将241x x −=整体代入求值．【详解】解：∵2410x x −−=，∴241x x −=．∴22(23)()()x x y x y y −−+−−22224129x x x y y =−+−+−23129x x =−+()2349x x =−+139=⨯+12=．19.【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解； （3）答案见详解；（4）8．【解析】【分析】（1）用刻度尺确定边BC 的中点D ，连接AD 即可；（2）利用量角器量出ADB ∠的度数，再求12ADB ∠度数，确定ADB ∠的平分线交AB 于点M ，则DM 即为所求；（3）过点C 作CN AD ⊥交AD 延长线于N ，则CN 即为所求；（4）根据已知列式计算即可．【小问1详解】解：如下图所示，线段AD 即为所求的ABC ∆的中线；【小问2详解】解：如下图所示，线段DM 即为所求的ABD ∆的角平分线；【小问3详解】解：如下图所示，线段CN 即为ACD ∆的高线；【小问4详解】 解：3ADC ADB C C ∆∆−=，∴3AC AD CD AD BD AB ++−−−=，CD BD =，3AC AB ∴−=，5AB =，8AC ∴=．故答案为：8．【点睛】此题考查了三角形的中线、角平分线、高线的作法，三角形的周长等知识，熟练掌握三角形的中线、角平分线与高线的作图方法是解答此题的关键．20.【答案】（1）②③④；（2）添加条件∠ACB ＝∠DFE ，理由详见解析．【解析】【分析】（1）由全等三角形的判定方法即可得出答案；（2）答案不唯一，添加条件∠ACB ＝∠DFE ，证明△ABC ≌△DEF （SAS ）；即可得出∠A ＝∠D ．【详解】解：（1）①在△ABC 和△DEF 中，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∠B ＝∠E ，不能判定△ABC 和△DEF 全等；②∵BF ＝CE ，∴BF +CF ＝CE +CF ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；③在△ABC 和△DEF 中，AC DF BC EF AB DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）；④∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，在△ABC 和△DEF 中，AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；故答案为：②③④；（2）答案不唯一．添加条件∠ACB ＝∠DFE ，理由如下：∵BF ＝EC ，∴BF +CF ＝EC +CF ．∴BC ＝EF ．在△ABC 和△DEF 中，AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；∴∠A ＝∠D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】（1）图见解析 （2）BD AC =，BD AC ⊥，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题设描述补全图形即可；（2）证明≌AHC BHD 得到AC BD =，ACH BDH ∠=∠，进而可证明90AEB ∠=︒即可得出结论．【小问1详解】解：补全图形如图所示：【小问2详解】解：BD AC =，BD AC ⊥．理由：∵AH BC ⊥于点H ， =45ABC ∠︒，∴90AHB AHC ∠=∠=︒，9045BAH ABC ∠=︒−∠=︒，∴ABH BAH ∠=∠，∴ AH BH =，∵DH CH =，90AHC BHD ∠=∠=︒∴AHC BHD SAS ≌（）， ∴AC BD =， ACH BDH ∠=∠∵BDH ADE ∠=∠，∴ACH ADE ∠=∠，∵90ACH DAE ∠+∠=︒，∴90ADE DAE ∠+∠=︒∴90AEB ∠=︒，∴BD AC ⊥．【点睛】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、垂直定义，证明△≌AHC BHD 是关键．22.【答案】（1）()()2222=225m n m n m n mn ++++ （2）8 （3）36【解析】【分析】（1）根据图象分别用两种方法表示出大长方形的面积即可求解；（2）根据题意用正方形ABCD 的面积加上正方形ECGF 的面积减去ABD △和BGF 面积求解即可； （3）由题意可得6mn =，222248m n +=，进而得到6m n +=，然后表示出所有裁剪线（虚线部分）的长度之和，进而求解即可．【小问1详解】大长方形的面积可以表示为()()22m n m n ++，大长方形的面积还可以表示为22225m n mn ++，∴()()2222=225m n m n m n mn ++++ 故答案为：()()2222=225m n m n m n mn ++++； 【小问2详解】=ABD BGF ABCD ECGF S S S S S +−−阴影正方形正方形2221122a b a b a b 222111222a b ab b =+−− 22111222a b ab =+− ()2212a b ab =+− ()221232a b ab ab =++− ()21322a b ab =+− ∵5a b +=，3ab =， ∴原式2132595382222=⨯−⨯=−=； 【小问3详解】∵每块小长方形的面积为6，四个正方形的面积之和为48，∴6mn =，222248m n +=∴()2222241236m n m mn n +=++=+= ∵>0m n +∴6m n +=∴裁剪线长为2(2)2(2)6636m n m n m n +++=+=∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为36 cm【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 23.【答案】7【解析】 【分析】过点A 作AF DE ⊥于点F ，根据AAS 可证明ACD AFD ∆≅∆得2DE CD ==，AF AC =，再根据HL 证明Rt Rt ABC AEF ∆≅∆得5EF BC BD DC ==+=，从而可求出DE 的长．【详解】解：过点A 作AF DE ⊥于点F ，如图，∴90AFD AFE ∠=∠=︒,∵90ACB ∠=︒，∴AFD AFE ACB ∠=∠=∠；∵2CD =，3BD =，∴325BC BD CD =+=+=．∵DA 平分CDE ∠，∴ADC ADF ∠=∠在ACD ∆和AFD ∆中AFD ACD ADC ADF AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD AFD ∆≅∆(AAS)∴2DE CD ==，AF AC =，在Rt ABC ∆和Rt AEF ∆中，AC AF AB AE =⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ABC AEF ∆≅∆(HL)，∴5EF BC ==，∴257DE DF EF =+=+=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．24.【答案】（1）见解析 （2）45AEC BEC ∠+∠=︒，证明见解析 【解析】【分析】（1）连接AF ，在DF 上找点G ，使得EG ED =，利用等腰三角形的性质和判定得到条件，证明EGF BCF ≅，即可得到结论；（2）证明CAD BAE ≅△△（SAS ）,再证得45DEC DEA AEC AEC ∠=∠+∠=︒+∠，得到4590AEC BEC ︒+∠+∠=︒，结论得证．【小问1详解】证明：如图1，连接AF ，在DF 上找点G ，使得EG ED =，∵,BC ED =∴BC EG =，∵30BAC EAD ∠=∠=︒，∴BAC CAE EAD CAE ∠+∠=∠+∠，∴BAE CAD ∠=∠，∵,AB AE AC AD ==，∴ABE 和ACD 都是等腰三角形， ∴()11802ACD ADC CAD ∠=∠=︒−∠，()11802ABE AEB BAE ∠=∠=︒−∠， ∴ACD ADC ABE AEB ∠=∠=∠=∠，∵EG ED =，∴DEG △是等腰三角形，∵90ADE ∠=︒，∴90EGD EDG ADE ADC ADC ∠=∠=∠−∠=︒−∠，∴()1801809090EGF EGD ADC ADC ∠=︒−∠=︒−︒−∠=︒+∠，∵90ACB ∠=︒，∴90BCF ACB ACD ADC ∠=∠+∠=︒+∠，∴EGF BCF ∠=∠，在EGF △和BCF △中，EGF BCF EFG BFC EG BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EGF BCF ≅（AAS ），∴FB FE =．【小问2详解】45AEC BEC ∠+∠=︒，证明如下：如图2，∵90EAD CAB ∠=∠=︒，∴EAD EAC CAB EAC ∠+∠=∠+∠，∴CAD BAE ∠=∠，在CAD 和BAE 中，AD AE CAD BAE AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD BAE ≅△△（SAS ），∴ADC AEB ∠=∠，CD BE =，∵12∠=∠，190ADC ∠+∠=︒，∴290AEB ∠+∠=︒，∴90EFD ∠=︒，∴90CFE ∠=︒，∴90DCE BEC ∠+∠=︒，∵DE BE =，∴DE CD BE ==，∴DCE DEC ∠=∠，∴90DEC BEC ∠+∠=︒，∵45DEC DEA AEC AEC ∠=∠+∠=︒+∠，∴4590AEC BEC ︒+∠+∠=︒，∴45AEC BEC ∠+∠=︒．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明EGF BCF ≅和CAD BAE ≅△△是解题的关键．第二部分25.【答案】（1）()23213x +− （2）1−（3）代数式的最小值为2017，此时2x =−，=3y −【解析】【分析】（1）仿照例子配方求解即可；（2）给a 、b 分别配方后，利用非负性求出a 、b 即可求解；（3）根据代数式结构进行配方，再利用非负性求解最值即可．【小问1详解】解：23121x x +−()234413x x =++−()23213x =+−，故答案为：()23213x +−；【小问2详解】解：∵2244()5a a b b +−++=2244144a b a b +−+++ ()()22212a b =++−，∴()()222120a b ++−=，又()2210a +≥，()220b −≥， ∴210a +=，20b −=， 解得：12a =−，2b =， ∴1212ab ⎛⎫=−⨯=− ⎪⎝⎭， 故答案为：1−；【小问3详解】解：2222222022x xy y x y −++++ 2222222022y y xy x x =+−+++()()()22222111222022y x y x x x x =+−+−−−+++ ()221412022y x x x =+−++−+()()22122017y x x =+−+++，∵()210y x +−≥，()220x +≥，∴当10y x +−=且20x +=时，()()22122017y x x +−+++有最小值，最小值为2017，此时2x =−，=3y −，即代数式2222222022x xy y x y −++++的最小值为2017，此时2x =−，=3y −． 【点睛】本题考查配方法的应用，灵活运用完全平方公式，会利用平方式的非负性求解是解答的关键．26.【答案】（1）32；AD BD CD =+； （2）13． 【解析】 【分析】（1）问题1：过D 作DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥于N ，再证AMD AND ∆∆≌，得DM DN =，然后通过计算ABD ∆与ACD ∆的面积比即可得出答案；问题2：在DA 上截取DE DC =，构造等边三角形CDE ，再证明BCD ACE ∆∆≌，从而得出答案； （2）先证明(SAS)BCD ACE ∆∆≌，得60AFB ∠=︒，然后直接利用问题1与问题2的结论即可求解．【小问1详解】问题1：解：如图1，过D 作DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥于N ，过点A 作AH BC ⊥于H ，90AMD AND ∴∠=∠=︒，,BAD CAD AD AD ∠=∠=，()ΔΔAMD AND AAS ∴≌，DM DN ∴=， 又Δ1122ABD S BD AH AB DM =⋅=⋅， Δ1122ACD S CD AH AC DN =⋅=⋅， BD CD AB AC∴=， 3,2AB AC ==，3:3:22BD CD ∴==；问题2：解：AD CD BD =+；理由如下：如图2所示，在DA 上截取DE DC =，60ADC ∠=︒，DCE ∴∆为等边三角形，,60CD CE DCE ∴=∠=︒，DCE ACB ∴∠=∠，∴∠=∠DCB ECA ，又,AC BC CD CE ==，(SAS)BCD ACE ∴∆∆≌，BD AE ∴=，120BDC AEC ∠=∠=︒，60BDA ∴=︒，AD AE DE BD CD ∴=+=+，即AD BD CD =+；【小问2详解】 解：ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且B ，C ，E 三点共线，∴,,AC BC CE CD ACB DCE ==∠=∠，BCD ACE ∴∠=∠，(SAS)BCD ACE ∴∆∆≌，DBC EAC ∴∠=∠，又APF BPC ∠=∠，60AFB ACB ∴∠=∠=︒，由问题2的结论可知：BF AF CF =+即BF a c =+，同理，可得EF CF FD =+即EF b c =+，由问题2中证明过程可知：60AFB BFC ∠=∠=︒，60BFC CFE ∴∠=∠=︒，由问题1的结论可知：2BF BC EF CE==，2a c b c+∴=+， 2a b c ∴−=， 21333a b c c c −∴==． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的探究与应用，通过全等三角形的研究得到两个两个新的结论，然后运用这两个新的结论去解决问题是解答此题的难点和关键.。

数学试卷（时间：100分钟 满分：120分）班级： 分层班级： 姓名： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个汽车标志图中，不是．．轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111y y y -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=++3. 在平面直角坐标系中，点A ，点B 关于y 轴对称，点A 的坐标是()28,-，则点B 的坐标是（ ）． A ．()28,-- B ．()28, C ．()28,- D ．()82,4. 已知3x =是分式方程31kx =-的解，那么实数k 的值为（ ）． A ．1 B ．32C ．6D ．95. 如图，已知△ABC ≌△DCB ，AB =10，∠A =60°，∠ABC =80°，那么下列结论中错误的是（ ）． A ．∠D =60° B ．∠DBC =40° C ．AC =DB D ．BE =106. 下列算式中，你认为正确的是（ ）．A ．1b a a b b a -=---B ．11b aa b÷⋅=C ．1133a a -= D ．()22211a b a b a b a b -⋅=-++ 7. 在三角形内，到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）．A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条中线的交点8. 某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）．A ．()120012002120x %x -=+ B ．()120012002120%x x -=- C ．()120012002120%x x -=+ D ．()120012002120x %x-=-9. 对于非零实数a 、b ，规定11a b b a⊗=-，若()2211x ⊗-=，则x 的值为（ ）． A ．56 B ．54 C ．32 D ．16-10. 如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足BD =CD ，∠DBC =∠DCB ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ； ②CE =AB +AE ； ③∠BDC =∠BAC ； ④∠DAF =∠CBD ． 其中正确的结论有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（每小题2分，共16分）11. 若分式21x x -+的值为0，则x 的值为 ．12. 23-= ；用科学记数法表示= ．13. 化简：224816x x x x --+ = ．14. 若2226100a b a b +--+=，则a b += ．15. 如图，AC =DC ，BC =EC ，请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC ≌△DEC ．（第15题图） （第16题图）ABCDEF16. 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CF ⊥AE ，垂足为点F ，过点B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D ，BD =2，则△ABE 的面积为 ．17. 若关于x 的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．18. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l 和l 外一点P ．（如图18-1） 求作：直线l 的垂线，使它经过点P ． 作法：如图18-2．（1）在直线l 上任取两点A ，B ；（2）分别以点A ，B 为圆心，AP ，BP 长为半径作弧，两弧相交于点Q ； （3）作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是． （图18-1） （图18-2）三、解答题19. （8分）将下列各式因式分解：（1）221218x x -+； （2）()2x a b a b --+．20. （5分）先化简22144111x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，再选一个适当的数代入求值．21. （5分）解分式方程：2311xx x x +=--．22. （5分）如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，BE ∥DF ，∠A =∠F ，AB =FD ．求证：AE =FC ．23. （6分）下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=，原式=()()264y y +++()()2222816444y y y x x .=++=+=-+（1）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x --++进行因式分解．24. （6分）如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ． （1）请你利用尺规作图作出点D ；（2）过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AB =6，AC =3，则BE = ．25. （5分）列方程或方程组解应用题：为了响应市政府“绿色出行”的号召，小张上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知小张单位与他家相距20千米，上下班高峰时段，自驾车的平均速度是自行车平均速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多23小时．求自驾车平均速度和自行车平均速度各是多少？ABC26.（7分）如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，与AC交于点G，连接CF．（1）BD和AE的大小关系是，位置关系是；请给出证明；（2）求证：CF平分∠BFE．27. （7分）三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D 在BC 所在直线上运动，连接AD ，在AD 所在直线的右侧作∠DAE =60°，交△ABC 的外角∠ACF 的角平分线所在直线于点E ． （1）如图27-1，当点D 在线段BC 上时，请你猜想AD 与AE 的大小关系，并给出证明；（2）如图27-2，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．（图27-1） （图27-2）附加卷（20分）1. （4分）分解因式：（1）2244x y y -+-= ；（2）2244243x xy y x y -+-+-= ． 2. （4分）若关于x 的分式方程7311mxx x +=--无解，则实数m = ．3. （4分）阅读下面材料，并解答问题．将分式42231x x x +--拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为21x -，可设()()422231x x x x a b +-=-++.则()()422242231x x x x a b x x ax a b +-=-++=-+-+()421x a x a b =+--+11231a a ,a b b -==⎧⎧∴∴⎨⎨-+=-=-⎩⎩()()()()()22224222222212112311211111x x x x x x x x x x x x -+--++-∴==-=+------ 这样，分式42231x x x +--被拆分成了一个整式22x +与一个分式211x -- 的和． 根据上述作法，将分式422681x x x +--拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．4. （8分）如图4-1，点A 、D 在y 轴正半轴上，点B 、C 分别在x 轴上，CD平分∠ACB ，与y 轴交于D 点，∠CAO =90°﹣∠BDO ． （1）求证：AC =BC ；（2）如图4-2，点C 的坐标为（4，0），点E 为AC 上一点，且∠DEA =∠DBO ，求BC +EC 的长；（图4-1） （图4-2）（3）如图4-3，过D 作DF ⊥AC 于F 点，点H 为FC 上一动点，点G 为OC 上一动点，当H 在FC 上移动、点G 在OC 上移动时，始终满足∠GDH =∠GDO +∠FDH ，试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．（图4-3）参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．C 5．D6．D 7．B 8．A 9．A 10．D二、填空题11．2 12．19，431410.-⨯ 13．4x x - 14．4 15．AB DE =，或ACB DCE ∠=∠，或ACD BCE ∠=∠16．4 17．6m <且2m ≠18．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线三、解答题19．（1）()223x -； （2）()()()11a b x x -+- 20．12x x +-，选取的值不能是12,± 21．3x = 22．证()ABE FDC ASA ∆∆≌23．（1）不彻底；()42x - ；（2）设22x x y -=，则原式=()()()()2242211211y y y x x x ++=+=-+=- 24．（2）25．自驾车的平均速度为30km/h ，自行车的平均速度为15km/h26．（1）BD AE,BD AE =⊥，证明：∵BC ⊥CA ，DC ⊥CE ，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCD=∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，，∴△ACE ≌△BCD ；∴∠CBD=∠CAE ，∵∠BGC=∠AGE ，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴BF ⊥AE ；（2）过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，法1：∵△BCD ≌△ACE ，∴AE=BD ，S △ACE =S △BCD ，∴CH=CI ，∴CF 平分∠BFH ．法2：可证△BCI ≌△ACH ．27．（1）证60B ACE ,BAD CAE,AB AC ∠=∠=∠=∠= ⇒ ABD ACE ∆∆≌；（2）证120ABD ACE ,∠=∠= BAD CAE ∠=∠， AB=AC ⇒ ABD ACE ∆∆≌．附加卷1．（1）()()22x y x y +--+；（2）()()2321x y x y ---+.2．7或33．()()224222221716817111x x x x x x x x -+-+-==+---- 4． （1）证明：∵∠CAO=90°﹣∠BDO ，∴∠CAO=∠CBD ．又∵，CD=CD ， ∴△ACD ≌△BCD （AAS ）． ∴AC=BC ．（2）解：过D 作DN ⊥AC 于N 点，如右图所示： ∵∠ACD=∠BCD ，∠DOC=∠DNC=90°，CD=CD∴△DOC ≌△DNC （AAS ），∴DO=DN ，OC=NC.又∵∠DEA=∠DBO ，∠DOB=∠DNC=90° y xB DO C A∴△BDO≌△EDN（AAS），∴BO=EN．∴BC+EC=BO+OC+NC﹣NE=2OC=8．（3）GH=FH+OG．证明：由（1）知：DF=DO，在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，如右图所示：在△DFH和△DOM中，∴△DFH≌△DOM（SAS）．∴DH=DM，∠1=∠ODM．∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM．在△HDG和△MDG中，∴△HDG≌△MDG（SAS）．∴MG=GH，∴GH=OM+OG=FH+OG．yxFDO CAGHM12。