第二讲 随机事件及其运算

§1.1 随机事件及其运算1.随机现象概率论的研究对象是随机现象。

在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。

只有一个结果的现象叫做确定性现象。

随机现象随处可见。

有的随机现象可以在相同条件下重复，如抛硬币，掷骰子，测量一物体的质量。

也有很多随机现象是不能重复的，比如经济现象（如失业，经济增长速度等）大多不能重复. 在相同条件下重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验.概率论主要研究能重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象。

2.样本空间数学理论的建立总是需要首先给出一些原始的无定义的概念（例如，“点”和“直线”是欧氏几何的公理化处理中无定义的概念）。

在概率论中，第一个“无定义”的原始概念是“样本点”，随机现象的基本结果称为样本点，用ω表示样本点；而随机现象的一切样本点组成的集合称为样本空间，记为}{ωΩ.=在具体的随机现象或试验中, 有的凭“实际经验”可确定样本点和样本空间,有的需要“数学的理想化”去确定样本点和样本空间,样本点和样本空间的确定也与试验观察或记录的是什么有关.例1 考虑试验:掷一骰子,观察出现的点数.根据“实际经验”,该试验的基本结果有6个:1,2,3,4,5,6,从而其样本空间为}6,5,4,3,2,1{Ω.=例 2 考虑试验:观察一天內进入某商场的人数. 一天內进入某商场的人数是非负整数,但由于不知道最多的人数和最少的人数,我们把该试验的样本空间“理想化”地定为...}Ω3,2,1,0{=例3考虑试验:考察一个元件的寿命.为了数学上处理方便, 我们把该试验的样本空间“理想化”地定为)=Ω.,0[+∞例4 对于试验:将一硬币抛3次.若我们记录3次正反情况,则样本空间为THHTHTHTHHTTΩ;若我们记录正面出现的TTH=HHHHHT,{TTT,},,,,,次数,则样本空间为}3,2,1,0{Ω.=若样本空间中的元素个数是有限个或可列个,我们称此样本空间为离散样本空间.3.随机事件有了样本空间后,我们可给出随机事件的概念.直观上说, 随机事件是随机现象中可能发生也可能不发生的事件.例如,在掷骰子试验中,“出现偶数点”是可能发生也可能不发生的,因此它是随机事件,而且当试验出现的基本结果是2或4或6时该事件就发生了,否则该事件就不发生.一个事件是否发生了应当能由试验出现的基本结果判定,因此一个事件可以由能使其发生的那些基本结果组成.换言之, 随机事件可以由一个或多个样本点组成的集合来表示.因此有下面概念.样本空间的子集称为随机事件,简称为事件,常用大写字母A,B,C,…表示.事件A发生当且仅当试验出现的基本结果属于A.若一事件是由单个样本点组成,则称该事件为基本事件;由2个或2个以上样本点组成的事件称为复合事件.由全体样本点组成的事件称为必然事件,必然事件就是样本空间Ω本身.显然, 必然事件是必定发生的事件.空集Φ作为样本空间Ω的子集也是事件,称此事件为不可能事件,不可能在任一次试验中都不会发生.以后在理论上讨论概率论问题时，我们总是假定样本空间已经给定，而随机事件就是该样本空间的子集。

5. 事件的差 不出现” 事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与 B 的差事件，记作 A- B。 差事件， 。 事件“长度合格但直径不合格” 实例 事件“长度合格但直径不合格”是事件 长度合格”与事件“直径合格”的差。 “长度合格”与事件“直径合格”的差。 的差： 以下两图表示 A 与 B 的差： 当 B ⊄ A时 A
推广 称 U Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , L, An 的和事件, 即
A1 , A2 , L, An 至少发生一个；
k =1
n
称 U Ak 为可列个事件 A1 , A2 , L 的和事件 , 即 A1 , A2 , L 至少发生一个。
3. 事件的积 交) 事件的积(交
k =1
∞
" 事件 A、 事件 B同时发生 "的事件 , 称为 事件 A 与 B 的积事件, 记作 A I B。显然 积事件, A I B = {e | e ∈ A而且 e ∈ B}。
A
AB
B S
推广 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , L , An 的积事件,
n
即A1 , A2 , L, An同时发生；
称
k =1
∞
IA
k =1
k
为可列个事件 A1 , A2 , L 的积事件 ,
即 A1 , A2 , L 同时发生。
和事件与积事件有下述运算性质： 和事件与积事件有下述运算性质：
A U A = A, A I A = A,
A ∪S = S ， A ∩S = A ，
A U ∅ = A,
A I ∅ = ∅.
4. 事件的互不相容 (互斥 事件的 互斥) 互斥 若事件 A 、B 满足 A I B = AB = ∅, 则称 互不相容。 事件 A与B互不相容。 与 互不相容 抛掷一枚硬币, 出现正面 出现正面” 实例 抛掷一枚硬币 “出现正面” 与 “出现背 面” 是互不相容的两个事件。 是互不相容的两个事件。 互不相容

来计算概率的模型称为古典概型。
例：箱中装有 5 件产品，其中 有 2 件次品。为检查产品质量， 从中任取 3 件，问所取 3 件中恰 有 1 件次品的概率？
解：从5 件产品中任取 3 件，共 有 c
3 5
种等可能取法，每次只能取
其中的一种取法，而 3 件中恰有 1 件次品（表示为A）的取法总共有
频率的定义
若随机事件 A 在 n 次重复试验 中出现了 m 次，则称比值 m/n 为事件 A出现的频率。
m f(A) = n
也是随机的！
注意：在相同条件下进行大量重复 试验，随机事件发生的可能性就会 出现一定的统计规律性。事件出现 的频率会在某一常数附近摆动，这 就叫做频率的统计稳定性。
投掷硬币试验
A B
对立关系
若事件 A 与 B 有一个发生且仅有 一个发生，即： AB = Φ, A + B = Ω ， 则称事件 A 与 B 互为对立事件， 记做： A = B 及 B = A 。
A B
并事件
若事件 C 表示 A、B 中至少有一个发 生，则称事件 C 为 A 与 B 的并事件， 记做： A + B；类似的，n 个事件的并 事件记做： A = ∑i=1 Ai 。
§2.3.1 概率的加法公式
基本定理： 若事件 A, B 为互不相容 的随机事件，则有：
P(A + B) = P(A) + P(B)
推论1：若 A1,L, An 互不相容，则：
P(A1 + A 2 + L + An ) = P(A1) + L + P(An )
推论2：若 A1,L, An 互不相容，且：
A⋅B ⋅C
•A与B发生，而C不发生；

一、随机现象与随机试验
1.确定性现象
在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
2.随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称 为随机现象.
注：
1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系, 其数量关系无法用函数加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 这种本质规律的一门数学学科.
S4 { NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DND, DDN , DDD}
E5：“在一大批电视中任意抽取一台，测试其寿命”.
S5 {t | t 0}
思考： 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”：
观察正面、反面出现的情况,样本空间是什么？
观察出现正面的次数, 则样本空间是什么？
2. 随机试验通常用 来E表示.
二、样本空间 样本点
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称 为 E 的样本空间, 记为 S . 样本空间的元素, 即试验 E 的每一个结果, 称为样本点.
说明 1.试验不同, 对应的样本空间也不同. 2.同一试验, 若试验目的不同, 则对应的样本 空间也不同.
B
Ω
A
表示事件 A 发生必然导致事件 B 发生. （文氏图）
[注] 1. 若 A B 且 B A , 则称事件 A 与事件 B 相等.
记作：A B
2. A Ω .
2. 和事件
事件
称为事件 A 与事件 B 的和（或并），
Байду номын сангаас
A
记作：
表示：事件 A 、B 中至少有一个发生时，事件