1.1随机事件及其运算

第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。

是人们通常说的偶然现象。

其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。

对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。

样本空间: 概率论术语。

我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。

样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。

随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。

互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。

互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。

§1.1 随机事件及其运算1.随机现象自然界和社会上发生的现象多种多样.有些现象,我们可以准确预言他们在一定条件会出现何种结果,例如“在标准大气压下,纯水加热到C ︒100时必定沸腾”等等,这类现象我们称为确定性现象.然而自然界和社会上还有许多现象,他们在一定条件下，并不总是出现相同结果,而且事先我们无法准确预言会出现何种结果, 这类现象我们称为随机现象.随机现象随处可见。

如抛一枚硬币，其结果可能是正面朝上,也可能反面朝上,而且在出现结果之前无法准确预言会出现何种结果.再比如用一仪器在相同条件下测量一物体的质量,各次测量结果会有差异,等等。

有的随机现象可以在相同条件下重复,也有很多随机现象是不能重复的，比如经济现象（如失业，经济增长速度等）大多不能重复. 对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验.对于这类随机现象，我们常常通过多次重复的随机试验，观察其出现的结果，以期发现随机现象的规律性。

长期的实践经验表明，在大量重复试验下,随机现象的结果的出现往往呈现出某种规律性.例如大量重复抛一枚硬币,正面出现的次数与反面出面出现的次数大致相当,等等.这种在大量重复试验中所呈现的规律性就是我们以后常说的统计规律性.概率论与数理统计的研究对象是随机现象,研究和揭示随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计主要研究能重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象.2.样本空间数学理论的建立总是需要首先给出一些原始的无定义的概念（例如，“点”和“直线”是欧氏几何的公理化处理中无定义的概念）。

在概率论中，第一个“无定义”的原始概念是“样本点”，这一原始概念又联系着另一原始概念“随机试验”.概率论中所说的随机试具有下述特点:(1)可以在相同条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先能明确试验的所有可能的结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪个结果会发生.随机试验的可能结果称为样本点，用ω表示样本点；而随机试验的一切样本点组成的集合称为样本空间，记为}{ω=Ω.在具体问题中,认清“样本空间是哪些样本点构成的”是十分重要的. 有些随机试验凭“经验”可确定样本点和样本空间,有些随机试验需要“数学的理想化”去确定样本点和样本空间.样本点和样本空间的确定也与研究目的有关,或者说与观察或记录的是什么有关.看下面一些例子.例 1 考虑试验:掷一骰子,观察出现的点数.根据“实际经验”,该试验的基本结果有6个:1,2,3,4,5,6,从而其样本空间为}6,5,4,3,2,1{=Ω.如果我们只是观察出现奇数点还是偶数点,那么样本空间可以确定为{=Ω出现奇数点,出现偶数点}.例 2 考虑试验:观察一天内进入某商场的人数. 一天内进入某商场的人数是非负整数,但由于不知道最多的人数和最少的人数,我们把该试验的样本空间“理想化”地定为},3,2,1,0{⋅⋅⋅=Ω,即样本空间确定为全体非负整数构成的集合.例3考虑试验:考察一个元件的寿命.为了数学上处理方便, 我们把该试验的样本空间“理想化”地确定为),0[+∞=Ω.例 4 对于试验:将一硬币抛3次.若我们记录3次正反面出现的情况,则样本空间为},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH =Ω;若我们记录正面出现的次数,则样本空间为}3,2,1,0{=Ω.若样本空间中的元素个数是有限个,我们称此样本空间为有限样本空间. 若样本空间中的元素个数是有限个或可列个,我们称此样本空间为离散样本空间.3.随机事件有了样本空间后,我们可以给出随机事件的概念.直观上, 随机事件是随机现象或随机试验中可能发生也可能不发生的事件.例如,在掷骰子试验中,“出现偶数点”是可能发生也可能不发生的,因此它是随机事件,而且当试验出现的结果是2或4或6时该事件就发生了,否则该事件就不发生.一个事件是否发生应当能由试验出现的结果判定,因此一个事件可以由使其发生的那些样本点组成，换言之, 随机事件可以由一个或多个样本点组成的集合来表示.因此有下面概念.设随机试验E 的样本空间为}{ω=Ω,我们称样本空间为}{ω=Ω的子集为随机事件,简称为事件,常用大写字母A,B,C,…表示.若一事件是由单个样本点组成,则称该事件为基本事件;由2个或2个以上样本点组成的事件称为复合事件.由全体样本点组成的事件称为必然事件,必然事件就是样本空间Ω本身.空集Φ作为样本空间Ω的子集也是事件,称此事件为不可能事件. 显然, 必然事件在每次试验中是必定发生的,不可能事件在任一次试验中都不会发生.这两种情况已无随机性可言,但我们把它们视为随机事件的特例.以后在理论上讨论概率论问题时，我们总是假定样本空间已经给定，随机事件就是该样本空间的子集。

参考答案 1. 11. 试写出下列随机试验的样本空间：（1）袋中有7个白球和3个红球，现采用有放回抽取和无放回抽取两种方式，每次任取一个球，观察首次取到红球时的抽取次数；（2）现有一个50人的班级，请记录该班一次概率考试的平均分（百分制）；（3）同时掷3颗色子一次，记录色子点数之和；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标；（5）将一个单位圆切成三块，记录每一块的面积。

解：（1）在有放回情况之下：},3,2,1{L =Ω在无放回的情况之下：}8,,3,2,1{L =Ω（2）记录平均分，}5010050,,503,502,501,0{×=ΩL （3）记录点数之和，}18,,5,4,3{L =Ω（4）单位圆中任取点),(y x ，其坐标满足122≤+y x ，故样本空间为}1|),({22≤+=Ωy x y x（5）由于单位圆的面积为π，故切成的三块面积z y x ,,应满足：π=++z y x ，从而所求的样 本空间为：}0,0,0,|),,({>>>=++=Ωz y x z y x z y x π.2. 设C B A ,,表示三个随机事件，试用C B A ,,的运算表示下列事件：（1）仅B 发生；（2）C B A ,,都不发生；（3）C B A ,,都发生；（4）C B A ,,不都发生；（5）C B A ,,至少有一个发生；（6）C B A ,,恰有一个发生；（7）C B A ,,至多有一个发生。

解：（1）C B A ； （2）C B A ； （3）ABC ； （4）ABC 或C B A ∪∪；（5）C B A ∪∪或ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A ∪∪∪∪∪∪；（6）C B A C B A C B A ∪∪；（7）C B A C B A C B A C B A ∪∪∪.3. 以A 表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”，则其对立事件A 为 （ D ）(A) “甲产品滞销，乙产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销”4. 在图书馆任选一本书，设{=A 数学书}，{=B 中文版的书}，{=C 1999年后出版的书}，试问：（1）C B A ∩∩表示什么事件？（2）在什么情况下有A ABC =？（3）B C ⊂表示什么意思？（4）若B A =，是否意味着馆中所有的数学书都不是中文版的？解：（1）C B A ∩∩表示事件{1999年或1999年以前出版的中文版数学书}；（2）若A ABC =，则BC A ⊂，从而只有在事件{馆中的数学书都是1999年后出版的中文书} 发生的条件之下，等式才成立；（3）B C ⊂表示馆中1999年或1999年以前出版的书都是中文版的；（4）B A B A ⊂⇔=且A B ⊂，故B A =表示馆中的非数学书都是中文版的，并且中文版的 书都不是数学书；又B A =B A B A ⊂⇔=⇔且A B ⊂，故B A =又表示馆中的数学书 都不是中文版的，并且所有外文版的书都是数学书。

2004年7月第1版2008年4月第10次印刷第一章随机事件与概率1.1 随机事件及其运算1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.1.1.7 事件域定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：(1)；(2)若，则对立事件；(3)若，则可列并.则称为一个事件域，又称为代数.在概率论中，又称为可测空间.1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：(1)非负性公理若，则；(2)正则性公理；(3)可列可加性公理若互不相容，有则称为事件的概率，称三元素为概率空间.第二章随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数.且称服从，记为.2.1.4 连续随机变量的概率密度函数定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.密度函数的基本性质(1)非负性；(2)正则性.第三章多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称为维(或元)随机变量或随机向量.3.1.2 联合分布函数定义3.1.2 对任意的个实数，则个事件同时发生的概率称为维随机变量的联合分布函数.3.4 多维随机变量的特征数3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记维随机向量为，若其每个分量的数学期望都存在，则称为维随机向量的数学期望向量，简称为的数学期望，而称为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为.例3.4.12(元正态分布) 设维随机变量的协方差阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数定义的分布称为元正态分布，记为.第四章大数定律与中心极限定理4.1 特征函数4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设是一个随机变量，称为的特征函数.设是随机变量的密度函数，则4.2 大数定律4.2.1伯努利大数定律定理 4.2.1(伯努利大数定律) 设为重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的，有4.2.2 常用的几个大数定律4.3 随机变量序列的两种收敛性4.3.1 依概率收敛定义4.3.1(依概率收敛) 设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有则称依概率收敛于，记作.4.4 中心极限定理4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理 4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设是独立同分布的随机变量序列，且.记则对任意实数有第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析。

第一章 随机事件与概率§1.1 随机事件及其运算1．1．1 随机现象在一定条件下必然出现的现象叫做确定性现象。

在相同的条件下可能出现也可能不出现，但在进行了大量重复地观测之后，其结果往往会表现出某种规律性的现象叫做随机现象。

(举例)为了研究和揭示随机现象的统计规律性，我们需要在相同条件下对随机现象进行大量重复地观测、测量或试验，统称为随机试验。

也有很多随机试验是不能重复的，比如某些经济现象、比赛等。

概率论与数理统计主要研究能够大量重复的随机现象，但也十分注意不能重复的随机现象的研究。

1．1．2 样本空间用{}ωΩ=表示随机现象的一切可能基本结果组成的集合，称为样本空间。

样本空间的元素，即每个基本结果ω，称为样本点。

例1 抛掷一枚硬币，观察正面和背面出现（这两个基本结果依次记为1ω和2ω）的情况，则该试验的样本空间为12{,}ωωΩ=例2 一枚骰子，观察出现的点数，则基本结果是“出现i 点”，分别记为iω（i ＝1，2，3，4，5，6），则该试验的样本空间为123456{,,,,,}ωωωωωωΩ= 例3 在一只罐子中装有大小和形状完全一样的2个白球和3个黑球，依次在2个白球上标以数字1和2，在3个黑球上标以数字3，4和5，从罐子中任取一个球，用i ω表示“取出的是标有i 的球”（i ＝1，2，3，4，5），则试验的样本空间为12345{,,,,}ωωωωωΩ=例4 在一个箱子中装有10个同型号的某种零件，其中有3件次品和7件合格品，从此箱子中任取3个零件，其中的次品个数可能是0，1，2，3，试验的样本空间为{0,1,2,3}Ω=例5 某机场问讯电话在一天内收到的电话次数可能是0，1，2，…，则试验的样本空间为{0,1,2,}Ω=L例6 考察某一大批同型电子元件的使用寿命（单位：h ），则使用的样本空间为[0,)Ω=+∞ 注意：1样本空间中的元素可以是数也不是数；2样本空间至少有两个样本点，仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间；3从样本空间中所含的样本点个数来区分，样本空间可分为有限与无限两类，有限样本空间比如例1、2、3、4，无限比如例5、6，例5中样本点的个数是可列的，但例6中样本点的个数是不可列无限的。

《概率论与数理统计》课后练习（一）第一章§1-1随机事件与概率 班级 姓名 座号 成绩一．填空题（每空0.4分,共计2分）1．设C B A ,,时三个随机事件。

试用C B A ,,的运算关系分别表示下列事件1）C B A ,,至少有一个发生2）C B A ,,中恰有一个发生3）C B A ,,至多于一个发生2. 一口袋中有许多黄色、白色的乒乓球，在其中任取两次，设i A 表示第i 次取到黄色球（i=1,2），则两次取到同颜色球的事件可表示为 。

3.某工程队承包建造了4幢楼房，以事件i A 表示 “第i 幢楼房经验收合格” )4,3,2,1(=i ， 试用文字叙述事件))((4321A A A A 。

二． 单项选择题（每小题0.5,共计2分）1. 从一批产品中任取5件，事件A 表示“这5件中至少有一件废品”，事件B 表示“这5件都是合格品”，则AB 表示（ ）。

)(A 必然事件 )(B 不可能事件 )(C 抽取5件均为合格品 )(D 所抽5件均为废品2. 以A 表示事件“甲种产品畅销或乙种产品滞销”，则其对立事件A 表示（ ）。

（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” （B ）“甲、乙两种产品均畅销”（C ）“甲种产品滞销” （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”3. 对于任意事件A 和B ，则与B B A =+不等价的是（ ）。

)(A B A ⊂ )(B A B ⊂ )(C φ=B A )(D φ=B A4. 一位工人生产4个零件，以i A 表示他生产的第i 个零件是不合格品（4,3,2,1=i），则不全是合格品可表示为（ ）。

)(A 4321A A A A )(B 4321A A A A)(C 4321A A A A )(D 4321A A A A三．下列说法是否正确？（每小题0.5分，共计1分）（注：下面命题正确的请给出证明，若是不正确的请举一反例）（1）若Ω=+B A ，则B A ,互为对立事件。