概率论 随机事件及其运算

第一章 随机事件及其概率一、随机事件的关系及其运算1．事件的包含若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A ，记为A B ⊃或B A ⊂．3．事件的和事件A 与事件B 的和是一个事件C ，它表示事件A 与事件B 中至少有一个发生，记为B A C =或B A C +=． ．4．事件的积事件A 与事件B 的积是一个事件C ，它表示事件A 与事件B 同时发生，记为B A C =或AB C =．5．事件的差 事件A 与事件B 的差是一个事件C ，它表示事件A 发生而事件B 不发生，记为B A C -=．6．互斥事件（不相容事件） 若事件A 与事件B 不能同时发生，即Φ=B A ，则称事件A 与事件B 为互斥事件（不相容事件）． 7．对立事件（逆事件） “事件A 不发生”的事件称为事件A 的对立事件. A 的对立事件记为A ． 关于对立事件，有性质(1) A A =Ω（必然事件）； (2) A A =Φ（不可能事件）；(3) A =A ．两个互为对立的事件，一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是对立事件． 概率的定义与性质定义1设Ω是随机试验E 的样本空间，对于E 的每一个事件A 赋予一个实数，记为P(A),称P(A)为事件A 的概率. 性质1 0≤P(A)≤1 P(Ø)=0性质2 对于任意事件A,B 有P(A ∩B)=P(A)+P(B)-P(AB).当A 与B 互不相容时,P(A ∪B)=P(A)+P(B). 性质3 P(B-A)=P(B)-P(AB).当A ⊂B 时，P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A)≤P(B)性质4 P(A -)=1-P （A ）条件概率 一、条件概率1．定义 如果B A ,是两个随机事件，0)(≠A P , 则称在A 发生的前提下B 发生的概率为条件概率，记为)|(A B P ．2．计算公式 设B A ,是两个随机事件且0)(>A P , 则)()()|(A P AB P A B P =．二、乘法公式1．乘法公式 设B A ,为两个随机事件，则有0))(( )|()( 0))(( )|()()(>=>=B P B A P B P A P A B P A P AB P ．2．乘法公式的推论 对于任何正整数2≥n ,当0)(21>n A A A P 时，有)|()|()|()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ．三、全概率公式和贝叶斯公式1．定义 设n A A A ,,,21 为一事件组，若(1)n A A A ,...,21 互不相容，且P(iA )>0,i=0,1,2…n; (2)Ω=+++n A A A 21则称事件组nA A A ,,,21 是样本空间Ω的一个划分．2．全概率公式 设n A A A ,,,21 是样本本空间Ω的一个划分，并且),,2,1(0)(n i A P i =>,B 为任意一个事件，则∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()(此公式叫做全概率公式．例题 盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个，求第二次取到白球的概率。

随机事件及其运算1. 随机现象概率论的研究对象是随机现象。

在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。

只有一个结果的现象叫做确定性现象。

随机现象随处可见。

有的随机现象可以在相同条件下重复，如抛硬币，掷骰子，测量一物体的质量。

也有很多随机现象是不能重复的，比如经济现象（如失业，经济增长速度等）大多不能重复. 在相同条件下重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验.概率论主要研究能重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象。

2. 样本空间数学理论的建立总是需要首先给出一些原始的无定义的概念（例如，“点”和“直线”是欧氏几何的公理化处理中无定义的概念）。

在概率论中，第一个“无定义”的原始概念是“样本点”，随机现象的基本结果称为样本点，用?表示样本点；而随机现象的一切样本点组成的集合称为样本空间，记为??{?}.在具体的随机现象或试验中, 有的凭“实际经验”可确定样本点和样本空间,有的需要“数学的理想化”去确定样本点和样本空间,样本点和样本空间的确定也与试验观察或记录的是什么有关.例1 考虑试验:掷一骰子,观察出现的点数.根据“实际经验”,该试验的基本结果有6个:1,2,3,4,5,6,从而其样本空间为??{1,2,3,4,5,6}.例2 考虑试验:观察一天內进入某商场的人数. 一天內进入某商场的人数是非负整数,但由于不知道最多的人数和最少的人数,我们把该试验的样本空间“理想化”地定为??{0,1,2,3...}例3考虑试验:考察一个元件的寿命.为了数学上处理方便, 我们把该试验的样本空间“理想化”地定为??[0,??).例4 对于试验:将一硬币抛3次.若我们记录3次正反情况,则样本空间为??{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};若我们记录正面出现的次数,则样本空间为??{0,1,2,3}.- 1 -若样本空间中的元素个数是有限个或可列个,我们称此样本空间为离散样本空间.3. 随机事件有了样本空间后,我们可给出随机事件的概念.直观上说, 随机事件是随机现象中可能发生也可能不发生的事件.例如,在掷骰子试验中,“出现偶数点”是可能发生也可能不发生的,因此它是随机事件,而且当试验出现的基本结果是2或4或6时该事件就发生了,否则该事件就不发生.一个事件是否发生了应当能由试验出现的基本结果判定,因此一个事件可以由能使其发生的那些基本结果组成.换言之, 随机事件可以由一个或多个样本点组成的集合来表示.因此有下面概念.样本空间的子集称为随机事件,简称为事件,常用大写字母A,B,C,?表示.事件A发生当且仅当试验出现的基本结果属于A.若一事件是由单个样本点组成,则称该事件为基本事件;由2个或2个以上样本点组成的事件称为复合事件.由全体样本点组成的事件称为必然事件,必然事件就是样本空间?本身.显然, 必然事件是必定发生的事件.空集?作为样本空间?的子集也是事件,称此事件为不可能事件,不可能在任一次试验中都不会发生.以后在理论上讨论概率论问题时，我们总是假定样本空间已经给定，而随机事件就是该样本空间的子集。

大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X 乞b) =F(b) P(a ：： X 冬b) = F(b) _ F(a)2、离散型随机变量3、连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 P i =P(X =X i )二％ P(X = xi ,丫二 yj ) = ' pij pj =P( Y=yj )=' P(X 二 X j , 丫二 yj )=' pij j j离散型二维随机变量条件分布P(X =X j ,Y =yj )pij…= P(X =X j Y =y j ),i=1,2jP(丫 =yj )P j P(X=X j ,Y=y j )p j2、 P i j P ji3、x yf(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 边缘分布函数： F x (x) = [「f(u,v)dvdu 边缘密度函数：f x (x)二.-^o a-bof(u,y)du*^0.■bof (x, v)y ■:: F y (y)f (u,v)dudv f Y (y)二 5、二维随机变量的条件分布fYx (yx)二■■■■■y < fxY (xy)二<x :：: ■：：x Y四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)=.；「X k P k连续型随机变量：E(X)二=xf(x)dx2、数学期望的性质(1)E(C) =C,C为常数E[E(X)] =E(X) E(CX) =CE(X)(2)E(X _Y) =E(X) _E(Y) E(aX _b) =aE(X) _b E(C^X^ ■ C n X n^C1E(X1^ ■ C n E(X n) ⑶ 若GY相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y)(4) [E(XY)]2 <E2(X)E2(Y)3、万差:D(x) =E(X2) —E2(x)4、方差的性质(1) D(C) =0 D[D(X)] =0 D(aX _b) =a2D(X) D(X) ：：:E(X -C)2⑵ D(X _Y)二D(X) • D(Y) _2Cov(X,Y)若 GY相互独立则：D(X _Y)二D(X) • D(Y)5、协方差：Cov(X,Y)二E(X,Y) _E(X)E(Y)若 GY相互独立则：Cov(X,Y)=06、相关系数：认「(X,Y)〜Cov(X,丫)若GY相互独立则：认=0即GY不相关J D(X)阿石7、协方差和相关系数的性质(1)Cov(X,X) =D(X) Cov(X,Y)二Cov(Y, X)(2)Cov(X1 X2,Y) =Cov(X1,Y) Cov(X2,Y) Cov(aX c, bY • d)二abCov(X,Y)&常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、 切比雪夫不等式若 E(X)-」.,D(X)=：；2,对于任意'.0 有 P{X _E(X) _ }空里^2 或 P{X _E(X) ：：： }n n2、 大数定律：若X i …X n 相互独立且「时，—、• X i —D r-7 E(X i )ni 4ni二nn(1)若 X i X n 相互独立，E(X i ) =A i , D(X i ) =52且 O i 2兰M 贝y ： -Z X i — 1瓦 E(X i ),(n T ©nyny1n⑵若X i …X n 相互独立同分布，且E(X j )=n 则当n 时：―、X, P> Jn y3、 中心极限定理(1) 独立同分布的中心极限定理：均值为 」，方差为C 20的独立同分布时，当n 充分 大时有：n' X k —n ・iY n = ------------------- 二 N(0,1)U n cr(2) 拉普拉斯定理：随机变量n (n =1,2 )~B( n, p)则对任意G 有:xt 2lim P { ：n np兰x} = f -j^e 2dt =Q (x) x -°p(1-p) - ： .2 二六、数理统计1、总体和样本n _(5) 样本 k 阶中心距：B k =Mk(X i -X)k ,^2,3'nm(1)样本平均值： n n n2X 」、X i (2)样本方差：S 2匚、(X i -X)2L' (X i 2-nx )n-1y n -1(3)样本标准差：，彳 n ns= 1v(X i-X)2(4)样本 k 阶原点距：A k X i k,k=1,2 … ,n -1^(X 1，X 2 X n )的联合分布为 F(X 1,X 2 X n )F (X k )心(3)近似计算:nP(a 乞、X k Eb) =P(生' X k -n 」■k'.nc<^n 1才一门.」：泸- nc、、..总体X 的分布函数F(X)样本 2、统计量(6)次序统计量：设样本(X1，X2…X n)的观察值凶七和，将为,X?…X.按照由小到大的次,记取值为X(i)的样本分量为X(i),则称X(1宀(2)「乞x(n) 序重新排列,得到X(1)乞X(2) <X(n)为样本(X1,X2…X n)的次序统计量。

第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。

是人们通常说的偶然现象。

其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。

对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。

样本空间: 概率论术语。

我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。

样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。

随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。

互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。

互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。

第一章：随机事件及其概率这一章的内容基本上属于高中学过的知识，除了第三节的全概率公式和Bayes公式。

但这两个公式只是把条件概率的计算换了一种形式。

一、随机事件及运算二、概率及其运算三、条件概率四、事件的独立性第二章:随机变量这一章将随机事件抽象成数字变量，并分为离散和连续两种进行研究。

最后用函数来表达两种变量的概率分布，再推广到多维变量。

其中运用了一些微积分知识。

一、离散型随机变量介绍离散型随机变量的概念和性质，介绍几种常见的离散性随机变量如：0-1分布、二项分布、泊松分布二、随机变量的分布函数将变量值及其概率用函数联系起来。

其实就是在不同的区间上变量值的概率。

但因为离散的关系，所以更像是数列而不是函数。

三、连续型随机变量变量值有无穷多的可能，所以变量的分布函数在各个区间上是连续的。

它和离散型随机变量的关系有些类似于函数和数列的关系。

四、一维随机变量的函数分布当变量和概率是一一对应时的函数分布，有归一、单调不减等性质。

概率密度是概率分布的导数，概率分布式概率密度的积分。

涉及到已知变量与另外一个变量具有函数关系，求另一个变量概率函数分布问题。

五、二维随机变量的联合分布当变量是成对出现时，概率的函数分布，同样有归一等性质。

变量的划分从各区间变为各区域。

涉及到二重积分、全微分等知识。

六、多维随机变量及其独立性其实就是二维的推广，此处将随机事件的独立性抽象为随机变量的独立性。

七、条件分布还是将随机事件的条件分布抽象化，用数字和符号来表示。

顺便将条件分布推广到多维随机变量。

八、多维随机变量函数的分布第三章：随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望和高中所学的期望是一个东西，类似于加权平均分，不过现在要通过概率密度和概率分布去求。

二、方差体现变量的稳定性，和高中所学相同，不过同样需要用新的概念和知识去求解。

三、协方差和相关系数协方差是一个新的概念，用来判断两个随机变量是否相关。

相关系数是用来衡量两个变量之间的相关程度的量。

概率论中的随机事件及概率的定义及计算在概率论中，随机事件是指一个结果是不确定的事件，例如掷骰子的结果、抽奖的结果、病人是否能成功治愈等。

通过对随机事件的概率进行计算，我们可以预测它们发生的可能性大小，从而对未来的结果进行预测和控制。

随机事件的概率定义在概率论中，随机事件的概率定义为该事件在所有可能结果中出现的比例。

例如，在掷一次骰子时，获得6面的概率为1/6，因为6面是6个可能结果中的一个。

概率的计算方法一般来说，概率的计算方法有两种：相对频率方法和古典概型方法。

1. 相对频率方法相对频率方法是指通过实验来计算概率。

具体来说，我们可以对随机事件进行多次实验，然后统计该事件发生的次数与实验总次数之比。

例如，如果我们想要计算投掷骰子获得6面的概率，我们可以对骰子进行大量实验，并记录6面出现的次数。

然后，我们可以计算该事件发生的次数与实验总次数之比，即得到6面出现的概率。

2. 古典概型方法古典概型方法是指对于已知的固定有限集合，每个结果的概率相等时，对随机事件进行计算。

例如，对于投掷一枚骰子的情况，我们可以通过以下公式计算获得特定面的概率：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)是事件E中有利结果的数量，n(S)是样本空间中的所有结果数。

概率的性质在概率论中，概率具有以下几个重要的性质：1. 非负性：概率是非负的，即概率不会小于零。

2. 正则性：所有可能事件的概率之和等于1。

3. 加法性：对于两个不相交事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率。

4. 乘法性：对于两个事件A和B，它们的联合概率等于它们各自的概率的积。

总结概率论是应用广泛的一门学科，在许多领域都有着重要的应用，例如统计学、经济学、金融学等。

随机事件及概率的定义和计算方法是概率论中最基础的概念，建立了整个概率论体系的基础。

了解概率论的基本概念和方法，可以帮助我们更好地理解和应用它们，在实际应用中更加准确地估计未来的结果和降低风险。

第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中ω表示基本结果，又称为样本点。

3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。

5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。

（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。

(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。

(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。

用交并补可以表示为。

（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.对立事件的性质：。

8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。

具体说,事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。