Deg+（A）=2, Deg-（A）=3
Deg+（B）=3, Deg-（B）=2
A
D
Deg+（C）=1, Deg-（C）=1
Deg+（D）=1, Deg-（D）=1
B
C
例：
一个3阶有向图的度序列是2，2，4，入度序列是
2，0，2，出度序列是
.
定理3：在任何有向图中，所有结点的入度和等于所有结点 的出度之和。
解:设图G有x个节点度数为2，则G的阶数为 x+1+1=x+2。 根据握手定理有： 3+5+2x=12 于是x=2，所以G的阶数为2+2=4。
定理2：在任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个。
例：是否存在一个无向图，其度数序列分别为： (1) 5，4，4，3，3，2，2 (2) 4，4，3，3，2，2，2，2
例：在一次10周年同学聚会上，想统计所有人握手的 次数之和，应该如何建立该问题的图论模型？
解：将每个同学分别作为一个节点，如果两个人 握过一次手就在相应的两个节点之间画一条无向 边，于是得到一个无向图。一个人握手的次数就 是这个节点与其他节点所连接的边的条数，进而 可得出所有人握手的次数之和。
例：无向图G有6条边，各有一个3度和5度节点，其 余均为2度节点，求G的阶数。
e1
a
b
e2
c
a
b
c
（a）
（b）
（10）无向完全图：简单图G =<V，E>中，若每一对结 点间都有无向边存在，则称该图为无向完全图。
定理4：n个结点的无向完全图的边数为： 1 (n 1) 2
证明：在有n个结点的无向完全图中，任意两点间都有边 连接， n个结点中任意取两点的组合为：
Cn2
1 n(n 2
（3）邻接点，孤立结点
邻接点：在一个图中，若两个结点有一条有向边或者一条 无向边关联,则这两个结点称为邻接点。
孤立结点：在一个图中不与任何结点相邻接的结点，称为 孤立结点。如下图中结点v5。
v1
v2
v5
v3
v4
（4）零图，平凡图 零图：仅由孤立结点构成的图称为零图。如图(a) 平凡图：仅由一个孤立结点构成的图称为平凡图。如图(b)
证：因为每一条有向边必对应一个入度和出度，若一个 结点具有一个入度或出度，则必关联一条有向边，所以， 有向图中各结点入度和等于边数，各结点出度和也是等 于边数，因此，任何有向图中，入度之和等于出度和。
a
d
b
c
（9）平行边，多重图，简单图 连接于同一对结点间的多条边称为是平行边。 含有平行边的任何一个图称为多重图。 不含有平行边和环的图称作简单图。
图论的应用
图论是一门应用性很强的学科。 20世纪60年代以来，它在 许多领域，如物理学、生物学、计算机科学、信息论、运 筹学以及语言学、社会科学等有着广泛的应用。
图论在计算机科学中的应用：最短通路、最小生成树、最 大匹配、中国邮递员问题和旅行售货员等问题的算法和计 算机实现。
第八章 图
§8.1 图的基本概念 §8.2 路与图的连通性 §8.3 图的矩阵表示 §8.4 赋权图及最短路径 §8.5 特殊的图
8.1 图的基本概念
离散数学所研究的图是不同于几何图形、机械图形的另一 种数学结构,不关心图中顶点的位置、边的长短和形状, 只 关心顶点与边的联结关系。
如下图（a）和（b）可以认为是同一个图形。
a
e1 b
e2 e6
e3
d
e4
e5
ad
e1
e2
b
e6 e3 e2
e6 ee5d3
c
ae4
e5
c
（a）
v4
v3 （a）
v2 v3
v5 v4 （b）
例：对于n阶简单无向图G，若其边数为m，试计算G 的补图 的边数。
（12）子图：设图G =<V，E>，如果有图G=<V，E>， 且EE，VV，则称 G 为 G 的子图。
如下图，（b）、（c）都是（a）的子图。
b
c
g
d
a
h
b
c
（2）无向图，有向图
a
d
每一条边都是无向边的图称无向图。
b
c
每一条边都是有向边的图称有向图。 a
d
b
c
例：将右图用二元组表示为： Ｇ＝〈Ｖ，Ｅ〉 其中Ｖ＝｛a，b，c，d｝ Ｅ＝｛<a,b>,<b,a>,<b,d>,<d,a>,<d,d>,<c,c>｝ 则：Ｇ＝〈Ｖ，Ｅ〉= 〈 ｛a，b，c，d｝ ， ｛<a,b>,<b,a>,<b,d>,<d,a>,<d,d>,<c,c>｝ 〉
例：设无向图G有10条边，3度和4度节点各2个，其 余节点的度数均小于3，则G至少有多少个节点？在 最少节点的情况下，求出G的度数序列、最大度 和 最小度 。
（8）入度，出度：在有向图中，射入一个结点的边数称为该 结点的入度。由一个结点射出的边数称为该结点的出度。
结点的出度与入度和是该结点的度数。
A
最大度,记为：△(G)=max{d(v)| vV} B
E
最小度,记为：δ (G)=min{d(v)| vV}
D
C
定理1 (握手定理) ：每个图中，结点度数的总和等于边 数的两倍。即
deg(v) 2 E
vV
证：∵每条边必关联两个结点，而一条边给于关联的每 个结点的度数为1。 故上述定理成立。
e1 b
c e4
（b）
（1）图的定义: 一个图G可用一个二元组<V(G),E(G)>表示, 其中V(G)为顶点集合, E(G)是边的集合。 讨论定义： (a) V(G) ={V1，V2，…，Vn}为有限非空集合,Vi称为顶点。 (b) E(G)={e1，…，em}为有限的边集合,ei称为边。 可用 e＝ <vi,vj>或e＝ (vi,vj) 来表示图的边。
1)
故有n个结点的无向完全图的边数为
E 1 n(n 1) 2
例：有9个结点的无向完全图K9的边数为？
（11）补图：给定一个图G，由G中所有结点和所有能使 G成为完全图的添加边组成的图，称为G 相对于完全图 的补图，或简称为G的补图。记作 G 。
如下图，（a）和（b）互为补图。
v1
v1
v2
v5
(a)
(b)
（5） 邻接边：关联于同一结点的两条边称为邻接边。 （6）自回路（环）：关联于同一结点的一条边称为自
回路。 如下图，e4=<c，c>是自回路（环）。
e3 e4
（7）度数： 在图G =<V，E>中，与结点v（vV）关 联的 边数，称为该结点的度数，记作deg（v）。 约定：每个环在其对应结点上的度数增加2 。
