1 随机事件 样本空间及事件关系

B ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A =．若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A +若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n nP A A A P A P A P A =+++． 事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生．中至少有一个发生．6．互为对立事件高中数学讲义版块一：事件及样本空间 1．必然现象与．必然现象与随机现象随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件随机事件．通常用大写通常用大写英文英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件．来表示随机事件，简称为事件．3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为所有基本事件构成的集合称为基本事件空间基本事件空间，常用W 表示．表示．版块二：随机事件的版块二：随机事件的概率概率计算1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A 与B 都是相互独立的．都是相互独立的．3．概率的．概率的统计统计定义定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m n，当n 很大时，总是在某个很大时，总是在某个常数常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ．从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤．当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =．4．互斥事件与事件的并．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．件组成的集合．5．互斥事件的概率．互斥事件的概率加法加法公式：公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =知识内容 板块一.事件及样本空间不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ． 第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -ì=ïïï+=+íï×=×ï=-ïî等可能事件等可能事件: : 互斥事件： 独立事件： 次独立重复试验次独立重复试验::求解求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率；随机事件的概率，等可能性事件的概率；⑵ 互斥事件有一个发生的概率；互斥事件有一个发生的概率；⑶ 相互独立事件同时发生的概率；相互独立事件同时发生的概率；⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率；次的概率；⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率；次才首次发生的概率；⑹ 对立事件的概率．对立事件的概率．另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．等．题型一 事件及样本空间【例1】 (2010安徽) 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A ，表示由甲罐取出的球是红球．白球和黑球的典例分析 高中数学讲义有()1()P A P A =-．<教师教师备案备案> 1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．，与通常所说的事件不同．基本事件空间基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或有时我们提到事件或有时我们提到事件或随机事件随机事件，也包含不可能事件和必然事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机将其作为随机事件的事件的特例特例，需要根据情况作出判断．，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的它具有一定的稳定性稳定性，总是在某个总是在某个常数常数附近摆，且随着试验次数的增加，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，摆动的幅度越来越小，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．这个常数叫做这个随机事件的概率．这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．下可近似地看作这个事件的概率．3．基本事件一定是两两．基本事件一定是两两互斥互斥的，它是互斥事件的特殊情形．的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质ìïïíïïî等可能事件等可能事件互斥事件互斥事件 独立事件独立事件 n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．，即所给的问题归结为四类事件中的某一种． 第二步，判断事件的运算ìíî和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是确的是 __ __（写出所有正确结论的编号）． ① ()25P B =； ②(高中数学讲义)15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立；相互独立；④1A ，2A ，3A 两两互斥的事件；两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与1A ，2A ，3A 中究竟哪一个发生有关．中究竟哪一个发生有关．【例2】 下列事件：①同学甲竞选同学甲竞选班长班长成功；②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；④若集合A B C ，，，满足A B B C ÍÍ，，则A C Í； ⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；⑥从1359，，，中任选两数相加，其和为偶数； 其中属于其中属于随机事件随机事件的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例3】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴六月天下雪；⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”；⑶太阳从西边升起；⑷当100x ≥时，事件“lg 2x ≥”；⑸数列{}n a 是单调递增数列时，事件“20082009a a >”； ⑹骑车通过10个十字路口，均遇红灯．【例4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴在标准大气压下且温度低于0C 时，冰融化；⑵今天晚上下雨；⑶没有水分，种子发芽；⑷技术充分发达后，不需要任何技术充分发达后，不需要任何能量能量的“永动机”将会出现；⑸买彩票中一等奖；⑹若平面a 平面m b =，n b ∥，n a ∥，则m n ∥．【例5】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．⑴写出这个试验的写出这个试验的基本事件空间基本事件空间和基本事件总数；⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件； ⑶“两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件； ⑷“两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件．【例6】 一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球的球，观察球的颜色颜色．⑴写出这个试验的基本事件空间；事件，点数之和为的事件是 事件，点数之差为点的事件是 事43214321高中数学讲义 点间的事件是。

§随机事件和样本空间目标要求1、理解并掌握随机试验，样本空间，随机事件、必然事件、不可能事件．2、理解并掌握事件的判断．3、理解并掌握样本空间及随机事件的结果．4、理解并掌握事件的关系及运算学科素养目标通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．重点难点重点：样本空间及随机事件的结果；难点：事件的关系及运算．教学过程根底知识点1随机试验对某随机现象进行的实验、观察,称为随机试验,简称__试验___2样本空间定义:①样本点:随机试验的每一个可能的结果②样本空间:所有样本点组成的集合记作:Ω3随机事件、必然事件、不可能事件1随机事件:样本空间的子集称为随机事件,也简称事件表示:一般用大写英文字母A,B,C表示2根本领件:当一个事件仅包含单一样本点时,称该事件为根本领件3必然事件:Ω全集是必然事件4不可能事件:空集是不可能事件【思考】判断一个事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件的关键是什么提示:关键是看每次试验中事件A中某个样本点是否出现,假设试验中总有一个样本点发生,那么事件A为必然事件;假设试验中不包含任何样本点,那么事件A为不可能事件;假设试验中某个样本点可能发生也可能不发生,那么事件A为随机事件【课前根底演练】题1〔多项选择．．．．．．．．．．〕以下命题正确的选项是A随机试验的结果是不确定的B一次随机试验所有可能出现的结果只有一个C样本空间中的样本点是有限的D异性电荷相互吸引是必然事件【答案】选CD提示:A×随机试验的结果可能确定,也可能不确定B×一次随机试验所有可能出现的结果可能有多个C√只讨论样本点为有限的情况D√异性电荷相互吸引一定会发生，所以它是必然事件题2下面的事件:①掷一枚硬币,出现反面;②异性电荷相互吸引;③35>10必然事件是A②B③C①D②③【解析】选A①是随机事件;②是必然事件;③是不可能事件题3“抛掷一枚骰子,结果向上的点数为奇数〞记为事件A,“抛掷一枚骰子,结果向上的点数大于4〞B=________,AB=________【解析】记“抛掷一枚骰子,结果向上的点数为〞为,那么,那么答案:关键能力·合作学习类型一事件的判断数学抽象【题组训练】题4以下事件:①明天下雨;②3>2;③某国发射航天飞机成功;④;⑤某商船航行中遭遇海盗;⑥任给∈R,2=0其中随机事件的个数为【解析】选D①明天下雨这一事件可能发生也可能不发生,是随机事件;②3>2,是必然事件;③某国发射航天飞机成功可能发生也可能不发生,是随机事件;④是不可能事件;⑤这一事件可能发生也可能不发生,是随机事件;⑥任给∈R,2=0可能发生也可能不发生,是随机事件即①③⑤⑥是随机事件题5以下事件中,不可能事件为A三角形内角和为180°B三角形中大边对大角,大角对大边C锐角三角形中两个内角和小于90°D三角形中任意两边的和大于第三边【解析】选C假设两内角的和小于90°,那么第三个内角必大于90°,故不是锐角三角形,所以C为不可能事件,而A,B,D均为必然事件题6从6个篮球、2个排球中任选3个球,那么以下事件中,是必然事件的是个都是篮球B至少有1个是排球个都是排球D至少有1个是篮球【解析】选D从6个篮球、2个排球中任选3个球,A,B是随机事件,C是不可能事件,D是必然事件【解题策略】判断事件类型的方法1看条件:在事件阐述过程中,一定要看试验是在什么条件下,因为三种事件都是相对于一定条件而言的,随着条件的变化,试验的结果也可能会发生相应的改变2看结果:事件是按照事件发生与否标准分类的,结果一定发生的是必然事件;不一定发生的是随机事件;一定不发生的是不可能事件类型二样本空间及随机事件的结果数学抽象【典例】题7袋子中有5个大小和质地相同的小球,其中三个红球,标号为1,2,3,另外两个为黑球,标号为4,5,从中依次随机摸出两个球,写出试验的样本空间【解题策略】试验结果书写的考前须知1准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判断一些事件,指出试验结果,这是求概率的根底2在写试验结果时,一般采用列举法,必须要明确事件发生的条件,根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列结果不重不漏【跟踪训练】题8集合,从集合A中选取不相同的两个数,构成平面直角坐标系上的点,观察点的位置,那么事件“点落在轴上〞包含的样本点共有个个个个【解析】选C“点落在轴上〞这一事件记为M,那么,包含9个样本点类型三事件的关系及运算数学抽象、数学运算角度1 事件的关系【典例】题9在掷骰子的试验中,可以定义许多事件例如,事件{出现1点},事件{出现3点},事件{出现4点},{出现5点},事件{出现的点数大于3},事件{出现的点数小于5}与是什么关系【思路导引】判断事件发生时事件是否发生【解析】因为事件发生,那么事件必发生,所以,同理包含于【变式探究】题10 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件例如,事件{出现1点},事件{出现3点},事件{出现4点},{出现5点},事件{出现的点数大于3},事件{出现的点数小于5}写出事件的和事件及事件的交事件【解析】设G={出现的点数为奇数}={出现1点,出现3点,出现5点},所以{出现的点数大于3}={出现4点,出现5点,出现6点},{出现的点数小于5}={出现1点,出现2点,出现3点,出现4点},所以角度2 事件的运算【典例】题11盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有一个红球,两个白球},事件B={3个球中有两个红球,一个白球},事件C={3个球中至少有一个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}那么:1事件D与事件A,B是什么样的运算关系2事件C与事件A的交事件是什么事件【思路导引】列举出事件中可能的样本点,然后进行各事件的运算【解析】1对于事件D,可能的样本点为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B2对于事件C,可能的样本点为1个红球2个白球,2个红球1个白球或3个红球,故C∩A=A【解题策略】事件间运算的方法1利用事件间运算的定义列举出同一条件下的试验所有可能出现的样本点,分析并利用这些样本点进行事件间的运算2利用Venn图借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的样本点,把这些样本点在图中列出,进行运算【题组训练】题12打靶3次,事件表示“击中i发〞,其中i=0,1,2,3那么表示A全部击中B至少击中1发C至少击中2发D以上均不正确【解析】选B所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发题13抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2〞为事件A,“向上的点数是2或3〞为事件B,那么⊆B=BB表示向上的点数是1或2或3 表示向上的点数是1或2或3【解析】={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},AB表示向上的点数是1或2或3课堂检测·素养达标题14以下现象:①连续两次抛掷同一骰子,两次都出现2点;②走到十字路口,遇到红灯;③明天早晨有雨;④抛一石块,下落其中是随机现象的个数是【解析】选C由随机现象的概念可知①②③是随机现象,④是确定性现象题15为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,那么包含的样本点共有个个个个【解析】选C由题意可得,包含的样本点有“数学与计算机〞“数学与航空模型〞“计算机与航空模型〞,共3个题16一个家庭有两个小孩,把第一个孩子的性别写在前边,第二个孩子的性别写在后边,那么所有的样本点有A男,女,男,男,女,女B男,女,女,男C男,男,男,女,女,男,女,女D男,男,女,女【解析】选C由题知所有的样本点是男,男,男,女,女,男,女,女题17在10个学生中,男生有人现从10个学生中任选6人去参加某项活动,有以下事件:①至少有1个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生假设要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,那么为______【解析】由题意知,10个学生中,男生人数少于5,但不少于3,所以=3或=4答案:3或4题18袋中有8个大小和质地相同的小球,标号为1,2,3,4,5,6,7,8,从中随机摸出一个球,用集合表示以下事件:1A=“摸到球的号码小于5〞;2B=“摸到球的号码为奇数〞【解析】从中摸出一个球,样本空间:Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}1事件“摸到球的号码小于5〞表示为A={1,2,3,4}2事件“摸到球的号码为奇数〞表示为B={1,3,5,7}。

随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。

一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。

由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。

样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。

[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义： 设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。

[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。

§1.1随机事件与样本空间§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。

⼀、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。

例如掷⼀枚硬币，我们关⼼的是出现正⾯还是出现反⾯这两个可能结果。

若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。

1、基本事件通常，据我们研究的⽬的，将随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件。

因为随机事件的所有可能结果是明确的，从⽽所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反⾯”，“出现正⾯”是两个基本事件，⼜如在掷骰⼦试验中“出现⼀点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。

2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。

也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常⽤⼤写的希腊字母Ω表⽰，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常⽤ω表⽰，有时也⽤A,B,C 等表⽰。

在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第⼀步。

例1、⼀盒中有⼗个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取⼀球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英⽂字母使⽤状况时，通常选⽤这样的样本空间：Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是⽐较简单的样本空间。

例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果⼀定是⾮负整数⽽且很难制定⼀个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有⽆穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。

1 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。

设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则 （1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω（2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”． 解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则},,,{1843ωωω =Ω；},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω}.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件： （1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品； （4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A2 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109⨯=C C C C C C C 有利事件总数为456789214151617181919⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P 设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)(≈=⨯=A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812≈==C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A ⋃=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而0281.0979942347)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P1529.09799447255)(501004995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则 (1) 0855.019819920019319418)(3200219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的概率．解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ⋃⋃=，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=75.04341313131==-++=3 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(31)03.01(32≈-⨯+-⨯= （2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ==，得60=k ，从而有4.015060150)(2===k A P ，.3.020060200)(3===k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率．解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则2201)(312330==C C A P 22027)(31219231==C C C A P 220108)(31229132==C C C A P 22084)(31239033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则312363123731238312393022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=146.0532400776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=4 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率．解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++=)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=902.0=．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率．解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B +=于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+=328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)(=A P 31)(=B P 41)(=C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ⋃⋃=，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=6.0413151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=． （另解）52)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)(==-=-=D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1=A P5.0)(2=A P 7.0)(3=A P设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P )()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P 故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率． 解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则)9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+0403.01556.02668.02668.01715.0++++=901.0=．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布．解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164===-x C C C x X P xx从而X 的概率分布为（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P xx x从而X 的概率分布为四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0(=p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300≈-=-==C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168031355.0!43)4(34≈==-e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.000≈-=δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=16308.000243.002835.01323.0≈++≈（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=16308.0≈ 设随机变量X 的概率分布为 2, 1, ,0 , !)(===k k ak X P kλ；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为∑∞===01)(k k X P ，即∑∞==01!k kk λa ，亦1=λae ，所以.λe a -=6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x+可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）． 解：（1）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F因为0)(lim =-∞→x F x ，0)(lim =+∞→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数． （2）设211)(xx F +=，则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim 0=-→x F x 因为)0( 0)1(2)('22<>+-=x x xx F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π； （2）[]π,0； （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=⎰ππx dx x f ，所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但12cos )(00≠=-=⎰ππx dx x f ，所以当[]πx ,0∈时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度．（3）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形．解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为于是，⎪⎩>3,1x四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度． 解：(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ，12)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ，解得.1,21πB A == 即)( ,arctan 121)(+∞<<-∞+=x x πx F ． (2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F ξP(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Aex f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数． 解：(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ，得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Aex x，解得21=A ，即有 ).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰(3) 随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰021102121)()(x e x e dx e dx x f x F x xx xx ．7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率． 解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,51)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰ee dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-e X P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率．解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xex F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=． 解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f yyyyyyXYY π，即 )( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f yyY π．８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布．解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ++=．求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度． 解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 x xxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121xπ+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ)4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx xy dx y x dx y x f y f Y ππ )9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X 落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它00,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰30006),()(3032y y ex x dxe e dx y xf y f yy x Y （4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xR dy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有 ⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx2713)322(92922132102=-++=x x x x ．９ 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,21)(2y y e y f yY 求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥． 解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意YX ,相互独立）⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx edy e dx dxdy y x f X Y P x xyxyXY ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥1021022102)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e e x二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jjn Y in i i n X ====--证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布． 证明: 设j i k +=, 则ik n i k i k n ki i n i i n ki Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22110)()()()( ∑=-+=ki k n n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik nk m C C C +=-=∑, 有k n n ki i n i n C C C21210+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p Ck P k n n k i n n Z +==-++由此知Y X Z +=也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或求随机变量Y X Z +=的概率密度．解: X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10,),(其它当当y x y y x y y x fY X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=，其中D 是z y x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.故有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229321212331023,00)(222z z z z z z z zz z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=3232132103,00)(z z z z z z z z z f Z四、电子仪器由六个相互独立的部件ij L （3,2,1;2,1==j i组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x X ij λ 先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),m ax (21==i Y i i i ξξ 从而有)3,2,1( =i i η的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y X X Y i i i λ设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321ηηη=Z .从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ故Z 的概率密度为⎩⎨⎧≤>--=---0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ10 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为于是有3.0004.03041.02205.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX2X 的分布为于是有4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX从而有3191.09.04091.0)(22=-=-=EX EX DX565.03191.0≈==DX X σ二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ，则X 的分布为p q p q q p q p iqp ipqEX ni i ni i ni i 1)1()1()(211111=-='-='===∑∑∑==-=- 2X 的分布为p pp p q q p q p q q p pqi EX ni i n i i ni i 122)1()1()(])([223111122-=-=-+='=''==∑∑∑===- 进一步有p pp p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=-=三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ ==-=k k X P k k k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=⋅-=-=-==1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望．四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1, 0;1,11)(2x x x x f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx xx dx x xf X E πdx xx dx xx dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-122112221211)()(ππ21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：021)(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）11 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y -=的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为72.072.0128.00=⨯+⨯=EY72.072.0128.002=⨯+⨯=EY 2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=]2,2[,0]2,2[,1)(ππθππθπθf ． 弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(ππθθθ-∈=R L ，故所有弦的平均长度为⎰⎰-∞+∞-⋅==22cos 21)()()]([ππθθπθθθθd R d L f L EπθπθθπππRRd R4sin 4cos 42020===⎰．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0,0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有⎰⎰---∞--=-===<104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x 进而有 41)1(1)1(-=<-=≥eX P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---eee EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ．求这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望与方差．解：因为μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有μμ=====∑∑∑∑====ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni in i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(σσ=====∑∑∑∑====．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中⎩⎨⎧=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0 于是i X 的概率分布为设∑==ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020≈-= 即停车次数的数学期望为748.8.12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为()(). 1,222++=y xAy x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ． 解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f . 有()()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+==+=++1112022222A dr rrd A dxdy y xAπθπ解得, π1=A .(2) ()011),()(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxdy dxdy y x xf X E π.由对称性, 知 0)(=Y E .⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222()⎰⎰∞+∞-∞+∞-++=dx y xx dy 222211π()()+∞=+++=+-+=+=∞+∞+∞+⎰⎰⎰022022220223]11)1ln([1)1(211r r dr r rr r dr rr d πθπ同理, 有 +∞=)(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(()011),(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxydy dxdy y x xyf π.二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它．,0;10,,1),(x x y y x f 求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？ 解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰====-∞+∞-∞+∞-1210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x 0),(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),( 010==⎰⎰-xxydy xdx ．(2) 当)1,0(∈x 时,有 ⎰⎰+∞∞--===x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0(∉x 时, 有0)(=x f X .即⎩⎨⎧∉∈=)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有 ⎩⎨⎧∉+∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f yy因为 ),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X σ的概率．解：91)3()3(2=≤>-ξξξξξD D D E P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B ξ且有50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==npq D ξ于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？ 解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0= n ξD 09.0=要使得9.0)10(=>ξP ，即9.0)10(=≤<n ξP ，因为9.0)10(=≤<n ξP ，所以)3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0--+nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）因为10>n ，所以53>n ，从而有1)3(1,0≈n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0≈-nn Φ． 查表有8997.0)28.1(1,0=Φ，故有28.13.0101.0≈-nn ，解得.146≈n 答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ(2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P)]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率． 解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--=于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ． 当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z=2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++= 212222212221μσμσσσ++=．1４ 二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理三、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．解：已知0==y x μμ，416==x σ，525==y σ，。

数学一概率论考研大纲摘要：一、随机事件和概率1.随机事件与样本空间2.事件的关系与运算3.完备事件组4.概率的概念5.概率的基本性质6.古典型概率7.几何型概率8.条件概率9.概率的基本公式10.事件的独立性11.独立重复试验二、概率论在实际应用中的案例分析1.离散型随机变量2.连续型随机变量3.随机变量的期望值4.方差与标准差5.协方差与相关系数6.常见分布及其性质7.最大似然估计8.矩估计9.假设检验三、数理统计的基本概念和方法1.抽样分布2.参数估计3.假设检验4.置信区间5.回归分析6.方差分析7.实验设计正文：考研数学一的概率论部分是许多学生感到挑战性的一个科目。

为了更好地备考，我们需要对考研数学一概率论的大纲有一个清晰的认识。

根据大纲，我们可以将概率论部分分为三个主要部分：随机事件和概率、概率论在实际应用中的案例分析以及数理统计的基本概念和方法。

第一部分，随机事件和概率，是概率论的基础内容。

这一部分主要包括随机事件与样本空间、事件的关系与运算、完备事件组、概率的概念、概率的基本性质、古典型概率、几何型概率、条件概率、概率的基本公式、事件的独立性以及独立重复试验等内容。

在学习这一部分时，重点要理解概率的基本概念和性质，掌握常见事件的概率计算方法，了解条件概率和独立性事件的应用。

第二部分，概率论在实际应用中的案例分析，主要涉及离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的期望值、方差与标准差、协方差与相关系数、常见分布及其性质、最大似然估计、矩估计、假设检验等内容。

这一部分需要学生具备一定的数学基础和实际应用能力，学会如何运用概率论方法解决实际问题。

第三部分，数理统计的基本概念和方法，包括抽样分布、参数估计、假设检验、置信区间、回归分析、方差分析、实验设计等内容。

这一部分要求学生掌握统计推断的方法，了解抽样分布的性质，熟练运用假设检验和参数估计等方法进行数据分析。

总之，考研数学一概率论部分的大纲涵盖了广泛的知识点，要求学生在复习过程中注重基础知识的掌握，提高解题能力。

随机事件与概率定义及公式整理1、随机事件与样本空间及关系和运算1.1、样本空间样本空间\Omega : E 的所有可能结果为元素构成的集合样本点 : \Omega中的元素，即试验的⼀个基本结果其中，试验的特征为：试验可以在相同的条件下重复进⾏试验的结果可能不⽌⼀个，但试验前知道所有可能的全部结果在每次试验前⽆法确定会出现哪个结果具有上述特征的试验称为随机试验，简称试验1.2、随机事件样本空间\Omega的⼦集称为随机事件，简称为事件随机试验的数学描述：试验 E 的全部结果(其中是基本结果的集合) \Leftrightarrow样本空间\Omega (其中是样本点的集合)随机事件\Leftrightarrow\Omega中的⼦集 A事件 A 发⽣\Leftrightarrow A中样本点出现基本事件：由⼀个样本点构成的单点集 { {\omega} }必然事件：\Omega(\Omega \subset \Omega)不可能事件：\empty(空集\empty \subset \Omega)1.3、事件的关系与运算1、A \subset B\Leftrightarrow A 发⽣必导致 B 发⽣. 特别有 A = B \Leftrightarrow A \subset B, \ B \subset A2、A \cup B = \{ \omega \in A \ or \ \omega \in B \}\Leftrightarrow A 发⽣或 B 发⽣，即 A，B ⾄少有⼀个发⽣，称为事件 A，B 的和3、A \cap B = \{ \omega \in A, \ \omega \in B \}\Leftrightarrow A，B 同时发⽣称为事件 A，B 的积类似地可定义 n 个事件的积：\bigcap^{n}_{i = 1} A_i = \{ \omega \ | \ \omega \in A_i, \ i = 1, 2,..., n \}4、A - B = \{ \omega \ | \ \omega \in A, \ \omega \notin B \}\Leftrightarrow A 发⽣ B 不发⽣称为事件 A，B 的差5、若A \cap B = \empty，则称 A，B 互不相容（互斥），即 A，B 不能同时发⽣6、若A \cup B = \Omega且A \cap B = \empty，则称 A，B 互为逆事件或称为对⽴事件，记为A = \Omega -B = \bar{B}, \ B = \Omega - A = \bar{A}1.4、事件的运算定律事件域设\Omega为样本空间，F 是由\Omega的⼦集组成的集合类，若 F 满⾜⼀下三点，则称 F 为事件域1. \Omega \in F;2. 若A \in F，则\bar{A} \in F3. 若A_n \in F, \ n = 1, 2, ... ,则\bigcup^{+ \infty}_{n = 1} \in F2.1、频率(并由此导出概率的统计定义)定义：记f_n(A) = \displaystyle{\frac{n_A}{n}}；其中n_A——A 发⽣的次数(频数)；n——总试验次数。

在概率论中，随机试验、样本空间和随机事件是三个基本概念，它们之间存在密切的关系。

随机试验是指具有随机性质的实验，其结果是不确定的。

例如，掷一颗骰子、从一堆牌中抽出一张牌等都是随机试验。

样本空间是指随机试验所有可能的结果的集合。

样本空间的元素被称为样本点。

例如，掷一颗骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。

随机事件是指在随机试验中出现的某些结果构成的集合。

一个随机事件可以包含一个或多个样本点。

例如，掷一颗骰子，出现偶数的事件可以表示为{2，4，6}。

一个事件发生的条件是其所包含的某个（些）样本点出现在试验结果中。

三者之间的关系可以描述为：随机试验确定了样本空间，而样本空间包含了所有可能的结果；随机事件可以看做是样本空间的子集，每个随机事件都包含样本空间中的一些样本点；同时，随机事件的出现与试验结果有关，即当试验结果为随机事件中的某个元素时，该事件发生。