参考椭球与高斯投影计算

高速公路导线测量中的投影变形问题一公司谭晓波摘要随着公路建设的不断扩大与发展,公路(特别是高速公路)从平原微丘区向山岭重丘区(乃至高原地区)延伸,测区高程面由数十米增加到数百米乃至数千米;由于高程面的不同所产生的长度变形对工程建设的影响是必须考虑的问题。

据有关计算表明,当大地高程面H＝700m 时,其长度变形为11cm/km,远大于规范允许值,这对于重要工程的测量是一个不可忽略的数值。

现以工程实例来探讨山区高速公路在导线测量中的投影变形问题。

1、工程概况泉（州）三（明）高速公路QA16合同段起讫里程K105+970至K112+406.060,全线长6.43606公里，测区所属地理位置位于山区，平均高程为717m，这就使在导线测量过程中遇到了长度变形问题。

如表：2、长度投影变形及分析公路工程布设的测量控制网是为了施工的需要，因而要求平面控制点坐标反算的边的长度与实地量测的长度相符。

而目前我们遇到了长度变形的问题，即实际测量长度比设计长度大，按《公路勘测规范》对测量控制网的长度变形的规定，测区内投影长度变形值不得大于2.5 cm/km ，即投影变形应达到1/40 000的精度。

这就要求要对实测长度进行改正，也就是要先将控制网边长归化到参考椭球面上，然后再将椭球面上的长度投影到高斯平面上，使其影响可以忽略不计。

2.1、投影变形数学模型长度变形来源于以下两个方面:2.1.1 实地测量的边长长度换算到椭球面上产生的变形,即1s ∆;改正数误差方程式(此式较复杂这里省略)经最小二乘列出误差方程式,按级数展开后取其主项(其它项的影响甚微可以忽略不计):s R H s Am-=∆1（1） 式中 A R -长度所在方向的椭球曲率半径；m H -长度所在高程面对于椭球面的平均高程； s -实地测量的水平距离。

2.1.2 椭球面上的长度投影至高斯平面02222s Ry s m+=∆ （2）式中 R -测区中点的平均曲率半径； m y -距离的2端点横坐标平均值； 0s -为归算到椭球面上的长度。

高斯-克吕格投影我国现行的大于1：50万比例尺的各种地形图都采用高斯-克吕格（Gauss-Kruger ）投影。

从地图投影的变形角度来看，高斯-克吕格投影属于等角投影。

该投影没有角度变形。

从几何概念来分析，高斯-克吕格投影是一种横切椭圆轴投影。

它是假想一个椭圆柱横套在地球椭球体上，使其与某一条纬线（称为轴子午线或中央子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过地球椭球的中心，用解析法按等角条件，将椭球面上轴子午线东西两侧一定经差范围内的区域投影到椭球柱面上，再沿着过极点的母线将椭圆柱剪开，然后将椭圆柱展开成平面，即获得投影后的图形。

如图6-12所示，为高斯-克吕格投影的几何概念图。

图6-12 高斯-克吕格投影的几何概念高斯-克吕格投影的基本条件为：（1） 中央子午线的投影为直线，而且是投影的对称轴，赤道的投影为直线并与中央子午线正交；（2） 投影后没有角度变形，即经纬线互相垂直，且同一地点各方向的长度比不变；（3） 中央子午线上没有长度变形。

若以高斯-克吕格投影中的中央子午线的投影为X 轴，以赤道的投影为Y 轴，两轴的交点为原点，则就构成高斯-克吕格平面直角坐标系，如图6-12所示。

根据高斯-克吕格投影的上述三个条件，即可导出高斯-克吕格投影的大地坐标（L ，B ）与高斯平面直角坐标（x ，y ）之间的函数关系式（6-8）。

+++-++=)49tan 5(cos sin 24cos sin 2422342ηηB B B N L B B N L S x++-++-+=)tan tan 185(cos 120)tan 1(cos 6cos 42552233B B B N L B B N L B LN y η（6-8） 式中：x 、y −− 平面直角坐标系的纵、横坐标；L 、B −− 椭球面上大地坐标系的经、纬度；S −− 由赤道至纬度B 的经线弧长；N −−卯酉圈曲率半径；η −− η2 = e '2cos 2B ，其中e '为地球的第二偏心率。

关于椭球区域面积计算问题的讨论目前关于椭球区域面积的计算都是采用边界点高斯平面坐标进行，由于高斯投影为等角投影存在面积变形，因而所计算的面积和实际面积有一定差距。

椭球面上的不规则面积计算则显得尤为复杂困难。

文章讨论顾及地球曲率的面积计算方法，转换为采用等面积投影的方法，采用平面坐标面积计算，对不规则椭球区域面积计算方法进行讨论。

标签：椭球规则梯形计算；等面积投影；高斯投影；等角投影；高斯正反算1 概述目前椭球面面积的计算都是采用边界线的高斯平面坐标进行，没有考虑地球曲率。

由于高斯投影存在面积变形，虽然单宗土地面积变形不大，但是全省、全国大面积统计，则影响不可忽视，因此精确计算椭球面区域面积，是国土部门亟待解决的问题。

目前提出的方法多种多样，如利用傅立叶级数快速转化实现面积计算、利用freeman链码矢量分析对边界进行综合处理获取边界像素坐标加权求和，求得面积等方法。

上述的方法，最终并没有成为解决椭球面区域计算的方法。

椭球梯形是椭球面上唯一能直接计算出准确面积的图形，它是由两条子午线和两条平行圈围成的梯形表面。

但事实生产工作中并不会简单的计算梯形面积，而是需要对不规则的图形进行计算。

本文希望能通过对简单投影方法的运用，得到区域面积的计算简便方法，并利用椭球梯形作为实际面积进行检验。

利用等面积投影特有的投影后面积不变的特点和高斯投影直接利用坐标计算面积的方式，将不规则椭球区域坐标转化为等面积投影和高斯投影坐标，再用平面面积计算公式计算不规则区域。

通过具体数据比较高斯投影与等面积的投影转化方法能否解决不规则区域面积计算，并用椭球梯形面积进行检验。

2 椭球面积计算方法2.1 规则梯形面积计算地球为一个不规则的球体，广大区域上遍布着江河，湖海，高山，盆地，低洼，峡谷等等，因此地球上区域的面积计算就变得很困难，此时需要引入一个类地球的椭球，这个椭球的目的主要是为了方便地球表面上的测量计算工作。

这个数学模型为规则的，它非常接近大地体并用来替代大地体。

坐标转换之计算公式一、参心大地坐标与参心空间直角坐标转换1名词解释：A ：参心空间直角坐标系：a) 以参心0为坐标原点；b) Z 轴与参考椭球的短轴（旋转轴）相重合；c) X 轴与起始子午面和赤道的交线重合；d) Y 轴在赤道面上与X 轴垂直，构成右手直角坐标系0-XYZ ；e) 地面点P 的点位用（X ，Y ，Z ）表示；B ：参心大地坐标系：a) 以参考椭球的中心为坐标原点，椭球的短轴与参考椭球旋转轴重合；b) 大地纬度B ：以过地面点的椭球法线与椭球赤道面的夹角为大地纬度B ；c) 大地经度L ：以过地面点的椭球子午面与起始子午面之间的夹角为大地经度L ；d) 大地高H ：地面点沿椭球法线至椭球面的距离为大地高H ；e) 地面点的点位用（B ，L ，H ）表示。

2 参心大地坐标转换为参心空间直角坐标：⎪⎭⎪⎬⎫+-=+=+=B H e N Z L B H N Y L B H N X sin *])1(*[sin *cos *)(cos *cos *)(2公式中，N 为椭球面卯酉圈的曲率半径，e 为椭球的第一偏心率，a 、b 椭球的长短半径，f 椭球扁率，W 为第一辅助系数ab a e 22-= 或 f f e 1*2-= W a N BW e =-=22sin *1(3 参心空间直角坐标转换参心大地坐标[]N BY X H H e N Y X H N Z B XY L -+=+-++==cos ))1(**)()(*arctan()arctan(22222 二 高斯投影及高斯直角坐标系1、高斯投影概述高斯-克吕格投影的条件：1. 是正形投影；2. 中央子午线不变形高斯投影的性质：1. 投影后角度不变；2. 长度比与点位有关，与方向无关；3. 离中央子午线越远变形越大为控制投影后的长度变形，采用分带投影的方法。

常用3度带或6度带分带，城市或工程控制网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带。

2、高斯投影正算公式：522242532236425442232)5814185(cos 120)1(cos 6cos )5861(cos sin 720 495(cos sin 24cos sin 2l t t t B N l t B N Bl N y l t t B B N l t B B N Bl B N X x ηηηηη-++-++-+=+-+++-++=）3、高斯投影反算公式：()()()⎥⎥⎦⎤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎢⎣⎡-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=442222224222422224590613601 9351211286242851201 )21(611cos 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f N y t t N y t t N y y M t B B N y t t t N y t N y B l ηηηηη四参数模型:。

244百家论坛2000国家大地坐标系及其转换方法刘焕国集安市国土资源局摘要：本文对2000国家大地坐标系的定义、实现及其与我国现行1954北京坐标系、1980西安坐标系的异同进行了介绍，分析了我国地方独立坐标系的情况，根据建立方法将地方独立坐标系概括为三种类型和组合，阐述了建立地方独立坐标系与2000国家大地坐标系的三种转换方法，对实现地方独立坐标系与2000国家大地坐标系的有效衔接，有利于地理信息系统与GPS有效的结合，可以进一步提升城市的综合服务能力，对推广2000国家大地坐标系和在2000国家大地坐标系原则下独立坐标系的继续使用具有重要的意义。

关键词：2000国家大地坐标系；地方独立坐标系；坐标转换1. 2000国家大地坐标系的特点1.1椭球定位方式不同参心坐标系是为了研究局部球面形状，在使地面测量数据归算至椭球的各项改正数最小的原则下，选择和局部区域的大地水准面最为吻合的椭球所建立的坐标系。

由于参心坐标系未与地心发生联系，不利于研究全球形状和板块运动等，也无法建立全球统一的大地坐标系。

2000国家大地坐标系为地心坐标系，它所定义的椭球中心与地球质心重合，且椭球定位与全球大地水准面最为密和。

.1.2实现技术不同我国现行参心坐标系是采用传统的大地测量手段，即测量标志点之间哦距离、方向，通过平差的方法得到各点相对于起始点的位置，由此确定各点在参心系下的坐标。

2000国家大地坐标系框架是通过空间大地测量观测技术、获取各测站在ITRF 框架下的地心坐标。

.1.3维数不同现行参心坐标系为二维坐标系，2000国家大地坐标系为三维坐标系。

.1.4原点不同现行参心坐标系原点与地球质量中心有较大偏差，2000国家大地坐标系原点位于地球质量中心。

.1.5精度不同参心坐标系由于当时客观条件的限制，缺乏高精度的外部控制，长距离精度较低，在空间技术广泛应用的今天，难以满足用户的需求。

2000国家大地坐标系有利于采用现代空间技术对坐标系进行维护和快速更新，有利于测定高精度大地控制点三维坐标，提高测图工作效率等。

对房产测量坐标系统选择的探讨——以宝鸡市为例内容简要：也为了适应国民经济和社会快速发展的需要，加快信息化建设的步伐，同时也为了加强土地管理和产权保护，摸清土地资源，实现土地利用的动态管理，更好的保护土地使用者的权益，科学的利用土地资源，建立健全地籍管理制度，通过对宝鸡市当地地理情况的了解，提出了建立适宜于该市的地籍测量新的坐标系的具体方法，为该市即将开展的城镇地籍更新调查中的地籍测量工作服务。

关键字：地籍测量1980西安坐标参考椭球面高斯投影高斯投影正反算主要内容：1.宝鸡市的城市规划宝鸡地处东经106°18′~108°03′，北纬33°35′~35°06′。

全市平均海拔618m(1985年数据)。

东西长156.6公里，南北宽160.6公里。

东连西安市、咸阳市，南接汉中市，西、西北分别与甘肃省天水市和平凉市毗邻，全市总面积18172平方公里，其中市区面积555平方公里，建成区面积83平方公里。

2、地籍测量对坐标系统的要求地籍平面坐标系统原则上应采用l 980西安坐标系，特殊情况确需采用l 954北京坐标系或地方独立坐标系的，经陕西省城镇地籍更新调查领导小组办公室同意后方可实施I当长度变形不大于2．5cm／km时，应采用高斯正形投影3。

带的平面直角坐标系，当长度变形大干2．5cm／km时，可采用投影于抵偿高程面上的高斯正形投影 3 °带平面直角坐标系或高斯正形投影抵偿带的平面直角坐标系。

我们知道，测量的总误差一般是由起始数据误差(m起)和测量本身误差(m测)组成。

如果考虑到长度投影变形引起的误差(m变)，则: 2m总=2m起+2m测+2m变若记2m=2m起+2m测则2m总=2m+2m变亦即m总=m1222m (1m变）按二项式展开，并保留主项，则有m 总=m 222m(1m +变） （1） 从上式可以看出，由长度投影变形引起的误差m 变越小越好，尽可能小到忽略不记的程度。