12.2.1作轴对称图形(2)

课题：--12.2.1轴对称（二）----------------------------------------------------------------------------------主备教师：--------------------------- 辅备教师：------------------------------教学重点：轴对称的性质线段垂直平分线的性质教学难点：体验轴对称的特征．教学过程教学环节教师导学辅备补充学生活动辅备补充．创设情境，引入新课．导入新课上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？今天继续来研究轴对称的性质．归纳图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，•那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．观看投影并思考．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、•B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直．AA′、BB′和CC′知识与技能了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质过程与方法探究线段垂直平分线的性质．情感、态度、价值观．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．下面我们来探究线段垂直平分线的性质．[探究1]如下图．木条L与AB 钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，•分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．与MN除了垂直以外还有什么关系吗？自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．探究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…证明．证法一：利用判定两个三角形全等．如下图，在△APC和△BPC中，PC PCPCA PCB Rt AC BC=⎧⎪∠=∠=∠⎨⎪=⎩⇒△APC≌△BPC⇒PA=PB.教学环节教师导学辅备补充学生活动辅备补充如右图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？证法二：利用轴对称性质．由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，•因此它们也是相等的．上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．•所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．板书设计：一、复习：轴对称图形．二、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．三、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．四、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．辅助设计：教学反思：让学生明白如果能够直接运用线段垂直平分线和角的平分线性质定理（或逆定理）完成证明，就不必通过全等三角形，否则是在重复定理的证明过程。

12.2.1作轴对称图形课标要求(1)能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形.(2)欣赏现实生活中的轴对称图形,结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称,能利用轴对称进行图案设计.学习目标1.认识轴对称变换的实质,会作已知图形关于某条直线对称的图形.能利用轴对称的一些性质设计图案.2.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点与直线上的某一点距离之和为最小值时的点的位置的确定.3.经历一系列活动,探究轴对称变换的实质,理解对称点是作轴对称图形的关键,培养观察能力、操作能力和分析问题、解决问题的能力.4.通过相关图片的学习感受对称美,体会数学与现实的密切联系,培养应用意识,激发数学学习的热情.重点:1.轴对称变换的意义. 2.作轴对称图形的方法.3.利用轴对称变换和平移变换设计精美的图案.难点:运用轴对称解决距离之和的最小值的问题.使用说明与学法指导1.用15分钟左右的时间,阅读课本39—42页的基础知识,自主高效预习,初步掌握一个平面图形,怎样得到它的轴对称图形.理解平面内一条直线同侧两个点与直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定.2.思考教材助读设置的问题,然后结合课本的基础知识,完成预习自测,并把自己的疑问写出来.预习案1.相关知识如右图,在一张半透明的纸的左边部分,画一只左脚印,把这张纸对折后描图,打开对着的纸,就能得到相应的右脚印.这时右脚印和左脚印成轴对称,折痕所在直线就是它们的对称轴,并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.类似地,我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形,重复这个过程,可以得到美丽的图案.对称轴方向和位置发生改变时,得到的图形有什么变化?2.教材助读⑴由一个平面图形如何得到它关于一条直线l成轴对称的图形?得到的新图形与原图形之间有什么关系?⑵如果有一个图形(几何图形、直线、线段和射线)和一条直线,如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢?⑶平面内一条直线同侧两个点与直线上的某一点距离之和为最小值时的点的位置如何确定?3.预习自测⑴由一个平面图形可以得到它关于某直线l成轴对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小_________;新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于_________的对称点;连接任意一对对应点的线段被_________垂直平分.⑵把下列图形补成关于直线l对称的图形.(3)对称轴是一对对应点所连线段的______________,对称轴上的点到一对对应点的距离________.'''关于直线l对称,且△ABC的面积是2cm2,则(4)△ABC与△A B C'''的面积是___________.△A B C(5)已知对称轴l和一点A,要画出点A关于l的对称点A',可以用以下方法:过点A作对称轴l的_________,垂足为______,延长______至_____,使A O'=______,则点A'就是点A关于直线l的对称点.(6)下列说法不正确的是( )A.正方形有4条对称轴B.线段没有对称轴C.半圆有一条对称轴D.圆是轴对称图形4.我的疑问请你将预习中未能解决的问题和有疑问的问题写下了,等待课堂上与老师和同学探究解决._______________________________________________________________探究案1.学始于疑⑴由一个平面图形如何得到它关于一条直线l 成轴对称的图形?得到的新图形与原图形之间有什么关系?⑵如果有一个图形(几何图形、直线、线段和射线)和一条直线,如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢?⑶平面内一条直线同侧两个点与直线上的某一点距离之和为最小值时的点的位置如何确定?请同学们用10分钟时间认真思考这些问题,并结合预习中自己的疑问开始下面的探究学习.2.质疑探究探究点一:轴对称变换(重点)将一张正方形纸片沿图所示的虚线剪开后,能拼出下列四个图形,则其中不能看成是由轴对称变换得到的是( )A B C D 探究点二: 作一个图形的轴对称图形(重点)(1)已知△ABC 和直线l ,作出与△ABC 关于直线l 对称的图形.(写出作法)(2)已知折线ABC 及直线PQ,求作折线A B C '''关于直线PQ 的对称图形.(3)下面说法:①轴对称和轴对称图形意义相同;②轴对称图形关于对称轴对称;③轴对称和轴对称图形的对称轴都是一条直线;④轴对称图形的对称点一定在对称轴的两旁,其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 归纳总结:_______________________________________________________ ________________________________________________________ 探究点三:确定平面内一条直线同侧两个点与直线上的某一点距离之和为最小值时的点的位置(难点)(1)如下图,要在燃气管道l 上修建一个泵站,分别向A,B 两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?(你可以在l 上找几个点试一A B C P QA B C试,能发现什么规律?)并说明你的理由. (2)如图,A 为马厩,B 为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.归纳总结:___________________________________________________ 探究点四:镜面对称与倒影对称(难点)从镜面里面看东西,左右正好相反.从水中看物体上下颠倒.(1)如下图,是在一面镜子里看到的一个算式,该算式的实际情况是怎样的?(2)如图,从镜子中看到一钟表的时针和分针,此时的实际时刻是________．(3)如图是一辆汽车车牌在水中的倒影,则该车的牌照号码是____________.3. 我的知识网络库⑴由一个平面图形得到它关于一条直线l 成轴对称的图形的方法:________ _______________________________________________________________; 经轴对称变换得到的新图形与原图形之间的关系:_____________________ _______________________________________________________________. ⑵平面内一条直线同侧两个点与直线上的某一点距离之和为最小值时的点的位置确定的方法:______________________________________________.l A ● ● B 草地 河 A ● 马厩● B 帐篷训练案1.(C)请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线上的空白处填上恰当的图形.2.(B)小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表,其读数如图所示,则电子表的实际时刻是________．3.(B)如右图,把一张长方形纸片对折,MN是折痕,并且沿着图中的AE剪这个图形(1)如果∠NAE=700,则∠AEM= ,∠EMN= ,∠MNA= ;(2)如果AN=5,ME=3,MN=8,在纸片被剪成的几部分中,四边形MEAN的面积的2倍是.4.(B)已知∠MON=45 ,其内部有一点P关于OM的对称点是A,关于ON的对称点是B,且OP=4cm,则S△AOB=__________.5.(C)如右图中,三角形1与_____成轴对称图形,整个图形中共有____条对称轴.6.(B)如图所示,把一个正方形对折两次后沿虚线剪下,展开后所得的图形是（）7.(C)如图,△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC,则以下结论中不正确的是( )A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.AC与BD互相平分D.l垂直平分AB,且l垂直平分CD8.(C)一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像（如图所示）,此时,它所看到的全身像是（）N AM E上折右折沿虚线剪开展开Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．lAOBCD1 23 4ＡＢＣＤ9.(C)以虚线为对称轴画出下列图形的另一半.10.(C)如图①所示,在一条河的同一岸边有A 和B 两个村庄,要在河边修建码头M,使M 到A 、B 两个村庄的距离之和最短,试确定M 的位置;若A 和B 在河的两侧,如图②所示,其他条件不变,又该如何确定M 的位置?11.(C)如图所示,M 、N 为△ABC 边AB 与AC 上两点,在BC 边上求作一点P,使△PMN 的周长最小.12.(B)如图,点A 是∠MON 内任一点,求作:△ABC,使B 在OM 上,C 在ON 上,且使△ABC 的周长最小,试说明理由.13.(B)如图,已知直线MN 与其异侧两点A 、B,在MN 上求作一点P,使PA-PB 最大,并说明理由. M ●● N B A C l lA ● A ● ●B ● B ① ② ● AN M O l A ● ● B。

第十二章轴对称12.1.1轴对称（1）学习目的1．通过展示轴对称图形的图片，使学生初步认识轴对称图形；2．通过试验，归纳出轴对称图形概念，能用概念判断一个图形是否是轴对称图形；3．培养学生的动手试验能力、归纳能力和语言表述能力。

学习过程：一、探究活动（一）1.动手做剪纸：（1）将一张长方形的纸对折；（2）在纸上画出一个你喜欢的图形；（3）沿线条剪下；（4）把纸展开；2.观察下面的图形，它们有什么共同特征?3.结论：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做，这条直线就是它的。

这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

二：尝试应用（一）1.先想后做：下面图形是轴对称图形吗？如果是，请画出它们的对称轴。

等腰三角形等腰梯形等边三角形平行四边形正方形圆2.想一想下列英文字母中，那些是轴对称图形？3.猜字游戏（抢答）在艺术字中，有些汉字是轴对称的，猜猜下列是哪些字的一半？三：探究活动（二）1.（1）.看下面两组图形，和刚才的蝴蝶，枫叶等比较，有什么不同？第一组第二组（2）思考: 这两幅图有什么共同点？2.结论：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形这条直线叫做，折叠后重合的点是对应点，叫做。

四：尝试应用（二）1.下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点。

2. 说出图中点A 、B 、C 、D 、E 的对称点。

3.思考：（1）成轴对称的两个图形全等吗?（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？（3）把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个什么图形？ 4. 比较归纳。

轴对称图形 两个图形成轴对称区别个图形个图形联系1.沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够2.都有3.如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线 五：链接中考1.下图是由小正方形组成的“L”形图。

大明中学2011-2012学年度上学期八年级数学导学案）你能画出这个图案的另一半吗?
页，找出轴对称变换的性质
由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴探究二：作出ABC
关于直线l的
对称图形
m
C
B
D A
C
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的对称图形
2、在一片辽阔的草原上，有一条河l，在河的同侧有两个村寨
民从村寨A出发，到河边饮马，然后赶往村寨
l
短？请在图中画出这位牧民行走的路线。

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12.2作轴对称图形（第二课时）◆随堂检测1．用坐标表示轴对称的点的坐标变换规律：点（x,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ，-y ）；点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x ，y ）．2．点（2， b ）与（a ，- 4）关于y 轴对称，则a= ，b=3．如图，正方形ABCD 的中心为O ，AD ∥x 轴,CD ∥y 轴,若点A 的坐标为（1，1）4．如图，△ABC ，求顶点A 、B 、C 关于y 轴对称点的坐标。

5.如图，已知△ABC 四个顶点的坐标分别为A(0,3),B(-3,1),C(2,0),作出与△ABC 关于x 轴对称的轴对称图形.◆课下作业1．如图，如果A B C '''△与ABC △关于y 轴对称，那么点A 的对应点A '的坐标为（ ）A （1，-3）B （-1，-3）C （-1，3）D （3，-1） 2．关于直线x =m (或直线y =n )对称的点的坐标变换关系：点(a,b )关于直线x =m 对称的点的坐标为 ；点(a,b )关于直线y =n 对称的点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系xoy 中，(15)A -，，(10)B -，，(43)C -，．求出ABC △的面积．在图中作出ABC △关于y 轴的对称图形111A B C △．写出点111A B C ，，）(第22题图）的坐标4．阿里巴巴在一个秘密的山洞里发现了一张藏宝图，可图上很多字迹都已模糊不清，依稀可辨的是山洞A 坐标是（-2，3），山洞B 坐标是（2，3），藏宝点与A 关于x 轴对称．你能想个办法帮阿里巴巴在图上找到藏宝点吗？A （-2，3）..B （2，3）5．如图，从△ABC 到△A ′B ′C ′是进行的平移变换还是轴对称变换，如果是轴对称变换，找出对称轴，如果是平移变换，是怎样平移的？6.点(35)p ，-关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ． (3,5)-- B ． (5,3) C ．(3,5)- D ． (3,5) 7．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O 成中 心对称的图形．若点A 的坐标是(13)，，则点M 和点N 的坐标分别为（ ） A ．(13)(13)M N ---，，， B ．(13)(13)M N ---，，， C ．(13)(13)M N ---，，，D ．(13)(13)M N --，，，3．如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线． (1) 由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A '的坐标为（2，0），请在图中分别标明B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标: B ' 、 C' ； (2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (a ,b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）； 运用与拓广：(3) 已知两点D (1,-3)、E (-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小。

教学过程设计前几课我们研究了轴对称的有关知识，这节课我们研究用轴对称解决实际问题。

二、探究新知探究：1．如图1，小区A、B分居公路l两侧，现要在公路旁建一个液化气站C，要求到两个小区的距离之和最短，问应建在什么地方？请作出点C.2．如图2，要在燃气管道l上修建一个泵站C，分别向同侧两镇A，B供气，问泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？为什么？3．对于问题2，我们不妨随意假设建在P处，受第1题启发，可考虑利用轴对称把A，P的距离转化为PA,'的距离，如图3，这样到两镇的距离之和就等于PBPA+'，你还能使这个距离之和比图中再小些吗？归纳：1. 求直线上一点到同侧两点的距离和最小问题，一般是通过作关于直线的对称点，转化为异侧两点距离和最小问题，之后根据两点之间线段最短解决问题.老师引出本节课的课题，并板书课题。

学生自己画图，确定点C，说出理由。

教师引导学生把问题2转化为问题1来解决。

学生通过观察图3发现老师给出的点P不满足距离和最短，合作交流重新画图。

并说明理由。

情境引入简单直奔主题，使学生非常清楚这节课的重点内容。

为异侧点问题作铺垫，分散其难度，便于学生接受。

问题3的设计目的把问题2的难点继续分散，便于学生更容易理解。

学生通过观察、思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现，作法：1. 作点A关于直线l的对称点A'2. 连结BA'，交直线l于点C，点C是所求位置.2. 距离和最小的证明，是一种较特殊的证明方法.通常是任选一个异于所求的点，再算距离和，与“最小的距离和”进行比较，因为选点具有任意性，所以结论具有一般性.【例题】如图，AD为等腰ABC∆底边上的高，E 为AC上一点，在AD求一点F，使CFEF+最小.【解析】等腰三角形是轴对称图形，直线AD为对称轴。

因E、C在AD同侧，须将其中一点转化为对称点，与另一点连结，交AD于点F。

本题中，点B就是点C的对称点，可直接连结BE.三、课堂训练1. 如图，在一条河的同岸边上有A、B两个村庄，现在两村准备联合在河边修建一座抽水站。

作轴对称图形作轴对称图形（一）教学目标（一）教学知识点1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．（二）能力训练要求经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．（三）情感与价值观要求1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．2．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．3．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点1．轴对称变换的定义．2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．教学难点1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．2．利用轴对称进行一些图案设计．教学方法讲练结合法．教具准备多媒体课件．教学过程Ⅰ．设置情境，引入新课在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．[生甲]将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，•得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．[生乙]准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，•位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．[师]大家回答得太好了，•这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形．Ⅱ．导入新课[师]刚才同学们说出了几种得到轴对称图形的方法，•由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．（电脑演示下面图案的变化过程）大家看大屏幕．对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途．[师]下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，•再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下．（学生动手做）结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，•这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．[师]我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．动手做一做．（课件演示）取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，•一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E，用小刀把画出的字母E 挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案的花边．回答下列问题．（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？•相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由．（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？•三个图案为一组呢？为什么？（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，•然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做．注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些．投影仪演示学生的作品．[生甲]相邻两个图案成轴对称图形，相间的两个图案之间大小和方向完全一样．[生乙]都成轴对称关系．[生丙]得到与上面类似的两层花边，它仍然是轴对称图形．[师]下面我们做练习．Ⅲ．随堂练习（课件演示）（一）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对折折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2）．（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？（2）这个图形有几条对称轴？（3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？答案：（1）轴对称图形．（2）这个图形至少有3条对称轴．（3）取一个正十边形的纸，沿它通过中心的五条对角线折叠五次，•得到一个多层的36°角形纸，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，•打开即可得到一个至少含有5条对称轴的轴对称图形．（二）回顾本节课内容，然后小结．Ⅳ．课时小结本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，•并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．Ⅴ．课后作业（课件演示）（一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，•得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含90°角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平．（1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做．（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试．（3）如果将正方形纸按上面方式折3次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，•展开后结果又会怎样？为什么？（4）当纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3次呢？答案：（1）得到一个有2条对称轴的图形．（2）按照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的2条对称轴；因此（1）•中的图案一定有2条对称轴．（3）按题中的方式将正方形对折3次，相当于折出了正方形的4条对称轴，•因此得到的图案一定有4条对称轴．（4）当纸对折2次，剪出的图案至少有2条对称轴；当纸对折3次，•剪出的图案至少有4条对称轴．（二）自己设计并制作一个花边．（三）收集并欣赏1～2个对称的中国民间剪纸图案，你能找出它的对称轴吗？Ⅵ．活动与探究如果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字”，你想怎样剪？设法使剪的次数尽可能少．过程：学生通过观察、分析设计自己的操作方法，教师提示学生利用轴对称变换的应用．结果：“小人”可以先折叠一次，剪出它的一半即可得到整个图．“十字”可以折叠两次，剪出它的四分之一即可．板书设计备课资料艺术作品中的对称许多著名画家在作品中运用简单的图形创造出了奇妙的韵意．•法国著名画家V．瓦萨雷利于1969年创作了名画《委加．派尔》，画中仅仅用了“圆”形图案，就形成了一幅动态的轴对称图形！在从古至今的艺术创作中，不仅画家大量运用了对称，许多别的艺术家也经常运用对称的手法．如雕刻家威廉斯．多佛1971年在加蓬《非洲人的设计》中创作的“木制卫兵雕像”就是典型的雕刻艺术中的对称．带状装饰图案的做法油漆工只需要不断移动镂花模板（可以直接移动，也可以将翻转与移动相结合），就可以完全一条美丽的镶边图案．感兴趣的话自己试一试．§12．2．1作轴对称图形（二）教学目标（一）教学知识点1．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．2．轴对称的简单应用．（二）能力训练要求1．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．2．培养学生运用轴对称解决实际问题的基本能力．3．使学生掌握数学知识的衔接与各部分知识间的相互联系．（三）情感与价值观要求1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．教学难点应用轴对称解决实际问题．教学方法讲练结合法．教具准备多媒体课件，方格纸数张．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]上节课我们学习了轴对称变换的概念，•知道了一个图形经过轴对称变换可以得到它的轴对称图形，那么具体过程如何操作呢？这就是我们这节课要学习的．•下面同学们来仔细观察一个图案．（课件演示）以虚线为对称轴画出图的另一半：[生甲]这个图案（1）左右两边应该完全相同，画出的整个图案的形状应该是个脸．[生乙]图案（2）画出另一半后应该是一座小房子．[师]大家能把这两个图案的另一半画出来吗？[师]我们利用方格纸来试着画一画（教师发给每人一张方格纸，且纸上画有图）．……[师]画好了吧？我们今天就来学习作出简单平面图形经过轴对称后的图形．Ⅱ．导入新课[师]如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？我们知道：任何一个图形都是由点组成的．因为我们来作一个点关于一条直线的对称点．由已经学过的知识知道：•对应点的连线被对称轴垂直平分．所以，已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L•的对应点A′，可采取如下方法：（1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B；（2）在垂线上截取BA′，使BA′=AB．点A′就是点A关于直线L的对应点．好，大家来动手画一点A关于直线L对称的对应点，教师口述，大家来画图，要注意作图的准确性．……[师]画好了没有？[生]画好了．[师]好，现在我们会画一点关于已知直线的对称点，那么一个图形呢？•大家请看大屏幕．（演示课件）[例1]如图（1），已知△ABC和直线L，作出与△ABC关于直线L对称的图形．[师]同学们讨论一下．……[生甲]可以在已知图形上找一些点，然后作出这些点关于这条直线的对应点，再按图形上点的顺序连结这些点．这样就可以作出这个图形关于直线L的对称图形了．[师]说说看，找几个什么样的点就行呢？[生乙]△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要找A、B、C三点就可以了． [师]好，下面大家一起动手做．作法：如图（2）．（1）过点A作直线L的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线L的对称点；（2）类似地，作出点B、C关于直线L的对称点B′、C′；（3）连结A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求．[师]大家做完后，•我们共同来归纳一下如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．归纳：几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连结这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、•线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．[师]看来在作一个平面图形关于直线轴对称的图形，找一些特殊点是关键．下图中，要作出图形的另一半，哪些点可以作为特殊点？并画出图形的另一半．[师]大家作个简单讨论，共同来完成这个题．[生]在图形（1）上找三个点，在图形（2）中找一个点就可以，如下图：[师]现在我们来做练习．Ⅲ．随堂练习课本P41练习 1、2．1．如图，把下列图形补成关于直线L对称的图形．提示：找特殊点．答案：图（略）2．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，•看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．答案：本题答案不唯一，要求学生尽可能用准确的数学语言将自己剪出的三角形的情况进行表述．Ⅳ．课时小结本节课我们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．在按要求作图时要注意作图的准确性．求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线的对称点．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．Ⅴ．课后作业（一）课本P45习题─1、5、8、9题．（二）预习内容P43～P46．Ⅵ．活动与探究[探究1]如图（1）．要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？过程：把管道L近似地看成一条直线如图（2），设B′是B的对称点，•将问题转化为在L上找一点C使AC与CB′的和最小，由于在连结AB′的线中，线段AB′最短．因此，线结AB′与直线L的交点C的位置即为所求．结果：作B关于直线L的对称点B′，连结AB′，交直线L于点C，C为所求．[探究2]为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明AC+CB最小．结果：如上图，在直线L上取不同于点C的任意一点C′．由于B′点是B点关于L的对称点，所以BC′=B′C′，故AC′+BC′=AC′+B′C′，在△A′B′C′中AC′+BC′>AB′，•而AB′=AC+CB′=AC+CB，则有AC+CB<AC′+C′B．由于C′点的任意性，所以C点的位置修建泵站，可以使所用输气管线最短．板书设计§12．2．1作轴对称图形（二）一、已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L的对称点A′，方法如下：（1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B．（2）在垂线上截取BA′=AB．则点A′就是点A关于直线L的对应点，二、例1三、随堂练习四、课时小结五、课后作业备课资料参考练习1．已知△ABC，过点A作直线L．求作：△A′B′C′使它与△ABC关于L对称．作法：（1）作点C关于直线L的对称点C′；（2）作点B关于直线L的对称点B′；（3）点A在L上，故点A的对称点A′与A重合；（4）连结A′B′、B′C′、C′A′．则△A′B′C′就是所求作的三角形．2．已知a⊥b，a、b相交于点O，点P为a、b外一点．求作：点P关于a、b的对称点M、N，并证明OM=ON（不许用全等）．作法：（1）过点P作PC⊥a，并延长PC到M，使CM=PC．（2）过点P作PD⊥b，并延长PD到N，使得DN=PD．则点M、N就是点P关于a、b的对称点．证明：∵点P与点M关于直线a对称，∴直线a是线段PM的中垂线．∴OP=OM．同理可证：OP=ON．∴OM=ON．3．为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，•要求设计的图案由圆、三角形、矩形组成（三种几何图案的个数不限），并且使整个圆形场地成轴对称图形，请你画出你的设计方案．答案：略。