完整六年级奥数 抓不变量解题

2022-2023学年小学六年级思维拓展专题 抓不变量解题(分数的基本性质)知识精讲一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

典例分析【典例01】将4361的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。

解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。

”分母：(61-43)÷1-79=81分子：81×79=6381-61=20或63-43=20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大(18÷2=)9倍。

179的分子、分母应扩大：(61-43)÷(9-7)=9(倍)2约分后所得的79在约分前是：79=7×99×9=63813所加的数是81-61=20答：所加的数是20。

【典例02】将一个分数的分母减去2得45，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54倍还多2。

由“分母加1得23”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：(2+1)÷32-54=12分母：12×32-1=17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

1将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。

23=46=1218，45=12152原分数的分母是：18-1=17或15+2=17答：这个分数为12 17。

【典例03】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于57。

如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于12，求原来的最简分数是多少。

第15讲抓“不变量”解题教学目标掌握“总量不变”，“相差量不变”和“部分量不变”三种不变量思想，并能用不变量思想解决现实生活中的问题。

知识梳理一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。

如“某班转走3名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了……只有注意到这些变化，才能防止出错。

但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。

在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。

抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。

根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。

典例分析考点一：总量不变题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。

解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。

例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?例2、小丽有故事书108本，小芳有故事书140本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是小芳的3倍。

问小芳借了多少本故事书给小丽？例3、有一个书架，上层与下层书的数量比是2：3，现从上层拿15本书给下层，这时上层与下层书的数量比是3：7，求原来上、下层各有多少本书？考点二：相差量不变题中的两个量同时增加，或者同时减少，但是这两个量的差始终保持不变。

根据这个不变的差量，就可以解决问题了。

例1、有一个书架,上层与下层的数量比是7:8,上、下层同时都拿走10本后,剩下上层与下层本数的比是13:15,求原来上、下层各有多少本?例2、今年琪琪5岁，妈妈32岁，再过多少年妈妈的岁数是琪琪岁数的4倍？例3、用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进6杯水，连瓶共重680克，如果倒进9杯水，连瓶共重920克，求空瓶的重量。

小学六年级奥数课件：抓住不变量解 题
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
Thank you
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿

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抓不变量解题1．甲、乙两包糖果的重量的比是 4 ：1,如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖果重量的比变为7 ：5.那么两包糖果重量的总和是多少？2.小明读一本书，已读的和末读的页数比是 1 ：5.如果再读30页，则已读的和末读的页数之比为3 ：5。

这本书共有多少页？3。

运输队要运一批货物，已经运走的和剩下的比是 1 ：4.如果再运走4吨，那么运走的和剩下的比为3 ：7。

这批货物共多少吨？4。

六年级二班同学分成两个小组做游戏，开始时甲、乙两个组的人数比是5：3，游戏结束时甲组有14人被抢到了乙组，这时甲、乙两组人数比是1：2．甲组原有同学多少人?5。

甲、乙两书架的数量比是4:1，如果从甲书架取出13本书放入乙书架，甲、乙两书架的数量比变为7：5,那么两书架的数量总和是多少本？6。

修一条公路,已修长度和未修长度的比是1：5，又修了490米后，已修长度和未修长度的比是3：1，这时未修公路的长度为多少米？8.一条公路，已修的与剩下的比是1：3,再修20千米，已修的与全长的比是2：5,这条公路长多少千米?9。

有甲、乙两个课外活动小组，甲组的人数是乙组的，后来又从乙组调16人到甲组，这是乙组人数是甲组的，甲、乙两组原来各有多少人？10. 甲、乙两校原有篮球只数的比是2︰1，如果甲校给乙校4只篮球,甲、乙两校篮球只数的比就是4︰3。

六年级奥数抓不变量解题
在六年级奥数中，抓不变量是一种常用的解题方法。

抓不变量是指在问题的每一步变换中，通过找到一个保持不变的性质来解决问题。

以下是一些常见的抓不变量解题方法和例子：
1. 总数不变：问题中的某些属性总数保持不变。

例子：有一串递增的连续整数，如果删除其中一个数，则剩下的数可以排成递增的连续整数。

这里总数不变的抓不变量是递增的连续整数的总数。

2. 和不变：问题中的某些数的和保持不变。

例子：一个棋盘上有若干个棋子，每次转动或移动棋盘上的一行或一列。

证明每次转动或移动后，棋盘上白色棋子的和与黑色棋子的和保持相同。

这里和不变的抓不变量是白色棋子的和与黑色棋子的和。

3. 差不变：问题中的某些数之间的差保持不变。

例子：有一组数字，每次选择其中的两个数a和b，然后将它们替换为a+b 和|a-b|。

证明无论选择哪两个数，替换后的数列的最小值都保持不变。

这里差不变的抓不变量是任意两个数的差的绝对值。

抓不变量方法通常需要通过观察问题的性质和变换规律来发现，并根据它们构造合适的抓不变量。

通过抓不变量，可以简化问题的复杂性，提供思考方向，使问题的解决更加直观和简单。

抓“不变量”解题
姓名：
例1：将61
43的分子与分母同时加上某数后得97
，求所加的这个数。

练习：
1、 分数181
97
的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是52。

那么减去
的数是多少? 2、分数131的分子、分母同加上一个数后得5
3。

那么加上的这个数是多少？ 3、193的分子、分母加上同一个数并约分得7
5。

那么加上的这个数是多少？
例2：将一个分数的分母加上5得7
3，分母加上4得9
4。

求这个分数。

练习：
1、将一个分数的分母加上2得97，分母加上3得4
3。

原来的分数是
2、将一个分数的分母加上3得4
3，分母加上2得5
4。

原来的分数是
3、将一个分数的分母减去2得5
4。

如果将它的分母加上1，则得3
2，这个分数
例3：在一个最简分数的分子加一个数，这个数就等于7
5。

如果在它的分子上减去同一个数，这个数就等于2
1。

求原来的最简分数是 多少？ 练习：
1、 一个最简分数，在它的分子上加上一个数，这个分数就等于8
5，如果在它
的分子上减去同一个数，这个分数就等于2
1。

求这个分数。

2、 一个最简分数，在它的分子上加上一个数，这个分数就等于7
6，如果在它
的分子上减去同一个数，这个分数就等于3
1。

求这个分数。

3、一个分数，在它的分子上加上一个数，这个分数就等于9
7，如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于5
3。

求这个分数。

题。
常用解题方法：一元一次方程，二元一次 方程组，分式方程，归纳法等
抓住“不变量”解题
将43 的分子与分母同时加上某数后得7 ，求所加的这个数
61
9
读懂题意，抓住“不变量”
将一个分数的分母减去2得4 ，如果将它的分母加上1，则得2 ，求这个分数。
5
3
例3.
在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于5 。如果在它的分子上减去 7
同一个数，这个分数就等于1 ，求原来的最简分数是多少 2
例4.
将一个分数的分母加 3 得7 ，分母加 5 得3 。原分数是多少？
9
4
将一个分数的分母加 3 得7 ，分母加 5 得3 。原分数是多少？
9
4
分子不变，他肯定是3和7的公倍数，将他们的分 子变成21后可发现分母相差1，而题中一次加3， 另一次加5，相差2，故原分数的分子是42，相应 的可得分母
25 ? 3 5?
案例解析：本题的解题关键在于弄明白 依题意可以设x年后，小头爸爸的年龄是大头儿子的3倍，则
有(25+X)/(5+X)=3，得出X=5，也就是5年后，小头爸爸的年龄是大头儿子的3倍。
总体诀窍：找出不变量，找出问 题与题干之间的联系，结合所学 知识，以“不变”应万变解决问
归纳和总结
1.认真读题，读懂题干内容 2.对题干关键性词语做出标注 3.破题--确定变量，从题干提取数据 4.解题--认真计算，仔细检查
课后作业
1.回顾今天所学内容，消 化课知识
2.家庭作业部分三道习题
小升初进阶班奥数
第一讲 抓住“不变量”解题
上课要求
1.兴趣浓厚，热爱这门课程（兴趣） 2.认真听讲，按时完成作业（勤奋） 3.积极作答，遇到问题及时咨询老师（勇敢） 4.敢于质疑，对源自师上课有要求（主见）情境导入

六上·第6讲抓不变量问题（比的应用）模型1：抓和不变【模型概述】几个量的和不变【模型梳理】在一些关于比的问题中，如内部调配问题（也叫给来给去问题），几个量的和会保持不变，则变化前后它们对应的份数和也应该不变。

【模型公式】解决这类问题的主要步骤如下：①计算份数和：分别计算变化前、后几个量的份数和。

②统一份数和：将各个份数和统一成它们的最小公倍数。

③求1份的量：变化的量÷对应的份数差＝1份的量④求所求量：所求量＝所求量对应的份数×1份的量【模型例题】甲、乙两箱中粉笔盒数的比是5∶1，如果从甲箱中取出12 盒放入乙箱后，甲、乙两箱中粉笔盒数的比是7∶5，那么甲、乙两箱中粉笔共有多少盒?【分析】甲乙两箱中粉笔盒数的和是一个不变量粉笔盒数的和＝12÷12盒占总盒数的几分之几＝12÷（甲箱中原来粉笔盒数占比－甲箱中现在粉笔盒数占比）【解答】12÷（55＋1－77＋5）＝48（盒）答：甲、乙两箱中粉笔共有48盒。

【真题演练】（荆州月考）张阿姨打一份稿件，打了一些后，已打页数与剩下页数的比是1：4，又打了25页，此时已打页数与剩下页数的比是3：7。

这份稿件共多少页？模型2：抓差不变【模型概述】两个量的差不变【模型梳理】在一些关于比的问题中，如同增同减问题（两个量同时增加或减少相同的量），两个量的差会保持不变，则变化前后它们对应的份数差也应该不变。

【模型公式】解决这类问题的主要步骤如下：①计算份数差：分别计算变化前、后两个量的份数差。

②统一份数差：将各个份数差统一成它们的最小公倍数。

③求1份的量：变化的量：对应份数的差＝1份的量④求所求量：所求量＝所求量对应的份数×1份的量【模型例题】甲书架上书的数量与乙书架上书的数量的比是4∶7，两个书架上各増加33本书后，甲书架与乙书架上书的数量比是5∶6。

甲、乙两个书架上原来各有多少本书？【分析】两个书架上书本数量的差不变①计算甲乙书架份数差；②将各个份数差统一成它们的最小公倍数；③求1份的量是多少本；④甲、乙两个书架上的书本数＝甲、乙两个书架对应的份数×1份的量【解答】7—4＝3（份）6－5＝1（份）5∶6＝（5×3）∶（6×3）＝15∶1833÷（15—4）＝3（本）甲：4×3＝12（本）乙：7×3＝21（本）答：甲书架上原来有12本书，乙书架上原来有21本书。

第21讲“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

二、精讲精练【例题1】将6143的分子与分母同时加上某数后得97，求所加的这个数。

解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。

” 分母：（61-43）÷（1－79）＝81 分子：81×79＝63 81-61＝20或63-43＝20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 约分后所得的79在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

练习1： 1、分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25，那么减去的数是多少？2、分数113 的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？3、将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？【例题2】将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54 倍还多2。

由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：（2+1）÷（32 －54）=12 分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

六年级抓不变量解答分数应用题一、抓住和不变1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人?练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。

如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户?2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱?3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?二、抓住部分不变1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。

又买来多少本科技书？练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重多少千克?2、现有质量分数为20％的食盐水80克。

把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克?练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块?2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人？三、抓住差不变王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？综合练习：1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。

那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个?2、现有浓度为20％的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克?3、乙队原有人数是甲队的3/7。

抓“不变量”解题1将4361的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。

2、分数97181的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25，那么减去的数是多少？3、分数113的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？4、319的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？5、将5879这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？6将一个分数的分母减去2得45，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。

7 将一个分数的分母加上2得79，分母加上3得34。

原来的分数是多少？8 将一个分数的分母加上2得34，分母加上2得45。

原来的分数是多少？9 将一个分数的分母加上5得37，分母加上4得49。

原来的分数是多少？10 将一个分数的分母减去9得58，分母减去6得74。

原来的分数是多少？11在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于57 。

如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于12 ，求原来的最简分数是多少。

12、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于58 。

如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于12，求这个分数。

13、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于67 。

如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于13，求这个分数。

14、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于79 。

如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于35，求这个分数。

15将一个分数的分母加3得79 ，分母加5得34 。

原分数是多少？16、一个分数，将它的分母加5得56 ，加8得45 ，原来的分数是多少？（用两种方法）17、将一个分数的分母减去3，约分后得67；若将它的分母减去5，则得78。

原来的分数是多少？（用两种方法做）18、把一个分数的分母减去2，约分后等于34。

如果给原分数的分母加上9，约分后等于57。

求原分数。