微积分上册练习2

微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

《微积分II 》练习题一、 填空题1．函数()y x z +=ln 1的定义域是_______________ 。

2．函数(,)f x y =，则定义域为 。

3． 。

4.设(,)(f x y xy y =+-(,1)x f x = _______ 。

5.设222ln y x e z x +=，则=)1,1(dz 。

6．函数yx z =在（2，1）点处的全微分为_______________。

7.22()Dxyf x y dxdy +=⎰⎰。

（其中D ：由曲线221y x y ==与所围成）。

8. 改变积分次序210(,)xx dx f x y dy ⎰⎰= _________ 。

9.微分方程'sin cos x y y x e -+=的通解是 。

10.微分方程0=+'y y 满足初始条件10==x y的特解 。

二、选择题1．极限).(2lim22)0,0(),(=+→yx xyy x（A ）;0 （B ）;1 （C ）;2 （D ）不存在。

2．二元函数z=f(x,y)在点),(00y x 处各偏导数存在是全微分存在的（ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、无关条件 D 、充要条件 3.设 f(x,y) 在点（a,b ）处的偏导数存在，则=--+→xb x a f b x a f x ),(),(lim（ ）(A) 0 (B) ),2(b a f x '),(,),( 22=-=-y x f y x y xy x f 则(C) ),(b a f x ' (D) ),(2b a f x ' 4．若)y , (x f z =在点P （x ，y ）处x z ∂∂，yz ∂∂都存在，则下列结论正确的是（ ）。

（A ）),(y x f z =在P 点可微； （B ）),(y x f z =在P 点连续；（C ）若x z ∂∂，y z ∂∂在P 点连续，则=∂∂∂y x z 2xy z∂∂∂2； （D ）以上结论都不正确 5．交换⎰⎰yadx y x f dy 00),(（a 为常数）的次序后得（ ）A 、⎰⎰aydy y x f dx 0),( B 、⎰⎰ax a dy y x f dx ),(0C 、⎰⎰xady y x f dx 0),( D 、⎰⎰yaa dy y x f dx),(6．二次积分⎰⎰⎰⎰--+2 12 01 02 0),(),(2xx x dy y x f dx dy y x f dx 可交换积分次序的为（ ）（A ）⎰⎰-22 0),(x dx y x f dy ； （B ）⎰⎰--+12 11 2),(yy dx y x f dy ；（C ）⎰⎰--1y-2 11 2),(y dx y x f dy ； （D ）⎰⎰-2 02 02),(x x dx y x f dy7. D 是由x x y y =-==-=1111，，，所围成的区域，则2d Dσ⎰⎰=( ) (A) 1； (B) 2 ； (C) 4 ； (D) 88．函数xy=(c+x)e 是方程的2220d y dyy dx dx-+=的（ ） A. 通解 B. 特解 C. 解 D. 不是解三、解答题1．求极限 .)sin(lim 22200y x y x y x +→→. 2．求函数2ln(2);u uu x x y x y x∂∂=-∂∂∂的偏导数；。

《微积分（2）》练习题2答案一、求下列积分（4小题，每小题9分，共36分）3411(3)xx dx x+-⎰、 解：原式c xx x+++=34313ln 34122cos x xdx ⎰、 解：原式⎰+++=-=c x x x x x xdx x x x sin 2cos 2sin sin 2sin 22，13⎰、 解：令2t x =，原式)2ln 1(2)]1ln([2121010+=+-=+=⎰t t dt t t4134xx e dx ⎰、 解：原式)1(41|41411041044-===⎰e edx exx，二、求下列偏导数（3小题，每小题9分，共27分）45z 1sin(),z z x y x yδδδδ=+、 求， 解：)cos(4543y x x x z +=∂∂ )cos(5544y x y x z +=∂∂ 22z 2(,),z z f x y xy x yδδδδ=-、 求，解：y f x f xz 212'+'=∂∂x f y f xz 212'+'-=∂∂333z 3(,)x 31z z f x y y z xyz x yδδδδ=++-=、 由确定，求，解：两边对x 求偏导数： 0333322='--'+xx z xy yz z z x 得 xyzx yz xz 333322--=∂∂ 两边对y 求偏导数： 0333322='--'+y y z xy xz z z y 得 xyzy xz yz 333322--=∂∂三、解下列常微分方程（2小题，每小题9分，共18分） 21cos dx xdx =、 y 解：dx x dy y ⎰⎰=cos 2，c x y+=sin 313，224dy xy x dx+=、解：2)2(]4[22222+=+=⎰+⎰=--⎰x x x dx x dxx ce e c e dx e x c e y ， 四、求曲线22y x =-与直线y x =围成的面积（9分） 解：2/9)2/3/2()2(1223212=--=----⎰x x x dx x x五、(,)z z x y =由F(x-y,y-z,z-x)=0确定，求z z xyδδδδ+（10分）解：32F F F z '+'-='，31F F F x '-'='，21F F F y '+'-='，1-=''+''=∂∂+∂∂z y z x F F F F yz xz ，注：第三题第1小题 xdx dxy cos 2= 应改为 xdx dy y cos 2=；第二题、第五题中所有yz xz δδδδ 中的符号 δ 都要改成 ∂ ；。

微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。

微积分II （甲）多元函数积分学练习题一、二重积分 １.计算二重积分22d Dx yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域． ２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.４．计算二重积分2,{(,)1,02}Dy xd D x y x y σ-=≤≤≤⎰⎰５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{}22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积． 10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心．二、三重积分 11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成． 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )， 求Ω的质量m ．三、曲线积分19． 计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。

微积分上册本科复习题二一、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。

共9小题，每小题2分，共18分）1. 函数()f x =ln(2)x +- 的定义域是(2,3)2. 设31()21x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，则 1lim ()x f x -→=3； 1lim ()x f x +→=2-3. 函数1sinxy e =是由简单函数1,sin ,u y e u v v x===复合而成的.4. 01lim sin2x x x→=05. 1lim(1)x x x→∞-=1e -6. 已知323y x x =+，则y 的凸区间（下凹区间）是(,1)-∞-；拐点是(1,2)-7. 曲线 sin y x =上点(,0)π处的切线方程是x y π+=8. 设 y ，则 dy =dx9. 曲线2x y e -=的水平渐近线是0y =二、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。

共9小题，每小题2分，共18分） x 等价的是（ B ）（A ） 22x x + ( B ) sin x ( C ) sin x x + ( D ) 3x 2. limx →∞sin xx=（ D ） （A ） 1 ( B ) 不存在 ( C ) ∞ ( D ) 0 3. 0sin 3limx xx→ =（ D ）（A ） 13( B ) 1 ( C ) 0 ( D ) 3 4. 曲线 31y x =+ 的铅垂渐近线为（ C ） （A ） 0y = ( B ) 1y = ( C ) 1x =- ( D ) 0x =5. 设2()x f x e -=，若()0f ξ'=，则ξ=（ A ）（A ）0 ( B ) 2- ( C ) 1 ( D ) 26. 设11()11x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，则函数()f x 在点1x =处（ C ） （A ）极限不存在 ( B ) 连续 ( C ) 间断 ( D ) 可导7. 函数32101y x x =++的3阶导数y '''=（ A ）（A ） 6 ( B ) 6x ( C ) 3x ( D ) 23x 8. 若0()0f x '=，0()0f x ''<，则0()f x 是函数()f x 的（ B ）（A ）极小值 ( B ) 极大值 ( C ) 最小值 ( D ) 最大值9. 已知某商品生产Q 个单位产品的成本函数是2()34Q C Q =+，则生产10个单位产品时的边际成本是（ A ）（A ） 5 ( B ) 28 ( C ) 2.8 ( D ) 3三、计算题（共7小题，每小题6分，共42分）1.求极限 4216lim 2x x x →--解：4216lim 2x x x →--42(16)lim(2)x x x →'-='-324lim 1x x →=……………………… 4分 34232=⨯= ……………………… 6分2.求极限 111lim()ln 1x x x →-- 解：111lim()ln 1x x x →--11ln lim (1)ln x x x x x→--=- ……………………… 1分111lim1ln 1x xx x→-=+-……………………… 3分2121lim11x x x x →=+ ……………………… 5分12=……………………… 6分3.求极限 21lim(1)n n n →∞-解：21lim(1)n n n →∞-11lim(1)(1)n n n n n→∞=-+ ……………………… 2分 11lim(1)lim(1)n n n n n n→∞→∞=-⋅+ ……………………… 4分 11e e -=⨯= ……………………… 6分4. 已知3ln 2tan x y x x arc x =+-+, 求导数dy dx. 解：3()(ln )(2)(tan )x y x x arc x '''''=+-+……………………… ２分221132ln 21x x x x =+-++ ……………………… 6分注：每个函数的导数求错扣1分，全错给0分．5. 已知2(sin3cos3)y x x x =+, 求一阶导数y '和二阶导数y ''.解：22()(sin3cos3)(sin3cos3)y x x x x x x '''=+++ ……………………… ２分22(sin3cos3)3(cos3sin3)x x x x x x =++- ………………… 3分22(2)(sin3cos3)2(sin3cos3)(3)(cos3sin3)3(cos3sin3)y x x x x x x x x x x x x ''''=+++''+-+- ………………… 4分2(sin3cos3)(29)12(cos3sin3)x x x x x x =+-+- ………………… 6分6.已知y =, 求导数dy dx.解：y ''= ……………………… 1分21x x x''=+ ……………………… 3分=3221(1)x =+ ……………………… 6分7．已知由 ln ln 0x x y y -+-= 确定y 是x 的可导函数，求导数dydx和微分dy . 解：方程 ln ln 0x x y y -+-= 两边对x 求导数，得1110y y x y''-+-= ………………………………… 2分由上式得 (1)(1)y x y x y -'=- …………………………………………… 4分于是 (1)(1)y x dy dx x y -=- ………………………………………… 6分四、解答题（8分）求函数9()f x x x=+的单调区间和极值. 解：函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞．2222999(3)(3)()()1x x x f x x x x x x -+-''=+=-==由()0f x '=，解得 3x =-，3x =． …………………………… 3分 列表判别如下：………………………………………………………… 7分所以区间(,3)-∞-、(3,)+∞是()f x 的单调增区间，区间(3,0)-、(0,3)是()f x 的单调减区间．在3x =处有极小值(3)6f =；在3x =-处有极大值(3)6f -=-。

《微积分（上）》习题2一、填空题 1．曲线221x x y +=在（1,2）处的切线方程为 。

2. =∞→x xx sin lim。

3. =∞→xx 1lim_________。

4. 当=x _________时，函数12+=x y 取得极小值。

二、选择题1. 下列函数中，是奇函数的是（ ）。

A 、223121)(x x x f ++=B 、xe xf =)(C 、()cos f x x =D 、x x f sin )(= 2. 函数21+-=x y 的最小值点是=x （ ）。

A 、0B 、-1C 、1D 、23. 下列函数中，是偶函数的是（ ）。

A 、2)1()(+=x x fB 、x e x f =)(C 、()cos f x x =D 、1sin )(2+=x x x f4. 若0)('0=x f 且0)(''0＞x f ，则点0x 一定是)(x f 的（ ）。

A 、极大值点B 、极小值点C 、最大值点D 、最小值点5.函数1432-+=x x y 在()+∞∞-,内（ ） A 、单调增加B 、单调减少C 、图形上凹D 、图形下凹6.若0)('0=x f 且0)(''0＞x f ，则点0x 一定是)(x f 的（ ） A 、极大值点B 、极小值点C 、最大值点D 、最小值点7.函数x x f ln )(=的单调递增区间为（ ） A 、()+∞∞-,B 、()+∞,0C 、()1,0D 、()0,∞-三、计算题1.求极值xx x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→1lim x 。

2.求x xy +=1在点)2,1(处的切线方程。

四、综合题要用100米长的篱笆围成一个农场，要求农场为矩形，应该怎样规划才能使农场面积最大？《微积分（上）》习题2答案一、填空题 1、2=y 2、0 3、04、0二、单项选择题三、计算题1.解：xx x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→1lim x =1)1(x 11-1lim 1++-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→+-∞→x x x 11-1lim 11-1lim 1x )1(x =1e 1∙=e 12.解：11'2+-=x y ,曲线在点（1，2）处的斜率为0 )1(0)2(-⨯=-x y 2=y四、综合题解：设长方形农场的长度为x 米,则其宽为x -50米 农场面积)50(x x y -=x y 250'-=当0'=y 时，取得极大值，250=x =25 即农场长为25米，宽为25米时，农场的面积最大。

1微积分答案 第一章 函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ； ３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章 极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4； （2）25； （3）1； （4）5； （5）2.2、（1）3； （2）0； （3）2； （4）5e -； （5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。

第二章 极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1； （4）0；（5）12．四、略。