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人教版七年级数学上册知识点思想导图及总结人教版七年级数学上册主要包含了有理数、个章节的内容 .整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四第一章有理数一、知识框架二．知识见解1.有理数：(1) 凡能写成q(p,q为整数且p0) 形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正p分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数定是负数， +a 也不用然是正数；不是有理数；.注意： 0 即不是正数，也不是负数；-a不一正有理数正整数正整数正分数整数零(2)有理数的分类 :① 有理数零②有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同样样的两个数，我们说此中一个是另一个的相反数；0 的相反数仍是0；(2)相反数的和为 0a+b=0a、 b 互为相反数 .4.绝对值：(1)正数的绝对值是其自己， 0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点走开原点的距离；a(a0)( a0)a(2) 绝对值可表示为： a0(a0) 或 a a(a0) ；绝对值的问题常常分类谈论；a ( a0)5.有理数比大小：（ 1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永久比0 大，负数永久比0 小；（3）正数大于全部负数；（ 4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（ 5）数轴上的两个数，右侧的数总比左侧的数大；（ 6）大数 -小数＞0，小数 -大数＜ 0.6.互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠ 0，那么 a 的倒数是1；a若ab=1a、 b 互为倒数；若ab=-1a、 b 互为负倒数.7. 有理数加法法例：（1）同号两数相加，取同样的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与 0 相加，仍得这个数 .8．有理数加法的运算律：（1）加法的互换律：a+b=b+a ；（ 2）加法的联合律：（ a+b）+c=a+ （ b+c） .9．有理数减法法例：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（ -b） .10有理数乘法法例：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定 .11有理数乘法的运算律：（1）乘法的互换律： ab=ba；（ 2）乘法的联合律：（ab） c=a（ bc）；（3）乘法的分派律： a（ b+c）=ab+ac .a12．有理数除法法例：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不可以做除数，即没心义.13．有理数乘方的法例：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n=-a n或 (a -b)n=-(b-a)n ,当 n 为正偶数时: (-a)n =a n或(a-b)n=(b -a)n .14．乘方的定义：（1）求同样因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，同样的因式叫做底数，同样因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10 的数记成a×10n的形式，此中 a 是整数数位只有一位的数，这类记数法叫科学记数法.16.近似数的精准位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精准到那一位.17.有效数字：从左侧第一个不为零的数字起，到精准的位数止，全部数字，都叫这个近似数的有效数字 .18.混淆运算法例：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要修业生正确认识有理数的见解，在实质生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
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1、人教版七年级数学上册知识点思维导图及总结人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容第一章有理数一、知识框架二.知识概念1.有理数：(1)凡能写成q(p,q 为整数且 p 0)形式的数，都是有理数正整数、0、负整数统称整数；正P分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数注意：0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；不是有理数；U9NTjmm aw正整数正有里数正分数正整数整数零(2)有理数的分类：有理数零有理数负整数负有理数负整数负分数分数正分数负分数2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线3 相反数2、：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是 0;相反数的和为 0a+b=0 a b 互为相反数.4绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；5有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大；(2)正数永远比 0 大，负数永远比0 小；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小；(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；(6)大数-小数 0，小数-大数v0.16互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 0,那么a的倒3、数是a 若ab=1 a、b 互为倒数；若 ab=-1a、b 互为负倒数.7.有理数加法法则：(1) 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2) 异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3 )一个数与 0 相加，仍得这个数.&有理数加法的运算律：(1 )加法的交换律：a+b=b+a ； (2)加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c).9.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+ (-b).10 有理数乘法法则：(1 )两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；(2)任何数同零相乘都得零；(3)几个数相乘，有一个因式为零，4、积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：(1 )乘法的交换律：ab=ba； (2)乘法的结合律：(ab) c=a (bc)；(3 )乘法的分配律：a (b+c) =ab+ac .a12有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即一无意义.013. 有理数乘方的法则：(1) 正数的任何次幕都是正数；(2)负数的奇次幕是负数；负数的偶次幕是正数；注意：当n 为正奇数时：(-a)n=-an或(a(2)绝对值可表示为：aa (a 0)0 (a 0)或 aa (a0)aa(0);绝对值的问题经常分类讨论;-b)n=-(b-a)n,当5、n 为正偶数时：(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.14. 乘方的定义：(1)求相同因式积的运算，叫做乘方；(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幕；15科学记数法：把一个大于 10 的数记成 axI0n的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字18混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，6.理解正数和负数、对立面和绝对值的意义。
初一数学上册思维导图（高清版）第一章 丰富的图形世界⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩棱柱：n 棱柱有__个顶点，__条棱，__个面柱体圆柱几何体生活中的立体图形棱锥：n 棱锥有__个顶点，__条棱，__个面锥体圆锥：构成：点动成__,线动成__,面动成__平面展开图正方体展开与折叠丰对立面富的图形正方体______________________________世界圆柱___________________截一个几何体⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩____________圆锥_________________________________圆_________________________________主视图左视图从三个方向看俯视图第二章 有理数 ________________________________________________________________________________________⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩按定义分分类按性质符号分数轴：三要素：几何意义：代数意义：____________________，叫做互为相反数。
相反数——字母表示：a 的相反数是____,a+b 的相反数是__理数相关概念________01a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎪≥⎧⎪⎨⎨≤⎩⎪⎪⎩__性质：若a,b 互为相反数，则_____________.几何意义：___________________________，a 0绝对值——代数意义：a=____，a 0性质：非负性倒数——乘积是的两个数互为倒数. 正数的倒数是___,负数的倒数是___，0的倒数是_____._____________________乘方——1a 10n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤<⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩叫做乘方，乘方的结果叫做____相同的因数叫做_____，_________________叫做指数把一个数表示成_______的形式（其中，科学记数法——是正整数），这种记数方法叫做科学记数法有理数的加法法则有理数的减法法则运算法则有理数的乘法法则有理数的除法法则乘方的运算符号法则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪第三章 整式的加减⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩用字母表示数定义——由_______________组成的式子单项式系数——单项式中的_____________次数——单项式中____________的和定义——几个单项式的和项——组成多项式的每个单项式多项式常数项——不含字母的项整式次数——多项中________________________的加减同类项——____________相同并整式的加减⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎩且____________________也相同把同类项的系数相加，所得的结果合并同类项——作为合并后项的系数括号外因数为正:去括号后原括号内各项的符号与原来的符号____去括号括号外因数为负:去括号后原括号内各项的符号与原来的符号______去括号步骤合并同类项⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪第四章 基本平面图形1._________2.____________________1._________________2._________________D AB ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎩ 图形 表示方法 延伸方向 端点个数 能否度量线段射线线直线比较线段的长短：方法线段的中点：若点是线段的中点，则公理尺规作图：作一条线段等于已知线段平面图形角 1.___________2.___________________________1.2.OC AOB ⎧⎨⎩∠具有的两条组成的图形定义一条绕旋转得到的图形表示方法：比较大小的方法：1.______2._______角平分线：若射线是的角平分线，则角度换算:___________________角的计算钟面角:时针1小时转____,1分钟转______ 分针1小时转_____,1分钟转⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩_____定义：_________________________多边形对角线:一个顶点出发有___条，共有__条圆心，半径，弧多边形与圆圆心角____________________圆扇形周长:公式：______________面积:公式：________________⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩第五章 一元一次方程1.________2.3.________1()()⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩方程：____________________只含有一元一次方程未知数的指数是______一元一次方程等式两边都是方程的解：使方程中等号左右两边相等的______的值解方程：求方程的解的过程性质：等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等 字母表示：如果a=b,则______等式的性质一元一次方程201.____________2.____________3.____________4.____________5._____________⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩__________性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等 字母表示：如果a=b,则__________________解一元一次方程的步骤审：弄清题意列一元一次方程解应用题⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系设：设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列：根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少一个数字列方程解：解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验：检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2:________________________1:_______________________2:_______________________3:_______________________1.⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩等量关系1：_______________________水箱变高了等量关系希望工程:公式打折销售公式公式直线型：线段图表示____相遇问题一元一次方行程问题程应用题______________________________________________2.3.⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩_________________环形跑道：公式同地不同时：直线型：线段图表示追击问题同时不同地：_____________________环形跑道：公式___________________________航行问题:等量关系为_______________1.________________________a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩_十位数为a,个位数为b,则这个两位数表示为_________数字问题 2.百位数为a,十位数为b,个位数为c,则这个三位数表示为________日历问题：第六章 数据的收集与整理⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨定义：__________________________普查总体：___________________________个体：____________________________数据的收集方式定义:________________________抽样调查样本:_________________________样本容量:______________________数据的收集与整理 1.2.______________________________________1.2.⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎧⎪⎨⎪⎩优点：__________________________扇形统计图:步骤：_____________________________优点______________________________极值________条形统计图数据的整理频数直方图⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩___________组距___________________频数____________________折线统计图:优点：_____________________________。
第二章 导数与微分本章知识结构导图§2.1 数学家的故事：最早提出导数思想的人—费马(Fermat)费马, 法国数学家. 1601年8月17日生于法国南部博蒙德洛马涅, 1665年1月12日卒于卡斯特尔. 他利用公务之余钻研数学, 在数论、解析几何学、概率论等方面都有重大贡献, 被誉为“业余数学家之王”.费马最初学习法律, 但后来却以图卢兹议会议员的身份终其一生. 费马博览群书, 精通数国文字, 掌握多门自然科学. 虽然年近三十才认真注意数学, 但成果累累. 其1637年提出的费马大定理是数学研究中最著名的难题之一, 至今尚未得到解决.费马性情淡泊, 为人谦逊, 对著作无意发表. 去世后, 很多论述都遗留在旧纸堆里, 或书页的空白处, 或在给朋友的书信中. 他的儿子将这些汇集成书, 在图卢兹出版.费马一生从未受过专门的数学教育, 数学研究也不过是业余之爱好. 然而, 在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌: 他是解析几何的发明者之一; 对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨, 概率论的主要创始人, 以及独承17世纪数论天地的人. 此外, 费马对物理学也有重要贡献. 一代数学天才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家.17世纪伊始, 就预示了一个颇为壮观的数学前景. 而事实上, 这个世纪也正是数学史上一个辉煌的时代. 几何学首先成了这一时代最引入注目的引玉之明珠, 由于几何学的新方法—代数方法在几何学上的应用, 直接导致了解析几何的诞生; 射影几何作为一种崭新的方法开辟了新的领域; 由古代的求积问题导致的极微分割方法引入几何学, 使几何学产生了新的研究方向, 并最终促进了微积分的发明. 几何学的重新崛起是与一代勤于思考、富于创造的数学家是分不开的, 费马就是其中的一位.费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信, 对自己的数学工作略有言及. 但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事, 因而1679年以前, 很少有人了解到费马的工作, 而现在看来, 费马的工作却是开创性的.16、17世纪, 微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠. 人所共知, 牛顿和莱布尼茨是微积分的缔造者, 并且在其之前, 至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作. 但在诸多先驱者当中, 费马仍然值得一提, 主要原因是他为微积分概念的引出提供了与现代形式最接近的启示, 以致于在微积分领域, 在牛顿和莱布尼茨之后再加上费马作为创立者, 也会得到数学界的认可.曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一. 这项工作较为古老, 最早可追溯到古希腊时期. 阿基米德为求出一条曲线所包任意图形的面积, 曾借助于穷竭法. 由于穷竭法繁琐笨拙, 后来渐渐被人遗忘, 直到16世纪才又被重视. 由于开普勒在探索行星运动规律时, 遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题, 无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法. 尽管这种方法并不完善, 但却为自卡瓦列里到费马以来的数学家开辟了一个十分广阔的思考空间.§2.2 导数的概念在研究函数时, 仅仅求出两个变量x y 与之间的函数关系是不够的, 进一步要研究的是在已有的函数关系下, 由自变量变化引起的函数变化的快慢程度. 如变速直线运动的速度, 曲线的切线斜率, 电流强度和化学反应速度等等问题.一、问题的引入为了引出导数的概念, 我们先讨论两个具体的问题: 曲线的切线斜率问题和变速直线运动的瞬时速度问题.1．曲线的切线斜率问题设曲线的方程为()y f x =, 如图 2.1所示, 设000(,)P x y 和00(,)P x x y y +∆+∆为曲线()y f x =上的两个点, 连接0P 与P 得割线0P P , 当点P 沿曲线趋向于点0P 时, 割线0P P 的极限位置0P T 叫做曲线()y f x =在点0P 处的切线. 下面求切线0P T 的斜率.设ϕ为割线0P P 的倾斜角, 那么割线0P P 的斜率为tan ϕ, 由于当点P 沿曲线趋向于点0P （即0x ∆→）时, 割线0P P 的极限就是切线0P T , 所以切线0P T 的斜率为:0000()()lim tan limlimlimx x x x f x x f x PR y k P Rxxϕ∆→∆→∆→∆→+∆-∆====∆∆图2.12．变速直线运动的瞬时速度问题设一质点作变速直线运动, 其运动方程为()S S t =. 下面求这质点在某一时刻0t 的速度. 如图2.2所示, 考虑时间从0t 到0t t +∆这一段时间内, 质点经过的路程为:00()()S S t t S t ∆=+∆-,平均速度为:00()()S t t S t S v tt+∆-∆==∆∆,当t ∆很小时, 可以用v 来近似代替0t 时刻的速度, 并且|t ∆|越小，v 越接近0t 时刻的速度. 所以若0000()()limlimt t S t t S t S tt∆→∆→+∆-∆=∆∆存在, 则极限值就是质点在0t 时刻的速度, 即0000()()()limlimt t S t t S t S v t tt∆→∆→+∆-∆==∆∆.图2.2二、导数的定义上面所讨论的两个问题, 一个是几何问题, 一个是物理问题，其具体背景不一样, 但解决问题的数学方法是相同的, 可以归结为: 当自变量的改变量趋向于零时, 函数的改变量与自变量的改变量之比的极限. 类似的问题不难从物理、化学等学科中找到. 抛开问题的具体含义, 抽象出它们在数量方面的共性, 就可得到函数的导数的定义.【定义1】 设函数()y f x =在0x 及其附近有定义, 当自变量x 在0x 处有改变量x ∆时,相应的函数y 有改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-, 若函数的改变量与自变量的改变量之比的极限000()()lim limx x f x x f x y xx∆→∆→+∆-∆=∆∆存在, 则称函数()y f x =在点0x 处可导, 并称这个极限值为函数()y f x =在点0x 处的导数, 记为0()f x '、0|x x y ='、x x dy dx=或()x x df x dx =. 即若定义中极限不存在, 则称函数()y f x =在点0x 处没有导数或不可导.注1. 导数的定义可取不同的形式, 如00000()()()()()limlimx x h f x f x f x h f x f x x x h→→-+-'==-.2. 在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”的问题, 在数学上就是所谓的函数的变化率问题. 导数的定义就是函数变化率这一概念的精确描述, 纯粹从数量方面来刻划变化率的本质, 反映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度.3. 根据导数的定义, 上面所讨论的两个问题又可叙述为:曲线()y f x =在点000(,)P x y 处的切线斜率, 就是函数()y f x =在点0x 处的导数,x x dy k dx==;质点作变速直线运动在时刻0t 的瞬时速度, 就是路程函数()S S t =在点0t 处的导数, 即0()t t dS v t dt==.4. 边际成本就是成本函数的导数. 设某产品的成本函数为()C C Q =, 当产量Q 由0Q 变到0Q Q +∆时, 成本的改变量为00()()C C Q Q C Q ∆=+∆-,于是00()()C Q Q C Q C QQ+∆-∆=∆∆,表示产量由0Q 变到0Q Q +∆时成本的平均变化率. 如果0000()()limlimQ Q C Q Q C Q C QQ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在, 则此极限值表示产量为0Q 时成本函数()C C Q =的变化率, 即成本函数()C C Q =在0Q 处的导数, 也称成本函数()C C Q =在产量为0Q 时的边际成本.5. 上面讲的是函数在一点处可导, 作为概念可以推广: 如果函数()y f x =在开区间(,)a b 内的每一点都可导, 就称函数()f x 在开区间(,)a b 内可导. 此时对于任意(,)x a b ∈, 都对应着()f x 的一个确定的导数值. 如此就构造了一个新的函数, 这个函数就叫做原来函数()y f x =的导函数, 记为: y '、()f x '、d y d x或()df x dx.在定义中把0x 换成x 即得到导函数的定义形式: 即()()()()lim()limh x f x f x f x x f x xh f x h→∆→-+∆-=∆+'=.在不致混淆的情况下, 导函数也简称为导数.6. 函数)(x f y =在0x 处的导数0()f x '与函数()f x 的导函数既有区别又有联系, 并且显然有0|)()(0x x x f x f ='='.三、导数的几何意义对于函数)(x f y =不考虑其具体的含义, 从函数的几何意义考虑为直角坐标平面中的曲线C , 由切线问题我们知道)(0x f '在几何上表示曲线()y f x =在点))(,(000x f x P 处的切线的斜率, 即)(0x f k '=切,这就是函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义. 如图2.3所示.图2.3如果函数()y f x =在点0x 处的导数为无穷大, 即曲线()y f x =在点))(,(000x f x P 处具有垂直于x 轴的切线0x x =.根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程, 可知曲线()y f x =在点))(,(000x f x P 处的切线方程为:))((000x x x f y y -'=-;过切点))(,(000x f x P 且与切线垂直的直线叫做曲线()y f x =在0P 处的法线. 如果0()0f x '≠, 法线的斜率为01()f x -', 从而法线的方程为:【例1】 求曲线3x y =在点(1,1)处的切线方程和法线方程.【解】 由导数的几何意义知, 1x k y ='=切线，由于32()3y x x ''==(参考后面的导数公式),于是311k =⨯=切线, 所以曲线在点(1,1)处的切线方程为)1(31-=-x y , 即: 320x y --=; 曲线在点(1,1)处的法线方程为 )1(311--=-x y , 即: 043=-+x y .【例2】 试证函数()||f x x =在0x =处不可导.【解】 因为极限0(0)(0)lim lim x x x f x f xx∆→∆→∆+∆-=∆∆不存在, 所以函数()||f x x =在0x =处不可导.四、函数的可导与连续的关系函数的连续与可导是两个重要概念, 它们之间既有联系又有区别. 若函数()y f x =在 点x 0处可导, 则有000()()()limlimx x x f x f x y xf x x x ∆→→-∆=∆'=-, 由于0000()()()lim lim()()[]x x x x f x fx x f x f x xx x ∙→→=-=---, 则00lim ()()x x f x f x →=, 说明函数()y f x =在点x 0处连续．于是函数的连续与可导有如下关系：【定理1】如果函数()y f x =在点x 0处可导, 则它在点x 0处一定连续.然而, 一个函数在某点连续却不一定在该点可导. 由例2可知0||)(==x x x f 在处显然连续但不可导.以上可知, 函数在某点连续是在该点可导的必要条件, 但不是充分条件.习题2.2１．以速度0v 向上抛一物体, 经过t 秒后, 其上升的高度为201()2h t v t gt =-, 求:（1）物体从时刻0t 到时刻0t t + 这段时间内所走的距离h 及平均速度v ; （2）物体在0t 秒时的瞬时速度0()v t ;（3）若010v =米／秒, 9.8g =米／秒2, 求当01t =秒时瞬时速度(1)v . 2．根据导数定义, 求下列函数在指定点的导数0()f x '（1）2()31f x x x =+-, 0=0x ; （2）()cos f x x =, 0=6x π.3．设0()f x '存在, 根据导数的定义指出下列各极限表示什么 （1）000()()limx x f x f x x x →-- （2）000(3)()limx f x x f x x∆→+∆-∆（3）000()()limh f x h f x h→-- （4）000()()lim h f x h f x h h→+--4． 求下列函数的导数()f x '（1）y x = （2）3y x = （3）1y x=（4）y =５．求曲线3y x =上横坐标为01x =点处的切线方程和法线方程．*６．讨论下列函数在0x =处的连续性与可导性（1）sin 010xx y x x ≥⎧=⎨-<⎩ （2）1sin00x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩§2.3 导数的基本公式与求导法则一、导数的基本公式根据导数的定义，求函数()y f x =的导数()f x '的一般步骤为: （1）求出函数的改变量()()y f x x f x ∆=+∆-; （2）算比值y x∆∆;（3）求极限0limx y x∆→∆∆.下面来导出一些基本初等函数的导数． 1. y C =（C 为常数）的导数因为0y C C ∆=-=, 则xy ∆∆=0, 从而有0()limx y xf x ∆→∆∆'==0, 即()0C '=.2. 幂函数αx y = (α为实数)的导数当n α=（n 为正整数）时, 利用二项式定理, 因为11222()()()n n n n n n n nn n n y x x x x C x x C xx C x x --∆=+∆-=+∆+∆++∆- ,则11221()()n n nn n n n y C xC xx C x x---∆=+⋅∆++∆∆ , 从而有()limx yf x x∆→∆'=∆112210lim ()()n n n n n n n x C x C x x C x ---∆→⎡⎤=+⋅∆++∆⎣⎦ 1n nx -=, 即 ()1nn x nx-'=.当α为任意的实数时, 也可以证明（略）上述公式成立. 即()1x xααα-'=．如()1x '=;12211()()x x x x --''==-=-;11221()2x x-''===3. 指数函数 )1,0(≠>=a a a y x的导数因为)1(-=-=∆∆∆+xx xxx aa aay , 则(1)xxy aaxx∆∆-=∆∆, 从而有1()limlimln xxxx x y af x a a a xx∆∆→∆→∆-'===∆∆, 即()ln x xa a a '=．特殊地, 有()x xe e '=. 4. 对数函数)1,0(log≠>=a a x y a的导数因为log ()log log (1)a a a x y x x x x ∆∆=+∆-=+， 则1log (1)a yx xxx∆∆=+∆∆, 从而有 01111()limlimlog (1)limlog (1)log ln xx a a a x x x y xx x f x e xx xxxxxx a ∆∆→∆→∆→∆∆∆'==⋅+=+==∆∆,即特殊地,5. 三角函数x y sin =的导数．因为s i n ()s i n 2c o s ()s i n ()22xx y x x x x ∆∆∆=+∆-=+, 则sin 2cos()22x y x x x x ∆⎛⎫ ⎪∆∆⎝⎭=+∆∆, 从而有00sin 2()lim lim cos()cos 22x x x y x f x x x x x ∆→∆→∆⎛⎫ ⎪∆∆⎝⎭'==+=∆∆, 即()sin cos x x '=.用类似的方法可证得()cos sin x x '=-.从以上求导数的过程可看出, 直接根据定义来求函数的导数往往是需要技巧, 且很繁杂困难. 所以接下来将陆续引入各种求导法则, 由于我们研究的对象是初等函数, 而初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算而得到的, 因此我们将引入如下一些求导法则.二、导数的四则运算法则【定理2】 设()u x 、()v x 是可导函数, 则它们经过加减乘除四则运算组合而成的函数仍可导且其导数满足以下法则:（1）()()()()u x v x u x v x '''±=±⎡⎤⎣⎦; （2）()()Cu x Cu x ''=⎡⎤⎣⎦;（3）()()()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+⎡⎤⎣⎦;（4） ()()()()()()()2u x u x v x u x v x v x v x '⎡⎤''-=⎢⎥⎣⎦（()0v x ≠）. 证明略.注1. 定理2（即四则运算求导法则）告诉我们:两个可导函数之和（差）的导数等于这两个函数的导数之和（差）;两个可导函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以第二个函数的导数.两个可导函数之商的导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子, 再除以分母的平方.2. 由定理2中的公式（3）, 可以推广到有限个可导函数的乘积的求导法则, 例如:()uvw u vw uv w uvw ''''=++.【例３】设42113y x x=+-, 求y '.【解】421(1)(3)()y x x'''''=+-+333211232x xx--=+-.【例４】设sin x y e x =, 求y '.【解】()sin x y e x ''=()()sin sin x x e x e x ''=+sin cos x x e x e x =+.【例５】设31xey x=+, 求y ', 1x y ='.【解】31x e y x '⎛⎫'= ⎪+⎝⎭()()()()()231311x x e x e x x ''+-+=+()231xxex =+, ()12313411x ey e =⨯⨯'==+.【例６】设tan y x =, 求y '.【解】()sin tan cos x y x x '⎛⎫''== ⎪⎝⎭()()2sin cos sin cos cos x x x x x ''-= 222cos sin cos x xx+=221s e c c o s x x==.即()2tan sec x x '=.类似可得()2cot csc x x '=-.【例７】设sec y x =, 求y '. 【解】()1sec cos y x x'⎛⎫''==⎪⎝⎭()()21cos 1cos cos x x x ''⨯-⨯= 2s i n s e c t an c o s x x x x==. 即()sec sec tan x x x '=.类似可得()csc csc cot x x x '=-.三、复合函数的求导法则那么对于复合函数又该如何求导? 如复合函数()221y x =+可以看作是由函数2y u =与21u x =+复合而成, 那么()221y x =+的导数与这两个简单函数2y u =与21u x =+的导数之间有什么关系呢? 下面的这个复合函数的求导法则就给出了解答.【定理3】 若函数()u x ϕ=在点x 处可导, 函数()y f u =在对应点()u x ϕ=处也可导, 则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导, 且有{[()]}()()f x f u x ϕϕ'''=, 或dy dy dudxdu dx=⋅． 【证明】: 给x 一个增量x ∆, 由()u x ϕ=得u ∆, 由()y f u =得y ∆,所以 y y u xu x∆∆∆=⋅∆∆∆, 由于du dx存在, 则()u x ϕ=是连续函数, 因而当0x ∆→时有0u ∆→, 故有0000limlimlim lim x x u x y y u y u xu x u x ∆→∆→∆→∆→∆∆∆∆∆=⋅=⋅∆∆∆∆∆dy dudu dx=⋅, 即dy dy dudxdu dx=⋅． 这种求导法则, 实际上是函数关于中间变量的导数乘以中间变量关于自变量的导数. 作为结果可以推广到多个中间变量的情况. 我们以两个中间变量为例, 设()y f u =, ()u h v =，()v x ϕ=都可导, 对于复合函数()()()y f h x ϕ=的导数为dxdv dvdu dudy dxdy ⋅⋅=．【例８】 设ln tan y x =, 求d yd x .【解】 ln tan y x =可看成ln y u =, tan u x =复合而成的, 因此d yd y d u d xd u d x =⋅221sec cot sec x x x u == ＝12csc 2sin cos x x x=.【例9】 设2x y e -=, 求d y d x.【解】 2x y e -=由u y e =, 2u x =-复合而成, 因而2(2)2uxdy dy du e x xedxdu dx-==⋅-=-.【例10】 设22sin y x =, 求d y d x.【解】22sin y x = 由2y u =, s in u v =, 2v x =复合而成, 所以dy dy du dv dxdu dv dx=⋅⋅ 2cos 2u v x =⋅⋅ ()2222s i n c o s 22s i n 2x x x xx =⋅⋅=. 由以上例子可以看出, 求复合函数的导数时, 首先要分析所给的函数可看作由哪些基本初等函数复合而成, 而这些基本初等函数的导数我们已经会求, 那么应用复合函数求导法则就可以求所给出函数的导数.运算比较熟练以后, 就不必再写出中间变量, 只要分析清楚函数的复合关系, 求导的顺序是由外往里一层一层进行, 可以采用下列例题的方式来进行. 【例11】 设ln sin y x =, 求d y d x.【解】11(ln sin )'(sin )'()cos cot sin sin dy x x x x dxxx===⋅=.【例12】 设1sinxy e=, 求d y d x.【解】11sin sin 1sin x xy e e x ''⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sinsin21111cos cos xx ee x x x x'⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭.【例13】 设sin sin n y nx x =⋅(n 为常数), 求y '.【解】 ()()()sin sin sin sin sin sin n n n y nx x nx x nx x ''''=⋅=+ 1cos sin sin sin cos n n n nx x n nx x x -=⋅+⋅⋅ ()1s i n c o s s i ns i nc o sn n x n x x n x x -=⋅+⋅ ()1s i n s i n 1n n x n x -=+. 四、两种求导方法1．隐函数的求导方法 前面讨论的函数, 如21ln y x x x=-+, sin 2xy e x =+等, 其特点是函数y 是用自变量x 的关系式()y f x =来表示的, 这种函数称为显函数. 但是有时会遇到另一类函数, 如222x y a +=,sin 1xyey x +-=等, 其特点是变量y , x 之间的函数关系()y f x =是用方程(,)0F x y =来表示的, 这种函数就称为隐函数.隐函数如何求导呢, 如果能把隐函数化为显函数, 问题就解决了. 但不少情况下, 隐函数是很难甚至不可能化为显函数的, 因此有必要掌握隐函数的求导方法. 隐函数的求导方法可分为如下两步:（1）将方程(,)0F x y =两边对x 求导（注意y 是x 的函数）; （2）从已求得的等式中解出y '.【例14】 求由方程222a y x =+所确定的隐函数)(x f y =的导数y '.【解】 将方程222a y x =+两边对x 求导, 即)()()(222'='+'a y x , 注意y 是x 的函数（即把y 看作是复合函数中的中间变量）, 得022='+y y x ,解出y '得yx y -='.【例15】 求由方程1sin =-+x y e xy 所确定的隐函数)(x f y =的导数y '.【解】 将方程两边对x 求导, 即)1()()(sin )('='-'+'x y e xy , 注意y 是x 的函数, 得01'cos )(=-⋅+'y y xy exy,即1cos )(='⋅+'+y y y x y exy,解出y '得yxeye y xyxycos 1'+-=.【例16】 求函数arcsin y x = (11)x -<<的导数.【解】 由arcsin y x =可得方程sin x y =, 将方程两边对x 求导, 得(cos )x y y '=,所以cos x y y'===即(11)x -<<.类似可得(11)x -<<,)x -∞<<+∞, ()x -∞<<+∞.2. 对数的求导方法在某些情况下, 求显函数的导数时利用两边取自然对数的方法把它化为隐函数来求导, 这种方法就是对数的求导方法. 即先对函数)(x f y =的两边取自然对数, 然后用隐函数的求导方法求出y ', 最后换回显函数. 下面通过一些例子来介绍这种方法．【例17】 求函数x y x =的导数. 【解】 两边取自然对数, 得ln ln y x x =,两边对x 求导, 得1ln y x y'=+,于是(1ln )(1ln )xy y x x x '=+=+,即()(1ln )xxx x x '=+.这类函数的一般形式为)()(x v x u y =, 其中 )(x u 、)(x v 可导．【例18】 求函数54)1()3(2+-+=x x x y 的导数.【解】 两边取自然对数, 得 )1l n (5)3l n (4)2l n (21ln +--++=x x x y两边对x 求导, 得 15)1(3142121'1+---⋅++⋅=⋅x xx y y,于是145'2(2)31y y x x x ⎡⎤=--⎢⎥+-+⎣⎦45)145(1)2(2)31x x x x x ⎡⎤-=--⎢⎥++-+⎣⎦. 这类函数的特点是函数由若干个因子相乘或相除构成的．由于初等函数是由六个基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的, 所以求初等函数的导数, 只要运用基本初等函数的导数公式及四则运算的求导法则和复合函数的求导法则, 就可解决.基本初等函数的导数公式（1）0c '= （2）()1x x ααα-'= （3）()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠ （4）()x x e e '= （5）()1log (0,0)ln a x a a x a'=>≠ （6）()1ln x x'=（7）()sin cos x x '= （8）()cos sin x x '=- （9）()2tan sec x x '= （10）()2cot csc x x '=-（11）()sec sec tan x x x '= (12) ()csc csc cot x x x '=- （13）()arcsin x '= （14） ()arccos x '=-（15）()21arctan 1x x'=+ （16）()21arc cot 1x x'=-+四则运算的求导法则（1）[]u v u v '''±=± （2）[]C u C u ''= （3）[]uv u v uv '''=+（4）2u u v uv v v '''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（0v ≠） 复合函数的求导法则设()y f u =, ()u x ϕ=，则复合函数[()]y f x ϕ=的导数为:dy dy dudxdu dx=⋅ 或 {[()]}()()f x f u x ϕϕ'''=. 五、高阶导数设一物体作直线运动, 其运动方程为)(t s s =, 则由导数的定义和运动方程的意义可知, 运动的速度方程为)(')(t s t v v ==, ()v t 仍然是一个关于t 的函数, 对于这个运动而言, 其加速度[]()()()a t v t s t '''==, 所以加速度)(t a 可以看作是)(t s 的导数的导数.一般地, 函数)(x f y =的导数()y f x ''=仍然是x 的函数, 如果()f x '仍可求导, 我们把()y f x ''=的导数))(()(''=''x f y 叫做函数)(x f y =的二阶导数, 记作y '', ()f x ''或22()d y ddydxdx dx=.相应地, 我们称)(x f y '='为)(x f y =的一阶导数.类似地, 如果()y f x ''''=的导数存在, 则称这个导数为)(x f y =的三阶导数. 一般地, 如果)(x f y =的)1(-n 阶导数的导数存在, 则称为)(x f y =的n 阶导数, 它们分别记作y ''', ()4y, , ()ny或 ()f x ''', (4)()fx , , ()()n fx或 33dxy d ,44dxy d , ,nndxy d .二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数. 由此可见, 求高阶导数就是多次重复求导. 【例19】 设t S ωsin =, 求S ''. 【解】 t S ωωcos =', t S ωωsin 2-=''.【例20】 设67423+-=x x y , 求 y '', y ''', )4(y .【解】 x x y 14122-=', 1424-=''x y , 24='''y , (4)0y =. 【例21】 设x y xe =, 求)(n y . 【解】 xxx e x xee y )1(+=+=',(1)(2)xxxy e x e x e ''=++=+,(2)(3)xxxy e x e x e '''=++=+,……依次类推可得: xn e x n y)()(+=.【例22】 设由方程022=-+x y xy 确定函数)(x f y =, 求y ''. 【解】两边对x 求导, 得022=-'++'y y y y x ,于是 22y y x y -'=+,所以 2(2)(2)(2)(2)(2)y x y y x y y x y ''-+--+''=+2(2)(2)(12)(2)y x y y y x y ''-+--+=+, 用y '=yx y 22+- 代入, 得y ''=3)2()2)(2(2y x y x y +++-.【例23】 设x y sin =, 求 )(n y .【解】 )2s i n (c o s π+=='xx y ,)22sin()22sin()2cos(ππππ+=++=+=''x x x y , 223cos()sin()sin()2222y x x x ππππ'''=+=++=+,……依次类推可得 )2s i n ()(πn x y n +=.习题2.31． 求下列函数的导数（1）5212sin y x x x=-+ （2）cos 8y x =-（3）5cos ln y x x =+ （4）sec csc y x x =+（5）2y x=（6）y =（7）3log a y x x =(0,1)a a >≠ （8）3tan 20y x x =+（9）2(sin y x x =+（10）2sec y x x =（11）10x xy e =⋅ （12）(2ln xy x =+（13）(3)arctan x x y e x =+ （14）3arccos y x x = （15）arcsin arccos y x x =+ （16）(ln )sin y x x x = （17）321x y x=- （18） tan x y x =（19）1cos 1cos x y x-=+ （20）1sin y x x=+2．求下列函数的导数（1）100(21)y x =+ （2）sin 5tan 2y x x =+（3）52cos3xx y e=+ （4）y =（5）y =（6）y =（7）2arccosy x=+ （8）sin 2cosx y =+（9）5x y e = （10）23x x y e e -=+ （11）22sin (1)y x =+ （12）y =3．求下列隐函数的导数y '（1）322390x x y xy +-+= （2）x y xy e += （3）ln 5xyey x +-= （4）sin()y x y =+（5）1yxy xe =+ （6）ln arctany x=4．求下列函数的导数y '（1）(3)(4)y x x =--（2）2y x=（3）x xy )(= （4）sin (cos )x y x =5．证明（1）(arccos )x '=-（2） 21(arc cot )1x x'=-+6．将一物体垂直上抛, 其运动规律为220 4.9s t t =-, 试求物体在下列时刻的速度（1）1t = 秒 （2） 2t =秒 7．设()y y x =是由方程22cos()1xye xy +-=所确定的函数, 试求(0)y '.8．求下列函数的二阶导数：（1）4+ln y x x = （2）cos sin y x x =+ （3）21x y e -= （4）2ln(1)y x =- （5）sin y x x = （6）3ln y x x =（7）xey x=（8）22425x y +=9．求下列函数的高阶导数（1）ln y x =, 求()n y （2）2x y e =, 求()n y10．求曲线sin 2y x =上横坐标为0x π=点处的切线方程和法线方程.11．曲柄连杆机构如图所示, 证明:arcsin(sin )rl θϕ=如果曲柄O A 以角速度ω绕O 点旋转, 求连杆A B 绕滑块销B 摆动的角速度d d tθ.§2.4 函数的微分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿一、问题的引入本节将介绍另一个重要概念: 微分. 导数表示函数在一点处由于自变量变化所引起的函数变化的快慢程度, 微分是函数在一点处由于自变量的微小变化所引起的函数改变的近似值. 两者都是研究函数在局部的性质, 有着密切的联系.图2．4先看一个具体的例子: S 表示边长为0x 的正方形面积, 那么20S x =. 如果给边长一个改变量x ∆, 则S 相应也有一个改变量S ∆, 222000()2()S x x x x x x ∆=+∆-=∆+∆. 从此式中可见S∆分成两部分, 第一部分02x x ∆是x ∆的线性部分, 即图2.4中阴影的两个矩形的面积之和; 而第二部分2()x ∆是关于x ∆的高阶无穷小. 由此可见, 当x ∆很小时, 2()x ∆可以忽略不计, S ∆可用02x x ∆近似它, 即02S x x ∆≈∆. 由于00()2S x x '=, 所以上式可写成:0()S S x x '∆≈∆.这个结论可推广到一般情形.设函数)(x f y =在点0x 处可导, 且当自变量x 从0x 改变到0x x +∆时, 相应的函数也有改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-, 由于函数在点0x 处可导, 则有00lim()x y f x x∆→∆'=∆,根据极限与无穷小的关系, 有0()()y f x x xα∆'=+∆, 其中0lim ()0x x α∆→=,于是得0()()y f x x x x α'∆=∆+∆.这表明, 函数的改变量y ∆有0()f x x '∆与()x x α∆两部分组成, 当x ∆很小时, 后面部分可以忽略不计, 所以也有:0()y f x x '∆≈∆.于是可引出微分的定义如下.二、微分的定义【定义2】 设函数)(x f y =在点0x 处可导, 且当自变量x 从0x 改变到0x x +∆时, 相应的函数也有改变量000()()()()y f x x f x f x x x x α'∆=+∆-=∆+∆, 我们把y ∆的主要部分0()f x x '∆称为函数)(x f y =在点0x 的微分, 记为0()dy f x x '=∆.注1. 若不特别指明函数在哪一点的微分, 那么一般地, 函数)(x f y =的微分就记为:()dy f x x '=∆.这表明, 求一个函数的微分只需求出这个函数的导数)('x f 再乘以dx 即可.2. 因为, 当y x =时, ()dy dx x x x '==∆=∆, 即 dx x =∆. 所以函数)(x f y =的微分又可记为:()dy f x dx '=.3. 将()dy f x dx '=两边同除以dx , 得()dy f x dx'=,这表明, 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数, 因此导数又叫做微商.4. 以后我们也把可导函数称为可微函数, 把函数在某点可导也称为在某点可微. 即可导与可微这两个概念是等价的.【例24】 求3x y =在01x =处, 0.01x ∆=时函数y 的改变量y ∆及微分dy .【解】 333300()(10.01)10.030301y x x x ∆=+∆-=+-=,而 32()3dy x x x x '=∆=∆, 即 0210.01310.010.03x x dy=∆==⨯⨯=．【例25】 设函数sin y x =, 求dy . 【解】 ()sin cos dy x dx xdx '==.三、微分的几何意义为了对微分有一个直观的了解, 我们来看一下微分的几何意义. 如图 2.5所示, 曲线()y f x =上有两个点()000,P x y 与00(,)Q x x y y +∆+∆, 其中0P T 是点0P 处的切线, α为切线的倾斜, 0P P 平行于x 轴, PQ 平行于y 轴.图2.5从图中可知, 0P P x =∆, PQ y =∆, 则0tan PT P P α=()00P Pf x '=()0f x x '=∆, 即dy PT =.这就是说, 函数()y f x =在点0x 处的微分dy , 等于曲线()y f x =在点0P 处切线的纵坐标对应于x ∆的改变量, 这就是微分的几何意义．很显然, 当0x ∆→时, y PQ ∆=可以用PT dy =来近似, 这就是微积分常用的方法以直代曲.四、微分在近似计算中的应用在实际问题中, 经常会遇到一些复杂的计算, 下面我们利用微分来近似它可以使计算简单. 由前面的讨论知道, 当x ∆很小时, 函数()y f x =在点0x 处的改变量y ∆可以用函数的微分dy 来近似, 即()()()000y f x x f x f x x dy '∆=+∆-≈∆=,于是得近似计算公式（1）: ()()()0fx x f x fxx '+∆≈+∆ （当x ∆很小）, （1）取00x =, x x ∆=得另一个近似计算公式（2）: ()(0)(0)f x f fx '≈+ （当x 很小）. （2） 公式（1）常用来近似计算函数()y f x =在点0x 附近的点的函数值, 公式（2）常用来近似计算函数()y f x =点00x =附近的点的函数值.【例26】 求0cos 6030'近似值 【解】 设()cos f x x =, 取03x π=, 360x π∆=, ()sin f x x '=-, 则由公式（1）得:0000(6030)cos 6030(60)(60)f f f x '''=≈+∆001cos 60(sin 60)0.492436022360ππ=+-⋅=-≈.【例27】 .【解1】 设()f x =, 取01x =, 0.02x ∆=, ()f x '=, 则由公式（1）得:(1.02)(1)(1)0.02 1.01f f f x '=≈+∆==.【解2】 设()f x =取00x =, 0.02x =, 1()f x '=, 则由公式（2）得:(0.02)(0)(0)0.02 1.01f f f x '=≈+==.这类近似计算中, ()f x 可按题意设置, 而0x 的选取是关键.应用公式（2）可以推出一些在实际运算中常用的近似公式, 当x 很小时, 有（111x n≈+;（2）1xe x ≈+; （3）ln(1)x x +≈;（4）sin x x ≈（x 为弧度）; （5）tan x x ≈（x 为弧度）; （6）sin arc x x ≈（x 为弧度）. 【例28】 计算0.001e-的近似值【解】 由1xe x ≈+得, 0.00110.0010.999e -≈-=.【例29】 计算665的近似值【解】 2==11x n≈+得,111(1)(1) 1.0026664384≈+⋅=+≈,于是得,2.0052≈.五、微分基本公式和微分的运算法则从微分与导数的关系dx x f dy )('=可知, 只要求出)(x f y =的导数()f x ', 即可以求出)(x f y =的微分dx x f dy )('=. 如此我们可得到下列微分的基本公式和微分的运算法则:1．基本初等函数的微分公式(1)0d c = (2)()1d x x dx ααα-= (3)()ln x x d a a adx = (4)()x x d e e dx = (5)()1log ln a d x dx x a=(6)()1ln d x dxx=(7)()sin cos d x xdx = (8) ()cos sin d x xdx =- (9)()2tan sec d x xdx = (10)()2cot csc d x xdx =- (11)()sec sec tan d x x xdx = (12)()csc csc cot d x x xdx =- (13)()arcsin d x = (14)()arccos d x =-(15)()21arctan 1d x dxx=+ (16)()21arc cot 1d x dx x=-+2．函数四则运算的微分法则 若()u x ，()v x 可微，则 （1）()d u v du dv ±=± （2）()d cu cdu = （3）()d uv vdu udv =+（4）2u vdu udvd v v -⎛⎫=⎪⎝⎭(0)v ≠ 3．复合函数的微分法则设()y f u =, ()u x ϕ=都可微, 则复合函数[()]y f x ϕ=的微分为:{[()]}()()()dy f x dx f u x dx f u du ϕϕ''''===.这公式与()dy f x dx '=比较, 可见不论u 是自变量还是中间变量, 函数()y f x =的微分总保持同一形式, 这个性质称为微分形式不变性. 这一性质在复合函数求微分时非常有用．【例30】 设函数sin x y e x =, 求dy . 【解】(sin )sin ()(sin )x x x dy d e x xd e e d x ==+ ()s i n c o s s i n c o s xxx e x d xe x d xe x xd x=+=+. 【例31】 设函数()ln sin 1x y e =+, 求dy . 【解】 1(ln sin(1))(sin(1))sin(1)x xxdy d e d e e =+=++()()()1cos 11sin 1xxxe d e e =+++()cot 1x xe e dx =+.【例32】在下列等式左端的括号中填入适当的函数使等式成立 （1） ()2d x dx =;（2） ()cos dxdx =.【解】（1）因为()323d x xdx =, 可见()323133x x dx d xd ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 即323x d x dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭,一般地有, 323x d C x dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. （2）因为()sin cos d x xdx =, 一般地有, ()sin cos d x C xdx +=（C 为任意常数）.习题２.４＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿１．已知31y x x =++, 在点2x =处分别计算当1x ∆=, 0.1, 0.001时的y ∆和dy .２．函数()y f x =的图形如图所示, 试在图中分别标出0x 处的y ∆、dy 及y dy ∆-, 并说明其正负.３．利用微分求下列数的近似值（1） 1.01e （2）（3）ln 0.98 （4）tan1800π４．试求函数2y x x =-当10x =, 0.1x ∆=时的改变量及微分, 计算用微分代替改变量时的绝对误差和相对误差. ５．求下列函数的微分dy （1）234111234y x x x x =-+-（2）2sin y x x =（3）ln y x x x =- （4）1x xy +=（5）ln 3xy = （6）cos axy e bx = （7）sin x y e x = （8）sin(3)xy ex -=-（9）2ln(3sin 2)y x =+ （10）2(1)n y x =-6．将适当的函数填入下列括号内, 使等式成立 （1）()2d dx = （2）()d xdx =（3）21()1d dx x=+ （4）()2(1)d x dx =+（5）()cos 2d xdx = （6）2()3xd e dx =（7）21()d dx x=（8）()2xd dx =（9）3()xd edx -= （10）()d=（11）2()sec d xdx = （12）()d =本章小结1. 导数的定义: 0()()()limlimx x dy y f x x f x f x y dxxx∆→∆→∆+∆-''====∆∆, 00()()x x f x f x =''=;2. 导数的几何意义: 0()f x k '=切线; 切线方程: ))((000x x x f y y -'=-;3. 可导与连续的关系: 函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件, 但不是充分条件;4. 导数公式:（1）0c '= （2）()1x x ααα-'= （3）()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠ （4）()x x e e '=（5）()1log (0,0)ln a x a a x a'=>≠ （6）()1ln x x'=（7）()sin cos x x '= （8）()cos sin x x '=- （9）()2tan sec x x '= （10）()2cot csc x x '=-（11）()sec sec tan x x x '= (12) ()csc csc cot x x x '=- （13）()arcsin x '= （14）()arccos x '=-（15）()21arctan 1x x'=+ （16）()21arc cot 1x x'=-+5. 求导法则与方法:（1）[]u v u v '''±=± （2）[]C u C u ''=（3）[]uv u v uv '''=+ （4）2u u v uv v v '''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（0v ≠） （5）设()y f u =, ()u x ϕ=, 则复合函数[()]y f x ϕ=的导数为:dy dy dudxdu dx=⋅或 {[()]}()()f x f u x ϕϕ'''=; （6）隐函数的求导方法: 将方程(,)0F x y =两边对x 求导, 然后解出y ';（7）对数求导方法: 先两边取自然对数, 然后用隐函数求导方法, 最后挽回显函数; 6. 高阶导数: ()()f x y y ''''''== 或22()d y ddydxdx dx=,1()()1()()nn n n nn d y ddyfx ydxdx dx--===;7．微分: ()dy f x dx '=;8. 微分近似计算公式: ()()()000f x x f x f x x '+∆≈+∆ （当x ∆很小）, （1）()(0)(0)f x f f x '≈+ （当x 很小）.综合练习一、填空题1. cos y x =上点1,32π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程和法线方程分别为___________ _______. 2．曲线x x y 1-=上切线斜率等于14的点是____ ____.3．设lntan y x =则y '= ____ ____．4．()sin ln f x x x =+, 则)1(''f = ___ ___．5．由方程2sin y x y -=确定()y f x =, 则dy = ____ ____．6．设n y x =, 则()n y=___ ____．7．已知()f x 可微, 则()xdf e =____ ____．8．函数()f x 在0x 处可导是其在0x 处连续的 条件． 9．函数()ln x f x x=, 在x = 处取得极小值．10．已知()2sin x f x e x =+,则(0)f '= ． 11．(sin 5)x d x += dx ．12．≈ (精确到小数四位)． 二、选择题1．(0)0,(0)f f '=设存在, 则0()limx f x x→=( ).A . ()f x 'B . (0)f 'C . (0)fD .1(0)2f2．函数在0x 处连续是在0x 处可导的（ ）．A . 充分条件但不是必要条件B . 必要条件但不是充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分也非必要条件3．下列函数中在0x =处不可导的是（ ）．A . sin y x =B . cos y x =C . ln y x =D . y x =4．设()(1)(2)(3)(99)f x x x x x x =---- , 则(0)f '= ( )．A . 999B . 999-C . 99!D . 99!-5．曲线2321y x x =++在0x =处的切线方程是（ ）．A . 21y x =+B . 22y x =+C . 1y x =+D . 2y x =+6．设ln y x =, 则dy =( ).A . dx x1 B . 1dx x-C .dx x1 D . dx x 1-7．设()x y f e =, ()f x '存在 则y '= ( )．A . ()f x 'B . ()xe f x 'C . ()x x e f e 'D . ()x f e '8．若0()0xe xf x a bxx ⎧>=⎨-≤⎩, 在0x =处可导, 则a , b 之值（ ）．A . 1a =-, 1b =-B . 1a =-, 1b =C . 1a =, 1b =-D . 1a =, 1b =三、计算下列函数的导数1. 35cos 31y x x x =+++2. 3ln y x x =3. y =1x y x-=5. ()2cos21y x =+ 6. 2sin x y x=,求 ()3f π'7. 2ln(1)y x =+8. y =9. 1tan y x= 10. sin(ln )y x =11. 10sin y x = 12. cos 5xy =13. arcsin xy ex -= 14. 2cot(1)y x =+15. y =12x y x e =17. 2lg(1)y x x =++ 18. 2xy e =19. 2(arctan )y x = 20. arcsin xy e = 21. arctan()y ax = 22. ()33ln 21x y e x -=++ 23. 2xy e=, 求()n y24. ln(14)y x =+, 求()0y '''四、计算下列隐函数的导数y '1. sin xy y x =+2. 2yyxe ye x -=。
