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《微积分上册习题》PPT课件

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大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx

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高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。

高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)

高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)

如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。
解: 要使函数有意义，必须x 0，且x2-4³0。
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
1
O
x
3．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为
y=logax(a>0，a 1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ )．
单调性：
若a>1，则logax单调增加； 若0<a<1，则logax单调减少．
性质见书P34
y y=ax
1
O
y=logxax
a>1
4．三角函数
U(a)。 设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，
即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。
其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。 [a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx

大学微积分课件(PPT版)

大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。

微积分第一章的 ppt课件

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（4）集合的补
全集I中所有不属A于 的元素构成的集合，

称为A的补集，记A为 c,即
Ac {x| xI且xA}
微积分第一章的
(5) 集合的直积或笛卡儿（Descartes）乘积
设 有 集 A和B 合 ， 则 集 合 AB{(x,y)xA,yB}
称为集合A与集合B的笛卡儿乘积（或直积）
如：R 2 (x ,y )x R ,y R
微积分第一章的
课程要求
（一）要学会自已管理自已,养成良好的学习风气. （二）教学进度较快,要逐步适应与中学不同的教学方 法.每次课都要及时预习复习,所学内容,要及时消化. （ 三）高等数学关注的重点是对定义,定理的理解,方 法的掌握和公式的记忆.（对学经管的学生来说,定理的 证明较次要,但通过定理的证明可以加深理解,开拓思路）
表示 xOy平面上全体点的集合.
同理： R 3 ( x ,y ,z )x R ,y R ,z R
表示 空间 全体点的集合.
微积分第一章的
三、区间和邻域
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点. 有限区间
a ,b R ,且 a b .
{xaxb} 称为开区间, 记作 (a,b)
微积分第一章的
21世纪培养的各类专业技术人才,应该具有将他 所涉及的专业实际问题建立数学模型的能力,这样才 能在实际工作中发挥更大的创造性.所以为了培养学 生的定量思维能力和创造能力,就必须在数学教育中 培养学生的建模能力与数值计算含数据处理的能力, 加强在应用数学方面的教育.使学生具有应用数学知 识解决实际问题的意识和能力.
（2）集合的交
设有集A和 合B，由 A和B的所有公共元素构 集合，称 A与为 B的交，记 A为 B,即

《微积分》PPT课件

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公式.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
10
说明: ① 使用公式 (1) 必须是 X－ 型域, 使用公式 (2) 必 须是 Y － 型域. ② 若积分区域既是 X － 型区域又是 Y－ 型区域,
则有
f ( x, y ) d x d y
dx
a
d
y
y 2 ( x)
D b
x 1 ( y)
微积分Ⅰ
第九章
重积分
6
在 [a, b] 上任意取定一点 x0, 作平行于 yOz 面的平
面 x = x0, 则该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区 间 [ 1 (x0), 2 (x0) ] 为底、曲线 z = f (x0 , y) 为曲边的 曲边梯形.
z
z f ( x, y)
y
A( x0 )
2
R
它的底为 D {( x, y ) | 0 y R2 x 2 , 0 x R},
微积分Ⅰ
第九章
重积分
23
∴所求体积为
8
R
0
R 2 x 2 dx
R2 x 2
0
dy
8 ( R 2 x 2 )dx
0
R
16 3 R . 3
微积分Ⅰ
第九章
重积分
24
1 x
y x

1
微积分Ⅰ
第九章
重积分
21
说明: ① 计算二重积分时, 选择积分次序是比较重要的 一步, 积分次序选择不当, 可能会使计算繁琐, 甚至无
法计算. 一般地, 既要考虑积分区域 D 的形状, 又要考
虑被积函数 f (x, y) 的特性. ② 应遵循 “能积分, 少分快, 计算简” 的原则.

微分习题课ppt课件

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y p y q y f(x ) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
(1 ) f(x ) e xP m (x )型
0 设 y x k e x Q m (x ), k 1
2
不是根 是单根 , 是重根
2021精选ppt
22
( 2 )f ( x ) e x [ P l ( x ) cx o P n ( x ) s sx i ] 型 n
x x x2
所求通解为 xycosy C. x
2021精选ppt
27
例2. 求下列方程的通解
(1)yy12ey3x 0; (3) y2x1y2 ;
(2 )xyx2y2y; (4) y36xx23y3x2yy23.
提示: (1) 因 ey3xey3ex,故为分离变量方程:
y2ey3dyexdx
通解
1ey3 ex C 3
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
2021精选ppt
2
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
变全 量微
积分因子 可 分
常数变易法
分方
离程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
2021精选ppt
3
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
2021精选ppt

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x x0
f (x)
f
(x0 )
何时函数f(x)在 点 处间断？
(1)f(x)在点 x0 处无定义；
(2)f(x)在点
x0 处有定义，但
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
lim f (x) A或f (x) A(x )
x
定 义 2 . 5 ： 若 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ， 总 存
在一个正数M，使得当x＞M（x＜-M）时，
恒 有 f (x) A＜ 成 立 ， 则 称 当 x （x )
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
y=arcsinx x [1,1], y [ , ]
22
y=arccos x [-1,1], y [0, ]
y=arctanx X R, y ( , ) 22
y=arccotx X R，y （0，）
1.4 初等函数（三角函数）
正弦函数和余弦函数
正切函数和余切函数
正割函数与余割函数
三角函数的基本关系式：
xx0
ua
2.4
被迫性定理 若在某个变化过程中，
恒有y≤x≤z，且 limy=limz=A,则limx=A
两个重要极限（必考）
单调有界定理
单调有界的数列
必有极限
} 单 调 增 + 有 上 界
单调减+有下界
数列收敛
定理 2.12
定义 2.9
定理 2.13
若数列 {an}满足 an an1(或an an1）（n N） 则称数列 {an}为单调增 加(或单调减少)数列。
当x 0时，等价无穷小量：
sinx~x tanx~x
arcsinx~x 1-cosx~x2

《微积分》课件

微分学主要研究函数在某一点附近的 局部行为，包括切线、函数的变化率 等；积分学则研究函数在某个区间上 的整体行为，包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$

第一章 基础概念与练习 (《微积分》PPT课件)

A={3，4，5}，B={1，3，6},那么 AC BC _____
5. 下列给出的四个集合中，表示空集的是（ ）
A {0}
B {(x,y)|y2 =-x2 , x∈R，y∈R}
C {x|2x2+3x+2=0, x∈N}
D {x| sinx+cosx = 2 , x∈R}
6. 设全集I为R，函数f(x) = sinx , g(x) = cosx , M = {x | f(x) = 0}, N = {x | g(x) = 0}, 则：集合 {x | f(x) g(x) ≠ 0} =（ ）
y
f (x)
g( x)
x o
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
x o
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x
2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
例1
解 当 x 800时，y 0
当800 x 1300时， y 0.05(x 800) 0.05x 40
4. 余集: 研究某一问题时所考虑的对象的全体 称为全集，用 I 表示；把差集 I \ A 特别称为余 集或补集，记作Ac .
5. 运算规律:
①交换律: A B B A , A B B A ; ②结合律: A (B C ) ( A B) C
A(B C) (A B)C ③分配律: A (B C ) ( A B) ( A C )
f 1 ：B A x y arccos x
2.复合映射：
g ：X U1 x u g(x)

大一上册微积分课件《习题课》


利用夹逼准则得
lim
n
1 xnex 01 ex
dx
0
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练习:
1.求极限 lim ( n
n
n 2
1
n2
n 22
n2
n n2
).
解：原式
lim
n
1 n
n1
i1
1
(
i n
)2
1 0
1 1 x2
d
x
4
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例3. 估计下列积分值
t d t (0 x )
0
0
4
2
sin2 x
cos2 x
证: 令 f (x)
arcsin t d t
arccos t dt
0
0
则 f (x) 2 x sin x cos x 2 x sin x cos x 0
因此 f (x) C
(0
x
2
)
,
又
1
1
f
(4 )
2arcsin
0
1
u
eu
d
u
0
e (u 1) eu 6
1 0
1 (e 2) 6
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例13. 若 f (x) C[0, 1] , 试证 :
x f (sin x) dx
f (sin x) dx
0
20
2 f (sin x) dx 0
解: 令 t x, 则
x f (sin x) dx
a
a
a
a
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证明: 令
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b
af(x)dxF(b)F(a)
也可写成 abf(x)dx [F(x)b a].
牛顿—莱布尼茨公式
表明 :一个连续函[a数 ,b]上 在的 区定 间积分 它的任一原函 [a,b]数 上在 的区 增 . 间 量
11
6、定积分的计算法
（1）换元法
abf(x)dx f[(t)](t)dt
换元公式
（2）分部积分法
5
3、存在定理 可积的两个充分条件：
定理1 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 连 续 时 ，
称 f( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 可 积 .
定理2 设 函 数 f(x ) 在 区 间 [ a ,b ]上 有 界 ，
且 只 有 有 限 个 间 断 点 ， 则 f(x )在 区 间 [a ,b ]上 可 积 .
7
性质4
b
b
a1d x ad x ba
性质5 如 果 在 区 间 [ a ,b ] 上 f ( x ) 0 ，
则 a bf(x )d x 0 (ab )
推论：（1） 如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 f ( x ) g ( x ) ，
则 a b f ( x ) d x a b g ( x ) dx ( a b )
3
2、定积分的定义
定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a,b]中 任 意
若 干 若 干 个 分 点
a x x x x x b
012
n 1 n
把 区 间 [ a , b ] 分 成 n 个 小 区 间 ，
[ x 0 , x 1 ] [ x 1 , , x 2 ] [ x , n 1 , x n ],
一、主要内容
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理 定积分 广义积分
的定 性积 质分
牛顿-莱布尼茨公式
b
af(x)d xF (b)F (a)
计 算 法
定 积 分 的
1
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线与 两 条 直 线 xa、 x b 所 围 成 .
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
14
二、典型例题
例1 求2 1sin2xdx. 0
解 原 式2six ncoxsdx 0
0 4(cx o ssixn )d x 2(sx i n co x)d sx
4
222.
则 在 积 分 区 间 [ a ,b ] 上 至 少 存 在 一 个 点 ，
使 a b f(x ) d x f()b ( a ) (a b )
积分中值公式
9
5、牛顿—莱布尼茨公式
定理1 如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数
x
(x)a
f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导数
abudv[u]vb aabvdu
分部积分公式
12
７、广义积分
(1)无穷限的广义积分
f(x)dxlimbf(x)dx
a
ba
b f(x)dxlimbf(x)dx
aa
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
各 小 区 间 的 长 度 依 次 为 x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ，
在 各 小 区 间 上 任 取 一 点 i （ i x i） ，
4
作 乘 积 f ( i ) x i ( i 1 , 2 , ) 并 作 和 S n f(i)xi，
i1
记 maxx1{,x2, ,xn}， 如 果 不 论 对 [a,b ]
13
(2)无界函数的广义积分
b
b
a
f
(x)dxlim 0 a
f(x)dx
b
b
a f( x ) d l x 0 ia m f( x ) dx
b
c
b
a f ( x ) d a x f ( x ) d c x f ( x ) dx
l i0a c m f(x )d x l i0c b m f(x )dx
n
Alim 0i1
f(i)xi
2
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物 体作 直线运 动， 已知速 度 vv(t)是时间 间隔 [T1,T2]上 t 的一个连续函数，且 v(t)0，求
物 体 在 这 段 时 间 内 所 经 过 的 路 程S.
n
slim 0i1v(i)ti
方法:分割、求和、取极限.
怎样的分法， 也 不 论 在 小 区 间 [ x i 1 ,x i] 上 点 i怎 样
的取法，只 要 当 0 时 ， 和 S总 趋 于 确 定 的 极 限 I，
我 们 称 这 个 极 限 I 为 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 ，
记为
b
n
af(x )d x I l i0i m 1f(i) x i.
15
例2 求2
sinx
dx.
0 sinxcoxs
（2） a bf(x)d xa bf(x)dx(ab)
8
性质6 设 M 及 m 分 别 是 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ]
上 的 最 大 值 及 最 小 值 ，
则 m (b a ) a b f(x ) d x M (b a ).
性质7 (定积分中值定理)
如 果 函 数 f(x )在 闭 区 间 [a ,b ]上 连 续 ，
6
4、定积分的性质
性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) dx 性质2 a b k(x f ) d x k a b f(x ) dx k (为 常 数 )
性质3 假 设 acb
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
是 (x)ddxax f(t)dt f(x) (axb)
定理2（原函数存在定理）如果f(x) 在 [a,b] 上
连续，则积分上限的函数(x)ax f(t)dt就是
f(x)在[a,b]上的一个原函数.
10
定理 3（微积分基本公式） 如 果 F(x)是 连 续 函 数 f(x)在 区 间 [a,b]上 的 一 个 原 函 数 ， 则