浙江省杭州市学军中学2020届高三下学期6月模拟考试数学试题(图片版)

2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题考生注意：1.全卷满分150分.考试用时120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上的答案一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卷. 参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()() 1 0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=台体的体积公式：()1213V S S h =+，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底而积，h 表示台体的高柱体的体积公式： VSh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式：24S R π=，球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，则A B =（ ）A. {}2,4B. {}0,1,2,4C. {}0,1,2,2,4D. {}04x x ≤≤【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算,【详解】∵{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，∴{0,1,2,4}A B ⋃=．故选：B ．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．2. 双曲线22149x y -=的实轴长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程知实轴长为2a ，可知双曲线22149x y -=的实轴长【详解】由双曲线标准方程22221x y a b-=中，实轴长为2a 可知：在双曲线22149x y -=中，实轴长为4故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用标准方程及实轴定义求实轴长.3. 已知圆()22:11C x y -+=，直线l 过点()0,1且倾斜角为θ，则“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与圆相切时的θ值，然后判断．【详解】圆C 是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，因此过点(0,1)的切线有两条，方程是1y =和0x =，倾斜角为0θ=或2πθ=．∴“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，充分必要条件的判断方法有两种,一种是根据充分必要条件的定义判断，另一种是根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．4. 若复数312a ii++（a R∈，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A. -6B. 6C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【详解】∵()()()()()()31263231212125a i i a a ia ii i i+-++-+==++-为纯虚数，∴a+6=0且3−2a≠0，解得：a=−6.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算及复数概念的应用，纯虚数为实部等于0且虚部不等于0，得出结果后一定要做验证，属于基础题.5. 已知函数1()ln1f xx x=--，则()y f x=的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据特殊值的函数值排除,,A C D，从而选B.【详解】因为1111ln1f eee e⎛⎫==>⎪⎝⎭--，所以选项A错；因为11()0ln12f ee e e==>---，所以选项C错；因为()222211()ln 13f ef e ee e ==<---，所以选项D 错， 故选：B ．【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了特值排除法，属于基础题. 6. 设l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A. 若//l α，//m α，则//l m B. 若//l α，m l ⊥，则m α⊥ C. 若l α⊥，m l ⊥，则//m α D. 若l α⊥，m α⊥，则//l m【答案】D 【解析】 【分析】逐项进行分析，在选项A 中，l 与m 相交、平行或异面；在选项B 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在选项C 中，m∥α或m ⊂α；在选项D 中，由线面垂直的性质定理得l∥m． 【详解】由l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，知：在选项A 中，若l∥α，m∥α，则l 与m 相交、平行或异面，故A 错误； 在选项B 中，若l∥α，m⊥l，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故B 错误； 在选项C 中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或m ⊂α，故C 错误；在选项D 中，若l⊥α，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得l∥m，故D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．7. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===，所以59.5a =，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=，故芒种日影长为二尺五寸. 故选:B .【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题. 8. 设a ，b ，c 为平面向量，2a b a b ==⋅=，若()()20c a c b ⋅--=，则c b ⋅的最大值是（ ）A.B.52+ C.174D.94【答案】B 【解析】 【分析】先求出a 与b 的夹角，在直角坐标系中用坐标表示a 、b 且设(,)c OC x y ==，有c b ⋅= 2x ，结合()()20c a c b ⋅--=用坐标表示数量积，可得到方程，根据方程有解求x 范围即可求得c b ⋅的最大值.【详解】∵2a b a b ==⋅=，若a 与b 的夹角为θ知1cos 2θ=, ∴3πθ=，建立直角坐标系， 令(2,0),(1,3)b OB a OA ====，设(,)c OC x y == ,而c b ⋅= 2x ，故求它的最大值即是求x 的最大值,故2(21,2c a x y -=--，(2,)c b x y -=-，又()()20c a c b ⋅--=即(2)()c a c b -⊥-∴(21)(2)(20x x y y --+=，即22(21)(2)0y x x -+--= , 方程有解：38(21)(2)0x x ∆=---≥,解得：5544x -+≤≤.∴c b ⋅的最大值为52. 故选：B【点睛】本题考查了应用坐标表示向量的数量积求最值，根据数量积的坐标公式，结合一元二次方程有解求参数范围，进而求最大值9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（ ） A. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并满足：对任意*n ∈N ，都有2020n n S S +≥，则下列命题不一定．．．成立的是（ ） A. 20202021S S ≤ B. 20212022S S ≤ C. 10101011a a ≤ D. 10111012a a ≤【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，对d 分为0d =、0d >、0d <三种情况讨论，在0d =时验证即可；在0d >时，取2d =，可设()2n S n tn t R =+∈，根据2020n n S S +≥恒成立求得实数t 的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出0d <时各选项的正误.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ①当0d =时，则1n a a =，1n S na =，则2020n n S S +≥对任意的*n ∈N 恒成立， A 、B 、C 、D 四个选项都成立； ②当0d >时，不妨取2d =，记12d t a =-，则2n S n tn =+， 由2020n n S S +≥可得2220200n n S S +-≥，即()()202020200n n n n S S S S ++-+≥，则()()222404020202020240402020220200n tnn tn t ++++++≥，令24040202020200n t ++=，可得22020t n =--；令22240402020220200n n tn t ++++=，可得2101010101010t n n ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭.()()2222101010101010101010102202010100101010101010n n n n n n n +-⎛⎫-++---=+-=> ⎪+++⎝⎭， 则210101010220201010n n n ⎛⎫-++>-- ⎪+⎝⎭，解关于t 的不等式()()222404020202020240402020220200n tnn tn t ++++++≥，可得22020t n ≤--或2101010101010t n n ⎛⎫≥-++ ⎪+⎝⎭，所以()min 22020t n ≤--或2max 101010101010t n n ⎡⎤⎛⎫≥-++⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦.由于数列{}22020n --单调递减，该数列没有最小项；由双勾函数单调性可知，函数21010y x x=+在区间[1010,+∞)上单调递增，所以，数列2101010101010n n ⎧⎫⎛⎫⎪⎪-++⎨⎬ ⎪+⎪⎪⎝⎭⎩⎭单调递减，该数列的最大项为2101010111011--，2101010111011t ≥--. 对于A 选项，2202020202020S t =+，2202120212021S t =+，则()()()()22222021202020212020202120204041404120202021S S S S S S t t -=-+=+++，22101010104041404110113030010111011t +≥--=->，2222240411010404120202021202020214041101101011t ⨯++≥+-⨯->，则()()()()222220212020202120202021202040414041202020210S S S S S S t t -=-+=+++>，所以，20212020S S >，A 选项成立； 对于B 选项，2202220222022S t =+，则()()()()22222022202120222021202220214043404320212022S S S S S S t t -=-+=+++，22101010104043404310113032010111011t +≥--=->，2222240431010404320212022202120224043101101011t ⨯++≥+-⨯->，则()()()()222220222021202220212022202140434043202120220S S S S S S t t -=-+=+++>，所以，20222021S S >，B 选项成立； 当1n =时，111a S t ==+；当2n ≥时，()()()2211121n n n a S S n tn n t n n t -⎡⎤=-=+--+-=+-⎣⎦. 11a t =+满足21n a n t =+-，()21n a n t n N *∴=+-∈.对于C 选项，10102019a t =+，10112021a t =+，()()()2222101110102021201942020a a t t t -=+-+=+，222101010101010100910112020101110090101110111011⎛⎫-⨯----=-=> ⎪⎝⎭， 当21010101120201011t --<<-时，()2210111010420200a a t -=+<，所以，C 选项不一定成立； 对于D 选项，10122023a t =+，()()()2222210121011101020232021420224202210111011aat t t ⎛⎫-=+-+=+≥-- ⎪⎝⎭()222410111010101041011010111011-⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭， 所以，10121011a a >， D 选项成立；③当0d <时，由②同理可知，C 选项不一定成立. 故选：C.【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前n 项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，则p =________，()1P X ==________.【答案】 (1). 13 (2). 2562187【解析】 【分析】首先根据已知条件得到()312np np p =⎧⎨-=⎩，解不等式组即可得到13p =，再计算()1P X =即可.【详解】因为随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，所以()312np np p =⎧⎨-=⎩，解得139p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()819122561332187⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭P X C .故答案为：1 3，2562187【点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差，同时考查n次独立重复试验，属于简单题.12. 已知实数x，y满足约束条件2020220x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y=+的最小值为________；1yx+的取值范围是________.【答案】(1). 2(2).1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】首先根据题意画出可行域，再根据目标函数的几何意义结合图形即可得到答案.【详解】不等式组表示的可行域如图所示,由目标函数2z x y=+得到122zy x=-+，z的几何意义表示直线122zy x=-+的y轴截距的2倍.所以当直线122zy x=-+过()2,0A时，z取得最小值，min2z=.令()111--+==-yyzx x，1z的几何意义表示：可行域内的点(),x y与()0,1B-构成的斜率.由图知：()1min 12==BA z k ，12<z ，故11,22⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭z . 故答案为：(1)2；(2)1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查线性规划问题，同时考查了数形结合的思想，属于中档题. 13. 若将函数()7=f x x 表示为()()()()201277111f x a a x a x a x =+-+-++-，其中0a ，1a ，2a ，，7a 为实数，则3a =________，0246a a a a +++=________. 【答案】 (1). 35 (2). 64 【解析】 【分析】首先将()f x 转化为()()711=+-⎡⎤⎣⎦f x x ，再利用二项式定理得展开式即可得到3a 的值；分别令2x =和0x =，再把两个式子相加除以2即可得到答案.【详解】因为()()()()()7207717211111==+-=⎡⎤⎣-+-+-⎦++a a f x a x a x x x x ，所以33735==a C .令2x =得：()7012722++==++a a a a f ①， 令0x =得：()012700-+=--=a a a a f ②，①+②得到()7024622+++=a a a a ，所以024664+++=a a a a .故答案为：35；64【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.14. 己知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos 3sin a C a C b c =+，则A =________；又若2b =，a x =，△ABC 有两解，则实数x 的取值范围是________.【答案】 (1). 3π(2). 32x <<【解析】 【分析】由cos 3sin a C a C b c +=+结合正弦定理化简得到1sin()62A π-=，由(0,)A π∈即可得到A 的大小；同样由正弦定理及2b =，a x =，(1)的结论可得3sin B =，2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，即可知3sin (,1)B ∈，可求x 的范围. 【详解】cos 3sin a C a C b c +=+知,sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C +=+，而()B A C π=-+,∴sin cos 3sin sin sin()sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++, 即13sin cos 1sin()62A A A π=+⇒-=，又(0,)A π∈, ∴3A π=,由2b =，a x =sin sin 3x c c A C =⇒=, 而cos 3sin a C a C b c +=+有：23333cos sin sin()3x C C C π===++，即3sin B =, 2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，知：3sin (,1)B ∈, ∴(3,2)x ∈, 故答案：(1)3π；(2)32x <<. 【点睛】本题考查了正弦定理，运用了两角和差的正弦公式，三角形内角和为π，化简求值和参数范围.15. 已知抛物线24y x =，过点()1,2A 作直线l 交抛物线于另一点B ，点Q 是线段AB 的中点，过点Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足QC CP =，则OP 的最小值是__________．【答案】2【解析】 【分析】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意逐步表示出点,,Q C P 的坐标，于是可以表示出||OP 并求得其最小值.【详解】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为()1,2A ，Q 是AB 的中点，所以242,82b b Q ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 所以直线1l 的方程为22b y +=.代入24y x =，可得()222,162b b C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为QC CP =，所以点C 为PQ 的中点，可得2,22b b P +⎛⎫⎪⎝⎭. 所以()()2222211||14422b b OP b +=+=++.所以当1b =-时，2||OP 取得最小值12，即||OP 的最小值为2.故答案为2. 【点睛】本题考查抛物线的基本问题，设出坐标表示出目标函数，利用函数求最值.16. 将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法. 【答案】535 【解析】 【分析】根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球数为5，以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法. 【详解】四个盒子放球的个数如下 1号盒子：{0，1} 2号盒子：{0，1，2}3号盒子：{0，1，2，3} 4号盒子：{0，1，2，3，4}结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法 5 = 1 + 4：153C 种 5 = 2 + 3：254C 种 5 = 1 + 1 + 3：31526C C 种 5 = 1 + 2 + 2：22536C C 种 5 = 1 + 1 + 1 + 2：2115323C C C 种∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种. 故答案为：535.【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算17. 已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为__________．【答案】254【解析】 【分析】根据球的性质可知球心O 必在过BC 中点E 且平行于AD 的直线上，根据勾股定理可确定112AF DF OE AD ====；根据球的表面积公式可确定半径2R =，勾股定理可得到222225AB AC x y +=+=；将三棱锥侧面积表示为12S x y xy =++，利用基本不等式可求得最大值.【详解】取BC 中点E ,90BAC ∠= E ∴为ABC ∆的外接圆圆心,过E 作AD 的平行线，由球的性质可知，球心O 必在此平行线上, 作//OF AE ，交AD 于F ，如图所示：OA OE =2222OD OF DF AD DF =+=+OA OD = 112AF DF OE AD ∴==== 球O 的表面积为29π ∴球O 的半径29294R ==设AB x =，AC y =由222229142x y R OC CE OE +==+=+=得2225x y += 又12ABD S AB AD x ∆=⋅=，12ACD S AC AD y ∆=⋅=，1122ABC S AB AC xy ∆=⋅= ∴三棱锥A BCD -侧面积12S x y xy =++由222x y xy +≥得：252xy ≤（当且仅当522x y ==时取等号） 又()2222222550x y x y xy x y +=++≤++=（当且仅当522x y ==时取等号） 25524S ∴≤（当且仅当52x y == 故答案为:25524【点睛】本题考查空间多面体的外接球的相关问题的求解，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够根据球的性质确定球心位置，从而利用勾股定理得到变量所满足的等量关系，从而结合基本不等式求得结果.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 设函数()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛⎫=+--+ ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝的最小值是1-. （1）求a 的值及()f x 的对称中心;（2）将函数()f x 图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到()g x 的图象，若()12g x ≥-，求x 的取值范围. 【答案】（1）0a =，对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）7,224224ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数恒等变换化简得到()sin 23π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x a ，根据()f x 的最小值得到0a =，再求()f x 的对称中心即可.（2）首先根据三角函数的平移变换得到()sin 4g x x =，再解不等式1sin 42≥-x 即可. 【详解】（1）()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛⎫=+--+ ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝.112sin 2sin 22sin 2sin 2223x x x a x x a x a π⎛⎫=-++=++=++ ⎪⎝⎭ 因为()min 11=-+=-f x a ，所以0a =，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令23x k ππ+=，解得62πk πx =-+()k Z ∈.所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心是,026k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭()k Z ∈； （2）()sin 4sin 4123ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g x x x ， 因为()12g x ≥-，即1sin 42≥-x ， 所以724266k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈，解得：7224224ππππ-≤≤+k k x ()k Z ∈, ∴x 的取值范围是7,224224ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【点睛】第一问考查三角函数的恒等变换，同时考查正弦函数的对称性，第二问考查正弦函数图象变换，同时考查三角不等式，属于中档题.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11112A B A C ==，123CC =， 120BAC ∠=︒，点O 为线段11B C 的中点，点P 为线段1CC 上一动点（异于点1C C 、），点Q 为线段BC 上一动点，且QP OP ⊥.（Ⅰ）求证：平面1A PQ ⊥平面1A OP ；（Ⅱ）若//BO PQ ，求直线OP 与平面1A PQ 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；219. 【解析】 【分析】（Ⅰ）要证平面1A PQ ⊥平面1A OP ，转证QP ⊥平面1A OP ，即证1QP AO QP OP ⊥⊥，； （Ⅱ）建立如图空间直角坐标系O xyz -，求出平面1A PQ 的法向量，代入公式可得结果. 【详解】（I ）证明：因为11112A B A C ==，O 为线段11B C 的中点，所以111AO B C ⊥， 在直三棱柱111ABC A B C -中，易知1CC ⊥平面111A B C ，11AO CC ∴⊥，而1111CC B C C ⋂=； 1A O ∴⊥平面11CBB C ，1QP A O ∴⊥；又因为QP OP ⊥，A 1O ∩OP=O ； 所以QP ⊥平面1A OP ，又QP ⊂平面1A OP ；所以平面1A PQ ⊥平面1A OP ； （II ）由（I ）可建立如图空间直角坐标系O xyz -，因为120BAC ︒∠=所以113OB OC =，则()()()110,0,0,3,0,0,3,0O C B -，(()10,3,23,1,0,0B A --， 设()(3,,0,,23P a Q b ，所以()(0,3,23,0,3,23QP b a OB =--=-，因为QP OP ⊥，//BO PQ ， 所以0,//QP OP OB QP ⋅=，()(()(33230233323b a a b a ⎧-=⎪∴⎨-=--⎪⎩， 解得：3324a b ==（P 异于点1,C C ） ,13333331,3,,0,,,0,3,A P QP OP ⎛⎫⎛⎫⎛∴==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面1A QP 的法向量为(),,n x y z = ，则100n A P n QP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即33033330x z y z ⎧++=⎪⎪= ，可取 ()53,4,2n =- ， 设直线OP 与平面1A QP 所成角为θ ，则433219sin 15954n OP n OPθ⋅+===⋅ ,直线OP 与平面1A QP. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．20. 已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N . (1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)证明:1211134n a a a +++<. 【答案】(1)证明见解析;(2)()1221nn n a +=+⋅-;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由212n n n a a a ++=+，得2112n n n na a a a ++++=+，即可得到本题答案；（2）由1132n n n a a +++=⋅，得11122222n n n na a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即可得到本题答案；（3）当1n =时，满足题意；若n 是偶数，由12123111111111n nn a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫+++<+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<；当n 是奇数,且3n ≥时，由1211231111111111n n n n a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫++++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<，综上，即可得到本题答案.【详解】(1)因为212n n n a a a ++=+，所以()2112n n n n a a a a ++++=+， 因为12120a a +=≠，所以2112n n n na a a a ++++=+，所以数列{}1n n a a ++是等比数列；(2)因为1132n n n a a +++=⋅，所以1113222n nn na a +++⋅=， 所以11122222n n n n a a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，又因为12a =，所以1212a -=-，所以22n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1-为首项， 12-为公比的等比数列，所以11222n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以()1221nn n a +=+⋅-；(3)①当1n =时，11324n a =<； ②若n 是偶数，则1213211113122222242142n n n n n nn n a a +++⋅+=+=<⋅+-⋅+-， 所以当n 是偶数时，121211111111n n n a a a a a a a ++++<++++ 123111111nn a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 241311124222n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-； ③当n 是奇数，且3n ≥时，121211111111n n na a a a a a a -+++=++++ 123111111n n a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2411311124222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-；综上所述，当n *∈N 时，1211134n a a a +++<. 【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.21. 椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为23，点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上．（1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ． ①求OC OD ⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）①13[1,)4OC OD ⋅∈-②12【解析】 【详解】 【分析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，联立方程组求解：因为点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点为(2,0)-，所以2a =．又223c =3c =，21b =（2）①直线与椭圆位置关系问题，一般联立方程组，借助于韦达定理进行求解：设直线l 的方程为2,y kx =+代入222,{1,4y kx x y =++=消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，因为1212OC OD x x y y ⋅=+，由1212221612,1414k x x x x k k +=-=++得217114OC OD k ⋅=-++再由>0∆，可得243k >，13[1,)4OC OD ⋅∈-②求定值问题，一般以算代证：先分别表示直线AD ：2211y y x x -=+，BC ：1111y y x x +=-，解得121221233kx x x x y x x ++=-，再将1212221612,1414k x x x x k k +=-=++代入化简得12y = 试题解析：（1）因为点(0,2)P 关于直线y x=-的对称点为(2,0)-，且(2,0)-在椭圆M 上，所以2a =．又2c =c =222431b a c =-=-=．所以椭圆M 的方程为2214x y +=． （2）①当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)C D -，所以OC OD ⋅＝－1．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx C x y D x y =+，222,{1,4y kx x y =++=消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，由>0∆，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++，所以1212OC OD x x y y ⋅=+ 21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OC OD -<⋅<，综上13[1,)4OC OD ⋅∈-．②由题意得，直线AD ：2211y y x x -=+，直线BC ：1111y y x x +=-，联立方程组，消去x 得121221233kx x x x y x x ++=-，又121243()kx x x x =-+，解得12y =，故点Q 的纵坐标为定值12.考点：直线与椭圆位置关系.22. 已知实数1a ≥-，设()()ln ,0f x x a x x =+>.（1）若1a =-，有两个不同实数1x ，2x 满足()()12f x f x ''=，求证：122x x +>；（2）若存在实数214c e e<<，使得()f x c =有四个不同的实数根，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）210a e<<.【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得121212ln 20x x x x x x +-+=，先证121x x ≥.再利用基本不等式即可得证；（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根，对a 分类讨论，分别利用导数研究函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）()1ln 1f x x x'=+-. 因为()f x '在0x >上单调递增，故()()120f x f x ''+=，即121212ln 20x x x x x x +-+= 先证明：121x x ≥.因为()10f '=，故不妨11x >，201x <<. 设2211x x '=>. 由基本不等式知：()()222212220f x f x x x ⎛⎫'''+=-+<-= ⎪⎝⎭.因为()f x '在0x >上单调递增且()()120f x f x ''+=， 所以12x x '>即121x x ≥.因为12x x ≠，由基本不等式得：122x x +>>.（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根. 因为()ln 1af x x x'=++. ①10a -≤≤，因为()f x '在0x >上单调递增， 且当0x →时()f x '→-∞，当x →+∞时()f x '→+∞，故存在唯一实数00x >， 使得()00f x '=，即()00ln 1a x x =-+.因此()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 由10a -≤≤可知011x e≤≤. 把()00ln 1a x x =-+代入得：()f x 的极小值()()2000ln f x x x =-.令()()2ln h x x x =-，()ln (ln 2)h x x x '=-+.当210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当21,1x e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '>. 因此()h x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 故()01,0f x e⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x c =上至多有两个不同的实数根，()f x c =-上至多有一个的实数根，故不合题意. ②0a >，当0x →时()f x '→+∞， 当x →+∞时()f x '→+∞，()2x af x x-''=. 当()0,x a ∈时，()0f x ''<；当(),x a ∈+∞时，()0f x ''>，()2ln f a a '=+. 因此()f x '在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. （i ）若21a e ≥，则()0f x '≥（当且仅当21a x e==时取等）， 故()f x 在0x >上单调递增.因此()f x c =±上至多有两个不同的实数根，故不合题意. （ii ）若210a e<<，则()0f a '<， 故存在()10,x a ∈和21,x a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()120f x f x ''==. 因此()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. 因为当0x →时()f x →-∞，当x →+∞时()f x '→+∞，且()()2111ln 0f x x x =-≤，故()f x c =上有且仅有一个实数根.由①的()h x 可知：()124,0f x e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()2241,f x ee ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 故存在()()()21,c f x f x -∈， 使得214c e e<<.此时()f x c =-上恰有三个不同的实数根. 此时()f x c =±共有四个不同的实数根. 综上：210a e <<满足条件. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于难题.。

2020年浙江省高三下学期6月高考方向性考试数学试题一、单选题1．(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)＝A ．x 5B ．x 5－1C ．x 5＋1D ．(x －1)5－1 2．复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z -=（ ） A ．12i -+ B ．12i - C ．-1 D ．12i +3．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果运动员甲罚球命中的概率是0.8，记运动员甲罚球1次的得分为X ，则()E X 等于（ ））A ．0.2B ．0.4C ．0.8D ．14．已知集合2{|40}M x x =-<，{|128x N x =，}x Z ∈，则(NM = ) A ．[0，2） B ．{0，1} C ．{0，1，2} D ．{0，1，3}5．设a ，b R ∈，则“222a b a b ++=”是“2a b +≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为） ）A ．28π+B ．8π+C ．283π+D ．83π+ 7．对于函数f （x ），若）a ，b ，c）R ，f （a ），f （b ），f （c ）都是某一三角形的三边长，则称f （x ）为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是（ ）A ．f （x ）=1（x）R ）不是“可构造三角形函数”B ．“可构造三角形函数”一定是单调函数C ．f （x ）=是“可构造三角形函数”D ．若定义在R 上的函数f （x ）的值域是（e 为自然对数的底数），则f （x ）一定是“可构造三角形函数”8．已知圆()()()222:0C x a y a a a -++=>和直线:20l x y ++=，则2a =是圆C 和直线l 相交的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=， 则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A ．12,23n n n n a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； B ．21,31n n n n a b n ⎛⎫== ⎪+⎝⎭C ．11,13n n n n a b n -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭D ．32,21n n n n a b n n ++==++二、多选题10．函数2()x f x x a=+的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．三、双空题11．cos15︒=______，)cos50tan10︒︒=______. 12，若()0f a =，则实数a 的值是_________：若()f x 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在直线30kx y --=上，则实数k 的取值范围是_________.四、填空题13．如图，在正六边形ABCDEF 中，已知AC c =，AD d =，则AE =___________（用c 与d 表示）．14．如图，已知一个八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD 为正方形，给出下列命题：①不平行的两条棱所在的直线所成的角是60︒或90︒； ②四边形AECF 是正方形；③点A 到平面BCE的距离为3； ④平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为13．其中正确的命题全部序号为_________________15．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则__________．16．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点，过F 作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于A 点，若Rt OAF ∆（O 是坐标原点）的面积为1，则双曲线的方程为__________．17．函数()321331x f x x x =--+在[]0,3上的零点有__________个.五、解答题18．设a R ∈，函数()()sin cos sin f x x a x x =+ 满足()203f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求()f x 在5,242ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上的最大值和最小值.19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 为1AB 的中点，点F 为1A D 的中点.求证：（1）//EF 平面ABCD ；（2）1AA EF ⊥.20．已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n n N +=-=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n n b a n=+，求数列n b 的前n 项和n S . 21．如图所示，△ABC 中，D 为AC 的中点，AB=2，3（1）求cos∠ABC 的值；（2）求BD 的值.22．(本小题满分16分)设f(x)＝ae x－a，g(x)＝ax－x2(a为与自变量x无关的正实数).(1)证明：函数f(x)与g(x)的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；(2)是否存在实数k，使得对任意的恒成立？若存在，求出k 的取值范围，否则请说明理由．参考答案1．B逆用二项式定理即可得解.逆用二项式定理）得原式＝[(x ）1)）1]5）1）x 5）1.故选B.本题主要考查了二项式定理的逆用，属于基础题.2．D因为复数1z i =+，所以222221+1+1+12(1)2z i i i i i z i i-=-=-=+=++，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．3．C由题意得x 的取值范围为0.1，(0)10.80.2P X ==-=，(1)0.8P X ==，所以()00.210.80.8E X =⨯+⨯=．故选C ．4．B先分别求出集合M ，N ，由此能求出N M ． 解：集合2{|40}{|22}M x x x x =-<=-<<，{|128x N x =，}{0x Z ∈=，1，2，3}，{}0,1N M ∴=．故选：B ．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．5．A根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质进行判断即可. 解：若0a =，3b =，满足2a b +≥但22189a b +=+=，28a b +=， 则222a b a b ++=不成立， 若222a b a b ++=，则即()()2242a b a b ++≥， 解得24a b +≥或20a b +≤（舍）. 即2a b +≥成立， 即“222a b a b ++=”是“2a b +≥”的充分不必要条件.故选：A.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解题关键，属于中档题. 6．D由题目中的三视图还原几何体，可知是由半圆锥和四棱锥组成，然后计算几何体的体积 由三视图可得该组合体是由半圆锥和四棱锥组成由已知图中数量可得：11822222333V ππ+=⨯⨯+⨯⨯⨯= 故选D本题主要考查了三视图，要先还原几何体，然后再计算体积，还原几何体是难点，还需要有一定空间想象能力。

浙江省杭州市高级中学2020届高三数学下学期仿真模拟考试试题（含解析）一､选择题1.已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x，x ＞0}时，A ∩B=（ ） A. {x|x ＞﹣2} B. {x|1＜x ＜2} C. {x|1≤x ≤2} D. ∅【答案】B 【解析】试题分析：由集合A 中的函数2lg(4)y x =-，得到240x ->，解得：22x -<<，∴集合{|22}A x x =-<<，由集合B 中的函数3,0x y x =>，得到1y >，∴集合{}1B y y =，则{|12}A B x x ⋂=<<，故选B ． 考点：交集及其运算． 2.“sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】判断两个命题：sin 0α=⇒cos 1α=和cos 1α=⇒sin 0α=的真假即可得．【详解】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题p q ⇒和q p ⇒的真假．3.二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A. 20B. -20C. 160D. -160【答案】D 【解析】【分析】首先写出二项式的通项公式()6621612rrr r r T C x --+=-⋅⋅，然后令3r =求常数项.【详解】()()66621661212rrr rrr r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭当620r -=时，3r = ，所以二项式的常数项为()333612160C -⋅=-.故选：D【点睛】本题考查二项式定理指定项的求法，重点考查通项公式，属于基础题型.4.如图，在矩形ABCD 中，=2=3AB BC ，，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -侧视图的面积为（ ）A.613B.1813C.213D.313【答案】B 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，判断出几何体的结构，由此画出几何体的侧视图，并求得侧视图面积. 【详解】画出几何体的直观图如下图所示.由正视图和俯视图可知，平面ABD ⊥平面BCD . 过A 作AE BD ⊥交BD 于E ，过C 作CF BD ⊥交BD 于F .根据面面垂直的性质定理可知AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD .则AE CF ⊥.由于四边形ABCD 是矩形，AE CF =，所以三棱锥A BCD -的侧视图是等腰直角三角形，画出侧视图如下图所示，其中两条直角边的长度分别等于,AE CF ，由于222313BD =+=，所以112213AB AD AB AD BD AE AE BD ⨯⨯⨯=⨯⨯⇒==， 则13AE CF ==. 所以侧视图的面积为1182131313⨯⨯=.故选：B【点睛】本小题主要考查求几何体的侧视图的面积，属于中档题. 5.函数22xy x =-的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B 、C ； 因为1x =-时0y <，所以排除D,故选A6.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和()n n N *∈个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若()1D X =，则()E X =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】由题意，()~4,X B P ，()()1411,2D X P P P =-=∴=，()14422E X P ==⨯=，故选B.7.已知a R ∈，函数()f x 满足：存在00x >，对任意的0x >，恒有0()()f x a f x a -≤-.则()f x 可以为（ ）A. ()lg f x x =B. 2()2f x x x =-+ C. ()2x f x = D. ()sin f x x =【答案】D 【解析】对于选项A,由于()lg f x x =在0x >上是增函数，值域是R ，所以不满足()()0f x a f x a -≤-恒成立；对于选项B ，()22f x x x =-+在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞是减函数，值域是(,1]-∞，所以不满足()()0f x a f x a -≤-恒成立；对于选项C ，()2xf x =在在0x >上是增函数，值域是(1,)+∞，所以不满足()()0f x a f x a -≤-恒成立；对于选项D,()sin f x x =在x>0时的值域为[-1,1],总存在00x >，对任意的0x >，恒有()()0f x a f x a -≤-.故选D.点睛：本题的难点在于图像分析，函数()f x 满足：存在00x >，对任意的0x >，恒有()()0f x a f x a -≤-.实际上就是说函数在x>0时，必须有最大值和最小值.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确是（ ） A. 若30S >，则20200a > B. 若30S <，则20200a < C. 若21a a >，则20212020a a > D. 若2111a a >，则20212020a a < 【答案】D 【解析】 【分析】由特殊化思想，选择合适等比数列，利用排除法即可求解. 【详解】考查等比数列：11a =，22a =-，34a =，()1,2n n a -=-，满足30S >，但是20200a <，选项A 错误； 考查等比数列：14a =-，22a =，31a =-，()31,12n nn a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，满足30S <，但是20200a >，选项B 错误；该数列满足21a a >，但是202120200a a <<，选项C 错误； 对于D ，若10a >，由211111111101q a a a q a q>⇔>⇔>⇒<<，所以数列{}n a 为递减数列， 故20212020a a <正确，若10a <，由21111111110q a a a q a q>⇔>⇔<⇒<或1q >， 当1q >时，数列{}n a 为递减数列，故20212020a a <正确；当0q <时，偶数项为正，奇数项为负，故20212020a a <，综上D 选项正确. 故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，考查了推理运算能力，特殊化思想，属于中档题.9.已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，O为坐标原点，以12F F 为直径的圆O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P、Q，点B为圆O与y轴正半轴的交点，若2POF QOB∠=∠，则双曲线C的离心率为（）A. 35+ B.35+C. 15+ D.15+【答案】D【解析】【详解】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为by xa=，以12F F 为直径的圆O的方程为222x y c+=．由222by xax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x ay b=⎧⎨=⎩，故点P的坐标为(,)a b；由22222221x ya bx y c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得222x b cbyc⎧=+⎪⎨=⎪⎩，故点Q的坐标为222()b c bc c+．∵2POF QOB∠=∠，∴2sin sinPOF QOB∠=∠，∴22b a b cc+=，整理得2b ac=，∴22c a ac-=，故得210e e--=，解得152e+=．选D ． 点睛：求双曲线的离心率时，可将条件中所给的几何关系转化为关于,,a b c 等式或不等式，再由222c a b =+及ce a=可得到关于e 的方程或不等式，然后解方程（或不等式）可得离心率（或其范围）．解题时要注意平面几何知识的运用，如何把几何图形中的位置关系化为数量关系是解题的关键．10.在三棱锥S ABC -中，ABC ∆为正三角形，设二面角S AB C --，S BC A --，S CA B --的平面角的大小分别为,,,,2παβγαβγ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A. 111tan tan tan αβγ++的值可能是负数 B. 32παβγ++<C. αβγπ++>D.111tan tan tan αβγ++的值恒为正数 【答案】D 【解析】 【分析】作S 在底面ABC 的投影为O ,再分别作,,OM AB ON BC OP AC ⊥⊥⊥,进而分析,,αβγ的正切值再判断即可.【详解】作S 在底面ABC 的投影O ,再分别作,,OM AB ON BC OP AC ⊥⊥⊥,设ABC ∆边长为a .①当O 在ABC ∆内时,易得,,αβγ分别为,,SMO SNO SPO ∠∠∠.由ABCABOBCOACOSSSS=++可得1110tan tan tan MO NO PO aSO SO SO SOαβγ++=++=>. 当S 无限接近O 时易得αβγ++接近0,故C 错误.②当O 在ABC ∆外时,不妨设O 在,AC BC 的延长线构成的角内. 易得,,αβγ分别为,,SMO SNO SPO ππ∠-∠-∠.由ABCABOBCOACOSSSS=--可得1110tan tan tan MO NO PO aSO SO SO SOαβγ++=--=>. 且当S 无限接近O 时易得αβγ++接近2π,故B 错误.综上,A 也错误. 故选：D【点睛】本题主要考查了二面角的分析,需要画图理解,表达出对应的二面角的平面角,再根据平面内任一点到正三角形三边的距离关系求解分析,同时也要有极限的思想分析二面角的范围问题.属于难题. 二､填空题11.复数z满足：1za ii=-+(其中0a>，i为虚数单位)，z=a=________；复数z的共轭复数z在复平面上对应的点在第________象限.【答案】 (1). 2 (2). 四【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，可求得z，再根据复数求模公式可求得a的值，进而求得z在复平面内对应点的象限。

2024届浙江省杭州市学军中学高三模拟考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.82．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18 B ．14 C ．16D ．124．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞5．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 7．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 8．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．9．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A ．32B ．12C ．34D ．7410．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C ．1(,0)2e-D ．1(0,)2e11．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．312．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a <D ．b a >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1B.-12C.12D.13.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-34.已知点A 为曲线y =x +4xx >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.425.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为411.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．14.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．16.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形.SA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD成45°角.(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；BC，求二面角B-SC-D的余弦值.(2)若EF=1217.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?18.已知抛物线y=ax2(a>0)与双曲线y=1x交于点T，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P，Q．(1)证明：△PQT存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT的面积．19.已知函数f x =x+7中心对称．x+a关于点-1,1(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x2在区间0,+∞上的单调性；(3)设a1=1,a n+1=f a n<1．，证明：2n-22ln a n-ln72024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅【答案】C【分析】由题意可知A ∩B 实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.【详解】解：集合A 与集合B 均为点集，A ∩B 实质是求x +y =2与y =x 2的交点，所以联立组成方程组得x +y =2y =x 2 ，解得x =1y =1 ，或x =-2y =4 ，从而集合A ∩B =1,1 ,-2,4 ，故选：C .【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1 B.-12 C.12 D.1【答案】D【解析】首先计算1-i1+i ，然后利用共轭复数的特征计算a ,b 的值.【详解】1-i 1+i =(1-i )2(1+i )(1-i )=-2i2=-i ，∴a +bi =-(-i )=i ，∴a =0,b =1,∴a +b =1.故选:D .【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c ，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-3【答案】A【分析】由向量线性关系及垂直的坐标表示列方程求参即可.【详解】由题意得a -λb =(1+λ,1-3λ)，又(a -λb )⊥c，所以(a-λb )⋅c =2(1+λ)+1-3λ=0，可得λ=3.故选：A4.已知点A 为曲线y =x +4x x >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.42【答案】A【分析】数形结合分析可得，当A 2,4 时能够取得|AB |的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可.【详解】圆x -2 2+y 2=1的圆心为2,0 ，半径为1，由对勾函数的性质,可知y =x +4x≥4，当且仅当x =2时取等号，结合图象可知当A 点运动到2,4 时能使点A 到圆心的距离最小，最小值为4，从而AB 的最小值为4-1=3.故选：A5.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数【答案】B【分析】利用二项式通项的性质和组合数的性质计算出符合条件的k 值即可.【详解】通项公式为T k +1=C k 10⋅2k ⋅x 10-k ，因为C k 10⋅2k ≥C k -110⋅2k -1⇒2C k 10≥C k -110，所以2×10×9×⋯×11-k k !≥10×9×⋯×12-k k -1 !⇒211-k k ≥1⇒k 3k -22 ≤0⇒k ≤223同理C k 10⋅2k ≥C k +110⋅2k +1⇒C k 10≥2C k +110，所以10×9×⋯×11-k k !≥2×10×9×⋯×10-k k +1 !⇒210-k k +1≤1⇒3k -19 k +1 ≥0⇒k ≥193，所以k =7，所以展开式各项的系数中最大的是第八项，为T 8=C 710⋅27⋅x 3，即x 3的系数最大.故选：B6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生【答案】C【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.【详解】根据已知条件设理科女生有x 1人，理科男生有x 2人，文科女生有y 1人，文科男生有y 2人；根据题意可知x 1+x 2>y 1+y 2，x 2+y 2<x 1+y 1，根据异向不等式可减的性质有x 1+x 2 -x 2+y 2 >y 1+y 2 -x 1+y 1 ，即有x 1>y 2，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C .7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π【答案】B【分析】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，并建立适当的空间直角坐标系，由已知表示出各个点的坐标，进一步结合OA =OS=R ，列出方程组求出R 即可进一步求解.【详解】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，S 在棱EH 上面，并以A 为原点，AB ,AD ,AE 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，所以SA =16-4=23，因为SA 和BC 所成的角为π3，AD ⎳BC ，所以AE =23sin π3=3,ES =23cos π3=3，而底面三角形外接圆圆心为AC 中点O 1，设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2,3,0 ,S 0,3,3 ,O 11,32,0 ,O 1,32,h ，所以OA =-1,-32,-h ,OS =-1,32,3-h ，则由OA =OS =R ⇒R 2=34+1+h 2=34+1+3-h 2，解得h =32,R 2=4，从而S =4πR 2=16π，即该三棱锥外接球的表面积是16π.故选：B .8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18【答案】B【详解】试题分析：不妨令0≤x <y ≤1，则f x -f y <12x -y 法一：2f x -f y =f x -f 0 +f x -f y -f y -f 1 ≤f x -f 0 +f x -f y +f y -f 1<12x -0 +12x -y +12y -1 =12x +12y -x +12y -1 =12，即得f x -f y<1 4，另一方面，当u∈0,1 2时，f x ={ux,0≤x≤12-u1-x,12<x≤1，符合题意，当u→12时，f12-f0=u2→14，故k≤1 4法二：当x-y≤12时，f x -f y<12x-y≤14，当x-y>12时，f x -f y=f x -f0-f y -f1≤f x -f1+f y -f0<12x-1+12y-0=121-x+12y=12+12y-x<14，故k≤1 4【解析】1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数【答案】AB【分析】根据题中数据结合比例图逐项分析判断.【详解】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，所以是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，所以是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为120×60%=72人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为80×60%=48人，所以倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不相同，故C错误；在D 中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为100×1-80% =20人，城镇户籍人数为100×1-40% =60人，所以倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D 错误.故选：AB .10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为4【答案】ABD【分析】对A ，利用双曲线定义将AF 2 转化为AF 1 -2a 可得解；对B ，设出直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 与双曲线联立，根据Δ=0化简运算得解；对C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，进而得OH =12F 2E 得解；对D ，求出N 点坐标，根据S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2，结合基本不等式可求解.【详解】对于A ，由双曲线定义得AF 1 -AF 2 =2a =23，且F 1-2,0 ，则AF 2 +AB =AF 1 +AB -23≥BF 1 -23=4--22+1-23=37-23，所以AF 2 +AB 的最小值为37-2 3.故A 正确；对于B ，设直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，k ≠±33，联立方程组y -y 0=k x -x 0 x 2-3y 2=3，消去y 整理得，1-3k 2 x 2+6k 2x 0-6ky 0 x -3k 2x 20+6kx 0y 0-3y 20-3=0，∴Δ=0，化简整理得9y 20k 2-6x 0y 0k +x 20=0，解得k =x 03y 0，可得直线MN 的方程为y -y 0=x03y 0x -x 0 ，即x 0x -3y 0y =3，故B 正确；对于C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，又O 是F 1F 2中点，所以OH =12F 2E =12AE -AF 2 =12AF 1 -AF 2 =a =3，故C 错误；对于D ，由直线MN 的方程为x 0x -3y 0y =3，令x =0，得y =-1y 0，则N 0,-1y 0，S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2=12×F 1F 2 ×y 0 +1y 0≥12×4×2y 0 ⋅1y 0=4，当且仅当y 0 =1y 0，即y 0=±1时等号成立，所以四边形AF 1NF 2面积的最小值为4，故D 项正确.故选：ABD ..【点睛】关键点睛：C 项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出AH 垂直平分F 1E ，OH =12F 2E .11.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立【答案】BC【分析】首先由数学归纳法求出数列的通项，再令a 1=3,5,7,9时代入通项中，求出具体通项公式，最后结合指数函数的性质逐一判断即可.【详解】由题意可知a n +1-6=14a n -6 3，∴a 2-6=14a 1-6 3,a 3-6=14a 2-6 3=1414a 1-6 3 3=14×143×a 1-6 32，归纳猜想：a n -6=141+3+32+⋯+3n -2a 1-6 3n -1=141-3n -11-3a 1-6 3n -1=223n -1a 1-6 3n -1，A ：当a 1=3时，a n -6=-2×32 3n -1，则a n 为递减数列，无边界，故A 错误；B ：当a 1=5时，a n -6=-2×123n -1，则a n 为递增数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≤6，使a n <M 恒成立，故B 正确；C ：当a 1=7时，a n -6=2×123n -1，则a n 为递减数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≥6，使a n >M 恒成立，故C 正确；D ：当a 1=9时，a n -6=2×323n -1，则a n 为递增数列，无边界，故D 错误；故选：BC .【点睛】关键点点睛：(1)当所给递推数列较为复杂时，(不为用常见的累加累乘等)可考虑先写出几项，然后用数学归纳法求出通项公式.(2)判断数列是否存在边界或数列不等式恒成立问题可结合指数函数的单调性判断.三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．【答案】-45【分析】由题意可得cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，结合诱导公式可得结果.【详解】由cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，∴sin α-π6 =-45而sin α+11π6 =sin α-π6+2π =sin α-π6 =-45．故答案为-45【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型.13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．【答案】23【分析】利用条件概率直接求解.【详解】在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p 31-1-p3=413，解得p =23或-2(舍去).故答案为：2314.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．【答案】-∞,1【分析】从a =1，a >1，及a <1进行分析求解.【详解】注意到，当a =1时，f x =e x +cos x ，由于e x >0，-1≤cos x ≤1，显然f x min →-1，没有最小值；当a >1时，e x +cos x >-1且无限接近-1，y =a -1 x 为增函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →-∞，x →+∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，此时没有最小值；当a <1时，y =a -1 x 为减函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，x →+∞，由于y =e x 增长变化速度远大于y =a -1 x 减少速度，此时e x +cos x +a -1 x →+∞，由于函数定义域为R ,函数连续不断，所以f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值．故答案为：-∞,1四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．【答案】(1)∠ABC =60°(2)51751【分析】(1)由两三角形的面积相等可得12AB ⋅AC =12CD ⋅DF ，再由DF =AC 可得CD =AB ，从而结合已知可得BC =2AB ，进而可求得∠ABC ；(2)设AB =k ，则AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，然后在△BDF ,△CDF 中分别利用勾股定理求出CF ,BF ，再在△CBF 中利用余弦定理可求得结果.【详解】(1)如图所示在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ，所以S △ABC =12AB ⋅AC ，S △CDF =12CD ⋅DF ，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，由于DF =AC ，所以CD =AB ，因为D 为BC 的中点，故BC =2AB ，所以cos ∠ABC =AB BC =AB 2AB=12，因为∠ABC 为锐角，所以∠ABC =60°．(2)如图所示：设AB =k ，由于∠A =90°，∠ABC =45°，BD =3DC ,DF =AC ，所以AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，由于DF ⊥BC ，所以CF 2=CD 2+DF 2，则CF =324k ．且BF 2=BD 2+DF 2，解得BF =344k ，在△CBF 中，利用余弦定理得cos ∠CFB =CF 2+BF 2-BC 22CF ⋅BF =98k 2+178k 2-2k 22×324k ⋅344k=5175116.如图，四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形.SA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AD ，SC 的中点，EF 与平面ABCD 成45°角.(1)证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，求二面角B -SC -D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)-33.【分析】(1)要证EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线，即证AD ⊥EF ，EF ⊥SC ，通过线面垂直即可证明；(2)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BSC 和平面SCD 的法向量，计算求解即可.【详解】(1)连接AC ，BD 交于点G ，连接EG ，FG ，因为四边形ABCD 为矩形，且E ，F 分别为AD ，SC 的中点，所以GE ⎳CD ，且GF ⎳SA ，又SA ⊥底面ABCD ，所以GF ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，又AD ⊥GE ，GE ∩GF =G ，GF ,GE ⊂面GEF ，所以AD ⊥平面GEF ，EF ⊂面GEF ，所以AD ⊥EF ，因为EF 与平面ABCD 成45°角，所以∠FEG =45°，所以GF =GE ，由SA =2FG ,AB =2GE ，所以SA =AB ，取SB 的中点H ，连接AH ，FH ，由F ，H 分别为SC ，SB 的中点，知FH ⎳BC ，FH =12BC ，又AE ⎳BC ，AE =12BC ，所以FH ⎳AE ，FH =AE ，所以四边形AEFH 为平行四边形，又SA =AB ，所以AH ⊥SB ，又BC ⊥平面SAB ，AH ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AH ，又BC ∩SB =B ，BC ,SB ⊂面SBC ，所以AH ⊥平面SBC ，而AH ⎳EF ，所以EF ⊥平面SBC ，又SC ⊂平面SBC ，所以EF ⊥SC ，所以EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，设BC =2，则EF =1，则GE =GF =22，所以SA =AB =2，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B 2,0,0 ，D 0,2,0 ，S 0,0,2 ，C 2,2,0 ，从而SC =2,2,-2 ，BC =0,2,0 ，CD =-2,0,0 ，设平面BSC 的法向量为n 1 =x 1,y 1,z 1 ，则n 1 ⋅SC =0n 1 ⋅BC =0，即2x 1+2y 1-2z 1=02y 1=0 ，令z 1=1，可得n 1 =1,0,1 ，设平面SCD 的法向量为n 2 =x 2,y 2,z 2 ，则n 2 ⋅SC =0n 2 ⋅CD =0，即2x 2+2y 2-2z 2=0-2x 2=0 ，令z 2=2，可得n 2 =0,1,2 ，所以cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2=22⋅3=33，由图可知二面角B -SC -D 的平面角为钝角，所以二面角B -SC -D 的余弦值为-33.17.A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16；B 组：12，13，15，16，17，14，a ．假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)如果a =25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等?【答案】(1)1049(2)a =11或18【分析】(1)列举出符合条件的方法，利用古典概率计算即可；(2)利用方差的意义求出即可.【详解】(1)从两组中随机选取一人，共有49种方法；其中甲的康复时间比乙的康复时间长的方法如下：13,12 ,14,12 ,14,13 ,15,12 ,15,13 ,15,14 ,16,12 ,16,13 ,16,15 ,16,14 ，共有10种方法，所以概率为1049.(2)把B 组数据调整为：12，13，14，15，16，17，a ，或a ，12，13，14，15，16，17，根据方差的意义为反应样本波动性的大小可知，a =11或18.18.已知抛物线y =ax 2(a >0)与双曲线y =1x交于点T ，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P ，Q ．(1)证明：△PQT 存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)274.【分析】(1)设出切点P ,Q 的坐标，利用导数的几何意义求出公切线方程，进而求出三边的中点坐标即可推理得证.(2)利用(1)的结论，结合三角形重心定理求出面积.【详解】(1)设P (x P ,ax 2P ),Q x Q ,1x Q，由y =ax 2、y =1x ，求导得y =2ax、y =-1x 2，则抛物线y =ax 2(a >0)在点P 处切线方程为y -ax 2P =2ax P (x -x P )，双曲线y =1x 在点Q 处切线方程为y -1x Q =-1x 2Q(x -x Q )，由直线PQ 是两条曲线的公切线，得2ax P =-1x 2Q -ax 2P =2x Q ，解得x P =4x Q ，且-ax 2P =2x Q ，令x Q =-12t ，则x P =-2t ，P -2t ,4t ,Q -12t,-2t ，且a =t 3,t >0，由y =ax 2y =1x，解得x =1t ,y =t ，即点T 1t ,t ，则边PQ 中点M -54t ,t ，边PT 的中点K -12t ,5t 2 ，边QT 的中点L 14t ,-t 2 ，显然直线MT :y =t ，直线KQ :x =-12t，则直线MT ⊥KQ ，所以△PQT 存在两条中线互相垂直.(2)由(1)知，KQ =9t 2,MT =94t ，令△PQT 的重心为H ，所以△PQT 的面积S △PQT =2S KQT =2⋅12KQ ⋅TH =23KQ ⋅MT =23⋅9t 2⋅94t =274.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))(x 0∈D )处的切线方程为：y -f (x 0)=f (x 0)(x -x 0).19.已知函数f x =x +7x +a关于点-1,1 中心对称．(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x 2在区间0,+∞ 上的单调性；(3)设a 1=1,a n +1=f a n ，证明：2n -22ln a n -ln7 <1．【答案】(1)f x =x +7x +1(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】(1)由中心对称函数的性质得出即可；(2)利用导数分析其单调性即可；(3)将要证明的不等式利用对数运算变形为ln a 2n 7<12n -2，再用数学归纳法结合(2)证明即可.【详解】(1)因为函数f x =x +7x +a 关于点-1,1 中心对称，所以f -1-x +f -1+x =2，即-1-x +7a -1-x +-1+x +7-1+x +a =2，取x =2，可得4a -3+8a +1=2，解得a =1或a =7(舍去)，所以a =1，f x =x +7x +1.(2)因为g x =x f x 2，x >0，所以g x =x +7 2x +1 2+2x ×x +7x +1×-6x +12 =x +7 x -2 2+3 x +1 3，因为x +7>0,x +1 3>0,x -2 2+3≥3，所以g x >0恒成立，所以g x =x f x 2在区间0,+∞ 上单调递增.(3)证明：要证2n -22ln a n -ln7 <1，即证ln a 2n 7<12n -2，当n =1时，ln a 217 <121-2⇒ln 17 =ln7<ln e 2=2，成立，即证ln a 2n +17 <12n -1，即证ln a 2n +17 <12ln a 2n 7，由题意得a n >0，则即证ln a 2n +17 <ln a n 7，因为a 1=1,a n +1=f a n =a n +7a n +1，a n +1-7=a n +7a n +1-7=a n -7 1-7 a n +1，由a n >0，即a n -7与a n +1-7异号，当a n >7，0<a n +1<7，即证ln 7a 2n +1<ln a n 7，即证7a 2n +1<a n 7，即证a n a 2n +1>77，即证a n 7+a n 1+a n2>77，由(2)可知，当a n >7,g a n >g 7 =77成立.当a n +1>7,0<a n <7，即证ln a 2n +17<ln 7a n ，即证a 2n +17<7a n，即证a n a 2n +1<77，即证a n 7+a n 1+a n2<77，由(2)可知，当0<a n <7,g a n <g 7 =77成立.综上，得证.【点睛】关键点点睛：(1)若函数f x 满足f m -x +f m +x =2n ，则对称中心为m ,n ；(2)判断符合函数的单调性时，常用导数判断；(3)证明数列不等式，可用数学归纳法证明，分别取当n =1时的特例和n >1的一般情况证明.。

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2020年浙江省高考数学选考模拟试卷（6月份）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{x |x 2﹣3x ＜0}，则A ∩B ＝（ ）
A ．（0，2）
B ．（0，3）
C ．（2，3）
D ．（﹣2，3） 2．双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程是（ ）
A ．y ＝±√55x
B ．y ＝±√5x
C ．y ＝±12x
D ．y ＝±2x
3．若实数x ，y 满足约束条件{y ≥0
x +2y −2≤0x −y ≥0
，则z ＝|x ﹣2y |的最大值是（ ）
A ．23
B ．2√55
C ．2
D ．√5
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．2
B ．4
C ．4√2
D ．12
5．已知{a n }是等差数列，a 1＝11，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 5＝S 7，则S n 的最大值为
（ ）
A ．66
B ．56
C ．46
D ．36 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则“
a sinB =b+c sinC+sinA ”是“△ABC 为等腰三角形”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知随机变量ξ满足P （ξ＝0）＝1﹣p ，P （ξ＝1）＝p ，且0＜p ＜1，令随机变量η＝|ξ
﹣E （ξ）|，则（ ）。

2020届浙江省高三下学期6月高考方向性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}2,0,2B =-，{}2,1,1,2C =--，则（ ） A ．A B =∅ B ．A B C = C ．()AB C C = D ．()=AB C C【答案】D【解析】根据题意依次计算选项即可得到答案. 【详解】 对选项A ，{}0A B =≠∅，故A 错误；对选项B ，{}2,1,0,1,2=--≠A B C ，故C 错误.对选项C ，(){}{}{}02,1,1,22,1,0,1,2=--=--≠A B C C ，故C 错误.对选项D ，(){}{}2,1,0,1,22,1,1,2=----=A B C C ，故D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查集合的运算，属于简单题. 2．()31i i +=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B【解析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】解：()()()3221111i i i i i i i i i i +=⋅+=-+=--=-.故选：B. 【点睛】本题考查复数的运算法则，考查运算能力，属于基础题.3．“()f x 是R 上的奇函数”是“对任意x ∈R 均有()()0f x f x -≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先根据()f x 是R 上的奇函数得到()()0f x f x -≤，满足充分性，根据()()0f x f x -≤，不能推出()()f x f x -=-，不满足必要性，即可得到答案.【详解】充分性：()f x 是R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-.所以()()()()()20f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤-=⋅-=-≤⎣⎦⎣⎦，满足充分性.必要性：对任意x ∈R 均有()()0f x f x -≤，不能推出()()f x f x -=-，不满足必要性.所以“()f x 是R 上的奇函数”是“对任意x ∈R 均有()()0f x f x -≤”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，属于简单题.4．设a ，b ，()0,1c ∈.随机变量ξ的分布列如图所示.则（ ）A ．()()E E ξξ<，()()D D ξξ<B ．()()E E ξξ<，()()D D ξξ>C ．()()E E ξξ>，()()D D ξξ<D ．()()E Eξξ>，()()D D ξξ>【答案】A【解析】由已知先得出随机变量ξ的分布列，再由离散型随机变量分布列的期望和方差公式，分别求得其期望和方差，比较可得选项. 【详解】由已知得随机变量ξ的分布列如下图所示：所以()()()()1+0+1,0+1++E a b c c a E b a c a c ξξ=-⨯⨯⨯=-=⨯⨯=，故()()E E ξξ<；又()()()()()()2222+++11+D c a c a c a a b c a c a c ξ=---⨯⨯=--⨯-，()()()()()()222+++1+++++3b a D a c a c c a a c c ξ⨯⨯==，所以()()()()22++>03D D a c c a ξξ-=-，故()()D D ξξ<，故选：A. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，以及其期望和方差的公式，属于中档题. 5．设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ．12-C ．14D ．12【答案】C【解析】由()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，可将52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭化为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭即可计算. 【详解】()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，且当01x ≤≤时，()2f x x x =-，51112224f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查周期性和奇偶性的应用，属于基础题. 6．设*N a ∈，下列一定不是．．．．二项式()1ax x --展开式中的项的是（ ）A ．6B ．35x -C ．24x -D ．13x -【答案】C【解析】求得二项式()1ax x --的展开式的通项为21(1)r r a rr a T C x -+=-，当4,2a r ==时，可判定A 符合题意，当5,4a r ==时，可判定B 符合题意，当4,3a r ==时，可判定C 不符合题意，当3,2a r ==时，可判定D 符合题意. 【详解】由题意，二项式()1ax x--的展开式的通项为121()(1)r a r r r r a rr a a T C x x C x ---+=-=-，当4,2a r ==时，可得2242234(1)6T C x-⨯=-=，所以A 符合题意； 当5,4a r ==时，可得41524355(1)5T C xx -⨯-=-=，所以B 符合题意； 当4,3a r ==时，可得31423244(1)4T C xx -⨯-=-=-，所以C 不符合题意； 当3,2a r ==时，可得22322133(1)3T C xx -⨯-=-=，所以D 符合题意， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，结合通项逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.7．记椭圆C ：2221x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A ，B ，A ，B 处的切线交于点P ，设12F F P 的垂心为H ，则PH 的最小值是（ ）A B C D【答案】D【解析】先根据题意，得到1F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2F ⎫⎪⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2y k x ⎛=- ⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，求出在点A ，B 处的切线方程，联立切线方程，得出点2P k -⎭，根据题意，得到PH x ⊥轴，得出H ，再由12F H PF ⊥求出H 的纵坐标为2H y k =，得出P H =+本不等式，即可得出结果. 【详解】椭圆2221x y +=的左右焦点为12F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,02F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 由题意，易知直线l 的斜率存在，（若斜率不存在，则12,,F F P 三点共线，不能构成三角形），设直线l的方程为2y k x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ， 对2221x y +=两边同时求关于x 的导数，得240x yy '+=，则2xy y'=-， 则椭圆在点()11,A x y 处的切线斜率为1112x k y =-， 则椭圆在点()11,A x y 处的切线方程为()11112x y y x x y -=--， 即22111122x x y y x y +=+，即1121x x y y +=；同理，椭圆在点()22,B x y 处的切线方程为2221x x y y +=， 由11222121x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩得121222112122x y x y y y y x y x y y y y +=⎧⎨+=⎩，则211221k x x y y x x y x y --===-⎝⎭⎝⎭，所以11122y y k ===-⎝⎭，即2P k -⎭()0k ≠； 又12F F P 的垂心为H ，则12PH F F ⊥，12F HPF ⊥， 即PH x ⊥轴，则H ，记H 的纵坐标为H y ，由12F H PF ⊥得121F H PF k k⋅=-1-=-，则2H y =，因此H P PH y y =-=因为l 过点2F ，所以直线l 与椭圆必有两个交点，故k ∈R 且0k ≠，则P H==≥==，即k=时，等号成立.故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，考查椭圆的切线方程，涉及基本不等式求最值，属于跨章节综合题.8．已知递增正整数数列{}n a满足12nnan aa C++=（*Nn∈），则（）A．123a a a⋅<B．1a，2a，3a可能成等比数列C．345a a a⋅<D．3a，4a，5a可能成等比数列【答案】C【解析】用组合和数列的性质可逐项排除可得结果.【详解】111211(1)(2)(1)=(1)21nnan an n n n nn na a a aaa Caa++++++---+-⨯=，因为{}n a是递增正整数数列，所以11nnaa-≥+，而当11n na a-=+时，111=nn nan a naa C aC-+==，不是递增数列，所以12n na a+≥+，易得12324,,6a a a≥≥≥，由于212a a≥+，则2111aa->，取122,4a a==，则36a=，所以A错误；13a≥时有22221311(1)(2)(1)(1)21a a a a aaa a---+=-⨯，若123,,a a a成等比数列，则3221=a a a，所以12122212131(1)(2)(1)=1(1)21aaa a a aa C aa-----+==--⨯，此时23+1=a a，所以B错误.33332333224(1)(2)(1)5543221(1)2143212a a a a a aa aa aa---+⨯⨯⨯>=>=+-⨯⨯⨯⨯，则4234454(1)2aa aa a aC->=>，所以C正确；1111(1)(2)(1)=(1)21n n n n nn n na a a a aa a a+------+-⨯，21111(1)(2)(1)=(1)21n n n n nn n na a a a aa a a+++++---+-⨯，当3n≥时，而1112111n n n n n n na a a a a a a+--+>-+=+>-+，则211n nn na aa a+++>，所以D错误；故选：B.【点睛】本题考查了数列与组合数的综合，要求熟练掌握等比数列性质、组合数公式的性质.9．如图是一各视图面积均为1的几何体的俯视图.下列说法错误．．的是（）A．体积可能是14B．体积可能是12C．表面积可能是3D．表面积可能是33+【答案】D【解析】根据几何体的三视图得出可能的几何体，结合正方体的性质和面积公式，即可求解.【详解】由各视图面积均为1的几何体的俯视图，可以是如图所示的几何体ABCDEF，其中ABCD是边长为1的正方形，其中//EF BD且1EF=，可该几何体的体积为112111211323ABCD MFNE A MEF C EFNV V V V---=--=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=, 由正方形ABCD的面积为1111S=⨯=，111122ABF BCF ADE CDES S S S====⨯⨯=,又由AEF和CEF△2的等边三角形，可得233(2)AEF CEFS S===所以该几何体的表面积为131423322S =+⨯+⨯=+. 所以该几何体的表面积可能是33+. 故选：D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及表面积、体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．二、多选题10．设0a >，函数21axx y e ++=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【解析】令()21,0g x ax x a =++>，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为12x a=-，再根据0,0∆=∆<和>0∆三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数21axx y e ++=，令()21,0g x ax x a =++>，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为102x a=-<， 当140a ∆=-=时，即14a =时，可得()21104g x x x =++≥，此时函数()y g x =在1(,]2a-∞-单调递减，在1[,)2a -+∞上单调递增，且(2)0g -= 可得21ax x y e ++=在1(,]2a-∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且(2)1g e -=； 当140a ∆=-<时，即14a >时，可得()0g x >，此时函数()y g x =在1(,]2a-∞-单调递减，在1[,)2a -+∞上单调递增， 由复合函数的单调性，可得21ax x y e ++=在1(,]2a-∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且1y >，此时选项B 符合题意；当当140a ∆=->时，即104a <<时，此时函数()21g x ax x =++有两个零点， 不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a <-<， 此时函数()y g x =在1(,]2a-∞-单调递减，在1[,)2a -+∞上单调递增， 可得()y g x =在121(,],[,]2x x a -∞-递减，在121[,],[,)2x x a-+∞上递增，且12()()0g x g x ==，则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a -∞-递减，在121[,],[,)2x x a-+∞上递增，且12()()1g x g x e e ==，此时选项D 符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.三、填空题11．已知双曲线E ：2201()mx ny n +=>的离心率为2，则其渐近线方程是______________.【答案】y x = 【解析】把双曲线化为221(0)y y m n m-=<-，求得,,a b c ，结合离心率2，求得3n m =-，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意，双曲线220):1(E mx ny n +=>可化为221(0)y y m n m-=<-，可得a b ==c ==，因为双曲线E 的离心率2，即2ca ==，解得3n m =-，所以双曲线的渐近线的方程为3y x x ==±.故答案为：y x =. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，其中解答熟记双曲线标准方程和几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．已知函数()32f x ax bx c =++（a ，b ，*N c ∈）有ac 个零点，bc 个极值点.则a =________，b =________，c =________.【答案】1 2 1【解析】求函数导数，分析函数单调性，得到极值点个数，再根据函数大致形状及极小值的正负，判断函数零点个数，即可求解. 【详解】()32f x ax bx c =++,2()32(32)f x ax bx x ax b '∴=+=+,a ，b ，*Nc ∈,∴当 23bx a<-或0x >时，()0f x '>， 当203bx a-<<时，()0f x '<， ∴ ()f x 在2(,),(0,)3b a -∞-+∞上单调递增，在2(,0)3ba-上递减，所以函数有2个极值点，即2bc =，由函数的增减性知，函数的零点个数可能为1，2,3， 若1,2==b c 时，有2a 个零点，此时1a =，()f x 极小值为(0)20f c ==>，函数只有一个零点，矛盾， 若 2,1b c ==，此时有a 个零点，而()f x 极小值为(0)10f c ==>，函数只有一个零点， 所以1a =，综上，1,2,1a b c ===， 故答案为：1；2；1 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，零点，考查了分类讨论思想，属于中档题.13．若实数x ，y 满足约束条件*1{3Nx y x y-≤∈+，则22xy +的取值范围是___________.【答案】(0,5]【解析】画出可行域，变换得到2222x y PO +==，根据图像得到答案.【详解】实数x ，y 满足约束条件*13N x y x y ⎧-≤⎪⎨∈⎪+⎩可行域如图所示，变换得到2222x y PO +==设()P x y ，为可行域内的点，则()222222x y x yPO +=+=由图可知()1,2P 或()2,1P ，max ||5PO = 所以22xy +的取值范围为(0,5]．故答案为：(0,5] 【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像，变换222x y PO +=是解题的关键.14．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，1AE CF ==.将A ，C 分别沿BE ，DF 向上翻折至A '，C '，则A C ''取最小值时，二面角A EF C '--'的余弦值是___________.【答案】57【解析】本题考查空间中的折叠问题，涉及线面垂直，平行的判定与性质，涉及空间距离的最值问题，涉及余弦定理，二面角问题，属中高档题，难度较大.分别取BE ，DF 中点为M ，N ，连接A M '，MF ，C N '，NE ，EF ，根据线面垂直的判定定理，先证明BE 、DF 都是平面A MF '与平面C NE '的公垂线；分别记1A ，1C 为点A '，C '在底面的投影，当且仅当A C ''为A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，，此时可以证明1C 为NE 的中点，1A 为MF 的中点；过点A '作A P '⊥EF 于点P ，过点C '作C Q '⊥EF 于点Q ，过点P 作//PG C Q '交FC '于点G ，连接AG ，得出A PG '∠即为二面角A EF C '--'的平面角；再由题中数据结合余弦定理计算，即可得出结果. 【详解】分别取BE ，DF 中点为M ，N ，连接A M '，MF ，C N '，NE ，EF ，因为四边形ABCD 为矩形，22AB BC ==，1AE CF ==， 所以翻折前，四边形ABFE 和四边形CDEF 都是正方形，则1EF =，因此CE DF ⊥，AF BE ⊥，即NE DF ⊥，CN DF ⊥，AM BE ⊥，MF BE ⊥ 所以翻折后仍有A M BE '⊥，C N DF '⊥，NE DF ⊥，MF BE ⊥， 又A M MF M '⋂=，且,A M MF '⊂平面A MF '，所以BE ⊥平面A MF '； 同理，DF ⊥平面C NE '；且平面C NE '⊥平面BFDE ；又//DE BF ，且1DE BF ==，所以四边形BFDE 是平行四边形，则//BE DF ， 所以BE 、DF 都是平面A MF '与平面C NE '的公垂线；又,BE DF ⊂平面BFDE ，所以平面A MF '⊥平面BFDE ，平面C NE '⊥平面BFDE ；分别记1A ，1C 为点A '，C '在底面的投影，则点A '在底面的投影1A 落在直线MF 上，且沿MF 方向运动； 点C '在底面的投影1C 落在直线NE 上，且沿NE 方向运动； 当且仅当A C ''为A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，此时//A'C'ME , 故A'C'平面MFNE , 故11A A C C =''. 又11A A //C C '',11'A A C C ∴'，，，共面，平面11A AC C ''⋂平面11,MFNE AC =11A C 也是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，此时11RtA A M Rt C C N ≅'' ,11MA NC ∴=,又11//A C DF ，11//MA EC ,∴11MAC E 为平行四边形， 11MA EC ∴=, ∴1C 为NE 的中点，∴1A 为MF 的中点， 所以1124MA NC ==，因此11126216A A C C ''==-=， 所以6221616A F C E ''==+=， 将二面角A EF C '--'单独画出如下，过点A '作A P '⊥EF 于点P ，过点C '作C Q '⊥EF 于点Q ， 又1A E AE '==，1C F CF '==，所以221cos2A F EF A EA FEA F EF''+-'∠==='⋅因此1cos4FP A F A FE''=∠=，所以4A P'==；同理14EQ=，C Q'=1141314FPFQ==-，过点P作//PG C Q'交FC'于点G，连接AG，则GP EF⊥，所以A PG'∠即为二面角A EF C'--'的平面角；则13FG PGFC QC==''，因此PG=，13FG=，又A F A C'''==，1C F'=，则A FC''为等腰直角三角形，所以cos2A FC''∠=，故12A G'===，在A PG'中，2227710305144cos72724A P PG A GA PGA P PG+-''+-'∠===='⋅.故答案为：57.【点睛】本题主要考查求二面角的余弦值，熟记二面角的定义，结合题中条件求解即可，解题关键在于对A C''取最小值的处理，属于常考题型，难度较大.15．平面向量a，b，c 满足1aa b b cc===++=，0xa ya zc++=（,,0x y z≥且1x y z++=），则222x y z++的取值范围是___________.【答案】31,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】把向量a，b，c，a b c++置于单位圆中，找到a c=-，再转化为代数关系，分类讨论. 【详解】如图，单位圆中OA a =，OB b =，OC c =，OP a b =+，OT a b c =++，根据向量加法的平行四边形法则：//BP OA 且BP OA =；//CO TP 且CO TP =； 1a b c a b c ===++=，111OT OB BP OA TP OC ∴======，，，OPB OPT ∴≅，即,B T 重合，//BP//OC OA ，且OC BP OA ==，所以a c =-.又0xa yb zc ++=，()0x z a yb ∴-+=，当a ，b 不共线时，有0,0x z y -==，又,,0x y z ≥，1x y z ++=. 得12x z ==，22212x y z ++= 当a ，b 共线时，1a b ==，z x y ∴-=±，若=z x y -，1x y z ++=，得12z =，12x y +=，2222221112242x y z x x x x ⎛⎫++=+-+=-+ ⎪⎝⎭ 10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；22231,82x y z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，若11,,=1,=,22z x y x z y x y z x z y -=-=++++=，2222221112242x y z z z z z ⎛⎫++=+-+=-+ ⎪⎝⎭ 10,2z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22231,82x y z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦综上：222x y z ++的范围是31,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：31,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦利用平面几何知识寻找向量之间的关系，再把向量关系转换成代数关系，是处理向量问题常用方法，此题为难题,四、双空题16．托勒密定理指“圆内接凸四边形ABCD 两组对边乘积的和等于两条对角线的积”.若直径2AC =，21AB AD ==，则BD =____________，cos A =____________. 【答案】315+ 135-【解析】结合勾股定理求出,BC CD ，再由托勒密定理求出BD ；由()cos cos A DAC BAC =∠+∠结合三角函数即可求出cos A【详解】因为AC 为直径，2AC =，21AB AD ==，故3BC =，152CD =，由托勒密定理可知AD BC AB CD AC BD ⋅+⋅=⋅，即1153122BD =，解得315BD +=； 因为()cos cos cos cos sin sin A DAC BAC DAC BAC DAC BAC =∠+∠=∠⋅∠-∠∠，11513cos ,sin ,sin 42DAC DAC BAC BAC ∠=∠=∠=∠=， 故11153135cos 42428A -=⨯-=故答案为：3154；1358-本题主要考查圆内新定义的使用，三角函数与余弦的和角公式在解三角形中的使用，属于中档题.17．已知函数()2ln 2054x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若()0f a =，则实数a 的值是_________，若()f x 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在直线30kx y --=上，则实数k 的取值范围是___________.【答案】2e 或0或54-()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）分段讨论代入a 即可求解；（2）求出直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程10kx y ++=，然后将问题转化为直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点，构造函数()1ln 2,015,04x x xg x x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，将问题转化为直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数k 的取值范围. 【详解】（1）当0a >时，()ln 20f a a a a =-=，解得2a e =， 当0a ≤时，25()04f a a a ，解得a =0或54-，综上，a =2e 或0或54-； （2）直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程为()430kx y ----=，即10kx y ++=，对应的函数为1y kx =--. 所以，直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点.对于一次函数1y kx =--，当0x =时，1y =-，且()00f =. 则直线l 与函数()y f x =的图象交点的横坐标不可能为0. 当0x ≠时，令()1kx f x --=，可得()1f x k x+-=，此时，令()()1ln 2,0115,04x x f x xg x x x x x ⎧+->⎪+⎪==⎨⎪++<⎪⎩. 当0x >时，()22111x g x x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 此时，函数()y g x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 函数()y g x =的极小值为()11g =-；当0x <时，()222111x g x x x-'=-=，当1x <-时，()0g x '>；当10x -<<时，()0g x '<.此时，函数()y g x =在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,0-上单调递减， 函数()y g x =的极大值为()314g -=-. 作出函数yk =-和函数()y g x =的图象如下图所示：由图象可知，当1k -<-或34k ->-时，即当34k <或1k >时，直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点.因此，实数k 的取值范围是()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：2e 或0或54-；()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用函数图象交点个数求参数的取值范围，同时也考查了对称思想的应用，解题的关键就是将问题转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于中档题.五、解答题18．已知函数()[](]sin cos ,0,sin cos ,,2x x x f x x x x πππ⎧+∈⎪=⎨-∈⎪⎩（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求函数()22x y f x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域.【答案】（1）()f x 的单调增区间是0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，7,24，减区间是,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）⎡+⎣.【解析】（Ⅰ）将函数转化为()[](][](],0,sin cos ,0,4sin cos ,,2,,24x x x x x f x x x x x x ππππππππ⎛⎫+∈ ⎪⎧+∈⎪⎝⎭==⎨-∈⎛⎫⎪⎩-∈ ⎪⎝⎭，分别令22242k x k πππππ-≤+≤+，22242k x k πππππ-≤-≤+，结合定义域求解.（Ⅱ）先得到()[](]2sin cos 1,0,sin 2cos ,,22x x x x y f x f x x x πππ⎧++∈⎪⎛⎫=+=⎨ ⎪-∈⎝⎭⎪⎩，当[]0,x π∈时，14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求得函数的值域，同理求得当[],2x ππ∈时，函数的值域，然后取并集. 【详解】（Ⅰ）()[](][](],0,sin cos ,0,4sin cos ,,2,,24x x x x x f x x x x x x ππππππππ⎛⎫+∈ ⎪⎧+∈⎪⎝⎭==⎨-∈⎛⎫⎪⎩-∈ ⎪⎝⎭，令22242k x k πππππ-≤+≤+，解得32244k x k ππππ-≤≤+，又[]0,x π∈， 所以0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π， 所以()f x 的单调增区间是0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，减区间是,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 令22242k x k πππππ-≤-≤+，所以32244k x k ππππ-≤≤+， 又(],2x ππ∈，所以7,24所以()f x 的单调增区间是7,24，减区间是7,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦综上：()f x 的单调增区间是0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，7,24，减区间是,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）()[](]2sin cos 1,0,sin 2cos ,,22x x x x y f x f x x x πππ⎧++∈⎪⎛⎫=+=⎨⎪-∈⎝⎭⎪⎩,当[]0,x π∈时，14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以10,14y x π⎛⎫⎡=++∈+ ⎪⎣⎝⎭；当[],2x ππ∈时，()y x ϕ=-，其中 tan 2ϕ=，因为[],2x ϕπϕπϕ-∈--，所以()y x ϕϕ⎡⎤=-∈⎣⎦；综上：函数()22x y f x f ⎛⎫=+⎪⎝⎭的值域是⎡+⎣. 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性和值域以及三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，1AB =，AD DP AP ===.BAD BCD ∠=∠90=︒.G 是BCD 的重心，PG ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：//AB 平面PCG ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）429【解析】（Ⅰ）过点G 作GM AD ⊥交AD 于点M 交BD 于点Q ，可证BQ DQ =，从而得到C 、G 、Q 共线，即//AB CG ，即可得证；（Ⅱ）连接AQ ，可得四边形ABCQ 是菱形，从而求出MG 、PG ，在Rt PGM 中，求出G PG MG h PM ⨯=，根据CMMG得到95C G h h =，最后根据sin C h CD θ=计算可得；【详解】解：（Ⅰ）如图过点G 作GM AD ⊥交AD 于点M 交BD 于点Q ，因为APD △是等边三角形，且PG ⊥底面ABCD ，所以PM AD ⊥，所以AM MD =， 又AB AD ⊥，所以//AB MG ，所以BQ DQ =，又G 是BCD 的重心，所以C 、G 、Q 共线，所以//AB CG ，又CG ⊂面PGC ，AB ⊄面PGC ，所以//AB 面PGC ，（Ⅱ）如图连接AQ ，因为1AB =，AD DP AP ===.BAD BCD ∠=∠90=︒所以2BD =，112AQ CQ BD ===， 所以=AB CQ AQ =，所以四边形ABCQ 是菱形，所以1122MQ AB ==，1133GQ CQ ==， 所以115236MG MQ GQ =+=+=所以3PG ==== 在Rt PGM中，5363272G PG MG h PM ⨯=== 因为13122CM CQ QM =+=+=，56MG = 所以392556CM MG ==所以95C G h h ==设直线CD 与平面PAD 所成角为θ，所以sin C h CD θ===所以直线CD 与平面PAD【点睛】本题考查线面平行的证明，以及线面角的计算，考查空间想象能力，属于中档题.20．数列{}n a 满足10a =，121nn n a a +-=-（*N n ∈），求{}n a 的通项公式. 【答案】21nn a n =--【解析】用累加法可求出数列的通项公式. 【详解】121n n n a a +-=-，()()()112211n n n n na a a a a a a a---∴=-+-++-+1212121210n n1212221n n121212112nnn n，21nna n∴=--.【点睛】本题考查累加法求数列通项公式，属于基础题.21．A，B是抛物线2y x=上两点.Ω是过A，B两点，半径为1的圆.l是抛物线的准线，M为Ω的圆心，O为坐标原点.（Ⅰ）若M在x轴上且Ω与l相切，求OAB的面积；（Ⅱ）求MA MB⋅的取值范围.【答案】（Ⅰ）(321812+；（Ⅱ）[)1,1-【解析】（Ⅰ）由已知准线与圆相切可得圆的方程，将圆的方程与抛物线方程联立可得交点的坐标，从而可得三角形的面积.（Ⅱ）利用向量数量积的定义以及余弦定理可得2112M ABA MB⋅=-，由02AB<≤即可求解.【详解】（Ⅰ）抛物线2y x=的准线方程为1=4x-，半径为1的圆的圆心在x轴上且圆与准线相切，可得圆心3,04M⎛⎫⎪⎝⎭，圆的方程为22314x y⎛⎫-+=⎪⎝⎭，将圆的方程与抛物线方程联立得，222314x y y x ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，消y 得216870x x --=， 设交点()00,A x y，解得0x =， 由题意得点,A B 关于x 轴对称，200x y ==，()120112y =+，则()300032111228OABSy x y =⨯⨯=+=.（Ⅱ）cos cos MA MB MA MB AMB AMB ⋅=∠=∠22222211222MA MB ABAB AB MA MB+--===-, 又02AB <≤，所以211112AB -≤-<， 所以MA MB ⋅的取值范围为[)1,1- 【点睛】本题考查了圆与抛物线的位置关系、向量数量积的定义、余弦定理，考查了计算能力，属于中档题.22．设0a >.已知函数()ln 1f x x =-（0x >）. （Ⅰ）证明：曲线()y f x =与曲线1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭至少有一条公切线； （Ⅱ）若函数()()1g x f af x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求a 的取值范围 注： 2.71828e =为自然对数的底数.【答案】（Ⅰ）存在公切线22ln1y a =-；1a ≤≤. 【解析】（Ⅰ）令()1h x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用导数可得()()max max f x h x =，从而可得两个函数图象的水平公切线.（Ⅱ）就01,1,1a a a <<=>分三类讨论，当01a <<时，可利用导数结合()1g g e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭得到a 的取值范围，当1a =时，1即为()g x 的零点，利用二次函数的性质和导数可证明1a >时，()0g x <在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，三者结合可得参数的范围.【详解】 （Ⅰ）()f x '=， 当240,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当24,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以()f x 在240,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在24,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数， 故()2max 422ln 1f x f a a ⎛⎫==-⎪⎝⎭. 令()1h x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()22211122h x f x x x x x⎛⎫''=-⨯== ⎪⎝⎭⨯ 当20,4a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当2,4a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在20,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在2,4a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数，故()22max242ln 14a h x h f a a ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故曲线()y f x =与曲线1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭至少有一条公切线为：22ln 1y a =-. （Ⅱ）()()()1ln 11ln g x f af x x a x a x ⎛⎫=+=-+++- ⎪⎝⎭当01a <<时，()((2223322222222aa a a x a ag x xx-+--+-'==，令t =，()()2222a t t a s t a -+-+=，()00s a =>，()()()()2212120a a a a s a -+-+=--<=，而对称轴为22202a t a -=<，故()s t 在()0,1有且只有一个零点0t ， 故()g x '在()0,1有且只有一个零点20t ，且当()200,x t ∈时，()0g x '>，当()20,x t ∈+∞时，()0g x '<，又()221110g a a a a =-++-=->，而201t <，故()()2010g t g >>.212g e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2g e a a =-， ()2122g g e a a e ⎛⎛⎫-=--- ⎪ ⎝⎭⎝222a a=-+-()12a ⎛=-- ⎝，因为()0,1a ∈，故220->>，故()10g g e e ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 所以()1g g e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 因为()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，故()010a g e <<⎧⎨≤⎩即0120a a a <<⎧⎪⎨-⎪⎩，1a ≤<. 若1a =，则()21110g =-=，故()g x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点1，符合.若1a >，下证：()0g x <对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.即证()ln 11ln 0x a x a -++-<对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.即证20a a->对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立. 令()1ln u x x =+()1u x x '==， 当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令()21v x =-+，因为110e v e e-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()130v e e e =->->， 故任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总有()0u x '>，故()u x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数， 故()()20u x u e ≤=<，故1ln 0x +--<对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2<，1<，因为1a >，故221110a x ⎛-+>-+=-≥ ⎝，故()ln 11ln 0x a x a -+++-对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立. 此时()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦无零点，综上，11a e≤≤. 【点睛】本题考查曲线的公切线和函数的零点，前者可先研究函数的最值，通过两个函数的最值相等得到水平的公切线，后者利用()211g a =-的符号来分类讨论，这是解决问题的核心和关系，本题属于难题.。

2020年浙江省杭州二中、学军中学五校高考数学模拟试卷（6月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x||x|≤1,x ∈R}，集合B ={x|2x ≤1,x ∈R}，则集合A ∩B 是( )A. (∞,1]B. [0,1]C. [−1,0]D. [−1,+∞) 2. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，则其渐近线的方程为( )A. y =±√33xB. y =±√22xC. y =±√3xD. y =±2x3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最短的棱与最长的棱长度之比是( )A. √22B. √23C. √24D. 134. 已知x ，y 满足约束条件{x ≥1x +y ≤2x −3y ≤0若2x +y ≥m 恒成立，则m 的取值范围是( )A. m ≥3B. m ≤3C. m ≤72D. m ≤73 5. 在△ABC 中，“sinA >cosB ”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 函数f(x)=(12)|x|−x 2+2的图象可能是( )A. B.C. D.7.新冠来袭，湖北告急!有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院．每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有()种A. 252B. 540C. 792D. 6848.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=√2，E是AD的中点，将△ABE沿BE翻折，记为△AB′E，在翻折过程中，①点A′在平面BCDE的射影必在直线AC上；②记A′E和A′B与平面BCDE所成的角分别为α，β，则tanβ−tanα的最大值为0；③设二面角A′−BE−C的平面角为θ，则θ+∠A′BA≥π.其中正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 39.已知f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数，若对任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)+log13x]=4，且方程|f(x)−3|=x3−6x2+9x−4+a在区间(0,3]上有两解，则实数a的取值范围是()A. 0<a≤5B. a<5C. 0<a<5D. a≥510.已知数列{a n}满足a n+1=a n+na n (n∈N∗)，a1>0，则当n≥2时，下列判断不一定正确的是()A. a n≥nB. a n+2−a n+1≥a n+1−a nC. a n+2a n+1≤a n+1a nD. 存在正整数k ，当n ≥k 时，a n ≤n +1恒成立．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 二项式(2√x √x4)n (n ∈N ∗)的展开式中，所有二项式系数之和为256，则n =______；且此展开式中含x 项的系数是______．12. 已知复数z =x +yi(x,y ∈R)，若|z +2i|=1，则|z|max =______；x +2y 的取值范围是______．13. 两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为23和12，两个零件是否加工为一等品相互独立，设两人加工的零件中为一等品的个数为ξ，则Eξ=______；若η=3ξ−1，则Dη=______．14. 已知在△ABC 中，cosB =13，AB =3√6，AC =8，延长BC 至D ，使CD =2，则AD =______，sin∠CAD =______．15. 已知|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=|c ⃗ |=4，若c ⃗ =a ⃗ −(a ⃗ ⋅a ⃗⃗⃗ a ⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ，则|a ⃗ −b ⃗ −c ⃗ |的最大值为______． 16. 已知实数x ，y ，z 满足{xy +2z =24x 2+y 2+z 2=8，则xyz 的最小值为______． 17. 设直线与抛物线y 2=3x 相交于A ，B 两点，与圆(x −4)2+y 2=r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线恰有4条，则r 的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=2√3sinωxcos(ωx +π3)−2cos 2ωx +52(ω>0)，且f(x)图象上相邻两个最低点的距离为π．(Ⅰ)求ω的值以及f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)若f(α)=513，且α∈[0,π2]，求cos2α的值．19.在三棱锥P−ABC中，PC=BC=2，AC=3，AP=√7，∠ACB=90°，点D在线段AB上，且满足DB=DP．(Ⅰ)求证：PB⊥CD；(Ⅱ)当面PDC⊥面ABC时，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值．20.数列{a n}，a1=1，a n+1=2a n−n2+3n(n∈N∗).(Ⅰ)是否存在常数λ，μ，使得数列{a n+λn2+μn}是等比数列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在，说明理由．(Ⅱ)设b n=1a n+n−2n−1,S n=b1+b2+b3+⋯+b n，证明：当n≥2时，nn+1<S n<53．21.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点A(2,1)，且该椭圆的短轴端点与两焦点F1，F2的张角为直角．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)过点B(0,3)且斜率大于0的直线与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与y轴相交于M，N两点，求|BM|+|BN|的取值范围．22.已知函数f(x)=xlnx−ax2+x(a∈R)．(Ⅰ)若a=1方程f(x)=t的实根个数不少于2个，证明：−14<t<0；(Ⅱ)若f(x)在x=x1，x2(x1<x2)处导数相等，求a的取值范围，使得对任意的x1，x2，恒有f(x1+x2)<−ln|a||a|成立．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U=R，集合A={x||x|≤1,x∈R}={x|−1≤x≤1}，集合B={x|2x≤1,x∈R}={x|x≤0}，∴集合A∩B={x|−1≤x≤0}=[−1,0]．故选：C．分别求出集合A，集合B，由此能求出集合A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：【分析】=2，再由双曲线的a，b，c的关系，可得b=√c2−a2=√3a，再由焦点运用双曲线的离心率的公式e=ca在x轴上的渐近线方程，即可得到所求方程．本题主要考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率公式的应用和渐近线方程的求法，属于基础题．【解答】=2，即有c=2a，由e=cab=√c2−a2=√3a，x，由双曲线的渐近线方程y=±ba可得渐近线方程为y=±√3x.故选C．3.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：如图所示：所以最短的棱长为AB =√12+12=√2，最长的棱长为AC =√22+22+12=3，所以最短的棱长与最长的棱长的比值为：√23． 故选：B ．首先把三视图转化内直观图，进一步求出几何体的最长棱长和最短棱长．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的棱长公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．4.【答案】D【解析】解：由约束条件{x ≥1x +y ≤2x −3y ≤0作出可行域如图，联立{x =1x −3y =0，解得A(1,13)， 令z =2x +y ，化为y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为73．∴满足2x +y ≥m 恒成立的m 的取值范围是m ≤73．故选：D ．由约束条件作出可行域，令z =2x +y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最小值，则答案可求．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角形的性质是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义结算三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：若B为钝角，A为锐角，则sinA>0，cosB<0，则满足sinA>cosB，但△ABC为锐角三角形不成立，若△ABC为锐角三角形，则A，B，π−A−B都是锐角，即π−A−B<π2，即A+B>π2，B>π2−A，则cosB<cos(π2−A)，即cosB<sinA，故“sinA>cosB”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选：B6.【答案】D【解析】解：由解析式可知f(x)=(12)|x|−x2+2为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，排除A；又f(0)=3>0，排除C；当x>0时，y=(12)x单调递减，y=−x2单调递减，∴f(x)=(12)x−x2+2在(0,+∞)上是单调递减的，排除B；故选：D．利用奇偶性判断对称性，再计算f(0)的值，判断f(x)在(0,+∞)上的单调性即可得出答案．本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性，单调性和特殊值等方面考虑，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，分3步进行分析：①将6名护士分成3组，每组1−3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，C42+C43=7种分组方法，若甲乙单独一组，将其他4人分成2组即可，有12若甲乙与其他人一组，有2C42=12种分组方法，则护士有12+7=19种分组方法；②将3名医生分成3组，每组一人，有1种分组方法；③将分好三组护士、三组医生全排列，安排到三家医院，有A33A33=36种情况，则有19×1×36=684种不同的安排方法，故选：D．根据题意，分3步进行分析：①将6名护士分成3组，每组1−3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，②将3名医生分成3组，每组一人，③将分好三组护士、三组医生全排列，安排到三家医院，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：在矩形ABCD中，AB=1，BC=√2，E是AD的中点，连接AC，交BE于点G，可知△ABC∽△EAB，，则∠ABE=∠ACB，且∠GBC+∠ABE=π2所以∠GBC+∠ACB=π，所以AC⊥BE，MC⊥BE，2所以BE⊥面A′MC，BE⊂面BCDE，所以面A′MC⊥面BCDE，过点A′作A′N⊥平面BCDE于点N，则点N必在直线MC上，故命题①正确，A′E和A′B与平面BCDE所成的角分别为α，β，即∠A′EN=α，∠A′BN=β，因为A′B>A′E，所以BN>EN，tanβ=A′NBN ，tanα=A′NEN，所以tanβ≤tanα，当A′，A重合时取等号，即tanβ−tanα≤0，所以命题②正确，因为二面角A′−BE−C的平面角为θ，即∠A′MC=θ，因为∠θ+∠A′MA=π，∠A′MA>∠A′BA，所以θ+∠A′BA<π，故③错误，故选：C．由题意画出图形，推理可得面A′MC⊥面BCDE，由射影定的定义，线面成角的定义，二面角的定义，找到对应的角，根据已知条件即可判断角之间的关系．本题考查空间直线与平面的位置关系，命题真假的判断，考查线面角，面面角，线线成角问题，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：∵定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)满足f[f(x)+log 13x]=4，∴必存在唯一的正实数a，满足f(x)+log 13x=a，f(a)=4，①∴f(a)+log 13a=a，②由①②得：4+log 13a=a，log 13a=a−4，a=(13)a−4，左增，右减，有唯一解a=3，故f(x)+log 13x=a=3，f(x)=3−log 13x，由方程|f(x)−3|=x3−6x2+9x−4+a在区间(0,3]上有两解，即有|log 13x|=x3−6x2+9x−4+a，由g(x)=x3−6x2+9x−4+a，g′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)，当1<x<3时，g′(x)<0，g(x)递减；当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)递增．g(x)在x =1处取得最大值a ，g(0)=a −4，g(3)=a −4， 分别作出y =|log 13x|，和y =x 3−6x 2+9x −4的图象，可得 两图象只有一个交点，将y =x 3−6x 2+9x −4的图象向上平移， 至经过点(3,1)，有两个交点， 由g(3)=1即a −4=1，解得a =5， 当0<a ≤5时，两图象有两个交点，即方程|f(x)−3|=x 3−6x 2+9x −4+a 在区间(0,3]上有两解． 故选：A ．由题设知必存在唯一的正实数a ，满足f(x)+log 13x =a ，f(a)=4，f(a)+log 13a =a ，故4+log 13a =a ，log 13a =a −4，a =(13)a−4，左增，右减，有唯一解a =3，故f(x)+log 13x =a =3，由题意可得|log 13x|=x 3−6x 2+9x −4+a 在区间(0,3]上有两解，讨论g(x)=x 3−6x 2+9x −4+a 的单调性和最值，分别画出作出y =|log 13x|，和y =x 3−6x 2+9x −4的图象，通过平移即可得到a 的范围． 本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．10.【答案】C【解析】解：对于A ，由同号原理，构造a n+1−(n +1)=(a n −n)+(n a n−1)=(a n −n)(1−1a n)，当n ≥2时，a n =a n−1+n a n−1≥2√n >1，∴1−1a n>0，(n ≥2)，a n+1−(n +1)与a n −n(n ≥2)同号，∵a 2−2≥0，∴a n −n ≥0，∴当n ≥2时，a n ≥n ，故A 正确；对于B ，由递推公式a n+1=a n +na n (n ∈N ∗)，得a n+1−a n =na n ，(n ∈N ∗)，∴a n+2−a n+1≥a n+1−a n ，∴n+1a n+1≥n a n，∴a n+1a n≤n+1n，(n ≥2)，∵a n ≥n ，∴a n+1a n=1+na n2≤1+n n2=n+1n对n ≥2恒成立，故B 正确；对于C ，由递推公式a n+1=a n +na n (n ∈N ∗)，得a n+1a n=1+na n2，a n+12=a n2+n 2a n2+2n ，a n−12a n2=1+n 2a n4+2na n2，命题可化为an+2a n+1≤a n+1a n，n+1a n+12≤na n2，∴a n+12a n2≥nn+1，∴n 4a n4+2na n2≥1n，(∗)，n ≤a n ≤n +1，∴n →+∞时，(∗)成立， 考虑n 较小时，若此时a n 较大，则(∗)不成立， 比如构造反例：a 2=10,22104+4102<12，故C 错误；对于D ，递推公式a n+1=a n +na n (n ∈N ∗)，得a n+12=a n 2+n 2an2+2n ≤a n 2+2n +1， ∴a n 2≤a n−12+2n −1，∴a n 2≤a n−12+2n −1≤a n−22+(2n −1)+(2n −3) ≤⋯≤a 22+(2n −1)+(2n −3)+⋯+5=n 2−4+a 22， 要使a k ≤k +1，只需保证a k 2≤k 2−4+a 22≤(k +1)2，∴只需k ≥[a 22−52]+1即可，故D 正确．故选：C ．利用递推公式，结合放缩法和同号法能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查数列的递推公式、放缩法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】8 1120【解析】解：∵在(2√x √x 4)n (n ∈N ∗)的展开式中，二项式系数之和是2n ，又二项式系数之和为256， ∴2n =256，∴n =8∴展开式的通项为T r+1=∁8r ⋅(2√x)8−r ⋅(√x 4)r =C 8=28−r C 8r ⋅x 16−3r4，令16−3r 4=1，可得r =4，∴x 的系数为16C 84=1120．故答案为：8，1120．根据题意，由二项式定理可得2n =256，解可得n 的值，求出展开式的通项，要求x 的系数，令x 的指数为1，可得r 的值，代入可得答案．本题主要考查二项式定理的应用，要牢记二项式(x +y)n 中，其二项式系数之和为2n ；12.【答案】3 [−4−√5.−4+√5].【解析】解：因为|z +2i|=1，所以|x +(2+y)i|=1，即√x 2+(y +2)2=1， 所以点(x,y)满足x 2+(y +2)2=1，即点(x,y)在以(0,−2)为圆心，1为半径的圆周上， ①|z|=√x 2+y 2表示点(x,y)到原点(0,0)的距离， 由图可知|z|max =3．②令z =x +2y ，即y =−12x +z2，z 2表示直线z =x +2y 在y 轴上的截距，截距越大(越小)，z 越大(越小)，由图可知当直线z =x +2y 与圆相切时，z 最大(最小)， 所以d =|0+2(−2)−z|√12+22=r =1，解得z =−4+√5或−4−√5，所以x +2y 的取值范围：[−4−√5.−4+√5]. 故答案为：3，[−4−√5.−4+√5].根据题意可得，①|z|=√x 2+y 2表示点(x,y)到原点(0,0)的距离，由图可得出结论．②z2表示直线z =x +2y 在y 轴上的截距，截距越大(越小)，z 越大(越小)，由图可知当直线z =x +2y 与圆相切时，z 最大(最小)，结合图可得出结论．本题主要考查了利用目标函数的几何意义求解目标函数的最值，属于基础试题13.【答案】76 174【解析】解：两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为23和12，两个零件是否加工为一等品相互独立，设两人加工的零件中为一等品的个数为ξ， 则ξ的可能取值为0，1，2， P(ξ=0)=(1−23)(1−12)=16，P(ξ=1)=23(1−12)+(1−23)×12=12， P(ξ=2)=23×12=13，∴Eξ=0×16+1×12+2×13=76，Dξ=(0−76)2×16+(1−76)2×12+(2−76)2×13=1736，∵η=3ξ−1，∴Dη=9Dξ=9×1736=174．故答案为：76，174．设两人加工的零件中为一等品的个数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ和Dξ，再由η=3ξ−1，能求出Dη．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.【答案】√21 ；√714【解析】解：因为cosB =13，所以sinB =2√23，因为AB =3√6，AC =8， △ABC 中由正弦定理可得，3√6sin∠ACB =82√23，所以sin∠ACB =√32，且AB <AC ，所以∠ACB =13π，△ACD 中，CD =2，AC =8，∠ACD =2π3，则AD 2=64+4−2×2×8×(−12)=84， 故AD =2√21，由余弦定理可得，cos∠CAD =84+64−42×8×2√21=√2114×3所以sin∠CAD =√714．故答案为：2√21，√714．由已知结合同角平方关系可求sin B ，然后结合正弦定理可求∠ACB ，再由余弦定理可求AD ；由已知结合余弦定理及同角平方关系即可直接求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的综合应用，属于中档试题．15.【答案】9【解析】解：∵c ⃗ ⋅a ⃗ =a ⃗ ⋅a ⃗ −(a ⃗ ⋅a ⃗a⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ⋅a⃗ =0， ∴c ⃗ ⊥a ⃗ ，依题意，不妨设a ⃗ =(3,0),c ⃗ =(0,4),b ⃗ =(4cosθ,4sinθ)， 则a ⃗ −b ⃗ −c ⃗ =(3−4cosθ,−4−4sinθ)，∴|a ⃗ −b ⃗ −c ⃗ |=√(3−4cosθ)2+(−4−4sinθ)2=√41+40sin(θ+φ)≤√81=9，其中tanφ=34．故答案为：9．计算可知c ⃗ ⊥a ⃗ ，则根据题设可设a ⃗ =(3,0),c ⃗ =(0,4),b ⃗ =(4cosθ,4sinθ)，进而求得|a ⃗ −b ⃗ −c ⃗ |，利用三角函数的有界性即得解．本题考查平面向量的数量积运算以及向量垂直的判断，考查向量模的最值求法，涉及了三角函数的图象及性质，考查运算求解能力及转化思想，属于基础题．16.【答案】16√2−22【解析】解：实数x ，y ，z 满足{xy +2z =24x 2+y 2+z 2=8，整理得z =2−xy2， 所以4x 2+y 2+z 2=8， 整理得：8≥4|xy|+(2−xy)24，整理得：32≥16|xy|+4−4xy +x 2y 2，化简为：x 2y 2+12xy −28≤0或x 2y 2−20xy −28≤0， 解得：0≤xy ≤2或10−8√2≤xy ≤0． 所以xyz =xy ⋅2−xy 2=2xy−(xy)22=−12(xy)2+xy =−12(xy −2)2+2，根据函数的单调性的应用，当xy =10−8√2时，xyz 的最小值为−12(10−8√2−2)2+2=16√2−22． 故答案为：16√2−22直接利用不等式的性质的应用和二次函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的变换，二次函数的性质的应用，不等式的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.【答案】(32,√392)【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，直线斜率存在时，设斜率为k ，则y 12=3x 1，y 22=3x 2，相减得(y 1+y 2)(y 1−y 2)=3(x 1−x 2)， 即(y 1+y 2)⋅y 1−y 2x 1−x 2=3，则ky 0=32，① ∵直线与圆相切，∴y 0x−4=−1k，② 联立①②得x 0=52，即M 的轨迹是直线x =52． 将x =52代入y 2=3x ，得y 2=152，∴−√302<y 0<√302， ∵M 在圆上，∴(x 0−4)2+y 02=r 2， ∴r 2=y 02+94<152+94=394，∵直线的斜率存在，∴y 0≠0， 则94<r 2<394，得32<r <√392， 故32<r <√392时，直线有2条；直线斜率不存在时，直线有2条． ∴直线恰有4条时，32<r <√392．故答案为：(32,√392). 设出A ，B ，M 的坐标，利用点差法得到M 的轨迹是直线x =52，代入抛物线方程可得M 纵坐标的范围，把M 的坐标代入圆的方程，把r 用含有M 纵坐标的代数式表示，则答案可求．本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，正确理解题意是关键，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为函数f(x)=2√3sinωxcos(ωx +π3)−2cos 2ωx +52(ω>0)=2√3sinωx(cosωxcosπ3−sinωxsin π3)−2cos 2ωx +52=2√3×12sinωxcosωx −2√3×√32sin 2ωx −2cos 2ωx +52=√32sin2ωx +12cos2ωx =sin(2ωx +π6)；∵f(x)图象上相邻两个最低点的距离为π．故T=2π2ω⇒ω=1；∴f(x)=sin(2x+π6)；令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2即kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z；故f(x)的单调减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z．(Ⅱ)若f(α)=513，且α∈[0,π2]，∵α∈[0,π2]⇒2α+π6∈[π6,7π6]；∴f(α)=sin(2α+π6)=513<12；∴2α+π6∈[π2,π]．故cos(2α+π6)=−√1−sin2(2α+π6)=−1213；故cos2α=cos(2α+π6−π6)=cos(2α+π6)cosπ6+sin(2α+π6)sinπ6 =(−1213)×√32+513×12=5−12√326．【解析】(Ⅰ)直接结合两角和与差的三角公式以及诱导公式进行化简即可求解ω，再利用正弦函数的性质即可求解单调递减区间；(Ⅱ)先根据f(α)=513，且α∈[0,π2]，求得2α+π6∈[π2,π].且cos(2α+π6)=−√1−sin2(2α+π6)=−1213；再结合两角差的余弦公式即可求得结论．本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的单调性和两角和与差的余弦公式，属中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取PA的中点M，连接DM，CM，∵PC=BC，∴PB⊥CM，又PD=DB，∴PD⊥DM，而CM∩DM=M．从而PB⊥平面CDM，得PB⊥CD；(Ⅱ)解：过点P作PO⊥CD于O，连接OB．∵△PCD≌△BCD ，∴BO ⊥CD ． ∴∠POB 为二面角P −CD −B 的平面角． 又∵平面PDC ⊥平面ABC ，∴∠POB =90°． 令∠BCD =α，则PO =BO =2sinα，CO =2cosα．∴AO 2=AC 2+CO 2−2AC ⋅CO ⋅cos(90°−α)=9+4cos 2α−6sin2α． 而平面PDC ⊥平面ABC ，PO ⊥CD 于O ，∴PO ⊥平面ABC ，则PO ⊥AO ． 在Rt △POA 中，由PA 2=PO 2+OA 2，得sin2α=1，α∈(0,π2)， ∴α=π4，得∠ACO =π4．又∵V P−AOC =V O−PAC ，记O 到平面PAC 的距离为d ， 则d =S △AOC ⋅PO S △PAC =32×√23√32=√63． 记直线CD 与平面PAC 所成角为θ，则sinθ=d CO=√33．【解析】(Ⅰ)取PA 的中点M ，连接DM ，CM ，由已知可得PB ⊥CM ，PD ⊥DM ，得到PB ⊥平面CDM ，从而有PB ⊥CD ；(Ⅱ)过点P 作PO ⊥CD 于O ，连接OB.证明BO ⊥CD.令∠BCD =α，则PO =BO =2sinα，CO =2cosα.利用余弦定理求得AO ，在Rt △POA 中，利用勾股定理求解α=π4，得∠ACO =π4.然后利用等体积法求出O 到平面PAC 的距离d ，记直线CD 与平面PAC 所成角为θ，则sinθ=d CO =√33．本题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求点到平面的距离，考查空间角的求法，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)解：假设存在常数λ，μ，使得数列{a n +λn 2+μn}是等比数列，又a n+1=2a n −n 2+3n(n ∈N ∗)，∴a n+1+λ(n +1)2+μ(n +1)=2(a n +λn 2+μn)，即a n+1=2a n +λn 2+(μ−2λ)n −λ−μ，故{λ=−1μ−2λ=3−λ−μ=0，解得：{λ=−1μ=1.∴a n+1=2a n −n 2+3n 可化为a n+1−(n +1)2+(n +1)=2(a n −n 2+n)，又a 1−12+1=1≠0，故存在λ=−1，μ=1，使得数列{a n +λn 2+μn}是等比数列；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得：a n −n 2+n =(a 1−12+1)⋅2n−1=2n−1，∴a n =2n−1+n 2−n ，故b n =1an +n−2=1n 2，∵b n =1n 2=44n 2<44n 2−1=2(12n−1−12n+1)，∴当n ≥2时，S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n <1+2(13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1)=1+23−22n+1<53． 现证S n >nn+1(n ≥2)：当n =2时，S 2=b 1+b 2=1+14=54>23，故当n =2时不等式成立；当n ≥3时，由b n =1n 2>1n(n+1)=1n −1n+1得：S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n >(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1n+1) =1−1n+1=nn+1，∴S n >nn+1(n ≥2)． 故当n ≥2时，nn+1<S n <53．【解析】(Ⅰ)先假设存在常数λ，μ，使得数列{a n +λn 2+μn}是等比数列，然后整理得到：a n+1=2a n +λn 2+(μ−2λ)n −λ−μ，然后利用待定系数法求得λ、μ即可；(Ⅱ)先利用(Ⅰ)求得a n 与b n ，再利用放缩法与裂项相消法证明结论．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及放缩法、裂项相消法在证明不等式中的应用，属于较难的题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得b =c ，且4a 2+1b 2=1，又a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6，b 2=3， 所以椭圆E 的方程为：x 26+y 23=1；(Ⅱ)设直线l 的方程为：y =kx +3，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 则直线AP 的方程为：y −1=y 1−1x1−2(x −2)，令x =0可得M(0,1−2(y 1−1)x 1−2)，直线AQ 的方程为：y −1=y 2−1x 2−2(x −2)，令x =0可得N(0,1−2(y 2−1)x 2−2)，联立{y =kx +3x 2+3y 2=6，整理可得：(1+2k 2)x 2+12kx +12=0， 所以可得{ Δ=144k 2−4×12(1+2k 2)x 1+x 2=−12k 1+2k 2x 1x 2=121+2k 2, 可得k 2>1；因为k >0，所以k >1，|BM|+|BN|=2+y M +2+y N =4+2(y 1−1)x 1−2+2(y 2−1)x 2−2=4+2(kx 1+2)x 1−2+2(kx 2+2)x 2−2=4+4kx 1x 2−2(2k −2)(x 1+x 2)−16x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=4+4k ⋅121+2k 2+(2k −2)⋅24k 1+2k 2−16121+2k 2+24k1+2k 2+4=4+16k 2−168k 2+24k +16 =4+2(k −1)k +2=6−6k+2，因为k >1，所以6−6k+2∈(4,6)， 所以|BM|+|BN|的取值范围：(4,6)．【解析】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题(Ⅰ)由题意可得b =c ，又过A 点，及由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆E 的方程； (Ⅱ)设直线AP ，AQ 的直线方程，令x =0可得M ，N 的坐标，设直线PQ 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出|BM|+|BN|的表达式，将两根之和及两根之积代入可得关于直线PQ 的斜率的代数式，再由斜率大于0可得|BM|+|BN|的取值范围．22.【答案】证明：(I)f′(x)=2+lnx −2x ，f″(x)=1x −2，x >0，易得当x ∈(0,12)时，f ″(x)>0，f′(x)单调递增，当x ∈(12,+∞)时，f ″(x)<0，f′(x)单调递减， ∵x →0时，f′(x)→−∞，x →+∞时，f′(x)→−∞，f′(12)=1−ln2>0， ∴f′(x)=0有两个不同是实数根x =x 0，x =1，其中x 0∈(0,12)， 当x ∈(0,x 0)，(1,+∞)时，f′(x)<0，函数单调递减， 当x ∈(x 0,1)时，f′(x)>0，函数单调递增， 因为x →0时，f′(x)→0，x →+∞，f′(x)→−∞， 所以f(x)≤f(1)=0，故f(x 0)≤t <0，由题意可得，f(x 0)=x 0lnx 0−x 02+x 0=x 0(2x 0−2)−x 02+x 0=x 02−x 0，∵x 0∈(0,12)， ∴f(x 0)>f(12)=−14，第21页，共21页 ∴−14<t <0， 解：(II)f′(x)=2+lnx −2ax ，f″(x)=1x −2a ，x >0，由题意可得，f′(x)在(0,+∞)上不单调，故a >0，又x ∈(0,12a )时，f ″(x)>0，f′(x)单调递增，x ∈(12a ,+∞)时，f ″(x)<0，f′(x)单调递减， 所以a >0，因为x →0时，f′(x)→−∞，x →+∞时，f′(x)→−∞，∴x 1∈(0,12a )，x 2∈(12a ,+∞)，由f′(x 1)=f′(x 2)可得，lnx 1−lnx 2x 1−x 2=2a ， 而x 1+x 2=x 1+x 22a ⋅lnx 1−lnx 2x 1−x 2=(1+t)lnt 2a(t−1)，其中t =x 2x 1>1， 令g(t)=lnt −2(t−1)t+1，t >1，则g′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0， 即g(t)在(1,+∞)单调递增，∴g(t)>g(1)=0，故(t+1)lnt t−1>2，因此x 1+x 2>1a ，故f ″(x 1+x 2)<−a <0，即f′(x 1+x 2)在(1a ,+∞)上单调递减，若a ≥1时，f′(x 1+x 2)<f′(1a )=−lna ≤0，即f(x 1+x 2)在(1a ,+∞)上单调递减，∴f(x 1+x 2)<f(1a)=−ln|a||a|， 若a ∈(0,1)，因为f′(1a )>0，所以必有k >1a ，使得x 1+x 2∈(1a ,k)时，f′(x 1+x 2)>0，即f(x 1+x 2)在(1a ,k)上单调递增，这与f(x 1+x 2)<−ln|a||a|恒成立矛盾，综上a ∈[1,+∞)．【解析】(I)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，结合函数的性质及零点性质可证； (II)先对函数求导，然后结合导数分析函数的性质，结合导数与函数性质进行求解．本题综合考查了导数与函数性质的综合应用，考查了分析解决问题的能力，试题具有一定的综合性．。

浙江省2020届高三6月普通高中学业水平模拟考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在矩形ABCD 中的曲线是sin y x =，cos y x =的一部分，点,02B π⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)D ，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．4(31)π-B ．4(21)π-C ．4(31)π-.D ．4(21)π-2．已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=->的图像与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图像，则()y g x =是减函数的区间为（ ）．A ．,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为,A B ，点P 为双曲线上除,A B 外任意一点，且点P 与点,A B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A ．y x =± B ．2y x =±C ．3y x =±D ．2y x =±4．空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（ ）A ．该地区在该月2日空气质量最好B ．该地区在该月24日空气质量最差C ．该地区从该月7日到12日持续增大D ．该地区的空气质量指数与这段日期成负相关5．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（ ）A ．283πB ．323π C ．523π D ．563π6．在区间[1,2]-上随机取一个数k ，使直线(4)y k x =-与圆224x y +=相交的概率为（ ）A ．3B ．3C ．23D ．37．若函数()222,2log (),2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0a <B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥8．设实数x ，y 满足约束条件202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是（ ）A ．[]4,1- B ．33,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(][),31,-∞-+∞U D ．[]3,1-9．一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，是的中点，则三棱锥的高为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则11a b+的最小值为（ ） A ．726+ B ．722+C ．326+ D ．322+11．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．1412．已知51(1)(2)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．80- B ．40- C ．40 D ．80二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。