(日志)再读杨小凯(2)数学证明无懈可击,基本概念错得离谱

数学史上的著名猜想之（一）—―被否定的数学猜想过伯祥数学史上，长时期未能解决的数学猜想特别多！并且很多都是世界级的难题，其中数论方面的问题又占多数.它们表面上是那么的浅显，好像不难解决似的，其实，若无深厚的数学功底，即使想接近它也十分困难。

本章特作较多的介绍，使数学爱好者有一个初步了解.如果你有志要攻克这些猜想，就必须作好长期艰苦跋涉的思想准备.1．被否定的数学猜想（1）试证第五公设的漫长历程几何是从制造器皿、测量容器、丈量土地等实际问题中产生和发展起来的.几何学的发展历程中，有两个重大的历史性转折.其一是,大约从公元前7世纪到公元前3世纪，希腊数学从素材到框架，已经为几何学的理论大厦的建造准备了足够的条件.欧几里得在前人毕达哥拉斯、希波克拉底和欧多克斯等人的工作基础上，一举完成了统治几何学近2000年的极其伟大的经典著作《几何原本》.它使几何学发展成为一门独立的理论学科，是几何学史上的一个里程碑.其二，也正是由于《几何原本》的问世，才带来了一个使无数人困惑和兴奋的著名问题--欧几里得第五公设问题.在《几何原本》的第一卷中，规定了五条公设和五条公理.著名的欧几里得第五公设：“若两条直线被第三条直线所截，如有两个同侧内角之和小于两直角，则将这两直线向该侧适当延长后必定相交.”就是这五条公设中的最后一条.由于它在《几何原本》中引用得很少（直到证明关键性的第29个定理时才用到它）；而且，它的辞句冗长，远不如前四条公设那样简单明了.于是给后人的印象是：似乎欧几里得本人也想尽量避免应用第五公设.于是，一代又一代的数学家猜测:大概不用花费很多力气就能证明欧几里得第五公设.就这样，数学家们开始了试证第五公设的历程.这是个始料未及的漫长历程！真正是前赴后继，几乎每个时代的大数学家都做过这一件工作.然而，满以为非常简单，只不过是举手之劳的一件事，谁料历时两千年仍未解决.第五公设问题几乎成了“几何原理中的家丑”（达朗贝尔）.直至19世纪，人们才逐渐意识到“欧氏第五公设可以证明”是一个错误的猜想,但它却引导数学家们得到了有意义的结果.所以说：错误的猜想有时也是极有意义的！“在我们试图证明某个猜想的时候，如果使尽各种招数仍无进展，就应去查一查这个猜想本身有没有毛病.”（2）引出一个大胆猜想第五公设的一个又一个试证，总是发生“偷用”某个与第五公设等价的“假设”去代替的毛病，这逐渐地使几位思想较开阔而又有远见的数学家高斯、亚诺什•鲍耶、罗巴契夫斯基意识到:“欧几里得第五公设是不能从《几何原本》的其余公设、公理中导出.”也即与其它公设公理不相依赖，并且提出了一个新的大胆猜想：“欧几里得几何不是惟一的几何;任何一组假设如果彼此之间不导致矛盾的话，一定提供一种可能的几何.”罗巴契夫斯基、鲍耶正是在此想法的基础上开展了一系列工作，才发现了非欧几何的.虽然，他们的工作约有30年之久被人们所忽视；非欧几何的相容性问题在其后的40年中仍然悬而未决，然而，从某数学家的头脑中首先形成这大胆的猜想——与第五公设相矛盾的公理，也许仍可建立逻辑上相容的新几何——的那一刻起，就注定了即将发生几何学发展的又一次历史性的大转折：将迎来的是，几何学思想的大解放，几何学大发展的新时代.可以说，在19世纪所有复杂的技术创造中间，最深刻的一个——非欧几何的创造，就是起源于两千年试证第五公设的失败而日渐形成的大胆的猜想，非欧几何是在欧几里得几何领域中，一系列的长期努力所达到的一个新顶点。

数学无穷思想的发展历程引言无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。

彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。

而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。

我们在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程。

光辉的起点：数学无穷发展的萌芽时期早在远古时代，无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情，而且远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。

在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。

”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。

而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。

他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。

”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。

在国外，早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。

德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。

欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。

由此，我们可以看到在数学无穷思想发展之初，古人就已在这个领域开创了一个光辉的起点。

首创风波：芝诺悖论虽说，古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。

可以说，对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。

芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。

芝诺，公元前五世纪中叶古希腊哲学家。

他提出的四个悖论虽是哲学命题。

但却对数学无穷思想的发展产生了直接且深远影响。

不等式的分拆降维降幂方法与可读证明不等式，这个听上去就像是数学书里枯燥的公式，但实际上它可是充满了智慧和乐趣的宝藏！就像妈妈的厨房，总能在一堆简单的材料中变出让你垂涎欲滴的美味。

不等式的分拆、降维和降幂就像是烹饪的秘诀，今天咱们就来聊聊这些妙招。

1. 不等式的基本概念首先，我们得了解什么是不等式。

简单来说，就是对比两个数、两个表达式的大小关系。

就像生活中的选择：你有一堆冰淇淋，你得决定要哪个口味，是草莓的还是巧克力的。

用数学来说，就是“a > b”或者“c ≤ d”。

听上去很简单，但不等式的奥秘就在于，我们可以通过一些技巧，来帮助我们更好地理解这些关系。

1.1 不等式的性质不等式的性质就像是游戏规则，搞清楚了，你才能玩得开心。

比如说，如果你知道“a > b”，那么“a + c > b + c”也是成立的。

这就是不等式的加法性质。

还有乘法性质，如果你乘上一个正数，关系不变，但如果乘上一个负数，嘿嘿，关系就得翻转过来了，像是过山车一样刺激！这些性质就像是生活中的小智慧，时刻提醒我们该怎么做决策。

1.2 经典不等式提到不等式，咱们不得不提到几个经典的“大佬”——比如说柯西不等式、施瓦茨不等式、均值不等式。

这些就像是数学界的名人名言，让人耳熟能详。

柯西不等式就像是在说：“你有多努力，就能多成功”，而均值不等式则告诉我们：“平均总是比较舒服的”，这在生活中也是相当适用的。

2. 分拆与降维好啦，咱们现在来聊聊不等式的分拆和降维。

这可是个重要的技术活。

分拆就像是把一块蛋糕切成小块，方便大家分享；降维就像是把复杂的事情简化成几个简单的步骤，让人一目了然。

2.1 分拆技巧当面对复杂的不等式时，分拆法就是我们的秘密武器。

比如说，咱们有一个不等式看上去复杂得很，但只要把它拆成几个简单的部分，突然间，整个问题就变得清晰了。

就好比把一个大难题拆成几个小问题来解决，慢慢来，总能找到答案。

这样的思路就像是将问题逐步剥皮，让真相浮出水面。

《打倒万恶的奥数》漏洞百出，暴露了作者数学素养的缺失杨东平教授2009年的一篇博文“打倒万恶的奥数教育”成为网上批判奥数之滥觞，杨教授宣称的“奥数对青少年的危害远甚于黄赌毒”被网络媒体大肆引用。

我作为一名高中数学老师兼奥数教练，在认真看完他的文章以后，最大的感受就是杨教授本人相当缺乏数学的逻辑和思维。

今天我也想借这个机会谈谈他文章中逻辑及认知上的误区，顺便说说数学对普通人的用处。

首先，任何数学内容，开宗明义必须都要先给出概念的定义、内涵及外延，这是数学最重要的前提。

很多争论的产生就是由概念的混乱所导致的，例如很多辩论会表面看上去非常精彩，但是辩到最后双方对概念界定甚至都没有达成一致，这种辩论完全是鸡同鸭讲，毫无意义。

因此，如果想要批判奥数，第一件事应该是先对奥数下定义，反观包括杨教授在内的所有批判奥数的文章，几乎都没有关于奥数的定义，大家讲的都是自己心目中的“奥数”，而非真正意义上的奥数。

大概是因为要给奥数下定义是比较复杂和困难的，需要查阅大量的资料和对比，再去总结归纳，写批判文章的人未必有这样的能力和兴趣去查阅对比，只是对批判本身感兴趣。

综合各方面的资料，我觉得奥数的定义应该是这样的：奥数是奥林匹克数学的简称，是不包含于普通数学教材的一部分数学内容，解决这些问题一般不需要超纲的数学知识，但需要灵活运用所学过的数学知识。

当然，对于不同的年级对应的奥数内容会有区别，不过有些数学知识在教材中永远不会出现，下面举几个典型的奥数问题：1、3阶幻方问题（即把1到9填入3*3的正方形小方格中，使得每行每列及两条对角线的和都相等。

这是本人在初二遇到的第一个小学奥数题，我是从此接触到奥数并喜欢上奥数的，以后一发不可收拾，一直积极参与数学竞赛。

后来读完数学系本科和研究生又回到母校高中部教数学兼任高中奥数教练。

）2、4刀切西瓜问题（即4刀最多把一个西瓜切成多少块？）3、把2019分成一些整数之和，使得他们的乘积最大。

今天上数学课各种好玩的东西。

于是就找到好多这个来分享一下。

当然不是我写的。

并且大部分的人好像只会去看第一个就不想看了。

这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴。

1=2？史上最经典的“证明”设 a = b ，则 a·b = a^2 ，等号两边同时减去 b^2 就有 a·b - b^2 = a^2 - b^2 。

注意，这个等式的左边可以提出一个 b ，右边是一个平方差，于是有 b·(a - b = (a + b(a - b 。

约掉 (a - b 有 b = a + b 。

然而 a = b ，因此 b = b + b ，也即 b = 2b 。

约掉 b ，得 1 = 2 。

这可能是有史以来最经典的谬证了。

Ted Chiang 在他的短篇科幻小说 Division by Zero 中写到：引用There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real or imaginary, rational or irrational—are equal.这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以 a - b 的，因为我们假设了 a = b ，也就是说 a - b 是等于 0 的。

名校联考联合体2024年秋季高一第一次联考数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}22M x x =-<<，集合{1,0,1,2}N =-，则M N = （）A.{1,0,1}-B.{0,1,2}C.{}12x x -<≤ D.{}12x x -≤≤【答案】A 【解析】【分析】利用交集的定义直接求解即可.【详解】因为{}22M x x =-<<，{1,0,1,2}N =-，所以{1,0,1}M N ⋂=-，故A 正确.故选：A2.已知命题:p x ∀∈R ，11x +>，命题:0q x ∃>，3x x =，则（）A.p 是真命题，q 是假命题B.p 是假命题，q 是真命题C.p 和q 都是真命题D.p 和q 都是假命题【答案】B 【解析】【分析】举出反例得到p 为假命题，举出实例得到q 为真命题.【详解】对于命题p ：当0x =时，11x +=，故p 为假命题；对于命题q ：当1x =时，31x x ==，故q 为真命题.故选：B.3.使29x <成立的一个充分不必要条件的是（）A.3x <B.03x << C.33x -≤≤ D.0x >【答案】B 【解析】【分析】首先解不等式29x <得到33x -<<，根据题意找到{}33x x -<<的一个真子集即可.【详解】由29x <得33x -<<，对于A ，因为{}33x x -<<是{}3x x <的真子集，所以3x <是33x -<<的必要不充分条件，故A 错误；对于B ，因为{}03x x <<是{}33x x -<<的真子集，所以03x <<是33x -<<的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，因为{}33x x -<<是{}33x x -≤≤的真子集，所以33x -≤≤是33x -<<的必要不充分条件，故C 错误；对于D ，因为{}33x x -<<与{}0x x >不是包含关系，所以0x >是33x -<<的既不充分也不必要条件，故D 错误.故选：B.4.下列命题为真命题的是（）A.若a b >，则22a b >B.若a b >，则22ac bc >C.若a b >，则11a b< D.若0a b >>，则11b ba a+>+【答案】D 【解析】【分析】对A ，B ，C 举反例说明，对D ，作差法求解判断.【详解】若a b >，取0a =，1b =-，则22a b <，故A 错误；若a b >，当0c =时，则22ac bc =，故B 错误；若a b >，取1a =，1b =-，则11a b>，故C 错误；若0a b >>，则()()()()1110111b a a b b b a ba a a a a a +-++--==>+++，故D 正确.故选：D.5.已知集合{}101,2A x x B y y ⎧⎫=<<=>⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.()0,∞+ D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由并集的概念即可直接得答案.【详解】因为{}1|01,2A x x B y y ⎧⎫=<<=⎨⎬⎩⎭，所以()0,A B ∞⋃=+.故选：C.6.已知集合A 满足{1,2}A ⊆{1,2,3,4,5}，且3A ∉，则满足条件的集合A 有（）A.2个B.4个C.8个D.16个【答案】B 【解析】【分析】根据子集和真子集的概念求解即可.【详解】由题意可知，集合A 中一定包含元素1，2，一定不包含元素3，且A 是{}1,2,3,4,5的真子集，所以{}1,2A =或{}1,2,4或{}1,2,5或{}1,2,4,5，即满足条件的集合A 有4个.故选：B.7.已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（）A.9B.8C.3D.83【答案】C 【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可【详解】由条件知113a b+=，1111414(4)553333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当21a b ==时取等号.故选：C8.设集合1,36k A x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,63k B x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则下列结论中正确的是（）A.A B= B.A B⊂C.A B ⊃D.A B =∅【答案】B 【解析】【分析】将两集合结构化为一致即可判断.【详解】1,36k A x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭21,6k x x k Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭1,63k B x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭2,6k x x k Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21k +代表所有奇数，2k +代表所有整数所以A B ⊂故选:B二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知不等式20ax bx c ++≤的解集为{1x x ≤-或}3x ≥，则下列结论正确的是（）A.0a >B.0a b c ++>C.420a b c -+< D.20cx bx a -+<的解集为113x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由条件可得1-和3为方程20ax bx c ++=的根，且0a <，进而结合韦达定理得到23b ac a =-⎧⎨=-⎩，进而判断ABC ；将不等式化简可得，求解即可判断D.【详解】由题意得，1-和3为方程20ax bx c ++=的根，且0a <，则−1+3=−−1×3=，即23b ac a =-⎧⎨=-⎩，故A 错误；2340a b c a a a a ++=--=->，故B 正确；4244350a b c a a a a -+=+-=<，故C 正确；由20cx bx a -+<，即2320ax ax a -++<，即23210x x --<，解得113-<<x ，故D 错误.故选：BC.10.已知0a >，0b >，且22a b +=，则下列说法正确的是（）A.12ab ≥B.1122a b+≥C.22a b +的最小值为25D.2≤【答案】BD 【解析】【分析】根据基本不等式及其变形可判断A ；利用常值代换可判断B ；利用消元法可判断C ；根据重要不等式222ab a b ≤+得到a b +≤，代入即可判断D.【详解】对于A ，22212a b a b +⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12≤ab ，当且仅当2a b =，即1a =，12b =时等号成立，故A 错误；对于B ，因为()111111222222222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a b =，即1a =，12b =时等号成立，故B 正确；对于C ，因为22a b +=，所以22a b =-，因为0a >，0b >，所以220b b ->⎧⎨>⎩，则01b <<，所以()2222224422584555a b b b b b b ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎭+⎝，当45b =时，22a b +取最小值45，故C 错误；对于D ，由222ab a b ≤+得()()2222a b a b+≤+，即a b +≤2+≤，=1a =，12b =时等号成立，故D 正确.故选：BD.11.对任意A ，B ⊆R ，记{},A B x x A B x A B =∈⋃∉⋂ ，并称A B 为集合A ，B 的对称差.例如：若{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则{}1,4A B =△.下列命题为真命题的是（）A.若{0}A x x =>，{2}B x x =<，则A B =△{2x x ≥或0x ≤}B.若A ⊆R ，且{}1,2,3A A ⊆△，则{}1,2,3A ⊆C.若A ，B ⊆R ，则()A B A B =R R△△痧D.若A ，B ，C ⊆R ，则()()A B C A B C =△△△△【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，求出,A B A B ⋃⋂，根据定义得到A 正确；B 选项，举出反例；CD 选项，可利用韦恩图进行说明.【详解】A 选项，A B ⋃=R ，{02}A B xx =<< ∣，故A B =△{2x x ≥或0x ≤}，A 正确；B 选项，{}1,2,3A A ⊆ ，不妨设{}1,2,3,4A =，则{}{}{}{}1,2,31,2,3,4,1,2,31,2,3A A ⋃=⋂=，故{}{}1,2,34A A =⊆ ，但不满足{}1,2,3A ⊆，B 错误；C 选项，当A B ⋂≠∅且A 与B 不是包含关系时，如图1，①为集合{x x A ∈且}x A B ∉⋂，②为集合{x x B ∈且}x A B ∉⋂，③为集合{}x x A B ∈⋂，④为集合(){}R x x A B ∈⋃ð，B R ð表示集合①④的并集，A B ⋃R ð表示集合①③④的并集，A B ⋂R ð为集合①，故A B R ð为集合③④的并集，A B 为集合①②的并集，故()A B R ð为集合③④的并集，故()A B A B =R R 痧；当A B ⋂=∅时，如图2，①为集合(){}R x x A B ∈⋃ð，B R ð表示集合①和集合A 的并集，A B ⋃R ð表示集合①和集合A 的并集，A B ⋂R ð为集合A ，故A B R ð为集合①，A B 为集合,A B 的并集，故()A B R ð为集合①，故()A B A B =R R 痧；如图3，当A B ⊆时，B R ð表示集合①，A B ⋂R ð为集合∅，故A B R ð为集合①和集合A 的并集，A B 为集合,A B 的并集去掉,A B 的交集，即集合②部分，故()A B R ð为集合①和集合A 的并集，故()A B A B =R R 痧；如图4，当B A ⊆时，②为{x x A ∈且}x A B ∉⋂，①为(){}R x x A B ∈⋃ð，B R ð表示集合①和②的并集，R A B ⋃=R ð，A B ⋂R ð表示集合②，故A B R ð为集合①和集合B 的并集，A B 为集合,A B 的并集去掉,A B 的交集，即集合②部分，故()A B R ð为集合①和集合B 的并集，故()A B A B =R R 痧.综上，C 正确；D 选项，画韦恩图，如下：情况较多，我们就第一个图进行说明，①为{x x A ∈且x A B ∉ 且}x A C ∉⋂，②为{x x B ∈且x A B ∉ 且}x B C ∉⋂，③为{x x A B ∈⋂且}x A B C ∉⋂⋂，④为(){}R x x A B C ∈⋃⋃ð，⑤为{x x A C ∈⋂且}x A B C ∉⋂⋂，⑥为{}x x A B C ∈⋂⋂，⑦为{x x B C ∈⋂且}x A B C ∉⋂⋂，⑧为{x x C ∈且x A C ∉ 且}x B C ∉⋂，A B 表示集合①⑤②⑦的并集，故()A B C 表示集合①②⑥⑧的并集，B C 表示集合②③⑤⑧的并集，()A B C 表示集合①②⑥⑧的并集，故()()A B C A B C = ，当,,A B C 满足其他关系时，经检验，也满足()()A B C A B C = ，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：当集合之间的关系较为复杂或解决容斥原理的题型时，常常使用韦恩图来进行求解，其直观易懂，可大大减少思维量.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知集合{}{}24,2,4,A m B m =-=，且A B =，则m 的值为_________.【答案】0【解析】【分析】根据集合相等，列出关于m 的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案.【详解】因为A B =，所以22m m =-，解得0m =或2-，当2m =-时，224m m =-=，而集合的元素具有互异性，故2m ≠-，所以0m =，故答案为：013.若命题：“x ∀∈R ，不等式()21204x a x +-+>成立”为假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】{1a a ≤或3a ≥}【解析】【分析】由题可知命题的否定为真命题，根据一元二次不等式在R 上恒成立求解即可.【详解】由题意得：x ∃∈R ，不等式()21204x a x +-+≤成立为真命题，所以0≥ ，即()212404a --⨯≥，解得1a ≤或3a ≥.所以实数a 的取值范围是{1a a ≤或3a ≥}.故答案为：{1a a ≤或3a ≥}.14.设集合{}{}2680,10A x x x B x ax =-+≤=-=∣∣，若A B B = ，则实数a 的取值范围为__________.【答案】110,,24⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】先求出集合A ，结合A B B = 可得B A ⊆，进而分0a =和0a ≠两种情况讨论求解即可.【详解】{}{}26802,4A xx x =-+≤=∣，由A B B = ，得B A ⊆，当0a =时，B =∅，符号题意；当0a ≠时，{}110B xax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭∣，则12a =或14a =，解得12a =或14a =.综上所述，则实数a 的取值范围为110,,24⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：110,,24⎧⎫⎨⎬⎩⎭.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知集合{}121P x a x a =+≤≤+，{}25Q xx =-≤≤∣，其中实数0a >.（1）若3a =，求集合()Q P R ð；（2）若P Q =∅ ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){24}P Q xx =-≤<R ∣ð（2）{4}aa >∣.【解析】【分析】（1）根据集合的交集和补集运算求解；（2）根据集合的交集的定义及空集的概念求解.【小问1详解】当3a =时，集合{}47P xx =≤≤∣，P =R ð{4x x <或7x >}，又集合{}25Q xx =-≤≤∣，所以(){24}P Q x x =-≤<R ∣ð.【小问2详解】因为0a >，所以121a a +<+，则集合P 非空，因为P Q =∅ ，所以15a +>或212a +<-，解得4a >或32a <-，又0a >，所以4a >，故实数a 的取值范围是{4}aa >∣.16.已知集合{}2{121},560A xm x m B x x x =+<<-=--<∣∣.（1）若“命题:,p x A x B ∃∈∈”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|25m m <<（2）7|2m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）由题意可知A B ≠∅ ，进而求解；（2）由题意可得A 是B 的真子集，分类讨论求解即可.【小问1详解】{}{}256016B x x x x x =--<=-<<∣，因为命题:,p x A x B ∃∈∈是真命题，则A B ≠∅ ，所以1211216m m m +<-⎧⎨-<-<⎩或121116m m m +<-⎧⎨-<+<⎩，解得25m <<，所以实数m 的取值范围为{}|25m m <<.【小问2详解】（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，当B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤；当B ≠∅时，有12111216m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-<⎩或12111216m m m m +<-⎧⎪+>-⎨⎪-≤⎩，解得722<≤m .综上所述，m 的取值范围是7|2m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.17.如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB .设点A 到道路2的距离为a 米，点B 到道路1的距离为b 米.（1）当8a =，求b 的值；（2）求AOB V 面积的最大值，并求此时a ，b 的值.【答案】（1）103b =（2）最大值为300-20a b ==-.【解析】【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式()20020ab a b +=+，将8a =代入即可求出b 的值；（2）利用（1）中得到的关系式()20020ab a b +=+结合基本不等式求出ab 的范围即可求出面积的最大值以及此时a ，b 的值.【小问1详解】设圆C 与道路1、道路2、直线AB 的切点分为D ，E ，F ，连接CD ，CE ，CF ，由切线长定理可知BE BF =，AF AD =，则BE AD AB +=，由题知OD OE ⊥且10OD OE ==，OA a =，OB b =，即()()1010a b -+-=()20020ab a b +=+.①把8a =代入①，解得103b =；【小问2详解】由题有010a <<，010b <<，因为a b +≥，所以()20020ab a b +=+≥令)010t t =<<，则220040t t +≥，解得020t <≤-所以0600ab <≤-当且仅当a b =时等号成立，即220040a a +=，解得20a b ==-010a <<，010b <<，则13002AOB S ab =≤-△，所以AOB V 的面积的最大值为300-20a b ==-.18.已知函数()211y ax a x =-++，a ∈R .（1）若2a =，当1x >时，求2101y x z x -+=-的最小值；（2）求关于x 的不等式()()21100ax a x a -++>>的解集；（3）当0a <时，已知{}21A xx =-≤≤-∣，{0}B x y a =+>，若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）7（2）答案见解析（3）307a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）变形后，利用基本不等式求出最小值；（2）因式分解，得到()()11y ax x =--，分11a >，11a <和11a =三种情况，得到不等式的解集；（3）0y a +>化为()2110ax a x a -+++>，根据A B ⊆，转化为函数不等式恒成立问题，结合二次函数的开口方向，得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2a =时，()()2221182102511111x x y x x x z x x x ---+-+-+===---()8211171x x =-+-≥-=-，当且仅当()8211x x -=-，即3x =时取等号，故当1x >时，2111y x z x -+=-的最小值为7.【小问2详解】由题知()()()21111y ax a x ax x =-++=--，当11a >，即01a <<时，解原不等式得1x a >或1x <，当11a <，即1a >时，解原不等式得1x a <或1x >，当11a =，即1a =时，解原不等式得1x ≠.综上，当1a >时，原不等式解集为1{|<x x a或>1}x ；当01a <<时，原不等式解集为{|1x x <或1}x a>；当1a =时，原不等式解集为{}1xx ≠∣.【小问3详解】不等式0y a +>可化为()2110ax a x a -+++>，因为A B ⊆，所以不等式()2110ax a x a -+++>在21x -≤≤-时恒成立，又0a <，结合二次函数图象知，()()421101100a a a a a a a ⎧++++>⎪++++>⎨⎪<⎩，解得307a -<<.故a 的取值范围是307a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.19.已知二次函数21y ax bx =++，对x ∀∈R ，都有0y ≥，且当2x =-时，0y =.（1）求a ，b 的值；（2）存在t ∈R ，对任意{}x x t x m t ∈≤≤+，都有1y x t ≤-+，求正实数m 的最大值；（3）若()211,2i i i y ax bx i =++=，是否存在正整数12x x <，使得1212y y y -为正整数？【答案】（1）1,41.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）8（3）不存在，证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据根的判别式和2x =-时，0y =，得到方程组，求出a ，b 的值；（2）结合二次函数的开口方向，只需10y x t -+-≤在x t =，x m t =+处都成立即可，从而得到不等式，求出40t -≤≤，t m t --≤≤-+，求出t -+8，从而得到答案；（3）反证法，假设1212y k y y =-为正整数，得到()2k k +也为完全平方数，但()()2221k k k k <+<+，即()2k k +介于两个相邻的完全平方数之间，得到矛盾，假设不成立，故不存在正整数12x x <，使得1212y y y -为正整数？【小问1详解】由题知4210a b -+=且240b a ∆=-=，解得1,41.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩【小问2详解】由（1）知2114=++y x x ，10y x t -+-≤在t x m t ≤≤+上恒成立，当t 确定时，2114t y x t x -+-+=表示开口向上的二次函数，当t x m t ≤≤+时，该函数的最大值必在端点处取到，则只需10y x t -+-≤在x t =，x m t =+处都成立即可.当x t =时，有2140t t +≤，解得40t -≤≤；当x m t =+时，有()2014m t t ++≤，解得t m t --≤≤-+；其中)211t -+=-在40t -≤≤上单调递减，故当4t =-时，t -+取得最大值，最大值为8，所以8m t ≤-+≤，所以当8m =，4t =-时满足上述不等式，则m 的最大值为8.【小问3详解】不存在，证明过程如下：假设存在，设1212y k y y =-为正整数，因为()22111244y x x x =++=+，所以()()()2122212222x k x x +=+-+为正整数，则()()()2212222k x k x ++=+，即()()()22212222k k x k x ++=+.而()212x +，()2222k x +均为完全平方数，()2k k +为正整数，所以()2k k +也为完全平方数，又()()2221k k k k <+<+，即()2k k +介于两个相邻的完全平方数之间，不为完全平方数，矛盾，所以当()211,2i i i y ax bx i =++=时，不存在正整数12x x <，使得1212y y y -为正整数.。

无穷个无穷小的乘积反例标题：无穷个无穷小的乘积：究竟是否存在反例？摘要：无穷个无穷小的乘积在数学领域中引起了广泛的关注和讨论。

本文将探讨这一问题的重要性、定义以及存在可能的反例。

通过列举数学历史上的经典案例和对该问题的深入分析，本文旨在为读者提供对这个复杂而有趣的数学概念的全面理解。

正文：1. 引言从柯西(Cauchy)时代开始，无穷个无穷小的乘积一直是数学中的一道困扰。

这个问题涉及到极限和无穷概念的交叉，引发了许多数学家的思考。

在本文中，我们将探讨无穷个无穷小的乘积这一重要且极具挑战性的概念，并思考是否存在反例。

2. 无穷个无穷小的乘积的定义在数学中，无穷个无穷小的乘积是指由无穷个无穷小元素相乘得到的结果。

无穷小是数学中的一个重要概念，表示极限趋于零的量。

无穷个无穷小的乘积的定义是相对复杂的，需要通过极限的观念来理解。

然而，我们将尽力从简单的例子开始，以便更好地理解这个概念。

3. 包含指定主题文字的案例现在，让我们考虑一个例子：无穷个无穷小的乘积。

假设有一个数列{a_n}，其中每个元素都是一个无穷小，即a_n → 0 当n → ∞。

我们考虑乘积 P_n = a_1 * a_2 * ... * a_n，其中 n 为正整数。

那么问题来了，P_n 的极限是什么？4. 经典案例与分析事实上，无穷个无穷小的乘积存在许多经典案例。

欧拉(Euler)在18世纪提出的无穷乘积公式就是一个重要的案例。

该公式用于计算正弦函数的近似值，并且被广泛应用于数学和物理领域。

然而，正如我们所看到的，欧拉的无穷乘积公式需要满足一定的条件才能成立，这在一定程度上限制了其应用范围。

5. 反例的可能性鉴于无穷个无穷小的乘积问题的复杂性，我们是否能找到一个反例来证明不存在无穷乘积的极限？这个问题一直困扰着数学家们。

然而，直到目前为止，还没有确凿的反例被找到。

这使得我们对于无穷个无穷小的乘积的研究更加深入和有价值。

6. 个人观点和理解在我看来，无穷个无穷小的乘积是数学中的一个非常有趣的领域。