甘肃省天水市第三中学2016-2017学年高二上学期入学考试数学试题Word版含答案

2016-2017学年甘肃省天水三中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．以上都不对=（n∈N*），猜想a n等于（）2．设0＜θ＜，已知a1=2cosθ，a n+1A．2cos B．2cos C．2cos D．2sin3．在复平面内的▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4+i，3+4i，3﹣5i，则点D 对应的复数是（）A．2﹣3i B．4+8i C．4﹣8i D．1+4i4．复数z满足（1﹣2i）z=7+i，则复数z的共轭复数z=（）A．1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i5．“因为对数函数y=log a x是增函数（大前提），而y=是对数函数（小前提），所以y=是增函数（结论）．”上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错6．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下则y对x的线性回归方程为（）A．y=x﹣1 B．y=x+1 C．D．y=1767．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（p＞0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线8．曲线的参数方程为（t是参数），则曲线是（）A．线段B．双曲线的一支C．圆D．射线9．直线：3x﹣4y﹣9=0与圆：，（θ为参数）的位置关系是（）A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+4y′2=1，则曲线C的方程为（）A．25x2+36y2=1 B．9x2+100y2=1 C．10x+24y=1 D．x2+y2=111．用反证法证明命题“若a2+b2≠0，则a，b不全为0（a，b∈R）”时，其假设正确的是（）A．a，b中至少有一个为0 B．a，b中至少有一个不为0C．a，b全为0 D．a，b中只有一个不为012．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0二．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）13．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为．14．观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…，则可归纳出．15．直线（t为参数）的倾斜角是．三．解答题（本大题共5小题，每小题15分，共75分）16．（15分）已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．17．（15分）已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为．（1）化直线l的方程为直角坐标方程；（2）化圆的方程为普通方程；（3）求直线l被圆截得的弦长．18．（15分）已知直线l的参数方程为（t为参数），P是椭圆上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．19．（15分）在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为（2，），（3，0），O为极点，求：（1）|AB|；（2）求△AOB的面积．20．（15分）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．2016-2017学年甘肃省天水三中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．以上都不对【考点】A2：复数的基本概念．【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，∴，解得x=1．故选：A．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．=（n∈N*），猜想a n等于（）2．设0＜θ＜，已知a1=2cosθ，a n+1A．2cos B．2cos C．2cos D．2sin【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】利用排除法分别进行验证排除即可得到结论．【解答】解：当n=1时，A选项2cos=2cos，∴排除A．当n=2时，C选项2cos=2cos，∴排除C．a2==，此时D选项2sin=，∴排除D．故选：B．【点评】本题主要考查数列的通项公式的求解，利用已知条件进行排除即可，比较基础．3．在复平面内的▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4+i，3+4i，3﹣5i，则点D 对应的复数是（）A．2﹣3i B．4+8i C．4﹣8i D．1+4i【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】分别求出点A，B，C的坐标，然后利用中点坐标公式求出D的坐标，则点D对应的复数可求．【解答】解：∵复平面内的▱ABCD的点A，B，C分别对应复数4+i，3+4i，3﹣5i，即A（4，1），B（3，4），C（3，﹣5），设D（x，y），∵平行四边形的对角线互相平分，∴线段AC与BD的中点相同，则，解得．∴点D对应的复数是4﹣8i．故选：C．法二：=﹣⇒（﹣1，3）=（3﹣x，﹣5﹣y）解得．∴点D对应的复数是4﹣8i．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的坐标运算及中点坐标公式，是基础的计算题．4．复数z满足（1﹣2i）z=7+i，则复数z的共轭复数z=（）A．1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】先将z利用复数除法的运算法则，化成代数形式，再求其共轭复数．【解答】解：∵（1﹣2i ）z=7+i ，∴z====1+3i ．共轭复数=1﹣3i ． 故选B ．【点评】本题考查复数除法的运算法则，共轭复数的概念及求解．复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．5．“因为对数函数y=log a x 是增函数（大前提），而y=是对数函数（小前提），所以y=是增函数（结论）．”上面推理的错误是（ ）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 【考点】F7：进行简单的演绎推理．【分析】当a ＞1时，对数函数y=log a x 是增函数，当0＜a ＜1时，对数函数y=log a x 是减函数，故可得结论．【解答】解：当a ＞1时，对数函数y=log a x 是增函数，当0＜a ＜1时，对数函数y=log a x 是减函数， 故推理的大前提是错误的 故选A ．【点评】本题考查演绎推理，考查三段论，属于基础题．6．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下则y 对x 的线性回归方程为（ ）A ．y=x ﹣1B ．y=x +1C ．D ．y=176【考点】BK ：线性回归方程．【分析】求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x适合，得到结果．【解答】解：∵=176，=176，∴本组数据的样本中心点是（176，176），根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x适合，故选C．【点评】本题考查线性回归方程的写法，一般情况下要利用最小二乘法求出线性回归方程，本题是一个选择题目，有它特殊的解法，即把样本中心点代入检验，也不是所有的选择题都能这样做．7．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（p＞0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ＞0），可得ρ=1或θ=π．即可得出．【解答】解：极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ＞0），可得ρ=1或θ=π．∴方程表示的图形是一个圆和一条射线．故选：C．【点评】本题考查了极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．曲线的参数方程为（t是参数），则曲线是（）A．线段B．双曲线的一支C．圆D．射线【考点】QJ：直线的参数方程．【分析】判断此曲线的类型可以将参数方程化为普通方程，再依据变通方程的形式判断此曲线的类型，由此参数方程的形式，可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程【解答】解：由题意由（2）得t2=y+1代入（1）得x=3（y+1）+2，即x﹣3y﹣5=0，其对应的图形是一条直线又由曲线的参数方程知y≥﹣1，x≥2，所以此曲线是一条射线故选D【点评】本题考查直线的参数方程，解题的关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法代入法消元，本题易因为忘记判断出x，y的取值范围而误判此曲线为直线，好在选项中没有这样的干扰项，使得本题的出错率大大降低．9．直线：3x﹣4y﹣9=0与圆：，（θ为参数）的位置关系是（）A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的参数方程变化成圆的标准方程，看出圆心和半径，计算圆心到直线的距离，比较距离与半径的大小关系，得到位置关系．【解答】解：∵圆：，（θ为参数）∴圆的标准方程是x2+y2=4圆心是（0，0），半径是2，∴圆心到直线的距离是d==＜r∴直线与圆相交，且不过圆心，故选D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，本题解题的关键是求出圆的标准方程，算出圆心到直线的距离，本题是一个基础题．10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+4y′2=1，则曲线C的方程为（）A．25x2+36y2=1 B．9x2+100y2=1 C．10x+24y=1 D．x2+y2=1【考点】Q5：平面直角坐标轴中的伸缩变换．【分析】把代入曲线x′2+4y′2=1，即可得出．【解答】解：把代入曲线x′2+4y′2=1，可得（5x）2+4（3y）2=1，化为25x2+36y2=1，即为曲线C的方程．故选：A．【点评】本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题．11．用反证法证明命题“若a2+b2≠0，则a，b不全为0（a，b∈R）”时，其假设正确的是（）A．a，b中至少有一个为0 B．a，b中至少有一个不为0C．a，b全为0 D．a，b中只有一个不为0【考点】FC：反证法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，求出要证命题的否定，即可得到答案．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而命题“若a2+b2≠0，则a，b不全为0（a，b∈R）”的否定为“a，b全为0”，故选C．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】由得x的范围，从而画出曲线C1；由得普通方程，从而画出C2，观察图形即可得曲线C1与C2的交点个数．【解答】解：在中，当t＞0时，x≥，当t＜0时，﹣x=（﹣t）+（）≥，得x≤﹣2，原方程化为y=2（x≥2，或x≤﹣2）．…①方程的普通方程为x2+y2=4．…②将①式中的y=2代入②式中，得x=0，显然不满足①式，即方程组无实数解，所以曲线C1与C2的交点个数为0．故选：D．【点评】1．本题考查了直线与圆的参数方程化普通方程，两曲线的交点问题等．值得注意的是，应保证方程在转化过程中的等价性，特别是参数的范围，这直接影响到x或y的值．2．本题也可以用图象法：①式表示同一直线上的两条射线，②式表示以原点为圆心，2为半径的圆，在同一坐标系中作出C1，C2，可知C1与C2的交点个数为0．二．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为（，）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；IM：两条直线的交点坐标；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】先将原极坐标方程ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出交点，最后再转化成极坐标．【解答】解：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=﹣1．联立解得，由得点（﹣1，1），极坐标为（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．14．观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…，则可归纳出（n∈N*）．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据所给的几个不等式归纳出左边、右边的规律，根据此规律可归纳出第n个不等式．【解答】解：由题意知，：1+＜，1++＜，1+++＜，…，观察可得：每个不等式的左边是正整数的倒数之和，且最后一项的分母是项数加1，右边是分数，且分母是项数加1、分子是以3为首项、2 为公差的等差数列，∴可归纳出第n个不等式：（n∈N*），故答案为：（n∈N*）．【点评】本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．15．直线（t为参数）的倾斜角是70°．【考点】QH：参数方程化成普通方程；I2：直线的倾斜角．【分析】将参数方程化为普通方程，由诱导公式求出直线的斜率，再由斜率公式k=tanα（0°≤α＜180°）求出倾斜角．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程为：y +1=（x ﹣3）即y +1=（x ﹣3），即有y +1=tan70°（x ﹣3），故直线的斜率为tan70°，倾斜角为70°． 故答案为：70°．【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．三．解答题（本大题共5小题，每小题15分，共75分）16．（15分）（2011•上海）已知复数z 1满足（z 1﹣2）（1+i ）=1﹣i （i 为虚数单位），复数z 2的虚部为2，且z 1•z 2是实数，求z 2． 【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的除法运算法则求出z 1，设出复数z 2；利用复数的乘法运算法则求出z 1•z 2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z 2．【解答】解：∴z 1=2﹣i设z 2=a +2i （a ∈R ）∴z 1•z 2=（2﹣i ）（a +2i ）=（2a +2）+（4﹣a ）i ∵z 1•z 2是实数 ∴4﹣a=0解得a=4 所以z 2=4+2i【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．17．（15分）（2015•铜川三模）已知直线l 的极坐标方程为，圆C 的参数方程为．（1）化直线l 的方程为直角坐标方程； （2）化圆的方程为普通方程； （3）求直线l 被圆截得的弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）由直线l的极坐标方程ρsinθcos﹣ρcosθsin=6，化为直角坐标方程为，化为一般式即得所求．（2）把圆C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ 可得圆的普通方程．（3）求出圆心（0，0）到求直线l的距离等于=6，由半径等于10，利用弦长公式可得弦长的值．【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为，即ρsinθcos﹣ρcosθsin=6，化为直角坐标方程为，即．（2）∵圆C的参数方程为，利用同角三角函数的基本关系消去参数θ 可得x2+y2=100，故圆的普通方程为x2+y2=100．（3）圆心（0，0）到求直线l的距离等于=6，半径等于10，由弦长公式可得弦长等于=16．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，弦长公式的应用．18．（15分）（2012•南京一模）已知直线l的参数方程为（t为参数），P是椭圆上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．【考点】QJ：直线的参数方程；IT：点到直线的距离公式；KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】把参数方程化为普通方程，求出点P到直线l的距离d=，令θ=kπ+，即得d 的最大值．【解答】解：直线l的参数方程为，（t为参数）故直线l的普通方程为x+2y=0．因为P为椭圆上任意点，故可设P（2cosθ，sinθ）其中θ∈R．因此点P到直线l的距离是d==，故当θ=kπ+时，d 取得最大值=．【点评】本题考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的最值．求出点P到直线l的距离d=，是解题的关键．19．（15分）（2017春•秦州区校级月考）在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为（2，），（3，0），O为极点，求：（1）|AB|；（2）求△AOB的面积．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用余弦定理即可得出．（2）利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）△AOB中，|OA|=2，|OB|=3，∠AOB=由余弦定理得|AB|==．=|OA|•|OB|•sin∠AOB=×2×3×=．（2）S△AOB【点评】本题考查了极坐标的应用、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（15分）（2010•辽宁）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．【考点】Q3：极坐标系；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出点M、A的坐标，再利用直角坐标的直线AM的参数方程求得参数方程即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为（，）．（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（1，0），故直线AM的参数方程为（t为参数）（10分）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．。

2016-2017学年甘肃省天水三中高二（下）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，每小题所给的四个选项中，有且只有一个符合题意）1．由“若a＞b，则a+c＞b+c”推理到“若a＞b，则ac＞bc”是（）A．归纳推理 B．类比推理 C．演绎推理 D．不是推理2．下列求导数运算正确的是（）A． B．C．（3x）'=3x log3e D．（x2cosx）'=﹣2xsinx3．函数f（x）=x+elnx的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）和（0，+∞）D．R4．曲线3x2﹣y+6=0在x=﹣处的切线的倾斜角是（）A．B．﹣C．π D．﹣π5．“可导函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数f（x）=x3+ax2，过曲线y=f（x）上一点P（﹣1，b）且平行于直线3x+y=0的切线方程为（）A．3x+y﹣1=0 B．3x+y+1=0 C．3x﹣y+1=0 D．3x+y﹣2=07．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=lnx﹣ax（a＞0）的单调递增区间为（）A．（0，） B．（，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，a）9．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊊平面α，直线a⊊平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误10．由直线x=，x=2，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是（）A．B．C．D．2ln211．若函数，则函数（）A．有极小值﹣3，极大值3 B．有极小值﹣6，极大值6C．仅有极小值6 D．无极值12．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）13．已知“a∈R，则“a=2”是“复数z=（a2﹣a﹣2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的．14．已知f（x）为一次函数，且f（x）=2x+，则f（x）= ．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，给出以下结论：①函数f（x）在（﹣2，﹣1）和（1，2）是单调递增函数；②函数f（x）在（﹣2，0）上是单调递增函数，在（0，2）上是单调递减函数；③函数f（x）在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值；④函数f（x）在x=0处取得极大值f（0）．则正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．复数z=的共轭复数为．17．计算．18．已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值和最小值．19．求抛物线y=3﹣2x﹣x2与x轴围成的封闭图形的面积．20．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．2016-2017学年甘肃省天水三中高二（下）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，每小题所给的四个选项中，有且只有一个符合题意）1．由“若a＞b，则a+c＞b+c”推理到“若a＞b，则ac＞bc”是（）A．归纳推理 B．类比推理 C．演绎推理 D．不是推理【考点】F3：类比推理．【分析】根据归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；由“若a＞b，则a+c＞b+c”推理到“若a＞b，则ac＞bc”是由特殊到特殊的推理，所以它是类比推理，据此解答即可．【解答】解：根据归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，由“若a＞b，则a+c＞b+c”推理到“若a＞b，则ac＞bc”是由特殊到特殊的推理，所以它是类比推理．故选：B．2．下列求导数运算正确的是（）A．B．C．（3x）'=3x log3e D．（x2cosx）'=﹣2xsinx【考点】63：导数的运算．【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案．【解答】解：因为（x+）'=x'+（）'=1﹣，故A错误；（log2x）′=，故B正确；（3x）′=3x ln3，故C错误；（x2cosx）′=（x2）′cosx+x2（cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，故D错误．故选：B．3．函数f（x）=x+elnx的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）和（0，+∞）D．R【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=x+elnx的定义域为（0，+∞），对其球导后判断导数在（0，+∞）的正负即可【解答】解：∵f（x）=x+elnx，定义域为（0，+∞）∴f′（x）=1+＞0，∴函数f（x）=x+elnx的单调递增区间为（0，+∞）故选A4．曲线3x2﹣y+6=0在x=﹣处的切线的倾斜角是（）A．B．﹣ C．πD．﹣π【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求切线斜率，然后利用斜率公式求切线的倾斜角．【解答】解：由3x2﹣y+6=0得y=3x2+6，则函数的导数为f'（x）=6x，所以在x=﹣处的切线斜率为．由tanθ=﹣1，解得切线的倾斜角为．故选C．5．“可导函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数极值的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：函数y=f（x）在一点的导数值是0，则函数y=f（x）在这点不一定取极值，比如函数f（x）=x3，满足f'（0）=0，但x=0不是极值．若函数y=f（x）在这点取极值，则根据极值的定义可知，y=f（x）在一点的导数值是0成立，∴“函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”必要不充分条件．故选：A．6．已知函数f（x）=x3+ax2，过曲线y=f（x）上一点P（﹣1，b）且平行于直线3x+y=0的切线方程为（）A．3x+y﹣1=0 B．3x+y+1=0 C．3x﹣y+1=0 D．3x+y﹣2=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．【解答】解：函数的导数为y′=f′（x）=3x2+2ax，∵曲线在点P（﹣1，b）处的切线平行于直线3x+y=0，∴曲线在点P处的切线斜率k=﹣3，即k=f′（﹣1）=3﹣2a=﹣3，解得a=3，此时f（x）=x3+3x2，此时b=f（﹣1）=﹣1+3=2，即切点P（﹣1，2），则切线方程为y﹣2=﹣3（x+1），即3x+y+1=0故选：B7．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：A．8．函数f（x）=lnx﹣ax（a＞0）的单调递增区间为（）A．（0，）B．（，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，a）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间．【解答】解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），则f′（x）=﹣a，令f′（x）＞0，解得0＜x＜．故单调递增区间：（0，），故选：A9．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊊平面α，直线a⊊平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误，我们分析：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的推理过程，不难得到结论．【解答】解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．故大前提错误．故答案为：A10．由直线x=，x=2，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是（）A．B．C．D．2ln2【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】由题意画出图形，再利用定积分即可求得．【解答】解：如图，面积．故选D．11．若函数，则函数（）A．有极小值﹣3，极大值3 B．有极小值﹣6，极大值6C．仅有极小值6 D．无极值【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求导函数，然后求出导数等于零的值，讨论导数符号，得到极值点，代入原函数，求出极值即可选出正确结果．【解答】解：y'===0解得：x=±1当x＜﹣1时，y'＜0，当﹣1＜x＜1时，y'＞0，当x＞1时，y'＜0∴当x=﹣1时，函数取极小值﹣3当x=1时，函数取极大值3故选A．12．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项【考点】RG：数学归纳法．【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“++…+＞（n＞2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n项，当由n=k 到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．【解答】解：，=故选C二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）13．已知“a∈R，则“a=2”是“复数z=（a2﹣a﹣2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的充要条件．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；A2：复数的基本概念．【分析】复数z=（a2﹣a﹣2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则a2﹣a﹣2=0，a+1≠0．解出即可得出．【解答】解：复数z=（a2﹣a﹣2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则a2﹣a﹣2=0，a+1≠0．解得a=2．故答案为：充要条件．14．已知f（x）为一次函数，且f（x）=2x+，则f（x）= 2x﹣4 ．【考点】67：定积分．【分析】由题意，此题是一个求函数解析式的题，可用待定系数法设出f（x）的解析式，求出积分，利用同一性建立系数的方程解出系数得出函数的解析式【解答】解：设f（x）=ax+b∵，∴ax+b=2x+（at2+bt）|02=2x+2a+2b∴解得a=2，b=﹣4故函数的解析式为f（x）=2x﹣4故答案为 2x﹣415．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，给出以下结论：①函数f（x）在（﹣2，﹣1）和（1，2）是单调递增函数；②函数f（x）在（﹣2，0）上是单调递增函数，在（0，2）上是单调递减函数；③函数f（x）在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值；④函数f（x）在x=0处取得极大值f（0）．则正确命题的序号是②④．（填上所有正确命题的序号）【考点】6C：函数在某点取得极值的条件；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】图象可以看出在（﹣2，0），f′（x）＞0，在（0，2）上f′（x）＜0，所以函数f （x）在（﹣2，0）内单调递增，在（0，2）内单调递减，函数在x=0处取得极大值f（0）．故可得结论【解答】解：图象可以看出在（﹣2，0），f′（x）＞0，在（0，2）上f′（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣2，0）内单调递增，在（0，2）内单调递减，故①错，②正确，③错；∵函数f（x）在（﹣2，0）内单调递增，在（0，2）内单调递减∴函数在x=0处取得极大值f（0）．所以④正确．故答案为：②④三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．复数z=的共轭复数为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．17．计算．【考点】67：定积分．【分析】利用定积分的可加性将被积函数的绝对值去掉，然后分别计算定积分．【解答】解：原式===1．18．已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值和最小值．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I ）求出函数f （x ）的导函数，令导函数大于0求出x 的范围，写成区间即为函数f （x ）的单调递增区间．（II ）列出当x 变化时，f′（x ），f （x ）变化状态表，求出函数在上的极值及两个端点的函数值，选出最大值和最小值．【解答】解：（I ）f′（x ）=9x 2﹣9．令9x 2﹣9＞0，解此不等式，得x ＜﹣1或x ＞1．因此，函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．（（II ）令9x 2﹣9=0，得x=1或x=﹣1．当x 变化时，f′（x ），f （x ）变化状态如下表：从表中可以看出，当x=﹣2或x=1时，函数f （x ）取得最小值﹣1．当x=﹣1或x=2时，函数f （x ）取得最大值11．19．求抛物线y=3﹣2x ﹣x 2与x 轴围成的封闭图形的面积．【考点】67：定积分．【分析】由由3﹣2x ﹣x 2=0，得x=﹣3，x=1再由图形可知求出x 从﹣3到1，3﹣2x ﹣x 2上的定积分即为抛物线y=3﹣2x ﹣x 2与x 轴围成的封闭图形的面积．【解答】解：由3﹣2x ﹣x 2=0，得x=﹣3，x=1∴==（3﹣1﹣）﹣（﹣9﹣9+）=20．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．【考点】6C：函数在某点取得极值的条件；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x在区间上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．【解答】解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴a=1．（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在上有两个不同的解，从而可研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在上最值和极值情况．∵g′（x）=﹣，∴g（x）的增区间为，减区间为．∴g max（x）=g（1）=+ln2，g min（x）=g（0）=0，又g（2）=﹣1+ln3，∴当b∈[﹣1+ln3， +ln2）时，方程有两个不同解．2017年6月12日。

2016-2017学年甘肃省天水一中高二(上）第二次段考数学试卷（理科）一、选择题（每题4分,共40分）1．若实数x、y满足约束条件，且目标函数z=x+y的最大值等于（)A．2 B．3 C．4 D．12．椭圆2x2+3y2=6的焦距是（）A．2 B．2（﹣) C．2D．2（+)3．“x2﹣2x＜0”是“｜x﹣2｜＜2”的（）A．充分条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是（)A．（0,+∞） B．(0，2）C．（1,+∞） D．（0，1）5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则p的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．26．双曲线的渐近线方程是2x±y=0，则其离心率为（）A．B．C．D．57．双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1 D．8．设a＞0，b＞0，若是3a和3b的等比中项,则的最小值为（）A．6 B．C．8 D．99．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2 B．2C．4 D．410．以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N,椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为( ）A．B．C．D．二、填空题(每题4分，共16分）11．已知命题p:｜x+2｜＞1，命题q:x＜a，且﹁q是﹁p的必要不充分条件，则a的取值范围是．12．已知椭圆C:x2+2y2=4,过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A、B 两点，若点P恰为线段AB的中点，则直线AB的方程为．13．设P为双曲线﹣y2=1上一动点,O为坐标原点，M为线段OP 的中点，则点M的轨迹方程是．14．已知N(2，0）,M是y2=8x上的动点，则|MN｜的最小值是．三、解答题（共44分）15．已知命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，命题q：1﹣m≤x＜1+m（m ＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5,“p∨q"为真命题，“p∧q"为假命题，求实数x的取值范围．16．已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0)，长轴长为6，（1）求椭圆C的标准方程;(2)已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．17．已知椭圆C：=1（a＞b＞0)的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．(Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l:y=kx﹣2与椭圆C交于A,B两点,点P(0,1）,且|PA|=｜PB｜,求直线l的方程．18．如图，设抛物线C：y2=2px(p＞0）的焦点为F,准线为l，过准线l上一点M（﹣1，0)且斜率为k的直线l1交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P,直线PF交抛物线C于D，E两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程及k的取值范围；(Ⅱ）是否存在k值，使点P是线段DE的中点？若存在,求出k值，若不存在，请说明理由．2016-2017学年甘肃省天水一中高二(上)第二次段考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分)1．若实数x、y满足约束条件，且目标函数z=x+y的最大值等于( )A．2 B．3 C．4 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值,只需求出直线z=x+y过点A（4，0)时，z最大值即可．【解答】解:先根据约束条件画出可行域，然后平移直线0=x+y，当直线z=x+y过点A（4，0)时，z最大值为4．故选C．2．椭圆2x2+3y2=6的焦距是( )A．2 B．2(﹣）C．2D．2（+）【考点】椭圆的简单性质．【分析】把椭圆的方程化为标准形式，求出a、b、c的值，可得焦距2c的值．【解答】解:椭圆2x2+3y2=6可化为,∴c==1，∴椭圆2x2+3y2=6的焦距是2c=2，故选:A．3．“x2﹣2x＜0”是“｜x﹣2｜＜2”的（）A．充分条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质求出不等式成立的等价条件．利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由得x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2，由|x﹣2｜＜2，得﹣2＜x﹣2＜2,即0＜x＜4，则“x2﹣2x＜0"是“｜x﹣2｜＜2”的充分不必要条件，故选：B4．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是（)A．（0，+∞）B．(0，2）C．（1，+∞) D．（0,1）【考点】椭圆的定义．【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选D．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为( ）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2=2px 的焦点坐标（,0），可得=2，得p=4．【解答】解：∵双曲线中a2=3，b2=1∴c==2，得双曲线的右焦点为F(2,0）因此抛物线y2=2px的焦点(，0）即F（2，0)∴=2，即p=4故选B6．双曲线的渐近线方程是2x±y=0,则其离心率为（）A．B．C．D．5【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的渐近线方程是2x±y=0，得到b=2k，a=k，c=，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程是2x±y=0，∴b=2k,a=k，c=，∴e===．故选A．7．双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的顶点坐标（1,0），其渐近线方程为y=±x，所以所求的距离为=．故选B．8．设a＞0,b＞0，若是3a和3b的等比中项，则的最小值为（）A．6 B．C．8 D．9【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．【分析】由等比中项的概念得到a+b=1，则可以看做是1乘以，把1用a+b替换后利用基本不等式可求的最小值．【解答】解:由是3a和3b的等比中项，所以3a•3b=3，即3a+b=3,所以a+b=1．又a＞0，b＞0，则=．故选D．9．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2,焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于( ）A．2 B．2C．4 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0,b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a,b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2,则焦距为2c=4，故选：C10．以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N,椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据题意得|MF2|=｜OF2｜=c，|MF1｜+|MF2|=2a，｜F1F2|=2c，在直角三角形MF1F2中根据勾股定理可知|MF1｜2+|MF2｜2=|F1F2|2,进而得到关于a和c的方程,把方程转化成关于即e的方程,进而求得e．【解答】解：由题意得:｜MF2｜=|OF2｜=c，|MF1|+｜MF2｜=2a，｜F1F2｜=2c直角三角形MF1F2中｜MF1|2+|MF2｜2=|F1F2｜2即（2a﹣c）2+c2=4c2整理得2a2﹣2ac﹣c2=0a=（2c+2c根号3）/4=（c+c根号3）/2=c（1+根号3）/2等式两边同除以a2，得+﹣2=0即e2+2e﹣2=0，解得e=﹣1或﹣﹣1(排除）故e=﹣1故选A．二、填空题（每题4分，共16分）11．已知命题p：｜x+2|＞1，命题q：x＜a，且﹁q是﹁p的必要不充分条件,则a的取值范围是（﹣∞，﹣3］．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：由｜x+2｜＞1得x＞﹣1或x＜﹣3,∵﹁q是﹁p的必要不充分条件，∴p是q的必要不充分条件，则a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3］12．已知椭圆C：x2+2y2=4，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则直线AB的方程为x+2y ﹣3=0 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解答】解：设A（x1,y1)，B（x2，y2），则x12+2y12=4，x22+2y22=4∴(x1+x2）(x1﹣x2)+2（y1+y2)（y1﹣y2）=0．∵P(1，1）恰为线段AB的中点，∴2（x1﹣x2）+4(y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率为﹣，∴直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0．故答案为：x+2y﹣3=0．13．设P为双曲线﹣y2=1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是x2﹣4y2=1 ．【考点】双曲线的简单性质；轨迹方程．【分析】设M（x，y)，则P（2x，2y），代入双曲线方程即可得到点M的轨迹方程．【解答】解:设M（x，y）,则P(2x，2y），代入双曲线方程得x2﹣4y2=1，即为所求．∴点M的轨迹方程x2﹣4y2=1．答案:x2﹣4y2=114．已知N（2，0)，M是y2=8x上的动点，则|MN｜的最小值是 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设M（x，y），则｜MN｜==x+2，结合x≥0，可得|MN|的最小值．【解答】解：设M(x,y），则|MN|==x+2，∵x≥0，∴x+2≥2，∴｜MN|的最小值是2．故答案为：2．三、解答题(共44分）15．已知命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，命题q：1﹣m≤x＜1+m(m＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5,“p∨q”为真命题，“p∧q"为假命题，求实数x的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）由于p是q的充分条件，可得［﹣1，5］⊆［1﹣m，1+m），解出即可；（2）由于“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得命题p,q为一真一假．即可即可．【解答】解:(1）由命题p：（x+1）(x﹣5）≤0,化为﹣1≤x≤5．命题q:1﹣m≤x＜1+m（m＞0）．∵p是q的充分条件,∴［﹣1，5]⊆［1﹣m，1+m）,∴，解得m＞4．则实数m的取值范围为（4，+∞）．（2)∵m=5，∴命题q：﹣4≤x＜6．∵“p∨q"为真命题，“p∧q"为假命题,∴命题p，q为一真一假．当p真q假时，可得,解得x∈∅．当q真p假时，可得，解得﹣4≤x＜﹣1或5＜x＜6．因此x的取值范围是[﹣4，﹣1)∪（5,6)．16．已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣2,0)、F2（2，0），长轴长为6，(1）求椭圆C的标准方程；（2)已知过点(0,2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由，长轴长为6，能得到椭圆方程．（2）设，由椭圆方程为，直线AB的方程为y=x+2得10x2+36x+27=0，由此能得到线段AB的长度．【解答】解：（1)由，长轴长为6得：所以b=1∴椭圆方程为…(2)设，由(1）可知椭圆方程为①，∵直线AB的方程为y=x+2②…把②代入①得化简并整理得10x2+36x+27=0∴…又…17．已知椭圆C:=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．(Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ)设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0,1）,且｜PA|=|PB|，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ)由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为+=1．(Ⅱ)由得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0解得．设A(x1，y1)，B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（,）,因为｜PA｜=|PB｜，所以PE⊥AB，即k PE•k AB=﹣1，所以•k=﹣1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．18．如图，设抛物线C：y2=2px(p＞0）的焦点为F，准线为l，过准线l上一点M（﹣1，0）且斜率为k的直线l1交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P,直线PF交抛物线C于D,E两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程及k的取值范围；（Ⅱ）是否存在k值，使点P是线段DE的中点？若存在，求出k 值,若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】(Ⅰ)由已知得﹣=﹣1，由此能求出抛物线方程．设l1的方程为y=k(x+1），A（x1，y1），B(x2，y2)，D（x3,y3），E(x4，y4)，由，得ky2﹣4y+4k=0，由此利用根的判别式能求出k的取值范围．（Ⅱ）不存在k值，使点P是线段DE的中点．由（Ⅰ)得ky2﹣4y+4k=0，直线PF的方程为y=，由，得ky2﹣4（1﹣k2)y ﹣4k=0，由此能推导出不存在k值，使点P是线段DE的中点．【解答】(本小题满分12分）解：（Ⅰ)由已知得﹣=﹣1，∴p=2．∴抛物线方程为y2=4x．…设l1的方程为y=k（x+1），A(x1，y1),B（x2,y2)，D（x3,y3）,E(x4,y4），由，得ky2﹣4y+4k=0．…△=16﹣16k2＞0，解得﹣1＜k＜1，注意到k=0不符合题意，∴k∈（﹣1，0）∪（0,1）．…(Ⅱ）不存在k值，使点P是线段DE的中点．理由如下：…由（Ⅰ）得ky2﹣4y+4k=0，∴y1+y2=，∴=，P（)，直线PF的方程为y=．…由，得ky2﹣4（1﹣k2)y﹣4k=0,．…当点P为线段DE的中点时，有，即，∵k≠0，∴此方程无实数根．∴不存在k值，使点P是线段DE的中点．…2017年2月11日。

甘肃省天水市第三中学2016-2017学年高二上学期入学考试物理试题一、单项选择题1. 决定平抛物体落地点与抛出点间水平距离的因素是（ ）A. 初速度B. 抛出时物体的高度C. 抛出时物体的高度和初速度D. 以上说法都不正确2. 质量为20kg m =的物体，在大小恒定的水平外力F 的作用下，沿粗糙水平面做直线运动.02s ～内F 与运动方向相反，24s ～内F 与运动方向相同，物体的v t -图象如图，g 取210m/s ，则( )A. 拉力F 的大小为100NB. 物体在4s 时拉力的瞬时功率为120WC. 4s 内拉力所做的功为-480JD. 4s 内物体克服摩擦力做的功为480J3. 甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2 ，转动半径之比为1∶2 ，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为A. 1∶4B. 4∶9C. 2∶3D. 9∶164. 一辆质量为5t 的汽车，通过拱桥的最高点时对拱桥的压力为4.5×104N ，桥的半径为16m ，则汽车通过最高点时的速度为（ ）A. 16m/sB. 17.4m/sC. 12.6m/sD. 4m/s5. 已知地球半径为R ，质量为M ，万有引力常量为G ．一位质量为m 的探险家乘坐热气球到达离地面h 高处，他受到地球的万有引力大小为 ( ) A. 2Mm G R B. ()2MmG R h + C. 2Mm G h D. 22Mm G R h + 6. 重为500N 的物体放在水平地面上，与地面的滑动摩擦因数为0.2μ=，在大小为F =500N ，方向与水平面成α=37°斜向上的拉力作用下前进l =10m ，（sin37°=0.6, cos37°=0.8）在此过程中力F 做功为（ ）A. 3000JB. 3600JC. 4000JD. 5000J7. 一带电粒子在如图所示的点电荷形成的电场中，在电场力作用下沿虚线所示轨迹从A点运动到B点，电荷的加速度、动能、电势能的变化情况是A. 加速度增大，动能、电势能都增加B. 加速度增大，动能增加，电势能减少C. 加速度减小，动能、电势能都减少D. 加速度增大，动能减少，电势能增加8. 关于摩擦力做功，下列说法正确的是( )A. 滑动摩擦力总是对物体做负功，静摩擦力总是对物体不做功B. 滑动摩擦力对物体可以做正功，静摩擦力总是对物体不做功C. 滑动摩擦力对物体可以不做功，静摩擦力对物体可以不做功D. 滑动摩擦力总是对物体做负功，静摩擦力对物体可以做正功9. 足球比赛中踢点球时，足球距球门14.00m，球正对球门踢出后恰好沿水平方向从横梁的下沿擦进球门，已知球门高度约2.45 m，足球质量约400 g，不计空气阻力，则该球员此次踢球过程中对足球做的功约为(g 取10 m/s2)( )A. 30 JB. 60 JC. 90 JD. 120 J10. 如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道I，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则（）A. 该卫星的发射速度必定大于11. 2 km/sB. 卫星在同步轨道II上的运行速度大于7. 9 km/sC. 在轨道I上，卫星在P点的速度小于在Q点的速度D. 卫星在Q点通过加速实现由轨道I进入轨道II 11. 如下图所示，AB是电场中的一条电场线，若将一负电荷从A点由静止释放，负电荷沿电场线从A到B 运动过程中速度时间图线如图Ⅱ所示，不计重力，则下列判断正确的是（）A. φA＞φB，E A＞E BB. φA＞φB，E A＜E BC. φA＜φB，E A＞E BD.φA＜φB， E A＜E B12. 如图所示为汽车的加速度和车速倒数的关系图像．若汽车质量为2×103 kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30 m/s，则( )A. 汽车所受阻力为6×103 NB. 汽车在车速15 m/s时，功率为6×104WC. 汽车匀加速的加速度为4m/s2D. 汽车匀加速所需时间为10 s二、多项选择题13. (多选)原来静止的点电荷在只受静电力作用时( )A. 一定从场强大的地方向场强小的地方运动B. 一定从电势高的地方向电势低的地方运动C. 一定从电势能大的地方向电势能小的地方运动D. 静电力一定做正功14. 在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始运动，其沿x轴和y 轴方向运动的速度—时间图象如图甲、乙所示，则 ( )A. 前2 s 内物体沿x 轴做匀加速直线运动B. 后2 s 内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y 轴方向C. 4 s 末物体坐标为(6 m,2 m)D. 4 s 末物体坐标为(4 m,4 m)15. 如图所示，虚线a 、b 、c 是电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相同，实线为个带电的质点在仅受电场力作用下，通过该区域的运动轨迹，P 、Q 是轨迹上的两点．下列说法中正确的是A. 带电质点通过P 点时的动能比通过Q 点时小B. 带电质点一定是从P 点向Q 点运动C. 带电质点通过P 点时的加速度比通过Q 点时小D. 三个等势面中，等势面a 的电势最高16. 如图所示，在电场强度为E 、方向水平向右的匀强电场中，A 、B 为一竖直线上的两点，相距为L ，外力F 将质量为m 、带电荷量为q 的粒子从A 点匀速移到B 点，重力不能忽略，则下列说法中正确的是A. 外力的方向水平向左B. 外力可能指向右上方C. 外力的大小等于qE+mgD. 22()()qE mg 17. 如图所示，在升降机内有一固定的光滑斜面体，一轻弹簧的一端连在位于斜面体下方的固定木板A 上，另一端与质量为m 的物块B 相连，弹簧与斜面平行．升降机由静止开始加速上升高度h 的过程中( )A. 物块B 的重力势能增加量一定等于mghB. 物块B 的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的弹力对其做功的代数和C. 物块B 的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的弹力对其做功的代数和D. 物块B 和弹簧组成系统的机械能的增加量等于斜面对物块B 的支持力和A 对弹簧的弹力做功的代数和三、计算题18. 将一个小球以105m/s 的速度沿水平方向抛出，小球经过2 s 的时间落地．不计空气阻力作用．（重力加速度210m/s g ）求： （1）抛出点与落地点在竖直方向的高度差；（2）小球落地时的速度大小．19. 已知某星球的质量是地球质量的81倍，半径是地球半径的9倍。

天水市三中2018届高二级第二学期开学考试化学试题可能用到的相对原子质量：H:1 O:16 Mg:24 Cu:64 Ag:108一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，本题包括12个小题，每小题5分，共60分）1．下列对化学反应的认识，不正确的是（）A．化学反应必然引起物质状态的变化 B．化学反应会引起化学键的变化C．化学反应必然伴随着能量的变化 D．化学反应会产生新的物质2．反应A+B→C（△H＜0）分两步进行：①A+B→X（△H＞0），②X→C（△H＜0），下列示意图中，能正确表示总反应过程中能量变化的是（）A B C D3．下列热化学方程式中的反应热能表示燃烧热的是（）A．NH3(g)+O2(g)=NO(g)+H2O(g) ΔH=-akJ·mol-1B．C6H12O6(s)+6O2(g)=6CO2(g)+6H2O(l) ΔH=-bkJ·mol-1C．2CO(g)+O2(g)=2CO2(g) ΔH=-ckJ·mol-1D．CH3CH2OH(l)+1/2O2(g)=CH3CHO(l)+H2O(l) ΔH=-dkJ·mol-14．下列说法中正确的是（）A．非自发反应在任何条件下都不能实现B．自发反应一定是熵增大，非自发反应一定是熵减小或不变C．凡是放热反应都是自发的，吸热反应都是非自发的D．熵增加且放热的反应一定是自发反应5．在密闭容器中，一定条件下进行如下反应：NO(g)+CO(g)1/2N2(g)+CO2(g) △H=-373.2kJ/mol，达到平衡后，为了提高NO的转化率和该反应的反应速率，可采取的措施是（）A．加催化剂同时升高温度 B．加催化剂同时增大压强C．升高温度同时充入N2 D．降低温度同时增大压强6．在容积固定的密闭容器中存在如下反应：A(g)+3B(g)2C(g) ΔH＜0，某研究小组研究其他条件不变时，改变某一条件对上述反应的影响，并根据实验数据作出下列关系图：下列判断正确的是（ ）A ．图I 研究的是温度对反应的影响，且乙的温度较高B ．图Ⅱ研究的是压强对反应的影响，且甲的压强较高C ．图III 研究的是温度对反应的影响，且乙的温度较低D ．图IV 研究的是不同催化剂对反应的影响，且甲使用的催化剂效率较低 7．在0.lmol/L 的CH 3COOH 溶液中存在如下电离平衡：CH 3COOH CH 3COO －＋H ＋，对于该平衡，下列叙述正确的是（ ）A ．加入少量N aOH 固体，平衡向正向移动，溶液中c(H +)增大 B ．加水，平衡向正向移动， c(CH 3COOH)/ c(CH 3COO －)增大 C ．通入少量 HCl ，平衡逆向移动，溶液中c （H +）减少D ．加入少量CH 3COONa 固体，平衡向逆向移动，溶液导电能力增强 8．在Na 2S 溶液中存在的下列关系不正确的是（ ）A ．)N a (+C =2[)S (2－C +)HS (－C +)S H (2C ]B ． )N a (+C +)H (+C =)OH (－C +)HS (－C +)S (2－C C ．)OH (－C =)H (+C +)HS (－C +2)S H (2CD ．)N a (+C >)S (2－C >)OH (－C >)HS (－C9．锅炉水垢是一种安全隐患，除去水垢中的CaSO 4，可先用Na 2CO 3溶液处理，使之转化为易溶于酸的CaCO 3，而后用酸除去，下列说法不正确的是（ ）A ．CaCO 3的溶解度小于CaSO 4B ．沉淀转化的实质是沉淀溶解平衡的移动C ．沉淀转化的难易与溶解度差别的大小无关D ．CaSO 4到CaCO 3的沉淀转化中并存着两个沉淀溶解平衡10．铁镍蓄电池，放电时的总反应为：Fe+Ni 2O 3+3H 2O Fe(OH)2+2Ni(OH)2，下列有关该电池的说法不正确的是（ ）A ．电池的电解液为碱性溶液，正极为Ni 2O 3，负极为FeB ．电池放电时，负极反应为Fe+2OH ﹣﹣2e ﹣═Fe (OH)2 C ．电池充电过程中，阴极附近溶液的pH 降低D ．电池充电时，阳极反应为2Ni （OH ）2+2OH ﹣﹣2e ﹣═Ni 2O 3+3H 2O11．如右图所示，下列说法正确的是（）A．甲池通入O2的电极反应为O2 + 4e-+ 4H+═2H2OB．乙池 Ag电极增重6.4g，溶液中将转移0.2mol电子C．反应一段时间后，向乙池中加入一定量Cu(OH)2固体，能使CuSO4溶液恢复到原浓度D．甲池中消耗280 mL(标准状况下)O2，此时丙池中理论上最多产生1.45g固体12．研究电化学腐蚀及防护的装置如右图所示，下列说法错误的是（）A．d为石墨，铁片腐蚀加快B．d为石墨，石墨上电极反应为：O2 + 2H2O + 4e═ 4OH–C．d为锌块，铁片不易被腐蚀D．d为锌块，铁片上电极反应为：2H++ 2e ═ H2↑二．非选择题（本题包括4小题，每空2分，共40分）13．（10分）实验测得1 mol H2与1 mol Cl2反应生成2 mol HCl时，放出184.6 kJ的热量，其理论分析数据与实验数据略有差异，下图表示上述反应能量变化的理论分析示意图：（1）化学键断裂需要________(填“释放”或“吸收”)能量。

2016—2017学年甘肃省天水一中高二(上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分,共40分）1．如图,空间四边形OABC中,，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点,则=（）A．B．C． D．2．已知=（2，﹣1,3）,=（﹣1，4，﹣2），=(7,5,λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．B．C．D．3．已知f（x）的导函数f’（x)图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（)A．B．C．D．4．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间［0，3］上最大值与最小值分别是（）A．5,﹣15 B．5,﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣165．把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为（）A．1：2 B．1:πC．2:1 D．2:π6．若f（x）=sin（2x+）,则f′(）等于（）A．0 B．1 C．2 D．37．曲线y=在点（1,1）处的切线方程为（)A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=0 8．已知a≤+lnx对任意恒成立,则a的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知函数y=的图象如图所示（其中f′(x)是定义域为R函数f（x）的导函数），则以下说法错误的是( ）A．f′(1）=f′（﹣1)=0B．当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值C．方程xf′(x）=0与f（x)=0均有三个实数根D．当x=1时，函数f（x)取得极小值10．设函数f（x)在R上存在导函数f′（x）,对于任意的实数x，都有f(x）=4x2﹣f（﹣x)，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2,则实数m的取值范围是( ）A．[﹣,+∞）B．[﹣,+∞) C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）二、填空题（每小题4分,共16分）11．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2）,直线m的方向向量=（2,1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0,1，﹣1)，平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α;③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3),=(1，0,2），则α∥β；④平面α经过三点A（1,0，﹣1），B(0,1，0），C(﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是．(把你认为正确命题的序号都填上)12．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．13．若直线l的方向向量,平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值等于．14．如果函数f（x）=lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点,那么实数a 的范围是．三、解答题（共44分）15．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，点M是SD的中点，AN⊥SC,且交SC于点N．（Ⅰ）求证:SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：直线SC⊥平面AMN；（Ⅲ)求直线CM与平面AMN所成角的余弦值．16．已知函数f(x）=xlnx（Ⅰ）求函数f(x）的极值点;（Ⅱ）若直线l过点（0,﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l 的方程．17．已知函数f（x）=﹣alnx（a∈R）．（1）求f（x)的单调区间；（2)设g(x）=f（x）+2x，若g（x)在[1,e］上不单调且仅在x=e处取得最大值，求a的取值范围．18．已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0）,定义h(x）=max｛f（x），g(x）}=．(1）求函数f（x）的极值；（2）若g(x）=xf’（x），且存在x∈[1,2］使h（x）=f(x），求实数a的取值范围;(3)若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数．2016—2017学年甘肃省天水一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．如图，空间四边形OABC中，，点M在上,且OM=2MA,点N为BC中点，则=（)A．B．C． D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解:由题意=++=+﹣+=﹣++﹣=﹣++又=，=,=∴=﹣++故选B．2．已知=（2,﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2),=(7，5，λ）,若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．B．C．D．【考点】共线向量与共面向量．【分析】由已知中=（2,﹣1，3),=（﹣1，4,﹣2），=（7,5，λ），若、、三向量共面，我们可以用向量、作基底表示向量，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．【解答】解：∵=(2,﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2）∴与不平行，又∵、、三向量共面，则存在实数X,Y使=X+Y即解得λ=故选D3．已知f（x）的导函数f'（x）图象如图所示,那么f（x)的图象最有可能是图中的（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围,进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：x＜﹣2时，f′(x）＜0，则f（x）单减；﹣2＜x＜0时，f′（x)＞0，则f(x）单增;x＞0时,f′(x）＜0,则f（x)单减．则符合上述条件的只有选项A．故选A．4．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4,﹣15 D．5，﹣16【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间［0，3］上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间[0，3]上最大值与最小值位置,求值即可【解答】解:由题意y'=6x2﹣6x﹣12令y’＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在(2，3）上增又y（0）=5，y（2)=﹣15，y(3)=﹣4故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是5,﹣15故选A5．把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱，当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为（)A．1：2 B．1:πC．2：1 D．2：π【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆柱高为x，即长方形的宽为x，则圆柱底面周长即长方形的长为6﹣x，圆柱底面半径：R=,圆柱的体积V,利用导数法分析出函数取最大值时的x值，进而可得答案．【解答】解：设圆柱高为x，即长方形的宽为x,则圆柱底面周长即长方形的长为=6﹣x，∴圆柱底面半径：R=∴圆柱的体积V=πR2h=π（）2x=，∴V′==,当x＜2或x＞6时,V′＞0,函数单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，函数单调递减；当x＞6时，函数无实际意义∴x=2时体积最大此时底面周长=6﹣2=4，该圆柱底面周长与高的比：4：2=2：1故选：C．6．若f（x)=sin（2x+），则f′()等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】导数的运算．【分析】根据y=sinx的导数计算公式和复合函数的导数的计算即可求出f′（x）,进而便可得出的值．【解答】解：;∴．故选:A．7．曲线y=在点（1,1）处的切线方程为（)A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导数,求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：y=的对数为y′==﹣，可得在点（1，1)处的切线斜率为﹣1，则所求切线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即为x+y﹣2=0．故选:B．8．已知a≤+lnx对任意恒成立,则a的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数恒成立问题．【分析】构造函数令f（x）=+lnx,利用导函数判断函数的单调性，利用单调性求出其最小值即可．【解答】解：令f(x）=+lnx,∴f'(x）=（1﹣),当x∈[，1）时，f'(x)＜0，f（x）递减；当x∈[1,2］时，f'（x）＞0，f（x）递增；∴f（x）≥f（1）=0；∴a≤0．故选A．9．已知函数y=的图象如图所示（其中f′（x）是定义域为R 函数f(x）的导函数），则以下说法错误的是（）A．f′（1)=f′（﹣1）=0B．当x=﹣1时，函数f(x）取得极大值C．方程xf′（x)=0与f（x）=0均有三个实数根D．当x=1时,函数f(x)取得极小值【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象；导数的运算．【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，分别进行判断即可．【解答】解：A．由图象可知x=1或﹣1时，f′(1)=f′（﹣1）=0成立．B．当x＜﹣1时，＜0，此时f′（x)＞0，当﹣1＜x＜0时,＞0，此时f′（x)＜0，故当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值,成立．C．方程xf′(x）=0等价为，故xf′(x）=0有两个，故C 错误．D．当0＜x＜1时，＜0，此时f′（x）＜0，当x＞1时，＞0，此时f′（x）＞0，故当x=1时，函数f（x）取得极小值,成立．故选:C10．设函数f(x）在R上存在导函数f′（x）,对于任意的实数x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），当x∈(﹣∞，0）时,f′(x）+＜4x,若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．［﹣,+∞）C．[﹣1，+∞）D．［﹣2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用构造法设g（x）=f（x）﹣2x2，推出g(x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．【解答】解:∵f（x）=4x2﹣f(﹣x）,∴f（x)﹣2x2+f（﹣x）﹣2x2=0，设g(x)=f(x)﹣2x2，则g(x)+g（﹣x）=0,∴函数g（x）为奇函数．∵x∈(﹣∞，0）时，f′(x）+＜4x，g′（x）=f′（x)﹣4x＜﹣，故函数g(x）在(﹣∞，0)上是减函数，故函数g(x）在（0，+∞)上也是减函数，若f(m+1)≤f（﹣m）+4m+2，则f（m+1)﹣2（m+1）2≤f（﹣m）﹣2m2，即g（m+1）＜g（﹣m），∴m+1≥﹣m，解得：m≥﹣，故选：A．二、填空题（每小题4分，共16分）11．给出下列命题：①直线l的方向向量为=(1，﹣1,2）,直线m的方向向量=(2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1)，平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1)，则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0,1，3）,=（1,0，2),则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1)，B(0，1,0），C(﹣1，2，0），向量=(1，u，t)是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上)【考点】平面的法向量．【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β;④求出向量与的坐标表示,再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．【解答】解：对于①，∵=(1，﹣1,2），=（2，1,﹣），∴•=1×2﹣1×1+2×(﹣)=0,∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②,=（0,1，﹣1)，=（1，﹣1,﹣1),∴•=0×1+1×(﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥,∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵=（0，1，3），=（1,0,2），∴与不共线，∴α∥β不成立,③错误；对于④，∵点A（1，0,﹣1)，B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1,u，t)是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．综上,以上真命题的序号是①④．故答案为:①④．12．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解:先根据题意画出图形，得到积分上限为1,积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为：．13．若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值等于．【考点】直线与平面所成的角．【分析】利用向量的夹角公式，即可求出直线l与平面α所成角的正弦值．【解答】解:∵直线l的方向向量，平面α的一个法向量，∴直线l与平面α所成的角的正弦值=｜|=．故答案为．14．如果函数f（x）=lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点，那么实数a 的范围是．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，利用导函数有两个极值点，列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x)=lnx+ax2﹣2x,函数的定义域：x＞0，可得：f′(x）=+2ax﹣2=，函数f(x)=lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点，可得：2ax2﹣2x+1=0，有两个不相等的正实数根,可得a＞0，并且△=4﹣8a＞0，解得a∈（0，）．故答案为：（0，）．三、解答题（共44分)15．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2,点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证:SB∥平面ACM；(Ⅱ）求证:直线SC⊥平面AMN；(Ⅲ）求直线CM与平面AMN所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结BD交AC于E,连结ME，由已知得ME∥SB，由此能证明SB∥平面ACM．（Ⅱ)由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，从而AM⊥DC，又AM⊥SD．从而AM⊥平面SDC，由此能证明SC⊥平面AMN．（Ⅲ)由已知推导出∠CMN为所求的直线CM与面AMN所成的角，由此能求出直线CM与平面AMN所成角的余弦值．【解答】(Ⅰ）证明:连结BD交AC于E，连结ME．∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．∵M是SD的中点,∴ME是△DSB的中位线．∴ME∥SB．又∵ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM,∴SB∥平面ACM．（Ⅱ)证明:由条件有DC⊥SA,DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA=AD，M是SD的中点,∴AM⊥SD．∴AM⊥平面SDC．∴SC⊥AM．由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．（Ⅲ)解:由（Ⅱ)知CN⊥面AMN，则直线CM在面AMN内的射影为NM，∴∠CMN为所求的直线CM与面AMN所成的角．又SA=AB=2，∴在Rt△CDM中∴又由△SNM∽△SDC可得∴．∴∴直线CM与平面AMN所成角的余弦值为16．已知函数f（x）=xlnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值点;（Ⅱ）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x)相切,求直线l 的方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由原函数的解析式，我们易求出函数的导函数，进而根据导函数的零点对函数的定义域进行分段讨论后，即可得到答案．(Ⅱ)由f'（x)=lnx+1，知f（x)=xlnx在（x0，x0lnx0）处的切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1)（x﹣x0），由切线l过点（0,﹣1），解得x0=1，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）f’（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）又∵当f’(x）=lnx+1=0,得x=，如下表∴f(x）在(0,）上单调递减，在(，+∞）上单调递增，在x=处取得极小值，且极小值为f(）=﹣．（Ⅱ）∵f'（x)=lnx+1，∴f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）处的切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），∵切线l过点（0，﹣1），∴﹣1﹣x0lnx0=（lnx0+1)(﹣x0），解得x0=1,∴直线l的方程为：y=x﹣1．17．已知函数f（x）=﹣alnx（a∈R）．（1）求f（x)的单调区间;（2）设g（x）=f（x)+2x,若g(x）在［1，e]上不单调且仅在x=e处取得最大值，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）可求得f′(x）=（x＞0)，对参数a分a≤0与a ＞0讨论，即可得到f′(x）的符号，从而可求得f（x）的单调区间;（Ⅱ）可求得g′(x）=（x＞0)，设h(x)=x2+2x﹣a（x＞0），利用g(x）在[1，e]上不单调，可得h（1）h（e）＜0,从而可求得3＜a＜e2+2e，再利用条件g（x)仅在x=e处取得最大值，可求得g（e）＞g（1）,两者联立即可求得a的范围．【解答】解：(Ⅰ)f′（x）=x﹣=（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a≤0，则f′（x）≥0，所以此时只有递增区间(0，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＞0，当f′（x）＞0时，得x＞,当f′（x）＜0时，得0＜x ＜，所以此时递增区间为:(,+∞），递减区间为：（0，）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）g′（x）=x﹣+2=（x＞0）,设h（x）=x2+2x﹣a（x ＞0)若g（x）在［1，e］上不单调，则h（1）h（e)＜0，∴（3﹣a）（e2+2e﹣a)＜0∴3＜a＜e2+2e，同时g（x）仅在x=e处取得最大值，∴只要g(e）＞g（1）即可得出：a＜+2e﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴a的范围：（3，+2e﹣）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x)=max{f（x），g（x)｝=．（1）求函数f(x）的极值；(2）若g(x)=xf'(x)，且存在x∈［1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围；（3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x)（x＞0）的零点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为不等式在x∈[1，2］上有解，根据函数的单调性求出a的范围即可;（3）通过讨论a的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．【解答】解：（1)∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1,∴f'(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2)…令f’(x)=0，得x1=0或，∵a＞0，∴x1＜x2,列表如下：x（﹣∞，0）f'（x)+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为…（2）g（x）=xf’（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x∈［1，2]使h（x）=f （x),∴f(x）≥g（x）在x∈［1，2］上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈［1，2］上有解,即不等式在x∈［1，2]上有解，…设，∵对x∈［1，2］恒成立，∴在x∈［1，2］上单调递减，∴当x=1时，的最大值为4，∴2a≤4，即a≤2…（3）由（1）知，f（x）在（0，+∞)上的最小值为,①当，即a＞2时,f（x）＞0在（0,+∞）上恒成立，∴h(x）=max｛f（x），g（x）｝在（0，+∞)上无零点…②当，即a=2时,f（x）min=f（1）=0,又g（1)=0,∴h(x）=max{f（x）,g(x)｝在（0，+∞）上有一个零点…③当，即0＜a＜2时，设φ（x）=f(x）﹣g(x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1），∵,∴φ(x)在（0，1）上单调递减，又，∴存在唯一的，使得φ（x0)=0．Ⅰ．当0＜x≤x0时，∵φ（x）=f（x)﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h(x）=f（x）且h（x）为减函数，又h(x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0＜ln1=0,f（0）=1＞0，∴h（x）在（0，x0）上有一个零点；Ⅱ．当x＞x0时，∵φ(x)=f（x)﹣g(x）＜φ（x0）=0，∴h（x）=g（x）且h（x）为增函数,∵g（1）=0，∴h（x）在(x0,+∞）上有一个零点；从而h（x）=max｛f（x），g（x）｝在（0,+∞）上有两个零点…综上所述，当0＜a＜2时，h(x）有两个零点；当a=2时,h（x）有一个零点；当a＞2时，h(x）有无零点…2017年2月19日。

2016-2017学年甘肃省天水一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（）A．B．C．D．2．（4分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．B．C．D．3．（4分）已知f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（）A．B．C．D．4．（4分）函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15B．5，﹣4C．﹣4，﹣15D．5，﹣16 5．（4分）把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为（）A．1：2B．1：πC．2：1D．2：π6．（4分）若f（x）=sin（2x+），则f′（）等于（）A．0B．1C．2D．37．（4分）曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y﹣5=0 8．（4分）已知a≤+lnx对任意恒成立，则a的最大值为（）A．0B．1C．2D．39．（4分）已知函数y=的图象如图所示（其中f′（x）是定义域为R函数f（x）的导函数），则以下说法错误的是（）A．f′（1）=f′（﹣1）=0B．当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值C．方程xf′（x）=0与f（x）=0均有三个实数根D．当x=1时，函数f（x）取得极小值10．（4分）设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，都有f （x）=4x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜4x，若f（m+1）≤f （﹣m）+4m+2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）二、填空题（每小题4分，共16分）11．（4分）给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）12．（4分）曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．13．（4分）若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值等于．14．（4分）如果函数f（x）=lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点，那么实数a的范围是．三、解答题（共44分）15．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：直线SC⊥平面AMN；（Ⅲ）求直线CM与平面AMN所成角的余弦值．16．（10分）已知函数f（x）=xlnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．17．（10分）已知函数f（x）=﹣alnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，e]上不单调且仅在x=e处取得最大值，求a的取值范围．18．（12分）已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g （x）}=．（1）求函数f（x）的极值；（2）若g（x）=xf'（x），且存在x0∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围；（3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数．2016-2017学年甘肃省天水一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意=++=+﹣+=﹣++﹣=﹣++又=，=，=∴=﹣++故选：B．2．（4分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2）∴与不平行，又∵、、三向量共面，则存在实数X，Y使=X+Y即解得λ=故选：D．3．（4分）已知f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知函数在x＜0，x＞2时，导函数f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（0，2）时，导函数f′（x）＞0，函数是增函数，函数的图象如图D．故选：D．4．（4分）函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15B．5，﹣4C．﹣4，﹣15D．5，﹣16【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是5，﹣15故选：A．5．（4分）把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为（）A．1：2B．1：πC．2：1D．2：π【解答】解：设圆柱高为x，即长方形的宽为x，则圆柱底面周长即长方形的长为=6﹣x，∴圆柱底面半径：R=∴圆柱的体积V=πR2h=π（）2x=，∴V′==，当x＜2或x＞6时，V′＞0，函数单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，函数单调递减；当x＞6时，函数无实际意义∴x=2时体积最大此时底面周长=6﹣2=4，该圆柱底面周长与高的比：4：2=2：1故选：C．6．（4分）若f（x）=sin（2x+），则f′（）等于（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：；∴．故选：A．7．（4分）曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y﹣5=0【解答】解：y=的导数为y′==﹣，可得在点（1，1）处的切线斜率为﹣1，则所求切线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即为x+y﹣2=0．故选：B．8．（4分）已知a≤+lnx对任意恒成立，则a的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：令f（x）=+lnx，∴f'（x）=（1﹣），当x∈[，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）递增；∴f（x）≥f（1）=0；∴a≤0．故选：A．9．（4分）已知函数y=的图象如图所示（其中f′（x）是定义域为R函数f（x）的导函数），则以下说法错误的是（）A．f′（1）=f′（﹣1）=0B．当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值C．方程xf′（x）=0与f（x）=0均有三个实数根D．当x=1时，函数f（x）取得极小值【解答】解：A．由图象可知x=1或﹣1时，f′（1）=f′（﹣1）=0成立．B．当x＜﹣1时，＜0，此时f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，＞0，此时f′（x）＜0，故当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，成立．C．方程xf′（x）=0等价为，故xf′（x）=0有两个，故C错误．D．当0＜x＜1时，＜0，此时f′（x）＜0，当x＞1时，＞0，此时f′（x）＞0，故当x=1时，函数f（x）取得极小值，成立．故选：C．10．（4分）设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，都有f （x）=4x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜4x，若f（m+1）≤f （﹣m）+4m+2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）【解答】解：∵f（x）=4x2﹣f（﹣x），∴f（x）﹣2x2+f（﹣x）﹣2x2=0，设g（x）=f（x）﹣2x2，则g（x）+g（﹣x）=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜4x，g′（x）=f′（x）﹣4x＜﹣，故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，则f（m+1）﹣2（m+1）2≤f（﹣m）﹣2m2，即g（m+1）＜g（﹣m），∴m+1≥﹣m，解得：m≥﹣，故选：A．二、填空题（每小题4分，共16分）11．（4分）给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴•=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴•=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．12．（4分）曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为：．13．（4分）若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值等于．【解答】解：∵直线l的方向向量，平面α的一个法向量，∴直线l与平面α所成的角的正弦值=||=．故答案为．14．（4分）如果函数f（x）=lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点，那么实数a的范围是．【解答】解：函数f（x）=lnx+ax2﹣2x，函数的定义域：x＞0，可得：f′（x）=+2ax﹣2=，函数f（x）=lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点，可得：2ax2﹣2x+1=0，有两个不相等的正实数根，可得a＞0，并且△=4﹣8a＞0，解得a∈（0，）．故答案为：（0，）．三、解答题（共44分）15．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：直线SC⊥平面AMN；（Ⅲ）求直线CM与平面AMN所成角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME．∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．∴ME∥SB．又∵ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，∴SB∥平面ACM．（Ⅱ）证明：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．∴AM⊥平面SDC．∴SC⊥AM．由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知CN⊥面AMN，则直线CM在面AMN内的射影为NM，∴∠CMN为所求的直线CM与面AMN所成的角．又SA=AB=2，∴在Rt△CDM中∴又由△SNM∽△SDC可得∴．∴∴直线CM与平面AMN所成角的余弦值为16．（10分）已知函数f（x）=xlnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）又∵当f'（x）=lnx+1=0，得x=，如下表∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，在x=处取得极小值，且极小值为f（）=﹣．（Ⅱ）∵f'（x）=lnx+1，∴f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）处的切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），∵切线l过点（0，﹣1），∴﹣1﹣x0lnx0=（lnx0+1）（﹣x0），解得x0=1，∴直线l的方程为：y=x﹣1．17．（10分）已知函数f（x）=﹣alnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，e]上不单调且仅在x=e处取得最大值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣=（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）若a≤0，则f′（x）≥0，所以此时只有递增区间（0，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）若a＞0，当f′（x）＞0时，得x＞，当f′（x）＜0时，得0＜x＜，所以此时递增区间为：（，+∞），递减区间为：（0，）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）g′（x）=x﹣+2=（x＞0），设h（x）=x2+2x﹣a（x＞0）若g（x）在[1，e]上不单调，则h（1）h（e）＜0，∴（3﹣a）（e2+2e﹣a）＜0∴3＜a＜e2+2e，同时g（x）仅在x=e处取得最大值，∴只要g（e）＞g（1）即可得出：a＜+2e﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴a的范围：（3，+2e ﹣）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）18．（12分）已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g （x）}=．（1）求函数f（x）的极值；（2）若g（x）=xf'（x），且存在x0∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围；（3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）…（1分）令f'（x）=0，得x1=0或，∵a＞0，∴x1＜x2，列表如下：∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为…（3分）（2）g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x0∈[1，2]使h（x）=f（x），∴f（x）≥g（x）在x0∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x0∈[1，2]上有解，即不等式在x0∈[1，2]上有解，…（4分）设，∵对x0∈[1，2]恒成立，∴在x0∈[1，2]上单调递减，∴当x=1时，的最大值为4，∴2a≤4，即a≤2…（7分）（3）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值为，①当，即a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上无零点…（8分）②当，即a=2时，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一个零点…（9分）③当，即0＜a＜2时，设φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1），∵，∴φ（x）在（0，1）上单调递减，又，∴存在唯一的，使得φ（x0）=0．Ⅰ．当0＜x≤x0时，∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h（x）=f（x）且h（x）为减函数，又h（x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0＜ln1=0，f（0）=1＞0，∴h（x）在（0，x0）上有一个零点；Ⅱ．当x＞x0时，∵φ（x）=f（x）﹣g（x）＜φ（x0）=0，∴h（x）=g（x）且h（x）为增函数，∵g（1）=0，∴h（x）在（x0，+∞）上有一个零点；从而h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有两个零点…（15分）综上所述，当0＜a＜2时，h（x）有两个零点；当a=2时，h（x）有一个零点；当a＞2时，h（x）有无零点…（16分）。

2016-2017学年甘肃省天水三中高二（上）入学数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．（4分）若点（sinα，sin2α）位于第四象限，则角α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）已知α是第四象限角，，则sinα＝（）A．B．C．D．3．（4分）把函数y＝sin x（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R4．（4分）计算sin43°cos13°+sin47°cos103°的结果等于（）A．B．C．D．5．（4分）已知＝（1，﹣1），＝（1，2），满足（+）⊥，（﹣）∥，则＝（）A．（2，1）B．（1，0）C．（）D．（0，﹣1）6．（4分）已知向量＝（1，2），•＝5，|﹣|＝2，则||等于（）A．B．C．5D．257．（4分）定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[﹣，0）时，f（x）＝sin x，则f（﹣）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．8．（4分）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）A．B．C．D．9．（4分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，0B．2，C．2，﹣D．2，10．（4分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．11．（4分）平行四边形ABCD的三个顶点的坐标是A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（3，4），求顶点D的坐标．12．（4分）在△OAB中，M是AB的中点，N是OM的中点，若OM＝2，则•（+）＝．13．（4分）﹣的值是．14．（4分）下面有五个命题：①函数y＝sin4x﹣cos4x的最小正周期是π②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}③在同一坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有三个公共点④把函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移得到y＝3sin2x的图象⑤函数y＝sin（x﹣）在[0，π]上是减函数其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共5小题，共44分，其中15.16.17题各8分，其余各题10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（8分）已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．16．（8分）已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）求|+|和|﹣|．17．（8分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：（Ⅰ）补全频率分布直方图；（Ⅱ）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．18．（10分）已知函数，且⊥，又知函数f（x）的周期为π．（1）求f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．19．（10分）已知函数f（x）＝•，其中＝（2cos x，﹣sin2x），＝（cos x，1），x∈R （Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）＝﹣1，a＝，且向量＝（3，sin B）与向量＝（2，sin C）共线，求△ABC的面积．2016-2017学年甘肃省天水三中高二（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．【解答】解：∵点（sinα，sin2α）位于第四象限，∴sinα＞0，sin2α＜0，即2sinαcosα＜0，即sinα＞0，cosα＜0，∴α是第二象限，故选：B．2．【解答】解：∵，∴∴∵sin2α+cos2α＝1，α是第四象限角，∴sinα＝故选：D．3．【解答】解：由y＝sin x的图象向左平行移动个单位得到y＝sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin（2x+）故选：C．4．【解答】解：sin43°cos13°+sin47°cos103°＝sin43°cos13°+sin（90°﹣43°）cos（90°+13°）＝sin43°cos13°﹣cos43°sin13°＝sin（43°﹣13°）＝sin30°＝．故选：A．5．【解答】解：∵向量＝（1，﹣1），＝（1，2），设向量的坐标是（x，y）∵向量满足（）⊥，（）∥，∴（）•＝0，（）＝λ，＝（x+1，y+2）＝（x﹣1，y+1）∴x+1﹣y﹣2＝02（x﹣1）﹣y﹣1＝0∴x＝2，y＝1，故选：A．6．【解答】解：∵＝（1，2），•＝5，|﹣|＝2∴＝＝5﹣10+＝20，∴＝25，∴|b|＝5，故选：C．7．【解答】解：∵函数f（x）既是奇函数又是周期函数，且f（x）的最小正周期为π，∴f（﹣）＝f（﹣）＝f（）＝﹣f（﹣），又∵当x∈[﹣，0）时，f（x）＝sin x．f（﹣）＝﹣，∴f（﹣）＝，故选：D．8．【解答】解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴＝（+）∵＝﹣，∴＝（﹣﹣）＝﹣+故选：A．9．【解答】解：由函数的图象可知：＝＝，T＝π，所以ω＝2，A＝1，函数的图象经过（），所以1＝sin（2×+φ），因为|φ|＜，所以φ＝．故选：D．10．【解答】解：若对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2×+φ＝kπ+，k∈Z则φ＝kπ+，k∈Z又即sinφ＜0令k＝﹣1，此时φ＝，满足条件令2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z解得x∈故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．11．【解答】解：设顶点D的坐标为（x，y），则由题意可得＝，即（﹣1，﹣2）＝（x﹣3，y﹣4），故，解得，故D的坐标为（2，2）12．【解答】解：如图所示：延长NM到点C，使得MC＝NM．连接AC、BC．根据向量的几何运算法则，可得+＝＝，而＝﹣，所以•（+）＝﹣||2＝﹣2，故答案为﹣2．13．【解答】解：﹣＝＝＝＝4．故答案为：4．14．【解答】解：①y＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，它的最小正周期为π，正确；②k是偶数时，α的终边落在x轴上，所以错误；③可以借助单位圆证明当x∈（0，）时，sin x＜x＜tan x，故y＝sin x，y＝tan x和y＝x在第一象限无交点，错误；④把函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移到y＝3sin2x的图象，这是正确的；⑤函数y＝sin（x﹣）＝﹣cos x在[0，π]上是增函数，故不正确．所以真命题的编号是①④．故答案为：①④．三、解答题：本大题共5小题，共44分，其中15.16.17题各8分，其余各题10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．【解答】解：＝＝．当α为第二象限角，且sinα＝时，sinα+cosα≠0，cosα＝﹣＝﹣，所以＝＝﹣．16．【解答】解：（1）由（2﹣3）•（2+）＝61，得4||2﹣4•﹣3||2＝61；又||＝4，||＝3，代入上式求得•＝﹣6，∴cosθ＝＝＝﹣，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°；（2）|+|2＝（+）2＝||2+2•+||2＝42+2×（﹣6）+32＝13，∴|+|＝；同理，|﹣|＝＝．17．【解答】解：（Ⅰ）分数在[120，130）内的频率1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）＝1﹣0.7＝0.3，因此补充的长方形的高为0.03，补全频率分布直方图为：…..（4分）（Ⅱ）估计平均分为…..（8分）（Ⅲ）由题意，[110，120）分数段的人数与[120，130）分数段的人数之比为1：2，用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件共有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共15个．事件A包含的基本事件有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）}共9个．∴P（A）＝＝．…..（12分）18．【解答】解：（1）∵⊥，∴•＝0…（1分）∴•＝cosφ﹣sinφ＝…（3分）∴φ+，即．又∵|φ|＜，∴φ＝．…（5分）∵函数f（x）的周期T＝π，即＝π，ω＝2．∴解析式为…（6分）（2）由题意知，函数f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象∴…（8分）∴g（x）的单调递增区间为2kπ﹣解得kπ﹣，…（10分）∴g（x）的单调递增区间为…（12分）19．【解答】解：（Ⅰ）＝，令，解得：．∴函数y＝f（x）的单调递减区间为；（Ⅱ）∵f（A）＝﹣1，∴，即．∴．∴．又∵0＜A＜π，∴．∵，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝7 ①∵向量与共线，∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c②由①②得b＝3，c＝2．∴．第11页（共11页）。

2016—2017学年甘肃省天水一中高二（上)第二次段考数学试卷（兰天班)一、选择题（每小题4分,共40分）1．已知条件p：x＞y,条件q：＞，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．23．过抛物线y2=4x的焦点作两条垂直的弦AB，CD，则+=（）A．2 B．4 C． D．4．下列命题错误的个数（）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B"的逆命题是真命题；②命题p:x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0"的否命题是“若a2+b2≠0，则a，b都不是0"．A．0 B．1 C．2 D．35．已知A，B为双曲线E的左,右顶点，点M在E上,△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（)A．B．2 C．D．6．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点,且AB的中点为N（﹣12，﹣15）,则E的方程式为( )A．B．C．D．7．在椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=,则该椭圆离心率取值范围是（)A．(,1）B．(,1）C．（)D．（）8．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+(y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( ）A．B．C．D．9．设F为抛物线y2=16x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（）A．36 B．24 C．16 D．1210．设F1、F2是双曲线x2﹣=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）•=0（O为坐标原点）且且|PF1|=λ|PF2|，则λ的值为( ）A．2 B． C．3 D．二、填空题（每小题4分，共16分）11．命题:“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．12．若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为．13．设正实数x,y，z满足x2﹣xy+4y2﹣z=0．则当取得最小值时，x+4y﹣z的最大值为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆+=1上，点P 满足=(λ﹣1）(λ∈R),且•=72,则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．三、解答题15．已知函数f（x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域为［0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜m的解集为（c，c+2）．(1）求实数m的值；(2)若x＞1，y＞0，x+y=m,求+的最小值．16．点P在圆O：x2+y2=8上运动,PD⊥x轴，D为垂足，点M在线段PD上，满足．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ) 过点Q（1,）作直线l与点M的轨迹相交于A、B两点，使点Q为弦AB的中点，求直线l的方程．17．已知直线l与抛物线y2=8x交于A．B两点，且线段AB恰好被点P（2，2）平分．（1）求直线l的方程；(2）抛物线上是否存在点C和D，使得C．D关于直线l对称？若存在,求出直线CD的方程；若不存在，说明理由．18．已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C过点P（1,），直线PF1交y轴于Q，且=2,O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点,设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=2,证明：直线AB过定点．2016—2017学年甘肃省天水一中高二（上)第二次段考数学试卷（兰天班)参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分)1．已知条件p：x＞y，条件q:＞，则p是q的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和不必要性，从而得到答案．【解答】解:由条件p:x＞y，不能推出条件q：＞，p是q的不充分条件，由条件q:＞，推出条件p：x＞y，p是q的必要条件,故选：B．2．若实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标,结合函数的图象求出z的最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A(1，1），由z=x﹣2y得:y=x﹣，显然直线过A（1，1)时,z最小,z的最小值是﹣1，故选:B．3．过抛物线y2=4x的焦点作两条垂直的弦AB，CD，则+=（）A．2 B．4 C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出两直线的倾斜角,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB｜，｜CD｜即可求得答案．【解答】解：抛物线y2=4x，可知2p=4，设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为﹣θ，过焦点的弦，|AB|=，｜CD|=，∴+=,故选:D．4．下列命题错误的个数( ）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；②命题p:x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③命题“若a2+b2=0,则a，b都是0"的否命题是“若a2+b2≠0，则a,b 都不是0”．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据大角对大边，正弦定理可得结论；②根据原命题和逆否命题为等价命题,可相互转化；③在否定中，且的否定应为或．【解答】解：①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是在三角形ABC中,若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，故逆命题为真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5,则非p:x=2且y=3，非q：x+y=5,显然非p⇒非q，∴q⇒p，则p是q的必要不充分条件，故正确；③命题“若a2+b2=0,则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0,则a ≠=或b≠0”故错误．故选B．5．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°,则E的离心率为（)A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为(﹣2a，a）,代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a,a），代入双曲线方程可得，﹣=1,可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．6．已知双曲线E的中心为原点，P（3,0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A,B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（)A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B 点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a 和b的关系,再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1,y1），B（x2，y2)，则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9,解得a2=4，b2=5,故选B．7．在椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点P,椭圆内一点Q在PF2的延长线上,满足QF1⊥QP,若sin∠F1PQ=，则该椭圆离心率取值范围是( ）A．（，1）B．（，1）C．(）D．（）【考点】椭圆的简单性质．【分析】当满足QF1⊥QP，由点P在y轴上时，∠F1PQ=2α，sin2α=．sinα=e,解得．当点Q在最下端时，∠F1QF2最大,此时F1Q⊥F2Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c时，e=，即可得出．【解答】解：∵满足QF1⊥QP，∴点P在y轴上时，∠F1PQ=2α,sin2α=．sinα=e，cosα=，∴2e=，解得．当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c,e=，因此．综上可得：．故选：D．8．已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（)A．B．C．D．【考点】抛物线的应用．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：,故选C．9．设F为抛物线y2=16x的焦点，A，B,C为该抛物线上三点,若，则的值为（）A．36 B．24 C．16 D．12【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得F(4,0），是三角形ABC的重心,故=4，再由抛物线的定义可得=x A+4+x B+4+x C+4=24．【解答】解：由题意可得F（4，0)，是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，故故=4,∴x A+x B+x C=12．再由抛物线的定义可得：=x A+4+x B+4+x C+4=12+12=24,故选B．10．设F1、F2是双曲线x2﹣=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P,使（+）•=0（O为坐标原点)且且｜PF1|=λ|PF2｜，则λ的值为( ）A．2 B． C．3 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设点P（,m），由=0解出m，根据双曲线的第二定义得e==，求出｜PF2｜的值，再利用第一定义求出|PF1｜的值，即得λ值．【解答】解：由题意得a=1，b=2，∴c=，F1(﹣，0）,F2（，0)，e=．设点P（,m），∵=（+,m）•（﹣，m)=1+﹣5+m2=0，m2=,m=±．由双曲线的第二定义得e==，∴｜PF2|=2，∴|PF1｜=2a+|PF2|=4，∴λ===2，故选A．二、填空题（每小题4分，共16分）11．命题:“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题:“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0;故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．12．若双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线的离心率为或．【考点】双曲线的简单性质．【分析】当焦点在x轴上时,=，根据==求出结果；当焦点在y轴上时，=，根据==求出结果．【解答】解：由题意可得,当焦点在x轴上时,=，∴===．当焦点在y轴上时，=，∴===，故答案为：或．13．设正实数x，y，z满足x2﹣xy+4y2﹣z=0．则当取得最小值时，x+4y﹣z的最大值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划．【分析】将z=x2﹣xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣xy+4y2﹣z=0,∴z=x2﹣xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣1≥2﹣1=3（当且仅当x=2y时取“=”)，当且仅当=,即x=2y（y＞0）时取等号，此时x+4y﹣z=2y+4y﹣(x2﹣xy+4y2)=6y﹣6y2=﹣6（y﹣）2+≤．∴x+4y﹣z的最大值为．故答案为：14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆+=1上，点P 满足=(λ﹣1)（λ∈R），且•=72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据向量共线定理可得｜｜｜｜=72,设A（x，y）、PB 为点A在x轴的投影，求出OP在x轴上的投影长度为｜｜cosθ，再利用基本不等式求最值，可得结论．【解答】解：∵=(λ﹣1）,∴=λ，则O，P,A三点共线，∵•=72,∴｜｜||=72，设OP与x轴夹角为θ，设A(x,y），B为点A在x轴的投影，则OP在x轴上的投影长度为|｜cosθ==72×=72×≤72×=15．当且仅当|x｜=时等号成立．则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15．故答案为：15．三、解答题15．已知函数f（x）=x2+ax+b（a,b∈R）的值域为[0,+∞），若关于x的不等式f（x）＜m的解集为（c，c+2）．（1）求实数m的值;（2）若x＞1,y＞0，x+y=m，求+的最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得x2+ax+﹣m=0的两个根为c,c+2，2=c+2﹣c，解之即可．（2）利用“1”的代换,即可求+的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a,b∈R)的值域为［0，+∞）,∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=．不等式f（x)＜m的解集为（c，c+2）．即为x2+ax+＜m的解集为（c，c+2)．则x2+ax+﹣m=0的两个根为c,c+2∴2=c+2﹣c∴m=2；（2）x+y=2，∴x﹣1+y=1，∴+=（+）（x﹣1+y）=3++≥3+2．当且仅当=时，+的最小值为3+2．16．点P在圆O:x2+y2=8上运动，PD⊥x轴，D为垂足，点M在线段PD上，满足．（Ⅰ) 求点M的轨迹方程；(Ⅱ）过点Q（1，）作直线l与点M的轨迹相交于A、B两点，使点Q为弦AB的中点，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）判断M线段PD的中点，设M(x,y），则P(x，2y），运用代入法,即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）方法一、运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理可得斜率k，由点斜式方程可得直线方程；方法二、设A（x1，y1），B（x2，y2），A、B两点在椭圆上，代入椭圆方程，运用作差法和斜率公式，再由点斜式方程可得直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵点M在线段PD上，满足，∴点M是线段PD的中点，设M（x，y)，则P（x，2y），∵点P在圆O：x2+y2=8上运动，则x2+（2y）2=8，即，故点M的轨迹方程为．（Ⅱ）方法一：当直线l⊥x轴时，由椭圆的对称性可得弦AB的中点在x轴上,不可能是点Q，这种情况不满足题意．设直线l的方程为,由，可得，由韦达定理可得x1+x2=﹣，由AB的中点为，可得﹣=2,解得，即直线l的方程为y﹣=﹣（x﹣1)，则直线l的方程为x+2y﹣2=0．方法二：当直线l⊥x轴时，由椭圆的对称性可得弦AB的中点在x 轴上,不可能是点Q，这种情况不满足题意．设A（x1，y1），B（x2,y2），A、B两点在椭圆上,满足，由（1）﹣（2）可得，则，由AB的中点为,可得x1+x2=2，y1+y2=1，代入上式，即直线l的方程为，∴直线l的方程为x+2y﹣2=0．17．已知直线l与抛物线y2=8x交于A．B两点，且线段AB恰好被点P（2，2）平分．（1)求直线l的方程；（2）抛物线上是否存在点C和D，使得C．D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程;若不存在，说明理由．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1)利用点差法，求出直线的斜率，即可求出直线l的方程;（2）设直线CD的方程为x+2y+c=0，与抛物线联立,可得y2+16y+8c=0，求出CD的中点坐标,代入直线l，即可得出结论．【解答】解：(1）设A（x1，y1），B(x2,y2)，则x1+x2=4，y1+y2=4，∵y12=8x1，y22=8x2，∴4(y1﹣y2）=8（x1﹣x2），∴k AB=2，∴直线l的方程为:y﹣2=2（x﹣2），化为2x﹣y﹣2=0．（2）设直线CD的方程为x+2y+c=0，与抛物线联立，可得y2+16y+8c=0,设C（x3，y3），D（x4，y4），则y3y4=﹣8c，y3+y4=﹣16，∴x3+x4=（y32+y42）=32+2c，∴CD的中点坐标为（16+c，﹣8）代入2x﹣y﹣2=0，可得32+2c+8﹣2=0,∴c=﹣19，∴直线CD的方程为x+2y﹣19=0．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C过点P（1，)，直线PF1交y轴于Q，且=2,O为坐标原点．(1）求椭圆C的方程;（2）设M是椭圆C的上顶点,过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1,k2，且k1+k2=2,证明：直线AB过定点．【考点】椭圆的简单性质．【分析】(1）由椭圆C过点，可得,由=2，可得PF2⊥F1F2，可得c=1，及其a2﹣b2=1，联立解出即可得出．(2）对直线AB的斜率分类讨论：当直线AB的斜率不存在时，利用k1+k2=2,及其斜率计算公式即可得出．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m(m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．【解答】解：(1）∵椭圆C过点,∴①,∵=2，∴PF2⊥F1F2，则c=1，∴a2﹣b2=1，②由①②得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．（2）当直线AB的斜率不存在时，设A（x0,y0)，则B（x0，﹣y0),由k1+k2=2得,得x0=﹣1．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m（m≠1），A（x1,y1），B（x2，y2)，，得，∴，即，由m≠1,（1﹣k）(m+1)=﹣km⇒k=m+1,即y=kx+m=（m+1)x+m⇒m（x+1）=y﹣x，故直线AB过定点(﹣1，﹣1）．2017年2月11日。

天水市一中2015级2016—2017学年度第一学期第二学段中考试题数学（兰天班）一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知条件，条件，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若实数满足若的最小值是（）A． B． C． D．3．过抛物线的焦点作两条垂直的弦,则（）A． B． C． D．4．下列命题错误的个数（）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a，b都不是0”．A．0 B．1 C．2 D．35．已知为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（）A. B.2 C. D.6．已知双曲线的中心在原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且线段中点，则的方程为（）A． B． C． D．7．在椭圆上有一点，椭圆内一点在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（）A． B． C． D．8．已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A. B. C. D.9．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则的值为（）A．36 B．24 C．16 D．1210．设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且则的值为（）A．2 B． C．3 D．二、填空题（每小题4分，共16分）11．命题：“”的否定是．12．已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为_____________.13．设正实数满足．则当取得最小值时，的最大值为_____14．在平面直角坐标系中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为 .三、解答题15．（10分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜m的解集为（c，c+2）．（1）求实数m的值；（2）若x＞1，y＞0，x+y=m，求+的最小值．16．（10分）点在圆上运动，轴，为垂足，点在线段上，满足．（1）求点的轨迹方程；（2）过点作直线与点的轨迹相交于两点，使点为弦的中点，求直线的方程．17．（12分）已知直线与抛物线交于两点，且线段恰好被点平分．（1）求直线的方程；（2）抛物线上是否存在点和，使得关于直线对称?若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．18．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．。