2016年春季新版湘教版九年级数学下学期1.4、二次函数与一元二次方程的联系教案4

《二次函数与一元二次方程的联系》精品教案二、探究二：观察二次函数y =x 2-6x +9，y =x 2-2x +2的图象，分别说出一元二次方程x 2-6x +9=0和x 2-2x +2=0的根的情况．（1）抛物线y =x 2-6x +9的图象与x 轴有______交点，它们的横坐标是_____，此时函数值为0，所以而一元二次方程x 2-6x +9=0的根是_________．（2）抛物线y =x 2-2x +2的图象与x 轴______交点，所以一元二次方程x 2-2x +2=0______实根．在坐标系中画出二次函数y =x 2-2x -3的图象，说出一元二次方程x 2-2x -3=0的根的情况．抛物线y =x 2-2x -3的图象与x 轴有______交点，它们的坐标分别是___________________，此时函数值为0，所以而一元二次方程x 2-2x -3=0的根是___________．观察以上三个函数的图像，说一说一元二次方程的根与二次函数与x 轴交点有什么关系？完成探究并归纳．引导学生寻找二次函数与一元二次方程的联系．一元二次方程的根与二次函数与x 轴交点的关系：结论：一般地，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的位置关系有三种：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，对应着一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的三种情况：有两个不相等的实根、有两个相等的实根和没在实数根．反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x 轴的位置关系．求一元二次方程ax 2+bx +c =0的根就是求二次函数y =ax 2+bx +c 在y =0时，自变量x 的值，也就是二次函数与x 轴交点的横坐标．因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根．由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的．例1求一元二次方程x 2-2x -1=0的根的近似值（精确到0.1）．分析一元二次方程x 2-2x -1=0的根就是抛物线y =x 2-2x -1与x 轴的交点的横坐标．因此我们可以先画出这条抛物线，然的从图象上找出它与x 轴的交点的横坐标．这种解一元二次方程的方法叫作图象法．解设二次函数y =x 2-2x -1．作出二次y =x 2-2x -1的图象，如图．可以发现抛物线与x 轴的一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间．通过观察或测量，可得抛物线与x 轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x 2-2x -1=0完成例1．使学生能够能结合二次函数图象，求一元二次方程实数根的近似值，为后续学习解一元高次方程作铺垫．的实数根为x 1≈-0.4，x 2≈2.4．借助计算器也可以来分析所求方程的实数根．其方法是将二次函数y =x 2-2x -1在-1至0范围内的部分x 值所对应的y 值列表如下：观察表格可以发现，当x =-0.5时，y =0.25>0；当x =-0.4时，y =-0.04<0．结合图象可以看出，使y =0的x 的值一定在-0.5与-0.4之间，即-0.5<x <-0.4．要求把方程的根精确到0.1，这时取x =-0.4或x =-0.5作为所求的根均满足要求．当x =-0.4时，y =-0.04，比当x =-0.5时，y =0.25更接近于0，因此选x =-0.4．试借助计算器，确定一元二次方程的另一个实数根x =2.4．归纳一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：1、用描点法作二次函数的图象；2、通过观察、测量或借助计算器估计二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标；3、确定一元二次方程的解．例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线26810105x y x =-++运行，其中x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度．（1）当铅球离地面的高度为2.1m 时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m ，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m ？为什么？归纳一利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤．完成例2．使学生能掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的方法．从实际问题中让学生感受数学来源于生活．通过例题的解答，让学生理解二次函数与一元二次方程之间的密切联系．由于球的飞行高度h 与飞行时间t 的关系是二次函数26810105x y x =-++，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明的飞行高度可以达到问题中h 的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h 的值．例如：上面问题（1）可以转化为已知二次函数26810105x y x =-++的值为2.1，求自变量t 的值．可以解一元二次方程268 2.110105x x -++=，即x 2-6x +5=0．反过来，解方程x 2-6x +5=0又可以看作已知二次函数26810105x y x =-++的值为0，求自变量x的值．归纳：一元二次方程ax 2+bx +c =m 的根就是二次函数y =ax 2+bx +c 与直线y =m （m 是实数）图象交点的横坐标．1、二次函数y =x 2-2x +1的图象与x 轴的交点情况是（）A ．一个交点B ．两个交点C ．没有交点D ．无法确定学生先自主思考，完成后小组交流确定结果，最后上台通过练习加深对所学知识的理解．2、抛物线y =-x 2-2x +3与坐标轴的交点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则（）A ．a ＞0，b 2-4ac ＜0B ．a ＞0，b 2-4ac ＞0C ．a ＜0，b 2-4ac ＜0D ．a ＜0，b 2-4ac ＞4、下表是一组二次函数y =x 2+3x -5的自变量x 与函数值y 的对应值：那么方程x 2+3x -5=0的一个近似根是（）A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.35、已知二次函数y =ax 2+2ax -3的部分图象（如图），由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+2ax -3=0的两个根分别是x 1=1.3和x 2=（）A ．-1.3B ．-2.3C ．-0.3D ．-3.36、判断下列函数的图象与x 轴的公共点情况，并说明理由．（1）y =2x 2-3x ；（2）y =-x 2-4x -1；（3）y =x 2+2x +5．7、在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h （m ）与打出后飞行的时间t （s ）之间的关系是h =7t -t 2．（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10m ；（2）经过多少秒钟，球又落到地面．展示成果．课堂小结一般地，从二次函数y =ax 2+bx +c 的图象可知1、如果抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x =x 0时，函数的值是0，因此x =x 0就是方程ax 2+bx +c =0的一个根．回顾本节课所学知识．通过小结，再次让学生认识到二次函数与一元二次方程的联系，2、一元二次方程ax 2+bx +c =m 的根就是二次函数y =ax 2+bx +c 与直线y =m （m 是实数）图象交点的横坐标．强化了学生的学习成果．板书若抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的两个不同交点，坐标分别是A (x 1，0），B （x 2，0），则一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个不相等的实数根分别是x =x 1、x =x 2．例1例2。

湘教版数学九年级下册教学设计：1.4 二次函数与一元二次方程的联系一. 教材分析湘教版数学九年级下册第1.4节“二次函数与一元二次方程的联系”，通过本节课的学习，让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握将一元二次方程转化为二次函数的方法，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。

教材从生活实例出发，引导学生探究二次函数与一元二次方程的内在联系，培养学生解决问题的能力。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了二次函数和一元二次方程的基本知识，能够熟练地求解一元二次方程。

但部分学生对于如何将实际问题转化为数学模型，以及如何运用二次函数解决实际问题还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习需求，引导他们理解二次函数与一元二次方程之间的关系，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.了解二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握将一元二次方程转化为二次函数的方法。

2.能够运用二次函数的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的探究精神，提高合作交流能力。

四. 教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的关系，将一元二次方程转化为二次函数的方法。

2.教学难点：如何运用二次函数解决实际问题，以及二次函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.合作学习法：分组讨论，培养学生合作交流的能力。

3.实践操作法：引导学生动手操作，将实际问题转化为数学模型。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示生活实例和数学模型。

2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生探究。

3.粉笔、黑板：用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如抛物线形状的篮球架，引导学生思考篮球架的高度与投篮角度之间的关系。

让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现一个一元二次方程，如：x^2 - 5x + 6 = 0。

1.4 二次函数与一元二次方程的联系【知识与技能】1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.4.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题.【过程与方法】经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系,进一步体会数形结合的思想.【情感态度】通过自主学习,小组合作,探索出二次函数与一元二次方程的关系,感受数学的严谨性,激发热爱数学的情感.【教学重点】①理解二次函数与一元二次方程的联系.②求一元二次方程的近似根.【教学难点】一元二次方程与二次函数的综合应用.一、情境导入，初步认识1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c,当 y=0 时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标 .2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点.学生回答,教师点评二、思考探究，获取新知探究1求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标y=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根.解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3,x2=-1,所以抛物线y=x2-2x-3与x 轴交点的横坐标分别是3或-1.【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令y=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根.探究2抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？【教学说明】提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-2=0的两根是什么？学生回答：【教学点评】-1＜x1＜0,2＜x2＜3.探究4 一元二次方程与相应二次函数的综合应用讲解教材P26例2【教学说明】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的某一个函数值y=M,求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M,这样将二次函数的知识和前面学的一元二次方程就紧密联系起来了.三、运用新知，深化理解1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根2.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根，则抛物线y=-x2+mx-n图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限3.（x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根为α,β，则α,β的范围为（）A.α＜1，β>2B.α＜1＜β＜2C.1＜α＜2＜βD.α＜1,β＞24.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0)，则方程ax2+bx+c=0的解为 .5.(湖北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点，交y轴的正半轴于点C，且x21+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D（0，-52）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.学生解答:【答案】1.D 2.C 3.D 4.x1=1,x2=35.解：（1）y=x2-4x+3 (2)存在 y=x-5 2【教学说明】一元二次方程的根的情况和二次函数与x轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答基础上,教师点评:①求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；②抛物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.③用函数图象求“一元二次方程的近似根”；④二次函数问题可转化为对应一元二次方程根与系数关系问题.1.教材P28第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节课的学习,让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取某一特值时，把对应的自变量的值都联系起来了,这样对二次函数的综合应用就方便得多了,从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.。

1． 4二次函数与一元二次方程的联系1．经过研究，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解； (要点 )2．经过研究二次函数与一元二次方程的联系领悟数形结合思想的应用．(难点 )一、情境导入小唐画 y＝ x2－ 6x＋ c 的图象时，发现其极点在x 轴上，请你帮小唐确立字母c 的值是多少？二、合作研究研究点一：二次函数与一元二次方程的联系【种类一】二次函数图象与x 轴交点状况的判断以下函数的图象与 x轴只有一个交点的是 ()A． y＝ x2＋ 2x－3 B ．y＝ x2＋ 2x＋ 3C． y＝ x2－ 2x＋ 3 D ．y＝ x2－ 2x＋ 1分析：选项 A中 b2－ 4ac ＝ 22－24× 1× (－ 3)＝ 16＞ 0，选项B 中 b － 4ac＝＝(－ 2)2－4× 1× 3＝－ 8＜0，选项 D 中 b2－4ac＝ (－ 2)2－ 4× 1× 1＝ 0，所以选项 D 的函数图象与x 轴只有一个交点．应选 D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后牢固提高”第 1 题【种类二】利用函数图象与x 轴交点状况确立字母的取值范围(2015 ·武汉模拟 )二次函数y＝ kx2－ 6x＋ 3 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是()A． k<3B． k<3 且 k≠ 0C． k≤ 3D． k≤3 且 k≠ 0分析：∵二次函数 y＝ kx2－ 6x＋ 3 的图象与 x轴有交点，∴方程 kx2－ 6x＋ 3＝ 0(k≠0) 有实数根，即＝ 36－ 12k≥ 0，k≤ 3.因为是二次函数，故 k≠0，则 k 的取值范围是 k≤ 3且 k≠ 0.应选 D.方法总结：二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c，当 b2－ 4ac＞ 0 时，图象与 x 轴有两个交点；当 b2－ 4ac＝ 0 时，图象与 x 轴有一个交点；当 b2－ 4ac＜ 0 时，图象与 x 轴没有交点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 4 题【种类三】利用抛物线与 x 轴交点坐标确立一元二次方程的解(2015 ·苏州中考) 若二次函数y＝x2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的方程 x2＋bx＝5的解为()x1＝ 0，x1＝ 1，A. B.x2＝ 4x2＝ 5x1＝ 1，x1＝－ 1，C. D.x2＝－ 5x2＝ 5分析：∵对称轴是经过点(2， 0)且平行于 y 轴的直线，∴－b＝ 2，解得 b＝－ 4.解2方程 x2－ 4x＝ 5，解得 x1＝－ 1， x2＝ 5.应选 D.方法总结：本题简单出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系以致没法求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 1 题研究点二：用二次函数的图象求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次2方程－ x ＋ 2x－ 3 ＝－ 8 的实数根(精确到分析： 关于 y ＝－ x 2＋ 2x － 3，当函数值某学校初三年级的一场篮球竞赛为－ 8 时，对应点的横坐标即为一元二次方 中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时 程－ x 2＋ 2x － 3＝－ 8 的实数根， 故可经过作距地面20米，与篮框中心的水平距离为 7 米，出函数图象来求方程的实数根．9解： 在平面直角坐标系内作出函数 y ＝ 当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 － x 2＋ 2x － 3 的图象，如图．由图象可知方 4 米，设篮球运转轨迹为抛物线，篮框距地 程－ x 2＋ 2x － 3＝－ 8 的根是抛物线y ＝－ x 2面 3米．＋ 2x － 3 与直线 y ＝－ 8 的交点的横坐标， 左 (1) 建立以以下图的平面直角坐标系，边的交点横坐标在－ 1 与－ 2 之间，另一个 问此球能否正确投中？交点的横坐标在 3 与 4 之间．(2) 此时，若对方队员乙在甲眼前1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1米，那么他能否获取成功？(1)先求在－ 2 和－ 1 之间的根，利用计算器进行研究： 分析： 这是一个风趣的、 切近学平生常x － 1.1 －1.2 － 1.3 － 1.4－ 1.5生活的应用题， 由条件可获取出手点、最高y－ 6.41－ 6.84 － 7.29 － 7.76点 (极点 )和篮框的坐标，再由出手点、极点－ 8.25所以 x ≈－ 1.4 是方程的一个实数的坐标可求出函数表达式； 判断此球能否准 根．确投中的要点就是判断代表篮框的点能否(2)另一个根可以近似地求出： 在抛物线上；判断盖帽拦截能否获取成功，x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 就是比较当 x ＝ 1 时函数 y 的值与最大摸高y－ 6.41－ 6.84－ 7.29－ 7.763.1 米的大小．－ 8.25x ≈ 3.4 是方程的另一个实数根．解：(1)由条件可获取出手点、 最高点和方法总结： 用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1) 作出函数的图象，并由图象确立方程解的个数；(2) 由图象与 y ＝ h 的交点的地址确立交点横坐标的取值范围； (3) 利用计算器求方程的实数根．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 8 题研究点三： 二次函数与一元二次方程在运动轨迹中的应用20篮框的坐标分别为A(0， 9 )，B(4，4)，C(7，3)，此中 B 是抛物线的极点．设二次函数关系式为y ＝ a(x － h)2＋ k ，将点 A 、 B 的坐标代入，可得y ＝－19(x － 4)2＋ 4.将点 C 的坐标代入上式，得左侧＝3，右侧＝－12(7－ 4) ＋ 4＝ 3，左侧＝右侧，即9点 C 在抛物线上．所以此球必定能投中；(2) 将 x ＝ 1 代入函数关系式，得 y ＝ 3.因为 3.1＞ 3，所以盖帽能获取成功．变式训练：见《学练优》 本课时练习“课后牢固提高”第 7 题三、板书设计教课过程中，重申学生自主研究和合作交流，经过观察二次函数与x 轴的交点个数，谈论一元二次方程的根的状况，领悟知识间的互相转变和互相联系.。

湘教版数学九年级下册说课稿：1.4 二次函数与一元二次方程的联系一. 教材分析湘教版数学九年级下册第1.4节“二次函数与一元二次方程的联系”，是在学生已经掌握了二次函数的图象与性质，以及一元二次方程的解法的基础上进行教学的。

本节课的主要内容是让学生了解二次函数与一元二次方程之间的联系，通过研究二次函数的图象与一元二次方程的解法，培养学生运用数形结合的思想解决问题的能力，提高学生的数学素养。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图象与性质，以及一元二次方程的解法。

但学生对二次函数与一元二次方程之间的联系可能还不是很清晰，需要通过本节课的学习，让学生在已有知识的基础上，形成对二次函数与一元二次方程关系的深刻认识。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，学会运用二次函数的图象解决一元二次方程的问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探索二次函数与一元二次方程的联系，培养学生的探究能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，培养学生的数学素养，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.教学难点：如何引导学生发现二次函数与一元二次方程之间的联系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示二次函数的图象，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.探究新知：让学生观察、分析二次函数的图象，引导学生发现二次函数的顶点坐标与一元二次方程的解之间的关系。

3.巩固新知：通过例题讲解，让学生学会运用二次函数的图象解决一元二次方程的问题。

4.拓展应用：让学生自主设计问题，运用二次函数与一元二次方程的知识解决问题。

5.课堂小结：让学生总结本节课的学习内容，形成对二次函数与一元二次方程关系的深刻认识。

湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系》说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系》这一节，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，进一步理解二次函数的图象与性质。

通过对本节内容的学习，学生可以更好地解决实际问题，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次函数的图象与性质，一元二次方程的解法，具备一定的抽象思维能力。

但部分学生对二次函数与一元二次方程之间的联系仍较模糊，需要在本节课中加以引导和深化。

三. 说教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2.使学生能够运用二次函数与一元二次方程解决实际问题；3.培养学生观察、分析、归纳的能力；4.提高学生解决问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的关系；2.教学难点：如何运用二次函数与一元二次方程解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动法，引导学生探索二次函数与一元二次方程之间的关系；2.利用多媒体演示，直观展示二次函数与一元二次方程的图象；3.运用案例分析法，让学生参与实际问题的解决过程；4.注重启发式教学，引导学生主动思考、总结归纳。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习二次函数的图象与性质，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系；2.探索关系：提出问题，引导学生利用已知的二次函数图象，找出对应的的一元二次方程；3.讲解原理：讲解二次函数与一元二次方程之间的关系，解释为什么二次函数的图象与一元二次方程的解有关；4.案例分析：给出实际问题，让学生运用二次函数与一元二次方程解决；5.总结归纳：让学生总结本节课所学内容，加深对二次函数与一元二次方程之间联系的理解；6.课堂练习：布置一些有关二次函数与一元二次方程的练习题，巩固所学知识；7.课后作业：布置一些有关实际问题的作业，提高学生解决问题的能力。

七. 说板书设计板书设计如下：1.二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数的图象与一元二次方程的解有关；（2）一元二次方程的解法与二次函数的性质有关。

湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程的联系》是湘教版数学九年级下册第1章第4节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图象与性质的基础上进行学习的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的联系，从而更好地理解和掌握二次函数的知识。

教材通过实例展示了二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系，让学生通过观察、分析、归纳，自主探索出两者之间的联系。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的图象和性质有了初步的认识。

但学生在解决实际问题时，往往难以将理论知识与实际问题相结合。

因此，在教学本节内容时，需要教师引导学生观察实例，激发学生的学习兴趣，让学生在实际问题中发现规律，从而更好地理解和掌握二次函数与一元二次方程的联系。

三. 教学目标1.让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，能运用二次函数的图象和性质解决实际问题。

2.培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生的数学思维能力。

3.激发学生的学习兴趣，培养学生的合作交流意识。

四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程之间的联系。

2.难点：如何运用二次函数的图象和性质解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察实例，发现规律。

2.运用小组合作交流，培养学生的团队协作能力。

3.利用数形结合思想，让学生直观地理解二次函数与一元二次方程的联系。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。

2.安排学生预习相关内容，了解二次函数的图象和性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节内容，如：一个二次函数的图象与x 轴有两个交点，求该二次函数的解析式。

让学生思考并讨论，引发学生对二次函数与一元二次方程之间联系的兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过展示几个二次函数的图象，让学生观察并分析二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。

《二次函数与一元二次方程》知识归纳二次函数、一元二次方程这二个“二次式”不仅是初中代数的重要内容，而且有着密切的联系，形成一个完整的知识体系，涉及知识面广，可带动初中数与式，方程与函数的知识联系，运用灵活性大，可强化解题方法、技巧的训练，形成能力．二次函数是主体，一元二次方程为二次函数函数值为零（零点）情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程又要将其与相应的二次函数相联，通过二次函数图象揭示解（集）的几何特征．即1.1二次函数的几何特征：设二次函22224(0)424b ac by ax bx c a x a b aca a-⎛⎫=++=++≠∆=-⎪⎝⎭，，，则（1）二次函数的图象：（2）抛物线张口方向与极值：张口向上，有极小值，244ac b y a -=；张口向下，有极大值，244ac b y a-=；（3）对称轴：2b x a=-． 对称轴在原点左侧a b ⇔，同号；对称轴在原点右侧a b ⇔，异号；对称轴与y 轴重合0b ⇔=．（4）顶点2424b ac b M a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．M 在x 轴上方a ⇔∆，异号；在轴下方a ⇔∆，同号；M 在x 轴上0⇔∆=，M 在直线y kx t =+上2424kb ac b t a a-⇔+=． （5）图象过点()m n ，，图象过点2()m n am bm c n ⇔++=，， 特别地：0m c n =⇔=（为截距）；00m n c ==⇔=；100m n a b c =±=⇔±+=，．1.2、二次函数与一元二次方程：函数2(0)y ax bx c a =++≠，当0y =时，即为一元二次方程20ax bx c ++=，故一元二次方程的解又叫二次函数的零点．令方程0y =的根为12x x ，，则有：二次函数的零点⇔抛物线与x 轴的交点⇔方程0y =的根．（1）交点个数：有两个交点12(0)(0)x x ⇔，，，方程0y =有不等实根0⇔∆>； 有一个交点1(0)x ⇔，方程0y =有等实根0⇔∆=； 无交点⇔方程0y =无实根0⇔∆<． （2）交点位置：两交点在原点两侧⇔方程0y =有异号根0ac ∆>⎧⇔⎨<⎩；两交点在原点同侧⇔方程0y =有同号根0ac ∆>⎧⇔⎨>⎩；两交点在原点右侧⇔方程0y =有两正根000ac ab ∆>⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩；两交点在原点左侧⇔方程0y =有两负根000ac ab ∆>⎧⎪⇔>⎨⎪>⎩；两交点在两数αβ，之间或之外22()()0a b c a b c ααββ⇔++++>⇔方程1200()()0y x x αβ∆>⎧=⎨--<⎩；两交点一个在在两数αβ，之间22()()0a b c a b c ααββ⇔++++>⇔方程121200()()0()()y x x x x ααββ∆>⎧⎪=--⎨<⎪--⎩；两交点在数α的两侧2()0a a b c αα⇔++<⇔方程120()()0y x x αα∆>⎧=⎨--<⎩；两交点在数α的同侧2()0a a b c αα⇔++>⇔方程1200()()0y x x αα∆>⎧=⎨-->⎩；（3）两交点间距离12(0)d x x a⇔=-=∆≥． 例1已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示： （1）试判断a b c ，，及24b ac -的符号； （2）若|OA |＝|OB |，试证明．分析：解本题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与x 轴交点个数）及函数零点（方程）的有关知识，即（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与x 轴交点个数，立即可得：0a >，20040b c b ac <<->，，．（2）由方程202A A b x OA x ax bx c a OB c OA OB ⎧⎫--=⇒=⎪⎪++=⇔⇔⎨⎬⎪⎪=-=⎩⎭，结论．例2已知二次函数244y x x m =++的图象与x 轴两交点和对称轴的交点构成一个正三角形的三个顶点，求函数解析式．分析：求解析式，即求m ，主要是应用抛物线的顶点、对称轴与轴的交点（即解方程）和三角形的有关知识，即：由方程212121440(10)2x x m x m x x -±++=⇒-⇒-=，≥由抛物线顶点0A ⎫⎪⎪⎝⎭，由两点间距离公式求出0A ⎫⎪⎪⎝⎭和0A ⎫⎪⎪⎝⎭的距离： 1214AC x x m =-⇒=（1m =舍去）． 例3m 为何值时，关于x 的方程28(1)(7)0x m x m --+-=的两根： （1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根； （3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2； （5）两根在0，2之间．分析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与x 轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两根为12x x ，则（1）12120079250x x m m x x ∆⎧⎪+>⇒<⎨⎪>⎩或≥≤≥；（2）12120010x x m x x ∆>⎧⎪+<⇒<⎨⎪<⎩；（3）12120225(1)(2)0x x m x x ∆⎧⎪+>⇒⎨⎪-->⎩≥≥； （4）12027(2)(2)0m x x ∆>⎧⇒>⎨--<⎩；（5）121212007925270(2)(2)0x x m m x x x x ∆⎧⎪+>⎪⇒<<⎨>⎪⎪-->⎩或≥≤≤．例4证明关于的不等式2(32)210k x kx k -++-<与2211012k x kx ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭，当k 为任意实数时，至少有一个恒成立．分析：证明不等式恒成立，实质是证明对应抛物线恒在轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒在轴上方或下方的充要条件即可．即由2(32)210k x kx k -++-<恒成立⇔对应抛物线恒在轴下方23201244(32)(1)0k k k k k -<⎧⇔⇒<⎨---<⎩；由2211012k x kx ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭恒成立⇔对应抛物线恒在轴上方 2221012111334012k k k k k ⎧->⎪⎪⇔⇒<->⎨⎛⎫⎪--< ⎪⎪⎝⎭⎩或．因此，当k 为任意实教时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证．例5已知关于x 的方程222460x mx m -+-=两根为αβ，，试求22(1)(1)αβ-+-的极值．分析：求22(1)(1)αβ-+-的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值的问题．即αβ，为方程的两根20246m m m αβαβ⎧∆>⎪⇒+=⇒⎨⎪=-⎩22221(1)(1)()2()22152n u m αβαβαβαβ⎛⎫=-+-=+-+-+⇒=-++ ⎪⎝⎭，又max min 156m u u ⇒==-，。