九年级数学湘教版下册课件：1.4 二次函数与一元二次方程的联系(共23张PPT)

解：设二次函数 y x 2 2x 1
作出函数图象 y x 2 2 x 1 的图象可以发现 抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个 在2与3之间 通过观察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横 坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数 根为x1 -0.4，x2 2.4还可以用等分计算的方法 确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
2
x=-1, x=3 2 1
一般地,如果二次函数 y ax bx c
2
的图象与x轴有两个交点( x1,0)、( x2 ,0 ) 2 那么一元二次方程 ax bx c 0 有两
个不相等的实数根 之亦成立.
x x1、 x x2 ,反
不画图象，你能说出函数 y x 轴的交点坐标吗？
第1章 二次函数 1.4二次函数和一元二次方 程的联系
x y
写出二次函数 坐标,对称轴,并画出它的图象. … -2 -1 0 1 2 3 4 … … 7 0 -3 -4 -3 0 7 …
y x 2 2 x 3 的顶点
(1,-4)
探究一
当x为何时,y=0?
N M
x=-1, x=3
x 2x 3 0
y x2 6x 9
y x2 2x 2
求一元二次方程
x2 2x 1 0
2
的根的近似值（精确到0.1）
2 y x 2x 1 分析，一元二次方程 x 2 x 1 0 的根就是：抛物线
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上 找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根. (1).用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象； (2).观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点 的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点, 其横坐标一个是-3,另一个在2与3之 间,分别约为3和2.5(可将单位长再十 等分,借助计算器确定其近似值). (3).确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根 为:x1≈-3,x2≈2.5.

20
A(0，9 )，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代
1
入，可得y＝－ 9 (x－4)2＋4.
1
将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－ 9
(7－4)2＋
4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能
投中；
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖
二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0又
有怎样的关系？
当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0，
也就是说，x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；
同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，
也就是说，x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.
知识归纳
一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图
帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他
能否获得成功？
(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.
因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
课堂小结
二次函数与一元二
次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时
就成了一元二次方程；
ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时
就成了二次函数.
二次函数
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
例题讲授
例1 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，
则k的取值范围是( D )
A．k<3
B．k<3且k≠0
C．k≤3
D．k≤3且k≠0

即 x2 - 6x + 9 = 0 ，
1
解得 x1 = x2 = 3.
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9x
即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，
它离初始位置的水平距离是 3 m.
（3） 铅球离地面的高度能否达到 3 m？ 为什么？
（3） 由抛物线的表达式得
y
3 = x2 6 x 8 10 10 5
说一说，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与
x 轴的位置关系有几种？
y
5
有两个不同的交点
4
3
有两个重合的交点
2
没有交点
1
–4 –3 –2 – O
–1
1234 x
–2
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和 x 轴交点的三种情 况与一元二次方程根的关系
抛物线 y=ax2+bx+c与x轴 ax2+bx+c = 0 的根
5
4
3
2
1
–2 –1 O 1 2 3 4 x
观察二次函数 y = x2- 6x + 9 ， y = x2- 2x + 2 的图象，分别说出 一元二次方程 x2- 6x + 9 ＝0 和 x2- 2x + 2＝0 的根的情况.
y
y = x2- 2x + 2 y = x2- 6x + 9
5
4
3
2
1
–2 –1 O 1 2 3 4 x
y
3
2
1
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9x
（1） 当铅球离地面的高度为 2.1 m 时， 它离初始位置的水平距离是多少？

即 解得
x2 6 x 9 0
x1 =x2 =3.
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位 置的水平距离是3m.
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ （3）由抛物线的表达式得
x2 6 8 3- x 10 10 5
即
x 2 6 x 14 0
2 因为 =（-6） -4 114 0， 所以方程无实根.
有两个不相等的实数根x=x1、x=x2.
问题3观察图象，完成下表
抛物线与x 交点 相 应 的 一 元 二 次 轴交点个数 横坐 方 程 的 根 标 y = x2－x＋1 x2-x+1=0无解 0个 x2-6x+9=0，x1=x2=3 y = x2－6x＋9 2个重合的点 3
y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9
怎样的关系？
当 x=-1 时， y=0 ，即 x2-2x-3=0 ，也就是说， x=-1 是一
元二次方程x2-2x-3=0的一个根；
同理，当 x=3 时， y=0 ，即 x2-2x-3=0 ，也就是说， x=3
是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；
知识要点
一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 两个交点(x1,0)、(x2,0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0
三 用二次函数与一元二次方程的关系解决实 际问题
典例精析
例3 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
x2 6 8 y - x 运行，其中x是铅球离初始位置的水平 10 10 5
距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位 置的水平距离是多少？ 解 （1）由抛物线的表达式得

有怎样的关系？
当 x = -1时，y = 0，即 x2 - 2x -3 =0，也就是说，x = -1是
一元二次方程 x2 -2x-3=0 的一个根；
同理，当 x = 3 时，y = 0，即 x2 - 2x - 3 = 0，也就是说，x
= 3 是一元二次方程 x2 - 2x -3 = 0 的一个根.
一般地，如果二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与 x 轴有两个
ax bx c=M
2
y ax bx c(a 0)
2
yM
1.二次函数 y＝kx2－6x＋3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值
范围是( D )
A．k＜3
B．k＜3 且 k≠0
C．k≤3
D．k≤3 且 k≠0

2. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过(﹣3，0)与(1，0)两点，
一元一次方程 x＋2＝0 的根为________.
－2
(2) 一次函数 y＝－3x＋6 的图象与 x 轴的交点为(
2 ，0 )，
一元一次方程 －3x＋6＝0 的根为_______.
2
问题 一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点与一元一次
方程 kx＋b＝0 的根有什么关系？
一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
6.抛物线y=x2-x-2与直线y=4的交点坐标是 (-2，4)，(3，4) ，
与y轴的交点坐标是
(0，-2)
.
7. 已知二次函数y=x²-6x+8的图象，利用图象回答问题：

2 x m=0 的解为x1=3,x2=-1.
小结 一元二次方程与二次函数的联系
ax bx c=M
2
y ax bx c(a 0)
2
yM
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种 情况与一元二次方程根的关系：
二次函数 y=ax2+bx+c的 图象和x 2.
问题3:观察二次函数 y x 6x 9 和
2
y x 2x 2 的图象，分别说出一元
2
二次方程 x 6 x 9 0
2
和 x 2 x 2 0 根的情况.
2
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
如下图所示,则b2-4ac的情况如何？
当x=-0.5时，y=0.25>0 ;当x=-0.4时，y=-0.04<0. 结合图象可知，使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间， 即-0.5<x<-0.4. 若精确到0.1，取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根 均满足要求.但当x=-0.4时，y=-0.04，比当x=-0.5时， y=0.25更接近于0，因此选x=-0.4.同理，另一实根 为x=2.4.
一元二次方程 抛物线
x 2 x 1 0 的根就是 2 y x 2 x 1 与x轴的交点的
2
横坐标.因此我们可以先画出这条抛物线，
然后从图像上找出它与x轴的交点的横坐标.
这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解：设二次函数
y x 2x 1
2
2
作出函数
y x 2x 1
2
是说x=-1是一元二次方程 x 2 x 3 0

部分, 其对称轴为直线x=1. 若图像与x轴的一个交点为A(3, 0), 则
由图
- 1<x<3
像可知, 当x满足
时,
函数y=ax2 +bx+c的值小于0.
分析
结论
根据或理由
由图像与x轴的一个交点为A(3, 0), 图像的对称轴是直线x=1, 可 知图像与x轴的另一个交点为(-1, 0) -1<x<3 由图可知, 当-1<x<3时, 图像在x轴的下方,即函数y=ax2 +bx+c的 值小于0
解: 方法一：根据图像, 可知抛物线y=-x2 +2x+m经过点(3, 0), 将 (3, 0)代入函数表达式,得-32 +2×3+m=0, 解得m=3. 把m=3代入 一元二次方程-x2 +2x+m=0, 得-x2 +2x+3=0, 解得x1 =3,x2 =-1. 方法二：由图像与x轴的一个交点的坐标为(3, 0), 图像的对称轴 是直线x=1, 可知图像与x轴的另一个交点的坐标为(-1, 0), 所以一 元二次方程-x2 +2x+m=0的两个根为x1 =3, x2 =-1.
分析 由题意, 得k≠0.
解: b2 -4ac=32 -4k×(-4)=9+16k. 由题意, 得b2 -4ac>0且k≠0, 即9+16k>0且k≠0, 解得k> 所以当k> 且k≠0时,图像与x轴有两个不同的交点. 当b2 -4ac=9+16k=0且k≠0, 即k= 时, 图像与x轴有两个重合的交点. 当b2 -4ac=9+16k<0且k≠0, 即k< 时, 图像与x轴没有交点.