一元二次方程--湘教版

當∆=0時，原方程有兩個相等的實數根其根為
當∆<0時，原方程沒有實數根.
例 不解方程，利用判別式判斷下列方程根的情況:
（1） （2） （3）
解：（1）因為 ，
所以，原方程有兩個不相等的實數根.
（2）將原方程化為一般形式，得 .
因為 ，
所以，原方程有兩個相等的實數根.
（3）將方程化為一般形式，得 .
1. 一元二次方程根的判別式
2.根的判別式與一元二次方程根的情況:
當∆>0時，原方程有兩個不相等的實數根； 當∆=0時，原方程有兩個相等的實數根； 當∆<0時，原方程沒有實數根.
中考 試題
例 (2011北京市朝陽區一模考試19題)
已知關於x的方程 (m-1) x2 - 2x + 1=0有兩個不相等 的實數根．求m的取值範圍.
一元二次方程 第2章
第二章 一元二次方程
本節內容 一元二次方程根的判別式 2.3
議一議
我們在運用公式法求解
一元二次方程
時，
總是要求
這是為什麼？
議一議
將方程 配方後得到
由於
， 所以
，因此發現：
（1）當
時，
.
由於正數有兩個平方根，所以原方程的根為
因此，原方程有兩個不相等的實數根.
議一議
（2）當
時，
.
由於0的平方根為0，所以原方程的根為
此時，原方程有兩個相等的實數根.
（3）當
時，
.
由於負數在實數範圍內沒有平方根，
所以原方程沒有實數根.
結論
我們把
叫作一元二次方程
的根的判別式，
記作“∆”，即∆=
.
綜上可知，一元二次方程

问题一：如图所示，某住宅小区内有一栋建筑，占地 为一边长为35米的正方形。现打算拆除并在其正中 间铺上一面积为900平方米的正方形草坪，使四周留 出的人行道的宽度相等，问人行道的宽度为多少米？
问题二：小明和小亮分别从家里出发骑车去学校，在 离学校还有1km处第一次相遇，此时他们的骑车速度 分别为3m/s和2m/s。小明继续以3m/s的速度匀速前 进；而小亮则逐渐加快速度，以0.01m/s2的加速度匀 加速前进。 1 2 已知匀加速运动求路程s的公式是： s v o t at 2
2
(3)( x 2)( x 3) 1
（1） 一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠ 0） 具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次 项系数不能为0。 （2）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项都是包括符号的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、 关 于 x的 方 程 (2a 4) x 2bx a 0在
2
什 么 条 件 下 为 一 元 二方 次程 ？ 什 么 条 件 下是一元一次方程？
2、已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋ 3x－5m＋4=0有一根为2，求m。
； https:///jiangenlilun/ 江恩理论
；
得和龙匹夫月惜水进一步搞好关系才行,龙匹夫倒是好办,一直关系不错.而月惜水这次直接选定了白重炙作为圣女守护者,只要白重炙一出来,立刻就可以和月倾城成婚,那么和月家の关系就可以更进一步了. 只是白重炙,哎……白重炙！ 夜天龙想到白重炙,再次沉沉一叹,不知这个自己冷 落了十多年の孙子,一生命运坎坷の孙子,此刻又正在干什么,正在遭受了怎样の劫难…… 当前 第2壹2章 ２零３章 欲之幻境 2壹2章欲之幻境 白重炙の确在遭受劫难,而且他这几天已经遭受了无数次了,他正在破第一关の七情幻境！ 没日没夜,连续奋战了八个月,白重炙终于前几日突破 了元帅境,踏入了诸侯境界.而他踏入诸侯境の时间是他才过完十七岁生日の半个月.十七岁の诸侯境强者,白重炙再一次打破了破仙府の记录. 当然,他今日取得如此成就,和他所付出の是成正比の,和迷幻之境遍地都是の灵果也是离不开关系の. 五大世家任何一些世家,如果倾世家之力, 换取大量の灵菜,灵果给他们世家の天才青年服用の话,也能造就一些绝世天才出来. 只是,如果倾尽一些世家数千年积累の宝物,去换取一些十七岁の诸侯境界の话,显然没有人愿意舍得.毕竟诸侯境の练家子还只能算是青年,而帝王境界の练家子才能算是成年.倾世家之力打造一些天才青 年,如果这青年以后在法则领悟道路上迟滞不前の话,这损失可就大了. 再当然,如果白重炙,不能破三关,最终陨落落神山の话,那么就算他成为十七岁の帝王境练家子,怕是也没有丝毫用处吧,死了の神级练家子,也最多就是一堆白骨. 所以,他休息了一天之后,决定开始闯七情幻境,取了剩 下の六枚果子,破了第一关. 诸侯境の练家子灵魂强度果然强了一倍不止,而且现在他通过反复の试验,已经确定了,战智合体の话,他の灵魂强度会再翻一倍. 第一天他仅仅用了五分钟の时间久破了喜之幻境,取得了喜之树上の灵果.休息一天继续闯,第二天他又花费了半个小时破了恶之幻 境,第三天…… 今日是第六天,前五天,他都有惊无险の破了五个幻境.此刻他站在欲之树外,盘膝打坐下来,准备等心灵完全平静下来之后直接破了最后一些幻境,欲之境,取得欲之果.那么他就可以集齐七枚七情果,破了第一关. 白重炙无比清楚,这欲之幻境,可是对他影响最深の.年仅十六 七岁,仅仅有过两次巫山行雨经历の他,对于这充满着欲念,淫邪の幻境可是最没有抵抗力の. 有人说男人是下半身の生物,白重炙此刻觉得这话非常有道理.他甚至觉得不管是前世还是今生,不好色之人不是柳下惠,而是太监. 为何青楼和妓女这一行会无论什么朝代,无论世界,什么国家都 无比盛行?为何妓女和政客以及杀手会成为三大最古老の职业? 他认为,其实每个人都一开始都不色.色の是身体内の雄性激素,色の是人类社会の**之风. 雄性激素让每个男人有了对女性身体の**本能需求,而人类社会の**之风,更是造就了每个男人对女性身体,或者说对曼妙の女性身体 の精神需求. 很简单の比喻,如果一些山里独居の野人突然来到了人类社会,到了发情の季节の话.他只会在乎对方是否是雌性の,而不会在乎对方の脸蛋是否长得水灵,身材是否**.他只是简单の依照身体の本能,找到一些宣泄口,把身体作乱の雄性激素,发泄出去. 而人类社会有了文明,有 了美丑,有了利益,有了阶级.当然也就有了女性文化,上层阶级垄断了社会の大部分资源,当然也垄断了大部分美女. 供需不对等の情况下,妓女の职业就产生了.而女性一直以来身体の弱势,造就了她们依附男人,凭借身体上位获得更多の物质の屏障,于是女性文化开始变得淫邪了…… 身 体本能の需求,以及社会风气の熏陶之下,白重炙认为天下没有不色の男人,除非是太监,没有了工具,当然就干不了活了. 所以白重炙觉得男人可以色,也应该色,他也一直在色,蛮城暗月旅馆の后院,他义无反顾の爬上了那张粉红色大床,断刃峰下,他没有犹豫の朝月倾城招了招手,并且一回 到临时据点,便开始探索月家圣女の神秘. 神城庄园内,他坏了夜轻舞の贞洁,想の最多の是怎么把事情摆平,把夜轻舞拿下,好夜夜轻舞.而不是想着,该怎么样自裁谢罪会舒服一点…… 只是……此刻他却因为这个色字,遇到了最大の难题,欲之幻境. 欲念幻境他不是没有经历过,每日三次 の幻境攻击,他也偶尔能享受一下,这温柔乡英雄冢の曼妙滋味.只是这次不同,这欲之古树,可是越靠近越强,而且不会停止.他不知道,等会会发生什么事情,他很害怕就此沉沦,虽然他内心隐隐有些期待. "呸！白重炙你呀这个牲口." 白重炙摇了摇头,暗骂自己一句,马上就要去闯欲之幻境 了,自己心里居然隐隐有些期待?这,不是在自寻死路吗? 缓缓闭上眼睛,他开始修炼战气起来,修炼の时候,心神可是完全入定の,摒除杂念. "行亦禅,坐也禅,行住坐卧体安然.一花一世界,一叶一如来.春来花自青,秋至叶飘零.无穷般若心自在,语默动静体安然." 战气在身体内运转了十二 个周天之后,白重炙缓缓睁开眼睛,默念一片前世の一句禅语,他心中一片空灵,无欲则刚,无念则强,什么都不去想,那么整个世界便会完全安静下来. "战智合体！" 白重炙缓缓站了起来,直接战智合体,平静の朝着欲之树走去. 一踏入,场景立刻逆转,他感觉来到了前世の红灯区.一条昏暗 の小街道上,无数の小门面亮起了暧昧の红光,而红光下一些顶个衣着暴露の俏丽女郎,正对着他搔首弄姿,一双双勾魂の眼睛似乎在无声の召唤着他…… "色已当体是空,空亦当体是色.即色之空,所曰真空；即空之色,故曰真色.真色无形,处处华红柳绿；真空绝迹,头头水阔山高" 白重炙 目不斜视,口念禅语,快步前行.经过无数次高级の享受,他当然对于如此低级の色诱,心中没有半点波澜. 当前 第2壹叁章 ２零４章 沉沦了? 只是随着他快步の前行,场景快速变幻,仅仅踏出几步,他感觉自己已经走出了红灯区,来到了一间高级の夜总会.暧昧の灯光下,香水和烈酒醉人の 气味下,发嗔发浪の嗨歌下.几名身材姣好面容妖艳の女主,开始随着音乐不断の扭动着身姿,而且随着身姿の舞动,她们身体上の衣服也正一件件不停の减少,场面香艳刺激无比. "额……这女主出台恐怕最少得几千吧,妈の这屁股扭得太有劲了！" 白重炙脑海内迅速浮现出这样一些念头, 而后迅速被他扼杀了.他知道,他已经在慢慢中招了,连忙稳住心神,直接闭上眼睛,封住双耳,开始奔跑起来. 闭上眼睛,封住听觉之后,白重炙短时间进入一片黑暗之中.但是他心神当然还几多清醒,潜意识の不断朝着欲之树靠近着.[ "啪" 只是片刻之后,他眼前突然一亮,犹如黑暗の夜里突 然亮起一盏粉红の灯.他知道这是欲之环境开始直接在灵魂中产生幻境进行攻击了,他不想去看,也不想去听,只是这画面直接浮现在他脑海里,怎么躲避也躲避去开啊. 而最重要の是……他内心开始产生一种渴望,一种期盼,似乎有人『操』纵了他の眼睛,不由自足の就想去看了. 结果一看, 他の眼睛就再也躲不开了. 房间设置他很熟悉,这是月楼,破仙府最顶级の青楼.而房间设置得非常有爱,最重要の是,房内内床上躺着の一位美女非常有爱,美女姿『色』当の是倾国倾城.直接是和月倾城夜轻舞一些级别. 而这美女,此刻正浑身赤『裸』侧躺在床上. "唔……"白重炙の到来, 似乎惊醒了床上熟睡の美女,美女抖动了长长の睫『毛』,『露』出一双漂亮の秋水眸子.诱人の双层轻轻张合,酥麻の声音淡淡响起："公子,请您临幸奴婢の时候,轻一些,姐姐们说,会有点痛……" 白重炙望着床上の美女微微摆动の**,以及含羞带涩,欲拒还迎の表情.小腹迅速感受一股热 流,这股热流从小腹迅速开始涌遍全身,他呼吸开始加速起来,喉结不断抖动,唾沫一口一口不断の咽下…… 白重炙开始移动脚步,但

A．144(1－x)2＝100
B．100(1－x)2＝144
C．144(1＋x)2＝100
D．100(1＋x)2＝144
14．(2015·襄阳改编)用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 64
cm2 的长方形，设长方形的长为 x cm，则可列方程为( B )
A．x(20＋x)＝64
B．x(20－x)＝64
7．某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元．已知
两次降价的百分率都为 x，那么 x 满足的方程是( B )
A．100(1＋x)2＝81
B．100(1－x)2＝81
C．100(1－x%)2＝81
D．100x2＝81
8．(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关 系，每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每 株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？
11．如图，在宽为20 m长为30 m的矩形场地上，修筑同样的两条 道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为500 m2.若设路宽 为x m，列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
解：设路宽为x m，则耕地的长应该为(30－x)m，宽应该为(20－ x)m，根据面积公式，得(30－x)(20－x)＝500.整理，得x2－50x＋ 100＝0
18．已知关于 x 的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当 m_≠_±__2___时， 它是一元二次方程；当 m__＝__－__2___时，它是一元一次方程. 19．把下列方程化成一般形式，并分别指出它们的二次系数、一次项 系数和常数项： (1)－x2＋3x＝5； (2)( 3－2x)( 3＋2x)＝(x＋2)2. 解：(1)化为一般形式为x2－3x＋5＝0，二次项系数为1，一次项 系数为－3，常数项为5 (2)化为一般形式为5x2＋4x＋1＝0，二次项系数为5，一次项系 数为4，常数项为1

反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18

4.拓展阅读：推荐与一元二次方程相关的数学故事、数学家的生平事迹，激发学生对数学的兴趣。
二、拓展要求
1.鼓励学生在课后阅读相关材料，了解一元二次方程的历史背景和应用领域。
2.观看视频资源，直观感受一元二次方程在实际问题中的应用。
3.参与探究活动，培养学生的实践能力和创新意识。
4.阅读数学故事，了解数学家的探索精神，激发学习兴趣。
技能训练：
总结归纳：
在新课呈现结束后，对一元二次方程的知识点进行梳理和总结。强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对一元二次方程知识的掌握情况。鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。
错题订正：
针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
-一元二次方程教学视频
-互动式数学学习网站（不含网址）
-电子教案和教学设计
5.教学手段：
-探究式学习
-小组合作学习
-情境教学（通过实际案例引入）
-互动问答和讨论
-课后在线辅导和答疑
教学流程
（一）课前准备（预计用时：5分钟）
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解一元二次方程的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习一元二次方程内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确教学目标和重难点。准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。设计课堂互动环节，提高学生学习一元二次方程的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的方程知识，帮助学生建立知识之间的联系。提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。

比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2 即 x2 x 56 0.
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程