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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（文史类）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） （A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg32（D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） （A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）（A （B ）2 （C 1 （D 110．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）。
2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. （2003▪北京▪文）设集合2{|10}A x x =->，2{|log 0}B x x =>，则AB =A.{|1}x x >B.{|0}x x >C.{|1}x x <-D.{|1x x >或1}x <- 2. （2003▪北京▪文）设0.914y =，0.4824y =， 1.531()2y -=，则 A.312y y y >> B.213y y y >> C.123y y y >> D.132y y y >>3. （2003▪北京▪文）“cos 2α=-”是“526k παπ=+，k Z ∈”的 A.必要非充分条件 B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4. （2003▪北京▪文）已知α，β是平面，m ，n 是直线，下列命题中不正确的是A.若m ∥α，n αβ=，则m ∥nB.若m ∥n ，m α⊥，则n α⊥C.若m α⊥，m β⊥，则α∥βD.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ 5. （2003▪北京▪文）直线l ：220x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为A.15B.25 C.5 D.56. （2003▪北京▪文）若z C ∈且|22|1z i +-=，则|22|z i --的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.57. （2003▪北京▪文）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为A.2πB.32π D.12π 8. （2003▪北京▪文）若数列{}n a 的通项公式是3(1)32n n nn a --+-=，n =1，2，…，则12lim(n a a →∞++…)n a += A.124 B.18 C.16 D.129. （2003▪北京▪文）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有A.24种B.18种C.12种D.6种10. （2003▪北京▪文）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k .规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令10ij i j a i j ⎧=⎨⎩第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选，其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为A.1112a a ++…12122k a a a ++++…2k a +B.1121a a ++…11222k a a a ++++…2k a +C.11122122a a a a ++…12k k a a +D.11211222a a a a ++…12k k a a +二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11. （2003▪北京▪文）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为___.12. （2003▪北京▪文）函数2()lg(1)f x x =+，()2||g x x =-，()tan 2h x x =中，______是偶函数． 13. （2003▪北京▪文）以双曲线221169x y -=的右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是________.14. （2003▪北京▪文）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_________.三、解答题：本大题共6小题，共13+13+15+15+14+14=84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （2003▪北京▪文）已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =--.⑴求()f x 的最小正周期；⑵求()f x 的最大值和最小值.16. （2003▪北京▪文）已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=.⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵令3n n n b a =，求数列{}n b 前n 项和的公式.17. （2003▪北京▪文）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，AB a =.⑴求证：直线111A D B C ⊥；⑵求点D 到平面1ACC 的距离；⑶判断1A B 与平面1ADC 的位置关系，并证明你的结论.18. （2003▪北京▪文）如图，1(5A -，0)，2(5A ，0)为椭圆的两个顶点，1(4F -，0)，2(4F ，0)为椭圆的两个焦点．⑴写出椭圆的方程及其准线方程；⑵过线段2OA 上异于O ，2A 的任一点K 作2OA 的垂线，交椭圆于1P ，2P 两点，直线11A P 与22A P 交于点M .求证：点M 在双曲线221259x y -=上.19. （2003▪北京▪文）有三个新兴城镇分别位于A 、B 、C 三点处，且AB AC ==13km ，BC =10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处（建立坐标系如图）．⑴若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，则P 应位于何处？⑵若希望点P 到三镇的最远距离为最小，则P 应位于何处？20. （2003▪北京▪文）设()y f x =是定义在区间[1-，1]上的函数，且满足条件：①(1)(1)0f f -==；②对任意的u 、[1v ∈-，1]，都有|()()|||f u f v u v -≤-. ⑴证明：对任意[1x ∈-，1]，都有1()1x f x x -≤≤-；⑵判断函数110()101x x g x x x +-≤<⎧=⎨-≤≤⎩是否满足题设条件； ⑶在区间[1-，1]上是否存在满足题设条件的函数()y f x =，且使得对任意的u ，[1v ∈-，1]，都有|()()|||f u f v u v -=-.若存在请举一例，若不存在，请说明理由.2003年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）（2003•北京）设集合A={x|x2﹣1＞0}，B={x|log2x＞0|}，则A∩B等于（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞1或x＜﹣1}【分析】先化简集合，即解一元二次不等式x2＞1，和对数不等式log2x＞0，再求交集．【解答】解：根据题意：集合A={x|x＜﹣1或x＞1}，集合B={x|x＞1}∴A∩B={x|x＞1}．故选A【点评】本题考查集合间的交集的运算，应注意不等式的正确求解，属于基础题．2．（5分）（2003•北京）设，，，则（）A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2【分析】分别将三个幂值进行化简，转化为以2为底的指数幂的形式，然后利用指数函数的单调性进行判断．【解答】解：，，．因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1＞y3＞y2．故选D．【点评】本题主要考查了指数幂的大小比较，将不同底的指数幂转化为同底的指数幂．然后利用指数函数的单调性进行判断大小是解决本题的关键．3．（5分）（2003•北京）“”是“”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义去判断．【解答】解：由，得，即，所以，是“”的必要不充分条件．故“”是“”的必要不充分条件．故选A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握判断充要条件的方法：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．4．（5分）（2003•北京）已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥nB．若m∥n，α∩β=n，且mα则m∥αC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β【分析】A．利用线面平行的性质判断．B．利用线线平行和线面垂直的性质判断．C．利用线面垂直的性质判断．D．利用线面垂直的性质判断．【解答】解：A．因为当m∥α时，无法确定直线m的位置关系，所以无法推出m∥n．，所以A错误．B．若α∩β=n，m⊄α，若m∥n，则必有m∥α．所以B正确．C．垂直于同一条直线的两个平面是平行的，所以C正确．D．根据面面垂直的判定定理知，D正确．故选A．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系的判断，要求熟练掌握平行或垂直的判断条件．5．（5分）（2003•北京）直线l：x﹣2y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】分别令直线方程中y=0和x=0，进而求得b和c，进而根据b，c和a的关系求得a，则椭圆的离心率可得．【解答】解：在l：x﹣2y+2=0上，令y=0得F1（﹣2，0），令x=0得B（0，1），即c=2，b=1．∴a=，e==．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和椭圆的标准方程．考查了学生对椭圆基础知识的掌握和灵活运用．6．（5分）（2003•北京）若z∈C，且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据式子|Z+2﹣2i|=1的几何意义，表示以（﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆，|Z﹣2﹣2i|的最小值，就是圆上的点到（2，2）距离的最小值，转化为圆心到（2，2）距离与半径的差．【解答】解：由题意知，|Z+2﹣2i|=1表示：复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1的圆，即以（﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆，|Z﹣2﹣2i|表示：圆上的点到（2，2）的距离的最小值，即圆心（﹣2，2）到（2，2）的距离减去半径1，则|2﹣（﹣2）|﹣1=3故选B．【点评】本题考查复数代数形式有关式子的几何意义，关键是把式子转化为几何意义，考查了转化思想．7．（5分）（2003•北京）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A．2πB．C．D．【分析】设圆台上、下底面圆半径为r、R，则母线l=2（R﹣r），高h=（R﹣r），由此结合圆台侧面积公式和梯形面积公式，即可算出该圆台的侧面积与轴截面面积的比．【解答】解：∵圆台的母线与底面成60°角，∴设上底圆半径为r，下底面圆半径为R，母线为l，可得l=2（R﹣r）因此，圆台的侧面积为S侧=π（r+R）l=2π（R2﹣r2）又∵圆台的高h=（R﹣r）∴圆台的轴截面面积为S轴=（2r+2R）h=（R2﹣r2）由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为2π（R2﹣r2）：（R2﹣r2）=故选：C【点评】本题给出母线与底面成60°角的圆台，求它的侧面积与轴截面面积的比值．着重考查了圆台侧面积公式、梯形面积公式和解三角形等知识，属于基础题．8．（5分）（2003•北京）若数列{an}的通项公式是，则等于（）A．B．C．D．【分析】先利用分组求和求出a1+a2+…+an，然后再求极限即可．【解答】解：a1+a2+…+an=++…+=（3﹣1+3﹣2+…+3﹣n）+=×+=+，所以={+}=，故选B．【点评】本题考查数列求和及数列求极限，属中档题．9．（5分）（2003•北京）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种D．6种【分析】根据题意，由于黄瓜必选，故需要再选2种蔬菜，其方法数是C32种，进而由排列的意义，进行全排列，计算可得答案．【解答】解：∵黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33，∴种法共有C32•A33=18种，故选B．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，要注意排列、组合的不同意义，进而分析求解．10．（5分）（2003•北京）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A．a11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2kB．a11+a21+…+ak1+a12+a22+…+ak2C．a11a12+a21a22+…+ak1ak2D．a11a21+a12a22+…+a1ka2k【分析】先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数为它们对应相乘再相加．【解答】解：第1，2，…，k名学生是否同意第1号同学当选依次由a11，a21，a31，…，ak1来确定（aij=1表示同意，aij=0表示不同意或弃权），是否同意第2号同学当选依次由a12，a22，…，ak2确定，而是否同时同意1，2号同学当选依次由a11a12，a21a22，…，ak1ak2确定，故同时同意1，2号同学当选的人数为a11a12+a21a22+…+ak1ak2，故选C．【点评】本题主要考查了矩阵的应用，考查学生阅读理解、分析问题解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 11．（4分）（2003•北京）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 3 ．【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4πr2．解得r=3故答案为：3．【点评】本题考查球的体积与表面积的计算，是基础题．12．（4分）（2003•北京）函数f（x）=lg（1+x2），g（x）=2﹣|x|，h（x）=tan2x 中，f（x），g（x）是偶函数．【分析】利用奇函数和偶函数的定义进行判断．f（x），g（x），满足偶函数的定义，h（x）满足奇函数的定义．【解答】解：①若f（x）=lg（1+x2），则函数f（x）的定义域为R，则f（﹣x）=lg （1+x2）=f（x），所以f（x）是偶函数．②若g（x）=2﹣|x|，则函数g（x）的定义域为R，则g（﹣x）=2﹣|x|=g（x），所以g（x）是偶函数．③若h（x）=tan2x，则函数f（x）的定义域为{x|2x}={x|x}，则h（﹣x）=tan（﹣2x）=﹣tan2x=﹣h（x），所以h（x）是奇函数．故答案为：f（x），g（x）．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，判断函数的奇偶性，先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断是否满足关系式f（﹣x）=f（x）或f（﹣x）=﹣f（x），从而确定函数的奇偶性．13．（4分）（2003•北京）以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是y2=﹣36（x﹣4）．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的右顶点和左焦点，进而根据抛物线的性质可求得抛物线的p，方程可得【解答】解：根据双曲线方程可知a=4，b=3∴c==5，∴右顶点坐标为（4，0），左焦点坐标为（﹣5，0），∵抛物线顶点为双曲线的右顶点，焦点为左焦点，∴p=18，焦点在顶点的左侧，在x轴上∴抛物线方程y2=﹣36（x﹣4）．故答案为：y2=﹣36（x﹣4）．【点评】本题主要考查了双曲线和抛物线的简单性质．考查了学生对圆锥曲线基本知识的理解和掌握．14．（4分）（2003•北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为．【分析】正确理解题意，充分应用正方形的知识和圆的知识，表示出两种图形的面积．构造目标函数后结合目标函数的特点﹣﹣一元二次函数，利用二次函数的性质求最值．【解答】解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1﹣x，半径r=．∴S正=（）2=，S圆=π•．∴S正+S圆=（0＜x＜1）．∴当x=时有最小值．答案：【点评】本题充分考查了正方形和圆的知识，目标函数的思想还有一元二次函数求最值的知识．在解答过程当中要时刻注意定义域优先的原则．三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）（2003•北京）已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的最大值、最小值．【分析】（I）根据平方关系、二倍角、两角和的余弦公式化简解析式，再求出函数的周期；（Ⅱ）根据余弦函数的最大值和最小值，求出此函数对应的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x∴f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由（I）知，，当（k∈z）时，，f（x）取到最大值为，当（k∈z）时，，f（x）取到最小值为﹣．【点评】本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及余弦函数的性质等基本知识，考查运算能力，16．（13分）（2003•北京）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=an3n（x∈R）．求数列{bn}前n项和的公式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式将已知等式用公差表示，列出方程求出公差，利用等差数列的通项公式求出通项．（II）由于数列的通项是一个等差数列与一个等比数列的乘积，利用错位相减法求前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}公差为d，则 a1+a2+a3=3a1+3d=12，又a1=2，d=2．所以an=2n．（Ⅱ）由bn=an3n=2n3n，得Sn=2•3+4•32+…（2n﹣2）3n﹣1+2n•3n，①3Sn=2•32+4•33+…+（2n﹣2）•3n+2n•3n+1．②将①式减去②式，得﹣2Sn=2（3+32+…+3n）﹣2n•3n+1=﹣3（3n﹣1）﹣2n•3n+1．所以．【点评】求数列的前n项和时，首先判断数列的通项的特点，然后选择合适的方法求和．17．（15分）（2003•北京）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a．（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；（Ⅲ）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）欲证A1D⊥B1C1，由于BC∥B1C1，∴只要证A1D⊥BC，根据点D是正△ABC中BC边的中点，可证AD⊥BC，故问题得证；（Ⅱ）先作出点D到平面ACC1的距离．作DE⊥AC于E，由于平面ACC1⊥平面ABC，所以DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离．在Rt△ADC中，可求（Ⅲ）直线A1B∥平面ADC1．欲证A1B∥平面ADC1．只需证明DF∥A1B，连接A1C 交AC1于F，则F为A1C的中点，因为D是BC的中点，所以DF∥A1B，利用线面平行的判定定理可证．【解答】解：（Ⅰ）∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．（Ⅱ）作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离．在Rt△ADC中，AC=2CD=．∴所求的距离．（Ⅲ）答：直线A1B∥平面ADC1，证明如下：连接A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B，又DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．【点评】本题的考点是点、线、面间距离的计算，主要考查点、线、面之间的位置关系，考查点线距离，关键是正确利用线面平行与垂直的判定与性质．18．（15分）（2003•北京）如图，A1，A为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点．（Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线A1P与AP1交于点M．求证：点M在双曲线上．【分析】（I）根据图形，确定几何量，即可写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）设出直线A1P，P1A的方程，求出直线A1P与AP1的交点M的坐标，验证即可．【解答】（Ⅰ）解：由图可知，a=5，c=4，∴．该椭圆的方程为，准线方程为．（Ⅱ）证明：设K点坐标（x0，0），点P、P1的坐标分别记为（x0，y0），（x0，﹣y0），其中0＜x0＜5，则，…①直线A1P，P1A的方程分别为：（x0+5）y=y0（x+5），…②（5﹣x0）y=y0（x﹣5）．…③②式除以③式得，化简上式得，代入②式得，于是，直线A1P与AP1的交点M的坐标为．因为．所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线上．【点评】本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）（2003•北京）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？【分析】（I）设P的坐标为（0，y），表示出P至三镇距离的平方和，利用配方法，即可得到建立；（II）P至三镇的最远距离为解法一：确定函数的单调性，即可求最值，从而可得点P的坐标；解法二：作出函数的图象，结合图象，可得结论；解法三：结合图形，分类讨论，确定点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．【解答】解：（Ⅰ）设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f（y）=2（25+y2）+（12﹣y）2=3（y﹣4）2+146．所以，当y=4时，函数f（y）取得最小值．答：点P的坐标是（0，4）．（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为g（y）=由解得，记，因为在[y*，+∞）上是增函数，而|12﹣y|在（﹣∞，y*]上是减函数．所以y=y*时，函数g（y）取得最小值．答：点P的坐标是；解法二：P至三镇的最远距离为 g（y）=由解得，记，函数x=g（y）的图象如图（a），因此，当y=y*时，函数g（y）取得最小值．答：点P的坐标是；解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，．所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，且AM=BM=CM．当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．答：点P的坐标是；【点评】本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．20．（14分）（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（﹣1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[﹣1，1]，都有|f（u）﹣f（v）|≤|u﹣v|．（Ⅰ）证明：对任意的x∈[﹣1，1]，都有x﹣1≤f（x）≤1﹣x；（Ⅱ）判断函数是否满足题设条件；（Ⅲ）在区间[﹣1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[﹣1，1]，都有|f（u）﹣f（v）|=u﹣v．若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．【分析】（I）利用（ii），可得当x∈[﹣1，1]时，有|f（x）|=|f（x）﹣f（1）|≤|x﹣1|=1﹣x，从而可得结论；（II）分类讨论，验证满足条件（i），（ii）即可；（III）利用反证法，结合条件，引出矛盾即可．【解答】（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x∈[﹣1，1]时，有|f（x）|=|f（x）﹣f（1）|≤|x﹣1|=1﹣x，即x﹣1≤f（x）≤1﹣x．（Ⅱ）解：函数g（x）满足题设条件．验证如下：g（﹣1）=0=g（1）．对任意的u，v∈[﹣1，1]，当u，v∈[0，1]时，有|g（u）﹣g（v）|=|（1﹣u）﹣（1﹣v）|=|u﹣v|；当u，v∈[﹣1，0]时，同理有|g（u）﹣g（v）|=|u﹣v|；当u•v＜0，不妨设u∈[﹣1，0），v∈（0，1]，有|g（u）﹣g（v）|=|（1+u）﹣（1﹣v）|=|u+v|≤|v﹣u|．所以，函数g（x）满足题设条件．（Ⅲ）解：这样满足的函数不存在．理由如下：假设存在函数f（x）满足条件，则由f（﹣1）=f（1）=0，得|f（1）﹣f（﹣1）|=0，①由于对任意的u，v∈[﹣1，1]，都有|f（u）﹣f（v）|=|u﹣v|．所以，|f（1）﹣f（﹣1）|=|1﹣（﹣1）|=2．②①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．【点评】本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．参与本试卷答题和审题的老师有：733008；maths；zhwsd；gongjy；ywg2058；wyz123；danbo7801；zwx097；minqi5；ying_0011；wdnah；刘长柏（排名不分先后）菁优网2017年5月28日。
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课程卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （2003x <的解集是A.(0，2)B.(2，)+∞C.(2，4]D.(-∞，0)(2，)+∞2. （2003•全国新课程•文）抛物线2y a x =的准线方程是2y =，则a 的值为A.81B.18-C.8D.－83. （2003•全国新课程•文）=+-2)3(31i iA.i 4341+B.i 4341--C.i 2321+D.i 2321--4. （2003•全国新课程•文）已知(2x π∈-，0)，54cos =x ，则tan 2x =A.247 B.724-C.724 D.247-5. （2003•全国新课程•文）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为 A.48 B.49 C.50 D.516. （2003•全国新课程•文）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F，12F M F ∠120=︒，则双曲线的离心率为B.2C.3D.37. （2003•全国新课程•文）设函数12210()0xx f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是A.(1-，1)B.(1-，)+∞C.(-∞，2)(0-，)+∞D.(-∞，1)(1-，)+∞8.（2003•全国新课程•文）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足O P O A =+()([0||||A B A C A B A C λλ+∈，))∞+，则P 的轨迹一定通过A B C ∆的A.外心B.内心C.重心D.垂心9. （2003•全国新课程•文）函数1ln1x y x +=-，1(∈x ，)∞+的反函数为 A.11xx e y e -=+，0(∈x ，)∞+ B.11xx e y e +=-，0(∈x ，)∞+ C.11x x e y e -=+，-∞∈(x ，)0D.11x x e y e +=-，-∞∈(x ，)010. （2003•全国新课程•文）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A.33aB.43aC.63aD.123a11. （2003•全国新课程•文）已知长方形的四个项点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和(0D ，1).一质点从A B 的中点0P 沿与A B 夹角为θ的方向射到B C 上的点1P 后，依次反射到C D ，D A 和A B 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 与0P 重合，则tan θ= A.13B.25C.12D.112. （2003则此球的表面积为A.3πB.4πC.D.6π 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13. （2003•全国新课程•文）291()2x x-展开式中9x 的系数是_____________.14. （2003•全国新课程•文）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______、_________、__________辆. 15. （2003•全国新课程•文）在平面几何里，有勾股定理：“设A B C ∆的两边A B 、A C 互相垂直，则22A B A C +2B C =.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A B C D -的三个侧面A B C 、A C D 、A D B 两两相互垂直，则_______________________________.” 16. （2003•全国新课程•文）将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物，种.（以数字作答）演算步骤.17. （2003•全国新课程•文）已知正四棱柱1111A B C D A B C D -，1A B =，12A A =，点E 为1C C 中点，点F 为1B D 中点.⑴证明：E F 为1B D 与1C C 的公垂线； ⑵求点1D 到面B D E 的距离.18. （2003•全国新课程•文）已知抛物线1C ：22y x x =+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.⑴a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； ⑵若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.19. （2003•全国新课程•文）已知数列{}n a 满足11a =，113(2)n n n a a n --=+≥.⑴求2a ，3a ； ⑵证明：312nn a -=.20. （2003•全国新课程•文）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，现从三种产品中各抽取一件进行检验. ⑴求恰有一件不合格的概率；⑵求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）21. （2003•全国新课程•文）已知函数()sin ()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(4M π，0)对称，且在区间[0，]2π上是单调函数.求ϕ和ω的值.22. （2003•全国新课程•文）已知常数0a >，向量(0c =，)a ，(1i =，0)，经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0A ，)a 以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R λ∈.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得||||P E P F +为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.2003年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003x <的解集是A.(0，2)B.(2，)+∞C.(2，4]D.(-∞，0)(2，)+∞【分析】由题意0x ≥且240x x -≥，可两边平方去根号，解可得答案． 【解答】解：由题意0x ≥且240x x -≥，解可得04x ≤≤，x <两边同时平方可得：224x x x -<，即2240x x ->， 解可得2x >或0x <，又由04x ≤≤，故其解集为24x <≤，即(2，4]；故选：C ．【点评】本题主要考查无理不等式的求解，解无理不等式关键是平方去根号，注意等价变形．还要注意选择题的特殊做法．2. （2003•全国新课程•文）抛物线2y a x =的准线方程是2y =，则a 的值为A.81 B.18-C.8D.－8【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程2x m y =的形式，再根据其准线方程为4m y =-即可求之．【解答】解：抛物线2y a x =的标准方程是21x y a=，则其准线方程为124y a=-=，所以18a =-.故选：B ．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式． 3. （2003•全国新课程•文）=+-2)3(31i iA.i 4341+B.i 4341--C.i 2321+D.i 2321--【分析】化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，即可求得结果．212122444--==⨯==--⨯，故选B ．【点评】复数代数形式的混合运算，是基础题． 4. （2003•全国新课程•文）已知(2x π∈-，0)，54cos =x ，则tan 2x =A.247B.724-C.724D.247-【分析】先根据c o s x ，求得sin x ，进而得到tan x 的值，最后根据二倍角公式求得tan 2x .【解答】解：∵4c o s 5x =，(2x π∈-，0)，∴3sin 5x ==-∴s in 3ta n c o s 4x x x==-，∴232ta n 316242ta n 291ta n277116x x x -===-⨯=---. 故选D ．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题． 5. （2003•全国新课程•文）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为 A.48 B.49 C.50 D.51【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d ，进而写出n a 的表达式，然后令33n a =，解方程即可．【解答】解：设{}n a 的公差为d . ∵113a =，254a a +=，∴114433d d +++=，即2543d +=，解得23d =.∴1221(1)3333n a n n =+-=-，令33n a =，即213333n -=，解得50n =.故选：C ．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，注意方程思想的应用. 6. （2003•全国新课程•文）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，12F M F ∠120=︒，则双曲线的离心率为233【分析】根据双曲线对称性可知260O M F ∠=︒，在直角三角形2M O F 中可得22ta n O F c O M F O Mb∠==，进而可得b 和c的关系式，进而根据a =a 和b的关系式，最后代入离心率公式即可求得答案.【解答】解：根据双曲线对称性可知260O M F ∠=︒，∴22ta n O F c O M F O Mb ∠===c =，∴a ==，∴2c e a ===，故选：B ．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质.本题利用了双曲线的对称性．7．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．8．（5分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到=λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴=λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．9．（5分）函数，x∈（1，+∞）的反函数为（）A．，x∈（0，+∞）B．，x∈（0，+∞）C．，x∈（﹣∞，0）D．，x∈（﹣∞，0）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域等函数知识和方法；将，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反函数的定义域．【解答】解：由已知，解x得，令，当x∈（1，+∞）时，m∈（1，+∞），则，∴函数，x∈（1，+∞）的反函数为，x∈（0，+∞）故选：B．【点评】这是一个基础性题，解题思路清晰，求解方向明确，所以容易解答；解答时注意两点，一是借助指数式和对数式的互化求x，二是函数，x∈（1，+∞）值域的确定，这里利用”常数分离法“和对数函数的性质推得．10．（5分）棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积．【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的．一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是，高为，所以八面体的体积为：．故选：C．【点评】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础题．11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ=（）A．B．C．D．1【分析】可以画草图帮助理解，由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，根据对称性可知P0P1的斜率是，得到结果．【解答】解：由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，因为ABCD是长方形，根据对称性可知P0P1的斜率是，则tgθ=．故选：C．【点评】本题考查直线的斜率和对称性知识，由于ABCD是长方形，降低了题目难度，可以采用观察法求得结论．是基本方法的训练题目．12．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故选：A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．14．（4分）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6 辆、30 辆、10 辆．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．【解答】解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．故答案为：6，30，10．【点评】本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2 ．”【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S △ABC2+S △ACD2+S △ADB2=S △BCD2．故答案为：S △ABC2+S △ACD2+S △ADB2=S △BCD2．【点评】本题主要考查学生的知识量和知识的迁移类比等基本能力．7. （2003•全国新课程•文）将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______种．（以数字作答）【分析】将3种作物种植在5块试验田里，且相邻的试验田不能种同一种作物，就是第一块可以种3种不同的植物，第二块与第一块不同，只能种2种，余下的几块都只能种2种，减去不合题意的，得到结果．【解答】解：将3种作物种植在5块试验田里每块种一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，就是第一块可以种3种不同的植物，第二块与第一块不同，就只能种2种不同的植物，余下的几块都只能种2种不同的植物.这样会造成5块田只种2种植物的情况，∴共有3×2×2×2×2﹣22332222242C ⨯⨯⨯⨯-=故答案为：42【点评】本题考查排列组合的实际应用问题，这种问题在2003年的高考中考查过，是一个出现几率比较大的问题，注意题目条件中的限制条件． 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E 为CC1中点，点F 为BD1中点．（1）证明EF 为BD1与CC1的公垂线； （2）求点D1到面BDE 的距离．【分析】（1）欲证明EF 为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF 分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC 是矩形→EF ⊥CC1．由EF ⊥面DBD1→EF ⊥BD1． （2）欲求点D1到面BDE 的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE ﹣DBD1=VD1﹣DBE ．求解即得． 【解答】解：（1）取BD 中点M ． 连接MC ，FM ． ∵F 为BD1中点， ∴FM ∥D1D 且FM=D1D ．又EC CC1且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形∴EF ⊥CC1．又FM ⊥面DBD1． ∴EF ⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF ⊥BD1． 故EF 为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有VE ﹣DBD1=VD1﹣DBE ． 由（Ⅰ）知EF ⊥面DBD1， 设点D1到面BDE 的距离为d ． 则．∵AA1=2，AB=1． ∴，， ∴．∴故点D1到平面DBE 的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．8. （2003•全国新课标•文）已知抛物线1C ：22y x x =+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.⑴a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； ⑵若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.【分析】⑴先分别求出各自在某点处的切线，然后根据是公切线建立等量关系，要使1C 和2C 有且仅有一条公切线，可利用判别式进行判定；⑵分别求出1C 和2C 有两条公切线段的中点坐标，发现两者相等，从而证明了相应的两条公切线段互相平分． 【解答】解：⑴函数22y x x =+的导数为22y x '=+，则曲线1C 在点1(P x ，2112)x x +的切线方程是：21111(2)(22)()y x x x x x -+=+- 即211(22)y x x x =+-①函数2y x a =-+的导数为2y x '=-，则曲线2C 在点2(Q x ，22)x a -+的切线方程是2222()2()y x a x x x --+=-- 即2222y x x x a =-++②如果直线l 是过P 和Q 的公切线， 则①式和②式都是l 的方程，故121x x +=-，2212x x a -=+.消去2x 得方程2112210x x a +++=.当判别式442(1)0a ∆=-⨯+=，即12a =-时解得112x =-，此时点P 与Q 重合.即当12a =-时1C 和2C 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为14y x =-.⑵证明：由⑴可知． 当0∆>即12a <-时1C 和2C 有两条公切线.设一条公切线上切点为：1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y . 其中P 在1C 上，Q 在2C 上，则有121x x +=-，2222121121112()2(1)1y y x x x a x x x a a +=++-+=+-++=-+线段P Q 的中点为1(2-，1)2a -+.同理，另一条公切线段P Q ''的中点也是1(2-，1)2a -+.所以公切线段P Q 和互相P Q ''平分.【点评】本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，属于中档题．9. （2003•全国新课标•文）已知数列{}n a 满足11a =，113(2)n n n a a n --=+≥.⑴求2a ，3a ； ⑵证明：312nn a -=.【分析】⑴由11a =，113(2)n n n a a n --=+≥，当2n =时可求2a ，3n =时求得3a .⑵利用递推式构造113n n n a a ---=，然后通过累加可求出n a .【解答】解：⑴∵11a =，∴2314a =+=，233413a =+=； ⑵证明：由已知113(2)n n n a a n ---=≥故112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+…211()a a a +-+1233n n --=++ (31312)n-++=，2n ≥当1n =时，也满足上式． ∴312nn a -=.【点评】本题是个基础题，主要考查由递推式求数列的项和累加法求数列的通项，注意验证1n =． 20．（12分）在三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验． （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率； （Ⅱ）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001） 【分析】（1）要求恰有一件不合格的概率，我们根据P=P （A •B •）+P （A ••C ）+P （•B •C ），根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解． （2）我们可以根据至少有两件不合格的概率公式P=P （A ••）+P （•B •）+P （••C ）+P （••），根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解．也可以从对立事件出发根据（1）的结论，利用P=1﹣P （A •B •C ）+P （A •B •）+P （A ••C ）+P （•B •C ）进行求解．【解答】解：设三种产品各抽取一件， 抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C ．（Ⅰ）P （A ）=0.90，P （B ）=P （C ）=0.95． P =0.10，P =P =0.05． 因为事件A ，B ，C 相互独立， 恰有一件不合格的概率为P （A •B •）+P （A ••C ）+P （•B •C ）=P （A ）•P （B ）•P （）+P （A ）•P （）•P （C ）+P （）•P （B ）•P （C ） =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176 答：恰有一件不合格的概率为0.176；（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为P （A ••）+P （•B •）+P （••C ）+P （••） =0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052 =0.012．答：至少有两件不合格的概率为0.012． 解法二：三件产品都合格的概率为 P （A •B •C ）=P （A ）•P （B ）•P （C ） =0.90×0.952 =0.812．由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176， 所以至少有两件不合格的概率为 1﹣P （A •B •C ）+0.176 =1﹣（0.812+0.176） =0.012．答：至少有两件不合格的概率为0.012．【点评】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．10. （2003•全国新课程•文）已知函数()sin ()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(4M π，0)对称，且在区间[0，]2π上是单调函数.求ϕ和ω的值.【分析】由()f x 是偶函数可得ϕ的值，图象关于点3(4M π，0)对称可得34ωπϕ+=k π，k Z ∈，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值.【解答】解：由()f x 是偶函数，得2k πϕπ=+，k Z ∈，由0ϕπ≤≤可得2πϕ=，从而()sin ()c o s 2f x x x πωω=+=由()f x 的图象关于点3(4M π，0)对称，得342k πωππ+=，k Z ∈又0ω>，∴2(21)3k ω=-，*k N ∈又函数()f x 在区间[0，]2π上是单调函数，则122T ππω≤=，即2ω≤∴2(21)23k -≤，解得2k ≤当1k =时，23ω=，2()c o s3f x x =在[0，]2π上是减函数，满足题意； 当2k =时，2ω=，()c o s 2f x x =在[0，]2π上是减函数，满足题意；所以，综合得23ω=或2.【点评】本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力.22．（14分）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．【分析】根据和，求得+λ和﹣2λ进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当时，方程为圆不符合题意；当时和当时，P的轨迹为椭圆符合两定点．【解答】解：∵=（0，a），=（1，0），∴+λ=（λ，a），﹣2λ=（1，﹣2λa）．因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y﹣a=﹣2λax．消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y﹣a）=﹣2a2x2．整理得．①因为a＞0，所以得：（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点．【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．。
第1页（共15页）2003年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．12y x =-B ．12y x =C ．2y x =-D ．2y x =2．（5分）已知(2x π∈-，0)，4cos 5x =，则tan 2x 等于( ) A ．724B ．724-C ．247D ．247-3．（5分）抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为( ) A ．18B ．18-C ．8D ．8-4．（5分）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为( )A ．48B ．49C ．50D ．515．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，12120F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为( ) ABCD6．（5分）设函数12210()0x x f x xx -⎧-⎪=⎨⎪>⎩…若0()1f x >，则0x 的取值范围是( )A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞7．（5分）已知5()f x lgx =，则f （2）(= ) A ．2lgB ．32lgC ．132lgD ．125lg8．（5分）函数sin()(0)y x ϕϕπ=+剟是R 上的偶函数，则(ϕ= ) A ．0B ．4πC ．2π D ．π9．（5分）已知点(a ，2)(0)a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则(a = ) AB．2C1D110．（5分）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为( )。
2003年普通高校招生数学(文)统一考试(全国卷)答案一、1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、13．]4,2( 14．221- 15．2222BCD AD B ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ 16．72 三、17．（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线（II ）解：连结ED 1，有V由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的距离为d ，则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF.∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD 23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S 故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18．解：设z=2),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数 +2,r z z r z z ==+∴ 由题设|2||||1|2-⋅=-z z z即||)1)(1(=--z z 42122+-=+-r r r r r12120122--=-==-+r r r r 解得（舍去）即|z|=12-19．（I ）解∵1343,413,12321=+==+=∴=a a a（II ）证明：由已知故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--n n n 所以213-=n n a 20．解（I ）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=)42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x 所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知故函数)(x f y =在区间]2,2[-上的图象是21．解：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：t （h ）台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-，其中10)(=t r t+60，若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 即0288362≤+-t t ， 解得2412≤≤t .答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭22．解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到定点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ） 设)10(≤≤===k k DADC CD CF BC BE ， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）.直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ， ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a . ②从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a ， 整理得1)(21222=-+a a y x . 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长. 当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点),21(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值2. 当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ，），（的距离之 和为定值a 2.。
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国旧课程卷）文科数学一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003▪全国旧课程▪文）直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为A.12y x =-B.12y x =C.2y x =-D.2y x =2. （2003▪全国旧课程▪文）已知(2x π∈-，0)，4cos 5x =，则tan 2x =A.724B.724-C.247D.247-3. （2003▪全国旧课程▪文）抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为A.18B.18- C.8 D.﹣8 4. （2003▪全国旧课程▪文）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为A.48B.49C.50D.51 5. （2003▪全国旧课程▪文）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，12F MF ∠ 120=︒，则双曲线的离心率为B.2C.3D.3 6. （2003▪全国旧课程▪文）设函数12210()0x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是A.(1-，1)B.(1-，)+∞C.(-∞，2)(0-，)+∞D.(-∞，1)(1-，)+∞7. （2003▪全国旧课程▪文）已知5()lg f x x =，则(2)f =A.lg 2B.lg 32C.1lg32 D.1lg 258. （2003▪全国旧课程▪文）函数sin()(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ=A.0B.4πC.2π D.π 9. （2003▪全国旧课程▪文）已知点(a ，2)(0)a >到直线l ：30x y -+=的距离为1，则a =B.21110. （2003▪全国旧课程▪文）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为 A.22R πB.294R π C.283R πD.252R π11. （2003▪全国旧课程▪文）已知长方形的四个顶点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和(0D ，1).一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD ，DA 和AB 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 与0P 重合，则tan θ=A.13B.25C.12D.1 12. （2003▪全国旧课程▪文）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.3πB.4πC.33πD.6π二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （2003▪全国旧课程▪文）不等式24x x x -<的解集是___________. 14. （2003▪全国旧课程▪文）在291()2x x-的展开式中，9x 的系数是________（用数字作答）.15. （2003▪全国旧课程▪文）在平面几何里，有勾股定理“设ABC ∆的两边AB ，AC 互相垂直，则222AB AC BC +=”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则_______________.”16. （2003▪全国旧课程▪文）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种．（以数字作答）三、解答题（共6小题，满分12×5＋14＝74分）17. （2003▪全国旧课程▪文）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -，1AB =，12AA =，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点.⑴证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线； ⑵求点1D 到面BDE 的距离.18. （2003▪全国旧课程▪文）已知复数z 的辐角为60︒，且|1|z -是||z 和|2|z -的等比中项.求||z .19. （2003▪全国旧课程▪文）已知数列{}n a 满足11a =，113(2)n n n a a n --=+≥.⑴求2a ，3a ；⑵证明312n n a -=.20. （2003▪全国旧课程▪文）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=.⑴求函数)(x f 的最小正周期和最大值；⑵在给出的直角坐标系中，画出函数)(x f y =在区间[2π-，]2π上的图象.21. （2003▪全国旧课程▪文）在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南(cos 10θθ=方向300km 的海面P 处，并以20/km h 的速度向西偏北45︒方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10/km h 的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22. （2003▪全国旧课程▪文）已知常数0a >，在矩形ABCD 中，4AB =，4BC a =，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DGBC CD DA==，P 为GE 与OF 的交点（如图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．2003年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•全国）直线y=2x关于x轴对称的直线方程为（）A．B．C．y=﹣2x D．y=2x【分析】欲求直线y=2x关于x轴对称的直线方程，只须将原直线方程中的y用﹣y 替换得到的新方程即为所求．【解答】解：∵直线y=f（x）关于x对称的直线方程为y=﹣f（x），∴直线y=2x关于x对称的直线方程为：y=﹣2x．故选C．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．2．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．∴tan2x===﹣×=﹣．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．3．（5分）（2003•天津）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8 D．﹣8【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣即可求之．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选B．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式．4．（5分）（2003•天津）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n为（）A．48 B．49 C．50 D．51【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出an的表达式，然后令an=33，解方程即可．【解答】解：设{an}的公差为d，∵，a2+a5=4，∴+d++4d=4，即+5d=4，解得d=．∴an=+（n﹣1）=，令an=33，即=33，解得n=50．故选C．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用．5．（5分）（2003•天津）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°，在直角三角形MOF2中可得tan∠OMF2==，进而可得b和c的关系式，进而根据a=求得a和b的关系式．最后代入离心率公式即可求得答案．【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°，∴tan∠OMF2===，即c=b，∴a==b，∴e==．故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．本题利用了双曲线的对称性．6．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．7．（5分）（2003•全国）已知f（x5）=lgx，则f（2）=（）A．lg2 B．lg32 C．D．【分析】令x5=2，得x=，从而即可求得f（2）的值．【解答】解：令x5=2，∴得x=，∵f（x5）=lgx，∴f（2）=lg=lg2．故选D．【点评】本题主要考查函数值的求法，以及对数的运算，关键是从令x5=2，求得x 的值，从而即可求得f（2）的值．8．（5分）（2003•全国）函数y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ=（）A．0 B．C．D．π【分析】根据y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数，对选项逐一排除即可．【解答】解：当φ=0时，y=sin（x+φ）=sinx为奇函数不满足题意，排除A；当φ=时，y=sin（x+φ）=sin（x+）为非奇非偶函数，排除B；当φ=时，y=sin（x+φ）=cosx，为偶函数，满足条件．当φ=π时，y=sin（x+φ）=﹣sinx，为奇函数，故选C．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性．属基础题．9．（5分）（2003•全国）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（）A．B．C．D．【分析】利用点到直线距离公式，可以直接求解．【解答】解：由点到直线的距离公式得：=，∵a＞0，∴a=．故选C．【点评】点到直线的距离公式，是高中数学的重要知识，是高考常考点．10．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（）A．2πR2 B．C．D．【分析】由题意先求出内接圆柱的高，然后求该圆柱的全面积．【解答】解：设圆锥内接圆柱的高为h，则，解得，所以圆柱的全面积为：s=2×+=．故选B．【点评】本题考查旋转体的面积，是基础题．11．（5分）（2003•天津）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ=（）A．B．C．D．1【分析】可以画草图帮助理解，由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，根据对称性可知P0P1的斜率是，得到结果．【解答】解：由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，因为ABCD是长方形，根据对称性可知P0P1的斜率是，则tgθ=．故选C．【点评】本题考查直线的斜率和对称性知识，由于ABCD是长方形，降低了题目难度，可以采用观察法求得结论．是基本方法的训练题目．12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故答案选A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2003•全国）不等式的解集是（2，4] ．【分析】此题要注意4x﹣x2≥0，先对不等式两边平方，然后再移项、系数化为1，求出不等式的解集；【解答】解：∵x＞≥0，∴x＞0，∵不等式，两边平方得，4x﹣x2＜x2，∴2x2﹣4x＞0，解得，x＞2，x＜0（舍去），∵4x﹣x2≥0，∴0≤x≤4，∴综上得：不等式的解集为：（2，4]，故答案为（2，4]．【点评】此题要注意根号有意义的条件，很多学生忽略了这一点，从而导致出错．14．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．15．（4分）（2003•天津）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2 ．”【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S △ADB2=S△BCD2．故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．【点评】本题主要考查学生的知识量和知识的迁移类比等基本能力．16．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有72 种．（以数字作答）【分析】分类型，选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同，求解即可．【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33=24种4色全用时涂色方法：C21•A44=48种所以不同的着色方法共有72种．故答案为：72【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•天津）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．【分析】（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC1．由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1．（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．求解即得．【解答】解：（1）取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D．又EC CC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA1=2，AB=1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．18．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．【分析】本题考查的复数的基本概念及等比数列的性质，由复数z的辐角为60°，我们可以使用待定系数法设出复数Z，然后根据|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项，结合等比数列的性质构造方程，解方程求出待定的系数，即可得到Z值，进而求出复数的模．【解答】解：设z=（rcos60°+rsin60°i），则复数z的实部为．由题设|z﹣1|2=|z|•|z﹣2|，即：（z﹣1）（﹣1）=|z|∴r2﹣r+1=r，整理得r2+2r﹣1=0．解得r=﹣1，r=﹣﹣1（舍去）．即|z|=﹣1．【点评】解决复数问题时，我们多使用待定系数法，即设出复数的值，然后根据题目中的其它条件，列出方程，解方程求出系数，即可得到未知复数的值．19．（12分）（2003•天津）已知数列{an}满足a1=1，an=3n﹣1+an﹣1（n≥2）．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明．【分析】（Ⅰ）由a1=1，an=3n﹣1+an﹣1（n≥2），当n=2时可求a2，n=3时求得a3 （Ⅱ）利用递推式构造an﹣an﹣1=3n﹣1，然后通过累加可求出an【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，∴a2=3+1=4，∴a3=32+4=13；（Ⅱ）证明：由已知an﹣an﹣1=3n﹣1，n≥2故an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=．n≥2当n=1时，也满足上式．所以．【点评】本题是个基础题，主要考查由递推式求数列的项和累加法求数列的通项，注意验证n=1．20．（12分）（2003•天津）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间上的图象．【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，利用两角差的正弦函数公式的逆运算及特殊角的三角函数值化简为一个角的正弦函数，利用周期的计算公式T=求出函数的周期，根据正弦函数的最大值为1求出函数的最大值即可；（2）由（1）的解析式列出表格，在平面坐标系中描出五个点，然后用平滑的曲线作出函数的图象即可．【解答】解：（1）f（x）=2sin2x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x==所以函数的最小正周期为π，最大值为；x故函数y=f（x）在区间上的图象是：【点评】本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能，考查画图的技能．21．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．【点评】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．22．（14分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．【分析】建立坐标系，按题意写出A，B，C，D四点的坐标，进而根据解出E，F，G三点的坐标参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程．由于参数a的取值范围影响曲线的形状故按参数a的范围来对曲线进行分类．【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）设=k（0≤k≤1），由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y=0，①直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a=0．②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay=0，整理得．当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．【点评】考查解析法求点的轨迹方程，本题在做题时引入了参数k，故得到的轨迹方程为参数方程，需要消去参数得到轨迹方程，又当字母的取值范围对曲线的形状有影响时，要对其范围进行讨论以确定轨迹的具体性状．考查分类讨论的数学思想．参与本试卷答题和审题的老师有：yhx01248；zhwsd；wzj123；jj2008；wsj1012；minqi5；qiss；geyanli；zhiyuan；danbo7801；wodeqing；豫汝王世崇；snowwhite；sllwyn；xintrl（排名不分先后）菁优网2017年5月28日。
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） （A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg32（D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） （A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）（A （B ）2 （C 1 （D 1 10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（ ） （A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）。
2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）（北京卷）第Ⅰ卷（选择题 共50分）参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 其中c '、c 分别表示上、下底面)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于 （ ）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或 2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 23．“232c o s -=α”是“Z k k ∈+=,1252ππα”的 （ ） A ．必要非充分条 B ．充分非必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 4．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是 （ ） A ．若m ∥α，α∩β=n ，则m//n B ．若m ∥n ，α∩β=n ，则n ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β5．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为 （ ）A ．51 B ．52C ．55 D ．552 6．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ）A ．π2B ．π23 C ．π332 D ．π218．若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,23)1(3=-+=--n a n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（ ）A ．241B ．81 C ．61 D ．21不同的种植方法共有 （ ） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种 10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ） A ．kk a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 . 12．函数x tg x h x x g x x f 2)(|,|2)(),1lg()(2=-=+=中， 是偶函数.13．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的最大值、最小值. 16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(3R x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB=a . （Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1； （Ⅱ）求点D 到平面ACC 1的距离；（Ⅲ）判断A 1B 与平面ADC 的位置关系，并证明你的结论.18．（本小题满分15分）如图，A 1，A 为椭圆的两个顶点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点. （Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）过线段OA 上异于O ，A 的任一点K 作OA 的垂线，交椭圆于P ，P 1两点，直线 A 1P 与AP 1交于点M.求证：点M 在双曲线192522=-y x 上.19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=13km ，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图） （Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小， 点P 应位于何处？ （Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，点P 应位于何处？ 20．（本小题满分14分） 设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件： （i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有 （Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有 （Ⅱ）判断函数⎩⎨⎧∈--∈+=]1,0[,1)0,1[,1)(x x x x x g 是否满足题设条件；（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数)(x f y =，且使得对任意的.|)()(|],1,1[,v u v f u f v u -=--∈都有 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．3 12．)();(x g x f 13．)4(362--=x y 14．44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为xx x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=2222(cos sin )(cos sin )sin 2cos 2sin 2)4x x x x x x x x π=+--=-=+所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T（Ⅱ）解：因为),42cos(2)(π+=x x f 所以)(x f 的最大值为2,最小值为－216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n=（Ⅱ）解：由,323n n n nn a b ==得,323)22(343212n n n n n S ⋅+-+⋅+⋅=- ①.323)22(34323132+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②将①式减去②式，得 .32)13(332)333(22112++⋅--=⋅-++-=-n n n n n n n S所以.32)31(31+⋅+-=n nnn S17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.（Ⅰ）证法一：∵点D 是正△ABC 中BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，又A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1.证法二：连结A 1C 1，则A 1C=A 1B. ∵点D 是正△A 1CB 的底边中BC 的中点，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1.（Ⅱ）解法一：作DE ⊥AC 于E ， ∵平面ACC 1⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ACC 1于E ，即DE 的长为点D 到平面ACC 1的 距离. 在Rt △ADC 中，AC=2CD=.23,a AD a =∴所求的距离.3a AD CD DE =⋅=解法二：设点D 到平面ACC 1的距离为x ， ∵体积111ACC D ACDC V V --= .21318331112x CC a CC a ⋅⋅⋅=⋅⋅∴,43a x =∴即点D 到平面ACC 1的距离为a43.（Ⅲ）答：直线A 1B//平面ADC 1，证明如下：证法一：如图1，连结A 1C 交AC 1于F ，则F 为A 1C 的中点，∵D 是BC 的中点，∴DF ∥A 1B ， 又DF ⊂ 平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，∴A 1B ∥平面ADC 1. 证法二：如图2,取C 1B 1的中点D 1，则AD ∥A 1D 1，C 1D ∥D 1B ，∴AD ∥平面A 1D 1B ，且C 1D ∥平面A 1D 1B ，∴平面ADC 1∥平面A 1D 1B ，∵A 1B ⊂平面A 1D 1B ，∴A 1B ∥平面ADC 1.18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.（Ⅰ）解：由图可知,.3a b ,4,522=-===c c a 所以该椭圆的方程为,192522=+y x准线方程为.425±=x （Ⅱ）证明：设K 点坐标)0,(0x ,点P 、P 1的坐标分别记为),(),,(0000y x y x -， 其中,500<<x 则,1925202=+y x ……① 直线A 1P ，P 1A 的方程分别为： ),5()5(00+=+x y y x ……② ).5()5(00-=-x y y x ……③②式除以③式得,555500-+=-+x x x x 化简上式得,250x x=代入②式得,500x y y = 于是，直线A 1P 与AP 1的交点M 的坐标为).5,25(00x y x 因为.1)251(2525)5(91)25(25120202020020=--=-x x x x y x所以，直线A 1P 与AP 1的交点M 在双曲线上192522=+y x .19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分..146)4(3)12()25(2)(222+-=-++=y y y y f所以，当4=y 时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是).4,0(（Ⅱ）解法一：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当 由|12|252y y -≥+解得,24119≥y 记,24119*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,12|,,25)(**2y y y y y y x g 当当 因为225y +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-|12|*∞-在y 上是减函数. 所以*y y =时,函数)(y g 取得最小值. 答:点P 的坐标是);24119,0( 解法二：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当由|12|252y y -≥+解得,24119≥y 记,24119*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,12|,,25)(**2y y y y y y x g 当当 函数)(y g x =的图象如图)(a ，因此，当*y y =时，函数)(y g 取得最小值.答:点P 的坐标是);24119,0(解法三：因为在△ABC 中，AB=AC=13,且，(b).,4,51222如图π=∠=>=-ACB OC OC AC所以△ABC 的外心M 在线段AO 上,其坐标为)24119,0(, 且AM=BM=CM. 当P 在射线MA 上，记P 为P 1；当P 在射线MA 的反向延长线上，记P 为P 2， 这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 和P 2A ，且P 1C ≥MC ，P 2A ≥MA ，所以点P 与外心M 重合时，P 到三镇的最远距离最小. 答:点P 的坐标是);24119,0( 20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1||)1()(||)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）答：函数)(x g 满足题设条件.验证如下：).1(0)1(g g ==-对任意的]1,1[,-∈v u ， 当|;||)1()1(||)()(|,0,1][,u v u v u v g u g v -=---=-∈有时当|;||)()(|,,0]1-[,u v u v g u g v -=-∈同理有时当0,u <⋅v 不妨设],1,0(),0,1[∈-∈v u有.|||||)1()1(||)()(|u v v u v u v g u g -≤+=--+=-所以，函数)(x g 满足题设条件.（Ⅲ）答：这样满足的函数不存在.理由如下： 假设存在函数)(x f 满足条件，则由,0)1()1(==-f f 得,0|)1()1(|=--f f ①由于对任意的]1,1[,-∈v u ，都有.|||)()(|v u v f u f -=-所以，.2|)1(1||)1()1(|=--=--f f ② ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.。
普通高校招生数学(文)统一考试(天津卷)（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P.334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概 率 其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．不等式x x x <-24的解集是（ ）A ．（0，2）B ．（2，+∞）C ．（2，4）D ．（－∞，0）∪（2，+∞） 2．抛物线y=ax 2 的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）A ．81B ．－81 C ．8 D ．－83．=+-2)3(31i i（ ）A ．i 4341+ B ．i 4341--C ．i 2321+ D ．i 2321-- 4． 已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）7724245．等差数列为则已知中n a a a a a n n ,33,4,31,}{521==+=（ ）A ．48B ．49C ．50D ．51 6．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．26C ．36 D ．33 7．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 8．O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ).,0[|||(+∞∈++=λλACAB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 9．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 10．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）若P 4与P 0重合，则tan θ= （ ）A ．31B ．52 C ．21 D ．112．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13．92)21(xx展开式中9x 的系数是 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ”16．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种 作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植 方法共有 种.（以数字答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1.AB=1，AA 1=2，点E 为CC1中点，点P 为BD 1中点. （1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离.18．（本小题满分12分）已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.19．（本题满分12分）已知数列).2(3,1}{111≥+==--n a a a a n n n n 满足 （Ⅰ）求;,32a a（Ⅱ）证明.213-=n n a20．（本小题满分12分）在三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验.（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率. （精确到0.001）21．（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点 )0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数.求ωϕ和的值.22．（本小题满分14分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.2003年普通高校招生数学(文)统一考试(天津卷) 答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分1．C 2．B 3．B 4．D 5．C 6．B 7．D 8．B 9．B 10．C 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13．221-14．6，30，10 15．S 2△ABC + S 2△ACD + S 2△ADB = S 2△BCD 16．42 三、解答题17．本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力，满分12分（1）证法一：取BD 中点M.连结MC ，FM .∵F 为BD 1中点 ， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D . 又EC21CC 1且EC ⊥MC ，∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1. 又CM ⊥面DBD 1 .∴EF ⊥面DBD 1 .∵BD 1⊂面DBD 1 . ∴EF ⊥BD 1 . 故EF 为BD 1 与CC 1的公垂线.证法二：建立如图的坐标系，得B （0，1，0），D 1（1，0，2），F （21，21，1），C 1（0，0，2），E （0，0，1）. ,0,0).2,1,1().2,0,0(),0,21,21(1111=⋅=⋅∴-=∴==∴BD CC BD CC 即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1 . 故EF 是为BD 1 与CC 1的公垂线.（Ⅱ）解：连结ED 1，有V E －DBD 1=V D 1－DBE .由（Ⅰ）知EF ⊥面DBD 1 ，设点D 1到面BDE 的距离为d..3322322223)2(2321.22221,22,2.1,2.2111=⨯=∴⋅=⋅⋅==⋅⋅=∴====∴==⋅=⋅∆∆∆∆d S S EF ED BE BD AB AA EF S d S DBEDBD DBD DBE 则 故点D 1到平面DBE 的距离为332. 18．本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分（Ⅰ）解：函数y=x 2+2x 的导数y ′=2x+2,曲线C 1在点P （x 1,x 21+2x 1）的切线方程是：y －(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x －x 1),即 y=(2x 1+2)x －x 21 ①函数y=－x 2+a 的导数y ′=－2x, 曲线C 2 在点Q （x 2,－x 22+a ）的切线方程是即y －(－x 22+a)=－2x 2(x －x 2). y=－2x 2x+x 22+a . ②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，x 1+1=－x 2所以－ x 21=x 22+a.消去x 2得方程 2x 21+2x 2+1+a=0.若判别式△=4－4×2（1+a ）=0时，即a=－21时解得x 1=－21，此时点P 与Q 重合. 即当a=－21时C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x －41.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－21时C 1和C 2有两条公切线设一条公切线上切点为：P （x 1,y 1）, Q （x 2 , y 2 ）. 其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有 x 1+x 2=－1,y 1+y 2=x 21+2x 1+(－x 22+a)= x 21+2x 1－(x 1+1)2+a=－1+a . 11a +-同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是).21,21(a +-- 所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分.19．本小题考查数列，等比数列，等比数列求和等基础知识，考查运算能力，满分12分. （Ⅰ）∵a 1=1 . ∴a 2=3+1=4, a 3=32+4=13 .（Ⅱ）证明：由已知a n －a n －1=3n －1,故.2131333)()()(21112211-=++++=+-++-+-=-----n n n n n n n n a a a a a a a a 所以证得213-=n n a . 20．本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C.（Ⅰ）P （A ）=0.90，P （B ）=P （C ）=0.95.P )(A =0.10 , P )(B =P )(C =0.05.因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （C ） =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176答：恰有一件不合格的概率为0.176.（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+ P （A ·B ·C ） =0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052=0.012.答：至少有两件不合格的概率为0.012.解法二：三件产品都合格的概率为P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.90×0.952=0.812.由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－P （A ·B ·C ）+0.176=1－（0.812+0.176）=0.012答：至少有两件不合格的概率为0.012.21．本小题主要考查三角函数的图象和单调性，奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满分12分.解：由f (x )是偶函数，得f (－x )= f (－x ).即： ).sin()sin(ϕωϕω+=+-x x 所以－x x ωϕωϕsin cos sin cos =对任意x 都成立，且,0>ω所以得ϕcos =0.依题设0πϕ≤≤，所以解得2πϕ=，由f (x )的图象关于点M 对称，得)43()43(x f x f +-=-ππ. 取x =0,得)43(πf =－)43(πf ，所以)43(πf =0. .232,.]2,0[)2sin()(,310,2;]2,0[)22sin()(,2,1;]2,0[)232sin()(,32,0,2,1,0),12(32.2,1,0,243,0,043cos .43cos )243sin()43(==+=≥≥+===+====+=∴=+=>=∴=+=ωωππωωππωππωωππωπωωπωππωππ或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又x x f k x x f k x x f k k k k k f 22．本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.∵i=(1,0),c=(0,a ), ∴).2,1(2),,(a c i a i c λλλλ-=-=+因此，直线OP 和AP 的方程分别为 λy=ax 和y －a =－2λax .消去参数λ，得点P （x ,y ）的坐标满足方程y (y －a )=－2a 2x 2 ,整理得,1)2()2(81222=-+a a y x ① 因为a >0，所以得：（i ）当a =22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ii ）当0<a <22时，方程①表示椭圆，焦点E )2,2121(2a a -和 )2,2121(2a a F --为合乎题意的两个定点； （iii ）当a >22时，方程①表示椭圆，焦点E ())2121,0(2-+a a 和F (2121,0(2--a a ））为合乎题意的两个定点.。
