高中数学课后提升训练十五2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1新人教A版选修

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）1．(2013·安庆调研)袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以η表示取出的红球数，则E (η)为( )A.6135B.127C.2235D.1835 解析：选B.随机变量η的取值分别为0,1,2,3，且P (η＝0)＝C 33C 37＝135，P (η＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (η＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (η＝3)＝C 34C 37＝435，∴E (η)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127. 2．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.解析：∵P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ，P (X ＝3)＝3a ＋b ，∴E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3，∴14a ＋6b ＝3.①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1，∴6a ＋3b ＝1.②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23.∴a ＋b ＝－16. 答案：－163．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超过4 km 时租车费为10元，若行驶路程超出4 km ，则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η.(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)若随机变量ξ的分布列为ξ 15 16 17 18P 0.1 0.5 0.3 0.1求所收租车费η的数学期望；(3)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？解：(1)依题意得，η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2.(2)E(ξ)＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.∵η＝2ξ＋2，∴E(η)＝2E(ξ)＋2＝34.8(元)．故所收租车费η的数学期望为34.8元．(3)由38＝2ξ＋2，得ξ＝18,5×(18－15)＝15.所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟．。

【优化方案】2013-2014学年高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差能力提升（含解析）新人教A 版选修2-31．离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝p k q 1－k (k ＝0,1，p ＋q ＝1)，则E (X )与D (X )依次为( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和p (1－p )解析：选D.根据题意，E (X )＝0×q ＋1×p ＝p ，D (X )＝(0－p )2q ＋(1－p )2p ＝p (1－p )，或可以判断随机变量X 满足两点分布，所以E (X )与D (X )依次为p 和p (1－p )． 2．若p 为非负实数，随机变量X 的分布列为 X 0 1 2P 12－p p 12 则E (X )的最大值是________，D (X )的最大值是________．解析：由分布列性质可知p ∈⎣⎡⎦⎤0，12， 则E (X )＝p ＋1∈⎣⎡⎦⎤1，32，故E (X )的最大值为32. 又D (X )＝⎝⎛⎭⎫12－p (p ＋1)2＋p (p ＋1－1)2＋12(p ＋1－2)2 ＝－p 2－p ＋1＝－⎝⎛⎭⎫p ＋122＋54， ∵p ∈⎣⎡⎦⎤0，12， ∴当p ＝0时，D (X )取得最大值1.答案：321 3．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X 和Y 分别表示取出次品和正品的个数．(1)求X 的分布列、均值及方差；(2)求Y 的分布列、均值及方差．解：(1)X 的可能值为0,1,2.若X ＝0，表示没有取出次品，其概率为P (X ＝0)＝C 02C 310C 312＝611， 同理，有P (X ＝1)＝C 12C 210C 312＝922， P (X ＝2)＝C 22C 110C 312＝122. ∴X 的分布列为X0 1 2 P611 922 122∴E (X )＝0×611＋1×922＋2×122＝12.D (X )＝(0－12)2×611＋(1－12)2×922＋(2－12)2×122＝322＋988＋988＝1544.(2)Y 的可能值为1,2,3，显然X ＋Y ＝3. P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝122，P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝922，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝611.∴Y 的分布列为Y 1 2 3P 122 922 611∴Y ＝－X ＋3，∴E (Y )＝E (3－X )＝3－E (X )＝3－12＝52，D (Y )＝(－1)2D (X )＝1544.。

【三维设计】2018届高考数学 第十章第八节离散型随机变量的均值与方差课后练习 理 人教A 版一、选择题1．若随机变量X 的分布列如下表，则E (X )等于( )A.118B.19C.209D.920解析：由分布列的性质可得2x ＋3x ＋7x ＋2x ＋3x ＋x ＝1，∴x ＝118.∴E (X )＝0×2x ＋1×3x＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5x ＝40x ＝209.答案：C2．(2018·潍坊模拟)设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于( )A.1316 B.4243 C.13243D.80243解析：∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，∴E (X )＝n 3＝2.∴n ＝6. ∴P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.答案：D3．已知随机变量X ～B (6，22)，则P (－2≤X ≤5.5)＝( ) A.78B.18C.6364D.3132解析：依题意，P (－2≤X ≤5.5)＝P (X ＝0,1,2,3,4,5)＝1－P (X ＝6)＝1－C 66×(22)6＝78. 答案：A4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧．其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，若随机变量X ＝|a －b |的取值，则X 的数学期望E (X )＝( )A.89B.35C.25D.13解析：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，X 的可能取值有0,1,2.P (X ＝0)＝6×7126＝13，P (X ＝1)＝8×7126＝49，P (X ＝2)＝4×7126＝29，E (X )＝89. 答案：A5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，a 、b 、c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )A.148 B.124 C.112D.16解析：依题意得3a ＋2b ＋0×c ＝1，∵a ＞0，b ＞0，∴3a ＋2b ≥26ab ，即26ab ≤1，∴ab ≤124.当且仅当3a ＝2b 即a ＝25，b ＝35时等式成立．答案：B 二、填空题6．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，由此解得y ＝0.4.答案：0.47．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (X )＝________(结果用最简分数表示)．解析：首先X ∈{0,1,2}． ∵P (X ＝0)＝C 25C 7＝1021，P (X ＝1)＝C 12C 15C 27＝1021，P (X ＝2)＝C 22C 27＝121.∴E (X )＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47.答案：47三、解答题8．某品牌汽车的4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.(1)若以频率作为概率，求事件A ：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P (A )；(2)求η的分布列及其数学期望E (η)．解：(1)由题意可知“购买该品牌汽车的3位顾客中有1位采用分3期付款”的概率为0.2，所以P (A )＝0.83＋C 13×0.2×(1－0.2)2＝0.896.(2)由a100＝0.2得a ＝20，∵40＋20＋a ＋10＋b ＝100，∴b ＝10. 记分期付款的期数为ξ，依题意得：P (ξ＝1)＝40100＝0.4，P (ξ＝2)＝20100＝0.2，P (ξ＝3)＝20100＝0.2，P (ξ＝4)＝10100＝0.1，P (ξ＝5)＝10100＝0.1. 由题意知η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)．P (η＝1)＝P (ξ＝1)＝0.4，P (η＝1.5)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0.4；P (η＝2)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.∴η的分布列为：∴η的数学期望E (η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．9．(2018·广州调研)某商店储存的50个灯泡中，甲厂生产的灯泡占60%，乙厂生产的灯泡占40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.(1)若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，则它是甲厂生产的一等品的概率是多少？(2)若从这50个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ，求E (ξ)的值．解：(1)法一：设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”，事件B 表示“灯泡为一等品”，依题意有P (A )＝0.6，P (B |A )＝0.9，根据条件概率计算公式得P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝0.6×0.9＝0.54.法二：该商店储存的50个灯泡中，甲厂生产的灯泡有50×60%＝30个，乙厂生产的灯泡有50×40%＝20个，其中是甲厂生产的一等品有30×90%＝27个，故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡，它是甲厂生产的一等品的概率为2750＝0.54.(2)依题意，ξ的取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C 223C 250＝2531 225，P (ξ＝1)＝C 127C 123C 250＝6211 225，P (ξ＝2)＝C 227C 250＝3511 225，∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×2531 225＋1×6211 225＋2×3511 225＝1.18.10．(2018·冀州模拟)今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家居用电的碳排放量(千克)＝耗电度数×0.785，汽车的碳排放量(千克)＝油耗公升数×0.785等．某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．这二族人数占各自小区总人数的比例P 数据如下：(1)如果甲、乙来自A 小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率； (2)A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A 小区中任选25人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求E (ξ)．解：(1)记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A ，P (A )＝12×12×15×15＋4×12×12×45×15＋12×12×45×45＝33100.(2)设A 小区有a 人，2周后非低碳族的概率P ＝a ×12－152a＝825， 2周后低碳族的概率P ＝1－825＝1725， 依题意ξ～B (25，1725)，所以E (ξ)＝25×1725＝17.。

2．3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值[学习目标]1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．2．理解离散型随机变量均值的性质．3．掌握两点分布、二项分布的均值．4．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．[知识链接]1．某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？答由于平均在每1 kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是12kg、13kg和16kg，所以混合糖果的合理价格应该是18×12＋24×13＋36×16＝23(元/kg)．这里的23元/kg就是混合糖果价格的均值2．已知随机变量ξ的分布列为则x＝________，P(1≤ξ<3)＝________.答x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；P(1≤ξ<3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5.[预习导引]1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．离散型随机变量的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝x i)＝P(Y＝ax i＋b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．3．两点分布与二项分布的均值(1)如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p(p为成功概率)．(2)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.要点一利用定义求离散型随机变量的均值例 1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的数学期望．解取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C03C47＝135，故X的分布列如下：∴E(X)＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447(分)．规律方法求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P(ξ＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(ξ)的计算公式计算E(ξ)．跟踪演练1在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．解 从10件产品中任取3件，共有C310种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为Ck 3C3－k 7，其中k ＝0，1，2，3. ∴P (X ＝k )＝Ck 3C3－k7C310，k ＝0，1，2，3.所以随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910. 要点二 二项分布的均值 例2某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时： (1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的数学期望．解 (1)依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故ξ＝2时的概率P ＝C24(23)2(13)2＝827. (2)法一 ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， 依题意知：P (ξ＝k )＝Ck 4(23)k (13)4－k (k ＝0，1，2，3，4)． ∴ξ的概率分布列为∴E (ξ)＝0×18＋1×881＋2×2481＋3×3281＋4×1681＝83.法二 ∵ξ服从二项分布，即ξ～B (4，23)，∴E (ξ)＝4×23＝83.规律方法 将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键． 二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的； ②每次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量ξ是这n 次独立重复试验中某事件发生的次数． 跟踪演练2 某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望． 解 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5，0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.要点三 离散型随机变量均值的应用例3 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求η的分布列及期望E (η)．解 (1)由题意可知每一位顾客不采用1期付款的概率为0.6，记A 的对立事件“购买该商品的3位顾客中，都不采用1期付款”为A －，则 P (A －)＝0.63＝0.216， ∴P (A )＝1－P (A －)＝0.784.(2)由题意可知η可以取200，250，300，分布列如下∴E (η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.规律方法 解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率． 跟踪演练3据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a 元(a ＞100)．问a 如何确定，可使保险公司期望获利？ 解 设X 表示“保险公司在参加保险人身上的收益”， 则X 的取值为X ＝100和X ＝100－a ， 则P (X ＝100)＝0.99. P (X ＝100－a )＝0.01，所以E (X )＝0.99×100＋0.01×(100－a )＝100－0.01a ＞0， 所以a ＜10 000.又a ＞100，所以100＜a ＜10 000.即当a 在100和10 000之间取值时保险公司可望获利.1．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( ) A ．0.6 B ．1 C ．3.5 D ．2 答案 C解析 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为所以，E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5. 2．若随机变量ξ～B (n ，0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.64 答案 C解析 ∵ξ～B (n ，0.6)，E (ξ)＝3，∴0.6n ＝3，即n ＝5. 故P (ξ＝1)＝C15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck 300·(13)k ·(23)300－k (k ＝0，1，2，…，300)，则E (X )＝________. 答案 100解析 由P (X ＝k )＝Ck 300·(13)k ·(23)300－k ，可知X～B(300，13)，∴E(X)＝300×13＝100.4．A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y. (1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)．解(1)X，Y的可能取值分别为3，2，1，0.P(X＝3)＝23×25×25＝875，P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P(X＝1)＝23×35×35＋13×2 5×35＋13×35×25＝25，P(X＝0)＝13×35×35＝325；根据题意X＋Y＝3，所以P(Y＝0)＝P(X＝3)＝875，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝2875；P(Y＝2)＝P(X＝1)＝25，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝325.X的分布列为Y的分布列为(2)E(X)＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215；因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝23 15.1．求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式求出均值．2．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.一、基础达标1．(2013·广东理)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)等于( )A.32B．2 C.52D．3答案 A解析E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32，故选A.2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是( )A．0.7 B．6 C．4.2 D．0.42答案 C解析总得分X～B(6，0.7)，E(X)＝6×0.7＝4.2.3．已知ξ～B(n，12)，η～B(n，13)，且E(ξ)＝15，则E(η)等于( )A．5 B．10 C．15 D．20 答案 B解析∵E(ξ)＝12n＝15，∴n＝30，∴η～B(30，13)，∴E(η)＝30×13＝10.4．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )A.13 B.23C．2 D.83答案 D解析X＝2，3.P(X＝2)＝1C23＝13，P(X＝3)＝C12C23＝23.故E(X)＝2×13＋3×23＝83.5．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为________．答案10解析次品率为p＝1 00015 000＝115，由于产品数量特别大，次品数服从二项分布，由公式，得E(X)＝np＝150×115＝10.6．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝________.答案 1.75解析P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.7．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．解(1)X＝3，4，5，6，P(X＝3)＝C35C39＝542，P(X＝4)＝C25C14C39＝1021，P(X＝5)＝C15C24C39＝514，P(X＝6)＝C34C39＝121，所以X的分布列为(2)X 的数学期望E (X )＝15＋80＋75＋1242＝9121.二、能力提升8．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的期望是( )A.43B.139C.53D.137 答案 B解析 试验次数ξ的可能取值为1，2，3， 则P (ξ＝1)＝23，P (ξ＝2)＝13×23＝29， P (ξ＝3)＝13×13×(23＋13)＝19. 所以ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139. 9．(2013·湖北理)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.75 答案 B解析 根据题意易知X ＝0，1，2，3.分布列如下所以E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.故选B.10．某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满120分拿二等奖，满140分拿一等奖，有一选手选对任一题的概率是0.8，则该选手可望能拿到________等奖．答案二解析选对题的个数X～B(30，0.8)，所以E(X)＝30×0.8＝24，由于24×5＝120(分)，所以可望能得到二等奖．11．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为13，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：(1)随机变量ξ的分布列；(2)随机变量ξ的均值．解法一(1)ξ的所有可能值为0，1，2，3，4. 由等可能性事件的概率公式得P(ξ＝0)＝(23)4＝1681，P(ξ＝1)＝C14·2334＝3281，P(ξ＝2)＝C24·2234＝827，P(ξ＝3)＝C34·234＝881，P(ξ＝4)＝(13)4＝181.从而ξ的分布列为(2)由(1)得ξ的均值为E(ξ)＝0×1681＋1×3281＋2×827＋3×881＋4×181＝43.法二(1)考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验．故ξ～B(4，13)，即有P(ξ＝k)＝Ck4(13)k(23)4－k，k＝0，1，2，3，4.ξ的分布列如法一．(2)E(ξ)＝4×13＝43.12．(2013·天津理)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．(2)再取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．解(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝C12C35＋C22C25C47＝67.所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为6 7.(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47.所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E(X)＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.三、探究与创新13．(2013·福建理)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？解(1)由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X＝5”，∵P(X＝5)＝23×25＝415，∴P(A)＝1－P(X＝5)＝1115，所以这两人的累计得分X≤3的概率为11 15.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知：X1～B(2，23)，X2～B(2，25)∴E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝45，∴E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝125.∵E(2X1)>E(3X2)他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m 的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。

选修2-3 第二章 2.3 2.3.21．设随机变量X ～B (n ，p )，X 的均值与方差分别是15和454，则n 、p 的值分别是( )A ．50，14B ．60，14C ．50，34D ．60，34[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝15np (1－p )＝454得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14n ＝60. 2．样本中共有五个个体，其值分别为a 、0、1、2、3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A ．65B ．65C ． 2D ．2 [答案] D[解析] ∵a ＋0＋1＋2＋35＝1，∴a ＝－1，故s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.3．已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、a 、b 、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________．[答案] 10.5、10.5[解析] 由题意得a ＋b2＝10.5，∴a ＋b ＝21，x ＝2＋3＋3＋7＋21＋13.7＋18.3＋20＋1210＝10，∴s 2＝110[(10－2)2＋(10－3)2＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a )2＋(10－b )2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]＝110[82＋72＋72＋32＋(10－a )2＋(10－b )2＋4＋3.72＋8.32＋102] ＝110[(10－a )2＋(10－21＋a )2＋…] ＝110[2(a －10.5)2＋…]当a ＝10.5时，方差s 最小，b ＝10.5.4．有一批零件共10个合格品、2个不合格品．安装机器时从这批零件中任选1个，取到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回．(1)求最多取2次零件就能安装的概率；(2)求在取得合格品前已经取出的次品数X 的分布列，并求出X 的均值E (X )和方差D (X )(方差计算结果保留两个有效数字)．[解析] (1)设安装时所取零件的次数是η，则P (η＝1)＝1012＝56，这是取1次零件就取到了合格品，可以安装；P (η＝2)＝212×1011＝533，这是第1次取到不合格品，第2次取到了合格品．∴最多取2次零件就能安装的概率为 56＋533＝6566. (2)依题意X 的所有可能取值为0、1、2， P (X ＝0)＝P (η＝1)＝56，P (X ＝1)＝P (η＝2)＝533，P (X ＝2)＝1－56－533＝166.故X 的分布列是于是E (X )＝0×56＋1×533＋2×166＝211，D (X )＝56×⎝⎛⎭⎫2112＋533×⎝⎛⎭⎫9112＋166×⎝⎛⎭⎫20112≈0.18.所以X 的期望值和方差值分别是211和0.18.5．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，取出后不再放回，共取3次．若以X 表示取出次品的个数，求X 的均值和方差．[分析] 首先求出各种情况的概率，写出概率分布，注意零件取后不放回．[解析] P (X ＝0)＝C 313C 315＝2235，P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (X ＝2)＝C 22C 113C 315＝135，故X 的分布列为：则E (X )＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25，D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－252×2235＋⎝⎛⎭⎫1－252×1235＋⎝⎛⎭⎫2－252×135＝52175. 6．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差；(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．[解析] (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80， 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80， n <16，80， n ≥16，(n ∈N )． (2)(ⅰ)X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝60X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.(ⅱ)答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)<D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)<E(Y)，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，EX<EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．。

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课后提升训练十五离散型随机变量的均值(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知随机变量X的分布列为则X的均值为( )A.1.96B.1.32C.0.24D. 0.56【解析】选B.由随机变量X的分布列得:E(X)=-2×0.16+1×0.44+3×0.40=1.32.2.(2017·郑州高二检测)已知随机变量X的分布列为且η=2X+3,则E(η)等于( )A. B. C. D.【解析】选C.因为E(X)=0×+1×+2×=,所以E(η)=E(2X+3)=2E(X)+3=.3.(2017·烟台检测)已知ξ～B,η～B,且E(ξ)=15,则E(η)等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20【解析】选B.因为ξ～B,所以E(ξ)=n·=15,解得n=30,又η～B,所以E(η)=n·=30×=10.【补偿训练】(2017·长沙高二检测)设ξ～B(18,p),又E(ξ)=9,则p 的值为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为ξ～B(18,p),E(ξ)=9,所以18p=9,所以p=.4.某人从家乘车到单位,途中有3个交通岗亭.假设在各交通岗亭遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人上班途中遇到红灯的次数X的均值为( ) A.0.4 B.1.2 C.0.43 D.0.6【解析】选B.由题意知途中遇到红灯的次数X服从二项分布,即X～B(3,0.4),所以E(X)=3×0.4=1.2.5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=( )A. B. C. D.【解析】选B.依题意知X=0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=0×+1×+2×+3×==.6.(2017·济南高二检测)设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望值为,则口袋中白球的个数为( )A.3B.4C.5D.2【解题指南】可设白球为x个,依据题设得出关于x的一个方程,解方程即可得到白球的个数.【解析】选A.设白球x个,则黑球(7-x)个,取出的2个球中所含白球个数为X,则X取值为0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以0×+1×+2×=,所以x=3.7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的均值E(X)为( )A. B. C. D.【解析】选B.依题意,知X的所有可能取值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=,若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X=2)=,P(X=4)=×=,P(X=6)==. 故E(X)=2×+4×+6×=.【补偿训练】现有10张奖券,8张2元的、2张5元的,某人从中随机抽取3张,则此人得奖金额ξ的数学期望是 ( ) A.6 B.7.8 C.9 D.12【解析】选B.因为P(ξ=6)=,P(ξ=9)=,P(ξ=12)=,所以E(ξ)=6×+9×+12×=7.8.8.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p ≠0),发球次数为X,若X 的数学期望E(X)>1.75,则p 的取值范围是 ( )A. B. C. D.【解析】选C.发球次数X 的分布列如下表,所以E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p>(舍去)或p<,又p>0,所以p∈.二、填空题(每小题5分,共10分)9.设p为非负实数,随机变量X的分布列为:-p则E(X)的最大值为________.【解析】由表可得从而得p∈,期望值E(X)=0×+1×p+2×=p+1,当且仅当p=时,E(X)最大值=.答案:【补偿训练】已知随机变量X和η,其中η=4X-2,且E(η)=7,若X的分布列如表,则n的值为________.【解题指南】由分布列的性质可得m与n的一个方程,由期望的定义与性质可得m与n的另一个方程,两方程联立可解得m,n.【解析】η=4X-2⇒E(η)=4E(X)-2⇒7=4·E(X)-2⇒E(X)=⇒=1×+2×m+3×n+4×,又+m+n+=1,联立求解可得n=.答案:10.(2017·洛阳高二检测)某人共有五发子弹,他射击一次命中目标的概率是,击中目标后射击停止,射击次数X为随机变量,则E(X)=________.【解析】随机变量X的分布列:可知E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017·保定高一检测)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖.记他们的累计得分为X,求X≤3的概率.(2)若小明、小红两个人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大.【解析】(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A.则事件A的对立事件为“X=5”,因为P(X=5)=×=,所以P(A)=1-P(X=5)=,即这两人的累计得分X≤3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).由已知可得,X1～B,X2～B,所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×=,从而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.12.(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率.(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).【解析】(1)由题意,“星队”至少猜对3个成语包含“甲对一乙对二”“甲对二乙对一”与“甲乙全对”,所以P=××××+××××+×××=++=.(2)“星队”两轮得分之和X的可能值为:0,1,2,3,4,6.P(X=0)=×=;P(X=1)=(×××+×××)×2=;P(X=2)=×××+×××+×××+×××=;P(X=3)=××2==;P(X=4)=×××2=;P(X=6)=×=.可得随机变量X的分布列为所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.【能力挑战题】(2017·北京高考)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“·”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率.(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)【解析】(1)由图可知,在50名服药患者中,有15名患者指标y的值小于60,则从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为即.(2)由图,A,C两人指标x的值大于1.7,而B,D两人则小于1.7,可知在四人中随机选出两人,ξ的可能取值为0,1,2.且P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,分布列如下E(ξ)=0×+1×+2×=1,即所求数学期望为1.(3)由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大.关闭Word文档返回原板块。

课后提升训练十六离散型随机变量的方差(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.随机变量X的分布列为若E(X)=1,则D(X)= ( )A. B.1 C. D.【解析】选C.由题意得+a+b=1,①0×+1×a+2b=1,②由①②两式解得:a=b=.所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=+=.2.已知X的分布列为则D(X)的值为( )A. B. C. D.【解析】选C.E(X)=1×+2×+3×+4×=,D(X)=×+×+×+×=.3.设X的分布列为P(X=k)=(k=0,1,2,3,4,5),则D(3X)= ( )A.10B.30C.15D.5【解析】选A.由X的分布列知X～B,所以D(X)=5××=,所以D(3X)=9D(X)=10.4.(2017·宝鸡高二检测)同时抛两枚均匀硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为X,则D(X)等于( )A. B. C. D.5【解析】选A.由题意知X～B,所以D(X)=10××=.5.(2017·青岛高二检测)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.,s2+1002B.+100,s2+1002C.,s2D.+100,s2【解析】选 D.设下月起每位员工的月工资增加100元后的均值和方差分别为,s'2,则==+100.方差s'2=×[(x1+100--100)2+(x2+100--100)2+…+(x10+100--100)2]=s2.6.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取到次品的件数,则D(X)等于( )A. B. C. D.【解析】选D.X的所有可能取值是0,1,2.而P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以X的分布列为于是E(X)=0×+1×+2×=,所以D(X)=×+×+×=.7.甲、乙两台自动车床各生产同种标准产品1000件,ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数,η表示乙车床生产1000件产品中的次品数,经过一段时间的考察,ξ,η的分布列分别如表一、表二所示.表一表二3据此判定( )A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好C.甲与乙质量相同D.无法判定【解题指南】分别计算随机变量ξ与η的均值与方差,一般来说均值越小,方差也小的质量好.【解析】选B.由分布列可求甲的次品数均值为E(ξ)=0.7,乙的次品数均值为E(η)=0.7,进而得D(ξ)=(0-0.7)2×0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1=1.21,D(η)=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01,故乙的质量要比甲好.8.(2017·唐山高二检测)已知X的分布列为则①E(X)=-,②D(X)=,③P(X=0)=,其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据分布列知,P(X=0)=,E(X)=(-1)×+1×=-,所以D(X)=×+×+×=.只有①③正确.二、填空题(每小题5分,共10分)9.若随机变量X～B,则E(X)=________,D(X)=________.又Y=2X+1,则E(Y)=________,D(Y)=________.【解析】易知E(X)=,D(X)=.所以E(Y)=2E(X)+1=,D(Y)=4D(X)=.答案:【补偿训练】(2017·东莞高二检测)如果随机变量ξ～B(n,p),且E(ξ)=7, D(ξ)=6,则p等于________. 【解析】因为随机变量ξ～B(n,p),且E(ξ)=7,D(ξ)=6,所以所以7(1-p)=6,1-p=,解得p=.答案:10.抛掷两枚骰子,当至少有一枚5点或一枚6点出现时,就说这次试验成功,则在30次试验中成功次数X 的方差D(X)=________.【解析】利用古典概型计算概率的公式计算1次试验成功的概率P==,在30次试验中成功次数X服从二项分布,即X～B,所以D(X)=30××=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)11.有10张卡片,其编号分别为1,2,3,…,10,从中任意抽取3张,记号码为3的倍数的卡片张数为X,求X 的均值、方差、标准差.【解析】X的可能值为0,1,2,3,所以P(X=0)==;P(X=1)==;P(X=2)==;P(X=3)==.故X的均值为E(X)=0×+1×+2×+3×=;方差为D(X)=×+×+×+×=;标准差为==.12.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列.(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.【解析】(1)依据题意0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1,因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分别为(2)结合(1)中ξ,η的分布列可得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环),E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环),D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.由于E(ξ)>E(η),说明甲平均射中的环数比乙高;又D(ξ)<D(η),说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定,所以甲的技术比乙好.【能力挑战题】根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(1)工期延误天数Y的均值与方差.(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.【解析】(1)由已知条件和概率的加法公式有:P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,所以P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为:于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.(2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)===,故在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是.。

2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值课后篇巩固探究基础巩固1.若随机变量X 的分布列为则其数学期望E (X )等于( ) A.1 B.13C.4.5D.2.65(X )=1×0.55+4×0.3+6×0.15=2.65.2.已知篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.若某运动员罚球的命中率是0.7,则他罚球6次的总得分X 的均值是( ) A.0.70 B.6C.4.2D.0.42X~B (6,0.7),E (X )=6×0.7=4.2.3.若随机变量X 的分布列如下表,则E (5X+4)等于( )A.16B.11C.2.2D.2.3E (X )=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E (5X+4)=5E (X )+4=5×2.4+4=16.故选A .4.现有10张奖券,8张2元的、2张5元的,某人从中随机抽取3张,则此人得奖金额的均值是( ) A.6 B.7.8C.9D.12X ,则X 的所有可能取值为12,9,6.P (X=12)=C 81C 22C 103=115,P (X=9)=C 82C 21C 103=715,P (X=6)=C 83C 103=715,故E (X )=7.8.5.已知ξ~B n ,12,η~B n ,13,且E (ξ)=15,则E (η)等于( ) A.5B .10C.15D .20解析因为ξ~B n ,12,所以E (ξ)=n2.又E (ξ)=15,则n=30. 所以η~B 30,13.故E (η)=30×13=10.6.一个高考考生咨询中心有A,B,C 三条咨询热线,已知某一时刻热线A,B 占线的概率均为0.5,热线C 占线的概率为0.4,各热线是否占线相互之间没有影响,假设该时刻有X 条占线,则E (X )= .X 可能的取值为0,1,2,3,依题意知P (X=0)=0.15,P (X=1)=0.4,P (X=2)=0.35,P (X=3)=0.1.故E (X )=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4..47.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:已知ξ的期望E (ξ)=8.9,则y 的值为 .{x +0.1+0.3+y =1,7x +8×0.1+9×0.3+10y =8.9,解得y=0.4..48.某次考试中,第一大题由12个选择题组成,每题选对得5分,不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的均值为 .X ,得分为Y=5X ,则X~B (12,0.8),E (X )=np=12×0.8=9.6,E (Y )=E (5X )=5E (X )=5×9.6=48.9.盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有2节废电池,现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止.求: (1)抽取次数X 的分布列; (2)抽取次数X 的均值.由题意知,X 的可能取值为1,2,3.P (X=1)=35,P (X=2)=25×34=310, P (X=3)=25×14=110. 所以X 的分布列为(2)E (X )=1×35+2×310+3×110=1.5.10.为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚,为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少? (2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.①求这两种金额之和不低于20元的概率;②若用X 表示这两种金额之和,求X 的分布列和数学期望.由条件可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是40200−200=320.(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A ,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有C 52=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P (A )=610=35.②根据条件,X 的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为故E (X )=5×110+10×110+15×15+20×15+25×5+30×10+35×10=20.能力提升1.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0),发球次数为X ,若X 的数学期望E (X )>1.75,则p 的取值范围是 ( )A.(0,712)B.(0,12)C.(712,1) D.(12,1),X 的所有可能取值为1,2,3,且P (X=1)=p ,P (X=2)=p (1p ),P (X=3)=(1p )2,则E (X )=p+2p (1p )+3(1p )2=p 23p+3,依题意有E (X )>1.75,则p 23p+3>1.75,解得p>52或p<12,结合p 的实际意义,可得0<p<12,即p ∈(0,12).2.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X 的期望为 ( )A.13 B .23C.2D .831,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,所以取出的球的最大编号X 的可能取值为2,3,所以P (X=2)=1C 32=13,P (X=3)=C 21C 11C 32=23,所以E (X )=2×13+3×23=83.3.设l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率k 等可能地取2√2,√3,√52,0,√52,√3,2√2,用ξ表示坐标原点到l的距离,则随机变量ξ的数学期望E (ξ)= .l 的斜率k 为±2√2时,直线l 的方程为±2√2xy+1=0,此时坐标原点到l 的距离ξ=13;当k 为±√3时,ξ=12; 当k 为±√52时,ξ=23;当k 为0时,ξ=1.由古典概型的概率公式可得分布列如下:故E (ξ)=13×27+12×27+23×27+1×17=47.4.已知箱中装有除颜色外其他都相同的4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出的3个球所得分数之和,则X 的均值E (X )= .3,4,5,6,P (X=3)=C 53C 93=542,P (X=4)=C 52C 41C 93=1021, P (X=5)=C 51C 42C 93=514,P (X=6)=C 43C 93=121,所以X 的分布列为X 的均值E (X )=15+80+75+1242=133.5.设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3,P (X=k )=ak+b (k=1,2,3).又X 的均值E (X )=3,则a+b= .P (X=1)=a+b ,P (X=2)=2a+b ,P (X=3)=3a+b ,∴E (X )=1×(a+b )+2×(2a+b )+3×(3a+b )=3, ∴14a+6b=3.①又∵(a+b )+(2a+b )+(3a+b )=1,∴6a+3b=1.②∴由①②可知a=12,b=23.∴a+b=16.6.某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了3名男生、2名女生,B 中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望.由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 43C 63C 63=1100.因此,A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为11100=99100.(2)根据题意,X 的可能取值为1,2,3. P (X=1)=C 31C 33C 64=15,P (X=2)=C 32C 32C 64=35,P (X=3)=C 33C 31C 64=15.所以X 的分布列为因此,X 的数学期望为E (X )=1×P (X=1)+2×P (X=2)+3×P (X=3)=1×15+2×35+3×15=2.7.小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机发放红包,每次发放1个. (1)若小王发放5元的红包2个,求甲恰得1个的概率;(2)若小王发放3个红包,其中5元的2个,10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X ,求X 的分布列和期望.设“甲恰得1个红包”为事件A ,则P (A )=C 21×13×23=49.(2)X 的所有可能取值为0,5,10,15,20. P (X=0)=(23)3=827,P (X=5)=C 21×13×(23)2=827,P (X=10)=(13)2×23+(23)2×13=29,P (X=15)=C 21×(13)2×23=427,P (X=20)=(13)3=127. X 的分布列为故E (X )=0×827+5×827+10×29+15×427+20×27=3.8.(选做题)某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超过4 km 时租车费为10元,若行驶路程超出4 km,则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km .某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按1 km 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η. (1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式; (2)若随机变量ξ的分布列为求所收租车费η的数学期望;(3)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15 km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?依题意得,η=2(ξ4)+10,即η=2ξ+2.(2)E (ξ)=15×0.1+16×0.5+17×0.3+18×0.1=16.4.∵η=2ξ+2,∴E (η)=2E (ξ)+2=34.8(元).故所收租车费η的数学期望为34.8元. (3)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(1815)=15. 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.。