成都九校联考2016-2017学年高二下学期数学(文)期中试卷及答案

2015--2016年学年度高二下期期中考试数学试题（文科）时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

）1．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是 （ ） A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B ．若11<<-x ，则12<x C ．若1>x 或1-<x ，则12>x D ．若1≥x 或1-≤x ，则12≥x2.在△ABC 中，已知a ＝32，b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，则c 等于( ) A ． 2 B ． 72 C ． 2或72 D ． 2或73.函数xx y 1+=的极值情况是( ) A.有极大值2,极小值-2 B.有极大值-2,极小值2 C.无极大值,但有极小值-2 D.有极大值2,无极小值.4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（ g ）范围内的概率是 （ ） A ．0.62 B ．0.38 C ．0.68 D ．0.025. 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 6.设函数f (x )可导，则()()xf x f X ∆-∆+→∆311lim等于( )．A ． f ′(1)B ． 3f ′(1)C ．31f ′(1) D ． f ′(3)7. 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A. (1,0)B. (2,8)C. (1,0)和(1,4)--D. (2,8)和(1,4)--8．已知向量(1,2)a =- ，(2,3)b =，m a b λ=+ ，n a b =- ，若与n 垂直，则实数λ的值是( )A ．6B ．7C ．8D ．99.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x 2＋3x ＋1，则f (x )等于( )A ． x 2B ． 2x 2C ． 2x 2＋2D ． x 2＋110．m ⋅n>0 ，是方程 221x y m n +=表示椭圆的（ ）条件．A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要11．如右图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（ ）A ．23B ．43C ．83D ．123 12．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且a b F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若121IP FI P FI F F S S S λ∆∆∆=+成立， 则λ的值为（ ）A ．2221+ B ．132- C ．12- D ．12+第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 13．已知命题p :函数)32ln()(2++-=x x x f 的定义域为)3,1(-;命题：q 函数)32ln()(2++-=x x x f 的单调递减区间为),1[+∞.那么命题p 的真假为_______，q p ∧的真假为________(填“真”或“假”)．14．利用计算机产生0～2之间的均匀随机数x ，则事件“3x ﹣2≥0”发生的概率为 ．15．已知双曲线 的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF ．若||6AF =，||8BF =，．16.已知函数x xe x f =)(，记)()(0x f x f '=，10()()f x f x '=，…，)()(1x f x f n n -'=，n N∈且210x x >>，对于下列命题：①函数()n f x 存在平行于x 轴的切线；②1212()()0n n f x f x x x ->-； ③2015()2017x x f x xe e '=+； ④1221()()f x x f x x +>+．其中正确的命题序号是____________(写出所有满足题目条件的序号）.三、解答题(本大题共6个小题,其中17、18、19、20、21题每题12分，20题22题14分，共74分。

2016-2017学年四川省成都市九校联考高三（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，集合B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）关于复数z＝，下列说法中正确的是（）A．|z|＝2B．z的虚部为﹣iC．z的共轭复数位于复平面的第三象限D．z•＝23．（5分）已知直线a，b和平面α，下列说法中正确的是（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a⊥α，b⊂α，则a⊥bC．若a，b与α所成的角相等，则a∥bD．若a∥α，b∥α，则a∥b4．（5分）某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：由公式K2＝，算得K2≈7.61附表：参照附表，以下结论正确是（）A．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5．（5分）函数y＝ln cos x（）的图象是（）A．B．C．D．6．（5分）已知sin（α+）＝﹣，α∈（0，π），则cosα＝（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）某程序框图如图所示，若t＝7，则输出的值为（）A．8B．6C．4D．28．（5分）在区间[0，4]上随机产生两个均匀随机数分别赋给a，b，则|a﹣b|≤1的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为，则|PF|＝（）A．B．6C．8D．1610．（5分）若函数f（x）＝2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•＝（）A．﹣32B．﹣16C．16D．3211．（5分）三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π12．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣bx，若x＝1是f（x）的极大值点，则a 的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是．14．（5分）若x，y满足则z＝x+2y的最大值为．15．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上单调增，且f（2）＝1，则满足f（x﹣1）＞1的x的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝sin C，c＝2，则a+b的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）若数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n+n．（1）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（2）设b n＝log2（1﹣a n），求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在某次测试后，一位老师从本班48同学中随机抽取6位同学，他们的语文、历史成绩如表：（1）若规定语文成绩不低于90分为优秀，历史成绩不低于80分为优秀，以频率作概率，分别估计该班语文、历史成绩优秀的人数；（2）用上表数据画出散点图易发现历史成绩y与语文成绩x具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.1）．参考公式：回归直线方程是y＝bx+a，其中b＝，a＝﹣b．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．20．（12分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，圆C2：x2+y2＝2经过椭圆C1的焦点．（1）求C1的方程；（2）过点M（﹣1，0）的直线l与曲线C1，C2自上而下依次交于点A，B，C，D，若＝，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1＝0垂直，求a 的值；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x1）+f（x2）＞﹣5．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ＝α与圆C1的交点分别为O、P，与圆C2的交点分别为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．23．（10分）设函数f（x）＝|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年四川省成都市九校联考高三（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，集合B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．（5分）关于复数z＝，下列说法中正确的是（）A．|z|＝2B．z的虚部为﹣iC．z的共轭复数位于复平面的第三象限D．z•＝2【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数z＝＝＝﹣1﹣i，故|z|＝，z的虚部是﹣1，z•＝（﹣1﹣i）（﹣1+i）＝2，故选：D．3．（5分）已知直线a，b和平面α，下列说法中正确的是（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a⊥α，b⊂α，则a⊥bC．若a，b与α所成的角相等，则a∥bD．若a∥α，b∥α，则a∥b【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：对于A：若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，故错误；对于B，利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故正确；对于C，若a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故错误；对于D，由a∥α，b∥α，则a，b之间的位置关系可以是相交，平行，异面，不一定平行，故本说法不正确．故选：B．4．（5分）某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：由公式K2＝，算得K2≈7.61附表：参照附表，以下结论正确是（）A．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【考点】BL：独立性检验．【解答】解：由题意知本题所给的观测值，K2≈7.61＞6.635，∴这个结论有0.010的机会出错，即有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”．故选：C．5．（5分）函数y＝ln cos x（）的图象是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：∵cos（﹣x）＝cos x，∴是偶函数，可排除B、D，由cos x≤1⇒ln cos x≤0排除C，故选：A．6．（5分）已知sin（α+）＝﹣，α∈（0，π），则cosα＝（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：sin（α+）＝﹣＜0α∈（0，π），∈（，），∴∈（π，）cos（）＝．那么：cosα＝cos（）＝cos（）cos+sin（α+）sin＝．故选：D．7．（5分）某程序框图如图所示，若t＝7，则输出的值为（）A．8B．6C．4D．2【考点】EF：程序框图．【解答】解：当S＝0时，满足继续循环的条件，则S＝1，k＝8；当S＝1时，满足继续循环的条件，则S＝3，k＝6；当S＝3时，满足继续循环的条件，则S＝11，k＝4；不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：C．8．（5分）在区间[0，4]上随机产生两个均匀随机数分别赋给a，b，则|a﹣b|≤1的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【解答】解：在区间[0，4]上随机产生两个均匀随机数分别赋给a，b，区域面积为16，则|a﹣b|≤1表示的区域面积为16﹣9＝7，∴所求概率为，故选：B．9．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为，则|PF|＝（）A．B．6C．8D．16【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：∵抛物线方程为y2＝8x，∴焦点F（2，0），准线l方程为x＝﹣2，∵直线AF的斜率为，直线AF的方程为y＝（x﹣2），由，可得A点坐标为（﹣2，4），∵P A⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），∴|PF|＝|P A|＝6﹣（﹣2）＝8，故选：C．10．（5分）若函数f（x）＝2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•＝（）A．﹣32B．﹣16C．16D．32【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；H2：正弦函数的图象．【解答】解：由f（x）＝2sin（）＝0可得∴x＝6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x＝4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C两点关于A对称即x1+x2＝8，y1+y2＝0则（+）•＝（x1+x2，y1+y2）•（4，0）＝4（x1+x2）＝32故选：D．11．（5分）三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π【考点】L7：简单空间图形的三视图；LG：球的体积和表面积．【解答】解：由三视图可得：DC⊥平面ABC且底面△ABC为正三角形，如图所示，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，在Rt△BCF中，BF＝2，CF＝2，BC＝4，在Rt△BCD中，CD＝4，所以BD＝4．设球心到平面ABC的距离为d，因为DC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，所以d＝2，因为△ABC的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得R2＝d2+22＝8，则该三棱锥外接球的半径R＝2，所以三棱锥外接球的表面积是4πR2＝32π，故选：A．12．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣bx，若x＝1是f（x）的极大值点，则a 的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝﹣ax﹣b，由f'（1）＝0，得b＝1﹣a．所以f'（x）＝．①若a≥0，由f'（x）＝0，得x＝1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以x＝1是f（x）的极大值点．②若a＜0，由f'（x）＝0，得x＝1，或x＝﹣．因为x＝1是f（x）的极大值点，所以﹣＞1，解得﹣1＜a＜0．综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是y＝±2x．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：∵双曲线标准方程为＝1，其渐近线方程是＝0，整理得y＝±2x．故答案为y＝±2x．14．（5分）若x，y满足则z＝x+2y的最大值为2．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由足约束条件作出可行域如图，由z＝x+2y，得y＝﹣+．要使z最大，则直线y＝﹣+的截距最大，由图可知，当直线y＝﹣+．过点A时截距最大．联立，解得，∴A（0，1），∴z＝x+2y的最大值为0+2×1＝2．故答案为：2．15．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上单调增，且f（2）＝1，则满足f（x﹣1）＞1的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2）＝1，则f（x﹣1）＞1⇒f（|x﹣1|）＞f（2），又由函数f（x）在在[0，+∞）上单调增，则有|x﹣1|＞2，解可得x＜﹣1或x＞3，即x∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）则f（x﹣1）＞1的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝sin C，c＝2，则a+b的最大值为．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：∵＝sin C，∴＝sin C＝2cos C，可得tan C＝．C∈（0，π），解得C＝．∴＝＝＝4．∴a＝4sin A，b＝4sin B．则a+b＝4sin A+4sin＝，∵A∈，∴（A+）∈，∴sin∈．∴a+b≤4，当A＝时取等号．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）若数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n+n．（1）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（2）设b n＝log2（1﹣a n），求数列{}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【解答】（1）证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，解得a1＝1．当n＞1时，由题意，S n﹣1＝2a n﹣1+（n﹣1），S n﹣S n﹣1＝（2a n+n）﹣[2a n﹣1+（n﹣1）]＝2a n﹣2a n﹣1+1，即a n＝2a n﹣1﹣1．∴a n﹣1＝2（a n﹣1﹣1），即，∴数列{a n﹣1}是首项为﹣2，公比为2的等比数列；（2）解：由（1），，∴，∴b n＝log2（1﹣a n）＝，＝．则．18．（12分）在某次测试后，一位老师从本班48同学中随机抽取6位同学，他们的语文、历史成绩如表：（1）若规定语文成绩不低于90分为优秀，历史成绩不低于80分为优秀，以频率作概率，分别估计该班语文、历史成绩优秀的人数；（2）用上表数据画出散点图易发现历史成绩y与语文成绩x具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.1）．参考公式：回归直线方程是y＝bx+a，其中b＝，a＝﹣b．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：（1）由表中数据，语文成绩为优秀的频率是＝，历史成绩为优秀的频率是＝，故该班语文成绩优秀的人数是48×＝24，历史成绩优秀的人数为48×＝16；…（4分）（2）由表中数据可得，＝×（60+70+74+90+94+110）＝83，＝×（58+63+75+79+81+88）＝74；…（6分）且（x i﹣）（y i﹣）＝1010，＝1678；…（9分）所以回归系数为b＝＝≈0.6，a＝74﹣0.6×83＝24.2；…（11分）所以y与x的线性回归方程为y＝0.6x+24.2．…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．【考点】LS：直线与平面平行；MK：点、线、面间的距离计算．（1）证明：设PC的中点为Q，连接EQ，FQ，由题意，FQ∥DC且，【解答】AE∥CD且，故AE∥FQ且AE＝FQ，所以，四边形AEQF为平行四边形所以，AF∥EQ，且EQ⊂平面PEC，AF⊄平面AEC所以，AF∥平面PEC（6分）（2）解：由（1），点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的距离，设为d．由条件易求，PE＝，PC＝2，EQ＝故，所以由V A﹣PEC ＝V P﹣AEC得，解得（12分）20．（12分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，圆C2：x2+y2＝2经过椭圆C1的焦点．（1）求C1的方程；（2）过点M（﹣1，0）的直线l与曲线C1，C2自上而下依次交于点A，B，C，D，若＝，求直线l的方程．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）由题意，，，解得，∴b＝＝2，∴C1的方程为；（2）设直线l的方程为x＝my﹣1，联立，消去x，得（2m2+3）y2﹣4my﹣10＝0．设A（x1，y1），D（x2，y2），则，联立，消去x，得（m2+1）y2﹣2my﹣1＝0．设B（x3，y3），C（x4，y4），则，∵＝，∴y3﹣y1＝y2﹣y4，从而y1+y2＝y3+y4，即，解得m＝0．∴直线l的方程为x＝﹣1．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1＝0垂直，求a 的值；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x1）+f（x2）＞﹣5．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）∵f′（x）＝x﹣a+＝，∴k＝f′（1）＝4﹣2a，∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1＝0垂直，∴k＝﹣，∴4﹣2a＝﹣，解得a＝（2）由题意，x1，x2为f′（x）＝0的两根，∴，∴2＜a＜3，又∵x1+x2＝a，x1x2＝3﹣a，∴f（x1）+f（x2）＝（x12+x22）﹣a（x1+x2）+（3﹣a）lnx1x2，＝f（x）＝﹣a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），设h（a）＝﹣a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），a∈（2，3），则h′（a）＝﹣a﹣ln（3﹣a），∴h″（a）＝﹣1+＝＞0，故h′（a）在（2，3）递增，又h′（2）＝﹣2＜0，当a→3时，h′（a）→+∞，∴∃a0∈（2，3），当a∈（2，a0）时，h（a）递减，当a∈（a0，3）时，h（a）递增，∴h（a）min＝h（a0）＝﹣a02+a0﹣3+（3﹣a0）ln（3﹣a0）＞﹣a02+a0﹣3+（3﹣a0）（﹣a0）＝a02﹣2a0﹣3＝（a0﹣2）2﹣5＞﹣5．∴∀a∈（2，3），h（a）＞﹣5，综上，f（x1）+f（x2）＞﹣5．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ＝α与圆C1的交点分别为O、P，与圆C2的交点分别为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）圆C1和C2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），普通方程分别为（x﹣2）2+y2＝4，x2+（y﹣1）2＝1，极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝2sinθ；（2）设P，Q对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP|•|OQ|＝ρ1ρ2＝4sin2α，∴sin2α＝1，|OP|•|OQ|的最大值为4．23．（10分）设函数f（x）＝|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）＝﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t 恒成立，只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．。

2017年高二下学期数学（理）期中试卷(成都九校联考含答案)2016～2017 学年度（下期）高201 级期中联考试卷理科数学考试时间共120 分钟，满分10 分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。

2选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3考试结束后由监考老师将答题卡收回。

第Ⅰ卷选择题（共60 分）一、选择题（本大题共12 小题，每小题分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）→→→→1．三棱柱AB—A1B11 中，若A＝a，B＝b，1＝，则A1B等于() A．a＋b－B．a－b＋．－a＋b＋D．－a＋b－2．函数f ( x) &#6101; sin x &#61483; ex ，则f ‘(0)的值为()第1 题图A．1B．2．3D．03 已知，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是() A．若∥α，n∥α，则∥nB．若⊥α，n&#8834;α，则⊥n ．若⊥α，⊥n，则n∥αD．若∥α，⊥n，则n⊥αx4．函数f ( x) &#6101; 的单调递减区间是()ln xA．(0, e)B．(e,&#61483;&#6160;)．(0,1), (1, e)D(&#6148;&#6160;, e)．在棱长为2 的正方体ABD &#6148; A1 B11 D1 中，是底面ABD 的中心，E、F 分别是1 、AD 的中点，那么异面直线E 和FD1 所成的角的余弦值等于()A．1B．10．4D．23－π，π6．已知函数f(x)＝x－sin x，若x1，x2∈22 ，且f(x1)＋f(x2)&gt;0，则下列不等式中正确的是()A．x1&gt;x2 B．x1&lt;x2．x1＋x2&gt;0D．x1＋x2&lt;07 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是()A．3 B．92．3D．22第7 题图8．若对任意的x&gt;0，恒有lnx≤px－1(p&gt;0)，则p 的取值范围是()A．(0,1]B．(1，＋∞)．(0,1)D．[1，＋∞)9．甲、乙两人约定在下午4:30 &#61498; :00 间在某地相见，且他们在4:30 &#61498; :00 之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是()38A．B．49711．D．161210．如图在一个60&#61616; 的二面角的棱上有两个点A，B，线段分别A、BD 在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且AB＝A＝a ，BD＝2a ，则D 的长为()A．2a B．aAB．aD．3aD11．已知函数f ( x) &#6101; ax3 &#61483; bx2 &#61483; x &#61483; d 的图象如图所示，则b &#61483; 1 的取值范围是()a &#61483; 1第10 题图A．(&#6148; 3 , 1 )B．(&#6148; 2 ,1)122 2-10x．(&#6148; 1 , 3 )D．(&#6148; 3 ,1)2 22第11 题图x 2 212．已知F1 ，F2 分别为双曲线：&#6148;a 2b 2&#6101; 1 的左、右焦点，若存在过F1 的直分别交双曲线的左、右支于 A ， B 两点，使得&#61648;BAF2 &#6101; &#61648;BF2 F1 ，则双曲线的离心率e 的取值范围是()A．&#61480;3,&#61483;&#6160;&#61481;B．&#61480;1,2 &#61483; &#61481; &#61480;3,2 &#61483; &#61481;D．&#61480;1,3&#61481;第Ⅱ卷非选择题（共90 分）二、填空题（本大题共4 小题，每小题分，共20 分）13．1 x2dx = ．0第12 题图2 22 214．已知椭圆1 : 2 &#61483; 2ab&#6101; 1(a &#6102; b &#6102; 0) 与双曲线2 : x &#6148; &#6101;4 有相同的右焦点F2 ，点P 是1 和2 的一个公共点，若PF2&#6101; 2 ，则椭圆1 的离心率等于．1．四棱柱ABD－A1B11D1 中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°则线段A1 与平面AB 所成角的正弦值为ex16．已知函数f &#61480; x &#61481; &#6101; 1 &#6148;x2 &#61483; x &#61483; 1，若存在唯一的正整数x0 ，使得 f &#61480; x0 &#61481; &#61619; 0 ，则实数的取值范围为．三、解答题（本大题共 6 小题，第17 题满分10 分，18-22 每题满分12 分，共70 分；解答应写出字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在直三棱柱AB &#6148; A1B11 中，A &#6134; B ，点D 是AB 的中点，求证：（Ⅰ）A &#6134; B1 ；（Ⅱ）A1 // 平面B1D ．18．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于0 分的试卷中随机抽取100 名学生的成绩(得分均为整数，满分100 分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：组号分组频数频率第1 组[0，60)00第2 组[60，70)a03第3 组[70，80)30b第4 组[80，90)20020第组[90，100]10010合计100100（Ⅰ）求a、b 的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉字听写比赛，并从中选出 2 人做种子选手，求2 人中至少有1 人是第4 组的概率．19．已知函数f(x)＝x2＋2aln x（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；2（Ⅲ）若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．x20．在四棱锥P -ABD 中，△ PAB 为正三角形，四边形ABD 为矩形，平面PAB &#6134; 平面ABD ，AB =2 AD ，,N 分别为PB,P 的中点（Ⅰ）求证：N //平面PAD ；（Ⅱ）求二面角B—A—的大小；（Ⅲ）在B 上是否存在点E ，使得EN ⊥平面AN ？BE若存在，求B的值；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆: x&#6101; 1 &#61480;a &#6102; b &#6102; 0 &#61481; 经过点P(1,3 ) ，离心率e &#6101; 3ab（Ⅰ）求椭圆的标准方程；22 ．（Ⅱ）设过点E &#61480;0 , &#6148; 2 &#61481; 的直线l 与相交于P, Q 两点，求&#6108;PQ 面积的最大值．22．已知f ( x) &#6101;1 x2 ，g ( x) &#6101; a ln x(a &#6102; 0)2（Ⅰ）求函数F ( x) &#6101;（Ⅱ）若函数G( x) &#6101;取值范围；f ( x) g ( x) 的极值；f ( x) &#6148;g ( x) &#61483; (a &#6148; 1) x 在区间(1 , e) 内有两个零点，求的e（Ⅲ）函数h( x) &#6101; g &#61480; x &#61481; &#6148; x &#61483;1 ，设x &#61646; (0,1) ，x &#61646; (1, &#61483;&#6160;) ，若h( x ) &#6148; h( x )x1 2 2 1存在最大值，记为(a) ，则当a &#61603; e &#61483; 1 时，(a) 是否存在最大值？若存在，求出e其最大值；若不存在，请说明理由．2016～2017学年度（下期）高201级期中联考数学（理科）参考答案及评分建议一、选择题：（每小题分，共60分）1D；2B；3B；4；A；6；7A；8D；9B；10A；11D；12；二、填空题（每小题分，共20分）13 ；14 ；1 ；16 ；三、解答题（共70分）17．证明：（1）在直三棱柱中，平面，所以，，又，，所以，平面，所以，………………（分）（2）设与的交点为，连结，为平行四边形，所以为中点，又是的中点，所以是三角形的中位线，，又因为平面，平面，所以平面………（10分）18．(1)a＝100－－30－20－10＝3，b＝1－00－03－020－010＝030 ………（4分）(2)因为第3、4、组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：660×30＝3人，第4组：660×20＝2人，第组：660×10＝1人，所以第3、4、组应分别抽取3人、2人、1人．……………（6分）设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第组的1位同学为1，则从6位同学中抽2位同学有1种可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，1)，(B1，B2)，(B1，1)，(B2，1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为91＝3……………（12分）19 (1)f′(x)＝2x＋2ax＝2x2＋2ax，由已知f′(2)＝1，解得a＝－3 ……… 4分(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞) ……… 分①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；……… 6分②当a＜0时，f′(x)＝2(x＋－a)x－－a&#61481;x当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：x(0，－a)－a(－a，＋∞)f′(x)－0＋极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，－a)；单调递增区间是(－a，＋∞) ……… 8分(3)由g(x)＝2x＋x2＋2aln x，得g′(x)＝－2x2＋2x＋2ax，由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－2x2＋2x＋2ax≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x－x2在[1,2]上恒成立………10分令h(x)＝1x－x2，在[1,2]上h′(x)＝－1x2－2x＝－(1x2＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)in＝h(2)＝－72，所以a≤－72故实数a的取值范围为{a|a≤－72} ……… 12分20 （Ⅰ）证明：∵，N分别是PB，P中点∴N是△AB的中位线∴N∥B∥AD又∵AD&#8834;平面PAD，N 平面PAD所以N∥平面PAD ………………4分(Ⅱ)过点P作P垂直于AB，交AB于点，因为平面PAB⊥平面ABD，所以P⊥平面ABD，如图建立空间直角坐标系设AB=2，则A（-1,0，0），（1,1，0）,（,0，）, B（1,0，0），N（, ，），则，设平面A法向量为，由可得，令，则，即平面法向量所以，二面角的余弦值因为二面角是锐二面角，所以二面角等于………………8分（Ⅲ）存在………………9分设，则，由可得，所以在存在点，使得平面，此时………………12分21（Ⅰ）由点在椭圆上得，①②由①②得，故椭圆的标准方程为 (9)22：（1）解：∴………1分由得，由，得∴在上单调递减，在上单调递增，∴，无极大值………3分（2）解：∴又，易得在上单调递减，在上单调递增，要使函数在内有两个零点，需，即，………分∴，∴，即的取值范围是………7分（3）若，∵在上满足，∴在上单调递减，∴∴不存在最大值………8分则∴方程有两个不相等的正实数根，令其为，且不妨设则在上单调递减，在上调递增，在上单调递减，对，有；对，有，∴∴将，代入上式，消去得∵，∴，据在上单调递增，得设，，∴，即在上单调递增∴∴存在最大值为………12分。

2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考试卷语文考试时间共150分钟，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

第Ⅰ卷阅读题（70分）一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）中西戏剧观众的心态视角存在着很大差异。

中西戏剧观众心态视角差异的根本原因在于中西戏剧的起源和形成过程不同。

西方戏剧产生于祭奠，是宗教仪式的一个组成部分，始终带有宗教色彩。

宗教仪式是庄重肃穆的，参加宗教仪式的人们怀着崇敬的心情赞颂神的伟大，在观看表现神的伟绩的戏剧时，同样怀着崇敬的心情。

这时，戏剧演出处在一种精神上的高位置，观众处在一种精神上的低位置，观众的心态视角是仰视的。

后来的戏剧虽然脱离了祭奠的宗教气氛，但这种仰视的心态视角却带着祭奠仪式的痕迹保留了下来。

中国戏曲的形成过程是多种娱乐样式的综合。

宗教祭奠仪式对它的形成影响并不大，相对于西方戏剧的形成渊源来说，它本质上是一种娱乐手段，而且，它对多种娱乐手段综合的过程同时也是娱乐性加强的过程。

人们去瓦肆看戏就是为了娱乐，自然在心理上处在高位置，去俯视处在低位置的戏曲。

后来的戏曲中也有具有宗教意味的神仙道化剧，但它完全没有西方戏剧初期的庄重神圣的宗教氛围。

这种形成渊源上的差异，影响了中西戏剧从业人员的社会地位的差异，影响了戏剧在正统文艺中地位的差异，这些都加强了观众的心态视角的差异。

观众心态视角和戏剧的悲喜色彩的选择倾向有着密切的联系。

2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考试卷语文考试时间共150分钟，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

第Ⅰ卷阅读题（70分）一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）中西戏剧观众的心态视角存在着很大差异。

中西戏剧观众心态视角差异的根本原因在于中西戏剧的起源和形成过程不同。

西方戏剧产生于祭奠，是宗教仪式的一个组成部分，始终带有宗教色彩。

宗教仪式是庄重肃穆的，参加宗教仪式的人们怀着崇敬的心情赞颂神的伟大，在观看表现神的伟绩的戏剧时，同样怀着崇敬的心情。

这时，戏剧演出处在一种精神上的高位置，观众处在一种精神上的低位置，观众的心态视角是仰视的。

后来的戏剧虽然脱离了祭奠的宗教气氛，但这种仰视的心态视角却带着祭奠仪式的痕迹保留了下来。

中国戏曲的形成过程是多种娱乐样式的综合。

宗教祭奠仪式对它的形成影响并不大，相对于西方戏剧的形成渊源来说，它本质上是一种娱乐手段，而且，它对多种娱乐手段综合的过程同时也是娱乐性加强的过程。

人们去瓦肆看戏就是为了娱乐，自然在心理上处在高位置，去俯视处在低位置的戏曲。

后来的戏曲中也有具有宗教意味的神仙道化剧，但它完全没有西方戏剧初期的庄重神圣的宗教氛围。

这种形成渊源上的差异，影响了中西戏剧从业人员的社会地位的差异，影响了戏剧在正统文艺中地位的差异，这些都加强了观众的心态视角的差异。

观众心态视角和戏剧的悲喜色彩的选择倾向有着密切的联系。

2016-2017学年四川省成都市双流中学高二（下）期中数学试卷一、选择题：1、设全集U={1，2，3，4}，集合S={1，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A、{2，4}B、{4}C、∅D、{1，3，4}2、已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A、∀x∉R，2x=5B、∀x∈R，2x≠5C、∃x 0∈R，2 =5D、∃x 0∈R，2 ≠53、圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A、﹣B、﹣C、D、24、由直线x= ，x=2，曲线y=﹣及x轴所围图形的面积为（）A、﹣2ln2B、2ln2C、D、5、已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A、﹣6B、5C、38D、﹣106、在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009= ，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A、2015B、2016C、﹣2015D、﹣20167、一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A、B、C、D、8、执行如图所示的程序框图，若输出的n=4，则输入整数p的最大值是（）A、4B、7C、8D、159、若函数y=2sinωx（ω＞0）在上的最小值是﹣2，但最大值不是2，则ω的取值范围是（）A、（0，2）B、D、0﹣（﹣）﹣，﹣ω，ω ，2）．故选：B．【分析】根据x∈求出ωx的取值范围，结合题意列出ω的不等式组，从而求出ω的取值范围．10、【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：f′（x）=e x﹣x﹣m，若函数f（x）有极值，则f′（x）有零点，即g（x）=e x和h（x）=x+m有2个不同的交点，g（x）的切线与h（x）平行，设切点是（x0，），则切线斜率是：k= =1，故x0=0，故切线方程是：y=x+1，g（x）=e x和h（x）=x+m有2个不同的交点，则m＞1，故选：B．【分析】求出函数的导数，问题转化为g（x）=e x和h（x）=x+m有2个不同的交点，求出临界值即可．11、【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y= x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．12、【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵，即e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．二、<b >填空题</b>13、【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：的导数为y′= ，可得曲线在处的切线的斜率为k= =1，由斜率公式可得k=tanα=1，（0≤α＜π，且α≠ ），解得倾斜角为．故答案为：．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式，结合特殊角的正切公式即可得到所求角．14、【答案】【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：∵α为第三象限的角，∴cosα= = ，则tanα= ．故答案为【分析】根据同角三角函数基本关系式，求解即可．15、【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：A，M，E三点共线，∴存在实数λ使得：= ；B，M，D三点共线，∴存在实数μ使得：；∴；∴；∴所以根据平面向量基本定理得；∴；∴，；∵；∴= ；∴．故答案为：．【分析】根据A，M，E三点共线，和B，M，D三点共线，再根据共线向量基本定理以及向量的加法、减法运算即可得到：存在实数λ，μ使得，，，然后根据平面向量基本定理即可得出，从而可表示出，，所以根据已知条件及数量积的运算即可求出．16、【答案】1【考点】数列的求和【解析】【解答】解：当n=1时，2S1=6﹣a1，∴a1=6，∵2S n=6﹣a n，∴2S n﹣1=6﹣a n﹣1，∴2a n=﹣a n+a n﹣1，∴3a n=a n﹣1，∴数列{a n}以6为首项，以为公差的等差数列，∴a n=6×（）n﹣1，∴=2n，∴b2﹣b1=2，b3﹣b2=4，…b n﹣b n﹣1=2（n﹣1），累加可得b n﹣b1=2（1+2+3+…+n﹣1）=n（n﹣1），∴b n=n（n﹣1）+2，∴= ≤ = ﹣，n≥2，∴T n= + + +…+ ≤ + + +…+ = +1﹣+ ﹣+…+ ﹣= ﹣＜1，n≥2时，即T n＜1，当n=1时，T1= ＜1，综上所述T n＜1，∴m的最小值为1故答案为：1．【分析】先根据数列的递推公式可得数列{a n}以6为首项，以为公差的等差数列，再根据对数的运算性质化简=2n，利用累加法求出b n=n（n﹣1）+2，再放缩裂项求和求出T n＜1，问题得以解决．三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：f'（x）=x2﹣2bx+2．时，f'（x）=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2），令f'（x）＞0解得x＜1或x＞2．所以，时函数的单调递增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）．令f'（x）＜0解得1＜x＜2．所以，时函数的单调递减区间为（1，2）（2）解：因为x=﹣1是函数y=f（x）的一个极值点，则f'（﹣1）=0，故：1+2b+2=0解得：，此时f'（x）=x2﹣2bx+2=x2+3x+2，令f'（x）=0解得：x=﹣2或x=﹣1．则x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下．x （﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，+∞）f'（x） + 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增故此时x=﹣1时，f（x）有极小值；x=﹣2时，f（x）有极大值；则当x＞﹣2时，f（x）≥f（﹣1）＞0，显然函数在（﹣2，+∞）上无零点．又，（也可取x=﹣4等），则f（﹣3）f（﹣2）＜0，结合函数在（﹣∞，﹣2）上单调递增，故由零点存在定理知，函数在（﹣∞，﹣2）上必有唯一零点．综上：若x=﹣1是函数y=f（x）的一个极值点，则此时函数y=f（x）在R上有唯一零点【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据x=﹣1是函数y=f（x）的一个极值点，求出b的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而判断函数的零点个数即可．18、【答案】（1）解：=．可得：函数y=f（x）的最小正周期（2）解：因为a，b，c成等比数列，可得：b2=ac，在△ABC中，由余弦定理有：，又由0＜B＜π，得．又，由，得，则，故，故f（B）的取值范围是【考点】三角函数的化简求值，三角函数中的恒等变换应用，余弦定理【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=﹣2sin（2x+ ），利用周期公式即可计算得解．（2）由等比数列的性质可得：b2=ac，由余弦定理可求cosB ，可得范围，进而可求范围，利用正弦函数的性质可求，即可得解．19、【答案】（1）解：从编号1﹣5的五位推销员中随机选出两位，他们的年推销金额组合如下{2，3（1）}，{2，3（2）}，{2，4}，{2，5}，{3（1），3（2）}，{3（1），4}，{3（1），5}，{3（2），4}，{3（2），5}，{4，5}共10种．其中满足两人年推销金额不少于7万元的情况共有6种，则所求概率（2）解：由表中数据可知：，由上公式可得，．故，又当x=11时，，故第6名产品推销员的工作年限为11年，他的年推销金额约为5.9万元【考点】线性回归方程【解析】【分析】（1）列举基本事件，即可求出概率；（2）将表中数据，先求出x，y的平均数，累加相关的数据后，代入相关系数公式，计算出回归系数，得到推销金额y关于工作年限x的线性回归方程，将工作年限为11年代，代入推销金额y关于工作年限x的线性回归方程，即可预报出他的年推销金额的估算值．20、【答案】（1）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB．又∵平面ABC⊥平面ABEF，故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．OC⊥OE，又OE⊥FC，∵OF⊥平面OFC，∴OE⊥OF，又∵OC⊥OF，∴OF⊥平面OEC，∴OF⊥EC．（2）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2．∵∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，∴∠FCA=30°，∴FC=EC=2，△EFC为等边三角形．设FO∩EB=P，则O，B分别为PF，PE的中点，△PEC也是等边三角形．取EC的中点M，连结FM，MP，则FM⊥CE，MP⊥CE，∴∠FMP为二面角F﹣CE﹣B的平面角．在△MFP中，FM=MP= ，FP=2 ，故cos∠FMP= = =- ，即二面角F﹣CE﹣B的余弦值为﹣【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OE，进而得到OF⊥OE，由此能证明OF⊥EC．（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．设AF=1，AB=2．由∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，知∠FCA=30°，由已知条件推导出∠FMP为二面角F﹣CE﹣B的平面角，由此能求出二面角F﹣CE﹣B的余弦值21、【答案】解：（Ⅰ）由已知2a=4 ，得a=2 ，又c=2 ．∴b2=a2﹣c2=4．∴椭圆Γ的方程为．（Ⅱ）由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，①∵直线l与椭圆Γ交于不同两点A、B，∴△=36m2﹣16（3m2﹣12）＞0，解得m2＜16．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两根，则，．∴|AB|= = = ．又由|AB|=3 ，得﹣，解得m=±2据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点．设AB的中点为E（x0，y0），则=﹣，，当m=2时，E（﹣），∴此时，线段AB的中垂线方程为y﹣=﹣（x+ ），即y=﹣x﹣1．令y=2，得x0=﹣3．当m=﹣2时，E（），∴此时，线段AB的中垂线方程为y+ =﹣（x﹣），即y=﹣x+1．令y=2，得x0=﹣1．…（1分）综上所述，x0的值为﹣3或﹣1【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（Ⅰ）由已知2a=4 ，c=2 ．由此能求出椭圆Γ的方程．（Ⅱ）由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线性质、中点坐标公式，结合已知条件能求出x0的值．22、【答案】（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）= ﹣ax+b=0，∴b=a﹣1，∴f′（x）= ﹣ax+a﹣1=﹣，当f′（x）＞0时，∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，当f′（x）＜0时，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减（2）解：假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟随切线”，则k AB= = ﹣+a﹣1，f′（）= ﹣+a﹣1，又k AB=f′（）得= ，∴ln =t，（t＞1），则lnt=2﹣，（t＞1），此式表示有大于1的实数根，令h（t）=lnt+ ﹣2（t＞1），则h′（t）= ＞0∴h（t）是（1，+∞）上的增函数，∴h（t）＞h（1）=0，与lnt=2﹣，（t＞1）有大于1的实数根相矛盾，∴函数f（x）的图象上不存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟随切线”【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，利用f′（1）=0，代入导函数化简即可得到a与b的关系式，用a表示出b；然后分别令导函数大于0和小于0得到关；（2）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间．。

12016～2017 学年度（下期）高 2015 级期中联考试卷理科数学考试时间共 120 分钟，满分 150 分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色 签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。

2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡 皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的）→ → → → 1．三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，若CA ＝a ，CB ＝b ，CC1＝c ，则A1B 等于()A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c2．函数 f ( x ) sin x e x ，则 f '(0) 的值为( )第 1 题图A ．1B ．2C ．3D ．03. 已知 m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥nB ．若 m ⊥α，n ⊂α，则 m ⊥nC ．若 m ⊥α，m ⊥n ，则 n ∥αD ．若 m ∥α，m ⊥n ，则 n ⊥αx 4．函数 f ( x ) 的单调递减区间是()ln xA ．(0, e ) B ． (e ,)C． (0,1), (1, e )D. (, e )5．在棱长为 2 的正方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1 、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD 1 所成的角的余弦值等于()A．15B．10C．4D．25 5 5323－π，π6．已知函数 f (x )＝x －sin x ，若 x 1，x 2∈2 2 ，且 f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是()A ．x 1>x 2B ．x 1<x 2C ．x 1＋x 2>0D ．x 1＋x 2<07. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3， 则正视图中的 x 的值是()A ． 3B ． 92C ．3 D ．22第 7 题图8．若对任意的 x >0，恒有 ln x ≤px －1(p >0)，则 p 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)9．甲、乙两人约定在下午 4:30 5:00 间在某地相见，且他们在 4:30 5:00 之间 到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是()3 8A ．B ．4 97 11 C ．D ．161210．如图在一个 60的二面角的棱上有两个点 A ，B ，线段分别 AC 、BD 在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB ，且 AB ＝AC ＝ a ，BD ＝ 2a ，则 CD 的长为 ( ) A ． 2a B ． C ． aD ． 11．已知函数 f ( x ) ax 3bx2cx db 1的取值范围是( )a 1A ． ( 3 , 1 )B ． (2 ,1) 2 2 5 C ． (1 ,3 )D．(3,1)2 2 2第11题图45xyx 2 y 212．已知 F 1 ， F 2 分别为双曲线C ：a2 b 21 的左、右焦点， 若存在过F 1 的直分别交 双曲线C 的左、右支于 A ， B 两点，使得 BAF 2BF 2 F1 ，则双曲线C 的离心率e 的 取值范围是()A ．3,B ． 1,25C.3,2 5D ． 1,3第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13． 1 x 2dx = ． 0第 12 题图2 2 2 214．已知椭圆 C 1 : 2 2 ab1(a b 0) 与双曲线 C 2 : x y 4 有相同的右焦点F 2 ，点 P 是 C 1 和 C 2 的一个公共点，若PF 22 ，则椭圆 C 1 的离心率等于．15．四棱柱 ABCD －A1B1C1D1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都 相等，且两两夹角为 60°.则线段 AC1 与平面ABC 所成角的正弦值为.me x 16．已知函数 f x 1 x2x1，若存在唯一的正整数 x 0 ，使得 f x 0 0 ，则实数 m 的取值范围为．三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题满分 10 分，18-22 每题满分 12 分，共 70 分； 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， ACBC ，点 D 是 AB 的中点，求证：（Ⅰ） ACBC 1 ；（Ⅱ） AC 1 // 平面 B 1CD ．1AC BDA618．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a、b 的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6 人参加市汉字听写比赛，并从中选出2 人做种子选手，求2 人中至少有1 人是第4 组的概率．19．已知函数f(x)＝x2＋2a ln x.（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；2（Ⅲ）若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．x782 2 2220．在四棱锥 P - ABCD 中，△ PAB 为正三角形，四边形 ABCD 为矩形，平面PAB 平面 ABCD ， AB =2 AD ， M ,N 分别为 PB ,PC 的中点.（Ⅰ）求证： MN //平面 PAD ；（Ⅱ）求二面角 B —AM —C 的大小；（Ⅲ）在 BC 上是否存在点 E ，使得 EN ⊥平面 AMN ？BE 若存在，求 BC的值；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆 C : x y1 ab 0 经过点 P (1,) ，离心率 e3a b（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；22 ．（Ⅱ）设过点E 0 , 2 的直线l 与C 相交于 P , Q 两点，求 OPQ 面积的最大值．22．已知f (x ) 1x2 ，g(x ) a ln x(a 0) .2（Ⅰ）求函数F(x)（Ⅱ）若函数G(x)取值范围；f (x)g(x) 的极值；f (x ) g(x ) (a 1)x 在区间(1, e) 内有两个零点，求的e（Ⅲ）函数h(x ) g xx1，设x (0,1) ，x (1,)，若h(x ) h(x )x 1 2 2 1存在最大值，记为M (a) ，则当a e 1时，M (a) 是否存在最大值？若存在，求出e其最大值；若不存在，请说明理由．9102016～2017学年度（下期）高2015级期中联考数学（理科）参考答案及评分建议一、 选择题：（每小题5分，共60分）1.D ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.C ；7.A ；8.D ；9.B ； 10.A ； 11.D ； 12.C ； 二、 填空题（每小题5分，共20分）13.13；15 . 13； 16 . 273,e e ⎛⎤⎥⎝⎦；三、 解答题（共70分）17．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，所以，1CC AC ⊥， 又AC BC ⊥，1BCCC C =，所以，AC ⊥平面11BCC B ，所以，1AC BC ⊥. ………..………（5分）（2）设1BC 与1BC 的交点为O ，连结OD ， 11BCC B 为平行四边形，所以O 为1BC 中点，又D 是AB 的中点，所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ，又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD .………（10分）A 1C 1B 1ABCDO18．(1)a ＝100－5－30－20－10＝35，b ＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ………（4分）(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：660×30＝3人，第4组：660×20＝2人，第5组：660×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．……..………（6分）设第3组的3位同学为A 1、A 2、A 3，第4组的2位同学为B 1、B 2，第5组的1位同学为C 1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为915＝35.……………（12分） 19. (1)f′(x)＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，由已知f′(2)＝1，解得a ＝－3. ……… 4分(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). ……… 5分①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ……… 6分②当a ＜0时，f′(x)＝2(x ＋－a)x －－ax.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：单调递增区间是(－a ，＋∞). ……… 8分(3)由g(x)＝2x ＋x 2＋2aln x ，得g′(x)＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数， 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x －x 2在[1,2]上恒成立. (10)分令h(x)＝1x－x 2，在[1,2]上h′(x)＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min ＝h(2)＝－72，所以a≤－72.故实数a 的取值范围为{a|a≤－72}. ……… 12分20. （Ⅰ）证明：∵M ，N 分别是PB ，PC 中点，则(2,1,0)AC =，3(,0,AM =法向量为(,n x y =，由10n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2,3z =-，即(1,2,n =-法向量(0,1,0)n =AM C -的余弦值1222n n n n ⋅=因为二面角B AM C --是锐二面角，所以二面角B AM C --等于45……………….8分 （Ⅲ）存在……………….9分设(1,,0)E λ，则11(,,222EN λ=--，由0EN AM EN MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得12λ=， 所以在BC 存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ， 此时12BE BC =.……………….12分 21.（Ⅰ）由点P 在椭圆上得，221314a b +=①c e a ==又所以② 由①②得2223,4,1c a b ===，故椭圆C 的标准方程为2214x y +=……………….5分112222:=2,(,),(,).214x y kx P x y Q x y x y kx y ιι⊥-=-+=（II ）当轴时不合题意，故设将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,2123=16(43)0,4k k x PQ x O PQ d OPQ ∆->>==-==∆当即时，从而又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+ ......................9分244,0,.444....................4,22..0.1OPQ t t t S t t tt t k t OPQ ∆=>==+++≥==∆>∆则因为当且仅当，即的面积最大值为1分22.：（1）解：21()()()ln (0)2F x f x g x ax x x ==> ∴'11()ln (ln )22F x ax x ax ax x =+=+ ………1分由'()0F x >得12x e->，由'()0F x <，得120x e-<<∴()F x 在12(0,]e -上单调递减，在12[,)e -+∞上单调递增， ∴12min ()()4aF x F e e-==-，()F x 无极大值. ………3分 （2）解：21()ln (1)2G x x a x a x =-+-∴'()(1)()1a x a x G x x a x x+-=-+-= 又10,a x e e><<，易得()G x 在1(,1]e 上单调递减，在[1,)e 上单调递增，要使函数()G x 在1(,)e e内有两个零点，需1()0(1)0()0G e G G e ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，即2211021102(1)02a a e e a e a e a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩，………5分∴22212212222e a e e a e e a e -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->⎪-⎩，∴2211222e a e e -<<+，即的取值范围是2211(,)222e e e -+. ………7分 （3）若02a <≤，∵2'2(1)()x ax h x x--+=在(0,)+∞上满足'()0h x ≤， ∴()h x 在(0,)+∞上单调递减，∴21()()0h x h x -<. ∴21()()h x h x -不存在最大值. ………8分 则2a >.∴方程210x ax -+=有两个不相等的正实数根，令其为,m n ，且不妨设01m n <<<则1m n amn +=⎧⎨=⎩.()h x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m n 上调递增，在(,)n +∞上单调递减，对1(0,1)x ∀∈，有1()()h x h m ≥；对2(1,)x ∀∈+∞，有2()()h x h n ≤， ∴21max [()()]()()h x h x h n h m -=-.∴11()()()(ln )(ln )M a h n h m a n n a m m n m=-=-+--+11ln()()n a m n m n m=+-+-. 将1a m n n n =+=+，1m n=代入上式，消去,a m 得 21111()()ln 2()2[()ln ()]M a n n n n n n n n n n=++-=++-∵12a e e <≤+，∴11n e n e+≤+，1n >. 据1y x x =+在(1,)x ∈+∞上单调递增，得(1,]n e ∈. 设11()2()ln 2()x x x x xxϕ=++-，(1,]x e ∈.'22211111()2(1)ln 2()2(1)2(1)ln x x x x x x x x x ϕ=-++++--=-，(1,]x e ∈. ∴'()0x ϕ>，即()x ϕ在(1,]e 上单调递增.∴max 114[()]()2()2()x e e e e e eϕϕ==++-=∴()M a 存在最大值为4e.………12分。

四川省成都市2016-2017学年高二下学期入学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意1．已知i为虚数单位，则复数等于（）A．﹣1+i B．1﹣i C．2+2i D．1+i2．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}3．“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对于R上可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必有（）A．f（1）+f（3）＜2f（2）B．f（1）+f（3）＞2f（2）C．f（1）+f（3）＞f（0）+f （4）D．f（1）+f（0）＜f（3）+f（4）5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）A．5051 B．5050 C．5049 D．50486．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，607．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）A． cm2B． cm2C．8cm2D．14cm28．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．π9．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形10．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，3） C．（3，+∞）D．（3，5）11．为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：并经计算：K2≈4.545请判断有（）把握认为性别与喜欢数学课有关．A．5% B．99.9% C．99% D．95%12．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0二．填空题（本体包括4小题，每题5分，共20分）13．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是．14．已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是．15．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为．三．解答题（本体包括6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．18．在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内．19．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△的值．ABC的面积S△ABC20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．21．设椭圆C：过点（0，4），离心率为（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．四川省成都市2016-2017学年高二下学期入学试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意1．已知i为虚数单位，则复数等于（）A．﹣1+i B．1﹣i C．2+2i D．1+i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i 的幂运算性质，把式子化简到最简形式．【解答】解：复数===﹣1+i，故选 A．2．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A=[﹣2，2]，由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，则A∩B={0，1，2}，故选：C．3．“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m＞0，n＞0，m≠n．即可判断出结论．【解答】解：方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m＞0，n＞0，m≠n．因此“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的充分不必要条件．故选：A．4．对于R上可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必有（）A．f（1）+f（3）＜2f（2）B．f（1）+f（3）＞2f（2）C．f（1）+f（3）＞f（0）+f （4）D．f（1）+f（0）＜f（3）+f（4）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】借助导数知识，根据（x﹣2）f′（x）＞0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．【解答】解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣2）f′（x）＞0∴有或，即当x∈（2，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（﹣∞，2）时，f（x）为减函数∴f（1）＞f（2），f（3）＞f（2）∴f（1）+f（3）＞2f（2）故选：B．5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）A．5051 B．5050 C．5049 D．5048【考点】设计程序框图解决实际问题；循环结构．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+…+2的值【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+ (2)∵100+99+98+…+2=5049，故选C．6．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，60【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀人数．【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为1﹣（0.005+0.015）×10=1﹣0.2=0.8=80%优秀的频率=（0.01+0.01）×10=0.2，优秀的人数=0.2×400=80故选C．7．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）A． cm2B． cm2C．8cm2D．14cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中几何体的三视图中，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形我们可以求出该正四棱锥的底面上的棱长和侧面的高，代入棱锥侧面积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中的三视图，我们可以得到该几何体是一个正四棱锥，又由主视图与左视图是边长为2的正三角形可得棱锥的底面上的棱长为2，棱锥的高为则棱锥的侧高（侧面的高）为2故棱锥的侧面积S=4×=8cm2故选C8．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．π【考点】几何概型；两点间的距离公式．【分析】本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD 的面积，及动点P到定点A的距离|PA|＜1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【解答】解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点P到定点A的距离|PA|＜1的平面区域如图中阴影所示：=1则正方形的面积S正方形阴影部分的面积故动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P==故选：C9．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由条件利用正弦定理可得 sin2A= sin2B，化简可得 A=B，或 A+B=，故△ABC 是等腰三角形或直角三角形，从而得出结论．【解答】解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，由正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB，即sin2A= sin2B，∴2A=2B，或 2A+2B=π．∴A=B，或 A+B=，即 C=．故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选C．10．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，3） C．（3，+∞）D．（3，5）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用待定系数法求出y=f（x）的解析式，再利用函数的单调性把不等式f（a+1）＜f（10﹣2a）化为等价的不等式组，求出解集即可．【解答】解：幂函数y=f（x）=xα的图象经过点，∴4α=，解得α=﹣；∴f（x）=，x＞0；又f（a+1）＜f（10﹣2a），∴，解得3＜a＜5，∴实数a的取值范围是（3，5）．故选：D．11．为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：并经计算：K2≈4.545请判断有（）把握认为性别与喜欢数学课有关．A．5% B．99.9% C．99% D．95%【考点】独立性检验的应用．【分析】把观测值同临界值进行比较．得到有95%的把握认为性别与喜欢数学课有关．【解答】解：∵K2≈4.545＞3.841，对照表格∴有95%的把握认为性别与喜欢数学课有关．故选：D．12．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0【考点】点到直线的距离公式．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据此距离等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆心坐标为（1，2），∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a=0的距离为，∴，即|a﹣1|=1，可化为a﹣1=1或a﹣1=﹣1，∴解得a=2或0．故选C．二．填空题（本体包括4小题，每题5分，共20分）13．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，本实验的总事件是从6个数中随机抽取2个不同的数2种不同的结果，满足条件的事件是这2个数的和为偶数包括2、4，2、6，4、6，1、3，有C61、5，3、5，6种取法，代入公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，2种不同的结果，∵从6个数中随机抽取2个不同的数有C6而这2个数的和为偶数包括2、4，2、6，4、6，1、3，1、5，3、5，6种取法，由古典概型公式得到P==，故答案为：．14．已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是[0，1）∪（2，+∞）．【考点】函数的零点．【分析】原问题可转化为函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，数形结合可得答案．【解答】解：关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，等价于函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象可得：由图象可知实数k的取值范围是[0，1）∪（2，+∞）故答案为：[0，1）∪（2，+∞）15．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是30 ．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的频率，再根据频数=频率×样本容量得出结果．【解答】解：由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人；故答案为：30．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图所示，S△ABC=3S，可得|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y=（x﹣c），代入椭圆方程可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，利用xC×（﹣c）=，解得xC．根据，即可得出．【解答】解：如图所示，∵S△ABC=3S，∴|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y﹣0=（x﹣c），化为：y=（x﹣c），代入椭圆方程+=1（a＞b＞0），可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，∴xC×（﹣c）=，解得xC=．∵，∴c﹣（﹣c）=2（﹣c）．化为：a2=5c2，解得．故答案为：．三．解答题（本体包括6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，即可写出直线l的参数方程；求得圆心坐标，可得圆的直角坐标方程，利用，可得圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；（Ⅱ）求出直线l的普通方程，可得圆心到直线的距离，与半径比较，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，∴直线l的参数方程为（t为参数）∵半径为4的圆C的圆心的极坐标为，∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=16∵，∴圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；（Ⅱ）直线l的普通方程为，∴圆心到直线的距离为∴直线l和圆C相离．18．在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率之和等于1可计算出第二小组的频率；（2）由总数=频数÷频率计算出总人数，进而求出各组人数，可得中位数的位置．【解答】解：（1）∵各小组的频率之和为1，第一、三、四、五小组的频率分别是0.3，0.15，0.1，0.05，∴第二小组的频率为：1﹣（0.3+0.15+0.1+0.05）=0.4，∴落在[59.5，69.5）的第二小组的小长方形的高h==0.04，则补全的频率分布直方图如图所示：（2）设九年级两个班参赛的学生人数为x人∵第二小组的频数为40人，频率为0.4，∴=0.4，解得x=100，所以这两个班参赛的学生人数为100人．因为0.3×100=30，0.4×100=40，0.15×100=15，0.1×100=10，0.05×100=5，即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．19．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△的值．ABC的面积S△ABC【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（1）由二倍角公式化简可得f（x）=2sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．（2）由f（A）=2sin（2A﹣）=2，可得A的值，由正弦定理可解得a=，从而可求S△ABC 的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z可解得k≤x≤k，k∈Z，即有函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z，（2）∵f（A）=2sin（2A﹣）=2，∴2A﹣=2k，k∈Z，即有A=k，k∈Z，∵角A为△ABC中的内角，有0＜A＜π，∴k=0时，A=，B=π﹣A﹣C=，故由正弦定理可得：，解得a=，=acsinB=sin=．∴S△ABC20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．21．设椭圆C：过点（0，4），离心率为（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）利用椭圆经过的点列出方程，离心率列出方程，利用a、b、c关系式，即可求出a、b的值，即可求C的方程；（2）利用直线过点（3，0）且斜率为，写出直线方程，联立方程组，利用写出公式求出被C 所截线段的长度．【解答】解：（1）将（0，4）代入C的方程得，∴b=4，又，得即，∴a=5∴C 的方程为．（ 2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程代入C 的方程，得，即x 2﹣3x ﹣8=0， ∴x 1+x 2=﹣3，x 1x 2=﹣8．∴．22．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x ﹣y+=0相切．A 、B 是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线y=kx （k ＞0）与椭圆相交于E 、F 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a ，b 即可求出椭圆的方程．（2）设E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），其中x 1＜x 2，将y=kx 代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合点E ，F 到直线AB 的距离分别，表示出四边形AEBF 的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF 面积的最大值时的k 值即可．【解答】解：（1）由题意知：=∴=，∴a 2=4b 2．…又∵圆x2+y2=b2与直线相切，∴b=1，∴a2=4，…故所求椭圆C的方程为…（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程整理得：（k2+4）x2=4，故．①…又点E，F到直线AB的距离分别为，．…所以四边形AEBF的面积为==…===，…当k2=4（k＞0），即当k=2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2．…。

2016-2017学年四川省成都市九校联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．在复平面内，复数 z=3+4i 则 z 的共轭复数的模为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．252．函数 f （ x ）=sin x +e x ，则 f'（0）的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．03．已知 m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ） A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n B ．若 m ⊥α，n ⊂α，则 m ⊥n C ．若 m ⊥α，m ⊥n ，则 n ∥α D ．若 m ∥α，m ⊥n ，则 n ⊥α 4．已知a 为函数f （x ）=x 3﹣3x 的极小值点，则a=（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．2 D ．15．函数 f （ x ）=（ x ＞1）单调递减区间是（ ）A ．（1，+∞）B ．（1，e 2）C ．（e ，+∞）D ．（1，e ）6．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程 =x +，其中 =0.76， =y ﹣x ，据此估计，该社区一户收入为 14 万元家庭年支出为（ ）A ．11.04 万元B ．11.08 万元C ．12.12 万元D ．12.02 万元7．函数f （x ）=+cosx ，x ∈[0，]的最大值是（ ）A ．1B ．C ．+D ．+8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A．2 B．C．D．39．若对任意的x＞0，恒有lnx≤px﹣1（p＞0），则p的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1） D．[1，+∞）10．甲、乙两人约定在下午4：30：5：00 间在某地相见，且他们在4：30：5：00 之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（）A．B．C．D．11．已知y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x∈（﹣∞，0），f （x ）+xf'（x ）＜0成立（f'（x ）是函数 f （x）的导数），若a= f （log2），b=（ln 2 ）f （ln 2 ），c=2f （﹣2 ），则a，b，c 的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b12．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．（3，+∞）B．（1，2+） C．（3，2+） D．（1，3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知f（x）=axlnx+1，x∈（0，+∞）（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数，f′（1）=2，则a=．14．甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训．在培训期间，他们参加的5 次测试成绩记录如下：甲：8282 79 95 87 乙：95 75 80 90 85现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派同学参加合适．15．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4 有相同的右焦点F2，点P是C1与C2的一个公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率等于．16．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，则a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，第17题满分70分，8-22每题满分70分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为正数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（Ⅰ）AC⊥BC1；（Ⅱ）AC1∥平面B1CD；（Ⅲ）若AC=BC=1，AA1=2，求三棱锥DB1BC的体积．19．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．参考数据：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）20．已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0 ）经过点P（1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点E （0，﹣2 ）的直线l与C相交于P，Q 两点，求△OPQ面积的最大值．22．已知函数g（x）=e x+x2，其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数，f （x）是g（x）的导函数．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若a=﹣1，证明：当x1≠x2，且f （x1）=f （x2）时，x1+x2＜0．2016-2017学年四川省成都市九校联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．在复平面内，复数z=3+4i 则z 的共轭复数的模为（）A．3 B．4 C．5 D．25【考点】A2：复数的基本概念．【分析】利用共轭复数的定义或模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=3+4i 则z 的共轭复数3﹣4i的模==5．故选：C．2．函数f （x）=sin x+e x，则f'（0）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．0【考点】63：导数的运算．【分析】先求导，再代值计算即可【解答】解：f （x）=sinx+e x，∴f′（x）=cosx+e x，∴f′（0）=cos0+e0=1+1=2，故选：B3．已知m，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面垂直的性质定理得m⊥n；在C中，n∥α或n⊂α；在D中，n与α相交、平行或n⊂α．【解答】解：由m，n 表示两条不同直线，α表示平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊂α，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故B正确；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，由C错误；在D中，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故D错误．故选：B．4．已知a为函数f（x）=x3﹣3x的极小值点，则a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，故1是极小值点，故a=1，故选：D．5．函数f （x）=（x＞1）单调递减区间是（）A．（1，+∞）B．（1，e2）C．（e，+∞）D．（1，e）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：f′（x）=，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜e，故f（x）在（1，e）递减，故选：D．6．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5 户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程=x+，其中=0.76，=y﹣x，据此估计，该社区一户收入为14 万元家庭年支出为（）A．11.04 万元B．11.08 万元C．12.12 万元D．12.02 万元【考点】BK：线性回归方程．【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=14代入方程求得y值即可．【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为=.76x+0.4，把x=14代入方程可得y=0.76×14+0.4=11.04，故选：A7．函数f（x）=+cosx，x∈[0，]的最大值是（）A．1 B．C． +D． +【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求导数，利用导数求得函数在定义域内的极值，可判断该极值即为函数的最值．【解答】解：f′（x）=﹣sinx，令f′（x）=0，得x=，当0≤x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当＜x时，f′（x）＜0，f（x）递减；∴当x=时，f（x）取得极大值，也是最大值，即f（）=，故选C．8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．9．若对任意的x＞0，恒有lnx≤px﹣1（p＞0），则p的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1） D．[1，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】先把lnx≤px﹣1转化为p≥恒成立，再利用导函数求函数f（x）=的最大值，让p与其最大值比较即可．【解答】解：因为对任意的x＞0，恒有lnx≤px﹣1⇒p≥恒成立，设f（x）=只须求其最大值，因为f'（x）=，令f'（x）=0⇒x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0，故f（x）在x=1处取最大值且f（1）=1．故p的取值范围是[1，+∞）．故选D．10．甲、乙两人约定在下午4：30：5：00 间在某地相见，且他们在4：30：5：00 之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出集合对应的面积是边长为30的正方形的面积，写出满足条件的事件对应的集合和面积，根据面积之比得到概率【解答】解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成．以4：30点钟作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系，设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，画成图为一正方形．会面的充要条件是|x﹣y|≤20，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分，∴由几何概型公式知所求概率为面积之比，即P（A）=；故选B．11．已知y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x∈（﹣∞，0），f （x ）+xf'（x ）＜0成立（f'（x ）是函数 f （x）的导数），若a= f （log2），b=（ln 2 ）f （ln 2 ），c=2f （﹣2 ），则a，b，c 的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】利用当x＜0时，f（x）+xf'（x）＜0，化为（xf（x））'＜0，令y=xf（x），得出函数y=xf（x）在定义域上是奇函数，在R 上是减函数，即可得出结论．【解答】解：当x＜0时，f（x）+xf'（x）＜0，即（xf（x））'＜0，令y=xf（x），则函数y=xf（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，又f（x）在定义域上是偶函数，∴函数y=xf（x）在定义域上是奇函数，在R 上是减函数．∵2＞ln2＞，∴a＞b＞c故选A．12．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．（3，+∞）B．（1，2+） C．（3，2+） D．（1，3）【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由三角形相似的判断可得△BAF2∽△BF2F1，即有==，运用双曲线的定义和最值的性质，结合离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：在△BAF2和△BF2F1中，由∠BAF2=∠BF2F1，∠ABF2=∠F2BF1，可得△BAF2∽△BF2F1，即有==，即为==，==e＞1，可得AF2=e（BF2﹣BA）＞c+a，即有BF2＞BA，又BA＞2a，即BF2＞2a，BF2取最小值c﹣a时，BF2也要大于BA，可得2a＜c﹣a，即c＞3a，即有e=＞3．当AF1与x轴重合，即有=，e=，可得e2﹣4e﹣1=0，解得e=2+，即有3＜e＜2+．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知f（x）=axlnx+1，x∈（0，+∞）（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数，f′（1）=2，则a=2．【考点】63：导数的运算．【分析】求出f′（x），根据f′（1）=2列出方程解出a．【解答】解：f′（x）=alnx+a，∵f′（1）=2，∴a=2．故答案为2．14．甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训．在培训期间，他们参加的5 次测试成绩记录如下：甲：8282 79 95 87 乙：95 75 80 90 85现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派甲同学参加合适．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据题意，由甲、乙的成绩计算甲乙两人的平均数、方差，比较可得甲=乙，而S甲2＜S乙2，由平均数、方差的意义，即可得答案．【解答】解：根据题意，甲的成绩为：82、82、79、95、87，=85，其平均数甲=2= [（82﹣85）2+（82﹣85）2+（79﹣85）2+（95﹣85）2+（87﹣85）其方差S甲2]=；乙的成绩：95、75、80、90、85，=85，其平均数乙=2= [（95﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2+（90﹣85）2+（85﹣85）其方差S乙2]=50；比较可得甲=乙，而S甲2＜S乙2，故选派甲参加比赛合适；故答案为：甲．15．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4 有相同的右焦点F2，点P是C1与C2的一个公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率等于．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】将双曲线方程转化成标准方程，则|PF2|=2，|PF1|=6，根据椭圆的定义，即可求得a=4，c=2，即可求得椭圆C1的离心率．【解答】解：由题意，不妨设P在第一象限，双曲线C2：x2﹣y2=4可化为，∵|PF1|﹣|PF2|=4，则|PF1|=6，则c==2，即c=2，由椭圆的定义可知：2a=|PF2|+|PF2|=8，∴a=4．∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，∴椭圆C1的离心率为e==，故答案为：．16．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，则a 的取值范围是a＞2．【考点】51：函数的零点．【分析】对a进行分类讨论，再由题意可知f（）＞0，从而求出a．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不满足情况，当a≠0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=0，解得：x=0，或x=，∵f（0）=1，f（x）存在唯一的零点x°，∴a＜0时，函数的极小值f（）＞0，解得：a＜﹣2；但此时x°＞0a＜0时，函数的极大值ff（）＞0，解得：a＞2；此时x°＜0故答案为：a＞2三、解答题（本大题共6小题，第17题满分70分，8-22每题满分70分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为正数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．【考点】B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值；（Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．【解答】解：（Ⅰ）由频率和等于1，所以b=1.00﹣（0.05+0.35+0.20+0.10）=0.30．a=100×0.35=35；（Ⅱ）因为第三、第四、第五组的学生数的比例是3：2：1，所以利用分层抽样从中选6人，第三、第四、第五组选取的学生人数分别是3人，2人，1人．设第三组选取的学生为1，2，3．第四组选取的学生为a，b．第五组选取的学生为c．则从6人中任意选出2人的所有方法种数是：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（1，c），（2，3），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，b），（a，c），（b，c）共15种．其中至少1人是第四组的方法种数是：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），（a，c），（b，c）共9种．所以2人中至少有1人是第四组的概率是．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（Ⅰ）AC⊥BC1；（Ⅱ）AC1∥平面B1CD；（Ⅲ）若AC=BC=1，AA1=2，求三棱锥DB1BC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由已知可得CC1⊥平面ABC，得CC1⊥AC，结合AC⊥BC，利用线面垂直的判定可得AC⊥平面BCC1B1，从而得到AC⊥BC1 ；（Ⅱ）设BC1与B1C的交点为O，连结OD，可得O为B1C中点，又D是AB的中点，利用三角形中位线定理可得OD∥AC1，再由线面平行的判定可得AC1∥平面B1CD；（Ⅲ）由已知求出，D到平面BB1C的距离d=，代入三棱锥体积公式可得三棱锥DB1BC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1，∴AC⊥BC1 ；（Ⅱ）证明：设BC1与B1C的交点为O，连结OD，∵BCC1B1为平行四边形，∴O为B1C中点，又D是AB的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，则OD∥AC1，又AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD；（Ⅲ）解：∵AC=BC=1，AA1=2，∴，D到平面BB1C的距离d=，∴．19．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．参考数据：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）【考点】BO：独立性检验的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为，且X～B（3，），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅱ）求出K2=3.030＞2.706，从而有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．【解答】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且X～B（3，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，其分布列如下：（每算对一个结果给1分）∴E（X）=3×=2．（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，K2==≈3.030＞2.706，所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．20．已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后由由已知f'（2）=1，可求a（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当a＜0时两种情况分别求解（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，要求a的范围，只要求解，在[1，2]上的最小值即可【解答】解：（Ⅰ）…由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．…（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．（1）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（2）当a＜0时．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是；单调递增区间是．…（III）由得，…由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立．即在[1，2]上恒成立．…令，在[1，2]上，所以h（x）在[1，2]为减函数.，所以．…21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0 ）经过点P（1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点E （0，﹣2 ）的直线l与C相交于P，Q 两点，求△OPQ面积的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由点在椭圆上，离心率e=．求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），将y=kx﹣2代入=1，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式，结合已知条件能求出△OPQ的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①②由①②得c2=3，a2=4，b2=1，故椭圆C的标准方程为…．（Ⅱ）当l⊥x轴时，不合题意，故设l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），将y=kx﹣2代入=1，得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，，∴|PQ|=|x1﹣x2|=，又点O到直线PQ的距离d=，==．…∴△OPQ的面积S△OPQ设，则t＞0，S△OPQ=，∵t+≥4，当且仅当t=2时，即k=时等号成立，且满足△＞0，∴△OPQ的面积的最大值为1．…22．已知函数g（x）=e x+x2，其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数，f （x）是g（x）的导函数．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若a=﹣1，证明：当x1≠x2，且f （x1）=f （x2）时，x1+x2＜0．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e x+ax的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=e x+a，当a≥0时，f′（x）＞0在x∈（﹣∞，+∞）时成立，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，f（x）无极值；当a＜0时，f′（x）=e x+a=0解得x=ln（﹣a），∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，f（x）在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，f（x）有极小值．（Ⅱ）证明：当a=﹣1时，f（x）=e x﹣x的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=e x ﹣1，由f′（x）=e x﹣1=0，解得x=0．当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表：∵x1≠x2，且f（x1）=f（x2），则x1＜0＜x2（不妨设x1＜x2）设函数，∴．∵当x＜0时，0＜e x＜1，∴，∴当x＜0时，F′（x）＞0．∴函数F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴F（x）＜F（0）=0，即当x＜0时，f（x）＜f（﹣x），∵x1＜0，∴f（x1）＜f（﹣x1），又f（x1）=f（x2），∴f（x2）＜f（﹣x1），∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，0＜x2，且0＜﹣x1，又f（x2）＜f（﹣x1），∴x2＜﹣x1，∴x1+x2＜0．2017年5月26日。

2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考试卷理科数学考试时间共120 分钟，满分150 分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

第Ⅰ卷选择题（共60 分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）→→→→1．三棱柱ABC—A1B1C1 中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B等于( )A．a＋b－c B．a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－c的值为( )第1题图2．函数f (x ) sin xe x ，则f '(0)A．1 B．2 C．3 D．03. 已知m，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m ⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥αx4．函数f (x) 的单调递减区间是( )ln xA．(0,e)B．(e,)C．(0,1),(1,e)D.(,e)5．在棱长为 2 的正方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1 、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD 1 所成的角的余弦值等于()A ． 1510 C ． 4D ． 255 53－π6．已知函数f(x)＝x－sin x，若2 2 ，且f(x1)＋f(x2)>0，则下列不等x1，x2∈式中正确的是( )A．x1>x2 B．x1<x2C．x1＋x2>0 D．x1＋x2<07. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A．3 B．92C．3D．22第7题图8．若对任意的x>0，恒有ln x≤px－1(p>0)，则p 的取值范围是( )A．(0,1] B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞)9．甲、乙两人约定在下午4:30 5:00间在某地相见，且他们在4:30 5:00之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是( )3 8 A．B．4 9 7 11 C．D．16 1210．如图在一个60的二面角的棱上有两个点A，B，线段分别AC、BD 在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且AB＝AC＝a ，BD＝2a ，则CD 的长为( )A．2a B aC．a D a11．已知函数f ( x) ax3 bx2 cx d 的图象如图所示，则b 1的取值范围是( ) a 1 第10题图A．(3 ,1 )B．(2,1) 1 22 2 5 -1 0 xC．(1 ,3 )D．(3,1)2 2 2第11题图x 2 y212．已知F1 ，F2 分别为双曲线C ：a2b21的左、右焦点，若存在过F1 的直分别交双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，使得BAF2 BF2 F1 ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( )A ．3, B ． 1,25C. 3,25D ． 1,3第Ⅱ卷非选择题（共90 分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．1x2dx = ．第12题图2 2x y2 214．已知椭圆C1 :2 2a b1(a b 0) 与双曲线C2: x y4 有相同的右焦点F2，点P 是C1 和C2 的一个公共点，若PF22，则椭圆C1的离心率等于．15．四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，底面为平行四边形，以顶点 A为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°.则线段AC1 与平面ABC 所成角的正弦值为.me x16．已知函数f x1x 2x 1，若存在唯一的正整数x0 ，使得f x0 ，则实数m 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，第17题满分10分，18-22 每题满分12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，AC BC ，点D 是AB 的中点，求证：（Ⅰ）AC BC1 ；（Ⅱ）AC1 // 平面B1CD．1C BD A18．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6 人参加市汉字听写比赛，并从中选出2 人做种子选手，求2 人中至少有1 人是第4 组的概率．19．已知函数f(x)＝x2＋2a ln x.（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；2（Ⅲ）若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．xABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，平面20．在四棱锥P-PAB 平面ABCD ，AB2AD ，M ,N 分别为PB,PC 的中点. =（Ⅰ）求证：MN //平面PAD ；（Ⅱ）求二面角B—AM—C 的大小；（Ⅲ）在BC 上是否存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ？BE的值；若不存在，请说明理由．若存在，求BC222 221．已知椭圆 C : xy1 a b 0经过点 P (1,) ，离心率e3a b2 2 ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点E 0 , 2 的直线l 与C 相交于P,Q 两点，求OPQ 面积的最大值．22．已知f (x) 1x2 ，g(x) a ln x(a 0) .2（Ⅰ）求函数F(x)（Ⅱ）若函数G(x)取值范围；f (x)g(x) 的极值；f (x ) g(x ) (a 1)x 在区间(1,e) 内有两个零点，求的e（Ⅲ）函数 h ( x ) gx x1，设 x (0,1) ， x (1,) ，若 h ( x ) h ( x )x1 2 2 1存在最大值，记为 M (a ) ，则当a e 1时，M (a ) 是否存在最大值？若存在，求出e其最大值；若不存在，请说明理由．2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考数学（理科）参考答案及评分建议一、 选择题：（每小题5分，共60分）1.D ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.C ；7.A ；8.D ；9.B ； 10.A ； 11.D ； 12.C ； 二、 填空题（每小题5分，共20分） 13.13；15 . 13； 16 . 273,e e ⎛⎤⎥⎝⎦；三、 解答题（共70分）17．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，所以，1CC AC ⊥， 又AC BC ⊥，1BCCC C =，所以，AC ⊥平面11BCC B ，所以，1AC BC ⊥. ………..………（5分）（2）设1BC 与1BC 的交点为O ，连结OD ， 11BCC B 为平行四边形，所以O 为1BC 中点，又D 是AB 的中点， 所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ，又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD .………（10分）18．(1)a ＝100－5－30－20－10＝35，b ＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ………（4分）(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽A 1C 1B 1ABCDO。