2019-2020学年 浙江省宁波市九校 高一上学期期末联考数学试题(解析版)

2019-2020学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I ( )A ．()10-， B ．(]06， C ．()06， D ．(]16-， 【答案】B【解析】进行交集的运算即可. 【详解】解：∵{}0A x x =>，{}16B x x =-<≤，∴(]06A B =I ，. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的定义及运算，属于基础题. 2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．33⎛ ⎝⎭-1， C ．(3-， D ．13⎡-⎣，【答案】C【解析】先判断出函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可. 【详解】解：因为函数tan y x =在,43ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增， 且tan3,tan 134ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 则所求的函数的值域是(3-，. 故选：C. 【点睛】本题考查正切函数的单调性，以及特殊角的正切值，属于基础题. 3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( )A ．110x y-> B ．cos cos 0x y ->C ．11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +>【答案】C【解析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论. 【详解】解：0x y >>，则11x y <，即110x y->，故A 错误； 函数cos y x =在()0,∞+上不是单调函数，故cos cos 0x y ->不一定成立，故B 错误；函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上是单调减函数，则1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；当11,x y e==时，ln ln 10x y +=-<，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4．已知向量3122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且3a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 【答案】A【解析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围. 【详解】解：设a r 与b r的夹角为θ,3122a ⎫=⎪⎪⎝⎭r Q ，， 1a ∴=r,3||||cos 3cos 2a b a b θθ∴⋅=⨯=⇒=r r r r, [0,]θπ∈Q , 6πθ∴=.故选：A. 【点睛】本题考查向量的数量积及其夹角，是基础题.5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()h x 图象关于()30π，对称 D ．函数()h x 图象关于直线3x π=-对称【答案】D【解析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和ϕ，并代入函数()h x 的解析式，整理得1()cos 3h x x =-，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可. 【详解】解：∵扇形弧长¶323,2AB ϕπϕπ==∴=， 又∵扇形面积13232ωππ=⋅⋅=， 31()sin sin cos 323h x x x x ππϕπωπ⎛⎫⎛⎫∴=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A 选项，函数()h x 为偶函数，即A 错误； 对于B 选项，令1[2,2],3x k k k Z πππ∈+∈，则[6,36],x k k k Z πππ∈+∈， 而[2,0][6,36],k k k Z ππππ-+∈Ú，即B 错误； 对于C 选项，令1,32x k k Z ππ=+∈，则33,2x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称中心为33,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即C 错误； 对于D 选项，令1,3x k k Z π=∈，则3,k x k Z π=∈，∴函数的对称轴为3,k x k Z π=∈，当1k =-时，有3x π=-，即D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了扇形的弧长和面积公式，余弦函数的奇偶性、单调性和对称性，属于基础题. 6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】771log 2log 72<= ，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A. 【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②【答案】B【解析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可. 【详解】解：①sin y x x =是奇函数，图象关于原点对称；当0x >时，0y ≥恒成立； ②cos y x x =是奇函数，图象关于原点对称；③2=x x y e为非奇非偶函数，图象关于原点和y 轴不对称，且0y ≥恒成立；④4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称；则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②. 即对应函数序号为③②④①. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，难度不大.8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形【答案】C【解析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A C =，第二个条件得到B 即可求出结论. 【详解】解：因为在ABC V 中，,,(0,)A B C π∈10,2||||||||BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， ||||cos ||||cos 0||cos ||cos 0||||AB AC A CA CB CCA A AC C AB BC -⨯⨯⨯⨯∴+=⇒-=u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r cos cos A C A C ∴=⇒=，11||||cos ||||cos 223BC BA BC BA B BC BA B B π⋅=⨯⨯=⨯⇒=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴ABC V 为等边三角形. 故选：C. 【点睛】本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->【答案】A【解析】令，然后结合函数的单调性即可判断. 【详解】解：结合已知不等式的特点，考虑构造函数,令()()22()log 2019log 2020x xf x -=-，则易得()f x 在R 上单调递增，()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2yxy x--+<-Q ，()()()()2222log 2019log 2020log 2019log 2020x x y y--∴-<-，即()()f x f y <-，所以x y <-， 故0x y +<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，解题的关键是由已知不等式的特点构造函数.10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】方程()()21610f x x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可. 【详解】解：方程()()21610f x x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数， 画出两个函数的大致图象，如图所示：1(0)(0)016g f =>=Q ， ∴在(0,)+∞内有1个交点，191(5)(5)164g f -=-<-=-Q ，51(3)(3)162g f -=->-=-， 11(2)(2)0,(1)(1)1616g f g f -=-<-=-=>-，∴两个函数在(,0)-∞内有3个交点，综上所述，函数()f x 与函数()g x 共有4个交点， 所以方程()()21610f x x x ++-=根的个数是4个，故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，关键是要画出函数图像，并且确定关键点的高低，是一道难度较大的题目.二、填空题11．已知函数()()1lg 311x f x x x+=+-,则()0f =____________函数定义域是____________.【答案】2 113⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】直接在函数解析式中取0x =求得()0f ；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域. 【详解】解：由()()1lg 311x f x x x +=++-，得(0)lg121f ==；由10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得113-<<x ，∴函数定义域是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 故答案为：2；113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题.12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u ur u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.【答案】125 【解析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解. 【详解】解：由已知可得1212(2)()210AB CD e e e e λλ⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u r u u r u r u u r，解得实数12λ=； ∵A B D ，，三点共线，又()12122,12AB e e BD BC CD e e λ=+=+=-+u u u r u r u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r ，2112λ∴=- 解得实数5λ=. 故答案为：12；5. 【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量垂直和向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________.【答案】13 31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，， 【解析】根据正切的周期求出a ，利用整体法求出对称中心即可.【详解】解：函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3， 则3a ππ=，得13a =， 所以函数1()2tan 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11,362x k k Z πππ+=∈， 得3122x k =-，k Z ∈， 故对称中心为31022k k Z ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，，. 故答案为：13；31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 【点睛】考查正切函数的周期，正切函数的对称性，基础题. 14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a ba b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log x f x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.【答案】1 [)13，【解析】由所给的函数定义求出分段函数()f x 的解析式，进而求出结果. 【详解】解：由题意1(0,1]()?21(1,2)xx f x x ∈⎧=⎨-∈⎩ 所以(1)1,f =当(1,2)x ∈时，()f x 是单调递增函数，则()(1,3)f x ∈，则()f x 的值域为[)13，. 故答案分别为：1；[)13，.【点睛】考查分段函数的解析式及函数的值域，属于基础题.15．已知函数()()29af x m x =-为幂函数,且其图象过点(33，,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________.【答案】()2-∞，【解析】根据函数()f x 是幂函数求出m 的值，再根据()f x 的图象过点(33，，求出a 的值；由此得出函数()g x 的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出()g x 的单调递增区间. 【详解】解：函数函数()()29af x m x =-为幂函数，291m -=，解得5m =，且其图象过点(33，， 所以33a =，解得12a =， 所以函数()()2log 6a g x x mx =-+即函数()()212log 56g x x x =-+， 令2560x x -+>，解得2x <或3x >,所以函数()g x 的单调递增区间为()2-∞，. 故答案为：()2-∞，. 【点睛】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，复合函数的单调性的判断，是基础题.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.【答案】[)3+∞，【解析】先根据()6a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=r r r r r r r得到cos 3a b θ⨯=+r r ；进而表示出a b+r r 即可求解. 【详解】解：设a b +r r 与c r 的夹角为θ，()6||||cos a b c a c b c a b c θ+⋅=⋅+⋅==+⨯⨯r r r r r r r r r rQ ， ||cos 3a b θ∴+⨯=rr ，0cos 1θ∴<≤，3||3cos a b θ+=≥r r . 故答案为：[3,)+∞. 【点睛】本题主要考察平面向量的数量积以及三角函数的性质应用，属于基础题.17．函数()()25sin f x xg x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________. 【答案】6【解析】由题意可得()()sin 52g x f x x x -=++，由正弦函数和一次函数的单调性可得()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n . 【详解】解：函数()25=--f x x ，()sin g x x =，可得()()sin 52g x f x x x -=++， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得sin ,5y x y x ==递增， 则()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦， ()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++……，即为()()()()(()()()112211)n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋯+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即()()()112211sin 5sin 5sin 52(1)sin 52n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=++， 即()()(112211sin 5sin 5sin 5)2(2)sin 5n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=+， 由5sin 50,12n n x x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，可得52(2)12n π-≤+，即5524n π≤+，而55(6,7)24π+∈， 可得n 的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数的单调性和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. (1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.【答案】(1)12;(2) 6611⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，. 【解析】(1)根据平面向量的数量积列方程求出tan x 的值，再根据x 的范围确定tan x 的值；(2)根据平面向量的数量积和模长公式求出m 的解析式，再求m 的取值范围. 【详解】(1)因为3sin cos 15a b x x ⋅=⋅-=-r r ,即2sin cos 5x x ⋅=,所以222sin cos tan 2sin cos tan 15x x x x x x ⋅==++, 所以22tan 5tan 20x x -+=,即tan 2x =或1tan 2x =. 因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以[]tan 01x ∈，,即1tan 2x =； (2)因为a c +r r 与a c -r r垂直, ()()220a c a c a c ∴+⋅-=-=r r r r r r ，a c ∴=r r ,所以221sin m x =+,因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以2231sin 12m x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，, 即6611m ⎡⎤⎡∈-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题.19．已知集合()(){}()31121A x y x x B a a ==+-=-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()R A B =∅I ð,求a 的取值范围; (2)若A C C =I ,求m 的取值范围. 【答案】(1)20a -<≤;(2)20m -≤≤【解析】（1）可以求出[]31A =-，，从而可得出A R ð，根据()R A B =∅I ð得121a a -<+，并且13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解出a 的范围即可； （2）根据A C C =I 即可得出C A ⊆，然后可讨论1m +与1m --大小关系，从而得出集合C ，根据C A ⊆即可得出m 的范围. 【详解】 (1)因为()(){}[]3131A x y x x ==+-=-，,所以()()31,R A =-∞-+∞U ，ð, 因为()121B a a =-+，,即121a a -<+.即2a >-, 由()R A B =∅I ð得,13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得20a -≤≤, 所以20a -<≤；(2)因为A C C =I ,即C A ⊆,[]()(){}31|110A C x x m x m =-=--++≤，，,①11m m +≤--时,即1m ≤-时,{}11C x m x m m R =+≤≤--∈，,C A ⊆,所以1311m m +≥-⎧⎨--≤⎩,解得2m -≤,所以21m -≤≤-. ②11m m +>--时,即1m >-时,{}11C x m x m m R =--≤≤+∈，, C A ⊆,所以1113m m +≤⎧⎨--≥-⎩,解得0m ≤,所以10m -<≤. 综上所述:20m -≤≤. 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，补集、交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题. 20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+. (1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围. 【答案】(1)()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，;(2)40k -<<.【解析】（1）设0x <，则0x ->，()()()2lg 1f x f x x =-=-+，再求出()f x 的解析式；（2）当0x <时，因为0kx >，所以k 0<，结合分离参数法求出k 的范围. 【详解】(1)设0x <,则0x ->,()()()2lg 1f x f x x =-=-+,所以()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，；(2)当0x <时,因为0kx >,所以k 0<,所以()()lg 2lg 1kx x <-+,即()()2lg lg 1kx x <-+,即()21kx x <-+.因为0x <,所以()2112x k x xx-+>=+-恒成立,当0x <时,11224x x x x+-≤-⋅=-最大值为-4,所以4k >-, 所以40k -<<. 【点睛】本题考查分段函数求解析式，函数求含参恒成立问题，转化为最值问题即可，中档题. 21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,变换见解析;(2)312⎛- ⎝⎭，. 【解析】（1）先根据图象求出()g x 的解析式；再结合图象变化规律说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出()f x 的范围；再结合恒成立问题即可求解. 【详解】(1)由图得112A ω==，, 因为203π⎛⎫- ⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点, 所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()g x ； (2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，,所以当263x ππ+=-时,()f x 取最小值3,当262x ππ+=时,()f x 取最大值1,因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以3212m m ⎧-+<⎪⎨⎪<+⎩即312m ⎛∈- ⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，以及恒成立问题，属于中档题.22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132xxf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k =时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由.【答案】(1)()3log 2+∞，;(2)1k =或17k =-;(3)存在,207k <<.【解析】（1）根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数()y f x =的值域； （2）利用换元法设30x t t =>，，然后对参数k 进行分类讨论，分0k ≥和k 0<两种情况进行讨论函数()g t 的最大值，根据最大值取得的情况计算出k 的取值； （3）继续利用换元法设30x t t =>，，设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++，根据二次函数的性质可得()f x 在()1+∞，上为增函数，则()()()()min max f x f m f x f n ==，，将问题转化为方程()3log 291321x xk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据>0∆，及韦达定理可计算出实数k 的取值范围. 【详解】(1)0k =时,()()3log 32xf x =+,因为322x +>.所以()()33log 32log 2xf x =+>,所以函数()y f x =的值域为()3log 2+∞，(2)设30x t t =>，,则()()23log 212f t k t k t k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦,若0k ≥,则函数()()2212g t k t k t k =⋅--++无最大值,即()f t 无最大值,不合题意;故k 0<,因此()()2212g t k t k t k =⋅--++最大值在104k t k-=>时取到, 且114k f k -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()211212344k k k k k k k --⎛⎫--++= ⎪⎝⎭, 解得1k =或17k =-, 由k 0<,所以17k =-. (3)因为01k <<时,设()31xt t =>.设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++. 此时对称轴104k t k-=<, 所以当1t >时,()g t 为增函数,且()()1230g t g k >=+>,即()f x 在()1+∞，上为增函数. 所以,()()()()min max 11f x f m m f x f n n ==+==+，, 即方程()3log 291321xxk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根, 即()1291323xxx k k k -⋅--++=,设()31xt t =>.所以()22123k t k t k t ⋅--++=.即方程()22220k t k t k ⋅-+++=有两个大于l 的不等实根,因为01k <<,所以()()()228202142220k k k k kk k k ⎧∆=+-+>⎪+⎪>⎨⎪-+++>⎪⎩, 解得207k <<, 即存在m n ，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”,且207k <<. 【点睛】本题主要考查函数的值域问题，最值问题，考查了换元法的应用，分类讨论思想和转化思想的应用，不等式的计算能力，本题属综合性较强的中档题.。

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x＞0}，集合B＝{x|﹣1＜x≤6}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，6] C．（0，6）D．（﹣1，6] 2．函数的值域是（）A．（﹣1，1）B．C．D．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．cos x﹣cos y＞0C．D．lnx+lny＞04．已知向量，，且．则与的夹角为（）A．B．C．D．5．已知半径为2的扇形AOB中，的长为3π，扇形的面积为ω，圆心角AOB的大小为φ弧度，函数h（x）＝sin（x+φ），则下列结论正确的是（）A．函数h（x）是奇函数B．函数h（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数C．函数h（x）图象关于（3π，0）对称D．函数h（x）图象关于直线x＝﹣3π对称6．已知a＝log72，b＝log0.70.2，c＝0.70.2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b7．已知4个函数：①y＝x|sin x|；②y＝x cos|x|；③；④y＝4cos x﹣e|x|的图象如图所示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为（）A．①④②③B．③②④①C．①④③②D．③①④②8．在△ABC中，，则△ABC为（）A．直角三角形B．三边均不相等的三角形C．等边三角形D．等腰非等边三角形9．若（log22019）x+（log20202）﹣y＜（log22019）﹣y+（log20202）x，则（）A．x+y＜0 B．x+y＞0 C．x﹣y＜0 D．x﹣y＞010．设函数，则方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知函数，则f（0）＝，函数定义域是．12．已知是单位向量，，，，，若，则实数λ＝；若A，B，D三点共线，则实数λ＝．13．己知函数的最小正周期是3．则a＝，f（x）的对称中心为．14．已知a，b∈R，定义运算“?”：，设函数f（x）＝（2x?2）﹣（1?log2x），x∈（0，2），则f（1）＝，f（x）的值域为．15．已知函数f（x）＝（2m﹣9）x a为幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为．16．已知，是平面向量，且，若，则的取值范围是．17．函数f（x）＝﹣2﹣5x，g（x）＝sin x，若，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），则正整数n的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知向量，其中．（1）若的，求tan x的值；（2）若与垂直，求实数m的取值范围．19．已知集合．C＝{x|（x﹣m﹣1）（x+m+1）≤0，m∈R}（1）若（?R A）∩B＝?，求a的取值范围；（2）若A∩C＝C，求m的取值范围．20．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2lg（x+1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意的x∈（﹣∞，0），关于x的不等式lg（kx）＜f（x）恒成立，求k 的取值范围．21．已知函数f（x）＝sin（2x+），g（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求g（x）的解析式，并说明f（x）的图象怎样经过2次变换得到g（x）的图象；（2）若对于任意的，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．22．在函数定义域内，若存在区间[m，n]，使得函数值域为[m+k，n+k]，则称此函数为“k 档类正方形函数”，已知函数f（x）＝log3[2k?9x﹣（k﹣1）3x+k+2]．（1）当k＝0时，求函数y＝f（x）的值域；（2）若函数y＝f（x）的最大值是1，求实数k的值；（3）当x＞0时，是否存在k∈（0，1），使得函数f（x）为“1档类正方形函数”？若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＞0}，集合B＝{x|﹣1＜x≤6}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，6] C．（0，6）D．（﹣1，6] 【分析】进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1＜x≤6}，∴A∩B＝（0，6]．故选：B．2．函数的值域是（）A．（﹣1，1）B．C．D．【分析】先判断出函数y＝tan x在（﹣，）单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可．解：因为函数y＝tan x在（﹣，）单调递增，且tan＝；tan（﹣）＝﹣1，则所求的函数的值域是（﹣1，），故选：C．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．cos x﹣cos y＞0C．D．lnx+lny＞0【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论．解：x＞y＞0，则﹣＞0，cos x﹣cos y＞0，lnx+lny＞0不一定成立，而﹣＜0一定成立．故选：C．4．已知向量，，且．则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围．解：设与的夹角为θ；因为，所以||＝1；∴＝||×||cosθ＝?cosθ＝；∵θ∈[0，π]；∴θ＝；故选：A．5．已知半径为2的扇形AOB中，的长为3π，扇形的面积为ω，圆心角AOB的大小为φ弧度，函数h（x）＝sin（x+φ），则下列结论正确的是（）A．函数h（x）是奇函数B．函数h（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数C．函数h（x）图象关于（3π，0）对称D．函数h（x）图象关于直线x＝﹣3π对称【分析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和φ，并代入函数h（x）的解析式，整理得，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可．解：∵扇形弧长＝2φ＝3π，∴φ＝，又∵扇形面积ω＝∴h（x）＝sin（x+φ）＝，对于A选项，函数h（x）为偶函数，即A错误；对于B选项，令，则x∈[6kπ，3π+6kπ]，k∈Z，而[﹣2π，0]?[6kπ，3π+6kπ]，k∈Z，即B错误；对于C选项，令，则，∴函数的对称中心为，即C错误；对于D选项，令，则x＝3kπ，k∈Z，∴函数的对称轴为x＝3kπ，k∈Z，当k＝﹣1时，有x＝﹣3π，即D正确．故选：D．6．已知a＝log72，b＝log0.70.2，c＝0.70.2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】本题根据对数函数及指数函数来比较大小，解题关键是找到中间值，将a、b、c与中间值进行比较即可得到结果．解：由题意，∵2＝＜，∴a＝log72＜log7＝；b＝log0.70.2＞log0.70.7＝1，＜0.7＜c＝0.70.2＜1，∴a＜c＜b，故选：D．7．已知4个函数：①y＝x|sin x|；②y＝x cos|x|；③；④y＝4cos x﹣e|x|的图象如图所示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为（）A．①④②③B．③②④①C．①④③②D．③①④②【分析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可．解：①y＝x|sin x|是奇函数，图象关于原点对称；当x＞0时，y≥0恒成立，②y＝x cos|x|＝x cos x是奇函数，图象关于原点对称；③为非奇非偶函数，图象关于原点和y轴不对称，且y≥0恒成立，④y＝4cos x﹣e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②即对应函数序号为③②④①，故选：B．8．在△ABC中，，则△ABC为（）A．直角三角形B．三边均不相等的三角形C．等边三角形D．等腰非等边三角形【分析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A＝C；第二个条件得到B即可求出结论解：因为在△ABC中，A，B，C∈（0，π），∴+＝0?||cos A﹣||coC＝0?cos A＝cos C?A＝C；∵?＝||×||×cos B＝||×||?cos B＝?B＝；∴△ABC为等边三角形；故选：C．9．若（log22019）x+（log20202）﹣y＜（log22019）﹣y+（log20202）x，则（）A．x+y＜0 B．x+y＞0 C．x﹣y＜0 D．x﹣y＞0【分析】令f（x）＝﹣（log22020）﹣x，然后结合函数的单调性即可判断．解：令f（x）＝﹣（log22020）﹣x，则易得f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，结合已知不等式的特点，考虑构造函数∵（log22019）x+（log20202）﹣y＜（log22019）﹣y+（log20202）x，∴（log22019）x﹣（log22020）﹣x＜（log22019）﹣y﹣（log22020）y，即f（x）＜f（﹣y），所以x＜﹣y，故x+y＜0．故选：A．10．设函数，则方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数等价于函数f（x）与函数g（x）＝﹣的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可．解：方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数等价于函数f（x）与函数g（x）＝﹣的交点个数，画出两个函数的大致图象，如图所示：，∵，∴在（0，+∞）内有1个交点，∵，∴两个函数在（﹣∞，0]内有3个交点，综上所述，函数f（x）与函数g（x）共有4个交点，所以方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数是4个，故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知函数，则f（0）＝ 2 ，函数定义域是．【分析】直接在函数解析式中取x＝0求得f（0）；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域．解：由，得f（0）＝；由，解得﹣．∴函数定义域是（﹣，1）．故答案为：2，（﹣，1）．12．已知是单位向量，，，，，若，则实数λ＝；若A，B，D三点共线，则实数λ＝﹣．【分析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解．解：∵是单位向量，，，，，，∴＝（）?（）＝2λ﹣1＝0，解得实数λ＝．∵A，B，D三点共线，＝，，解得实数λ＝﹣．故答案为：．13．己知函数的最小正周期是3．则a＝，f（x）的对称中心为（，0），k∈Z ．【分析】根据正切的周期求出a，利用整体法求出对称中心即可．解：函数的最小正周期是3，则3＝，得a＝，所以函数f（x）＝2tan（），由，k∈Z，得x＝，故对称中心为（，0），k∈Z14．已知a，b∈R，定义运算“?”：，设函数f（x）＝（2x?2）﹣（1?log2x），x∈（0，2），则f（1）＝ 1 ，f（x）的值域为[1，3）．【分析】由所给的函数定义求出分段函数f（x）的解析式，进而求出结果．解：由题意f（x）＝，，所以f（1）＝1，x∈（0，2），f（x）∈[1，3），故答案分别为：1，[1，3）15．已知函数f（x）＝（2m﹣9）x a为幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为（﹣∞，2）．【分析】根据函数f（x）是幂函数求出m的值，再根据f（x）的图象过点，求出a的值；由此得出函数g（x）的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出g（x）的单调递增区间．解：函数函数f（x）＝（2m﹣9）x a为幂函数，2m﹣9＝1，解得m＝5，且其图象过点，所以3a＝，解得a＝，所以函数即函数g（x）＝，令x2﹣5x+6＞0，解得x＜2或x＞3；所以函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．16．已知，是平面向量，且，若，则的取值范围是[3，+∞）．【分析】先根据（）?＝+?＝6得到×cosθ＝3；进而表示出即可求解解：设（）与的夹角为θ；∵（）?＝+?＝6＝×||×cosθ；∴×cosθ＝3；∴0＜cosθ≤1＝≥3；故答案为：[3，+∞）17．函数f（x）＝﹣2﹣5x，g（x）＝sin x，若，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），则正整数n的最大值为 6 ．【分析】由题意可得g（x）﹣f（x）＝sin x+5x+2，由正弦函数和一次函数的单调性可得g（x）﹣f（x）﹣2＝sin x+5x的范围是[0，1+]，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n．解：函数f（x）＝﹣2﹣5x，g（x）＝sin x，可得g（x）﹣f（x）＝sin x+5x+2，由x∈[0，]，可得y＝sin x，y＝5x递增，则g（x）﹣f（x）﹣2＝sin x+5x的范围是[0，1+]，f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），即为[g（x1）﹣f（x1）]+[g（x2）﹣f（x2）]+…+[g（x n﹣1）﹣f（x n﹣1）]＝g（x n）﹣f （x n），即为（sin x1+5x1）+（sin x2+5x2）+…+（sin x n﹣1+5x n﹣1）+2（n﹣1）＝sin x n+5x n+2，即（sin x1+5x1）+（sin x2+5x2）+…+（sin x n﹣1+5x n﹣1）+2（n﹣2）＝sin x n+5x n，由sin x n+5x n∈[0，1+]，可得2（n﹣2）≤1+，即n≤+，而+∈（6，7），可得n的最大值为6，故答案为：6．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知向量，其中．（1）若的，求tan x的值；（2）若与垂直，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据平面向量的数量积列方程求出tan x的值，再根据x的范围确定tan x 的值；（2）根据平面向量的数量积和模长公式求出m的解析式，再求m的取值范围．解：（1）因为，即，所以，所以2tan2x﹣5tan x+2＝0，解得tan x＝2或．因为，所以tan x∈[0，1]，即．（2）因为与垂直，所以，所以m2＝1+sin2x，因为，所以，解得m的取值范围是．19．已知集合．C＝{x|（x﹣m﹣1）（x+m+1）≤0，m∈R}（1）若（?R A）∩B＝?，求a的取值范围；（2）若A∩C＝C，求m的取值范围．【分析】（1）可以求出A＝{x|﹣3≤x≤1}，从而得出?R A＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），根据（?R A）∩B＝?可讨论B是否为空集：B＝?时，a﹣1≥2a+1；B≠?时，，解出a的范围即可；（2）根据A∩C＝C即可得出C?A，然后可讨论m+1与﹣（m+1）的大小关系，从而得出集合C，根据C?A即可得出m的范围．解：（1）A＝{x|（x+3）（1﹣x）≥0}＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝（a﹣1，2a+1），∴?R A＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），且（?R A）∩B＝?，∴①B＝?时，a﹣1≥2a+1，解得a≤﹣2；②B≠?时，，解得﹣2＜a≤0，∴a的取值范围为（﹣∞，0]；（2）∵A∩C＝C，∴C?A，∴①m+1＞﹣（m+1），即m＞﹣1时，C＝（﹣（m+1），m+1），∴，解得﹣1＜m≤0；②m+1＜﹣（m+1），即m＜﹣1时，C＝（m+1，﹣（m+1）），∴，解得﹣2≤m＜﹣1；③m+1＝﹣（m+1），即m＝﹣1时，C＝{0}，满足C?A，∴综上得，m的取值范围为[﹣2，0]．20．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2lg（x+1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意的x∈（﹣∞，0），关于x的不等式lg（kx）＜f（x）恒成立，求k 的取值范围．【分析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＝2lg（﹣x+1），再求出f（x）的解析式；（2）当x＜0时，因为kx＞0，所以k＜0，结合分离参数法求出k的范围．解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＝2lg（﹣x+1），所以，（2）当x＜0时，因为kx＞0，所以k＜0，所以lg（kx）＜2lg（﹣x+1），即lg（kx）＜lg（﹣x+1）2，即kx＜（﹣x+1）2．因为x＜0，所以恒成立，因为x＜0时，最大值为﹣4，所以﹣4＜k，所以﹣4＜k＜0．21．已知函数f（x）＝sin（2x+），g（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求g（x）的解析式，并说明f（x）的图象怎样经过2次变换得到g（x）的图象；（2）若对于任意的，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）现根据图象求出g（x）的解析式；再结合图象变化规律说明f（x）的图象怎样经过2次变换得到g（x）的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出f（x）的范围；再结合恒成立问题即可求解．解：（1）由图得，因为为函数递增区间上的零点，所以，即．因为，所以，即，图象变换：将函数f（x）＝sin（2x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得到y＝sin（x+），再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象；（2）因为，所以，所以当时，f（x）取最小值，当时，f（x）取最大值1，因为|f（x）﹣m|＜2恒成立，即﹣2+m＜f（x）＜2+m恒成立，所以，即．22．在函数定义域内，若存在区间[m，n]，使得函数值域为[m+k，n+k]，则称此函数为“k 档类正方形函数”，已知函数f（x）＝log3[2k?9x﹣（k﹣1）3x+k+2]．（1）当k＝0时，求函数y＝f（x）的值域；（2）若函数y＝f（x）的最大值是1，求实数k的值；（3）当x＞0时，是否存在k∈（0，1），使得函数f（x）为“1档类正方形函数”？若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】本题第（1）题根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数y＝f（x）的值域；第（2）题利用换元法设t＝3x，t＞0，然后对参数k进行分类讨论，分k≥0和k ＜0两种情况进行讨论函数g（t）的最大值，根据最大值取得的情况计算出k的取值；第（3）题继续利用换元法设t＝3x，t＞0，设真数为g（t）＝2k?t2﹣（k﹣1）t+k+2．根据二次函数的性质可得f（x）在（1，+∞）上为增函数，则f（x）min＝f（m）＝m+1，f （x）max＝f（n）＝n+1，将问题转化为方程在（0，+∞）上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据△＞0，及韦达定理可计算出实数k的取值范围．解：（1）由题意，当k＝0时，，∵3x+2＞2．∴，∴函数y＝f（x）的值域为（log32，+∞）．（2）由题意，设t＝3x，t＞0，则，①若k≥0，则函数g（t）＝2k?t2﹣（t﹣1）t+k+2无最大值，即f（t）无最大值，不合题意；②若k＜0，则g（t）＝2k?t2﹣（k﹣1）t+k+2最大值在时取到，且，∴，解得k＝1，或．由k＜0，可得．（3）由题意，因为0＜k＜1时，设t＝3x（t＞1）．设真数为g（t）＝2k?t2﹣（k﹣1）t+k+2．此时对称轴，∴当t＞1时，g（t）为增函数，且g（t）＞g（1）＝2k+3＞0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数．∴f（x）min＝f（m）＝m+1，f（x）max＝f（n）＝n+1，即方程在（0，+∞）上有两个不同实根，即2k?9x﹣（k﹣1）3x+k+2＝3x﹣1，设t＝3x（t＞1）．∴2k?t2﹣（k﹣1）t+k+2＝3t．即方程2k?t2﹣（k+2）t+k+2＝0有两个大于l的不等实根，∵0＜k＜1，∴，解得，由0＜k＜1，得，即存在m，n，使得函数f（x）为“1档类正方形函数”，且．。

宁波市一2020学年第学期期末九校联考 高一数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．6 14．1015．3+ 16．(,4)−∞− 四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．解析：（Ⅰ）{|02}A x x =<<，………………………………………………………1分1|,,a B y y x x a ⎧⎫⎛⎫==∈∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭+表示函数1,,a y x x a ⎛⎫=∈∞ ⎪⎝⎭+的值域，当1a =时，1y x=在(1,)∞+上单调递减，值域{|01}By y =<<， ………………3分{|10}U B y y y =≥≤，或C ，………………………………………………………………4分()[1,2)U AB =C ， …………………………………………………………………………5分（Ⅱ）由A B A=知A B ⊆，由()U A B U =C 知B A ⊆，所以(0,2)B A ==，…………………………………………………………………………8分 故0a >，且2(0,)(0,2)a =，即a 分18．解析：（Ⅰ）π()2sin cos()cos 26f x x x x =−+212sin sin cos 22cos sin cos 2112cos 222x x x x x x x x x x ⎫++⎪⎪⎝⎭++=++=π1sin(2)62x =++………………………………………………………………………3分因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2666x ≤+≤，由πππ2662x ≤+≤得π06x ≤≤， 故单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦;………………………………………………………………5分1πsin 2126x ⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以当π6x =时，()f x 取最大值32, 当π2x =时，()f x 取小值0.………………7分（Ⅱ）设π26t x =+，()sin h t t =，π7π,66t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，“函数()()g x f x a =−有且仅有一个零点”等价于“直线12y a =−与()y h t =有且只有一个交点”，………… …………………………………………………………………10分数形结合可得11111,2222a a −=≤−<或-，即3,012a a =≤<或.故a 的取值范围为3012a a a ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭或．…………………………………………12分19．解析：（Ⅰ）当0k =时，不等式为4(4)0x −−>，(,4)A =−∞；…………2分当0k >时，4(,4)(,)A k k=−∞++∞；………………………………………4分当0k <时，4(,4)A k k=+；…………………………………………………6分（Ⅱ）由（1）知0k <，且465k k−≤+<−，…………………………………………8分即22540640k k k k ⎧++>⎪⎨++≤⎪⎩……………………………………………………………………10分解得k 的取值范围是[35,4)(1,35]−−−−−+…………………………………12分20．解析：（Ⅰ）由题意得23244POQ ππ∠=⨯=，弧长π25π5042l =⨯=；………2分（Ⅱ）以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，0t =时，游客在点(0,50)M −，初始位置所对应的角为π2−，角速度ω为π6rad /min ，由题意可得ππ50sin 60,01262H t t ⎛⎫=−+≤≤ ⎪⎝⎭；………………………………………………6分（Ⅲ）法1：由4POQ π∠=得乙比甲始终落后π4rad ，故经过t 分钟后，甲乙相对于地面的距离分别为1ππ50sin 6062H t ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，2π3π50sin 6064H t ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，012t ≤≤，若都要获得最佳视觉效果，应满足50sin 608562t ππ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭， 且π3π50sin 608564t ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭， ………………………………………………………8分化简得1sin 622t ππ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭，π3π1sin 642t ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭，因为012t ≤≤，所以2622t πππ3π−≤−≤，3ππ3π5π4644t −≤−≤，由6626t πππ5π≤−≤，6646t ππ3π5π≤−≤得48t ≤≤，22t 1119≤≤，故解得1182t ≤≤， ……………………………………………………………………11分所以摩天轮旋转一周能有52分钟使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．………12分法2：经过t 分钟后，甲相对于地面的距离为ππ50sin 6062H t ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，012t ≤≤，若要获得最佳视觉效果，应满足50sin 608562t ππ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭， ………………………8分化简得1sin 622t ππ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭， 因为012t ≤≤，所以2622t πππ3π−≤−≤，由6626t πππ5π≤−≤，得48t ≤≤， ………………………………………………10分 由乙比甲始终落后32min ，知乙在111922t ≤≤时获得最佳视觉效果，要使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果，则1182t ≤≤，……………………………11分所以摩天轮旋转一周能有52分钟使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．…………12分21．解析：（Ⅰ）函数2()ln xf x x−=的定义域为(0,2)，任取12(0,2)x x ∈，，且12x x <，21212122()()lnlnx x f x f x x x −−−=−1122122ln 2x x x x x x −=−，…………………………2分 因为1202x x <<<，所以112212022x x x x x x <−<−， 从而21()()0f x f x −<，即21()()f x f x <，因此函数()f x 在定义域(0,2)内单调递减.…………………………………………4分（Ⅱ）设函数1()(1)ln 1xh x f x x −=+=+，定义域为(1,1)−，对于任意的(1,1)x ∈−，1()ln ()1xh x h x x +−==−−+，故()h x 为奇函数，且由()f x 是减函数可知，()h x 也是减函数，由(1)(1)0f a f b +++=，得()()()h a h b h b =−=−，故a b =−． （也可以列方程直接解出a b =−）………………7分 由()()0g a g b +=得442(22)20a b a b m m +++−+=，即442(22)20a a a a m m −−+++−+=，令22a a t −=+，由,(1,1),a b a b ∈−≠得52,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，………………………………9分即220t mt m +−=在52,2⎛⎫⎪⎝⎭内有解，方法1：由220t mt m +−=得222111212111t m t t t t ===−⎛⎫−−− ⎪⎝⎭，当5(2,)2t ∈时，2131611,425t ⎛⎫⎛⎫−−∈−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21254,163111t ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭⎛⎫−− ⎪⎝⎭，综上所述，m 的取值范围是254,163⎛⎫−− ⎪⎝⎭……………………………………………12分方法2：设2()2u t t mt m =+−，(2)34u m =+，525()424u m =+ ①5(2)()02u u <即254163m −<<−；②25(2)0,()02440522u u m m m ⎧>>⎪⎪⎪∆=+≥⎨⎪⎪<−<⎪⎩，无解； ③(2)0,92,4u m =⎧⎪⎨<−<⎪⎩无解；④5()0,295,42u m ⎧=⎪⎪⎨⎪<−<⎪⎩无解.综上所述，m 的取值范围是254,163⎛⎫−− ⎪⎝⎭…………………………………………12分22．解析：（Ⅰ）当0a =时，()||f x x =−，对于x ∀∈R ，()||()f x x f x −=−=，故()f x 为偶函数；…………………………………………………………………2分 当0a ≠时，(0)||0f a =−≠，故()f x 不是奇函数； (1)|1|,(1)|1|f a a f a a =−−−=−+，由于0a ≠，故|1||1|a a −≠+，即(1)(1)f f ≠−， 故()f x 不是偶函数,综上所述，当0a =时，()f x 是偶函数，当0a ≠时，()f x 既不是偶函数又不是奇函数. ………………………………4分（Ⅱ）（i ）当11a −≤≤时，()0f x bx +≤在[1,3]x ∈恒成立等价于2(1)0ax b x a +−+≤在[1,3]x ∈恒成立，即11b a x x ⎛⎫≤−++ ⎪⎝⎭恒成立，…………………………………5分若01a ≤≤，则min 110113a x a x ⎡⎤⎛⎫−++=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1013b a ≤−，故2210113a b a a +≤−+≤，当0a =，1b =时，取到1；…………………………7分若10a −≤<，则min 1112a x a x ⎡⎤⎛⎫−++=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以12b a ≤−，故22214a b a a +≤−+≤，当1a =−，3b =时，取到4；…………………………9分（ii ）当12a <≤时，()0f x bx +≤在[1,3]x ∈恒成立等价于10aax b x+−−≤在[1,3]x ∈恒成立，………………………………………………………………………10分①当1x a <≤时，11b a x x ⎛⎫≤−−− ⎪⎝⎭，2min 11a x a x ⎡⎤⎛⎫−−−=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；②当3a x <≤时，11b a x x ⎛⎫≤−++ ⎪⎝⎭，min 110113a x a x ⎡⎤⎛⎫−++=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当12a <≤时，21013a a −≥−，故1013b a ≤−，22104133a b a a +≤−+<−综上所述，2a b +的最大值为4.………………………………………………………12分。

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．正六边形ABCDEF 的边长为2，以顶点A 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ；以顶点D 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,,b b b b b u r u u r u r u u r u u r。

若,P Q 分别为()()i j k r s t a a a b b b ++•++u r u u r u u r u u r u r u r的最小值、最大值，其中{}{}{}{},,1,2,3,4,5,,,1,2,3,4,5i j k r s t 刎，则下列对,P Q 的描述正确的是（ ） A ．00P Q ＜，＜ B ．00P Q ＝，＞C ．00P Q ＜，＞D ．00P Q ＜，＝2．已知函数若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.3．若函数f （x ）=log 2（x 2-2x+a ）的最小值为4，则a=（ ）A.16B.17C.32D.334．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-，函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =，若()g a a >，则a 的取值范围是（ ）A ．(),5-∞-B ．()5,0-C ．()()5,05,-+∞UD ．()5,+∞5．若直线l ：20(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则当21a b+取最小值时直线l 的斜率为（ ） A ．2B ．12C ．2D ．226．若命题“2000,220x R x mx m ∃∈+++<”为假命题，则m 的取值范围是（ ）A.][(),12,-∞-⋃+∞B.()(),12,-∞-⋃+∞ C .[]1,2-D.()1,2-7．已知向量m r 、n r 满足2m =r ，3n =r ，17m n -=r r ，则m n +=r r（ ） A.3B.7C.17D.98．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A.6B.7C.8D.99．函数（>0）在区间[0，1]上至少出现10次最大值，则的最小值是（ ）A ．10B ．20C ．D ．10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当x 0≥时，()2f x x x =-，则函数()f x 在R 上的解析式是()A.()2f x x x =+B.()()f x x x 1=-C.()()f x x x 1=-D.()()f x x x 1=-11．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（ ）A ．56B ．103C ．53D ．212．已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]二、填空题13．若三棱锥P ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =6PA PB PC ===则该三棱锥的外接球的表面积为________.14．设函数lg ,0()2,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若存在互不相等的三个数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则abc的取值范围为__________．15．若函数2()log (41)?xf x k x =+-为R 上的偶函数，则k =______ 162sin 473sin17︒-︒________.三、解答题17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且满足3cos sin a b C B =. （Ⅰ)求角B ； （Ⅱ)若ABC △53，33a c +=b . 18．若3sin cos 1sin 3cos αααα-=+，求：（1）tan α 的值；（2）2sin cos cos sin cos ααααα++-的值．19．已知甲、乙两个旅游景点之间有一条5km 的直线型水路，一艘游轮以/xkm h 的速度航行时(考虑到航线安全要求2050)x ≤≤，每小时使用的燃料费用为40x k -万元(k 为常数，且11)155k ≤≤，其他费用为每小时1x万元． ()1若游轮以30/km h的速度航行时，每小时使用的燃料费用为58万元，要使每小时的所有费用不超过910万元，求x 的取值范围； ()2求该游轮单程航行所需总费用的最小值．20．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD DC CB ===，120BCD ∠=︒，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，1BF =.（Ⅰ）求证：AD ⊥平面BFED ；（Ⅱ）点P 在线段FE 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值. 21．已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，，且，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）设，若对于任意的*n N ∈，不等式恒成立，求正整数m 的最大值．22．已知圆C 过点,且圆心在直线上．（1）求圆C 的方程； （2）平面上有两点，点P 是圆C 上的动点，求的最小值；（3）若Q 是x 轴上的动点，分别切圆C 于两点，试问：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由． 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B C A C A C C C BA13．12π 14．(2,0]- 15．1k = 16．12三、解答题17．（Ⅰ)3B π=；（Ⅱ)b =18．(1)20；(2)16 5. 19．（1）[]20,40；（2）略 20．（1）略（2）3π 21．（1）（2）不存在（3）822．（1）；（2）26；（3）直线恒过定点．证明见解析2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.(8,1)-B.(,8)(1,)-∞-⋃+∞C.(,1)(8,)-∞-⋃+∞D.(1,8)-2．已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）A.1//m D QB.1m Q B ⊥C.//m 平面11B D QD.m ⊥平面11ABB A3．函数的图象大致是( )A. B.C. D.4．函数2()log 24f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0, 1)B ．(1, 2)C ．(2, 3)D ．(3, 4)5．四面体共一个顶点的三条棱两两垂直，其长分别为16，3，且四面体的四个顶点在同一球面上，则这个球的体积为 A ．163πB ．323πC ．12πD ．643π6．已知函数()31()2xf x x =-，则函数()f x 的零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,47．函数()2()212f x ax a x =+-+在区间(],4-∞上为减函数，则a 的取值范围为 ( )A.105a <≤B. 105a ≤≤C. 105a <≤D.15a >8．化简12sin(2)cos(2)ππ+-⋅-得( ) A.sin 2cos2+ B.cos2sin 2- C.sin 2cos2-D.cos2sin 2±-9．已知12F F ，是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（） A ．7B ．4C ．233D ．310．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边,,a b c 成等比数列，则a cb+的值为（ ） A.2 B.2C.2D.411．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比(01)q ∈，.若355a a =＋，26·4a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则当1211n S S S n+++L 取最大值时，n 的值为（ ） A ．8 B ．9C ．8或9D ．17 12．是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）A ．64B ．100C ．110D ．120 二、填空题 13．已知,(,)2παβπ∈，且45cos ,sin 513αβ=-=，则tan 2()αβ-=________. 14．已知幂函数()y f x =的图象过点122⎛ ⎝⎭，则()2log 2f 的值为__________．15．若a r 、b r 为单位向量，且()23a ab ⋅+=r r r ，则向量a r 、b r 的夹角为_______.（用反三角函数值表示）16．若正四棱锥的底面边长为37，则该正四棱锥的体积为______. 三、解答题17．已知集合{|137},{|31}x a A x x B x y -=<+≤==-. （1）当1a = 时，求A B I ； （2）若A B B ⋃=，求a 的取值范围.18．已知锐角ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，且2sin 3a B b =． （1）求A 的大小； （2）若21,5a b c =+=，求ABC ∆的面积．19．正方体1111ABCD A B C D -中, E 为AB 中点, F 为1CD 中点.(1)求证: //EF 平面11ADD A ;(2)求直线EF 和平面11CDD C 所成角的正弦值.20．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b =，8c =，角A 为锐角，ABC ∆的面积为63. （1）求角A 的大小； （2）求a 的值.21．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x （百辆），需另投入成本()C x 万元，且210100,040()100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（1）求出2018年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（=-利润销售额成本） （2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．22．ABC V 中，已知点D 在BC 边上，且220,sin 3AD AC BAC u u u r u u u r ⋅=∠=，32,3AB BD ==．(1)求AD 的长； (2)求cos C ．【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B B A B C A C CB二、填空题 13．253tan(2)204αβ-=-14．1215．1arccos 3π-. 16． 三、解答题17．（1）{|14}A B x x =≤≤I ；（2）(,2]-∞-. 18．（1）3A π=（2）319．（1）见证明；（220．（1）3π；（2）7. 21．（1）2104002500,040(){100002000(),40x x x L x x x x-+-<<=-+≥；（2）当100x =时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元. 22．（1）3AD =；（2）cos C =．2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：①AF 与CN 平行； ②BM 与AN 是异面直线； ③AF 与BM 成60°角； ④BN 与DE 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④2．执行如图所示程序框图，当输入的x 为2019时，输出的y (= )A ．28B ．10C ．4D ．23．已知3a log 6=，3log e b 13-=+，12c ()3-=则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>4．若，则（ ） A ．B ．C ．D ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆1C ：2212x y +=和2C ：2214x y +=，又A 点坐标为(3,1)-，,M N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A.0个B.2个C.4个D.无数个6．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.14B.8π C.12D.4π 7．已知{a n }是等差数列，且a 2+ a 5+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12B ．16C ．20D ．248．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3(0,2B ．3(0,]4C ．32D ．3[,1)49．已知定义域为R 的奇函数y=f(x)的导函数为()y f x '=,当x≠0时,()()0f x f x x'+>,若11()22a f =,112(2),(ln )(ln )22b fc f =--=，则a,b,c 的大小关系正确的是（ ） A ．a c b << B ．b c a << C ．a b c <<D ．c a b <<10．已知2()sin ()4f x x π=+，若1(lg5),(lg )5a f b f ==，则（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1a b +=D ．1a b -=11．若向量,,a b c r r r ，满足//a b r r 且a c ⊥r r，则()2c a b ⋅+=r r r （ ）A ．4B ．3C ．2D ．012．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 二、填空题13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，则84S S 的值是__________. 14．设函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()3f x f π≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为_______．15．在ABC ∆中，tan tan 33tan A B A B +=⋅，则C 等于______．16．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________。

浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={x|x ≥0}，A ={x|x ≥1}，则∁U A =( )A. φB. {x|x <1}C. {x|0≤x <1}D. {x|x ≥0}2. 下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )A.B.C.D.3. 若点M 在△ABC 的边AB 上，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 2CA⃗⃗⃗⃗⃗ −2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 函数f (x )=(12)x−x +2的零点所在的一个区间是( )A. (2,3)B. (0,1)C. (−1,0)D. (1,2)5. 在圆0中，长度为√2的弦AB 不经过圆心，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 12B. √22C. 1D. √26. 不等式−2x −1<3的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,2)C. (−2,+∞)D. (−∞,−2)7. 函数 f(x)=|x|+1的图象是 ( )A.B.C.D.8. 在△ABC 中，5sinAcosA +1=0，则sinA −cosA 的值为( )A. −√357B. √357C. −√355D. √3559. 已知函数f(x)=sin x ·|sin x|，给出下列结论：①f(x)是周期函数；②f(x)是奇函数；③[− π 2, π 2]是函数f(x)的一个单调递增区间；④若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1+x 2=kπ(k ∈Z)；⑤不等式sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|的解集为则正确结论的序号是( )A. ①②④B. ①②③④C. ②③D. ①②③⑤10. 已知函数f(x)=mx 2+mx −1.若对于任意的x ∈[1,4]，f(x)<5−m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,27)B. (−∞,1)C. (1,5)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 圆的半径是12，弧度数为3的圆心角所对扇形的面积等于___________． 12. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则ω=______，φ=_____．13. 已知|a −8b |+(4b −1)2=0，则log 2a b =__________．14. 设函数f(x)={3x −1,x <12x ,x ≥1，则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是_________．15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点P (−x,−6)，且cosα=−513，则x 的值为 ．16. 若sin(α−π)=35，α为第四象限角，则tanα= ______ ． 17. 平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知集合A ={x|x 2−x <0}，B ={x|x 2−2x −m <0}．(Ⅰ)求∁R A ；(Ⅱ)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．19. 已知向量a ⃗ =(λ,1)，b ⃗ =(λ+2,1)，若|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则实数λ= ______ ．20. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图像与直线y =2两相邻交点之间的距离为π，且图像关于x =π3对称. (1)求y =f(x)的解析式；(2)先将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥√3的x 取值范围.21. 如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =4CD ．(1)试用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若AB =3，AD =2，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．22. 已知函数f(x)=x 2−1，g(x)=a|x −1|．(1)若关于x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵U ={x|x ≥0}，A ={x|x ≥1}； ∴∁U A ={x|0≤x <1}． 故选：C ．进行补集的运算即可．考查描述法的定义，以及补集的定义及运算．2.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性及函数图象的应用，属于基础题．根据函数图象关于原点对称的是奇函数、函数图象关于y 轴对称的是偶函数即可判断，注意判断函数的定义域是否关于原点对称．解：选项A 中的函数图象关于原点或y 轴均不对称，不具有奇偶性，故排除； 选项B 中的函数图象关于y 轴对称，其表示的函数是偶函数，选项C ，D 中的函数图象所表示的函数定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除． 故选B ．3.答案：D解析：【分析】如图，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查向量的加减法运算法则，属于中档题．【解答】解：如图，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：D ．4.答案：A解析：本题考查函数的零点的判定定理的应用，首先得出函数的单调性，根据函数零点的存在定理判断即可．解：易知函数f(x)=(12)x−x +2为单调递减函数，∵f(2)=(12)2−2+2=14>0，f(3)=(12)3−3+2=−78<0， ∴f(x)的零点所在的区间是(2,3)， 故选A ．5.答案：C解析：解：取AB 的中点为C ，由圆的性质可得OC ⊥AB ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(√22)2+0 =1 故选：C取AB 的中点为C ，可得OC ⊥AB ，可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由数量积的运算可得．本题考查平面向量数量积的运算以及向量的加减运算，同时考查转化的思想，属基础题．6.答案：C解析：解：不等式−2x−1<3，可得x>−2．不等式−2x−1<3的解集为(−2,+∞)．故选：C．直接利用不等式化简求解即可．本题考查一次不等式的解法，考查计算能力．7.答案：D解析：本题主要考查根据函数的解析式判断函数的图象特征，属于基础题．由函数f(x)的解析式可得，当x=0时，函数f(x)取得最小值，结合所给的选项可得结论．解：由于函数f(x)=|x|+1，故当x=0时，函数f(x)取得最小值．结合所给的选项，只有D满足条件，故选D．8.答案：D解析：此题考查学生灵活运用二倍角正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题，应注意判断所求式子的符号，先利用二倍角的正弦函数公式把已知条件化简得到2sin A cosA的值，并根据其值得到A的范围，进而得到sinA−cosA的符号，然后把所求的式子平方后，利用同角三角函数间的基本关系化简后，将2sin A cosA的值代入即可求出值，根据sinA−cosA的符号，开方即可得到sinA−cosA的值．，解：5sinAcosA+1=0，则sinAcosA=−15可知，，则．故选D ．9.答案：D解析：本题考查三角函数函数的周期性、奇偶性、单调性、中心对称性以及诱导公式，属于较难题． 解题时依据三角函数的三角函数函数的周期性、奇偶性、单调性、中心对称性以及诱导公式逐一验证即可求解．解：对于①，∵f (x +2π)=f (x )，∴f(x)=sin x ·|sin x|为周期函数，①正确；对于②∵f (−x )=−f (x )，∴f (x )为奇函数，②正确； 对于③，当x ∈[0,π2]时，在区间[0,π2]单调递增，又f(x)为奇函数且过原点，∴[−π2,π2]是函数f(x)的一个增区间，③正确；对于④，由②③可画出函数f(x)在[−π2,π2]的图象， ∵f(π2+x)=f (π2−x)，∴f(x)的图象关于直线x =π2对称， 可画出函数f(x)在区间[π2,3π2]上的图象，即得到函数f(x)在[−π2,3π2]上的图象，即一个周期的图象，在[−π2,3π2]上的对称中心为(0,0),(π,0)，∴在整个定义域上的对称中心为(kπ,0)(k ∈Z )．即若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1+x 2=2kπ(k ∈Z)，④不正确；对于⑤，先求不等式sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|在一个周期内的解集.取区间[0,2π]，∵sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|⇔f (2πx )>f (2πx +π2),{2πx >π42πx +π2<7π4, 在整个定义域上{2πx >π4+2kπ2πx +π2<7π4+2kπ(k ∈Z), 解得k +18<x <k +58,k ∈Z ，⑤正确．综上可知，正确结论的序号为①②③⑤． 故选D ．10.答案：A解析：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题． 利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1,4]上的最小值，即可求m 的取值范围． 解：由题意，f(x)<5−m ，可得m(x 2+x +1)<6． ∵当x ∈[1,4]时，x 2+x +1∈[3,21]， ∴不等式f(x)<5−m 等价于m <6x 2+x+1．∵当x =4时，y =x 2+x +1取得最大值21，则6x 2+x+1的最小值为621=27， ∴若要不等式m <6x 2+x+1恒成立， 则必须m <27，因此，实数m 的取值范围为(−∞,27). 故选A ．11.答案：38解析：本题考查扇形面积公式，是基础的计算题． 直接利用扇形的面积公式得答案． 解：由r =12，圆心角的弧度数α=3，得 扇形面积S =12αr 2=12×3×(12)2=38．故答案为38．12.答案：2；π6 解析：解：由图象可得，解得ω=2， 故， 把点(0,1)代入可得， 解得故答案为：2；π6由图象可得，可得ω，把点(0,1)代入解析式可得φ值本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，属中档题．13.答案：14解析：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果． 解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14，所以log 2a b =log 2214=14． 故答案为14． 14.答案：解析： 本题考查函数定义域与值域，分段函数，函数的单调性与单调区间，属于基础题，先由f(f(a))=2f(a)，根据分段函数式判断f(a)≥1，再由分段函数的单调性和每一段的值域可知3a −1≥1，解得即可．解：∵函数f(x)={3x −1,x <12x ,x ⩾1， ∴f(f(a))=2f(a)，得f(a)≥1，又∵x <1，f(x)=3x −1，单调递增，且f(x)<2，x ≥1，f(x)=2x ，单调递增，且f(x)≥2，∴由f(a)≥1，得3a −1≥1，解得a ≥23，∴a 的取值范围是． 故答案为．15.答案：52解析：本题考查任意角的三角函数定义，由余弦的定义即可求解．解： 因为角α终边经过点P (−x,−6)，且cosα=−513，所以cosα=x r =22=−513，解得x =52．故答案为52．16.答案：−34解析：解：sin(α−π)=35，α为第四象限角，sin(α−π)=−sinα=35，∴sinα=−35，cosα=√1−sin 2α=45． tanα=sinαcosα=−34．故答案为：−34．利用诱导公式求出sinα，然后利用同角三角函数的基本关系式求解即可．本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，基本知识的考查． 17.答案：4解析：解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4．故答案为：4．由已知结合向量减法的三角形法则化简求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量减法的三角形法则，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)由x 2−x <0得，0<x <1，故A =(0,1)，所以∁R A =(−∞,0]∪[1,+∞)．(Ⅱ)若B =⌀，则(−2)2+4m ≤0，故m ≤−1；若B ≠⌀，则不满足A ∩B =⌀．综上所述，实数m 的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(Ⅰ)由x 2−x <0得，0<x <1，求出A =(0,1)，由此能求出∁R A .(Ⅱ)若B =⌀，则(−2)2+4m ≤0，故m ≤−1；若B ≠⌀，则不满足A ∩B =⌀.由此能求出实数m 的取值范围．19.答案：−1解析：解：∵|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，∴√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ ， 化为a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∴λ(λ+2)+1=0，解得λ=−1．故答案为：−1．由|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，利用数量积的运算性质可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0，再利用数量积的坐标运算即可得出．本题考查了数量积的运算性质、数量积的坐标运算，属于基础题．20.答案：解：(1)由已知可得， ， ∴， 又的图象关于 对称， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 所以(2)由(1)可得， ∴， 由得 ， 的单调递增区间为， ． ∵， ∴， ∴， ∴解析：本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．(1)利用周期公式，结合最高点的坐标，求出相应的参数，即可求出函数的解析式；(2)利用平移变换求出g(x)的解析式，可得g ( x ) 的单调递增区间，再利用正弦函数的性质，即可解不等式。

宁波市九校2019-2020学年上学期期末联考高一数学试卷一、单选题1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I ( )A ．()10-， B ．(]06，C ．()06， D ．(]16-， 2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-1，C．(-D．⎡-⎣3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( )A ．110x y ->B ．cos cos 0x y ->C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +> 4．已知向量122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()hx 图象关于()30π，对称 D ．函数()hx 图象关于直线3x π=-对称6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．已知函数()()1lg 31x f x x +=+,则()0f =____________函数定义域是____________. 12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u u r u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________.14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a b a b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log xf x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.15．已知函数()()29a f x m x =-为幂函数,且其图象过点(3,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.17．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.(1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.19．已知集合{()121A x y B a a ===-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()RA B =∅Ið,求a 的取值范围;(2)若A C C =I ,求m 的取值范围.20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+.(1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围.21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()gx 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围.22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k=时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由.解析宁波市九校2019-2020学年上学期期末联考高一数学试卷一、单选题 1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I( )A ．()10-， B ．(]06，C ．()06， D ．(]16-， 【答案】B【解析】进行交集的运算即可.解：∵{}0A x x =>，{}16B x x =-<≤，∴(]06A B =I ，. 故选：B.【点睛】本题考查交集的定义及运算，属于基础题.2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．⎛ ⎝⎭- C ．(-D ．⎡-⎣【答案】C【解析】先判断出函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可.【详解】解：因为函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，且tan tan 134ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则所求的函数的值域是(-. 故选：C.【点睛】本题考查正切函数的单调性，以及特殊角的正切值，属于基础题. 3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( ) A ．110x y-> B ．cos cos 0x y ->C ．11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +>【答案】C【解析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论. 【详解】解：0x y >>，则11x y <，即110x y->，故A 错误； 函数cos y x =在()0,∞+上不是单调函数，故cos cos 0x y ->不一定成立，故B 错误；函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上是单调减函数，则1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；当11,x y e==时，ln ln 10x y +=-<，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4．已知向量122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 【答案】A【解析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围. 【详解】解：设a r 与b r的夹角为θ,122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r Q ，，1a ∴=r ,||||cos cos a b a b θθ∴⋅=⨯==r r r r ,[0,]θπ∈Q ,6πθ∴=.故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积及其夹角，是基础题.5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()hx 图象关于()30π，对称 D ．函数()hx 图象关于直线3x π=-对称【答案】D【解析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和ϕ，并代入函数()h x 的解析式，整理得1()cos 3h x x =-，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可. 【详解】解：∵扇形弧长¶323,2AB ϕπϕπ==∴=， 又∵扇形面积13232ωππ=⋅⋅=， 31()sin sin cos 323h x x x x ππϕπωπ⎛⎫⎛⎫∴=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A 选项，函数()h x 为偶函数，即A 错误；对于B 选项，令1[2,2],3x k k k Z πππ∈+∈，则[6,36],x k k k Z πππ∈+∈， 而[2,0][6,36],k k k Z ππππ-+∈Ú，即B 错误； 对于C 选项，令1,32x k k Z ππ=+∈，则33,2x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称中心为33,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即C 错误； 对于D 选项，令1,3x k k Z π=∈，则3,k x k Z π=∈， ∴函数的对称轴为3,k x k Z π=∈，当1k =-时，有3x π=-，即D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了扇形的弧长和面积公式，余弦函数的奇偶性、单调性和对称性，属于基础题. 6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】771log 2log 2<= ，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A. 【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②【答案】B【解析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可. 【详解】 解：①sin y x x =是奇函数，图象关于原点对称；当0x >时，0y ≥恒成立；②cosy x x =是奇函数，图象关于原点对称；③2=xx y e为非奇非偶函数，图象关于原点和y 轴不对称，且0y ≥恒成立； ④4cos xy x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称；则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②. 即对应函数序号为③②④①. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，难度不大.8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形【答案】C【解析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A C =，第二个条件得到B 即可求出结论. 【详解】解：因为在ABC V 中，,,(0,)A B C π∈10,2||||||||BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ||||cos ||||cos 0||cos ||cos 0||||AB AC A CA CB CCA A AC C AB BC -⨯⨯⨯⨯∴+=⇒-=u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r cos cos A C A C ∴=⇒=，11||||cos ||||cos 223BC BA BC BA B BC BA B B π⋅=⨯⨯=⨯⇒=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴ABC V 为等边三角形.故选：C. 【点睛】本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->【答案】A【解析】令，然后结合函数的单调性即可判断. 【详解】解：结合已知不等式的特点，考虑构造函数,令()()22()log 2019log 2020x xf x -=-，则易得()f x 在R 上单调递增，()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2yxy x--+<-Q ，()()()()2222log 2019log 2020log 2019log 2020x x y y--∴-<-，即()()f x f y <-，所以x y <-， 故0x y +<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，解题的关键是由已知不等式的特点构造函数.10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】方程()()21610fx x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可. 【详解】 解：方程()()21610fx x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，如图所示：1(0)(0)016g f =>=Q ， ∴在(0,)+∞内有1个交点，191(5)(5)164g f -=-<-=-Q ，51(3)(3)162g f -=->-=-， 11(2)(2)0,(1)(1)1616g f g f -=-<-=-=>-， ∴两个函数在(,0)-∞内有3个交点，综上所述，函数()f x 与函数()g x 共有4个交点，所以方程()()21610f x x x ++-=根的个数是4个，故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，关键是要画出函数图像，并且确定关键点的高低，是一道难度较大的题目.二、填空题11．已知函数()()1lg 31x f x x +=+,则()0f =____________函数定义域是____________. 【答案】2 113⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】直接在函数解析式中取0x =求得()0f ；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域.【详解】解：由()()1lg 31x f x x +=++，得(0)lg12f ==； 由10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得113-<<x ，∴函数定义域是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 故答案为：2；113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题.12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u u r u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.【答案】125 【解析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解. 【详解】解：由已知可得1212(2)()210AB CD e e e e λλ⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u r u u r u r u u r，解得实数12λ=；∵A B D ，，三点共线，又()12122,12AB e e BD BC CD e e λ=+=+=-+u u u r u r u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r ，2112λ∴=- 解得实数5λ=. 故答案为：12；5.【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量垂直和向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________. 【答案】13 31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，， 【解析】根据正切的周期求出a ，利用整体法求出对称中心即可. 【详解】解：函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3， 则3a ππ=，得13a =， 所以函数1()2tan 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11,362x k k Z πππ+=∈，得3122x k =-，k Z ∈， 故对称中心为31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 故答案为：13；31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 【点睛】考查正切函数的周期，正切函数的对称性，基础题.14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a b a b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log xf x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.【答案】1[)13， 【解析】由所给的函数定义求出分段函数()f x 的解析式，进而求出结果.【详解】解：由题意1(0,1]()?21(1,2)xx f x x ∈⎧=⎨-∈⎩ 所以(1)1,f = 当(1,2)x ∈时，()f x 是单调递增函数，则()(1,3)f x ∈，则()f x 的值域为[)13，.故答案分别为：1；[)13，. 【点睛】考查分段函数的解析式及函数的值域，属于基础题. 15．已知函数()()29a f x m x =-为幂函数,且其图象过点(3,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________. 【答案】()2-∞，【解析】根据函数()f x 是幂函数求出m 的值，再根据()f x 的图象过点(3，求出a 的值；由此得出函数()gx 的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出()g x 的单调递增区间.【详解】 解：函数函数()()29a f x m x =-为幂函数，291m -=，解得5m =，且其图象过点(3，所以3a =，解得12a =， 所以函数()()2log 6a g x x mx =-+即函数()()212log 56g x x x =-+， 令2560x x -+>，解得2x <或3x >,所以函数()g x 的单调递增区间为()2-∞，. 故答案为：()2-∞，. 【点睛】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，复合函数的单调性的判断，是基础题.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.【答案】[)3+∞，【解析】先根据()6a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=r r r r r r r得到cos 3a b θ⨯=+r r ；进而表示出a b +r r 即可求解.【详解】解：设a b +rr与c r的夹角为θ，()6||||cos a b c a c b c a b c θ+⋅=⋅+⋅==+⨯⨯r r r r r r r r r rQ ， ||cos 3a b θ∴+⨯=rr ，0cos 1θ∴<≤，3||3cos a b θ+=≥rr .故答案为：[3,)+∞. 【点睛】本题主要考察平面向量的数量积以及三角函数的性质应用，属于基础题. 17．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.【答案】6【解析】由题意可得()()sin 52g x f x x x -=++，由正弦函数和一次函数的单调性可得()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n .【详解】解：函数()25=--f x x ，()sin g x x =，可得()()sin 52g x f x x x -=++，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得sin ,5y x y x ==递增， 则()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++……，即为()()()()(()()()112211)n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋯+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即()()()112211sin 5sin 5sin 52(1)sin 52n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=++，即()()(112211sin 5sin 5sin 5)2(2)sin 5n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=+，由5sin 50,12n n x x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，可得52(2)12n π-≤+， 即5524n π≤+，而55(6,7)24π+∈， 可得n 的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数的单调性和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.(1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.【答案】(1)12;(2) 11⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【解析】(1)根据平面向量的数量积列方程求出tan x 的值，再根据x 的范围确定tan x 的值；(2)根据平面向量的数量积和模长公式求出m 的解析式，再求m 的取值范围.(1)因为3sin cos 15a b x x ⋅=⋅-=-r r ,即2sin cos 5x x ⋅=, 所以222sin cos tan 2sin cos tan 15x x x x x x ⋅==++, 所以22tan 5tan 20x x -+=,即tan 2x =或1tan 2x =. 因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以[]tan 01x ∈，,即1tan 2x =；(2)因为a c +r r 与a c -r r垂直,()()220a c a c a c ∴+⋅-=-=r r r r r r ，a c ∴=r r ,所以221sin m x =+,因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以2231sin 12m x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，,即11m ⎡⎤⎡∈-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题.19．已知集合{()121A x y B a a ===-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()RA B =∅Ið,求a 的取值范围;(2)若A C C =I ,求m 的取值范围.【答案】(1)20a -<≤;(2)20m -≤≤【解析】（1）可以求出[]31A =-，，从而可得出A R ð，根据()RA B =∅Ið得121a a -<+，并且13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解出a 的范围即可； （2）根据A C C =I 即可得出C A ⊆，然后可讨论1m +与1m --大小关系，从而得出集合C ，根据C A ⊆即可得出m 的范围.(1)因为{[]31A x y ===-，,所以()()31,R A =-∞-+∞U ，ð, 因为()121B a a =-+，,即121a a -<+.即2a >-, 由()RA B =∅Ið得,13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得20a -≤≤, 所以20a -<≤； (2)因为A C C =I,即C A ⊆,[]()(){}31|110A C x x m x m =-=--++≤，，,①11m m +≤--时,即1m ≤-时,{}11C x m x m m R =+≤≤--∈，, C A ⊆,所以1311m m +≥-⎧⎨--≤⎩,解得2m -≤,所以21m -≤≤-.②11m m +>--时,即1m >-时,{}11C x m x m m R =--≤≤+∈，, C A ⊆,所以1113m m +≤⎧⎨--≥-⎩,解得0m ≤,所以10m -<≤. 综上所述:20m -≤≤. 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，补集、交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题. 20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+.(1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围.【答案】(1)()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，;(2)40k -<<.【解析】（1）设0x <，则0x ->，()()()2lg 1f x f x x =-=-+，再求出()f x 的解析式；（2）当0x <时，因为0kx >，所以k 0<，结合分离参数法求出k 的范围.【详解】(1)设0x <,则0x ->,()()()2lg 1f x f x x =-=-+,所以()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，；(2)当0x <时,因为0kx >,所以k 0<, 所以()()lg2lg 1kx x <-+,即()()2lg lg 1kx x <-+,即()21kx x <-+.因为0x <,所以()2112x k x xx-+>=+-恒成立,当0x <时,1224x x +-≤-=-最大值为-4,所以4k >-, 所以40k -<<.【点睛】本题考查分段函数求解析式，函数求含参恒成立问题，转化为最值问题即可，中档题. 21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()gx 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,变换见解析;(2)12⎛- ⎝⎭，. 【解析】（1）先根据图象求出()g x 的解析式；再结合图象变化规律说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()gx 的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出()f x 的范围；再结合恒成立问题即可求解.【详解】(1)由图得112A ω==，, 因为203π⎛⎫-⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点,所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()gx ；(2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，,所以当263x ππ+=-时,()f x取最小值,当262x ππ+=时,()f x 取最大值1,因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以212m m ⎧-+<⎪⎨⎪<+⎩即122m ⎛∈-- ⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，以及恒成立问题，属于中档题. 22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k=时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)()3log 2+∞，;(2)1k =或17k =-;(3)存在,207k <<. 【解析】（1）根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数()y f x =的值域；（2）利用换元法设30x t t =>，，然后对参数k 进行分类讨论，分0k ≥和k 0<两种情况进行讨论函数()g t 的最大值，根据最大值取得的情况计算出k 的取值；（3）继续利用换元法设30x t t =>，，设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++，根据二次函数的性质可得()f x 在()1+∞，上为增函数，则()()()()min max f x f m f x f n ==，，将问题转化为方程()3log 291321x xk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据>0∆，及韦达定理可计算出实数k 的取值范围. 【详解】 (1)0k=时,()()3log 32xf x =+,因为322x +>. 所以()()33log 32log 2x f x =+>,所以函数()y f x =的值域为()3log 2+∞，(2)设30x t t =>，,则()()23log 212f t k t k t k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦,若0k ≥,则函数()()2212g t k t k t k =⋅--++无最大值,即()f t 无最大值,不合题意;故k 0<,因此()()2212gt k t k t k =⋅--++最大值在104k t k-=>时取到, 且114k f k -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()211212344k k k k k k k --⎛⎫--++= ⎪⎝⎭, 解得1k=或17k =-,由k 0<,所以17k =-.(3)因为01k <<时,设()31x t t =>.设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++.此时对称轴104k t k-=<, 所以当1t >时,()g t 为增函数,且()()1230g t g k >=+>,即()f x 在()1+∞，上为增函数.所以,()()()()min max 11f x f m m f x f n n ==+==+，,即方程()3log 291321xx k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根,即()1291323xx x k k k -⋅--++=,设()31x t t =>.所以()22123k tk t k t ⋅--++=.即方程()22220k t k t k ⋅-+++=有两个大于l 的不等实根,因为01k<<,所以()()()228202142220k k k k k k k k ⎧∆=+-+>⎪+⎪>⎨⎪-+++>⎪⎩, 解得207k<<, 即存在m n ，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”,且207k <<.【点睛】本题主要考查函数的值域问题，最值问题，考查了换元法的应用，分类讨论思想和转化思想的应用，不等式的计算能力，本题属综合性较强的中档题.。

2019-2020学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集U Z =,{}2,2A x Z x x =∈≤-≥或,则U A =ð( ) A ．{}22x x -≤≤ B ．{}22x x -<<C ．{}2,?1,0,1,2-D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】根据补集的概念和运算，求得U A ð. 【详解】根据补集的概念和运算可知U A =ð{}{}|221,0,1x Z x ∈-<<=-.故选：D 【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B ，属于基础题. 2．下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在()0,∞+上单调递增的是( ) A ．ln y x = B ．3y x =C ．1y x=D ．1y x x=+【答案】B【解析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项. 【详解】对于A 选项，ln y x =为非奇非偶函数，不符合题意.对于B 选项，3y x =为奇函数，且在()0,∞+上递增，符合题意.对于C 选项，1y x=是奇函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意. 对于D 选项，1y x x=+是奇函数，且在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合题意. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．在ABC V 中,点M 、N 分别在边BC 、CA 上,若2BC BM =u u u r u u u u r ,3CA CN =u u u r u u u r,则MN =u u u u r( )A ．1126AB AC -+u u u r u u u r B ．1126AB AC -u u ur u u u rC ．1162AB AC -u u ur u u u rD ．1162AB AC +u u ur u u u r【解析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得MN u u u u r的表达式. 【详解】依题意()2132MN AN AM AC AB AC =-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 1126AB AC =-+u u ur u u u r . 故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题. 4．函数()()2 2.178283x f x e e x =+-≈的零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】利用零点存在性定理，判断出函数()f x 零点所在区间. 【详解】依题意()()()201,130,2220f f e f e ==->=+-<，当2x >时，()0f x <，根据零点存在性定理可知，()f x 零点所在区间是()1,2. 故选：B 【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题.5．如图,在圆C 中弦AB 的长度为6,则AC AB ⋅=u u u r u u u r( )A ．6B ．12C ．18D ．无法确定【解析】取线段AB 的中点D ，得CD AB ⊥.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得AC AB ⋅u u u r u u u r【详解】取线段AB 的中点D ，得CD AB ⊥.所以1cos 2AC A AD AB ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r，所以21cos 182AC AB AC A AB AB ⋅=⋅⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题. 6．不等式tan 30x ≥的解集为( ) A ．,32k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭,k Z ∈B ．,2232k k ππππ++⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈C ．,3k ππ++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈ D ．23,k ππ++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈ 【答案】A【解析】解正切型三角不等式求得不等式的解集. 【详解】 依题意tan 3x ≥ππππ32k x k +≤<+，故原不等式的解集为,32k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭.k Z ∈. 故选：A 【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题.7．函数()2222x x f x x x --=++-大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项. 【详解】依题意函数()f x 的定义域为R ，且()()2222x xf x x x f x --=-++-=-，所以函数为R上的奇函数，由此排除A,B,C 三个选项. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题. 8．已知角A 是ABC V 的内角,若sin 2cos 1A A -=-,则下列式子正确的是( ) A ．2sin cos 2A A -= B ．2sin cos 2A A +=- C ．3tan 4A = D ．12sin cos 25A A =-【答案】C【解析】结合sin 2cos 1A A -=-与22sin cos 1A A +=，求得sin ,cos A A ，由此判断出正确选项. 【详解】由于sin 2cos 1A A -=-，则sin 2cos 10,cos 0A A A =->>，所以A 为锐角，由22sin 2cos 1sin cos 1A A A A -=-⎧⎨+=⎩，即22sin 2cos 1sin cos 1A A A A =-⎧⎨+=⎩，解得34sin ,cos 55A A ==.所以22sin cos 5A A -=，2sin cos 2A A +=，sin 3tan cos 4A A A ==，12sin cos 25A A =.C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.9．设函数()()cos 23f x x R x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+∈,则下列结论错误的是( )A ．设1263x x ππ-<<<,则有()()12f x f x >B ．对任意x ∈R ,都有()()f x f x π-=C ．对任意x ∈R ,都有()03f x f x π⎛⎫⎪⎭+ -⎝-=D ．对任意x ∈R ,都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】A 选项利用函数的单调性进行判断.B 选项利用函数的周期性进行判断.CD 选项通过计算证明等式是否正确. 【详解】 A ，由π02π3x ≤+≤解得ππ63x -≤≤，所以()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以1263x x ππ-<<<,则有()()12f x f x >，故A 选项正确.B ，函数()()cos 23f x x R x π⎛⎫⎪⎝⎭=+∈的最小正周期为2ππ2=，所以对任意x ∈R ,都有()()f x f x π-=，故B 选项正确. C ，当0x =时，()()ππππ0cos cos 2cos 1033333f x f x f f π⎛⎫⎛⎫-+-=-+=-+==≠ ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C选项错误. D ，πcos 2cos 2366x f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦--， 6f x π⎛--⎫ ⎪⎝⎭()ππcos 2cos 2cos 263x x x ⎡⎤⎛⎫=--+=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以对任意x ∈R ,都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题.10．已知a R ∈,函数()2f x ax x =-,若存在[]0,1t ∈,使得()()22f t f t +-≤成立,则实数a 的取值范围为( ) A ．[]0,1 B ．(],1-∞C ．0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】化简不等式()()22f t f t +-≤，分离常数a ，根据t 的取值范围，求得a 的取值范围. 【详解】()()()()()22222442f t f t a t t at t at a ⎡⎤+-=+-+--=+-⎣⎦Q∴原命题等价于存在[]0,1t ∈,使得4422at a +-≤成立,即存在[]0,1t ∈,使得11a t ≤+成立，即max11a t ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭,因此1a ≤. 故选：B 【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.二、填空题11．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________. 【答案】2 1【解析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积. 【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为2，由扇形的面积公式得221121122S r α=⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：(1). 2 (2). 1 【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.12．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0>ω,ϕπ<）的部分图象如图所示,则ω=________,ϕ=________.【答案】2312π【解析】首先根据图像求得函数()f x 的周期，进而求得ω的值，再由点5π,28⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ的值.【详解】根据图像可知，11π5π3π4884T =-=，所以3πT =，即()2π3π0ωω=>，解得23ω=.所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则5π25π5π2sin 2sin 283812f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5πsin 112ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于ϕπ<，所以5πππ,12212ϕϕ+==.故答案为：(1). 23(2). 12π【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题. 13．若231log log 2a b ==,则ab =________,6log ab =________. 612【解析】将对数式化为指数式，求得,a b 的值，进而求得ab 的值以及6log ab 的值. 【详解】由231log log 2a b ==得11222,3a b ==，所以()11112222232366ab =⨯=⨯==12661log log 62ab ==. 故答案为：(1). 6 (2).12【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14．设函数()()()22log 1,312,3x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩,则()f x 的单调递增区间为________,()f x 的值域为________.【答案】[)1,+∞ [)2,-+∞.【解析】画出()f x 的图像，根据图像求得()f x 的单调递增区间和值域. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示，由图可知，()f x 的单调递增区间为[)1,+∞，()f x 的值域为[)2,-+∞.故答案为：(1). [)1,+∞ (2). [)2,-+∞【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 15．在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以x 轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线y x =对称.若α的终边经过点()1,2P ,则sin sin αβ+=________.【答案】5【解析】由α终边上一点的坐标，求得sin α，根据对称性求得β终边上一点的坐标，由此求得sin β，进而求得sin sin αβ+. 【详解】由于α的终边经过点()1,2P ，所以sin 5α==.点P 关于直线y x =对称点为()2,1，所以sin 5β==，所以sin sin 5αβ+=.【点睛】本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于y x =对称点的坐标的特点，属于基础题. 16．已知α为第四象限角,化简=________.【答案】2cos α【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式. 【详解】依题意α为第四象限角，所以=+=+1sin 1sin 1sin 1sin 2cos cos cos cos αααααααα+-++-=+==.故答案为：2cos α【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17．非零平面向量a r ,b r,满足2b =r ,且()b b a b a ⋅-=-r r rr r ,则a r 的最小值________.【答案】3【解析】首先求得b r与()b a -r r 的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得a r 的最小值.【详解】2b =r Q ,()b b a b a ⋅-=-r r r r r ,设b r 与()b a -r r 的夹角为θ,因此()1cos 2b b a b a b θ⋅-==-⋅r r r r r r即b r 与()b a -r r 的夹角为3π（如图）,ar 的终点在射线BA 上,因此a r 的最小值为3sin 23b θ⋅=⨯=r . 故答案为：3【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题18．已知集合{}51A x m x m =-<<-,函数()()2lg 6f x x x =-++,记()f x 的定义域为B .(Ⅰ)当2m =时,求A B U ,A B I ; (Ⅱ)若A B ⋂≠∅,求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) {}33A B x x ⋃=-<<,{}21A B x x ⋂=-<<; (Ⅱ) 18m -<< 【解析】（I ）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合B ，由此求得A B U ,A B I .（II ）根据A B ⋂≠∅列不等式组，解不等式组求得实数m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当2m =时,得{}31A x x =-<<,由260x x -++>,得{}23B x x =-<<, 于是{}33A B x x ⋃=-<<, {}21A B x x ⋂=-<<;（Ⅱ）若A B ⋂≠∅,则1253m m ->-⎧⎨-<⎩, 得18m -<<.【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19．已知a r ,b r ,c r 是同一平面内的三个向量,且()1,2a =-r .(Ⅰ)若5c =r ,且//c a r r ,求c r 的坐标;(Ⅱ)若3b =r ,且3a b +r r 与3a b -r r 垂直,求向量a r 与b r 夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ) c =-r ,或(c =r ; (Ⅱ) 【解析】（I ）利用c a λ=r r 设出c r 的坐标，根据5c =r 列方程，由此求得c r 的坐标.（II ）根据3a b +r r 与3a b -r r 垂直，则()()330a b a b +⋅-=r r r r ，化简后求得32a b ⋅=r r ，利用向量夹角公式，计算出向量a r 与b r 夹角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）设()2,a c λλλ==-r r5c =r Q,5=,即λ=故c =-r ,或(c =r ; （Ⅱ）()()33a b a b +⊥-r r r r Q ,()()330a b a b ∴+⋅-=r r r r 即223830a a b b +⋅-=r r r r ,代入整理得32a b ⋅=r rcos 10a b a bθ⋅==⋅r r r r , ∴向量a r 与b r【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20．已知函数()()sin 033x f x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=-<<,满足06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在344,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 62k ω=+,k Z ∈.单调递增区间为51212,k k ππππ-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ (Ⅱ) ()1,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】（I ）利用06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合03ω<<，求得ω的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数()f x 的单调递增区间.（II ）根据图象变换的知识求得()g x 的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得()g x 在344,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【详解】（Ⅰ）因为()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以63k ωπππ-=,k Z ∈ 因此62k ω=+,k Z ∈又03ω<<,2ω=,因为()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以222232k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈即51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈ 因此函数()f x 的单调递增区间为51212,k k ππππ-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因此()ππsin sin 4312y g x x x π⎛⎫==+-=⎛⎫ ⎪⎝-⎪⎝⎭⎭ ， 又344,x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,,21233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以()31,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．在直角梯形ABCD 中,//AB CD ,90DAB ∠=︒,2AB =,1CD =,P 是线段AD 上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当3AD =时,(i )求AC AB ⋅u u u r u u u r 的值;(ⅱ)若54PB PC ⋅=u u u r u u u r ,求AP u u u r 的值; (Ⅱ)求2PB PC +u u u r u u u r 的最小值.【答案】(Ⅰ) （i ）2 （ⅱ）3AP =u u u r (Ⅱ) 最小值为5 【解析】建立平面直角坐标系.（I ）当3AD =时，（i ）利用向量数量积的坐标运算，求得AC AB ⋅u u u r u u u r. （ii ）设AP t =u u u r 得出P 点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合54PB PC ⋅=u u u r u u u r ，求得t ，也即求得AP u u u r的值.（II ）设()1,C c 、()0,P t ，而()2,0B ，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得2PB PC +u u u r u u u r 的表达式，由此求得2PB PC +u u u r u u u r 的最小值.【详解】 以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当3AD =时,（i ）2AB =Q ,()2,0AB ∴=u u u r ,(3AC =u u u r 因此21032AC AB ⋅=⋅+=u u u r u u u r ; （ⅱ）设AP t =u u u r ,即点P 坐标为()0,t ,则()2,PB t =-u u u r ,()3PC t =u u u r , ())2235213324PB PC t t t t t ⎛⋅=⋅+-⋅=+=+ ⎝⎭u u u r u u u r 当32t =时,54PB PC ⋅=u u u r u u u r ,即3AP =u u u r （Ⅱ）设()1,C c 、()0,P t ,又()2,0B则()()()222,15,,3PB PC t c t c t +=-+-=-u u u r u u u r ,()222535PB PC c t ∴+=+-≥u u u r u u u r ,当3t c =时取到等号, 因此2PB PC +u u u r u u u r 的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22．设函数()()2a x f ax x =-+,其中a R ∈.(Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的零点;(Ⅱ)若对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（I ）当1a =时，将()f x 表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得()f x 的零点.（II ）方法一：当0a ≥时，求得()f x 表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及()1f x ≥-列不等式，解不等式求得a 的值.当0a <时，分成105a -<<和15a ≤-两种情况进行分类讨论，结合函数()f x 的单调区间和最值列不等式（组），由此求得a 的取值范围.方法二：利用()f x 在区间[],1a a +端点的函数值不小于1-列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的a 的取值范围，恒有()1f x ≥-.【详解】（Ⅰ）当1a =时,()2231,01,0x x x f x x x x ⎧---≤=⎨--->⎩,（i ）当0x ≤时,令()0f x =,即2310x x ---=,解得32x -±=; （ⅱ）当0x >时,令()0f x =,即210x x ---=,此方程∆<0,无实数解.由（i ）（ⅱ）,得()f x 的零点为32--,32-+ （Ⅱ）方法1.（i ）当0a ≥时, 对于[],1x a a ∈+,得()2222324a a f x x ax a x =---=-+⎪⎭-⎛⎫ ⎝, 显然函数()f x 在[],1a a +上递减,要使()1f x ≥-恒成立,只需()()min 11f x f a =+≥-,即23311a a --≥--,得10a -≤≤,又0a ≥,所以0a =符合题意.（ⅱ）当0a <时,()2222,03,0x ax a x f x x ax a x ⎧---≤=⎨--->⎩ 22223,02435,024a a x x a a x x ⎧⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++> ⎪⎪⎝⎭⎩ 由3022a a ->->,知函数()f x 在32,a ⎛-∞-⎤ ⎥⎝⎦上递增,在,32a -+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减.以下对a 再进行分类1︒当312a a -<+,即105a -<<时, 函数()f x 在2,3a a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上递增,在31,2a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上递减. 此时()()(){}min min ,1f x f a f a =+, 只需()()111f a f a ⎧≥-⎪⎨+≥-⎪⎩, 即()()222411211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥⎪⎩解得330a a ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩,即03a -≤≤ 又105a -<<,所以105a -<<符合题意. 2︒当312a a -≥+,即15a ≤-时, 函数()f x 在[],1a a +上递增.要使()1f x ≥-恒成立,只需()()min 1f x f a =≥-,即2231a a ≥--,得33a -≤≤, 又15a ≤-所以135a -≤≤-符合题意.由（i ）（ⅱ）,得实数a的取值范围是0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 方法2.因为对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,所以()()111f a f a ⎧≥-⎪⎨+≥-⎪⎩, 即()()222411211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩,解得0a ≤≤. 下面证明,当0,3a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-, （i ）当0a x ≤≤时,()2222324a a f x x ax a x =---=-+⎪⎭-⎛⎫ ⎝递增, 故()()231f x f a a ≥=--≥成立; （ⅱ）当01x a ≤≤+时,()223f x a x ax =---, ()221115515124f a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=---=-++≥-,()21013f a =-≥->-, 故()()(){}min 1,01f x f a f ≥+≥-成立.由此,对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,【点睛】本小题主要考查分段函数的零点、单调性、最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。

宁波市2019学年第学期一九校联考高一数学答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1、B2、C3、C4、A5、D6、D7、B8、C9、A 10、C二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 2，1(,1)3- 12. 12，5 13. 13，31(,0),22k k Z -∈ 14. 1，[1,3)15. (,2)-∞ 16. [3,)+∞17. 6 三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）解：(1)因为3sin cos 15a b x x ⋅=⋅-=-， 即2sin cos 5x x ⋅=，………………………………………………………………… 2分 所以222sin cos tan 2sin cos tan 15x x x x x x ⋅==++，……………………………………………… 4分 所以22tan 5tan 20x x -+=，即tan 2x =或1tan 2x =，…………………………… 6分 因为[0,]4x π∈，所以tan [0,1]x ∈，即1tan 2x =.…………………………………… 7分 (2)因为a c +与a c -垂直，所以a c =，………………………………………… 9分 所以221sin m x =+，因为[0,]4x π∈， 所以2231sin [1,]2m x =+∈，………………………………………………………… 12分即6[1][1,]m ∈-.…………………………………………………………… 14分 19. （本题满分15分）解：(1)因为{[3,1]A x y ===-， 所以(,3)(1,)R A =-∞-+∞ð，………………………………………………………… 2分 因为()1,21B a a =-+，即121a a -<+，即2a >-，由()R B A =∅ð得，13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得20a -≤≤，……………………………………………………… 5分 所以20a -<≤.……………………………………………………………………… 7分(2)因为A C C =，即C A ⊆，[3,1]A =-，()():110C x m x m --++≤，法1：①11m m +≤--时，即1m ≤-时，11,}{|C x m x m m R =+≤≤--∈，C A ⊆，所以 1311m m +≥-⎧⎨--≤⎩，解得2m -≤，所以21m -≤≤-；……………… 10分②11m m +>--时，即1m >-时，{|11,}C x m x m m R =--≤≤+∈，C A ⊆，所以1113m m +≤⎧⎨--≥-⎩，解得0m ≤，所以10m -<≤；…………………… 13分 综上所述：20m -≤≤.……………………………………………………………… 15分 法2：因为C A ⊆，所以311311m m -≤+≤⎧⎨-≤--≤⎩，………………………………………………………………… 13分 即20m -≤≤.…………………………………………………………………………… 15分20. （本题满分15分）解：(1)设0x <，则0x ->，()()2lg(1)f x f x x =-=-+，…………………………………………………………… 4分所以2lg(1),0()2lg(1),0x x f x x x -+<⎧=⎨+≥⎩.………………………………………………………… 6分 注：可直接写成()2lg(1)f x x =+形式.(2)当0x <时，因为0kx >，所以0k <，所以lg()2lg(1)kx x <-+，即2lg()lg(1)kx x <-+，即2(1)kx x <-+，………………… 8分因为0x <，所以2(1)12x k x x x-+>=+-恒成立，………………………………… 11分 因为0x <时，12y x x=+-最大值为4-，所以4k -<，………………………… 13分 所以40k -<<.………………………………………………………………………… 15分注：本题若用图象法求解，根据表达完整程度酌情给分.21. （本题满分15分）解：(1)由图得1A =，12ω=，…………………………………………………………… 2分 因为2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭为函数递增区间上的零点， 所以21232k πϕπ-⋅+=，k Z ∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，………………………………………………………… 4分 即1()sin()23g x x π=+，……………………………………………………………… 5分 图象变换方式一：写法1：将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移3π个单位长度，…………………………………………………… 7分 写法2：)4(1sin(2)sin()626y x y x ππ=+−−−−−−−−−−−→=+横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变 31sin()23y x ππ−−−−−−→=+向左平移个单位 图象变换方式二：写法1：将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)；写法2：12sin(2)sin(2)63y x y x πππ=+−−−−−−→=+向左平移个单位 ()41sin()23y x π−−−−−−−−−−−→=+横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变 (2)因为,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当263x ππ+=-时，()f x取最小值，……………………………………… 9分 当262x ππ+=时，()f x 取最大值1，………………………………………………… 11分 因为()2f x m -<恒成立，即2()2m f x m -+<<+恒成立，所以212m m ⎧-+<⎪⎨⎪<+⎩，………………………………………………………………… 13分即(1,2m ∈-.…………………………………………………………………… 15分 22. （本题满分15分）解：(1)0k =时，3()log (32)x f x =+，因为322x +>，………………………………………………………………………… 2分 所以33()log (322)log x f x =+>，所以函数()y f x =的值域为32,)(log +∞.……………………………………………… 4分(2)设3x t =，0t >，则32()log [2(1)2]f t k t k t k +--+=⋅，若0k ≥，则函数2()2(1)2g t k t k k t =⋅-++-无最大值，即()f t 无最大值，不合题意；故0k <，因此2()2(1)2g t k t k k t =⋅-++-最大值在104k t k -=>时取到， 且14()1k f k -=，所以2112()(1)2344k k k k k k k----++=，…………………………… 6分 解得1k =或17k =-，…………………………………………………………………… 7分 由0k <，所以17k =-.………………………………………………………………… 9分 (3)因为01k <<时，设3(1)x t t =>，设真数为2()2(1)2g t k t k k t =⋅-++-， 此时对称轴104k t k-=<， 所以当1t >时，()g t 为增函数，且()(1)230g t g k >=+>，即()f x 在(1,)+∞上为增函数. ……………………………………………………… 10分 所以，min ()()1f x f m m ==+，max ()()1f x f n n ==+即方程3log [29(1)32]1x x k k x k ⋅--=+++在(0,)+∞上有两个不同实根，即129(1)332x x x k k k +++=⋅--，设3(1)x t t =>…………………………………… 11分 所以22(1)32k t k t k t +++-=⋅-即方程22(2)20k t k t k ⋅-+++=有两个大于1的不等实根,因为01k <<，所以22(2)8(2)021421(2)120k k k k k k k k ⎧∆=+-+>⎪+⎪>⎨⎪⎪⋅-+⋅++>⎩…………………………………………………… 13分 解得227k -<<，由01k <<，得207k <<. 即存在,m n ，使得函数()f x 为“1档类正方形函数”，且207k <<.……………… 15分。

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x＞0}，集合B＝{x|﹣1＜x≤6}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，6] C．（0，6）D．（﹣1，6] 2．函数的值域是（）A．（﹣1，1）B．C．D．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．cos x﹣cos y＞0C．D．lnx+lny＞04．已知向量，，且．则与的夹角为（）A．B．C．D．5．已知半径为2的扇形AOB中，的长为3π，扇形的面积为ω，圆心角AOB的大小为φ弧度，函数h（x）＝sin（x+φ），则下列结论正确的是（）A．函数h（x）是奇函数B．函数h（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数C．函数h（x）图象关于（3π，0）对称D．函数h（x）图象关于直线x＝﹣3π对称6．已知a＝log72，b＝log0.70.2，c＝0.70.2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b7．已知4个函数：①y＝x|sin x|；②y＝x cos|x|；③；④y＝4cos x﹣e|x|的图象如图所示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为（）A．①④②③B．③②④①C．①④③②D．③①④②8．在△ABC中，，则△ABC为（）A．直角三角形B．三边均不相等的三角形C．等边三角形D．等腰非等边三角形9．若（log22019）x+（log20202）﹣y＜（log22019）﹣y+（log20202）x，则（）A．x+y＜0 B．x+y＞0 C．x﹣y＜0 D．x﹣y＞010．设函数，则方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知函数，则f（0）＝，函数定义域是．12．已知是单位向量，，，，，若，则实数λ＝；若A，B，D三点共线，则实数λ＝．13．己知函数的最小正周期是3．则a＝，f（x）的对称中心为．14．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：，设函数f（x）＝（2x⊗2）﹣（1⊗log2x），x∈（0，2），则f（1）＝，f（x）的值域为．15．已知函数f（x）＝（2m﹣9）x a为幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为．16．已知，是平面向量，且，若，则的取值范围是．17．函数f（x）＝﹣2﹣5x，g（x）＝sin x，若，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），则正整数n的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知向量，其中．（1）若的，求tan x的值；（2）若与垂直，求实数m的取值范围．19．已知集合．C＝{x|（x﹣m﹣1）（x+m+1）≤0，m∈R}（1）若（∁R A）∩B＝∅，求a的取值范围；（2）若A∩C＝C，求m的取值范围．20．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2lg（x+1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意的x∈（﹣∞，0），关于x的不等式lg（kx）＜f（x）恒成立，求k 的取值范围．21．已知函数f（x）＝sin（2x+），g（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求g（x）的解析式，并说明f（x）的图象怎样经过2次变换得到g（x）的图象；（2）若对于任意的，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．22．在函数定义域内，若存在区间[m，n]，使得函数值域为[m+k，n+k]，则称此函数为“k 档类正方形函数”，已知函数f（x）＝log3[2k•9x﹣（k﹣1）3x+k+2]．（1）当k＝0时，求函数y＝f（x）的值域；（2）若函数y＝f（x）的最大值是1，求实数k的值；（3）当x＞0时，是否存在k∈（0，1），使得函数f（x）为“1档类正方形函数”？若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＞0}，集合B＝{x|﹣1＜x≤6}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，6] C．（0，6）D．（﹣1，6] 【分析】进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1＜x≤6}，∴A∩B＝（0，6]．故选：B．2．函数的值域是（）A．（﹣1，1）B．C．D．【分析】先判断出函数y＝tan x在（﹣，）单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可．解：因为函数y＝tan x在（﹣，）单调递增，且tan＝；tan（﹣）＝﹣1，则所求的函数的值域是（﹣1，），故选：C．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．cos x﹣cos y＞0C．D．lnx+lny＞0【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论．解：x＞y＞0，则﹣＞0，cos x﹣cos y＞0，lnx+lny＞0不一定成立，而﹣＜0一定成立．故选：C．4．已知向量，，且．则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围．解：设与的夹角为θ；因为，所以||＝1；∴＝||×||cosθ＝⇒cosθ＝；∵θ∈[0，π]；∴θ＝；故选：A．5．已知半径为2的扇形AOB中，的长为3π，扇形的面积为ω，圆心角AOB的大小为φ弧度，函数h（x）＝sin（x+φ），则下列结论正确的是（）A．函数h（x）是奇函数B．函数h（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数C．函数h（x）图象关于（3π，0）对称D．函数h（x）图象关于直线x＝﹣3π对称【分析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和φ，并代入函数h（x）的解析式，整理得，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可．解：∵扇形弧长＝2φ＝3π，∴φ＝，又∵扇形面积ω＝∴h（x）＝sin（x+φ）＝，对于A选项，函数h（x）为偶函数，即A错误；对于B选项，令，则x∈[6kπ，3π+6kπ]，k∈Z，而[﹣2π，0]⊈[6kπ，3π+6kπ]，k∈Z，即B错误；对于C选项，令，则，∴函数的对称中心为，即C错误；对于D选项，令，则x＝3kπ，k∈Z，∴函数的对称轴为x＝3kπ，k∈Z，当k＝﹣1时，有x＝﹣3π，即D正确．故选：D．6．已知a＝log72，b＝log0.70.2，c＝0.70.2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】本题根据对数函数及指数函数来比较大小，解题关键是找到中间值，将a、b、c与中间值进行比较即可得到结果．解：由题意，∵2＝＜，∴a＝log72＜log7＝；b＝log0.70.2＞log0.70.7＝1，＜0.7＜c＝0.70.2＜1，∴a＜c＜b，故选：D．7．已知4个函数：①y＝x|sin x|；②y＝x cos|x|；③；④y＝4cos x﹣e|x|的图象如图所示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为（）A．①④②③B．③②④①C．①④③②D．③①④②【分析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可．解：①y＝x|sin x|是奇函数，图象关于原点对称；当x＞0时，y≥0恒成立，②y＝x cos|x|＝x cos x是奇函数，图象关于原点对称；③为非奇非偶函数，图象关于原点和y轴不对称，且y≥0恒成立，④y＝4cos x﹣e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②即对应函数序号为③②④①，故选：B．8．在△ABC中，，则△ABC为（）A．直角三角形B．三边均不相等的三角形C．等边三角形D．等腰非等边三角形【分析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A＝C；第二个条件得到B即可求出结论解：因为在△ABC中，A，B，C∈（0，π），∴+＝0⇒||cos A﹣||coC＝0⇒cos A＝cos C⇒A＝C；∵•＝||×||×cos B＝||×||⇒cos B＝⇒B＝；∴△ABC为等边三角形；故选：C．9．若（log22019）x+（log20202）﹣y＜（log22019）﹣y+（log20202）x，则（）A．x+y＜0 B．x+y＞0 C．x﹣y＜0 D．x﹣y＞0【分析】令f（x）＝﹣（log22020）﹣x，然后结合函数的单调性即可判断．解：令f（x）＝﹣（log22020）﹣x，则易得f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，结合已知不等式的特点，考虑构造函数∵（log22019）x+（log20202）﹣y＜（log22019）﹣y+（log20202）x，∴（log22019）x﹣（log22020）﹣x＜（log22019）﹣y﹣（log22020）y，即f（x）＜f（﹣y），所以x＜﹣y，故x+y＜0．故选：A．10．设函数，则方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数等价于函数f（x）与函数g（x）＝﹣的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可．解：方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数等价于函数f（x）与函数g（x）＝﹣的交点个数，画出两个函数的大致图象，如图所示：，∵，∴在（0，+∞）内有1个交点，∵，∴两个函数在（﹣∞，0]内有3个交点，综上所述，函数f（x）与函数g（x）共有4个交点，所以方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数是4个，故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知函数，则f（0）＝ 2 ，函数定义域是．【分析】直接在函数解析式中取x＝0求得f（0）；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域．解：由，得f（0）＝；由，解得﹣．∴函数定义域是（﹣，1）．故答案为：2，（﹣，1）．12．已知是单位向量，，，，，若，则实数λ＝；若A，B，D三点共线，则实数λ＝﹣．【分析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解．解：∵是单位向量，，，，，，∴＝（）•（）＝2λ﹣1＝0，解得实数λ＝．∵A，B，D三点共线，＝，，解得实数λ＝﹣．故答案为：．13．己知函数的最小正周期是3．则a＝，f（x）的对称中心为（，0），k∈Z ．【分析】根据正切的周期求出a，利用整体法求出对称中心即可．解：函数的最小正周期是3，则3＝，得a＝，所以函数f（x）＝2tan（），由，k∈Z，得x＝，故对称中心为（，0），k∈Z14．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：，设函数f（x）＝（2x⊗2）﹣（1⊗log2x），x∈（0，2），则f（1）＝ 1 ，f（x）的值域为[1，3）．【分析】由所给的函数定义求出分段函数f（x）的解析式，进而求出结果．解：由题意f（x）＝，，所以f（1）＝1，x∈（0，2），f（x）∈[1，3），故答案分别为：1，[1，3）15．已知函数f（x）＝（2m﹣9）x a为幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为（﹣∞，2）．【分析】根据函数f（x）是幂函数求出m的值，再根据f（x）的图象过点，求出a的值；由此得出函数g（x）的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出g（x）的单调递增区间．解：函数函数f（x）＝（2m﹣9）x a为幂函数，2m﹣9＝1，解得m＝5，且其图象过点，所以3a＝，解得a＝，所以函数即函数g（x）＝，令x2﹣5x+6＞0，解得x＜2或x＞3；所以函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．16．已知，是平面向量，且，若，则的取值范围是[3，+∞）．【分析】先根据（）•＝+•＝6得到×cosθ＝3；进而表示出即可求解解：设（）与的夹角为θ；∵（）•＝+•＝6＝×||×cosθ；∴×cosθ＝3；∴0＜cosθ≤1＝≥3；故答案为：[3，+∞）17．函数f（x）＝﹣2﹣5x，g（x）＝sin x，若，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），则正整数n的最大值为 6 ．【分析】由题意可得g（x）﹣f（x）＝sin x+5x+2，由正弦函数和一次函数的单调性可得g（x）﹣f（x）﹣2＝sin x+5x的范围是[0，1+]，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n．解：函数f（x）＝﹣2﹣5x，g（x）＝sin x，可得g（x）﹣f（x）＝sin x+5x+2，由x∈[0，]，可得y＝sin x，y＝5x递增，则g（x）﹣f（x）﹣2＝sin x+5x的范围是[0，1+]，f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），即为[g（x1）﹣f（x1）]+[g（x2）﹣f（x2）]+…+[g（x n﹣1）﹣f（x n﹣1）]＝g（x n）﹣f （x n），即为（sin x1+5x1）+（sin x2+5x2）+…+（sin x n﹣1+5x n﹣1）+2（n﹣1）＝sin x n+5x n+2，即（sin x1+5x1）+（sin x2+5x2）+…+（sin x n﹣1+5x n﹣1）+2（n﹣2）＝sin x n+5x n，由sin x n+5x n∈[0，1+]，可得2（n﹣2）≤1+，即n≤+，而+∈（6，7），可得n的最大值为6，故答案为：6．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知向量，其中．（1）若的，求tan x的值；（2）若与垂直，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据平面向量的数量积列方程求出tan x的值，再根据x的范围确定tan x 的值；（2）根据平面向量的数量积和模长公式求出m的解析式，再求m的取值范围．解：（1）因为，即，所以，所以2tan2x﹣5tan x+2＝0，解得tan x＝2或．因为，所以tan x∈[0，1]，即．（2）因为与垂直，所以，所以m2＝1+sin2x，因为，所以，解得m的取值范围是．19．已知集合．C＝{x|（x﹣m﹣1）（x+m+1）≤0，m∈R}（1）若（∁R A）∩B＝∅，求a的取值范围；（2）若A∩C＝C，求m的取值范围．【分析】（1）可以求出A＝{x|﹣3≤x≤1}，从而得出∁R A＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），根据（∁R A）∩B＝∅可讨论B是否为空集：B＝∅时，a﹣1≥2a+1；B≠∅时，，解出a的范围即可；（2）根据A∩C＝C即可得出C⊆A，然后可讨论m+1与﹣（m+1）的大小关系，从而得出集合C，根据C⊆A即可得出m的范围．解：（1）A＝{x|（x+3）（1﹣x）≥0}＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝（a﹣1，2a+1），∴∁R A＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），且（∁R A）∩B＝∅，∴①B＝∅时，a﹣1≥2a+1，解得a≤﹣2；②B≠∅时，，解得﹣2＜a≤0，∴a的取值范围为（﹣∞，0]；（2）∵A∩C＝C，∴C⊆A，∴①m+1＞﹣（m+1），即m＞﹣1时，C＝（﹣（m+1），m+1），∴，解得﹣1＜m≤0；②m+1＜﹣（m+1），即m＜﹣1时，C＝（m+1，﹣（m+1）），∴，解得﹣2≤m＜﹣1；③m+1＝﹣（m+1），即m＝﹣1时，C＝{0}，满足C⊆A，∴综上得，m的取值范围为[﹣2，0]．20．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2lg（x+1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意的x∈（﹣∞，0），关于x的不等式lg（kx）＜f（x）恒成立，求k 的取值范围．【分析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＝2lg（﹣x+1），再求出f（x）的解析式；（2）当x＜0时，因为kx＞0，所以k＜0，结合分离参数法求出k的范围．解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＝2lg（﹣x+1），所以，（2）当x＜0时，因为kx＞0，所以k＜0，所以lg（kx）＜2lg（﹣x+1），即lg（kx）＜lg（﹣x+1）2，即kx＜（﹣x+1）2．因为x＜0，所以恒成立，因为x＜0时，最大值为﹣4，所以﹣4＜k，所以﹣4＜k＜0．21．已知函数f（x）＝sin（2x+），g（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求g（x）的解析式，并说明f（x）的图象怎样经过2次变换得到g（x）的图象；（2）若对于任意的，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）现根据图象求出g（x）的解析式；再结合图象变化规律说明f（x）的图象怎样经过2次变换得到g（x）的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出f（x）的范围；再结合恒成立问题即可求解．解：（1）由图得，因为为函数递增区间上的零点，所以，即．因为，所以，即，图象变换：将函数f（x）＝sin（2x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得到y＝sin（x+），再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象；（2）因为，所以，所以当时，f（x）取最小值，当时，f（x）取最大值1，因为|f（x）﹣m|＜2恒成立，即﹣2+m＜f（x）＜2+m恒成立，所以，即．22．在函数定义域内，若存在区间[m，n]，使得函数值域为[m+k，n+k]，则称此函数为“k 档类正方形函数”，已知函数f（x）＝log3[2k•9x﹣（k﹣1）3x+k+2]．（1）当k＝0时，求函数y＝f（x）的值域；（2）若函数y＝f（x）的最大值是1，求实数k的值；（3）当x＞0时，是否存在k∈（0，1），使得函数f（x）为“1档类正方形函数”？若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】本题第（1）题根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数y＝f（x）的值域；第（2）题利用换元法设t＝3x，t＞0，然后对参数k进行分类讨论，分k≥0和k ＜0两种情况进行讨论函数g（t）的最大值，根据最大值取得的情况计算出k的取值；第（3）题继续利用换元法设t＝3x，t＞0，设真数为g（t）＝2k•t2﹣（k﹣1）t+k+2．根据二次函数的性质可得f（x）在（1，+∞）上为增函数，则f（x）min＝f（m）＝m+1，f （x）max＝f（n）＝n+1，将问题转化为方程在（0，+∞）上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据△＞0，及韦达定理可计算出实数k的取值范围．解：（1）由题意，当k＝0时，，∵3x+2＞2．∴，∴函数y＝f（x）的值域为（log32，+∞）．（2）由题意，设t＝3x，t＞0，则，①若k≥0，则函数g（t）＝2k•t2﹣（t﹣1）t+k+2无最大值，即f（t）无最大值，不合题意；②若k＜0，则g（t）＝2k•t2﹣（k﹣1）t+k+2最大值在时取到，且，∴，解得k＝1，或．由k＜0，可得．（3）由题意，因为0＜k＜1时，设t＝3x（t＞1）．设真数为g（t）＝2k•t2﹣（k﹣1）t+k+2．此时对称轴，∴当t＞1时，g（t）为增函数，且g（t）＞g（1）＝2k+3＞0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数．∴f（x）min＝f（m）＝m+1，f（x）max＝f（n）＝n+1，即方程在（0，+∞）上有两个不同实根，即2k•9x﹣（k﹣1）3x+k+2＝3x﹣1，设t＝3x（t＞1）．∴2k•t2﹣（k﹣1）t+k+2＝3t．即方程2k•t2﹣（k+2）t+k+2＝0有两个大于l的不等实根，∵0＜k＜1，∴，解得，由0＜k＜1，得，即存在m，n，使得函数f（x）为“1档类正方形函数”，且．。

浙江省宁波市2020学年⾼⼀数学上学期期末考试试卷（含解析）浙江省宁波市2020学年第⼀学期期末考试⾼⼀数学试卷⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共40.0分）1.已知集合，，，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】故选A2.若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A. 1B.C.D. 2 【答案】C【解析】【分析】由幂函数的单调性结合选项得答案．【详解】幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．【点睛】本题考查幂函数的单调性，是基础题．3.M是边AB上的中点，记，，则向量A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，∴．选C．4.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】且，，，，的零点所在区间为．故选：C．【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.5.已知为锐⾓，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利⽤诱导公式变形，结合平⽅关系把根式内部的代数式化为完全平⽅式，开⽅得答案．【详解】为锐⾓，∴．故选：D．【点睛】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式及诱导公式的应⽤，是基础题．6.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利⽤，进⾏排除即可.【详解】，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利⽤函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符号进⾏排除是解决本题的关键．7.以下关于函数的说法中，正确的是A. 最⼩正周期B. 在上单调递增C. 图象关于点对称D. 图象关于直线对称【答案】B根据三⾓函数的周期性，单调性以及对称性分别进⾏判断即可．【详解】函数的最⼩正周期，故A错误，当时，，，此时函数为增函数，故B正确，，即图象关于点不对称，故C错误，，则图象关于直线不对称，故D错误，故选：B．【点睛】本题主要考查与三⾓函数有关的命题的真假判断，结合三⾓函数的周期性，单调性以及对称性是解决本题的关键．8.若向量，满⾜，，且，则，的夹⾓为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对两边平⽅计算，再代⼊夹⾓公式即可求出答案．【详解】由可得，即，，，，的夹⾓为．故选：A．【点睛】本题考查了平⾯向量的数量积运算，向量的夹⾓公式，属于基础题．9.设函数的定义域为A，且满⾜任意恒有的函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】满⾜任意恒有，则函数关于中⼼对称，由此可得结论．【详解】满⾜任意恒有函数关于中⼼对称的对称中⼼为故选：C．【点睛】本题考查函数的对称性，考查学⽣分析解决问题的能⼒，属于基础题.10.已知函数，的值城是，则A. B. C. 2 D. 0 【答案】D【解析】根据条件判断函数的奇偶性，利⽤奇偶性的性质结合值域得到，即可得到结论．【详解】，即函数是奇函数，得图象关于原点对称，函数的值城是，，则，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，共36.0分）11.已知，则______，______．【答案】 (1). 3 (2).【解析】【分析】根据即可得出，从⽽得出，的值，进⽽得出的值．【详解】；；；．故答案为：．【点睛】考查分数指数幂的运算，以及对数的定义，对数的运算性质．12.设，则______，______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由已知展开两⾓和的正切求，由同⾓三⾓函数基本关系式化弦为切求．【详解】由，得，．故答案为：；．【点睛】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式的应⽤及两⾓和的正切，是基础题．13.已知向量，，则______；若，则______．【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】直接由向量模的公式计算；再由向量共线的坐标运算列式求解值．【详解】，；故答案为：；2．【点睛】本题考查向量模的求法，考查向量共线的坐标运算，是基础题．14.已知函数⼀部分图象如图所⽰，则______，函数的单调递增区间为______．【答案】 (1). 2 (2). ，【解析】【分析】根据图象先求出函数的周期，和，利⽤五点对应法求出函数的解析式，结合函数单调性的性质进⾏求解即可．【详解】由图象知，则周期，即，即，即，由五点对应法得，即，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查三⾓函数的图象和性质，根据条件求出的解析式是解决本题的关键．15.已知⼀个扇形的弧长为，其圆⼼⾓为，则这扇形的⾯积为______．【答案】2【解析】【分析】根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的⾯积公式求⾯积即可.【详解】扇形的半径为，圆⼼⾓为，弧长 ,这条弧所在的扇形⾯积为，故答案为 .【点睛】本题主要考査扇形的⾯积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.16.已知且，函数，满⾜对任意实数，，都有【解析】【分析】根据题意知函数在R上为增函数，利⽤分段函数的单调性列不等式组，从⽽求出a的取值范围．【详解】函数，对任意实数，，都有成⽴，则在R上为增函数；当时，函数为增函数，则有，即；当时，函数为增函数，则有；由在R上为增函数，则，即有；由可得a的取值范围为：故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的单调性与应⽤问题，注意各段的单调性，以及分界点的情况，是易错题．17.已知单位向量，，满⾜，向量满⾜，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意，不妨设，，，根据可得到点和的距离和为，可得直线AB的⽅程，则表⽰点点到直线直线AB 上点的距离，即可求出范围．【详解】由题意，单位向量，，满⾜，不妨设，，，，，，，即到点和的距离和为，则直线AB的⽅程为，表⽰点点到线段AB上点的距离，，最⼤值为到的距离即为，故的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的⼏何意义，属于中档题．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74.0分）18.已知集合，．2已知，若，求实数a的取值范围．【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）由指数不等式、对数不等式的解法得：A=，B=，故A∩B=；（2）由集合的包含关系得：C?B，则：a≥4，得到的范围是．【详解】（1）解不等式x-4≤4，得：3≤x≤6，即A=，解不等式log3（2x+1）＞2，得：x＞4，即B=，故A∩B=，（2）由集合的包含关系得：C?B，则：a≥4，所以的范围是．【点睛】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系，属简单题．19.已知函数1求函数的最⼩正周期；2现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）⾸先利⽤平⾯向量的数量积运算和三⾓函数关系式的恒等变换，把三⾓函数的关系式转换为正弦型函数，进⼀步求出函数的最⼩正周期．（2）利⽤函数的关系式和函数的图象的平移变换的应⽤求出函数的值域．【详解】1函数，，函数的最⼩正周期；2由于，将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，由于，故：，所以：，故：的值域为．【点睛】本题考查的知识要点：三⾓函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应⽤，函数图象的平移变换和伸缩变换的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．20.如图所⽰，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F 分别在线段BC和DC上，且，．1求的值；2求的最⼩值，并求出此时t的值．【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】1结合向量的数量积公式即可求出2利⽤等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表⽰为关于的代数式，根据具体的形式求最值．【详解】1，2，，，，故当时，的最⼩值为．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运⽤、基本不等式求最值；关键是正确表⽰所求，利⽤基本不等式求最⼩值．21.如图，在平⾯直⾓坐标系中，⾓，的顶点与原点重合，始边与x轴⾮负半轴重合，⾓，的终边与单位圆分别交、两点．1求的值；2若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1根据三⾓函数的定义求出，和，的值，利⽤两⾓和差的余弦公式进⾏求解2先求出的三⾓函数值，结合两⾓和差的正弦公式求的值即可.【详解】1由、，得，、，，则．．【点睛】本题主要考查三⾓函数值的计算，结合三⾓函数的定义求出对应⾓的三⾓函数值，以及利⽤两⾓和差的公式进⾏求解是解决本题的关键．22.设，其中．1当时，分别求及的值域；2记，，若，求实数t的值．【答案】（1）；（2）或或或【解析】【分析】1当时，求出函数和的解析式，结合⼆次函数的性质进⾏求解即可2根据，得到两个集合的值域相同，求出两个函数对应的最值建⽴⽅程即可【详解】1当时，由，当且仅当时，取等号，即的值域为．设，则，则，当且仅当，即时，取等号，故的值域为．2，，即此时函数的值域为，，，得或，当时，即或，，即，即，则，得或成⽴．当时，即时，，即，即，即或或，或满⾜条件，综上或或或成⽴．【点睛】本题主要考查函数值域的应⽤，结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关键综合性较强，运算量较⼤，有⼀定的难度．。

浙江省宁波市重点学校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁RB）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|1＜x＜3} C．{x|2≤x＜3} D．{x|1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+3）B．y=2|x|+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=3﹣|x|3．（5分）已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log20.8＜0.993.3＜log3π B．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.85．（5分）若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=（）A．﹣2tanαB．2tanαC．D．6．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称8．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．2﹣二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分）（6分）已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α= ．9．10．（6分）已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα= ；若⊥，则cos（﹣α）+sin（π+α）= ．11．（6分）设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为．12．（6分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若=x+y（x，y∈R），则2x+y= ；若=λ+μ（λ，μ∈R），则3λ+3μ= ．（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f 13．（4分）已知函数f（x）=loga（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b= ．14．（4分）函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为．15．（4分）已知函数f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．（14分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁RA）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．17．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x+，﹣2）．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x≤时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．18．（15分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E的关系；（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b 的值．19．（15分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）设∠AOP=θ（≤θ≤），=+，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（•﹣）2+2S2﹣，求f（θ）的最值及此时θ的值．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学、镇海中学、慈溪中学、效实中学等九所重点学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁B）=（）RA．{x|1＜x≤2} B．{x|1＜x＜3} C．{x|2≤x＜3} D．{x|1＜x＜2}【解答】解：由x﹣2＞0得x＞2，则集合B={x|x＞2}，所以∁B={x|x≤2}，R又集合A={x|1＜x＜3}，则A∩（∁B）={x|1＜x≤2}，R故选A．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log（x+3）B．y=2|x|+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=3﹣|x|2【解答】解：对于A：函数不是偶函数，不合题意；对于B：函数是偶函数，且x＞0时，y=2x+1递增；符合题意；对于C：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；对于D：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；故选：B．3．（5分）已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，，，为非零向量，且+=，﹣=，（1）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是菱形，则•=0；正确．（2）若•=0，可得：（+）（﹣）=0，即，则||=||；正确．（3）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则•=0；正确．（4）若•=0，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则||=||，正确．故选：D．4．（5分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log20.8＜0.993.3＜log3π B．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.8【解答】解：∵0＜0.993.3＜1，log3π＞1，log20.8＜0，∴log20.8＜0.993.3＜log3π，故选：A．5．（5分）若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=（）A．﹣2tanαB．2tanαC．D．【解答】解：∵α∈（﹣π，﹣），第三象限，∴＜，由﹣=====．故选C．6．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=【解答】解：根据图象可知：函数是非奇非偶函数，∴B排除．函数图象在第三象限，x＜0，∴D排除．根据指数函数和幂函数的单调性：2x的图象比x3的图象平缓，∴A对．故选A．7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为=π，∴ω=2．若其图象向左平移个单位后得到的函数为y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），再根据y=sin（2x++φ）为奇函数，∴+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ﹣，可取φ=﹣．故f（x）=sin（2x﹣）．当x=时，f（x）=≠0，且f（x）=不是最值，故f（x）的图象不关于点（，0）对称，也不关于直线x=对称，故排除A、D；故x=﹣时，f（x）=sin=1，是函数的最大值，故f（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，但关于直线x=对称，故选：C．8．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．2﹣【解答】解：∵•=0，（﹣）•（﹣）≤0，∴﹣﹣•+≤0，∴（+）≥1，∴|+﹣2|2=（﹣）2+（﹣）2+2（﹣）•（﹣）=4﹣2（+）+2[﹣（（+）+1]=6﹣4（+）≤6﹣4=2，∴|+﹣2|的最大值故选：B二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分）9．（6分）已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α= 2 ．【解答】解：设扇形的弧长为l，∵l+2R=30，∴S=lR=（30﹣2R）R=﹣R2+15R=﹣（R﹣）2+，∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30﹣2R=15，α=2，故答案为，2．10．（6分）已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα= ﹣；若⊥，则cos（﹣α）+sin（π+α）= ﹣．【解答】解：∵∥，∴15cosα+16tanα=0，15（1﹣sin2α）+16sinα=0，即15sin2α﹣16sinα﹣15=0，sinα∈[﹣1，1]，解得sinα=﹣．∵⊥，∴•=12﹣20sinα=0，解得sinα=．则cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣sinα﹣sinα=﹣，故答案为：﹣，﹣．11．（6分）设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为R ；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为[，] ．【解答】解：若a=，当x＜1时，函数f（x）=x2﹣3x=﹣∈[﹣2，+∞）；当x≥1时，f（x）=≤0，故函数f（x）的值域为[﹣2，+∞）∪（﹣∞，0]=R．若函数f（x）=在R上单调递减，则，求得≤a≤，故答案为：R；[，]．12．（6分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若=x+y（x，y∈R），则2x+y= 2 ；若=λ+μ（λ，μ∈R），则3λ+3μ= 4 ．【解答】解：如图所示，①=+=+，与=x+y（x，y∈R）比较可得：x=，y=1．则2x+y=2．②由②可得：=+，同理可得：=+，∴=λ+μ=λ（+）+μ（+）=+，又=，∴=1，=1．则3λ+3μ=4．故答案为：2，4．13．（4分）已知函数f（x）=loga（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b= +1 ．【解答】解：∵函数f（x）=loga（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴loga +loga=loga•=0，即•=1，∴4﹣x2=b2﹣x2，即b2=4，解得b=±2，当b=﹣2时，函数f（x）=loga =f（x）=loga（﹣1）无意义，舍去．当b=2时，函数f（x）=loga为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣2，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=loga在x∈（﹣2，2a）上单调递增，∵当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（2a）=1，即f（2a）=loga=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1，∴a+b=﹣1+2=+1，故答案为：+1．14．（4分）函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为8 ．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：x∈[﹣3，5]，g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣4，4]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数 y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．15．（4分）已知函数f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为②③．【解答】解：对于①，b=0时，f（x）==，因为a正负不定，所以单调性不定，故错；对于②，f（x）=是奇函数h（x）=左右平移得到，故正确；对于③，当x≠0时，函数h（x）=存在最大、最小值，且f（0）=0，∴函数f（x）也存在最大、最小值，故正确；对于④，关于x的方程g（x）=0的解⇔f（x）=±的解，∵函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称，故解集不可能是{﹣3，﹣1，0，1}，故错；故答案为：②③．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．（14分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁RA）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2＜x＜4}，则A∪B={x|﹣2＜x≤7}，又∁RA={x|x＜1或x＞7}，则（∁RA）∩B={x|﹣2＜x＜1}，（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m﹣1＞2m+3，解可得m＜﹣4，②、当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得﹣1＜m＜，综上可得：m的取值范围是：（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，）．17．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x+，﹣2）．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x≤时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．【解答】（本题满分为15分）解：（1）由题意可得：A=2，由在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x+，﹣2），可得：=（x0+）﹣x=，可得：T=π，∴ω=2，可得：f（x）=2sin（x+φ），又∵图象与y轴的交点为（0，1），可得：2sinφ=1，解得：sinφ=，∵|φ|＜，可得：φ=，∴函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）…4分由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可解得f（x）的单调递增区间是：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…8分（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和y=m（m∈R）的图象，由图可知，当﹣2＜m≤0或1≤m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，当﹣2＜m≤0时，两根和为；当1≤m＜2时，两根和为…15分18．（15分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E的关系；（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b 的值．∴=，∴2（t﹣2）x=0，∵x是非0实数，故t﹣2=0，解得：t=2；（2）由（1）得，f（x）=，∴E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}={﹣3，0，}，而λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1=lg2+lg5﹣1=0，∴λ∈E；（3）∵f（x）=1﹣，∴f（x）在[a，b]递增，∵函数f（x）的值域是[2﹣，2﹣]，∴，∵b＞a＞0，解得：a=1，b=4．19．（15分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）设∠AOP=θ（≤θ≤），=+，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（•﹣）2+2S2﹣，求f（θ）的最值及此时θ的值．∴==﹣；（2）由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ），又=+，|=|||，∴四边形OAQP为菱形，=sinθ，∴S=2S△OAP∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），∴=（1+cosθ，sinθ），∴•=1+cosθ，∴f（θ）=（cosθ+）2+2sin2θ﹣=﹣（cosθ﹣）2+2∵﹣≤cosθ≤，=2；∴当cosθ=，即θ=时，f（θ）max=1．当cosθ=﹣，即θ=时，f（θ）min20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=（x﹣2）|x+1|，当x≤﹣1时，f（x）=﹣（x﹣2）（x+1）=﹣x2+x+2，此时函数为增函数；当x＞﹣1时，f（x）=（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，此时函数在（﹣1，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数；综上可得：当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]，[，+∞）；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）=，①当﹣a≤﹣2，即a≥2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；②当﹣a≥2，即a≤﹣2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；④当﹣2＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；综上可得：g（a）=0。